Hem › Motor › Invers trigonometrisk funktion derivatberäknare. Regler för beräkning av derivat

Invers trigonometrisk funktion derivatberäknare. Regler för beräkning av derivat

Derivatberäkningär en av de viktigaste operationerna i differentialkalkyl. Nedan finns en tabell för att hitta derivator av enkla funktioner. För mer komplexa differentieringsregler, se andra lektioner:

Tabell över derivator av exponential- och logaritmiska funktioner

Använd de givna formlerna som referensvärden. De kommer att hjälpa till att lösa differentialekvationer och problem. På bilden, i tabellen över derivator av enkla funktioner, finns ett "fuskblad" med de viktigaste fallen för att hitta derivatan i en form som är begriplig för användning, bredvid finns förklaringar för varje fall.

Derivater av enkla funktioner

1. Derivatan av ett tal är noll
с´ = 0
Exempel:
5' = 0

Förklaring:
Derivatan visar den hastighet med vilken värdet på funktionen ändras när argumentet ändras. Eftersom talet inte förändras på något sätt under några förhållanden, är ändringshastigheten alltid noll.

2. Derivat av en variabel lika med ett
x' = 1

Förklaring:
Med varje ökning av argumentet (x) med ett, ökar värdet på funktionen (beräkningsresultat) med samma belopp. Således är förändringshastigheten för värdet av funktionen y = x exakt lika med förändringshastigheten för argumentets värde.

3. Derivatan av en variabel och en faktor är lika med denna faktor
сx´ = с
Exempel:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Förklaring:
I det här fallet, varje gång funktionsargumentet ( X) dess värde (y) växer in Med en gång. Således är förändringshastigheten för funktionens värde med avseende på förändringshastigheten för argumentet exakt lika med värdet Med.

Varifrån följer det
(cx + b)" = c
det vill säga differentialen för den linjära funktionen y=kx+b är lika med lutningen på den räta linjen (k).

4. Moduloderivata av en variabelär lika med kvoten för denna variabel till dess modul
|x|"= x / |x| förutsatt att x ≠ 0
Förklaring:
Eftersom derivatan av variabeln (se formel 2) är lika med en, skiljer sig derivatan av modulen endast genom att värdet på funktionens förändringshastighet ändras till det motsatta när man korsar ursprungspunkten (försök att rita en graf av funktionen y = |x| och se själv. Detta är exakt värde och returnerar uttrycket x / |x| När x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vill säga, med negativa värden av variabeln x, med varje ökning av förändringen i argumentet, minskar värdet på funktionen med exakt samma värde, och med positiva värden, tvärtom, ökar det, men med exakt samma värde.

5. Potensderivata av en variabelär lika med produkten av talet av denna potens och variabeln i potensen, reducerad med en
(x c)"= cx c-1, förutsatt att xc och cx c-1 är definierade och c ≠ 0
Exempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Att memorera formeln:
Ta exponenten för variabeln "ner" som en multiplikator och minska sedan själva exponenten med en. Till exempel, för x 2 - två var före x, och sedan gav den reducerade effekten (2-1 = 1) oss bara 2x. Samma sak hände för x 3 - vi sänker trippeln, minskar den med en och istället för en kub har vi en kvadrat, det vill säga 3x 2 . Lite "ovetenskapligt", men väldigt lätt att komma ihåg.

6.Bråkderivat 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exempel:
Eftersom en bråkdel kan representeras som en höjning till en negativ potens
(1/x)" = (x -1)", då kan du tillämpa formeln från regel 5 i derivattabellen
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Bråkderivat med en variabel av godtycklig grad i nämnaren
(1/x c)" = - c/x c+1
Exempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. rotderivat(derivata av variabel under kvadratroten)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Exempel:
(√x)" = (x 1/2)" så att du kan tillämpa formeln från regel 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivat av en variabel under en rot av en godtycklig grad
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Ansökan

Lösningen av derivatet till webbplatsen för att konsolidera materialet som täcks av studenter och skolbarn. Att beräkna derivatan av en funktion på några sekunder är inte svårt om du använder vår onlinetjänst för problemlösning. Var tredje student kommer att kunna ge en detaljerad analys för en grundlig studie i en praktisk lektion. Ofta kontaktas vi av avdelningen för den relevanta avdelningen för främjande av matematik i landets utbildningsinstitutioner. Hur, i det här fallet, för att inte tala om lösningen av derivatan online för ett slutet utrymme av numeriska sekvenser. Många rika individer får uttrycka sin förvirring. Men under tiden sitter inte matematiker stilla och jobbar hårt. Ändringen av ingångsparametrar enligt linjära egenskaper kommer att accepteras av derivatberäknaren, huvudsakligen på grund av det högsta av de fallande kubernas positioner. Resultatet är oundvikligt som yta. Som initial data eliminerar onlinederivatan behovet av att vidta onödiga åtgärder. Förutom fiktiva läxor. Förutom att lösa derivat online är en nödvändig och viktig aspekt av att lära sig matematik, minns eleverna ofta inte tidigare problem. Eleven, som en lat varelse, förstår detta. Men studenter är roliga människor! Antingen gör det enligt reglerna, eller så kan derivatan av funktionen i ett lutande plan ge acceleration till en materialpunkt. Låt oss rikta vektorn för den fallande spatialstrålen någonstans. I det önskade svaret verkar att hitta derivatan vara en abstrakt teoretisk riktning på grund av det matematiska systemets instabilitet. Tänk på ett förhållande mellan siffror som en sekvens av oanvända alternativ. Kommunikationskanalen fylldes på med den femte linjen längs den nedåtgående vektorn från punkten för kubens stängda bifurkation. På planet av böjda utrymmen leder lösandet av derivatan online oss till en slutsats som fick de största hjärnorna på planeten att tänka under förra seklet. Under händelseförloppet från matematikområdet togs fem fundamentalt viktiga faktorer som bidrar till att förbättra positionen för valet av en variabel för den offentliga diskussionen. Så lagen för poäng säger att onlinederivatan inte beräknas i detalj i alla fall, bara ett lojalt framskridande ögonblick kan vara ett undantag. Prognosen förde oss till en ny omgång av utveckling. Vi behöver ett resultat. I linjen för den matematiska lutningen som passerar under ytan, är räknaren för lägesderivaten i området för skärningspunkten mellan produkterna på böjningssetet. Det återstår att analysera differentieringen av funktionen vid dess oberoende punkt nära epsilon-kvarteret. Detta kan alla se i praktiken. Som ett resultat kommer det att finnas något att besluta om i nästa steg av programmeringen. Studenten behöver som alltid onlinederivatan, oavsett vilka imaginära studier som utövas. Det visar sig att onlinelösningen av derivatfunktionen multiplicerad med en konstant inte ändrar den allmänna rörelseriktningen för materialpunkten, utan karakteriserar hastighetsökningen i en rak linje. I denna mening kommer det att vara användbart att använda vår derivatkalkylator och beräkna alla värden för en funktion på hela uppsättningen av dess definition. Det finns helt enkelt inget behov av att studera gravitationsfältets kraftvågor. I inget fall kommer online-derivatlösningen att visa lutningen på den utgående strålen, men endast i sällsynta fall, när det verkligen är nödvändigt, kan universitetsstudenter föreställa sig detta. Vi utreder rektorn. Värdet på den minsta rotorn är förutsägbart. Tillämpa på resultatet linjerna som ser till höger, längs vilka bollen beskrivs, men online-kalkylatorn för derivat är grunden för siffror av speciell styrka och icke-linjärt beroende. Matematikprojektets rapport är klar. Personliga egenskaper skillnaden mellan de minsta talen och derivatan av funktionen längs y-axeln kommer att höja konkaviteten för samma funktion. Det finns en riktning - det finns en slutsats. Det är lättare att omsätta teori i praktiken. Det finns ett förslag från studenter om tidpunkten för studiestart. Behöver en lärares svar. Återigen, som i föregående position, regleras inte det matematiska systemet på basis av en åtgärd som hjälper till att hitta derivatan. Liksom den lägre halvlinjära versionen kommer onlinederivatan att i detalj indikera identifieringen av lösningen enligt degenererad villkorlig lag. Lägg bara fram idén om att beräkna formler. Linjär differentiering av en funktion avvisar sanningen i lösningen genom att helt enkelt lägga ut irrelevanta positiva variationer. Betydelsen av jämförelsetecknen kommer att betraktas som ett kontinuerligt brott av funktionen längs axeln. Detta är vikten av den mest medvetna slutsatsen, enligt studenten, där onlinederivatan är något annat än ett lojalt exempel på matematisk analys. Radien för en krökt cirkel i det euklidiska rymden gav tvärtom räknaren för derivator en naturlig representation av utbytet av avgörande problem för stabilitet. Den bästa metoden har hittats. Det var lättare att höja uppgiften i nivå. Låt tillämpligheten av den oberoende skillnadsproportionen leda till lösningen av derivaten online. Lösningen roterar runt x-axeln och beskriver figuren av en cirkel. Det finns en utväg, och den bygger på forskning som teoretiskt stöds av universitetsstudenter, som alla lär sig av, och även i dessa ögonblick finns det en derivata av funktionen. Vi hittade ett sätt för framsteg och eleverna bekräftade det. Vi har råd att hitta derivatan utan att gå längre än ett onaturligt tillvägagångssätt för att transformera det matematiska systemet. Det vänstra proportionella tecknet växer exponentiellt som den matematiska representationen av online-derivatberäknaren på grund av den okända omständigheten för linjära faktorer på den oändliga y-axeln. Matematiker över hela världen har bevisat produktionsprocessens exklusivitet. Det finns en minsta kvadrat inuti en cirkel enligt beskrivningen av teorin. Återigen kommer onlinederivatan att utveckla vår gissning om vad som kan ha påverkat den teoretiskt förfinade åsikten i första hand. Det fanns åsikter av en annan karaktär än den rapport vi analyserade. Separat uppmärksamhet kanske inte händer för studenter vid våra fakulteter, men bara inte för smarta och avancerade matematiker där differentieringen av en funktion bara är en ursäkt. Den mekaniska betydelsen av derivatan är mycket enkel. Lyftkraften beräknas som en onlinederivata för de nedåtlutande stadiga utrymmena i tid. Uppenbarligen är derivatberäknaren en rigorös process för att beskriva problemet med degenerationen av en artificiell transformation som en amorf kropp. Den första derivatan talar om en förändring i en materiell punkts rörelse. Tredimensionellt utrymme observeras uppenbarligen i samband med specialutbildade tekniker för att lösa derivator online, i själva verket är det i varje kollokvium om ämnet matematisk disciplin. Den andra derivatan kännetecknar förändringen i hastigheten för en materialpunkt och bestämmer accelerationen. Meridianmetoden baserad på användningen av en affin transformation tar derivatan av en funktion vid en punkt från definitionsdomänen för denna funktion till en ny nivå. En online-kalkylator för derivator kan inte vara utan siffror och symbolisk notation i vissa fall vid rätt exekverbart ögonblick, med undantag för det transformerbara arrangemanget av saker i uppgiften. Överraskande nog finns det en andra acceleration av en materialpunkt, detta kännetecknar förändringen i acceleration. Inom en kort tid kommer vi att börja studera lösningen av derivatan online, men så fort en viss milstolpe i kunskap nås kommer vår student att stoppa denna process. Det bästa sättet att nätverka är att chatta live om ett matematiskt ämne. Det finns principer som inte under några omständigheter får brytas, oavsett hur svår uppgiften är. Det är användbart att hitta derivatan online i tid och utan fel. Detta kommer att leda till en ny position av det matematiska uttrycket. Systemet är stabilt. Den fysiska betydelsen av derivatan är inte lika populär som den mekaniska. Det är osannolikt att någon kommer ihåg hur onlinederivatan i detalj på planet tog fram konturen av funktionens linjer till normalen från triangeln intill x-axeln. Människan förtjänar en stor roll i förra seklets forskning. Låt oss i tre elementära steg utföra differentieringen av funktionen i punkter, både från definitionsområdet och i oändligheten. Kommer att vara skriftlig bara inom studieområdet, men kan ta platsen för huvudvektorn i matematik och talteori, så snart det som händer kommer att koppla online-derivatkalkylatorn till problemet. Det skulle finnas en anledning, men det kommer att finnas en anledning att göra en ekvation. Det är mycket viktigt att ha i åtanke alla ingångsparametrar. Det bästa tas inte alltid rakt på sak, bakom detta ligger en kolossal mängd arbete av de bästa hjärnorna som visste hur onlinederivatan beräknas i rymden. Sedan dess har konvexitet ansetts vara en egenskap hos en kontinuerlig funktion. Ändå är det bättre att först sätta uppgiften att lösa derivat online på kortast möjliga tid. Därmed blir lösningen komplett. Utöver de ouppfyllda normerna anses detta inte vara tillräckligt. Inledningsvis föreslår nästan varje elev att lägga fram en enkel metod om hur derivatan av en funktion orsakar en kontroversiell tillväxtalgoritm. I riktning mot den stigande strålen. Detta är vettigt som en allmän ståndpunkt. Tidigare markerade de början på fullbordandet av en specifik matematisk handling, men idag blir det tvärtom. Kanske kommer lösningen av derivatan online att ta upp frågan igen och vi kommer att acceptera en gemensam åsikt om dess bevarande vid diskussionen om lärarmötet. Vi hoppas på förståelse från alla sidor av mötesdeltagarna. Den logiska innebörden finns i beskrivningen av kalkylatorn för derivator i resonansen av siffror om sekvensen av presentationen av tanken på problemet, som besvarades under förra seklet av världens stora forskare. Det kommer att hjälpa till att extrahera en komplex variabel från det konverterade uttrycket och hitta derivatan online för att utföra en massiv åtgärd av samma typ. Sanningen är mycket bättre än gissningar. Det minsta värdet i trenden. Resultatet kommer inte att vänta på sig när man använder en unik tjänst för den mest exakta platsen, för vilken det finns en onlinederivata i detalj. Indirekt, men rakt på sak, som en vis man sa, skapades en online-derivatkalkylator på begäran av många studenter från olika städer i förbundet. Om det är skillnad, varför bestämma sig två gånger. Den givna vektorn ligger på samma sida som normalen. I mitten av förra seklet uppfattades inte differentieringen av en funktion som idag. Tack vare den pågående utvecklingen har onlinematematik dykt upp. Med tiden glömmer eleverna att ge kredit åt matematiska discipliner. Lösningen av derivatan online kommer att utmana vår avhandling, med rätta baserad på tillämpning av teori, stödd av praktisk kunskap. Kommer att gå utöver det befintliga värdet av presentationsfaktorn och skriva formeln i en explicit form för funktionen. Det händer att du behöver hitta derivatan online just nu utan att använda någon miniräknare, men du kan alltid ta till studentens trick och fortfarande använda en sådan tjänst som en webbplats. Därmed kommer eleven att spara mycket tid på att kopiera exempel från ett utkast till anteckningsbok till en slutlig form. Om det inte finns några motsägelser, använd sedan steg-för-steg-lösningstjänsten för sådana komplexa exempel.

Definition. Låt funktionen $y = f(x) $ definieras i något intervall som innehåller punkten $x_0 $ inuti. Låt oss öka $\Delta x $ till argumentet för att inte lämna detta intervall. Hitta motsvarande ökning av funktionen $\Delta y $ (när man går från punkten $x_0 $ till punkten $x_0 + \Delta x $) och komponera relationen $\frac(\Delta y) )(\Delta x) $. Om det finns en gräns för denna relation vid $\Delta x \högerpil 0 $, anropas den angivna gränsen derivatfunktion$y=f(x) $ vid punkten $x_0 $ och beteckna $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolen y används ofta för att beteckna derivatan. Observera att y" = f(x) är en ny funktion, men naturligt förknippad med funktionen y = f(x), definierad vid alla punkter x där ovanstående gräns finns . Denna funktion kallas så här: derivata av funktionen y \u003d f (x).

Den geometriska betydelsen av derivatan består av följande. Om en tangent som inte är parallell med y-axeln kan dras till grafen för funktionen y \u003d f (x) i en punkt med abskissan x \u003d a, då uttrycker f (a) lutningen på tangenten:
$k = f"(a)$

Eftersom $k = tg(a) $, är likheten $f"(a) = tg(a) $ sann.

Och nu tolkar vi definitionen av derivatan i termer av ungefärliga likheter. Låt funktionen $y = f(x) $ ha en derivata vid en viss punkt $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Detta betyder att nära punkten x, den ungefärliga likheten $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, dvs. $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Den meningsfulla innebörden av den erhållna ungefärliga likheten är som följer: ökningen av funktionen är "nästan proportionell" mot ökningen av argumentet, och proportionalitetskoefficienten är värdet av derivatan vid en given punkt x. Till exempel, för funktionen $y = x^2 $ är den ungefärliga likheten $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ giltig. Om vi noggrant analyserar definitionen av derivatan kommer vi att finna att den innehåller en algoritm för att hitta den.

Låt oss formulera det.

Hur hittar man derivatan av funktionen y \u003d f (x) ?

1. Fixa värdet $x $, hitta $f(x) $
2. Öka $x $ argument $\Delta x $, flytta till en ny punkt $x+ \Delta x $, hitta $f(x+ \Delta x) $
3. Hitta funktionsökningen: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Komponera relationen $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Beräkna $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denna gräns är derivatan av funktionen vid x.

Om funktionen y = f(x) har en derivata i punkten x, så kallas den differentierbar i punkten x. Proceduren för att hitta derivatan av funktionen y \u003d f (x) anropas differentiering funktioner y = f(x).

Låt oss diskutera följande fråga: hur är kontinuiteten och differentierbarheten för en funktion vid en punkt relaterade?

Låt funktionen y = f(x) vara differentierbar i punkten x. Sedan kan en tangent ritas till grafen för funktionen i punkten M (x; f (x)) och, kom ihåg, lutningen på tangenten är lika med f "(x). En sådan graf kan inte "bryta" vid punkten M, dvs funktionen måste vara kontinuerlig vid x.

Det var resonemang "på fingrarna". Låt oss presentera ett mer rigoröst argument. Om funktionen y = f(x) är differentierbar i punkten x, så gäller den ungefärliga likheten $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ noll, sedan $\Delta y $ ) kommer också att tendera till noll, och detta är villkoret för kontinuiteten för funktionen vid en punkt.

Så, om en funktion är differentierbar vid en punkt x, så är den också kontinuerlig vid den punkten.

Det omvända är inte sant. Till exempel: funktion y = |x| är kontinuerlig överallt, i synnerhet i punkten x = 0, men tangenten till grafen för funktionen i "fogpunkten" (0; 0) existerar inte. Om det någon gång är omöjligt att dra en tangent till funktionsgrafen, så finns det ingen derivata vid denna punkt.

Ännu ett exempel. Funktionen $y=\sqrt(x) $ är kontinuerlig på hela tallinjen, inklusive i punkten x = 0. Och tangenten till grafen för funktionen finns i vilken punkt som helst, inklusive i punkten x = 0 Men vid denna punkt sammanfaller tangenten med y-axeln, det vill säga den är vinkelrät mot abskissaxeln, dess ekvation har formen x \u003d 0. Det finns ingen lutning för en sådan rät linje, vilket betyder att \ ( f "(0) \) finns inte heller

Så vi bekantade oss med en ny egenskap hos en funktion - differentierbarhet. Hur kan du avgöra om en funktion är differentierbar från grafen för en funktion?

Svaret ges faktiskt ovan. Om vid någon punkt en tangent kan dras till grafen för en funktion som inte är vinkelrät mot x-axeln, så är funktionen vid denna punkt differentierbar. Om tangenten till grafen för funktionen vid någon tidpunkt inte existerar eller den är vinkelrät mot x-axeln, så är funktionen vid denna punkt inte differentierbar.

Differentieringsregler

Operationen att hitta derivatan kallas differentiering. När du utför denna operation måste du ofta arbeta med kvoter, summor, produkter av funktioner, samt med "funktioner av funktioner", det vill säga komplexa funktioner. Utifrån definitionen av derivatan kan vi härleda differentieringsregler som underlättar detta arbete. Om C är ett konstant tal och f=f(x), g=g(x) är några differentierbara funktioner, då är följande sant differentieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sammansatt funktionsderivata:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabell över derivator av vissa funktioner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Första nivån

Funktionsderivata. Omfattande guide (2019)

Föreställ dig en rak väg som går genom ett kuperat område. Det vill säga att den går upp och ner, men svänger inte åt höger eller vänster. Om axeln är riktad horisontellt längs vägen och vertikalt, kommer väglinjen att vara mycket lik grafen för någon kontinuerlig funktion:

Axeln är en viss nivå av nollhöjd, i livet använder vi havsnivån som den.

När vi går framåt längs en sådan väg rör vi oss också upp eller ner. Vi kan också säga: när argumentet ändras (flyttar sig längs abskissaxeln), ändras värdet på funktionen (flyttar sig längs ordinataaxeln). Låt oss nu tänka på hur man bestämmer "brantheten" på vår väg? Vad kan detta värde vara? Mycket enkelt: hur mycket kommer höjden att förändras när man rör sig framåt en viss sträcka. Faktum är att på olika delar av vägen, när vi rör oss framåt (längs abskissan) en kilometer, kommer vi att stiga eller falla ett annat antal meter i förhållande till havsnivån (längs ordinatan).

Vi betecknar framsteg framåt (läs "delta x").

Den grekiska bokstaven (delta) används ofta i matematik som ett prefix som betyder "förändring". Det vill säga - detta är en förändring i storlek, - en förändring; vad är det då? Just det, en förändring i storlek.

Viktigt: uttrycket är en enda enhet, en variabel. Du ska aldrig riva av "delta" från "x" eller någon annan bokstav! Det vill säga till exempel.

Så vi har gått framåt, horisontellt, vidare. Om vi jämför vägens linje med grafen för en funktion, hur betecknar vi då stigningen? Visst, . Det vill säga, när vi går framåt stiger vi högre på.

Det är lätt att beräkna värdet: om vi i början var på en höjd och efter att ha flyttat var vi på en höjd, då. Om slutpunkten visade sig vara lägre än startpunkten blir den negativ - det betyder att vi inte stiger, utan går ner.

Tillbaka till "branthet": detta är ett värde som indikerar hur mycket (brantt) höjden ökar när man rör sig framåt per enhetssträcka:

Antag att på någon del av stigen, när man går fram med km, stiger vägen upp med km. Då är brantheten på denna plats lika stor. Och om vägen, när den gick fram med m, sjönk med km? Då är lutningen lika stor.

Tänk nu på toppen av en kulle. Om du tar början av avsnittet en halv kilometer till toppen och slutet - en halv kilometer efter det, kan du se att höjden är nästan densamma.

Det vill säga, enligt vår logik visar det sig att lutningen här är nästan lika med noll, vilket helt klart inte är sant. Mycket kan förändras bara några mil bort. Mindre områden måste övervägas för en mer adekvat och korrekt uppskattning av brantheten. Om du till exempel mäter höjdförändringen när du flyttar en meter blir resultatet mycket mer exakt. Men även denna noggrannhet kanske inte räcker för oss - trots allt, om det finns en stolpe mitt på vägen kan vi helt enkelt glida igenom den. Vilket avstånd ska vi välja då? Centimeter? Millimeter? Mindre är bättre!

I verkligheten är det mer än tillräckligt att mäta avstånd till närmaste millimeter. Men matematiker strävar alltid efter perfektion. Därför var konceptet oändligt liten, det vill säga modulovärdet är mindre än något tal som vi kan namnge. Till exempel säger du: en biljondel! Hur mycket mindre? Och du dividerar detta tal med - och det blir ännu mindre. Och så vidare. Om vi vill skriva att värdet är oändligt litet så skriver vi så här: (vi läser "x tenderar till noll"). Det är väldigt viktigt att förstå att detta tal inte är lika med noll! Men väldigt nära det. Det betyder att den kan delas upp i.

Begreppet motsats till oändligt litet är oändligt stort (). Du har förmodligen redan stött på det när du arbetade med ojämlikheter: det här talet är större i modul än något tal du kan tänka dig. Om du kommer fram till största möjliga antal, multiplicera det bara med två och du får ännu mer. Och oändligheten är ännu mer än vad som händer. Faktum är att oändligt stora och oändligt små är omvända till varandra, det vill säga vid, och vice versa: vid.

Nu tillbaka till vår väg. Den idealiskt beräknade lutningen är lutningen som beräknas för ett oändligt litet segment av banan, det vill säga:

Jag noterar att med en oändligt liten förskjutning blir höjdförändringen också oändligt liten. Men låt mig påminna dig om att oändligt liten inte betyder lika med noll. Om man delar infinitesimala tal med varandra kan man få ett helt vanligt tal, till exempel. Det vill säga att ett litet värde kan vara exakt dubbelt så stort som ett annat.

Varför allt detta? Vägen, brantheten ... Vi ska inte på något rally, utan vi lär oss matematik. Och i matematik är allt exakt detsamma, bara kallat annorlunda.

Konceptet med ett derivat

Derivatan av en funktion är förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet vid en oändlig ökning av argumentet.

Ökning i matematik kallas förändring. Hur mycket argumentet () har förändrats när man rör sig längs axeln kallas argumentökning och betecknas med hur mycket funktionen (höjden) har förändrats när man rör sig framåt längs axeln med ett avstånd kallas funktionsökning och är markerad.

Så, derivatan av en funktion är relationen till när. Vi betecknar derivatan med samma bokstav som funktionen, endast med ett streck uppifrån till höger: eller helt enkelt. Så låt oss skriva derivatformeln med dessa notationer:

Som i analogin med vägen, här, när funktionen ökar, är derivatan positiv, och när den minskar är den negativ.

Men är derivatan lika med noll? Säkert. Om vi till exempel kör på en plan horisontell väg är brantheten noll. Höjden förändras faktiskt inte alls. Så med derivatan: derivatan av en konstant funktion (konstant) är lika med noll:

eftersom ökningen av en sådan funktion är noll för någon.

Låt oss ta exemplet på en kulle. Det visade sig att det var möjligt att arrangera segmentets ändar på motsatta sidor av vertexet på ett sådant sätt att höjden vid ändarna visar sig vara densamma, det vill säga segmentet är parallellt med axeln:

Men stora segment är ett tecken på felaktig mätning. Vi kommer att höja vårt segment parallellt med sig självt, sedan kommer dess längd att minska.

I slutändan, när vi är oändligt nära toppen, kommer längden på segmentet att bli oändligt liten. Men samtidigt förblev den parallell med axeln, det vill säga höjdskillnaden vid dess ändar är lika med noll (tenderar inte, men är lika med). Så derivatan

Detta kan förstås på följande sätt: när vi står allra högst upp ändrar en liten förskjutning till vänster eller höger vår höjd försumbart.

Det finns också en rent algebraisk förklaring: till vänster om toppen ökar funktionen och till höger minskar den. Som vi redan har upptäckt tidigare, när funktionen ökar är derivatan positiv och när den minskar är den negativ. Men det ändras smidigt, utan hopp (eftersom vägen inte ändrar sin lutning kraftigt någonstans). Därför måste det finnas mellan negativa och positiva värden. Det kommer att vara där funktionen varken ökar eller minskar - i vertexpunkten.

Detsamma gäller för dalen (området där funktionen minskar till vänster och ökar till höger):

Lite mer om inkrement.

Så vi ändrar argumentet till ett värde. Vi ändrar från vilket värde? Vad har han (argument) nu blivit? Vi kan välja vilken punkt som helst, och nu ska vi dansa från den.

Betrakta en punkt med en koordinat. Värdet på funktionen i den är lika. Sedan gör vi samma steg: öka koordinaten med. Vad är argumentet nu? Väldigt lätt: . Vad är värdet på funktionen nu? Där argumentet går, går funktionen dit: . Hur är det med funktionsökning? Inget nytt: detta är fortfarande det belopp som funktionen har ändrats med:

Öva på att hitta steg:

Hitta ökningen av funktionen vid en punkt med en ökning av argumentet lika med.
Samma sak för en funktion vid en punkt.

Lösningar:

Vid olika punkter, med samma ökning av argumentet, kommer ökningen av funktionen att vara olika. Det betyder att derivatan vid varje punkt har sin egen (vi diskuterade detta i början - vägens branthet vid olika punkter är olika). Därför, när vi skriver en derivata, måste vi ange vid vilken tidpunkt:

Power funktion.

En potensfunktion kallas en funktion där argumentet till viss del är (logiskt, eller hur?).

Och - i någon mån: .

Det enklaste fallet är när exponenten är:

Låt oss hitta dess derivata vid en punkt. Kom ihåg definitionen av en derivata:

Så argumentet ändras från till. Vad är funktionsökningen?

Ökning är. Men funktionen när som helst är lika med dess argument. Det är därför:

Derivaten är:

Derivaten av är:

b) Betrakta nu den kvadratiska funktionen (): .

Låt oss komma ihåg det nu. Detta innebär att värdet på ökningen kan försummas, eftersom det är oändligt litet och därför obetydligt mot bakgrund av en annan term:

Så vi har en annan regel:

c) Vi fortsätter den logiska serien: .

Detta uttryck kan förenklas på olika sätt: öppna den första parentesen med formeln för förkortad multiplikation av summans kub, eller dekomponera hela uttrycket i faktorer med hjälp av formeln för skillnaden mellan kuber. Försök att göra det själv på något av de föreslagna sätten.

Så jag fick följande:

Och låt oss komma ihåg det igen. Detta innebär att vi kan försumma alla termer som innehåller:

Vi får: .

d) Liknande regler kan erhållas för stora krafter:

e) Det visar sig att denna regel kan generaliseras för en potensfunktion med en godtycklig exponent, inte ens ett heltal:

(2)

Du kan formulera regeln med orden: "graden flyttas fram som en koefficient och minskar sedan med".

Vi kommer att bevisa denna regel senare (nästan i slutet). Låt oss nu titta på några exempel. Hitta derivatan av funktioner:

(på två sätt: genom formeln och med definitionen av derivatan - genom att räkna ökningen av funktionen);

. Tro det eller ej, det här är en kraftfunktion. Om du har frågor som "Hur är det? Och var är graden?", Kom ihåg ämnet" "!
Ja, ja, roten är också en grad, bara en bråkdel:.
Så vår kvadratrot är bara en potens med en exponent:
.
Vi letar efter derivatan med den nyligen lärda formeln:
Om det vid denna tidpunkt blev oklart igen, upprepa ämnet "" !!! (ungefär en grad med en negativ indikator)
. Nu exponenten:
Och nu genom definitionen (har du glömt ännu?):
;
.
Nu, som vanligt, försummar vi termen som innehåller:
.
. Kombination av tidigare fall: .

trigonometriska funktioner.

Här kommer vi att använda ett faktum från högre matematik:

När uttryck.

Du kommer att lära dig beviset under det första året på institutet (och för att komma dit måste du klara provet väl). Nu ska jag bara visa det grafiskt:

Vi ser att när funktionen inte finns - punkten på grafen punkteras. Men ju närmare värdet, desto närmare är funktionen. Detta är själva "strävar".

Dessutom kan du kontrollera denna regel med en miniräknare. Ja, ja, var inte blyg, ta en miniräknare, vi är inte på provet än.

Låt oss försöka: ;

Glöm inte att växla räknaren till Radians-läge!

etc. Vi ser att ju mindre, desto närmare värdet på förhållandet.

a) Betrakta en funktion. Som vanligt finner vi dess ökning:

Låt oss göra skillnaden mellan sinus till en produkt. För att göra detta använder vi formeln (kom ihåg ämnet ""):.

Nu derivatan:

Låt oss göra ett byte: . Sedan, för oändligt liten, är den också oändligt liten: . Uttrycket för tar formen:

Och nu minns vi det där med uttrycket. Och också, tänk om ett oändligt litet värde kan försummas i summan (det vill säga vid).

Så vi får följande regel: derivatan av sinus är lika med cosinus:

Dessa är grundläggande ("tabell") derivat. Här är de i en lista:

Senare kommer vi att lägga till några fler till dem, men dessa är de viktigaste, eftersom de används oftast.

Öva:

Hitta derivatan av en funktion vid en punkt;
Hitta derivatan av funktionen.

Lösningar:

Först hittar vi derivatan i en allmän form, och sedan ersätter vi dess värde istället:
;
.
Här har vi något som liknar en effektfunktion. Låt oss försöka ta henne till
normal vy:
.
Ok, nu kan du använda formeln:
.
.
. Eeeeeee….. Vad är det????

Okej, du har rätt, vi vet fortfarande inte hur man hittar sådana derivat. Här har vi en kombination av flera typer av funktioner. För att arbeta med dem måste du lära dig några fler regler:

Exponent och naturlig logaritm.

Det finns en sådan funktion i matematik, vars derivata för någon är lika med värdet av själva funktionen för densamma. Det kallas "exponent" och är en exponentiell funktion

Basen för denna funktion - en konstant - är ett oändligt decimaltal, det vill säga ett irrationellt tal (som t.ex.). Det kallas "Euler-numret", varför det betecknas med en bokstav.

Så regeln är:

Det är väldigt lätt att komma ihåg.

Tja, vi kommer inte att gå långt, vi kommer omedelbart att överväga den omvända funktionen. Vad är inversen av exponentialfunktionen? Logaritm:

I vårt fall är basen ett tal:

En sådan logaritm (det vill säga en logaritm med en bas) kallas "naturlig" och vi använder en speciell notation för den: vi skriver istället.

Vad är lika med? Självklart, .

Derivatan av den naturliga logaritmen är också mycket enkel:

Exempel:

Hitta derivatan av funktionen.
Vad är derivatan av funktionen?

Svar: Exponenten och den naturliga logaritmen är funktioner som är unikt enkla när det gäller derivatan. Exponentiella och logaritmiska funktioner med vilken annan bas som helst kommer att ha en annan derivata, som vi kommer att analysera senare, efter att vi har gått igenom reglerna för differentiering.

Differentieringsregler

Vilka regler? Ännu en ny mandatperiod, igen?!...

Differentieringär processen att hitta derivatan.

Bara och allt. Vad är ett annat ord för denna process? Inte proizvodnovanie... Matematikens differential kallas själva inkrementet av funktionen vid. Denna term kommer från latinets differentia - skillnad. Här.

När vi härleder alla dessa regler kommer vi att använda två funktioner, till exempel och. Vi kommer också att behöva formler för deras inkrement:

Det finns 5 regler totalt.

Konstanten tas ur derivatans tecken.

Om - något konstant tal (konstant), då.

Uppenbarligen fungerar denna regel också för skillnaden: .

Låt oss bevisa det. Låt, eller lättare.

Exempel.

Hitta derivator av funktioner:

vid punkten;
vid punkten;
vid punkten;
vid punkten.

Lösningar:

(derivatan är densamma på alla punkter, eftersom det är en linjär funktion, minns du?);

Derivat av en produkt

Allt är liknande här: vi introducerar en ny funktion och hittar dess inkrement:

Derivat:

Exempel:

Hitta derivator av funktioner och;
Hitta derivatan av en funktion vid en punkt.

Lösningar:

Derivat av exponentiell funktion

Nu räcker dina kunskaper för att lära dig hur man hittar derivatan av valfri exponentialfunktion, och inte bara exponenten (har du glömt vad det är ännu?).

Så var är någon siffra.

Vi känner redan till derivatan av funktionen, så låt oss försöka ta vår funktion till en ny bas:

För att göra detta använder vi en enkel regel: . Sedan:

Tja, det fungerade. Försök nu att hitta derivatan, och glöm inte att denna funktion är komplex.

Hände?

Här, kontrollera dig själv:

Formeln visade sig vara mycket lik exponentens derivata: som den var, kvarstår det bara en faktor som bara är ett tal, men inte en variabel.

Exempel:
Hitta derivator av funktioner:

Svar:

Det här är bara ett tal som inte kan beräknas utan en miniräknare, det vill säga det kan inte skrivas i en enklare form. Därför lämnas det i svaret i denna form.

Derivat av en logaritmisk funktion

Här är det liknande: du känner redan till derivatan av den naturliga logaritmen:

Därför, för att hitta en godtycklig från logaritmen med en annan bas, till exempel:

Vi måste ta den här logaritmen till basen. Hur ändrar man basen för en logaritm? Jag hoppas att du kommer ihåg denna formel:

Först nu i stället för kommer vi att skriva:

Nämnaren visade sig bara vara en konstant (ett konstant tal, utan variabel). Derivaten är väldigt enkel:

Derivater av exponential- och logaritmfunktionerna finns nästan aldrig i provet, men det kommer inte att vara överflödigt att känna till dem.

Derivat av en komplex funktion.

Vad är en "komplex funktion"? Nej, detta är inte en logaritm och inte en bågtangens. Dessa funktioner kan vara svåra att förstå (även om logaritmen verkar svår för dig, läs ämnet "Logaritmer" så löser sig allt), men när det gäller matematik betyder ordet "komplex" inte "svårt".

Föreställ dig en liten transportör: två personer sitter och gör några handlingar med några föremål. Till exempel lindar den första en chokladkaka i ett omslag, och den andra binder den med ett band. Det visar sig ett sådant sammansatt föremål: en chokladkaka inslagen och bunden med ett band. För att äta en chokladkaka måste du göra de motsatta stegen i omvänd ordning.

Låt oss skapa en liknande matematisk pipeline: först hittar vi cosinus för ett tal och sedan kvadrerar vi det resulterande talet. Så de ger oss en siffra (choklad), jag hittar dess cosinus (omslag) och sedan räcker det som jag har (knyt det med ett band). Vad hände? Fungera. Detta är ett exempel på en komplex funktion: när vi, för att hitta dess värde, gör den första åtgärden direkt med variabeln och sedan ytterligare en andra åtgärd med det som hände som ett resultat av den första.

Vi kan mycket väl göra samma åtgärder i omvänd ordning: först kvadrerar du, och sedan letar jag efter cosinus för det resulterande talet:. Det är lätt att gissa att resultatet nästan alltid blir annorlunda. En viktig egenskap hos komplexa funktioner: när ordningen på åtgärder ändras ändras funktionen.

Med andra ord, En komplex funktion är en funktion vars argument är en annan funktion: .

För det första exemplet, .

Andra exemplet: (samma). .

Den sista åtgärden vi gör kommer att kallas "extern" funktion, och den åtgärd som utfördes först - respektive "intern" funktion(detta är informella namn, jag använder dem bara för att förklara materialet på ett enkelt språk).

Försök själv avgöra vilken funktion som är extern och vilken som är intern:

Svar: Separationen av inre och yttre funktioner påminner mycket om att ändra variabler: till exempel i funktionen

Vilka åtgärder kommer vi att vidta först? Först beräknar vi sinus, och först då höjer vi den till en kub. Så det är en intern funktion, inte en extern.
Och den ursprungliga funktionen är deras sammansättning: .
Internt: ; extern: .
Examination: .
Internt: ; extern: .
Examination: .
Internt: ; extern: .
Examination: .
Internt: ; extern: .
Examination: .

vi ändrar variabler och får en funktion.

Nåväl, nu ska vi extrahera vår choklad - leta efter derivatet. Proceduren är alltid omvänd: först letar vi efter derivatan av den yttre funktionen, sedan multiplicerar vi resultatet med derivatan av den inre funktionen. För originalexemplet ser det ut så här:

Ett annat exempel:

Så låt oss äntligen formulera den officiella regeln:

Algoritm för att hitta derivatan av en komplex funktion:

Allt verkar vara enkelt, eller hur?

Låt oss kolla med exempel:

Lösningar:

1) Internt: ;

Extern: ;

2) Internt: ;

(försök bara inte minska vid det här laget! Ingenting tas ut under kosinus, minns du?)

3) Internt: ;

Extern: ;

Det är omedelbart tydligt att det finns en komplex funktion på tre nivåer här: trots allt är detta redan en komplex funktion i sig, och vi extraherar fortfarande roten från den, det vill säga vi utför den tredje åtgärden (lägg choklad i ett omslag och med ett band i en portfölj). Men det finns ingen anledning att vara rädd: hur som helst kommer vi att "packa upp" den här funktionen i samma ordning som vanligt: från slutet.

Det vill säga, först differentierar vi roten, sedan cosinus och först sedan uttrycket inom parentes. Och sedan multiplicerar vi allt.

I sådana fall är det bekvämt att numrera åtgärderna. Det vill säga, låt oss föreställa oss vad vi vet. I vilken ordning kommer vi att utföra åtgärder för att beräkna värdet på detta uttryck? Låt oss titta på ett exempel:

Ju senare åtgärden utförs, desto mer "extern" blir motsvarande funktion. Sekvensen av åtgärder - som tidigare:

Här är häckningen i allmänhet 4-nivå. Låt oss bestämma handlingsförloppet.

1. Radikalt uttryck. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Fyrkantig. .

5. Lägg ihop allt: