Raiz quadrada. Teoria detalhada com exemplos

O conceito de raiz quadrada de um número não negativo

Considere a equação x2 = 4. Vamos resolvê-la graficamente. Para fazer isso, em um sistema coordenadas construa uma parábola y = x2 e uma reta y = 4 (Fig. 74). Eles se cruzam em dois pontos A (- 2; 4) e B (2; 4). As abcissas dos pontos A e B são as raízes da equação x2 = 4. Portanto, x1 = - 2, x2 = 2.

Argumentando da mesma forma, encontramos as raízes da equação x2 \u003d 9 (veja a Fig. 74): x1 \u003d - 3, x2 \u003d 3.

E agora vamos tentar resolver a equação x2 = 5; a ilustração geométrica é mostrada na fig. 75. É claro que esta equação tem duas raízes x1 e x2, e esses números, como nos dois casos anteriores, são iguais em valor absoluto e opostos em sinal (x1 - - x2) - Mas diferentemente dos casos anteriores, onde o as raízes da equação foram encontradas sem dificuldade (e também poderiam ser encontradas sem o uso de gráficos), o mesmo não acontece com a equação x2 \u003d 5: pelo desenho não podemos indicar os valores​​das raízes , só podemos estabelecer que um raiz localizado ligeiramente à esquerda do ponto - 2 e o segundo - ligeiramente à direita do ponto 2.

Mas aqui temos uma surpresa desagradável. Acontece que não existe tal frações DIV_ADBLOCK32">

Suponha que exista tal fração irredutível para a qual a igualdade https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, ou seja, m2 = 5n2. A última igualdade significa que número natural m2 é divisível por 5 sem resto (no quociente obtemos n2).

Conseqüentemente, o número m2 termina com o número 5 ou com o número 0. Mas então o número natural m também termina com o número 5 ou com o número 0, ou seja, o número m é divisível por 5 sem deixar resto. Em outras palavras, se o número m for dividido por 5, então no quociente algum número natural k será obtido. Isso significa que m = 5k.

E agora veja:

Substitua 5k por m na primeira equação:

(5k)2 = 5n2, ou seja, 25k2 = 5n2 ou n2 = 5k2.

A última igualdade significa que o número. 5n2 é divisível por 5 sem deixar resto. Argumentando como acima, chegamos à conclusão de que o número n também é divisível por 5 sem restante.

Então, m é divisível por 5, n é divisível por 5, então a fração pode ser reduzida (por 5). Mas assumimos que a fração é irredutível. Qual é o problema? Por que, raciocinando corretamente, chegamos a um absurdo ou, como costumam dizer os matemáticos, chegamos a uma contradição "! Sim, porque a premissa original estava incorreta, como se existisse uma fração irredutível, para a qual a igualdade ).

Se, como resultado de um raciocínio correto, chegarmos a uma contradição com a condição, concluímos: nossa suposição está incorreta, o que significa que o que deveria ser provado é verdadeiro.

Então, tendo apenas números racionais(e ainda não conhecemos outros números), não conseguiremos resolver a equação x2 \u003d 5.

Tendo encontrado tal situação pela primeira vez, os matemáticos perceberam que precisavam encontrar uma maneira de descrevê-la em linguagem matemática. Eles introduziram um novo símbolo em consideração, que chamaram de raiz quadrada, e com a ajuda desse símbolo, as raízes da equação x2 = 5 foram escritas da seguinte forma: ). Agora, para qualquer equação da forma x2 \u003d a, onde a\u003e O, você pode encontrar as raízes - são númeroshttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} não um todo ou uma fração.
Isso significa que não é um número racional, é um número de nova natureza, falaremos especialmente sobre esses números mais adiante, no Capítulo 5.
Por enquanto, apenas observe que o novo número está entre 2 e 3, pois 22 = 4, que é menor que 5; Z2 \u003d 9, que é mais de 5. Você pode esclarecer:

Mais uma vez, observe que apenas números positivos aparecem na tabela, pois isso é estipulado na definição da raiz quadrada. E embora, por exemplo, \u003d 25 seja a igualdade correta, vá para a notação usando a raiz quadrada (ou seja, escreva isso. .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!}é um número positivo, então https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. O que está claro é que é maior que 4, mas menor que 5, pois 42 = 16 (que é menor que 17) e 52 = 25 (que é maior que 17).
No entanto, um valor aproximado do número pode ser encontrado usando calculadora, que contém a operação de raiz quadrada; esse valor é 4,123.

O número , como o número considerado acima, não é racional.
e) Não pode ser calculado porque a raiz quadrada de um número negativo não existe; a entrada não tem sentido. A tarefa proposta está incorreta.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Task" width="80" height="33 id=">!}, pois 75 > 0 e 752 = 5625.

Nos casos mais simples, o valor da raiz quadrada é calculado imediatamente:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Task" width="65" height="42 id=">!}
Solução.
Primeira etapa. Não é difícil adivinhar que a resposta será 50 com “cauda”. De fato, 502 = 2500 e 602 = 3600, enquanto 2809 está entre 2500 e 3600.

Considere a equação x 2 = 4. Vamos resolvê-la graficamente. Para fazer isso, em um sistema de coordenadas, construímos uma parábola y \u003d x 2 e uma linha reta y \u003d 4 (Fig. 74). Eles se cruzam em dois pontos A (- 2; 4) e B (2; 4). As abcissas dos pontos A e B são as raízes da equação x 2 \u003d 4. Portanto, x 1 \u003d - 2, x 2 \u003d 2.

Argumentando da mesma forma, encontramos as raízes da equação x 2 \u003d 9 (veja a Fig. 74): x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

E agora vamos tentar resolver a equação x 2 \u003d 5; a ilustração geométrica é mostrada na fig. 75. É claro que esta equação tem duas raízes x 1 e x 2, e esses números, como nos dois casos anteriores, são iguais em valor absoluto e opostos em sinal (x 1 - - x 2) - Mas ao contrário do anterior casos , onde as raízes da equação foram encontradas sem dificuldade (e também puderam ser encontradas sem o uso de gráficos), não é o caso da equação x 2 \u003d 5: de acordo com o desenho, não podemos indicar os valores \u200b\u200bdas raízes, podemos apenas estabelecer que uma raiz está localizada ligeiramente à esquerda aponta - 2, e a segunda - um pouco à direita

pontos 2.

Qual é esse número (ponto), que está localizado logo à direita do ponto 2 e que dá 5 ao quadrado? É claro que não é 3, pois Z 2 \u003d 9, ou seja, resulta mais do que o necessário (9\u003e 5).

Isso significa que o número que nos interessa está localizado entre os números 2 e 3. Mas entre os números 2 e 3 existe um conjunto infinito de números racionais, por exemplo etc. Talvez entre eles haja uma fração que ? Então não teremos problemas com a equação x 2 - 5, podemos escrever que

Mas aqui temos uma surpresa desagradável. Acontece que não existe tal fração para a qual a igualdade
A prova da afirmação declarada é bastante difícil. No entanto, damos porque é bonito e instrutivo, é muito útil tentar entendê-lo.

Suponha que exista tal fração irredutível , para a qual a igualdade vale. Então , ou seja, m 2 = 5n 2 . A última igualdade significa que o número natural m 2 é divisível por 5 sem resto (em particular, n2 resultará).

Conseqüentemente, o número m 2 termina com o número 5 ou com o número 0. Mas então o número natural m também termina com o número 5 ou com o número 0, ou seja, o número m é divisível por 5 sem deixar resto. Em outras palavras, se o número m for dividido por 5, então no quociente algum número natural k será obtido. Isso significa,
que m = 5k.
E agora veja:
m 2 \u003d 5n 2;
Substitua 5k por m na primeira equação:

(5k) 2 = 5n 2 , ou seja, 25k 2 = 5n 2 ou n 2 = 5k 2 .
A última igualdade significa que o número. 5n 2 é divisível por 5 sem deixar resto. Argumentando como acima, chegamos à conclusão de que o número n também é divisível por 5 sem deixar resto.
Então, m é divisível por 5, n é divisível por 5, então a fração pode ser reduzida (por 5). Mas assumimos que a fração é irredutível. Qual é o problema? Por que, raciocinando corretamente, chegamos a um absurdo ou, como costumam dizer os matemáticos, chegamos a uma contradição "! Sim, porque a premissa original estava incorreta, como se existisse uma fração irredutível, para a qual a igualdade
Disso concluímos: não existe tal fração.
O método de prova que acabamos de aplicar é chamado em matemática de método de prova por contradição. Sua essência é a seguinte. Precisamos provar uma determinada afirmação e assumimos que ela não é válida (os matemáticos dizem: "suponha o contrário" - não no sentido de "desagradável", mas no sentido de "o oposto do que é necessário").
Se, como resultado de um raciocínio correto, chegarmos a uma contradição com a condição, concluímos: nossa suposição está incorreta, o que significa que o que deveria ser provado é verdadeiro.

Assim, tendo apenas números racionais (e ainda não conhecemos outros números), não conseguiremos resolver a equação x 2 \u003d 5.
Tendo encontrado tal situação pela primeira vez, os matemáticos perceberam que precisavam encontrar uma maneira de descrevê-la em linguagem matemática. Eles introduziram um novo símbolo em consideração, que chamaram de raiz quadrada e, usando esse símbolo, as raízes da equação x 2 \u003d 5 foram escritas da seguinte forma:

lê: "raiz quadrada de 5"). Agora, para qualquer equação da forma x 2 \u003d a, onde a\u003e O, você pode encontrar as raízes - são números , (Fig. 76).

Novamente, enfatizamos que o número não é um número inteiro e nem uma fração.
Isso significa que não é um número racional, é um número de nova natureza, falaremos especialmente sobre esses números mais adiante, no Capítulo 5.
Por enquanto, apenas observe que o novo número está entre 2 e 3, pois 2 2 = 4, que é menor que 5; Z 2 \u003d 9, e isso é mais que 5. Você pode esclarecer:

De fato, 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Você ainda pode
especificamos:

de fato, 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
Na prática, costuma-se acreditar que o número é igual a 2,23 ou igual a 2,24, só que essa não é uma igualdade comum, mas uma igualdade aproximada, para a qual o símbolo é usado.
Então,

Discutindo a solução da equação x 2 = a, nos deparamos com uma situação bastante típica da matemática. Entrando em uma situação fora do padrão, anormal (como os cosmonautas gostam de dizer) e não encontrando uma saída com a ajuda de meios conhecidos, os matemáticos criam um novo termo e uma nova designação (um novo símbolo) para o matemático modelo que encontraram pela primeira vez; em outras palavras, eles introduzem um novo conceito e então estudam as propriedades deste
conceitos. Assim, o novo conceito e sua designação passam a ser propriedade da linguagem matemática. Agimos da mesma forma: introduzimos o termo "raiz quadrada do número a", introduzimos um símbolo para denotá-lo e, um pouco mais tarde, estudaremos as propriedades do novo conceito. Até agora sabemos apenas uma coisa: se a > 0,
então é um número positivo que satisfaz a equação x 2 = a. Em outras palavras, é um número tão positivo, quando elevado ao quadrado, obtém-se o número a.
Como a equação x 2 \u003d 0 tem uma raiz x \u003d 0, concordamos em assumir que
Agora estamos prontos para dar uma definição rigorosa.
Definição. A raiz quadrada de um número não negativo a é um número não negativo cujo quadrado é a.

Este número é denotado, o número e ao mesmo tempo é chamado de número raiz.
Então, se a é um número não negativo, então:

Se um< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Assim, a expressão só faz sentido quando a > 0.
Eles disseram aquilo - o mesmo modelo matemático (a mesma relação entre números não negativos
(a e b), mas apenas o segundo é descrito em uma linguagem mais simples que o primeiro (usa caracteres mais simples).

A operação de encontrar a raiz quadrada de um número não negativo é chamada de extração da raiz quadrada. Esta operação é o inverso do quadrado. Comparar:

Mais uma vez, observe que apenas números positivos aparecem na tabela, pois isso é estipulado na definição da raiz quadrada. E embora, por exemplo, (- 5) 2 \u003d 25 seja a igualdade correta, vá para a notação usando a raiz quadrada (ou seja, escreva isso).
é proibido. Priorado A, . é um número positivo, então .
Freqüentemente, eles não dizem "raiz quadrada", mas "raiz quadrada aritmética". Omitimos o termo "aritmética" por brevidade.

D) Ao contrário dos exemplos anteriores, não podemos especificar o valor exato do número. É apenas claro que é maior que 4, mas menor que 5, pois

4 2 = 16 (menos de 17) e 5 2 = 25 (mais de 17).
Porém, o valor aproximado do número pode ser encontrado por meio de uma microcalculadora, que contém a operação de extração da raiz quadrada; esse valor é 4,123.
Então,
O número , como o número considerado acima, não é racional.
e) Não pode ser calculado porque a raiz quadrada de um número negativo não existe; a entrada não tem sentido. A tarefa proposta está incorreta.
e), pois 31 > 0 e 31 2 = 961. Nesses casos, você deve usar uma tabela de quadrados de números naturais ou uma microcalculadora.
g) desde 75 > 0 e 75 2 = 5625.
Nos casos mais simples, o valor da raiz quadrada é calculado imediatamente: etc. Nos casos mais complexos, você deve usar uma tabela de quadrados de números ou fazer cálculos usando uma microcalculadora. Mas e se não houver nenhuma planilha ou calculadora à mão? Vamos responder a essa pergunta resolvendo o exemplo a seguir.

Exemplo 2 Calcular
Solução.
Primeira etapa. Não é difícil adivinhar que a resposta será 50 com “cauda”. De fato, 50 2 = 2500 e 60 2 = 3600, enquanto o número 2809 está entre os números 2500 e 3600.

Segunda fase. Vamos encontrar a "cauda", ou seja. o último dígito do número desejado. Até agora, sabemos que, se a raiz for obtida, a resposta pode ser 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 ou 59. Apenas dois números precisam ser verificados: 53 e 57, pois apenas eles , quando elevado ao quadrado, dará como resultado um número de quatro dígitos que termina em 9, o mesmo dígito de 2809.
Temos 532 = 2809 - é disso que precisamos (tivemos sorte, acertamos imediatamente o "alvo"). Então = 53.
Responder:

53
Exemplo 3 Os catetos de um triângulo retângulo medem 1 cm e 2 cm Qual é a hipotenusa do triângulo? (fig.77)

Solução.

Vamos usar o teorema de Pitágoras conhecido da geometria: a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado do comprimento de sua hipotenusa, ou seja, a 2 + b 2 \u003d c 2, onde a, b são os catetos, c é a hipotenusa do triângulo retângulo.

Significa,

Este exemplo mostra que a introdução de raízes quadradas não é um capricho dos matemáticos, mas uma necessidade objetiva: na vida real, existem situações cujos modelos matemáticos contêm a operação de extração de uma raiz quadrada. Talvez a mais importante dessas situações seja
resolução de equações de segundo grau. Até agora, ao encontrar equações quadráticas ax 2 + bx + c \u003d 0, fatoramos o lado esquerdo (o que nem sempre funcionou) ou usamos métodos gráficos (que também não são muito confiáveis, embora bonitos). Na verdade, para encontrar
raízes x 1 e x 2 da equação quadrática ax 2 + bx + c \u003d 0 em matemática, fórmulas são usadas

contendo, aparentemente, o sinal da raiz quadrada Estas fórmulas são aplicadas na prática da seguinte forma. Deixe, por exemplo, é necessário resolver a equação 2x 2 + bx - 7 \u003d 0. Aqui a \u003d 2, b \u003d 5, c \u003d - 7. Portanto,
b2 - 4ac \u003d 5 2 - 4. 2. (- 7) = 81. Então encontramos . Significa,

Observamos acima que não é um número racional.
Os matemáticos chamam esses números de irracionais. Qualquer número da forma é irracional se a raiz quadrada não for tomada. Por exemplo, etc. são números irracionais. No Capítulo 5, falaremos mais sobre números racionais e irracionais. Os números racionais e irracionais juntos formam o conjunto dos números reais, ou seja, o conjunto de todos aqueles números com os quais operamos na vida real (na verdade,
ness). Por exemplo, - todos esses são números reais.
Assim como definimos o conceito de raiz quadrada acima, também podemos definir o conceito de raiz cúbica: a raiz cúbica de um número não negativo a é um número não negativo cujo cubo é igual a a. Em outras palavras, igualdade significa que b 3 = a.

Estudaremos tudo isso no curso de álgebra do 11º ano.

Neste artigo, vamos apresentar o conceito de raiz de um número. Atuaremos sequencialmente: começaremos com a raiz quadrada, a partir dela passaremos para a descrição da raiz cúbica, após isso generalizaremos o conceito de raiz definindo a raiz do enésimo grau. Ao mesmo tempo, introduziremos definições, notação, daremos exemplos de raízes e daremos as explicações e comentários necessários.

Raiz quadrada, raiz quadrada aritmética

Para entender a definição da raiz de um número, e a raiz quadrada em particular, é preciso ter . Neste ponto, frequentemente encontraremos a segunda potência de um número - o quadrado de um número.

Vamos começar com definições de raiz quadrada.

Definição

A raiz quadrada de umé o número cujo quadrado é a .

Para trazer exemplos de raízes quadradas, pegue vários números, por exemplo, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , e eleve-os ao quadrado, obtemos os números 25 , 0,09 , 0,09 e 0 respectivamente (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 0,3=0,09 e 0 2 =0 0=0 ). Então, pela definição acima, 5 é a raiz quadrada de 25, −0,3 e 0,3 são as raízes quadradas de 0,09 e 0 é a raiz quadrada de zero.

Deve-se notar que não existe para nenhum número a, cujo quadrado é igual a a. Ou seja, para qualquer número negativo a, não existe nenhum número real b cujo quadrado seja igual a a. De fato, a igualdade a=b 2 é impossível para qualquer a negativo, já que b 2 é um número não negativo para qualquer b . Por isso, no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo. Em outras palavras, no conjunto dos números reais, a raiz quadrada de um número negativo não é definida e não tem significado.

Isso leva a uma pergunta lógica: “Existe uma raiz quadrada de a para qualquer a não negativo”? A resposta é sim. A justificativa para esse fato pode ser considerada um método construtivo utilizado para encontrar o valor da raiz quadrada.

Então surge a seguinte questão lógica: "Qual é o número de todas as raízes quadradas de um determinado número não negativo a - um, dois, três ou até mais"? Aqui está a resposta: se a é zero, então a única raiz quadrada de zero é zero; se a é algum número positivo, então o número de raízes quadradas do número a é igual a dois, e as raízes são . Vamos fundamentar isso.

Vamos começar com o caso a=0 . Vamos primeiro mostrar que zero é de fato a raiz quadrada de zero. Isso decorre da óbvia igualdade 0 2 =0·0=0 e da definição da raiz quadrada.

Agora vamos provar que 0 é a única raiz quadrada de zero. Vamos usar o método oposto. Vamos assumir que existe algum número b diferente de zero que é a raiz quadrada de zero. Então a condição b 2 =0 deve ser satisfeita, o que é impossível, pois para qualquer b diferente de zero o valor da expressão b 2 é positivo. Chegamos a uma contradição. Isso prova que 0 é a única raiz quadrada de zero.

Vamos passar para os casos em que a é um número positivo. Acima dissemos que sempre existe uma raiz quadrada de qualquer número não negativo, seja b a raiz quadrada de a. Digamos que existe um número c , que também é a raiz quadrada de a . Então, pela definição da raiz quadrada, as igualdades b 2 =a e c 2 =a são válidas, de onde se segue que b 2 −c 2 =a−a=0, mas como b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , então (b−c) (b+c)=0 . A igualdade resultante em vigor propriedades de ações com números reais só é possível quando b−c=0 ou b+c=0 . Assim, os números b e c são iguais ou opostos.

Se assumirmos que existe um número d, que é outra raiz quadrada do número a, então, por raciocínios semelhantes aos já dados, fica provado que d é igual ao número b ou ao número c. Portanto, o número de raízes quadradas de um número positivo é dois e as raízes quadradas são números opostos.

Para facilitar o trabalho com raízes quadradas, a raiz negativa é "separada" da positiva. Para isso, apresenta definição de raiz quadrada aritmética.

Definição

Raiz quadrada aritmética de um número não negativo aé um número não negativo cujo quadrado é igual a a .

Para a raiz quadrada aritmética do número a, a notação é aceita. O sinal é chamado de sinal de raiz quadrada aritmética. Também é chamado de sinal do radical. Portanto, você pode ouvir parcialmente "raiz" e "radical", o que significa o mesmo objeto.

O número sob o sinal de raiz quadrada aritmética é chamado número raiz, e a expressão sob o sinal de raiz - expressão radical, enquanto o termo "número radical" é frequentemente substituído por "expressão radical". Por exemplo, na notação, o número 151 é um número radical e, na notação, a expressão a é uma expressão radical.

Ao ler, a palavra "aritmética" é frequentemente omitida, por exemplo, a entrada é lida como "a raiz quadrada de sete ponto vinte e nove centésimos". A palavra "aritmética" é pronunciada apenas quando querem enfatizar que estamos falando da raiz quadrada positiva de um número.

À luz da notação introduzida, segue-se da definição da raiz quadrada aritmética que para qualquer número não negativo a .

As raízes quadradas de um número positivo a são escritas usando o sinal de raiz quadrada aritmética como e . Por exemplo, as raízes quadradas de 13 são e . A raiz quadrada aritmética de zero é zero, ou seja, . Para números negativos a, não daremos significado às entradas até que estudemos números complexos. Por exemplo, as expressões e não têm sentido.

Com base na definição de raiz quadrada, são provadas as propriedades das raízes quadradas, que são frequentemente usadas na prática.

Para concluir esta subseção, notamos que as raízes quadradas de um número são soluções da forma x 2 =a em relação à variável x .

raiz cúbica de

Definição da raiz cúbica do número a é dada de forma semelhante à definição da raiz quadrada. Só que é baseado no conceito de um cubo de um número, não de um quadrado.

Definição

A raiz cúbica de um um número cujo cubo é igual a a é chamado.

vamos trazer exemplos de raízes cúbicas. Para fazer isso, pegue vários números, por exemplo, 7 , 0 , −2/3 , e coloque-os ao cubo: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Então, com base na definição da raiz cúbica, podemos dizer que o número 7 é a raiz cúbica de 343, 0 é a raiz cúbica de zero e −2/3 é a raiz cúbica de −8/27.

Pode-se mostrar que a raiz cúbica do número a, ao contrário da raiz quadrada, sempre existe, e não apenas para a não negativo, mas também para qualquer número real a. Para fazer isso, você pode usar o mesmo método que mencionamos ao estudar a raiz quadrada.

Além disso, existe apenas uma raiz cúbica de um determinado número a. Provemos a última afirmação. Para fazer isso, considere três casos separadamente: a é um número positivo, a=0 e a é um número negativo.

É fácil mostrar que para a positivo, a raiz cúbica de a não pode ser nem negativa nem zero. De fato, seja b a raiz cúbica de a , então, por definição, podemos escrever a igualdade b 3 =a . É claro que esta igualdade não pode ser verdadeira para b negativo e para b=0, pois nestes casos b 3 =b·b·b será um número negativo ou zero, respectivamente. Portanto, a raiz cúbica de um número positivo a é um número positivo.

Agora suponha que além do número b haja mais uma raiz cúbica do número a, vamos denotar c. Então c 3 = a. Portanto, b 3 −c 3 =a−a=0 , mas b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(esta é a fórmula de multiplicação abreviada diferença de cubos), onde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . A igualdade resultante só é possível quando b−c=0 ou b 2 +b c+c 2 =0 . Da primeira igualdade temos b=c, e a segunda igualdade não tem soluções, pois seu lado esquerdo é um número positivo para quaisquer números positivos b e c como a soma de três termos positivos b 2 , b c e c 2 . Isso prova a unicidade da raiz cúbica de um número positivo a.

Para a=0, a única raiz cúbica de a é zero. De fato, se assumirmos que existe um número b , que é uma raiz cúbica diferente de zero de zero, então a igualdade b 3 =0 deve ser mantida, o que só é possível quando b=0 .

Para a negativo, pode-se argumentar de forma semelhante ao caso de a positivo. Primeiro, mostramos que a raiz cúbica de um número negativo não pode ser igual a um número positivo ou zero. Em segundo lugar, assumimos que existe uma segunda raiz cúbica de um número negativo e mostramos que ela necessariamente coincidirá com a primeira.

Portanto, há sempre uma raiz cúbica de qualquer número real a, e apenas uma.

Vamos dar definição de raiz cúbica aritmética.

Definição

Raiz cúbica aritmética de um número não negativo a um número não negativo cujo cubo é igual a a é chamado.

A raiz cúbica aritmética de um número não negativo a é denotada como , o sinal é chamado de sinal da raiz cúbica aritmética, o número 3 nesta notação é chamado indicador raiz. O número sob o sinal de raiz é número raiz, a expressão sob o sinal de raiz é expressão radical.

Embora a raiz cúbica aritmética seja definida apenas para números não negativos a, também é conveniente usar entradas nas quais números negativos estejam sob o sinal de raiz cúbica aritmética. Vamos entendê-los da seguinte forma: , onde a é um número positivo. Por exemplo, .

Falaremos sobre as propriedades das raízes cúbicas nas propriedades gerais do artigo das raízes.

Calcular o valor de uma raiz cúbica é chamado de extrair uma raiz cúbica, esta ação é discutida no artigo extraindo raízes: métodos, exemplos, soluções.

Para concluir esta subseção, dizemos que a raiz cúbica de a é uma solução da forma x 3 =a.

Raiz N, raiz aritmética de n

Generalizamos o conceito de raiz de um número - introduzimos determinação da raiz n-ésima para n.

Definição

enésima raiz de umé um número cuja enésima potência é igual a a.

Desta definição fica claro que a raiz do primeiro grau do número a é o próprio número a, pois ao estudar o grau com um indicador natural, tomamos a 1 = a.

Acima, consideramos casos especiais da raiz do enésimo grau para n=2 e n=3 - a raiz quadrada e a raiz cúbica. Ou seja, a raiz quadrada é a raiz do segundo grau e a raiz cúbica é a raiz do terceiro grau. Para estudar as raízes do enésimo grau para n=4, 5, 6, ..., é conveniente dividi-las em dois grupos: o primeiro grupo - as raízes de graus pares (ou seja, para n=4, 6 , 8, ...), o segundo grupo - os graus ímpares das raízes (isto é, para n=5, 7, 9, ... ). Isso se deve ao fato de que as raízes dos graus pares são semelhantes à raiz quadrada e as raízes dos graus ímpares são semelhantes à raiz cúbica. Vamos lidar com eles por sua vez.

Comecemos pelas raízes, cujas potências são os números pares 4, 6, 8, ... Como já dissemos, são semelhantes à raiz quadrada do número a. Ou seja, a raiz de qualquer grau par do número a existe apenas para a não negativo. Além disso, se a=0, então a raiz de a é única e igual a zero, e se a>0, então existem duas raízes de grau par do número a, e são números opostos.

Justifiquemos a última afirmação. Seja b uma raiz de grau par (nós o denotamos como 2·m, onde m é algum número natural) de a. Suponha que haja um número c - outra raiz de 2 m de a . Então b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Mas sabemos da forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), então (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Desta igualdade segue que b−c=0 , ou b+c=0 , ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. As duas primeiras igualdades significam que os números b e c são iguais ou b e c são opostos. E a última igualdade é válida apenas para b=c=0 , pois seu lado esquerdo contém uma expressão não negativa para qualquer b e c como a soma dos números não negativos.

Quanto às raízes do enésimo grau para n ímpar, elas são semelhantes à raiz cúbica. Ou seja, a raiz de qualquer grau ímpar do número a existe para qualquer número real a, e para um dado número a ela é única.

A unicidade da raiz de grau ímpar 2·m+1 do número a é provada por analogia com a prova da unicidade da raiz cúbica de a . Só aqui em vez de igualdade a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) uma igualdade da forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). A expressão no último parêntese pode ser reescrita como b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Por exemplo, para m=2 temos b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Quando a e b são ambos positivos ou ambos negativos, seu produto é um número positivo, então a expressão b 2 +c 2 +b·c , que está entre parênteses do maior grau de aninhamento, é positiva como a soma de valores positivos números. Agora, passando sucessivamente para as expressões entre parênteses dos graus anteriores de aninhamento, verificamos que elas também são positivas como somas de números positivos. Como resultado, obtemos que a igualdade b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 só é possível quando b−c=0 , ou seja, quando o número b é igual ao número c .

É hora de lidar com a notação das raízes do enésimo grau. Para isso, é dado determinação da raiz aritmética do enésimo grau.

Definição

A raiz aritmética do enésimo grau de um número não negativo a um número não negativo é chamado, cuja n-ésima potência é igual a a.

Olhei novamente para o prato... E vamos lá!

Vamos começar com um simples:

Espere um minuto. this, o que significa que podemos escrever assim:

Entendi? Aqui está o próximo para você:

As raízes dos números resultantes não são exatamente extraídas? Não se preocupe, aqui estão alguns exemplos:

Mas e se não houver dois multiplicadores, mas mais? O mesmo! A fórmula de multiplicação de raiz funciona com qualquer número de fatores:

Agora completamente independente:

Respostas: Bom trabalho! Concordo, tudo é muito fácil, o principal é saber a tabuada!

divisão raiz

Descobrimos a multiplicação das raízes, agora vamos passar para a propriedade da divisão.

Deixe-me lembrá-lo de que a fórmula em geral se parece com isso:

E isso significa que a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.

Bem, vamos ver exemplos:

Isso é tudo ciência. E aqui está um exemplo:

Nem tudo é tão tranquilo quanto no primeiro exemplo, mas como você pode ver, não há nada complicado.

E se a expressão for assim:

Você só precisa aplicar a fórmula ao contrário:

E aqui está um exemplo:

Você também pode ver esta expressão:

Tudo é igual, só aqui você precisa se lembrar de como traduzir frações (se não se lembra, olhe o tópico e volte!). Lembrei? Agora nós decidimos!

Tenho certeza que você aguentou tudo, tudo, agora vamos tentar criar raízes em algum grau.

Exponenciação

O que acontece se a raiz quadrada for elevada ao quadrado? É simples, lembre-se do significado da raiz quadrada de um número - este é um número cuja raiz quadrada é igual a.

Então, se elevarmos ao quadrado um número cuja raiz quadrada é igual, o que obtemos?

Bem, claro, !

Vejamos exemplos:

Tudo é simples, certo? E se a raiz estiver em um grau diferente? Tudo bem!

Atenha-se à mesma lógica e lembre-se das propriedades e ações possíveis com graus.

Leia a teoria sobre o tema "" e tudo ficará extremamente claro para você.

Por exemplo, aqui está uma expressão:

Neste exemplo, o grau é par, mas e se for ímpar? Mais uma vez, aplique as propriedades de potência e fatorize tudo:

Com isso tudo parece estar claro, mas como extrair a raiz de um número em grau? Aqui, por exemplo, é isso:

Bem simples, certo? E se o grau for maior que dois? Seguimos a mesma lógica usando as propriedades dos graus:

Bem, está tudo claro? Em seguida, resolva seus próprios exemplos:

E aqui estão as respostas:

Introdução sob o signo da raiz

O que simplesmente não aprendemos a fazer com as raízes! Resta apenas praticar a inserção do número sob o sinal de raiz!

É muito fácil!

Digamos que temos um número

O que podemos fazer com isso? Bem, é claro, esconda o triplo sob a raiz, lembrando que o triplo é a raiz quadrada de!

Por que precisamos disso? Sim, apenas para expandir nossas capacidades ao resolver exemplos:

O que você acha dessa propriedade das raízes? Facilita muito a vida? Para mim, isso mesmo! Apenas devemos lembrar que só podemos inserir números positivos sob o sinal de raiz quadrada.

Tente este exemplo por si mesmo:
Você conseguiu? Vamos ver o que você deve obter:

Bom trabalho! Você conseguiu inserir um número sob o sinal de raiz! Vamos passar para algo igualmente importante - considere como comparar números contendo uma raiz quadrada!

Comparação Raiz

Por que devemos aprender a comparar números que contêm uma raiz quadrada?

Muito simples. Muitas vezes, em expressões grandes e longas encontradas no exame, obtemos uma resposta irracional (você lembra o que é? Já falamos sobre isso hoje!)

Precisamos colocar as respostas recebidas na linha de coordenadas, por exemplo, para determinar qual intervalo é adequado para resolver a equação. E é aí que surge o empecilho: não tem calculadora na prova, e sem ela, como imaginar qual número é maior e qual é menor? É isso!

Por exemplo, determine qual é maior: ou?

Você não vai dizer logo de cara. Bem, vamos usar a propriedade parsed de adicionar um número sob o sinal de raiz?

Então avance:

Bem, obviamente, quanto maior o número sob o sinal da raiz, maior a própria raiz!

Aqueles. se significa.

A partir disso, concluímos firmemente que E ninguém vai nos convencer do contrário!

Extraindo raízes de grandes números

Antes introduzíamos um fator sob o signo da raiz, mas como retirá-lo? Você só precisa fatorar e extrair o que for extraído!

Foi possível ir por outro caminho e decompor em outros fatores:

Nada mal, certo? Qualquer uma dessas abordagens está correta, decida como você se sente confortável.

A fatoração é muito útil ao resolver tarefas fora do padrão como esta:

Não nos assustamos, agimos! Decompomos cada fator sob a raiz em fatores separados:

E agora tente você mesmo (sem calculadora! Não vai cair no exame):

Esse é o fim? Não paramos no meio do caminho!

Isso é tudo, não é tão assustador, certo?

Ocorrido? Muito bem, você está certo!

Agora tente este exemplo:

E um exemplo é um osso duro de roer, então você não pode descobrir imediatamente como abordá-lo. Mas nós, claro, estamos nos dentes.

Bem, vamos começar a fatorar, certo? Imediatamente, notamos que você pode dividir um número por (lembre-se dos sinais de divisibilidade):

E agora, tente você mesmo (novamente, sem calculadora!):

Bem, funcionou? Muito bem, você está certo!

Resumindo

1. A raiz quadrada (raiz quadrada aritmética) de um número não negativo é um número não negativo cujo quadrado é igual.
   .
2. Se apenas tirarmos a raiz quadrada de algo, sempre obteremos um resultado não negativo.
3. Propriedades da raiz aritmética:
4. Ao comparar raízes quadradas, deve-se lembrar que quanto maior o número sob o sinal da raiz, maior a própria raiz.

Como você gosta da raiz quadrada? Tudo limpo?

Tentamos explicar para você sem água tudo o que você precisa saber no exame sobre a raiz quadrada.

É sua vez. Escreva-nos se este tópico é difícil para você ou não.

Você aprendeu algo novo ou tudo já estava tão claro.

Escreva nos comentários e boa sorte nas provas!

A área de um terreno quadrado é de 81 dm². Encontre o lado dele. Suponha que o comprimento do lado do quadrado seja x decímetros. Então a área do terreno é x² decímetros quadrados. Como, de acordo com a condição, essa área é de 81 dm², então x² = 81. O comprimento do lado de um quadrado é um número positivo. Um número positivo cujo quadrado é 81 é o número 9. Ao resolver o problema, era necessário encontrar o número x, cujo quadrado é 81, ou seja, resolver a equação x² = 81. Esta equação tem duas raízes: x 1 = 9 e x 2 \u003d - 9, desde 9² \u003d 81 e (- 9)² \u003d 81. Ambos os números 9 e - 9 são chamados de raízes quadradas do número 81.

Note que uma das raízes quadradas x= 9 é um número positivo. É chamada de raiz quadrada aritmética de 81 e é denotada por √81, então √81 = 9.

Raiz quadrada aritmética de um número Aé um número não negativo cujo quadrado é igual a A.

Por exemplo, os números 6 e -6 são as raízes quadradas de 36. O número 6 é a raiz quadrada aritmética de 36, pois 6 é um número não negativo e 6² = 36. O número -6 não é uma raiz aritmética.

Raiz quadrada aritmética de um número A denotado da seguinte forma: √ A.

O sinal é chamado de sinal de raiz quadrada aritmética; Aé chamada de expressão raiz. Expressão √ A ler assim: a raiz quadrada aritmética de um número A. Por exemplo, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nos casos em que é claro que estamos falando de uma raiz aritmética, eles dizem brevemente: "a raiz quadrada de A«.

O ato de encontrar a raiz quadrada de um número é chamado de tirar a raiz quadrada. Esta ação é o inverso da quadratura.

Qualquer número pode ser elevado ao quadrado, mas nem todo número pode ser raiz quadrada. Por exemplo, é impossível extrair a raiz quadrada do número - 4. Se tal raiz existisse, denotando-a com a letra x, obteríamos a igualdade errada x² \u003d - 4, pois há um número não negativo à esquerda e um negativo à direita.

Expressão √ A só faz sentido quando a ≥ 0. A definição da raiz quadrada pode ser resumidamente escrita como: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Igualdade (√ A)² = A valido para a ≥ 0. Portanto, para garantir que a raiz quadrada de um número não negativo Aé igual a b, ou seja, que √ A =b, você precisa verificar se as duas condições a seguir são atendidas: b ≥ 0, b² = A.

A raiz quadrada de uma fração

Vamos calcular. Observe que √25 = 5, √36 = 6 e verifique se a igualdade é válida.

Porque e , então a igualdade é verdadeira. Então, .

Teorema: Se A≥ 0 e b> 0, ou seja, a raiz da fração é igual à raiz do numerador dividida pela raiz do denominador. É necessário provar que: e .

Desde √ A≥0 e √ b> 0, então .

Pela propriedade de elevar uma fração a uma potência e determinar a raiz quadrada o teorema está provado. Vejamos alguns exemplos.

Calcule , de acordo com o teorema comprovado .

Segundo exemplo: prove que , Se A ≤ 0, b < 0. .

Outro exemplo: Calcular .

.

Transformação de raiz quadrada

Tirando o multiplicador de baixo do signo da raiz. Seja dada uma expressão. Se A≥ 0 e b≥ 0, então pelo teorema da raiz do produto podemos escrever:

Essa transformação é chamada de fatoração do sinal de raiz. Considere um exemplo;

Calcular em x= 2. Substituição direta x= 2 na expressão radical leva a cálculos complicados. Esses cálculos podem ser simplificados se primeiro removermos os fatores sob o sinal de raiz: . Agora substituindo x = 2, obtemos:.

Assim, ao retirar o fator de baixo do sinal da raiz, a expressão do radical é representada como um produto no qual um ou mais fatores são os quadrados de números não negativos. O teorema do produto raiz é então aplicado e a raiz de cada fator é tomada. Considere um exemplo: Simplifique a expressão A = √8 + √18 - 4√2 retirando os fatores sob o sinal da raiz nos dois primeiros termos, obtemos:. Ressaltamos que a igualdade válido apenas quando A≥ 0 e b≥ 0. se A < 0, то .