Bracket multiplikation. Öppning av parentes: regler och exempel (Betyg 7)

Parenteser används för att ange i vilken ordning operationer utförs i numeriska och bokstavliga uttryck, såväl som i uttryck med variabler. Det är bekvämt att gå från ett uttryck med parenteser till ett identiskt lika uttryck utan parenteser. Denna teknik kallas parentesöppning.

Att utöka parenteser betyder att ta bort uttrycket av dessa parenteser.

En annan punkt förtjänar särskild uppmärksamhet, som gäller särdragen med skrivlösningar när man öppnar parenteser. Vi kan skriva det initiala uttrycket med parenteser och resultatet som erhålls efter att ha öppnat parenteser som likhet. Till exempel efter att ha öppnat parenteserna, istället för uttrycket
3−(5−7) får vi uttrycket 3−5+7. Vi kan skriva båda dessa uttryck som likheten 3−(5−7)=3−5+7.

Och en till viktig poäng. Inom matematiken är det vanligt att inte skriva ett plustecken om det är det första i ett uttryck eller inom parentes för att minska inmatningar. Om vi ​​till exempel lägger till två positiva tal, till exempel sju och tre, så skriver vi inte +7 + 3, utan helt enkelt 7 + 3, trots att sju också är Positivt nummer. På liknande sätt, om du till exempel ser uttrycket (5 + x) - vet att det finns ett plus framför parentesen, som inte är skrivet, och det finns ett plus + (+5 + x) framför fem.

Utvidgningsregel för fäste för tillägg

När du öppnar parentes, om det finns ett plus före parentes, så utelämnas detta plus tillsammans med parentes.

Exempel. Öppna parenteserna i uttrycket 2 + (7 + 3) Före parentesen plus, då ändras inte tecknen framför siffrorna inom parentes.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Regeln för att expandera parenteser vid subtrahering

Om det finns ett minus före parenteserna, så utelämnas detta minus tillsammans med parenteserna, men termerna som stod inom parentes ändrar sitt tecken till motsatsen. Frånvaron av ett tecken före den första termen inom parentes innebär ett +-tecken.

Exempel. Öppna parenteser i uttryck 2 − (7 + 3)

Det finns ett minus före parenteserna, så du måste ändra tecknen före siffrorna från parenteserna. Det finns inget tecken inom parentes före siffran 7, vilket betyder att sjuan är positiv, det anses att +-tecknet står framför det.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

När vi öppnar fästena tar vi bort minus från exemplet, som var före fästena, och själva fästena 2 − (+ 7 + 3), och ändrar tecknen som fanns i fästena till de motsatta.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Expandera parenteser vid multiplikation

Om det finns ett multiplikationstecken framför parenteserna multipliceras varje tal inom parentesen med faktorn framför parenteserna. Samtidigt ger multiplicering av ett minus med ett minus ett plus, och att multiplicera ett minus med ett plus, som att multiplicera ett plus med ett minus, ger ett minus.

Således utökas parenteser i produkter i enlighet med multiplikationens fördelningsegenskap.

Exempel. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

När man multiplicerar parentes med parentes, multipliceras varje term i den första parentesen med varje term i den andra parentesen.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Faktum är att det inte finns något behov av att komma ihåg alla regler, det räcker att bara komma ihåg en, den här: c(a−b)=ca−cb. Varför? För om vi ersätter en istället för c får vi regeln (a−b)=a−b. Och om vi ersätter minus ett får vi regeln −(a−b)=−a+b. Tja, om du ersätter en annan parentes istället för c, kan du få den sista regeln.

Utöka parenteser vid delning

Om det finns ett divisionstecken efter parenteserna är varje siffra inom parentesen delbart med divisorn efter parenteserna och vice versa.

Exempel. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Hur man utökar kapslade parenteser

Om uttrycket innehåller kapslade parenteser expanderas de i ordningsföljd, med början med extern eller intern.

Samtidigt, när du öppnar en av konsolerna, är det viktigt att inte röra de andra parenteserna, utan bara skriva om dem som de är.

Exempel. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Bland de olika uttryck som beaktas i algebra intar summor av monomialer en viktig plats. Här är exempel på sådana uttryck:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Summan av monomer kallas ett polynom. Termerna i ett polynom kallas medlemmar av polynomet. Mononom kallas också polynom, och betraktar ett mononom som ett polynom som består av en medlem.

Till exempel polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan förenklas.

Vi representerar alla termer i form av monomialer standardvy:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Vi ger liknande termer i det resulterande polynomet:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet är ett polynom, vars alla medlemmar är monomer av standardformen, och bland dem finns det inga liknande. Sådana polynom kallas polynom av standardform.

Bakom polynomgrad standardform ta den största av medlemmarnas befogenheter. Så binomialet \(12a^2b - 7b \) har den tredje graden, och trinomialet \(2b^2 -7b + 6 \) har den andra.

Vanligtvis är termerna för polynom av standardform som innehåller en variabel ordnade i fallande ordning av dess exponenter. Till exempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Summan av flera polynom kan omvandlas (förenklas) till ett standardpolynom.

Ibland måste medlemmarna i ett polynom delas in i grupper, och omsluta varje grupp inom parentes. Eftersom parentes är motsatsen till parentes är det lätt att formulera parentes öppna regler:

Om +-tecknet är placerat före hakparenteserna skrivs termerna inom parentes med samma tecken.

Om ett "-"-tecken placeras framför hakparenteserna, skrivs termerna inom parentes med motsatta tecken.

Transformation (förenkling) av produkten av ett monom och ett polynom

Med hjälp av multiplikationsfördelningsegenskapen kan man transformera (förenkla) produkten av ett monom och ett polynom till ett polynom. Till exempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produkten av ett monom och ett polynom är identiskt lika med summan av produkterna av detta monom och var och en av termerna för polynomet.

Detta resultat formuleras vanligtvis som en regel.

För att multiplicera ett monom med ett polynom måste man multiplicera detta monom med var och en av termerna i polynomet.

Vi har upprepade gånger använt denna regel för att multiplicera med en summa.

Produkten av polynom. Transformation (förenkling) av produkten av två polynom

I allmänhet är produkten av två polynom identiskt lika med summan av produkten av varje term av ett polynom och varje term av det andra.

Använd vanligtvis följande regel.

För att multiplicera ett polynom med ett polynom måste du multiplicera varje term i ett polynom med varje term i den andra och addera de resulterande produkterna.

Förkortade multiplikationsformler. Summa, differens och differenskvadrater

Vissa uttryck i algebraiska transformationer måste behandlas oftare än andra. De kanske vanligaste uttrycken är \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) och \(a^2 - b^2 \), det vill säga kvadraten på summan, kvadrat av skillnaden och kvadratskillnad. Du har märkt att namnen på dessa uttryck verkar vara ofullständiga, så till exempel är \((a + b)^2 \) naturligtvis inte bara kvadraten på summan, utan kvadraten på summan av a och b. Kvadraten på summan av a och b är dock inte så vanlig, i stället för bokstäverna a och b innehåller den som regel olika, ibland ganska komplexa uttryck.

Uttryck \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) är lätta att konvertera (förenkla) till polynom av standardformen, faktiskt har du redan fått en sådan uppgift när du multiplicerar polynom :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

De resulterande identiteterna är användbara att komma ihåg och tillämpa utan mellanliggande beräkningar. Korta verbala formuleringar hjälper detta.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadraten på summan är lika med summan av kvadraterna och dubbelprodukten.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadraten på skillnaden är summan av kvadraterna utan att dubbla produkten.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - skillnaden mellan kvadrater är lika med produkten av skillnaden och summan.

Dessa tre identiteter tillåter transformationer att byta ut sina vänstra delar med höger och vice versa - höger delar med vänstra. Det svåraste i det här fallet är att se motsvarande uttryck och förstå vad variablerna a och b ersätts i dem. Låt oss titta på några exempel på hur man använder förkortade multiplikationsformler.

Den delen av ekvationen är uttrycket inom parentes. För att öppna parenteser, titta på skylten framför parentesen. Om det finns ett plustecken kommer ingenting att ändras när du utökar parenteserna i uttrycksposten: ta bara bort parenteserna. Om det finns ett minustecken, när du öppnar parenteserna, är det nödvändigt att ändra alla tecken som initialt är inom parentes till de motsatta. Till exempel, -(2x-3)=-2x+3.

Multiplicera två parenteser.
Om ekvationen innehåller produkten av två parenteser, expandera parenteserna enligt standardregeln. Varje term i den första parentesen multipliceras med varje term i den andra parentesen. De resulterande siffrorna summeras. I det här fallet ger produkten av två "plus" eller två "minus" termen ett "plus"-tecken, och om faktorerna har olika tecken, då får den ett minustecken.
Överväga .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Genom att utöka parenteser, ibland höja ett uttryck till . Formlerna för kvadrering och kubering måste vara kända utantill och komma ihåg.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formler för att höja ett uttryck större än tre kan göras med hjälp av Pascals triangel.

Källor:

• öppningsformel för parentes

Matematiska operationer inom parentes kan innehålla variabler och uttryck av olika grad av komplexitet. För att multiplicera sådana uttryck måste man leta efter en lösning i allmän syn, utöka parenteserna och förenkla resultatet. Om parenteserna innehåller operationer utan variabler, endast med numeriska värden, är det inte nödvändigt att öppna parenteserna, eftersom om en dator är tillgänglig för dess användare finns mycket betydande beräkningsresurser tillgängliga - det är lättare att använda dem än att förenkla uttryck.

Instruktion

Multiplicera successivt varje (eller reducerat från) som finns inom en parentes med innehållet i alla andra parenteser om du vill få ett generellt resultat. Låt till exempel det ursprungliga uttrycket skrivas så här: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Sedan kommer successiv multiplikation (det vill säga utöka parenteserna) att ge följande resultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Förenkla efter resultatet genom att förkorta uttryck. Till exempel kan uttrycket som erhölls i föregående steg förenklas enligt följande: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Använd en miniräknare om du behöver multiplicera x är lika med 4,75, det vill säga (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). För att beräkna detta värde, gå till Googles eller Nigmas sökmotorwebbplats och ange uttrycket i frågefältet i dess ursprungliga form (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google kommer att visa 82.265625 direkt utan att trycka på en knapp, medan Nigma behöver skicka data till servern med en knapptryckning.

I den här lektionen kommer du att lära dig hur du omvandlar ett uttryck som innehåller parenteser till ett uttryck som inte innehåller parenteser. Du lär dig hur du öppnar parenteser som föregås av ett plustecken och ett minustecken. Vi kommer ihåg hur man öppnar parenteser med hjälp av den distributiva lagen för multiplikation. De övervägda exemplen gör det möjligt att koppla nytt och tidigare studerat material till en helhet.

Ämne: Ekvationslösning

Lektion: Utvidgning av parenteser

Hur man öppnar parenteser som föregås av ett "+"-tecken. Användning av den associativa lagen om addition.

Om du behöver lägga till summan av två tal till ett tal, kan du lägga till den första termen till detta tal och sedan den andra.

Till vänster om likhetstecknet är ett uttryck med parentes, och till höger är ett uttryck utan parentes. Detta innebär att när man passerade från vänster sida av jämlikheten till höger sida, öppnades parenteserna.

Tänk på exempel.

Exempel 1

Genom att utöka parenteserna ändrade vi ordningen på operationerna. Det har blivit bekvämare att räkna.

Exempel 2

Exempel 3

Observera att i alla tre exemplen tog vi helt enkelt bort parenteserna. Låt oss formulera regeln:

Kommentar.

Om den första termen inom parentes är osignerad, måste den skrivas med ett plustecken.

Du kan följa exemplet steg för steg. Lägg först till 445 till 889. Denna mentala handling kan utföras, men det är inte särskilt lätt. Låt oss öppna parenteserna och se att den ändrade operationsordningen kommer att förenkla beräkningarna avsevärt.

Om du följer den angivna ordningen på åtgärder måste du först subtrahera 345 från 512 och sedan lägga till 1345. Genom att utöka parenteserna kommer vi att ändra ordningen på åtgärderna och förenkla beräkningarna avsevärt.

Belysande exempel och regel.

Tänk på ett exempel: . Du kan hitta värdet på uttrycket genom att lägga till 2 och 5 och sedan ta det resulterande talet med motsatt tecken. Vi får -7.

Å andra sidan kan samma resultat erhållas genom att lägga till de motsatta talen.

Låt oss formulera regeln:

Exempel 1

Exempel 2

Regeln ändras inte om det inte finns två, utan tre eller fler termer inom parentes.

Exempel 3

Kommentar. Tecken vänds endast framför termerna.

För att öppna parenteser, det här fallet minns fördelningsegendomen.

Multiplicera först den första parentesen med 2 och den andra med 3.

Den första parentesen föregås av ett "+"-tecken, vilket betyder att tecknen måste lämnas oförändrade. Det andra föregås av ett "-"-tecken, därför måste alla tecken vändas om

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6:e klass. - Gymnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bakom sidorna i en lärobok i matematik. - Upplysningen, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Uppgifter för kursen matematik årskurs 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. En manual för elever i 6:e klass på MEPhI-korrespondensskolan. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematik: Interlocutor lärobok för årskurs 5-6 gymnasium. Bibliotek för läraren i matematik. - Upplysningen, 1989.

1. Matematikprov online ().
2. Du kan ladda ner de som anges i klausul 1.2. böcker().

Läxa

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (se länk 1.2)
2. Läxor: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
3. Övriga uppdrag: nr 1258(c), nr 1248

I den här artikeln kommer vi att i detalj överväga de grundläggande reglerna för ett så viktigt ämne i en matematikkurs som öppningsparenteser. Du måste känna till reglerna för att öppna parenteser för att korrekt lösa ekvationer där de används.

Hur man korrekt öppnar parenteser när man lägger till

Expandera parenteserna som föregås av "+"-tecknet

Detta är det enklaste fallet, för om det finns ett tilläggstecken framför fästena, när fästena öppnas, ändras inte tecknen inuti dem. Exempel:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Hur man öppnar parenteser som föregås av ett "-"-tecken

I det här fallet måste du skriva om alla termer utan parentes, men samtidigt ändra alla tecken inuti dem till de motsatta. Tecknen ändras endast för termerna från de parenteser som föregicks av "-"-tecknet. Exempel:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Hur man öppnar parentes när man multiplicerar

Parentesen föregås av en multiplikator

I det här fallet måste du multiplicera varje term med en faktor och öppna parenteserna utan att ändra tecken. Om multiplikatorn har tecknet "-", så vänds tecknen på termerna vid multiplicering. Exempel:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Hur man öppnar två parenteser med ett multiplikationstecken mellan dem

I det här fallet måste du multiplicera varje term från den första parentesen med varje term från den andra parentesen och sedan lägga till resultaten. Exempel:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Hur man öppnar parentes i en fyrkant

Om summan eller skillnaden av två termer är kvadratisk, ska parentesen utökas enligt följande formel:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

I fallet med ett minus inom parentesen ändras inte formeln. Exempel:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Hur man öppnar parenteser i en annan grad

Om summan eller skillnaden mellan termerna höjs, till exempel till 3:e eller 4:e potensen, behöver du bara dela upp parentesen i "rutor". Krafterna för samma faktorer adderas, och vid division subtraheras graden av divisor från graden av utdelning. Exempel:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Hur man öppnar 3 parentes

Det finns ekvationer där 3 parenteser multipliceras på en gång. I det här fallet måste du först multiplicera termerna i de två första parenteserna sinsemellan och sedan multiplicera summan av denna multiplikation med termerna i den tredje parentesen. Exempel:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Dessa parentesöppningsregler gäller lika för både linjära och trigonometriska ekvationer.