พีทาโกรัสสามเท่าและจำนวนของมัน เทคโนโลยีที่เน้นวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ จำนวนเฉพาะซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัส

"ศูนย์การศึกษาระดับภูมิภาค"

การพัฒนาระเบียบ

การใช้สามเท่าของพีทาโกรัสในการแก้โจทย์

ปัญหาทางเรขาคณิตและงานเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

คาลูกา, 2559

I บทนำ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในหลักและอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดของเรขาคณิต ความสำคัญของมันอยู่ที่ความจริงที่ว่าทฤษฎีบทเรขาคณิตส่วนใหญ่สามารถอนุมานได้จากมันหรือด้วยความช่วยเหลือของมัน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังน่าทึ่งตรงที่ว่าในตัวมันเองนั้นไม่ชัดเจนเลย ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วสามารถเห็นได้โดยตรงบนภาพวาด แต่ไม่ว่าคุณจะมองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างไร คุณจะไม่มีวันเห็นว่ามีอัตราส่วนง่ายๆ ระหว่างด้านของมัน: a2+b2=ค2. อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่พีทาโกรัสที่ค้นพบทฤษฎีบทที่มีชื่อของเขา เป็นที่ทราบกันก่อนหน้านี้ แต่อาจเป็นเพียงข้อเท็จจริงที่ได้มาจากการวัดเท่านั้น สมมุติว่าพีทาโกรัสรู้เรื่องนี้ แต่พบข้อพิสูจน์

จำนวนธรรมชาติมีจำนวนนับไม่ถ้วน ก, ข, ค, พอใจในความสัมพันธ์ a2+b2=ค2.. เรียกว่าเลขพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทปีทาโกรัส ตัวเลขดังกล่าวสามารถใช้เป็นความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปได้ เราจะเรียกมันว่าสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

เป้าหมายของงาน:เพื่อศึกษาความเป็นไปได้และประสิทธิผลของการใช้สามเท่าของพีทาโกรัสในการแก้ปัญหาของหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงเรียน การบ้าน การใช้

ตามวัตถุประสงค์ของงานดังต่อไปนี้ งาน:

เพื่อศึกษาประวัติและการจำแนกประเภทของพีทาโกรัสสามเท่า วิเคราะห์งานโดยใช้สามเท่าของพีทาโกรัสที่มีในหนังสือเรียนและพบในเอกสารควบคุมและการวัดของข้อสอบ ประเมินประสิทธิภาพของการใช้สามเท่าของพีทาโกรัสและคุณสมบัติในการแก้ปัญหา

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: จำนวนสามเท่าของพีทาโกรัส

สาขาวิชา: งานของหลักสูตรตรีโกณมิติและเรขาคณิตของโรงเรียนซึ่งใช้พีทาโกรัสสามเท่า

ความเกี่ยวข้องของการวิจัย. ตรีโกณมิติของพีทาโกรัสมักใช้ในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ เพราะรู้ว่าจะช่วยขจัดข้อผิดพลาดในการคำนวณและประหยัดเวลา

ครั้งที่สอง ส่วนสำคัญ. การแก้ปัญหาโดยใช้พีทาโกรัสสามเท่า

2.1 ตารางสามเท่าของตัวเลขพีทาโกรัส (อ้างอิงจาก Perelman)

ตัวเลขปีทาโกรัสมีรูปแบบ ก= ม, , โดยที่ m และ n เป็นจำนวนคี่แบบโคไพรม์

ตัวเลขปีทาโกรัสมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

หนึ่งใน "ขา" จะต้องเป็นผลคูณของสาม

หนึ่งใน "ขา" จะต้องเป็นผลคูณของสี่

หนึ่งในจำนวนปีทาโกรัสต้องเป็นจำนวนทวีคูณของห้า

หนังสือ "Entertaining Algebra" มีตารางของพีทาโกรัสสามเท่าที่มีตัวเลขไม่เกินหนึ่งร้อย ซึ่งไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. การจำแนกสามเท่าของพีทาโกรัสของชุสตรอฟ

ชูสตรอฟค้นพบรูปแบบต่อไปนี้: ถ้าสามเหลี่ยมพีทาโกรัสทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นกลุ่ม สูตรต่อไปนี้จะใช้ได้สำหรับขาคี่ x, คู่ y และด้านตรงข้ามมุมฉาก z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2 โดยที่ N คือจำนวนของครอบครัว และ n คือจำนวนลำดับของสามเหลี่ยมในครอบครัว

การแทนที่ในสูตรโดยแทนที่ N และ n จำนวนเต็มบวกใดๆ โดยเริ่มจากหนึ่ง คุณจะได้จำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสหลักทั้งหมด รวมทั้งผลคูณของประเภทใดประเภทหนึ่ง คุณสามารถสร้างตารางของพีทาโกรัสทั้งหมดสำหรับแต่ละครอบครัว

2.3. งานเกี่ยวกับแผนภาพ

ลองพิจารณาปัญหาจากตำราต่างๆ เกี่ยวกับเรขาคณิต และค้นหาว่าพบเลขสามตัวของพีทาโกรัสบ่อยเพียงใดในงานเหล่านี้ ปัญหาเล็กน้อยในการค้นหาองค์ประกอบที่สามในตารางของพีทาโกรัสสามเท่าจะไม่ได้รับการพิจารณาแม้ว่าจะพบในตำราเรียนด้วยก็ตาม ให้เราแสดงวิธีลดวิธีแก้ปัญหาที่ข้อมูลไม่ได้แสดงด้วยจำนวนธรรมชาติเป็นเลขสามของพีทาโกรัส

พิจารณางานจากหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9

№ 000. หาด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ก=, ข=.

สารละลาย. คูณความยาวของขาด้วย 7 เราได้สององค์ประกอบจากพีทาโกรัสสามส่วน 3 และ 4 องค์ประกอบที่ขาดหายไปคือ 5 ซึ่งเราหารด้วย 7 คำตอบ

№ 000. ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD หา BC ถ้า CD=1.5, AC=2.5

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

สารละลาย. ลองแก้ ACD สามเหลี่ยมมุมฉากกัน เราคูณความยาวด้วย 2 เราได้สององค์ประกอบจากพีทาโกรัสสามส่วน 3 และ 5 องค์ประกอบที่หายไปคือ 4 ซึ่งเราหารด้วย 2 คำตอบ: 2

เมื่อแก้ตัวเลขถัดไป ตรวจสอบอัตราส่วน a2+b2=ค2เป็นทางเลือกโดยสมบูรณ์ แค่ใช้ตัวเลขพีทาโกรัสและคุณสมบัติก็เพียงพอแล้ว

№ 000. ค้นหาว่ารูปสามเหลี่ยมเป็นมุมฉากหรือไม่ หากด้านข้างแสดงด้วยตัวเลข:

ก) 6,8,10 (พีทาโกรัสสามเท่า 3,4.5) - ใช่;

ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากต้องหารด้วย 4 ลงตัว คำตอบ: ไม่

c) 9,12,15 (พีทาโกรัสสามเท่า 3,4.5) - ใช่;

ง) 10,24,26 (พีทาโกรัสสามเท่า 5,12.13) - ใช่;

หนึ่งในจำนวนปีทาโกรัสต้องเป็นจำนวนทวีคูณของห้า คำตอบ: ไม่

g) 15, 20, 25 (พีทาโกรัสสามเท่า 3,4.5) - ใช่

จากทั้งหมด 39 งานในส่วนนี้ (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 22 งานจะแก้ปัญหาปากเปล่าโดยใช้ตัวเลขปีทาโกรัสและความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของงาน

พิจารณาปัญหา #000 (จากส่วน "งานเพิ่มเติม"):

ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD โดยที่ AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

งานคือการตรวจสอบอัตราส่วน a2+b2=ค2และพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมที่กำหนดประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป (ทฤษฎีบทผกผัน) และความรู้เกี่ยวกับสามเท่าของพีทาโกรัส: 3, 4, 5 และ 5, 12, 13 ทำให้ไม่จำเป็นต้องคำนวณ

เรามาแก้ปัญหาต่าง ๆ จากหนังสือเรียนเกี่ยวกับเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9

ปัญหา 156 (ซ). ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 9 และ 40 หาค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก

สารละลาย . ค่ามัธยฐานที่ลากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่ง พีทาโกรัสสามเท่าคือ 9.40 และ 41 ดังนั้นค่ามัธยฐานคือ 20.5

ปัญหา 156 (i). ด้านของสามเหลี่ยมคือ: ก= 13 ซม. ข= 20 ซม. และสูง hс = 12 ซม. หาฐาน กับ.

งาน (KIM ใช้) ค้นหารัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ถ้าความสูง BH เท่ากับ 12 และทราบว่า บาป =,บาป C \u003d ซ้าย "\u003e

สารละลาย.เราแก้ปัญหาสี่เหลี่ยม ∆ ASC: sin A=, BH=12 ดังนั้น AB=13,AK=5 (พีทาโกรัสสามเท่า 5,12,13) แก้สี่เหลี่ยม ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (ปีทาโกรัส สามเท่า 3,4,5).รัศมีหาได้จากสูตร r === 4. ตอบ.4.

2.4. พีทาโกรัสคูณสามในตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัส: sin2a + cos2a = 1; (ก/ค) 2 + (ข/ค)2 =1. ดังนั้น งานเกี่ยวกับตรีโกณมิติบางอย่างสามารถแก้ไขได้โดยง่ายโดยใช้สูตรสามเท่าของพีทาโกรัส

ปัญหาที่ต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ จากค่าที่กำหนดของฟังก์ชันสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องยกกำลังสองและแยกรากที่สอง งานประเภทนี้ทั้งหมดในตำราเรียนพีชคณิต (10-11) Mordkovich (หมายเลข 000-หมายเลข 000) สามารถแก้ไขได้ด้วยปากเปล่าโดยรู้เพียงไม่กี่เท่าของ Pythagorean: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสองข้อ

น. 000 ก). บาป t = 4/5, π/2< t < π.

สารละลาย. พีทาโกรัสสาม: 3, 4, 5 ดังนั้น cos t = -3/5; tg เสื้อ = -4/3,

ฉบับที่ 000 ข). tg เสื้อ = 2.4, π< t < 3π/2.

สารละลาย. tg เสื้อ \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5 ปีทาโกรัสสามเท่า 5,12,13. จากสัญญาณ เราจะได้ sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12

3. การควบคุมและการวัดเนื้อหาของข้อสอบ

ก) cos (อาร์คซิน 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) บาป (โค้ง 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (อาร์คซิน 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

ง) ctg (ส่วนโค้ง 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–อาร์คซิน (–3/5))= 4/3 tg (π+อาร์คซิน 3/5)= 4/3 tg อาร์คซิน 3/5=4/3 3/4=1

e) ตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน:

อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 + อาร์คซิน 16/65 = π/2

สารละลาย. อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 + อาร์คซิน 16/65 = π/2

อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13 = π/2 - อาร์คซิน 16/65

บาป (อาร์คซิน 4/5 + อาร์คซิน 5/13) = บาป (อาร์คซิน 16/65)

บาป (อาร์คซิน 4/5) cos (อาร์คซิน 5/13) + cos (อาร์คซิน 4/5) บาป (อาร์คซิน 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

สาม. บทสรุป

ในปัญหาทางเรขาคณิต เรามักต้องแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก บางครั้งหลายครั้ง หลังจากวิเคราะห์งานของหนังสือเรียนและสื่อการใช้งานแล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าแฝดสามส่วนใหญ่จะใช้: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; ซึ่งง่ายต่อการจดจำ เมื่อแก้โจทย์ตรีโกณมิติ วิธีแก้ปัญหาแบบคลาสสิกที่ใช้สูตรตรีโกณมิติและการคำนวณจำนวนมากต้องใช้เวลา และความรู้ของพีทาโกรัสสามเท่าจะช่วยขจัดข้อผิดพลาดในการคำนวณและประหยัดเวลาในการแก้ปัญหาที่ยากขึ้นในข้อสอบ

รายการบรรณานุกรม

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 เวลา 2 ชั่วโมง ส่วนที่ 2 หนังสืองานสำหรับสถานศึกษา / [และอื่นๆ]; เอ็ด . - 8th ed., ซีเนียร์ - ม. : Mnemosyne, 2550. - 315 น. : ป่วย.

2. พีชคณิต Perelman - D.: VAP, 1994. - 200 น.

3. โรกานอฟสกี้: Proc. สำหรับ 7-9 เซลล์ ด้วยความลึก การศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ศึกษาทั่วไป โรงเรียน จากรัสเซีย หรั่ง การเรียนรู้ - ฉบับที่ 3 - ลบ.; น. Asveta, 2000. - 574 p.: ป่วย

4. คณิตศาสตร์: ผู้อ่านเกี่ยวกับประวัติศาสตร์ วิธีการ การสอน /คอมพ์. . - ม.: สำนักพิมพ์ URAO, 2544. - 384 น.

5. วารสาร "คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน" ฉบับที่ 1, 2508

6. การควบคุมและการวัดเนื้อหาของข้อสอบ

7. เรขาคณิต 7-9: Proc. สำหรับสถาบันการศึกษา / ฯลฯ - 13th ed. - M.: Education, 2003 – 384 หน้า : ป่วย.

8. เรขาคณิต: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน / ฯลฯ - แก้ไขครั้งที่ 2 - ม.: การศึกษา, 2536, - 207 น.: ป่วย

พีชคณิต Perelman - D.: VAP, 1994. - 200 น.

วารสาร "คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน" ฉบับที่ 1, 2508

เรขาคณิต, 7-9: Proc. สำหรับสถาบันการศึกษา / ฯลฯ - 13th ed. - M.: Education, 2003 – 384 หน้า : ป่วย.

โรกานอฟสกี้: Proc. สำหรับ 7-9 เซลล์ ด้วยความลึก การศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ศึกษาทั่วไป โรงเรียน จากรัสเซีย หรั่ง การเรียนรู้ - ฉบับที่ 3 - ลบ.; น. Asveta, 2000. - 574 p.: ป่วย

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 เวลา 2 ชั่วโมง ส่วนที่ 2 หนังสืองานสำหรับสถานศึกษา / [และอื่นๆ]; เอ็ด . - 8th ed., ซีเนียร์ - ม. : Mnemosyne, 2550. - 315 น. : ป่วย, หน้า 18.

เบโลเตลอฟ V.A. พีทาโกรัสสามเท่าและจำนวน // สารานุกรมของ Nesterovs

บทความนี้เป็นคำตอบของศาสตราจารย์คนหนึ่ง - นักพินเชอร์ ดูสิ ศาสตราจารย์ พวกเขาทำกันอย่างไรในหมู่บ้านของเรา

ภูมิภาค Nizhny Novgorod, Zavolzhye

ต้องมีความรู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ (ADDE) และความรู้เกี่ยวกับความก้าวหน้าทางพหุนาม

IF เป็นจำนวนเฉพาะ

MF เป็นจำนวนประกอบ

ให้มีเลขคี่ N สำหรับจำนวนคี่ที่ไม่ใช่หนึ่ง คุณสามารถเขียนสมการได้

หน้า 2 + N \u003d คิว 2,

โดยที่ р + q = N, q – р = 1

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข 21 และ 23 สมการจะเป็น -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

ถ้า N เป็นจำนวนเฉพาะ สมการนี้จะไม่ซ้ำกัน ถ้าจำนวน N เป็นจำนวนประกอบกัน ก็เป็นไปได้ที่จะสร้างสมการที่คล้ายกันสำหรับจำนวนคู่ของปัจจัยที่แทนจำนวนนี้ รวมทั้ง 1 x N

ลองใช้ตัวเลข N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45

ฉันฝัน แต่เป็นไปได้ไหมที่ยึดมั่นในความแตกต่างระหว่าง IF และ MF เพื่อหาวิธีระบุตัวตน

ให้เราแนะนำสัญกรณ์

ลองเปลี่ยนสมการล่าง -

N \u003d ใน 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a)

ให้เราจัดกลุ่มค่าของ N ตามเกณฑ์ใน - a, i.e. มาทำตารางกันเถอะ

ตัวเลข N ถูกสรุปในเมทริกซ์ -

สำหรับงานนี้ฉันต้องจัดการกับความก้าวหน้าของพหุนามและเมทริกซ์ของพวกมัน ทุกอย่างกลายเป็นเรื่องไร้สาระ - การป้องกัน PCh นั้นแข็งแกร่ง ป้อนคอลัมน์ในตารางที่ 1 โดยที่ - a \u003d 1 (q - p \u003d 1)

อีกครั้ง ได้รับตารางที่ 2 อันเป็นผลมาจากความพยายามในการแก้ปัญหาในการระบุ IF และ MF ตามตารางที่ว่าสำหรับหมายเลข N ใด ๆ มีสมการจำนวนมากในรูปแบบ a 2 + N \u003d ใน 2 เป็นตัวประกอบจำนวนกี่คู่ที่สามารถแบ่งจำนวน N ได้รวมถึงตัวประกอบ 1 x N นอกจากนี้ ถึงตัวเลข N \u003d ℓ 2 โดยที่

ℓ - เอฟซี สำหรับ N = ℓ 2 โดยที่ ℓ คือ IF จะมีสมการเฉพาะ p 2 + N = q 2 เราจะพูดถึงหลักฐานเพิ่มเติมอะไรได้บ้าง หากตารางแสดงรายการปัจจัยที่เล็กกว่าจากคู่ของปัจจัยที่ประกอบกันเป็น N จากหนึ่งถึง ∞ เราจะวางตารางที่ 2 ไว้ในหีบ และซ่อนหีบไว้ในตู้เสื้อผ้า

กลับไปที่หัวข้อที่ระบุไว้ในชื่อบทความ

บทความนี้เป็นคำตอบของศาสตราจารย์คนหนึ่ง - นักพินเชอร์

ฉันขอความช่วยเหลือ - ฉันต้องการชุดตัวเลขที่ฉันไม่พบบนอินเทอร์เน็ต ฉันเจอคำถามเช่น - "เพื่ออะไร" "แต่ช่วยแสดงวิธีการให้ฉันหน่อย" โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีคำถามว่าอนุกรมของพีทาโกรัสสามเท่านั้นไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่ "จะพิสูจน์ได้อย่างไร" เขาไม่ได้ช่วยฉัน ดูสิ ศาสตราจารย์ พวกเขาทำกันอย่างไรในหมู่บ้านของเรา

ลองใช้สูตรของพีทาโกรัสสามเท่า -

x 2 \u003d y 2 + z 2 (1)

ผ่าน ARDU กันเถอะ

เป็นไปได้สามสถานการณ์:

I. x เป็นเลขคี่

y เป็นเลขคู่

z เป็นเลขคู่

และมีเงื่อนไข x > y > z

ครั้งที่สอง x เป็นเลขคี่

y เป็นเลขคู่

z เป็นเลขคี่

x > z > y

III.x - เลขคู่

y เป็นเลขคี่

z เป็นเลขคี่

x > y > z

เริ่มกันที่ I.

มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน

แทนลงในสมการ (1)

ให้เรายกเลิกด้วยตัวแปรที่เล็กกว่า2γ

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

ให้เราลดตัวแปร 2β – 2γ โดยตัวแปรที่เล็กลงพร้อมกับการแนะนำพารามิเตอร์ใหม่ ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

จากนั้น 2α - 2β = x - y - 1

สมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

มายกกำลังสองกันเถอะ -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU ให้ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์อาวุโสของสมการผ่านพารามิเตอร์ ดังนั้นเราจึงได้สมการ (3)

การจัดการกับการเลือกวิธีแก้ปัญหานั้นไม่มั่นคง แต่ก่อนอื่น ไม่มีที่ไป และประการที่สอง จำเป็นต้องใช้โซลูชันเหล่านี้หลายตัว และเราสามารถกู้คืนโซลูชันจำนวนไม่สิ้นสุดได้

สำหรับ ƒ = 1, k = 1 จะได้ x – y = 1

โดยที่ ƒ = 12, k = 16 จะได้ x - y = 9

โดยที่ ƒ = 4, k = 32 จะได้ x - y = 25

ดองได้ยาวๆ แต่สุดท้ายซีรีย์ก็จะมาแบบ -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

พิจารณาตัวเลือก II

ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ในสมการ (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

เราลดด้วยตัวแปรที่เล็กลง 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

ให้เราลดตัวแปรที่เล็กลง 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z แล้วแทนค่าลงในสมการ (4)

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

โดยที่ ƒ = 3, k = 4 จะได้ x - z = 2

ด้วย ƒ = 8, k = 14 เราจะได้ x - z = 8

โดยที่ ƒ = 3, k = 24 จะได้ x - z = 18

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

มาวาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกันเถอะ -

มาเขียนสูตรกัน

โดยที่ n=1, 2,...∞

กรณีที่ III จะไม่ได้รับการอธิบาย - ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

สำหรับเงื่อนไข II ชุดของสามจะเป็นดังนี้:

สมการ (1) แสดงเป็น x 2 = z 2 + y 2 เพื่อความชัดเจน

สำหรับเงื่อนไข I ชุดของสามจะเป็นดังนี้:

โดยรวมแล้วมีการทาสีสามคอลัมน์ 9 คอลัมน์ ห้าสามในแต่ละครั้ง และแต่ละคอลัมน์ที่นำเสนอสามารถเขียนได้ถึง ∞

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสามเท่าของคอลัมน์สุดท้าย โดยที่ x - y \u003d 81

สำหรับค่า x เราเขียนรูปสี่เหลี่ยมคางหมู -

มาเขียนสูตรกัน

สำหรับค่าที่เราเขียนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู -

มาเขียนสูตรกัน

สำหรับค่า z เราเขียนรูปสี่เหลี่ยมคางหมู -

มาเขียนสูตรกัน

โดยที่ n = 1 ÷ ∞

ตามที่สัญญาไว้ ชุดแฝดสามที่มี x - y = 81 บินไปที่ ∞

มีความพยายามสำหรับกรณี I และ II ในการสร้างเมทริกซ์สำหรับ x, y, z

เขียนห้าคอลัมน์สุดท้ายของ x จากแถวบนสุดและสร้างสี่เหลี่ยมคางหมู

ไม่ได้ผล และรูปแบบควรเป็นกำลังสอง เพื่อให้ทุกอย่างเป็นแบบ openwork จำเป็นต้องรวมคอลัมน์ I และ II เข้าด้วยกัน

ในกรณีที่ II ปริมาณ y, z จะถูกสับเปลี่ยนอีกครั้ง

เราสามารถรวมเข้าด้วยกันด้วยเหตุผลเดียว - การ์ดเข้ากันได้ดีกับงานนี้ - เราโชคดี

ตอนนี้คุณสามารถเขียนเมทริกซ์สำหรับ x, y, z

เริ่มจากห้าคอลัมน์สุดท้ายของค่า x จากแถวบนสุดและสร้างสี่เหลี่ยมคางหมู

ทุกอย่างเรียบร้อยดี คุณสามารถสร้างเมทริกซ์ได้ และเริ่มด้วยเมทริกซ์สำหรับ z

ฉันวิ่งไปที่ตู้เสื้อผ้าสำหรับหน้าอก

ผลรวม: นอกจากหนึ่งแล้ว เลขคี่แต่ละตัวของแกนตัวเลขจะมีส่วนร่วมในการสร้างเลขสามเท่าของพีทาโกรัสด้วยจำนวนตัวประกอบที่เท่ากันซึ่งสร้างเลขนี้ รวมทั้งตัวประกอบ 1 x N

จำนวน N \u003d ℓ 2 โดยที่ ℓ - IF ก่อตัวเป็นหนึ่งพีทาโกรัสสามตัว ถ้า ℓ คือ MF แสดงว่าไม่มีสามตัวในปัจจัย ℓхℓ

มาสร้างเมทริกซ์สำหรับ x, y กัน

เริ่มจากเมทริกซ์สำหรับ x กันก่อน ในการทำเช่นนี้เราจะดึงตารางพิกัดจากปัญหาในการระบุ IF และ MF

จำนวนแถวแนวตั้งถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยนิพจน์

ลองลบคอลัมน์แรกออกเพราะ

เมทริกซ์จะอยู่ในรูปแบบ -

มาอธิบายแถวแนวตั้งกันเถอะ -

ให้เราอธิบายค่าสัมประสิทธิ์ที่ "a", -

มาอธิบายสมาชิกฟรีกันเถอะ -

มาทำสูตรทั่วไปสำหรับ "x", -

ถ้าเราทำงานที่คล้ายกันกับ "y" เราจะได้ -

คุณสามารถเข้าใกล้ผลลัพธ์นี้ได้จากอีกด้านหนึ่ง

ลองใช้สมการ

และ 2 + N = ใน 2

มาเปลี่ยนกันสักหน่อย -

N \u003d ใน 2 - a 2

มายกกำลังสองกันเถอะ -

N 2 \u003d ใน 4 - 2v 2 a 2 + a 4

ที่ด้านซ้ายและขวาของสมการ ให้บวกขนาด 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d ใน 4 + 2v 2 a 2 + a 4

และในที่สุดก็ -

(ใน 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

พีทาโกรัสสามเท่าประกอบด้วยดังนี้:

พิจารณาตัวอย่างที่มีหมายเลข N = 117

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117

คอลัมน์แนวตั้งของตารางที่ 2 จะมีหมายเลขเป็น - a ในขณะที่คอลัมน์แนวตั้งของตารางที่ 3 จะมีหมายเลขเป็นค่า x - y

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

มาสร้างสามสมการกันเถอะ

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13)

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117

ตัวประกอบ 3 และ 39 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ดังนั้น 1 ตัวคูณจึงมีตัวประกอบเป็น 9

ให้เราอธิบายข้างต้นที่เขียนด้วยสัญลักษณ์ทั่วไป -

ในงานนี้ทุกอย่างรวมถึงตัวอย่างการคำนวณพีทาโกรัสสามเท่าด้วยตัวเลข

N = 117 เชื่อมโยงกับตัวประกอบที่เล็กกว่าใน - a การเลือกปฏิบัติอย่างชัดเจนเกี่ยวกับปัจจัยใน + ก มาแก้ไขความอยุติธรรมนี้กัน - เราจะสร้างสมการสามสมการโดยมีตัวประกอบเป็น + a

กลับไปที่คำถามของการระบุ IF และ MF

มีการดำเนินการหลายอย่างในทิศทางนี้ และวันนี้ความคิดต่อไปนี้ได้ผ่านมือมาแล้ว - ไม่มีสมการระบุตัวตน และไม่มีสิ่งที่เรียกว่าปัจจัยในการพิจารณา

สมมติว่าเราพบความสัมพันธ์ F = a, b (N)

มีสูตร

คุณสามารถกำจัดสูตร F จาก in และคุณจะได้สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่ n เทียบกับ a เช่น F = ก(น).

สำหรับระดับ n ใดๆ ของสมการนี้ จะมีจำนวน N ที่มีตัวประกอบ m เป็นจำนวนสำหรับ m > n

และเป็นผลให้สมการเอกพันธ์ของดีกรี n ต้องมีราก m

ใช่ มันเป็นไปไม่ได้

ในบทความนี้ พิจารณาตัวเลข N สำหรับสมการ x 2 = y 2 + z 2 เมื่ออยู่ในสมการที่ตำแหน่ง z เมื่อ N แทนที่ x นี่เป็นงานอื่น

ขอแสดงความนับถือ Belotelov V.A.

ต่อไป เราจะพิจารณาวิธีการที่รู้จักกันดีในการสร้างสามเท่าของพีทาโกรัสที่มีประสิทธิภาพ นักเรียนของปีทาโกรัสเป็นคนกลุ่มแรกที่คิดวิธีง่ายๆ ในการสร้างเลขสามตัวของพีทาโกรัส โดยใช้สูตรที่ชิ้นส่วนต่างๆ เป็นตัวแทนของเลขสามของพีทาโกรัส:

ม 2 + ((ม 2 − 1)/2) 2 = ((ม 2 + 1)/2) 2 ,

ที่ไหน ม- ไม่จับคู่ ม>2. จริงหรือ,

4ม 2 + ม 4 − 2ม 2 + 1
ม 2 + ((ม 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((ม 2 + 1)/2) 2 .
4

เพลโตนักปรัชญาชาวกรีกโบราณเสนอสูตรที่คล้ายกัน:

(2ม) 2 + (ม 2 − 1) 2 = (ม 2 + 1) 2 ,

ที่ไหน ม- หมายเลขใดก็ได้ สำหรับ ม= 2,3,4,5 แฝดสามต่อไปนี้ถูกสร้างขึ้น:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

อย่างที่คุณเห็น สูตรเหล่านี้ไม่สามารถให้ค่าสามเท่าดั้งเดิมได้ทั้งหมด

พิจารณาพหุนามต่อไปนี้ ซึ่งแยกย่อยเป็นผลรวมของพหุนาม:

(2ม 2 + 2ม + 1) 2 = 4ม 4 + 8ม 3 + 8ม 2 + 4ม + 1 =
=4ม 4 + 8ม 3 + 4ม 2 + 4ม 2 + 4ม + 1 = (2ม(ม+1)) 2 + (2ม +1) 2 .

ดังนั้นสูตรต่อไปนี้สำหรับการได้รับสามเท่าดั้งเดิม:

ก = 2ม +1 , ข = 2ม(ม+1) = 2ม 2 + 2ม , ค = 2ม 2 + 2ม + 1.

สูตรเหล่านี้สร้างเลขสามตัวโดยที่จำนวนเฉลี่ยแตกต่างจากจำนวนมากที่สุด 1 เลข นั่นคือไม่ได้สร้างเลขสามเท่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ต่อไปนี้คือสามอันดับแรก: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61)

เพื่อกำหนดวิธีการสร้างสามเท่าดั้งเดิมทั้งหมด เราต้องตรวจสอบคุณสมบัติของมัน อันดับแรก ถ้า ( ก,ข,ค) เป็นทริปเปิลดั้งเดิมแล้ว กและ ข, ขและ ค, กและ ค- ต้องเป็นโคไพรม์ อนุญาต กและ ขแบ่งออกเป็น ง. แล้ว ก 2 + ข 2 ก็หารด้วย ง. ตามลำดับ ค 2 และ คควรแบ่งออกเป็น ง. นั่นคือมันไม่ใช่สามอันดับแรก

ประการที่สองในบรรดาตัวเลข ก, ขต้องจับคู่หนึ่งอันและอีกอันหนึ่งไม่ได้จับคู่ จริงๆ ถ้า กและ ข- จับคู่แล้ว กับจะถูกจับคู่ และตัวเลขสามารถหารด้วย 2 เป็นอย่างน้อย หากทั้งคู่ไม่ได้จับคู่ ตัวเลขเหล่านั้นสามารถแสดงเป็น 2 เค+1 ฉัน 2 ล+1 ที่ไหน เค,ล- ตัวเลขบางอย่าง แล้ว ก 2 + ข 2 = 4เค 2 +4เค+1+4ล 2 +4ล+1 นั่นคือ กับ 2 เช่นเดียวกับ ก 2 + ข 2 เหลือเศษ 2 เมื่อหารด้วย 4

อนุญาต กับ- จำนวนใด ๆ นั่นคือ กับ = 4เค+ฉัน (ฉัน=0,…,3). แล้ว กับ 2 = (4เค+ฉัน) 2 มีเศษเหลือ 0 หรือ 1 และไม่เหลือเศษเป็น 2 ดังนั้น กและ ขไม่สามารถยกเลิกการจับคู่ได้ นั่นคือ ก 2 + ข 2 = 4เค 2 +4เค+4ล 2 +4ล+1 และส่วนที่เหลือ กับ 2 คูณ 4 ควรเป็น 1 ซึ่งหมายความว่า กับควรยกเลิกการจับคู่

ข้อกำหนดดังกล่าวสำหรับองค์ประกอบของพีทาโกรัสสามตัวนั้นเป็นไปตามตัวเลขต่อไปนี้:

ก = 2นาที, ข = ม 2 − น 2 , ค = ม 2 + น 2 , ม > น, (2)

ที่ไหน มและ นเป็น coprime ที่มีการจับคู่ต่างกัน เป็นครั้งแรกที่การพึ่งพาเหล่านี้กลายเป็นที่รู้จักจากผลงานของ Euclid ซึ่งมีชีวิตอยู่ในปี 2300 กลับ.

ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของการอ้างอิง (2) อนุญาต ก- ดับเบิ้ลแล้ว ขและ ค- ไม่มีคู่ แล้ว ค + ขฉัน ค − ข- คู่รัก พวกเขาสามารถแสดงเป็น ค + ข = 2ยูและ ค − ข = 2โวลต์, ที่ไหน ยู,โวลต์เป็นจำนวนเต็ม นั่นเป็นเหตุผล

ก 2 = กับ 2 − ข 2 = (ค + ข)(ค − ข) = 2ยู 2 โวลต์ = 4ยูวี

และดังนั้นจึง ( ก/2) 2 = ยูวี.

สามารถพิสูจน์ได้โดยแย้งว่า ยูและ โวลต์เป็นโคไพรม์ อนุญาต ยูและ โวลต์- แบ่งออกเป็น ง. แล้ว ( ค + ข) และ ( ค − ข) แบ่งออกเป็น ง. และดังนั้นจึง คและ ขควรแบ่งออกเป็น งและสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของพีทาโกรัสสามเท่า

เพราะ ยูวี = (ก/2) 2 และ ยูและ โวลต์ coprime มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่า ยูและ โวลต์ต้องเป็นกำลังสองของตัวเลขบางตัว

จึงมีจำนวนเต็มบวก มและ น, ดังนั้น ยู = ม 2 และ โวลต์ = น 2. แล้ว

ก 2 = 4ยูวี = 4ม 2 น 2 ดังนั้น
ก = 2นาที; ข = ยู − โวลต์ = ม 2 − น 2 ; ค = ยู + โวลต์ = ม 2 + น 2 .

เพราะ ข> 0 แล้ว ม > น.

มันยังคงแสดงให้เห็นว่า มและ นมีการจับคู่ที่แตกต่างกัน ถ้า มและ น- จับคู่แล้ว ยูและ โวลต์ต้องจับคู่ แต่เป็นไปไม่ได้เนื่องจากเป็นโคไพรม์ ถ้า มและ น- ไม่จับคู่แล้ว ข = ม 2 − น 2 และ ค = ม 2 + น 2ตัวจะคู่กันซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ คและ ขเป็นโคไพรม์

ดังนั้น ทริปเปิลพีทาโกรัสดั้งเดิมใด ๆ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (2) ในขณะเดียวกันตัวเลข มและ นเรียกว่า สร้างตัวเลขแฝดสามดึกดำบรรพ์ ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีสามเท่าของปีทาโกรัสดั้งเดิม (120,119,169) ในกรณีนี้

ก= 120 = 2 12 5, ข= 119 = 144 − 25 และ ค = 144+25=169,

ที่ไหน ม = 12, น= 5 - กำลังสร้างตัวเลข 12 > 5; 12 และ 5 เป็นโคไพรม์และจับคู่ต่างกัน

สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลข ม, นสูตร (2) ให้สามเท่าของพีทาโกรัสดั้งเดิม (a,b,c) จริงหรือ,

ก 2 + ข 2 = (2นาที) 2 + (ม 2 − น 2) 2 = 4ม 2 น 2 + (ม 4 − 2ม 2 น 2 + น 4) =
= (ม 4 + 2ม 2 น 2 + น 4) = (ม 2 + น 2) 2 = ค 2 ,

นั่นคือ ( ก,ข,ค) เป็นรูปสามเท่าของพีทาโกรัส ให้เราพิสูจน์ในขณะที่ ก,ข,คเป็นจำนวนโคไพรม์โดยความขัดแย้ง ให้นำตัวเลขเหล่านี้มาหารด้วย หน้า> 1. ตั้งแต่ มและ นมีการจับคู่ที่แตกต่างกันแล้ว ขและ ค- ไม่มีการจับคู่นั่นคือ หน้า≠ 2. เพราะ รแบ่ง ขและ ค, ที่ รต้องหาร2 ม 2 และ 2 น 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ หน้า≠ 2 ดังนั้น ม, นเป็นโคไพรม์และ ก,ข,คเป็นโคไพรม์ด้วย

ตารางที่ 1 แสดงสามเท่าของพีทาโกรัสดั้งเดิมทั้งหมดที่สร้างขึ้นโดยสูตร (2) สำหรับ ม≤10.

ตารางที่ 1. พีทาโกรัสดั้งเดิมสามเท่าสำหรับ ม≤10

ม	น	ก	ข	ค	ม	น	ก	ข	ค
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

การวิเคราะห์ตารางนี้แสดงชุดของรูปแบบต่อไปนี้:

• หรือ ก, หรือ ขหารด้วย 3;
• หนึ่งในตัวเลข ก,ข,คหารด้วย 5;
• ตัวเลข กหารด้วย 4 ลงตัว;
• งาน ก· ขหารด้วย 12 ลงตัว

ในปี พ.ศ. 2514 Teigan และ Hedwin นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันได้เสนอพารามิเตอร์ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นความสูง (height) เพื่อสร้างแฝดสาม ชม. = ค- b และส่วนเกิน (สำเร็จ) อี = ก + ข − ค. ในรูปที่ 1 ปริมาณเหล่านี้จะแสดงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปที่ 1 สามเหลี่ยมมุมฉากและการเติบโตและส่วนที่เกิน

ชื่อ "ส่วนเกิน" นั้นมาจากข้อเท็จจริงที่ว่านี่คือระยะทางเพิ่มเติมที่ต้องผ่านขาของสามเหลี่ยมจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง หากคุณไม่เดินไปตามเส้นทแยงมุม

จากส่วนเกินและการเติบโต ด้านต่างๆ ของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสสามารถแสดงเป็น:

อี 2 อี 2
ก = ชม. + อี, ข = อี + ——, ค = ชม. + อี + ——, (3)
2ชม. 2ชม.

ไม่ใช่ชุดค่าผสมทั้งหมด ชม.และ อีอาจสอดคล้องกับสามเหลี่ยมพีทาโกรัส สำหรับที่กำหนด ชม.ค่าที่เป็นไปได้ อีเป็นผลคูณของจำนวนหนึ่ง ง. หมายเลขนี้ งเรียกว่าการเจริญเติบโตและหมายถึง ชม.ด้วยวิธีการดังต่อไปนี้: งคือจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดซึ่งกำลังสองหารด้วย 2 ลงตัว ชม.. เพราะ อีหลายรายการ งแล้วเขียนเป็น อี = เคดี, ที่ไหน เคเป็นจำนวนเต็มบวก

ด้วยความช่วยเหลือของคู่ ( เค,ชม.) คุณสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัสทั้งหมด รวมทั้งรูปไม่ดั้งเดิมและรูปทั่วไปได้ดังนี้:

(ดีเค) 2 (ดีเค) 2
ก = ชม. + ดีเค, ข = ดีเค + ——, ค = ชม. + ดีเค + ——, (4)
2ชม. 2ชม.

ยิ่งกว่านั้น ทริปเปิลยังเป็นสิ่งดั้งเดิมหาก เคและ ชม.เป็นโคไพรม์และถ้า ชม. =± ถาม 2 ที่ ถาม- ไม่มีคู่
ยิ่งกว่านั้น มันจะเท่ากับสามเท่าของพีทาโกรัส เค> √2 ชม./งและ ชม. > 0.

การค้นหา เคและ ชม.จาก ( ก,ข,ค) ทำดังต่อไปนี้:

• ชม. = ค − ข;
• เขียนลงไป ชม.ยังไง ชม. = พีคิว 2 ที่ไหน หน้า> 0 และที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
• ง = 2พีคิวถ้า หน้า- ไม่จับคู่และ ง = พีคิว, ถ้า p ถูกจับคู่;
• เค = (ก − ชม.)/ง.

ตัวอย่างเช่นสำหรับสาม (8,15,17) ที่เรามี ชม.= 17−15 = 2 1 ดังนั้น หน้า= 2 และ ถาม = 1, ง= 2 และ เค= (8 − 2)/2 = 3 ดังนั้นค่าสามเท่านี้จะได้เป็น ( เค,ชม.) = (3,2).

สำหรับสาม (459,1260,1341) เรามี ชม.= 1341 − 1260 = 81 ดังนั้น หน้า = 1, ถาม= 9 และ ง= 18 ดังนั้น เค= (459 − 81)/18 = 21 รหัสของเลขสามตัวนี้คือ ( เค,ชม.) = (21, 81).

ระบุสามเท่าด้วย ชม.และ เคมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ พารามิเตอร์ เคเท่ากับ

เค = 4ส/(พ), (5)

ที่ไหน ส = ab/2 คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมและ พี = ก + ข + คเป็นปริมณฑลของมัน. สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกัน อีพี = 4สซึ่งมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อีเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม นี่มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ = (ก − ร)+(ข − ร) = ก + ข − 2ร, ที่ไหน รคือรัศมีของวงกลม จากที่นี่ ชม. = ค − ข = ก − 2รและ อี = ก − ชม. = 2ร.

สำหรับ ชม.> 0 และ เค > 0, เคเป็นจำนวนลำดับของแฝดสาม ก-ข-คในลำดับของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่เพิ่มขึ้น ชม.. จากตารางที่ 2 ซึ่งแสดงตัวเลือกต่างๆ สำหรับแฝดสามที่เกิดจากคู่ ชม., เคจะเห็นได้ว่ามีเพิ่มขึ้น เคด้านของสามเหลี่ยมเพิ่มขึ้น ดังนั้น ไม่เหมือนการนับเลขแบบคลาสสิก การนับเลขเป็นคู่ ชม., เคมีลำดับที่สูงขึ้นตามลำดับของแฝดสาม

ตารางที่ 2 พีทาโกรัสสามเท่าที่สร้างโดยคู่ h, k

ชม.	เค	ก	ข	ค	ชม.	เค	ก	ข	ค
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

สำหรับ ชม. > 0, งตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน 2√ ชม. ≤ ง ≤ 2ชม.ซึ่งถึงขอบล่างที่ หน้า= 1 และตัวบนอยู่ที่ ถาม= 1. ดังนั้นค่า งเกี่ยวกับ 2√ ชม.เป็นตัววัดว่าเท่าไหร่ ชม.ห่างจากกำลังสองของจำนวนหนึ่ง

คุณสมบัติ

เนื่องจากสมการ x 2 + ย 2 = ซี 2 เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อคูณ x , ยและ ซีสำหรับจำนวนเดียวกัน คุณจะได้สามเท่าของพีทาโกรัสอีกตัว พีทาโกรัสสามตัวเรียกว่า ดั้งเดิมหากไม่สามารถรับได้ด้วยวิธีนี้ นั่นคือ - จำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างแน่นอน

ตัวอย่าง

พีทาโกรัสสามเท่า (เรียงลำดับจากน้อยไปหามากของจำนวนสูงสุด เน้นที่ดั้งเดิม):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของตัวเลขฟีโบนัชชี คุณสามารถสร้างได้ ตัวอย่างเช่น เลขสามเท่าของพีทาโกรัส:

.

เรื่องราว

พีทาโกรัสสามชั้นเป็นที่รู้จักกันมาเป็นเวลานาน ในสถาปัตยกรรมของหลุมฝังศพของชาวเมโสโปเตเมียโบราณ มีการพบรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปที่มีด้านละ 9, 12 และ 15 ศอก ปิรามิดของฟาโรห์สเนฟรู (ศตวรรษที่ XXVII ก่อนคริสต์ศักราช) สร้างขึ้นโดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 20, 21 และ 29 เช่นเดียวกับ 18, 24 และ 30 ศอกอียิปต์

ดูสิ่งนี้ด้วย

ลิงค์

• อี. เอ. โกรินกำลังของจำนวนเฉพาะในพีทาโกรัสสามเท่า // คณิตศาสตรศึกษา. - 2551. - ว. 12. - ส. 105-125.

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553 .

ดูว่า "ตัวเลขพีทาโกรัส" คืออะไรในพจนานุกรมอื่น ๆ :

จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ เช่น รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากัน) กับจำนวนเหล่านี้เป็นมุมฉาก เช่น เลขสามตัว: 3, 4, 5… พจนานุกรมสารานุกรมเล่มใหญ่

จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติที่ทำให้รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากัน) กับจำนวนเหล่านี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เช่น จำนวนสามเท่าของจำนวน: 3, 4, 5 * * * PYTHAGORAN NUMBERS PYTHAGORAN NUMBERS จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ เช่น ที่ ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติที่ทำให้รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากัน) กับจำนวนเหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามทฤษฎีบทผกผันของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ดูทฤษฎีบทปีทาโกรัส) สำหรับสิ่งนี้ก็เพียงพอแล้วที่พวกเขา ... ...

เลขสามตัวของจำนวนเต็มบวก x, y, z เป็นไปตามสมการ x2+y 2=z2 คำตอบทั้งหมดของสมการนี้ และผลที่ตามมาคือ P. p. แสดงโดยสูตร x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 โดยที่ a, b เป็นจำนวนเต็มบวกตามอำเภอใจ (a>b) พี เอช ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ เช่น รูปสามเหลี่ยม ความยาวของด้านที่เป็นสัดส่วน (หรือเท่ากัน) กับจำนวนเหล่านี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นต้น เลขสามตัว: 3, 4, 5… วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

ในทางคณิตศาสตร์ เลขปีทาโกรัส (จำนวนสามเท่าของพีทาโกรัส) เป็นผลรวมของจำนวนเต็มสามจำนวนที่เป็นไปตามความสัมพันธ์ของพีทาโกรัส: x2 + y2 = z2 สารบัญ 1 คุณสมบัติ 2 ตัวอย่าง ... Wikipedia

ตัวเลขหยิกเป็นชื่อทั่วไปของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะ แนวคิดทางประวัติศาสตร์นี้ย้อนกลับไปในปีทาโกรัส สันนิษฐานว่านิพจน์ "สี่เหลี่ยมหรือลูกบาศก์" เกิดขึ้นจากตัวเลขหยิก สารบัญ ... ... วิกิพีเดีย

ตัวเลขหยิกเป็นชื่อทั่วไปของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตเฉพาะ แนวคิดทางประวัติศาสตร์นี้ย้อนกลับไปในปีทาโกรัส ตัวเลขหยิกมีดังต่อไปนี้: ตัวเลขเชิงเส้นคือตัวเลขที่ไม่แยกย่อยเป็นปัจจัยนั่นคือ ... ... Wikipedia

- "pi paradox" เป็นเรื่องตลกในหัวข้อคณิตศาสตร์ซึ่งแพร่หลายในหมู่นักเรียนจนถึงยุค 80 (อันที่จริงก่อนการกระจายตัวของเครื่องคิดเลขขนาดเล็กจำนวนมาก) และเกี่ยวข้องกับความแม่นยำที่ จำกัด ในการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติและ ... ... วิกิพีเดีย

- (เลขคณิตกรีกจากเลขคณิต) ศาสตร์แห่งตัวเลข โดยหลักแล้วเป็นจำนวนธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก) และเศษส่วน (จำนวนตรรกยะ) และการดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้ ครอบครองแนวคิดที่พัฒนาอย่างเพียงพอของจำนวนธรรมชาติและความสามารถในการ ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

หนังสือ

• ฤดูร้อนของอาร์คิมีดีนหรือประวัติศาสตร์ของชุมชนนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ ระบบเลขฐานสอง โดย Bobrov Sergey Pavlovich ระบบเลขฐานสอง, "หอคอยแห่งฮานอย", การเคลื่อนไหวของอัศวิน, สี่เหลี่ยมวิเศษ, สามเหลี่ยมเลขคณิต, ตัวเลขหยิก, การรวมกัน, แนวคิดของความน่าจะเป็น, แถบโมเบียสและขวดไคลน์...

» ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ผู้มีเกียรติแห่งมหาวิทยาลัยวอร์วิค เอียน สจ๊วต ผู้มีชื่อเสียงด้านวิทยาศาสตร์ ซึ่งอุทิศตนให้กับบทบาทของตัวเลขในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติและความเกี่ยวข้องของการศึกษาในยุคของเรา

ด้านตรงข้ามมุมฉากของพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสมีด้านที่เป็นจำนวนเต็มและมุมฉาก ในด้านที่ง่ายที่สุดด้านที่ยาวที่สุดมีความยาว 5 ส่วนที่เหลือคือ 3 และ 4 มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ 5 รูป สมการดีกรีห้าไม่สามารถแก้ได้ด้วยรากดีกรีห้า - หรือรากอื่นๆ โครงตาข่ายในระนาบและพื้นที่สามมิติไม่มีสมมาตรแบบหมุนห้าแฉก ดังนั้นคริสตัลจึงไม่มีสมมาตรดังกล่าวด้วย อย่างไรก็ตาม พวกมันสามารถอยู่ในโครงตาข่ายในปริภูมิสี่มิติและในโครงสร้างที่น่าสนใจที่เรียกว่า ควอซิคริสตัล

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามพีทาโกรัสที่เล็กที่สุด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉากที่มีชื่อเสียงโด่งดัง) มีความสัมพันธ์กับอีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยมนี้อย่างเรียบง่ายและสวยงาม กล่าวคือ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกด้าน สองข้าง.

ตามเนื้อผ้า เราเรียกทฤษฎีบทนี้ว่า Pythagoras แต่ความจริงแล้วประวัติของมันค่อนข้างคลุมเครือ แผ่นดินเหนียวบ่งบอกว่าชาวบาบิโลนโบราณรู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสมานานก่อนพีทาโกรัสเสียอีก ความรุ่งโรจน์ของผู้ค้นพบถูกนำมาให้เขาโดยลัทธิทางคณิตศาสตร์ของ Pythagoreans ซึ่งผู้สนับสนุนเชื่อว่าจักรวาลขึ้นอยู่กับรูปแบบตัวเลข ผู้เขียนโบราณมีสาเหตุมาจาก Pythagoreans - และ Pythagoras - ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย แต่ในความเป็นจริงเราไม่รู้ว่า Pythagoras คณิตศาสตร์ประเภทใดที่ตัวเองทำ เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าชาวปีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทปีทาโกรัสได้หรือไม่ หรือพวกเขาเชื่อว่ามันเป็นความจริง หรือเป็นไปได้มากว่าพวกเขามีข้อมูลที่น่าเชื่อถือเกี่ยวกับความจริงของมัน ซึ่งยังคงไม่เพียงพอสำหรับสิ่งที่เราถือว่าเป็นข้อพิสูจน์ในวันนี้

หลักฐานของพีทาโกรัส

หลักฐานแรกของทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบได้ในองค์ประกอบของยุคลิด นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อนโดยใช้ภาพวาดที่เด็กนักเรียนในยุควิกตอเรียจะจำได้ทันทีว่าเป็น "กางเกงปีทาโกรัส" ภาพวาดคล้ายกับกางเกงในที่ตากบนเชือกจริงๆ แท้จริงแล้วมีการพิสูจน์อื่น ๆ หลายร้อยรายการซึ่งส่วนใหญ่ทำให้การยืนยันชัดเจนยิ่งขึ้น

// ข้าว. 33. กางเกงพีทาโกรัส

การพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือปริศนาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง นำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ มาสร้างสำเนาสี่รูปแล้วรวบรวมไว้ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ด้วยการวางเราจะเห็นสี่เหลี่ยมด้านตรงข้ามมุมฉาก กับอีกอัน - สี่เหลี่ยมที่อีกสองด้านของสามเหลี่ยม เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ในทั้งสองกรณีเท่ากัน

// ข้าว. 34. ซ้าย: กำลังสองบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (บวกสี่สามเหลี่ยม) ขวา: ผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้าน (บวกสามเหลี่ยมสี่อันที่เหมือนกัน) ตอนนี้กำจัดสามเหลี่ยม

การผ่าพิสูจน์ Perigal เป็นหลักฐานปริศนาอีกชิ้นหนึ่ง

// ข้าว. 35. การผ่าของ Perigal

นอกจากนี้ยังมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้การซ้อนกำลังสองบนระนาบ บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่ชาวปีทาโกรัสหรือบรรพบุรุษที่ไม่รู้จักค้นพบทฤษฎีบทนี้ หากคุณดูวิธีการที่สี่เหลี่ยมเฉียงซ้อนทับกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกสองอัน คุณจะเห็นวิธีการตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดใหญ่ออกเป็นชิ้นๆ แล้วประกอบเข้าด้วยกันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กสองอัน คุณยังสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งด้านของสามเหลี่ยมนั้นให้ขนาดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสามที่เกี่ยวข้อง

// ข้าว. 36. พิสูจน์ด้วยการปู

มีข้อพิสูจน์ที่น่าสนใจโดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในตรีโกณมิติ ทราบหลักฐานที่แตกต่างกันอย่างน้อยห้าสิบรายการ

พีทาโกรัสแฝดสาม

ในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นที่มาของแนวคิดที่เกิดผล นั่นคือ การหาคำตอบของจำนวนเต็มสำหรับสมการพีชคณิต พีทาโกรัสสามเท่าคือเซตของจำนวนเต็ม a, b และ c เช่นนั้น

ทางเรขาคณิต เลขสามดังกล่าวกำหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านจำนวนเต็ม

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็กที่สุดของสามเท่าของพีทาโกรัสคือ 5

อีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้คือ 3 และ 4 ตรงนี้

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดถัดไปคือ 10 เพราะ

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

อย่างไรก็ตาม โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นรูปสามเหลี่ยมเดียวกันที่มีด้านเป็นสองเท่า ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดและแตกต่างกันอย่างแท้จริงถัดไปคือ 13 ซึ่ง

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

ยูคลิดรู้ว่าการแปรผันต่างๆ ของจำนวนสามเท่าของพีทาโกรัสมีมากมายนับไม่ถ้วน และเขาได้ให้สิ่งที่เรียกว่าสูตรเพื่อค้นหาพวกมันทั้งหมด ต่อมาไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียได้เสนอสูตรอาหารง่ายๆ โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับยุคลิด

ใช้จำนวนธรรมชาติสองตัวและคำนวณ:

ผลิตภัณฑ์คู่ของพวกเขา

ความแตกต่างของกำลังสอง

ผลรวมของกำลังสอง

ตัวเลขสามตัวที่ได้จะเป็นด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ยกตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2 และ 1 คำนวณ:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 2 × 1 = 4;

ผลต่างของกำลังสอง: 22 - 12 = 3;

ผลรวมของกำลังสอง: 22 + 12 = 5,

และเราได้สามเหลี่ยม 3-4-5 อันโด่งดัง หากเราใช้เลข 3 และ 2 แทน เราจะได้:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 3 × 2 = 12;

ผลต่างของกำลังสอง: 32 - 22 = 5;

ผลรวมของกำลังสอง: 32 + 22 = 13,

และเราได้รูปสามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงถัดไป 5 - 12 - 13 ลองใช้ตัวเลข 42 และ 23 แล้วรับ:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 42 × 23 = 1932;

ผลต่างของกำลังสอง: 422 - 232 = 1235;

ผลรวมของกำลังสอง: 422 + 232 = 2293

ไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยม 1235-1932-2293

แต่ตัวเลขเหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

มีคุณสมบัติอีกประการหนึ่งในกฎไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการบอกเป็นนัยแล้ว: เมื่อได้รับตัวเลขสามตัวแล้ว เราสามารถนำตัวเลขอื่นมาคูณกับตัวเลขทั้งหมดได้ ดังนั้น สามเหลี่ยม 3-4-5 สามารถเปลี่ยนเป็นรูปสามเหลี่ยม 6-8-10 ได้โดยการคูณทุกด้านด้วย 2 หรือเปลี่ยนเป็นสามเหลี่ยม 15-20-25 โดยการคูณทุกอย่างด้วย 5

ถ้าเราเปลี่ยนไปใช้ภาษาของพีชคณิต กฎจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: ให้ u, v และ k เป็นจำนวนธรรมชาติ จากนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน

2kuv และ k (u2 - v2) มีด้านตรงข้ามมุมฉาก

มีวิธีอื่นในการนำเสนอแนวคิดหลัก แต่ทั้งหมดจะสรุปเป็นวิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น วิธีนี้ช่วยให้คุณได้พีทาโกรัสทั้งหมดสามเท่า

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (หรือ รูปทรงหลายเหลี่ยม) เป็นรูปสามมิติที่มีหน้าเรียบจำนวนจำกัด แง่มุมมาบรรจบกันบนเส้นที่เรียกว่าขอบ ขอบบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าจุดยอด

จุดสุดยอดของ "หลักการ" ของยุคลิดคือข้อพิสูจน์ว่าสามารถมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้เพียงห้าเหลี่ยม นั่นคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่แต่ละหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากัน มุมเท่ากัน) ใบหน้าทั้งหมดเหมือนกัน และจุดยอดทั้งหมดล้อมรอบ ด้วยจำนวนหน้าที่มีระยะห่างเท่าๆ กัน ต่อไปนี้คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ:

จัตุรมุขที่มีสี่หน้าสามเหลี่ยมสี่ยอดและหกขอบ

ลูกบาศก์หรือหกเหลี่ยมที่มีหน้าเหลี่ยม 6 ด้าน 8 จุดยอดและ 12 ขอบ

octahedron ที่มี 8 ใบหน้ารูปสามเหลี่ยม, 6 จุดยอดและ 12 ขอบ;

รูปห้าเหลี่ยมที่มีหน้าห้าเหลี่ยม 12 หน้า, 20 จุดยอดและ 30 ขอบ;

icosahedron ที่มีหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้า, 12 จุดยอด และ 30 ขอบ

// ข้าว. 37. ห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในปี 1904 Ernst Haeckel ได้เผยแพร่ภาพวาดของสิ่งมีชีวิตขนาดเล็กที่เรียกว่า radiolarians; หลายรูปมีรูปร่างเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมห้าเหลี่ยมปกติ อย่างไรก็ตาม บางทีเขาแก้ไขธรรมชาติเล็กน้อย และภาพวาดไม่ได้สะท้อนถึงรูปร่างของสิ่งมีชีวิตเฉพาะอย่างครบถ้วน สามโครงสร้างแรกยังพบในผลึก คุณจะไม่พบรูปทรงสิบสองหน้าและอิโคซาฮีดรอนในผลึก แม้ว่าบางครั้งจะพบรูปทรงสิบสองเหลี่ยมและอิโคซาฮีดรอนที่ไม่สม่ำเสมอ dodecahedrons ที่แท้จริงสามารถปรากฏเป็นควอซิคริสตัล ซึ่งเหมือนคริสตัลทุกประการ เว้นแต่ว่าอะตอมของมันไม่ก่อตัวเป็นตารางคาบ

// ข้าว. 38. ภาพวาดโดย Haeckel: radiolarians ในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

// ข้าว. 39. พัฒนาการของ Polyhedra ปกติ

มันน่าสนใจที่จะสร้างแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจากกระดาษโดยการตัดชุดของใบหน้าที่เชื่อมต่อกันออกก่อน - นี่เรียกว่าการกวาดรูปทรงหลายเหลี่ยม การสแกนจะพับตามขอบและขอบที่เกี่ยวข้องจะติดกาวเข้าด้วยกัน การเพิ่มพื้นที่เพิ่มเติมสำหรับทากาวที่ขอบด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละคู่นั้นมีประโยชน์มาก ดังแสดงในรูป 39. หากไม่มีแท่นดังกล่าว คุณสามารถใช้เทปกาวได้

สมการของดีกรีที่ห้า

ไม่มีสูตรพีชคณิตสำหรับการแก้สมการระดับ 5

โดยทั่วไป สมการของระดับที่ 5 จะมีลักษณะดังนี้:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0

ปัญหาคือการหาสูตรสำหรับการแก้สมการดังกล่าว (สามารถมีได้มากถึงห้าคำตอบ) ประสบการณ์เกี่ยวกับสมการกำลังสองและสมการลูกบาศก์ เช่นเดียวกับสมการระดับที่สี่ แนะนำว่าควรมีสูตรดังกล่าวสำหรับสมการระดับห้าด้วย และตามทฤษฎีแล้ว รากของระดับห้า สาม และสองควรปรากฏใน มัน. อีกครั้งหนึ่งสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยว่าสูตรดังกล่าวหากมีอยู่จะกลายเป็นสิ่งที่ซับซ้อนมาก

สมมติฐานนี้กลายเป็นผิดในที่สุด แท้จริงแล้วไม่มีสูตรดังกล่าวอยู่ อย่างน้อยก็ไม่มีสูตรที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ a, b, c, d, e และ f ซึ่งประกอบขึ้นโดยใช้การบวก การลบ การคูณและการหาร เช่นเดียวกับการรูท ดังนั้นจึงมีบางอย่างที่พิเศษมากเกี่ยวกับเลข 5 สาเหตุของพฤติกรรมที่ผิดปกติของทั้งห้านั้นลึกซึ้งมากและต้องใช้เวลามากในการคิดออก

สัญญาณแรกของปัญหาคือ ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะพยายามค้นหาสูตรนั้นยากเพียงใด ไม่ว่าพวกเขาจะฉลาดแค่ไหน พวกเขาก็ล้มเหลวเสมอ บางครั้งทุกคนเชื่อว่าเหตุผลนั้นอยู่ในความซับซ้อนที่เหลือเชื่อของสูตร เชื่อกันว่าไม่มีใครสามารถเข้าใจพีชคณิตนี้ได้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เมื่อเวลาผ่านไป นักคณิตศาสตร์บางคนเริ่มสงสัยว่ามีสูตรดังกล่าวอยู่จริง และในปี 1823 Niels Hendrik Abel ก็สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้ ไม่มีสูตรดังกล่าว หลังจากนั้นไม่นาน Évariste Galois ก็พบวิธีที่จะตัดสินว่าสมการระดับหนึ่งหรือสมการสมการอื่น - 5, 6, 7 หรือใดๆ โดยทั่วไป - สามารถแก้ได้โดยใช้สูตรประเภทนี้

ข้อสรุปจากทั้งหมดนี้เป็นเรื่องง่าย: เลข 5 เป็นพิเศษ คุณสามารถแก้สมการพีชคณิต (โดยใช้รากที่ n สำหรับค่าต่างๆ ของ n) สำหรับกำลังของ 1, 2, 3 และ 4 แต่ไม่ใช่สำหรับกำลังของ 5 นี่คือจุดสิ้นสุดของรูปแบบที่ชัดเจน

ไม่มีใครแปลกใจที่สมการของกำลังที่มากกว่า 5 จะทำงานแย่ลงไปอีก โดยเฉพาะอย่างยิ่งความยากเดียวกันกับพวกเขา: ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหา นี่ไม่ได้หมายความว่าสมการไม่มีคำตอบ ไม่ได้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาค่าตัวเลขที่แม่นยำมากของโซลูชันเหล่านี้ ทั้งหมดนี้เป็นเรื่องของข้อจำกัดของเครื่องมือพีชคณิตแบบดั้งเดิม สิ่งนี้ชวนให้นึกถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดมุมด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ มีคำตอบ แต่วิธีการที่ระบุไว้นั้นไม่เพียงพอและไม่อนุญาตให้คุณระบุว่ามันคืออะไร

ข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์

คริสตัลในสองและสามมิติไม่มีสมมาตรการหมุนแบบ 5 ลำแสง

อะตอมในผลึกก่อตัวเป็นโครงตาข่าย นั่นคือ โครงสร้างที่ทำซ้ำเป็นระยะๆ ในหลายทิศทางที่เป็นอิสระต่อกัน ตัวอย่างเช่น ลวดลายบนวอลล์เปเปอร์จะทำซ้ำตามความยาวของม้วน นอกจากนี้ มักจะทำซ้ำในแนวนอน บางครั้งมีการเปลี่ยนจากวอลล์เปเปอร์ชิ้นหนึ่งไปยังอีกชิ้นหนึ่ง โดยพื้นฐานแล้ววอลล์เปเปอร์นั้นเป็นคริสตัลสองมิติ

ลวดลายวอลเปเปอร์บนเครื่องบินมี 17 แบบ (ดูบทที่ 17) พวกเขาแตกต่างกันในประเภทของสมมาตรนั่นคือในวิธีการเปลี่ยนรูปแบบอย่างเข้มงวดเพื่อให้มันอยู่ในตำแหน่งเดิม ประเภทของสมมาตรรวมถึงโดยเฉพาะอย่างยิ่งรูปแบบต่างๆของสมมาตรแบบหมุนซึ่งรูปแบบควรหมุนผ่านมุมหนึ่งรอบจุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของสมมาตร

ลำดับของการหมุนแบบสมมาตรคือจำนวนครั้งที่คุณสามารถหมุนตัวกล้องให้เต็มวงกลมเพื่อให้รายละเอียดทั้งหมดของภาพกลับสู่ตำแหน่งเดิม ตัวอย่างเช่น การหมุน 90° คือสมมาตรการหมุนลำดับที่ 4* รายการประเภทสมมาตรการหมุนที่เป็นไปได้ในตาข่ายคริสตัลอีกครั้งชี้ไปที่ความผิดปกติของหมายเลข 5: ไม่มีอยู่ มีรูปแบบต่างๆ ที่มีสมมาตรการหมุนของลำดับที่ 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่มีรูปแบบวอลเปเปอร์ใดที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 5 นอกจากนี้ยังไม่มีความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่มากกว่า 6 ในผลึก แต่การละเมิดลำดับครั้งแรกยังคงเกิดขึ้นที่หมายเลข 5

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับระบบผลึกศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ ที่นี่ตาข่ายซ้ำในสามทิศทางอิสระ มีความสมมาตรที่แตกต่างกัน 219 แบบหรือ 230 แบบหากเราพิจารณาการสะท้อนในกระจกของรูปแบบเป็นรุ่นแยกต่างหาก - ยิ่งไปกว่านั้นในกรณีนี้ไม่มีความสมมาตรของกระจก อีกครั้ง สมมาตรการหมุนของคำสั่ง 2, 3, 4 และ 6 ถูกสังเกต แต่ไม่ใช่ 5 ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์

ในปริภูมิสี่มิติ มีแลตทิซที่มีสมมาตรลำดับที่ 5 อยู่ โดยทั่วไป สำหรับโครงตาข่ายที่มีขนาดสูงเพียงพอ ลำดับสมมาตรการหมุนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ ก็ได้

// ข้าว. 40. ผลึกเกลือแกง ลูกบอลสีเข้มแทนอะตอมของโซเดียม ลูกบอลสีอ่อนแทนอะตอมของคลอรีน

ควอซิคริสตัล

แม้ว่าความสมมาตรแบบหมุนลำดับที่ 5 จะไม่สามารถทำได้ในแลตทิซแบบ 2 มิติและ 3 มิติ แต่ก็สามารถมีอยู่ในโครงสร้างปกติน้อยกว่าเล็กน้อยที่เรียกว่าควาซิคริสตัล โรเจอร์ เพนโรสใช้ภาพสเก็ตช์ของเคปเลอร์ค้นพบระบบพื้นราบที่มีสมมาตรห้าเท่าแบบทั่วไป เรียกว่าควอซิคริสตัล

ควอซิคริสตัลมีอยู่ในธรรมชาติ ในปี 1984 Daniel Shechtman ค้นพบว่าโลหะผสมของอลูมิเนียมและแมงกานีสสามารถสร้างผลึกกึ่งได้ ในขั้นต้น นักผลึกศาสตร์ทักทายข้อความของเขาด้วยความสงสัย แต่ภายหลังการค้นพบได้รับการยืนยัน และในปี 2554 Shechtman ได้รับรางวัลโนเบลสาขาเคมี ในปี 2009 ทีมนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดย Luca Bindi ได้ค้นพบผลึกกึ่งผลึกในแร่จากที่ราบสูง Koryak ของรัสเซีย ซึ่งเป็นสารประกอบของอะลูมิเนียม ทองแดง และเหล็ก ปัจจุบันแร่นี้เรียกว่า icosahedrite จากการวัดปริมาณไอโซโทปออกซิเจนต่างๆ ในแร่ด้วยเครื่องแมสสเปกโตรมิเตอร์ นักวิทยาศาสตร์แสดงให้เห็นว่าแร่ธาตุนี้ไม่ได้กำเนิดมาจากโลก มันก่อตัวขึ้นเมื่อประมาณ 4.5 พันล้านปีก่อน ในช่วงเวลาที่ระบบสุริยะเพิ่งเกิดขึ้นใหม่ และใช้เวลาส่วนใหญ่ในแถบดาวเคราะห์น้อย โคจรรอบดวงอาทิตย์ จนกระทั่งมีสิ่งรบกวนบางอย่างเปลี่ยนวงโคจรและนำมันมายังโลกในที่สุด

// ข้าว. 41. ซ้าย: หนึ่งในสองโครงร่างกึ่งผลึกที่มีสมมาตรห้าเท่า ขวา: แบบจำลองอะตอมของควอซิกคริสตัลอลูมิเนียม-แพลเลเดียม-แมงกานีสชนิดไอโคซาฮีดรัล