Ev › Vücut › Diophantus projesi ve keşifleri. Özet: Diophantus

Diophantus projesi ve keşifleri. Özet: Diophantus

Çözümleri tamsayılar arasında bulunması gereken katsayılar.

İskenderiyeli Diophantus
Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς

Doğum tarihi	ne daha önce ne de sonra veya
Doğum yeri	İskenderiye, Mısır
Ölüm tarihi	ne daha önce ne de sonra
Bir ülke	Antik Roma
Bilimsel alan	sayı teorisi
Olarak bilinir	"cebirin babası"
İskenderiyeli Diophantus Wikimedia Commons'ta

Biyografi

Hayatının ayrıntıları hakkında neredeyse hiçbir şey bilinmiyor. Diophantus bir yandan Hypsicles'ten (MÖ 2. yüzyıl) alıntı yapıyor; Öte yandan İskenderiyeli Theon'un (yaklaşık MS 350) Diophantus hakkında yazdığı yazıdan onun yaşamının bu dönem sınırları içinde geçtiği sonucunu çıkarabiliriz. Diophantus'un yaşam süresine ilişkin olası bir açıklama, onun Aritmetik"en saygıdeğer Dionysius'a" adanmıştır. Bu Dionysius'un 3. yüzyılın ortalarında yaşamış İskenderiye Piskoposu Dionysius'tan başkası olmadığı sanılıyor. N. e.

Aşağıdaki denklemin çözümüne eşdeğerdir:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 (\displaystyle x=(\frac (x)(6))+(\frac (x)(12))+(\frac (x) (7))+5+(\frac (x)(2))+4)

Bu denklem şunu verir x = 84 (\displaystyle x=84) yani Diophantus'un yaşı 84'tür. Ancak bilgilerin doğruluğu teyit edilemez.

Aritmetik Diofanta

Diophantus'un ana eseri - Aritmetik 13 kitapta. Ne yazık ki, ilk 13 kitaptan yalnızca 6'sı (veya 10'u, aşağıya bakın) hayatta kaldı.

İlk kitabın önünde Diophantus'un kullandığı notasyonu açıklayan kapsamlı bir giriş yer alıyor. Diophantus bilinmeyen “sayıyı” çağırır ( ἀριθμός ) ve harfle gösterilir ς , bilinmeyen kare - sembol Δ Υ (kısa δύναμις - “derece”), bilinmeyenin küpü - sembol Κ Υ (kısa κύβος - “küp”). Bilinmeyenlerin küp-küp denilen altıncıya kadar olan dereceleri ve eksi altıya kadar olan karşıt dereceleri için özel işaretler verilmiştir.

Diophantus'un toplama işareti yoktur: sadece pozitif terimleri derece sırasına göre yan yana yazar ve her terimde önce bilinmeyenin derecesi, ardından sayısal katsayı yazılır. Çıkarılan terimler de yan yana yazılır ve tüm gruplarının önüne ters Ψ harfi şeklinde özel bir işaret yerleştirilir. Eşittir işareti iki harfle temsil edilir ἴσ (kısa ἴσος - "eşit").

Benzer terimleri getirme kuralı ve aynı sayıyı veya ifadeyi bir denklemin her iki tarafına ekleme veya çıkarma kuralı formüle edildi: el-Khorezmi daha sonra buna "cebir ve almukabala" adını vermeye başladı. İşaret kuralı getirildi: “Eksi artı eksi verir”, “eksi eksi artı verir”; Bu kural, iki ifadeyi çıkarılan terimlerle çarparken kullanılır. Bütün bunlar geometrik yorumlara atıfta bulunulmadan genel terimlerle formüle edilmiştir.

Çalışmanın çoğu, genel yöntemleri göstermek için ustalıkla seçilmiş, çözümleriyle birlikte problemlerin bir derlemesidir (hayatta kalan altı kitapta toplam 189, Arapça kısımdan dördüyle birlikte - 290). Ana sorunlar Aritmetik- Belirsiz denklemlere pozitif rasyonel çözümler bulmak. Rasyonel sayılar, Diophantus tarafından, eski matematikçiler için tipik olmayan doğal sayılarla aynı şekilde ele alınır.

Diophantus ilk olarak iki bilinmeyenli ikinci dereceden denklem sistemlerini inceliyor; Zaten biliniyorsa diğer çözümleri bulmak için bir yöntem belirtir. Daha sonra benzer yöntemleri daha yüksek dereceli denklemlere uygular. Kitap VI rasyonel kenarları olan dik üçgenlerle ilgili problemleri inceliyor.

Etkilemek Aritmetik matematiğin gelişimi için

10. yüzyılda Aritmetik Arapçaya çevrildi (bkz. Kusta ibn Luka), ardından İslam ülkelerinden matematikçiler (Ebu Kamil ve diğerleri) Diophantus'un bazı araştırmalarına devam ettiler. Avrupa'da ilgi artıyor Aritmetik Raphael Bombelli'nin bu eseri Latince'ye çevirip yayınlamasından ve 143 problemi kendi kitabında yayınlamasından sonra arttı. Cebir(1572). 1621'de klasik, detaylı bir şekilde yorumlanmış bir Latince çeviri ortaya çıktı. Aritmetik Bachet de Meziriac tarafından idam edildi.

Diophantus'un yöntemleri François Viète ve Pierre Fermat'ı büyük ölçüde etkiledi; ancak modern zamanlarda belirsiz denklemler, Diophantus'un yaptığı gibi rasyonel sayılarla değil, genellikle tam sayılarla çözülür. Pierre Fermat, Bachet de Mezyriac'ın editörlüğünü yaptığı Diophantus'un Aritmetik kitabını okuduğunda, Diophantus'un ele aldığı denklemlere benzer denklemlerden birinin tamsayılarda çözümü olmadığı sonucuna vardı ve kenarda "gerçekten harika bir denklem kanıtı" bulduğunu belirtti. bu teorem... ancak kitabın kenarları onu dahil edemeyecek kadar dar.” Bu ifade artık Fermat'ın Son Teoremi olarak biliniyor.

20. yüzyılda Diophantus adı altında dört kitabın daha Arapça metni keşfedildi. Aritmetik. Bu metni analiz eden I. G. Bashmakova ve E. I. Slavutin, yazarının Diophantus olmadığı, ancak Diophantus'un yöntemleri konusunda bilgili bir yorumcu, büyük olasılıkla Hypatia olduğu yönünde bir hipotez öne sürdüler. Bununla birlikte, ilk üç ve son üç kitaptaki problemlerin çözümüne yönelik metodolojideki önemli boşluk, dört Arapça tercüme kitabıyla iyice kapatılmıştır. Bu durum bizi daha önceki araştırmaların sonuçlarını yeniden değerlendirmeye zorluyor. . [ ]

Diophantus'un diğer eserleri

Diophantus'un İncelemesi Çokgen sayılar hakkında (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν ) tamamen korunmamış; korunan kısımda geometrik cebir yöntemleri kullanılarak bir dizi yardımcı teorem türetilmiştir.

Diophantus'un eserlerinden Yüzeylerin ölçülmesi hakkında (ἐπιπεδομετρικά ) Ve Çarpma hakkında (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ ) ayrıca sadece parçalar hayatta kaldı.

Diophantus'un Kitabı Porizmler yalnızca kullanılan birkaç teoremden bilinmektedir. Aritmetik.

Ayrıca bakınız

Koleksiyon Budé" (2 cilt yayınlandı: Kitaplar 4 - 7).

Araştırma:

Bashmakova I.G., Slavutin E.I., Rosenfeld B.A. Diophantus'un “Aritmetiğinin” Arapça versiyonu // Tarihsel ve matematiksel çalışmalar. - M., 1978. - Sayı. XXIII. - S.192 - 225.
Başmakova I.G. Cebirsel eğrilerin aritmetiği: (Diophantus'tan Poincaré'ye) // Tarihsel ve matematiksel çalışmalar. - 1975. - Sayı. 20. - s. 104 - 124.
Başmakova I.G. Diophantus ve Diophantine denklemleri. - M.: Nauka, 1972 (Yeniden basım: M.: LKI, 2007). Başına. Onun üzerine. dil: Diophant ve diophantische Gleichungen. -Basel; Stuttgart: Birkhauser, 1974. Çev. İngilizce. dil: Diophantus ve Diophantine Denklemleri/ Çeviri. A. Shenitzer tarafından, H. Grant'in editoryal yardımıyla ve J. Silverman // The Dolciani Mathematical Expositions tarafından güncellenmiştir. - Hayır. 20. - Washington, DC: Amerika Matematik Derneği, 1997.
Başmakova I.G. Diophantus ve Fermat: (Teğet ve ekstrema yönteminin tarihi üzerine) // Tarihsel ve matematiksel çalışmalar. - M., 1967. - Sayı. VII. - S.185 - 204.
Bashmakova I.G., Slavutin E.I. Diophantus'tan Fermat'a Diophantine analizinin tarihi. - M.: Nauka, 1984.
Antik çağlardan 19. yüzyılın başlarına kadar matematiğin tarihi. - T. I: En eskilerden. Yeni Çağın başlangıcından önceki zamanlar. zaman / Ed. A.P. Yuşkeviç. - M., Nauka, 1970.
Slavutin E. I. Diophantus'un cebiri ve kökenleri // Tarihsel ve matematiksel çalışmalar. - M., 1975. - Sayı. 20. - s. 63 - 103.
Shchetnikov A. I.İskenderiyeli Diophantus'un "Çokgen Sayılar Üzerine" kitabına tamamen cebirsel denilebilir mi? // Tarihsel ve matematiksel araştırma. - M., 2003. - Sayı. 8 (43). - sayfa 267 - 277.
Heath Th. L.İskenderiyeli Diophantus, Yunan Cebiri Tarihi Üzerine Bir Araştırma. - Cambridge, 1910 (Repr.: NY, 1964).
Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: Diophantus ve İskenderiye Kahramanı Üzerine // Historia Mathematica. - 20. - 1993. - S. 180 - 192.
Christianidis J. Diophantus'un yolu: Diophantus'un çözüm yöntemi üzerine bazı açıklamalar // Historia Mathematica. - 34. - 2007. - S. 289 - 305.
Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Ders tarihi ve matematik . - De Gruyter, 2013.

Belediye eğitim kurumu

"Lise No. 10" Perma

Diophantus. Diofant denklemleri

işi yaptım

Ilyina Yana,

11. sınıf öğrencisi

Süpervizör

Zolotukhina L.V.

matematik öğretmeni

Perm, 2010

Giriş……………………………………………………………………………….3

1. Diophantus………………………………………………………………………………..…4

2. Sayılar ve semboller………………………………………………………6

3. Diofant denklemi……………………………………………..…8

4. Çözümler………………………………………………………..12

Sonuç…………………………………………………………………………………15

Referanslar………………………………………………………16

giriiş

Günümüzün okul çocukları çeşitli denklemleri çözüyor. Birleşik Devlet Sınavı görevlerinin C Bölümünde Diophantine denklemi adı verilen ilginç bir denklem vardır. Diophantus, eserlerinde rasyonel sayılarda belirsiz denklemlerin çözümü problemini ortaya koymakla kalmamış, aynı zamanda bunları çözmek için bazı genel yöntemler de vermiştir. Bu yöntemler günümüzün matematik sınavına girecek olan on birinci sınıf öğrencileri için çok faydalı olacaktır.

Diophantus'un matematiğin gelişimine Arşimet kadar büyük katkısı olmuştur. Örneğin Arşimed'in yaptığı da buydu: Bir elipsin alanlarını, bir parabol parçasını, bir kürenin yüzeyini, bir kürenin hacimlerini ve diğer cisimleri belirlerken integral toplamları yöntemini ve geçiş yöntemini kullandı. ancak hiçbir yerde bu yöntemlerin genel ve soyut bir tanımını vermedi. 16. ve 17. yüzyıl bilim adamları, Arşimet'in yöntemlerini oradan izole etmek için eserlerini dikkatle incelemek ve yeni bir şekilde yeniden düzenlemek zorunda kaldılar. Diophantus'ta da durum benzerdir. Onun yöntemleri Viethe ve Fermat tarafından anlaşıldı ve yeni problemlere uygulandı. Arşimed'in çözüldüğü zamanda.

1. Diophantus

Diophantus, bilim tarihinin en zor gizemlerinden birini sunuyor. Onun hangi dönemde yaşadığını ve aynı alanda çalışmış olan seleflerini bilmiyoruz. Eserleri, aşılmaz karanlığın ortasında parlayan bir ateş gibidir. Diophantus'un yaşayabileceği süre yarım bin yıldır! Bu aralığın alt sınırı zorlanmadan belirlenir: Diophantus çokgen sayılar üzerine yazdığı kitabında MÖ 2. yüzyılın ortalarında yaşamış matematikçi İskenderiyeli Hypsicles'ten defalarca bahseder. e. Öte yandan İskenderiyeli Theon'un ünlü gökbilimci Ptolemy'nin "Almagest"ine yaptığı yorumda Diophantus'un eserinden bir alıntıya yer veriliyor. Theon MS 4. yüzyılın ortalarında yaşamıştır. e. Bu, bu aralığın üst sınırını belirler. Yani 500 yıl!

Ancak Diophantus'un ikamet ettiği yer iyi biliniyor - burası Helenistik dünyanın bilimsel düşüncesinin merkezi olan ünlü İskenderiye'dir.

Diophantus'un kişiliği hakkında bilinen her şeyi özetlemek için bize ulaşan bir bilmece şiirini sunuyoruz:

Diophantus'un külleri mezarda duruyor; ona ve taşa hayret ediyorum
Merhumun yaşı onun hikmetli sanatıyla konuşur.
Tanrıların izniyle hayatının altıda birini çocuk olarak geçirdi.
Ve beş buçukta yanaklarımda tüylerle karşılaştım.
Kız arkadaşıyla nişanlandığında henüz yedinci gündü.
Bilge, onunla beş yıl geçirdikten sonra oğlunu bekledi;
Babasının çok sevdiği oğlu ömrünün sadece yarısını yaşadı.
Babasının elinden erken mezarı tarafından alındı.
İki yıl boyunca iki kez ebeveyn ağır bir kederin yasını tuttu,
Burada hüzünlü hayatımın sınırını gördüm.

Buradan Diophantus'un 84 yıl yaşadığını hesaplamak kolaydır. Ancak bunun için Diophantus sanatında ustalaşmanıza gerek yok! 1. dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözebilmek yeterliydi ve Mısırlı yazıcılar bunu M.Ö. 2 bin yıl önce yapabilmişlerdi. e.

Ancak en gizemli olanı Diophantus'un eseridir. “Aritmetik” başlığı altında birleştirilen 13 kitaptan altısı bize ulaştı. Bu kitapların tarzı ve içeriği, örneklerini Öklid'in Elementleri'nden, Verileri'nden ve Arşimet ile Apollonius'un çalışmalarından lemmalardan bildiğimiz sayı teorisi ve cebir üzerine klasik antik çalışmalardan keskin bir şekilde farklıdır. "Aritmetik" şüphesiz bizim tarafımızdan tamamen bilinmeyen çok sayıda çalışmanın sonucuydu. Köklerini ancak tahmin edebiliriz ve yöntemlerinin ve sonuçlarının zenginliğine ve güzelliğine hayran kalabiliriz.

Diophantus'un "Aritmetiği", her biri bir çözüm (veya birkaç çözüm yöntemi) ve gerekli açıklamalarla donatılmış bir problemler koleksiyonudur (toplamda 189 tane vardır). Dolayısıyla ilk bakışta teorik bir çalışma olmadığı görülüyor. Ancak dikkatli bir okuma, problemlerin dikkatle seçildiğini ve çok spesifik, kesinlikle düşünülmüş yöntemleri açıklamaya hizmet ettiğini gösterir. Eski zamanlarda alışılmış olduğu gibi, yöntemler genel bir biçimde formüle edilmez, benzer sorunları çözmek için tekrarlanır.

2. Sayılar ve semboller

Diophantus temel tanımlarla ve kullanacağı harf sembollerinin açıklamasıyla başlıyor.

Tamamını Öklid'in Elementleri'nde bulan klasik Yunan matematiğinde άριJμός - “ aritmi" veya " aritmos"; dolayısıyla sayılar bilimi için "aritmetik" adı) bir birimler dizisi olarak anlaşıldı, yani. tamsayı. Ne kesirlere ne de irrasyonelliğe sayı deniyordu. Aslına bakılırsa Principia'da kesirler yoktur. Birim bölünmez kabul edilir ve bir birimin kesirleri yerine tam sayıların oranları dikkate alınır; irrasyonellikler kıyaslanamaz parçaların oranları olarak ortaya çıkar; örneğin, şimdi √2 olarak belirttiğimiz sayı, klasik Yunanlılar için bir karenin köşegeninin kenarına oranıydı. Negatif sayılardan söz edilmiyordu. Bunların eşdeğeri bile yoktu. Diophantus'ta bambaşka bir tabloyla karşılaşıyoruz.

Diophantus, sayının geleneksel tanımını bir birimler kümesi olarak verir, ancak daha sonra problemlerini arar. pozitif rasyonelçözümleri kullanır ve bu tür çözümlerin her birine bir sayı adını verir (άριJμός - “ aritmi »).

Ancak mesele burada bitmiyor. Diophantus negatif sayıları tanıtıyor: onlara λει̃ψις özel terimi diyor - “ leipsis" - λει̃πω fiilinden türetilmiştir - " leipo"eksiklik, eksiklik anlamına gelir, böylece terimin kendisi "eksiklik" kelimesiyle çevrilebilir. Bu arada, ünlü Rus bilim tarihçisi I. Timchenko'nun yaptığı da budur. Diophantus pozitif bir sayıya ΰπαρξις kelimesini çağırır - “ iparxis”, yani varlık, varlık anlamına gelir ve çoğul olarak bu kelime mülkiyet veya mülkiyet anlamına gelebilir. Dolayısıyla Diophantus'un göreli sayılara ilişkin terminolojisi, Orta Çağ'da Doğu ve Avrupa'da kullanılan terminolojiye yakındır. Büyük olasılıkla, bu sadece Yunancadan Arapçaya, Sanskritçeye, Latinceye ve ardından Avrupa'nın çeşitli dillerine yapılan bir çeviriydi.

λει̃ψις teriminin " leipsis" - Diophantus'un birçok çevirmeninin yaptığı gibi "çıkarılmış" olarak tercüme edilemez, çünkü çıkarma işlemi için Diophantus tamamen farklı terimler kullanır, yani άφελει̃ν - " afelein"veya άφαιρει̃ν -" ateş yağmuru", άφαιρεω fiilinden türetilmiştir - " ateş"- götürmek. Denklemleri dönüştürürken Diophantus'un kendisi sıklıkla "her iki tarafa da λει̃ψις ekle" standart ifadesini kullanır.

Okuyucuyu, Diophantus’un terimlerini “olumlu” ve “olumsuz” olarak tercüme edersek hakikatten sapmayacağımız konusunda ikna etmek için, Diophantus’un metninin filolojik analizi üzerinde bu kadar detaylı durduk.

Diophantus göreli sayılar için işaret kuralını formüle eder:

"Negatifin negatifle çarpımı pozitif verir, negatifin pozitifle çarpımı negatif verir ve negatifin ayırt edici işareti ters çevrilmiş ve kısaltılmış (harf) ψ'dir."

“Size çarpma işlemini açıkladıktan sonra önerilen terimlerin bölünmesi de netleşiyor; Şimdi bu tür terimlerin toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine başlamamız iyi olacak. Pozitif veya eşit derecede pozitif ve negatif olan diğer terimlere farklı katsayılara sahip pozitif ve negatif terimler ekleyin ve pozitif ve diğer negatif terimlerden diğer pozitif ve eşit derecede pozitif ve negatif terimleri çıkarın.

Diophantus'un yalnızca rasyonel pozitif çözümler aramasına rağmen, ara hesaplamalarda isteyerek negatif sayıları kullandığını unutmayın.

Dolayısıyla Diophantus'un sayı alanını, dört aritmetik işleminin hiçbir engel olmadan gerçekleştirilebileceği rasyonel sayılar alanına genişlettiğini söyleyebiliriz.

3. Diophant denklemi

Tanım - tamsayı katsayılı, denklem sayısını aşan bilinmeyen sayısına sahip ve tamsayı veya rasyonel çözümlerin arandığı cebirsel denklemler veya cebirsel denklem sistemleri.

balta + ile = 1

Nerede A Ve B- eş asal tamsayılar

Eş asal sayılar tüm bu sayıların ortak bölenleri yalnızca +1 ve -1 olacak şekilde birkaç tam sayı. Bir çift asal sayının en küçük katı, çarpımlarına eşittir.

sonsuz sayıda çözümü vardır:

Eğer x0 Ve y0- bir çözüm, ardından sayılar

X = x0 + milyar

en = y0 -BİR

(N- herhangi bir tamsayı) da çözüm olacaktır.

D. u.'nun başka bir örneği.

x2 + y2 = z2

Bu denklemin pozitif tamsayı çözümleri bacakların uzunluklarını temsil eder X , en ve hipotenüs z Kenar uzunlukları tam sayı olan dik üçgenlere Pisagor sayıları denir.

Kenar uzunlukları bu sayılarla orantılı (veya eşit) olan bir üçgen dikdörtgen olacak şekilde doğal sayıların üçlüleri.

Eş asal Pisagor sayılarının tüm üçlüleri aşağıdaki formüller kullanılarak elde edilebilir:

X = m2 - n2

en = 2milyon

z = m2 + n2

Nerede M Ve N- bütün sayılar ( M > N > 0).

Bu denklem düzlemde tanımlar R 2 cebirsel eğriΓ. Rasyonel çözüm diyeceğiz (2) rasyonel nokta eğri Γ. Aşağıda, Diophantus'un kendisi bu dili hiçbir yerde kullanmasa da, sıklıkla geometri diline başvuracağız. Ancak geometrik dil artık matematiksel düşünmenin o kadar ayrılmaz bir parçası haline geldi ki onun yardımıyla birçok olguyu anlamak ve açıklamak daha kolay olacak.

Öncelikle denklemlerin (2) veya aynısı olan cebirsel eğrilerin bazı sınıflandırmalarını vermek gerekir. En doğal ve en erken ortaya çıkanı, sırasına göre sınıflandırılmasıdır.

Bunu hatırlayalım sırayla eğri (2), polinomun terimlerinin maksimum sırasıdır F (X , sen), burada bir terimin sırası güçlerin toplamı olarak anlaşılmaktadır. X Ve sen. Bu kavramın geometrik anlamı, düz bir çizginin düzen eğrisiyle kesişmesidir. N tam olarak N puan. Noktaları sayarken elbette kesişme noktalarının çokluğunun yanı sıra karmaşık ve "sonsuz derecede uzak" noktaları da hesaba katmak gerekir. Yani örneğin bir daire X 2 + sen 2 = 1 ve düz X + sen= 2 iki karmaşık noktada kesişiyor ve hiperbol X 2 – sen 2 = 1 ve düz sen =X- sonsuzda iki noktada, düz bir çizgiyle aynı hiperbol X=1'in 2 ortak çokluğu vardır.

Ancak amaçlar doğrultusunda Diofant analizi(bu isim, belirsiz denklemleri çözme problemlerinden doğan matematik alanına verildi; ancak şimdi daha çok Diophantine geometrisi olarak adlandırılıyor) sıraya göre sınıflandırmanın çok kaba olduğu ortaya çıktı.

Pirinç. 1.

Bunu bir örnekle açıklayalım. Bir daire verilsin C : X 2 + sen 2 = 1 ve rasyonel katsayıları olan herhangi bir düz çizgi, örneğin, L : sen=0. Bu çemberin ve doğrunun rasyonel noktalarının birebir eşleşebileceğini gösterelim. Bu, örneğin şu şekilde yapılabilir: noktayı düzeltin A(0,–1) daire içine alın ve her rasyonel noktayı atayın B dümdüz L nokta B" daire C, kavşakta yatıyor C ve düz AB(Şekil 1). Bu noktanın koordinatları B" Mantıklı olacaksa, okuyucunun bunu kendisinin kanıtlamasına izin vereceğiz veya benzer bir kanıtı Diophantus'tan okuyacağız (bir sonraki paragrafta sunulacaktır). Açıkçası, üzerinde en az bir rasyonel nokta bulunuyorsa, herhangi bir konik bölümün rasyonel noktaları ile rasyonel bir çizgi arasında aynı yazışma kurulabilir. Diophantine analizi açısından bakıldığında çemberin C ve düz L ayırt edilemezler: rasyonel çözüm kümeleri eşdeğerdir. Ve bu, her iki eğrinin sırasının farklı olmasına rağmen.

Cebirsel eğrilerin cinslere göre sınıflandırılması daha incelikli olup, bu sınıflandırma ancak 19. yüzyılda Abel ve Riemann tarafından ortaya atılmıştır. Bu sınıflandırma Γ eğrisinin tekil noktalarının sayısını dikkate alır.

Γ eğrisinin denklem (2)'sinde polinomun olduğunu varsayıyoruz. F (X , sen) rasyonel sayılar alanı üzerinde indirgenemez, yani rasyonel katsayılı polinomların çarpımına genişlemez. Bilindiği gibi Γ eğrisine teğetin denklemi P (X 0 , sen 0) olacak

sen – sen 0 = k (X – X 0),

k = –

döviz" (X 0 , sen 0)

fy" (X 0 , sen 0)

Eğer bu noktada P türev döviz" veya fy" sıfırdan farklıysa eğim k tanjantın çok kesin bir anlamı vardır (eğer fy" (X 0 , sen 0) = 0, a döviz" (X 0 , sen 0) ≠ 0 ise k=∞ ve teğet P dikey olacaktır).

Eğer bu noktada P her iki kısmi türev de yok olur,

döviz" (X 0 , sen 0) = 0 ve fy" (X 0 , sen 0) = 0,

sonra işaret et P isminde özel .

Örneğin, eğride sen 2 = X 2 + X 3 nokta (0, 0) özel olacak çünkü içinde döviz" = –2X – 3X 2 ve fy" = 2sen sıfıra git.

Pirinç. 2.

En basit tekil noktalar çift noktalardır; burada türevlerden en az biri fxx "" , f xy "" Ve f yy "" sıfırdan farklıdır. İncirde. Şekil 2, eğrinin iki farklı teğete sahip olduğu çift noktayı göstermektedir. Diğer daha karmaşık tekil noktalar Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.

Pirinç. 3.

4. Çözümler

Kural 1. Eğer c, d'ye bölünemiyorsa, ax + vy = c denkleminin tamsayılarda çözümü yoktur. N.O.D.(a,b) = d.

Kural 2. Eş asal a ve b ile ax + vy = c denklemine bir çözüm bulmak için, önce ax + y = 1 denklemine bir çözüm (X o; y o) bulmalısınız; CX o, Su o sayıları ax + vy = c denkleminin bir çözümünü oluşturur.

Denklemi (x,y) tam sayılarıyla çözün

5x - 8y = 19 ... (1)

İlk yol. Seçim yöntemini kullanarak özel bir çözümün bulunması ve genel çözümün kaydedilmesi.

Eğer N.O.D.(a;b) =1 ise, yani a ve b eş asal sayılardır, bu durumda denklem (1)

x ve y tamsayılarında bir çözümü vardır. N.O.D.(5;8) =1. Seçim yöntemini kullanarak özel bir çözüm buluyoruz: X o = 7; y =2.

Dolayısıyla (7;2) sayı çifti (1) denkleminin özel bir çözümüdür.

Bu, eşitliğin geçerli olduğu anlamına gelir: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 ... (2)

Soru: Bir çözüm verildiğinde diğer tüm çözümler nasıl yazılır?

Denklem (1)'den eşitliği (2) çıkaralım ve şunu elde edelim: 5(x -7) – 8(y - 2) =0.

Dolayısıyla x – 7 = . Ortaya çıkan eşitlikten, (x – 7) sayısının ancak ve ancak (y – 2) 5'e bölünebilmesi durumunda tam sayı olacağı açıktır; y – 2 = 5n, burada n bir tamsayıdır. Yani y = 2 + 5n, x = 7 + 8n, burada n Z.

Böylece orijinal denklemin tüm tamsayı çözümleri aşağıdaki biçimde yazılabilir:

İkinci yol . Bir bilinmeyen için denklem çözme.

Bu denklemi en küçük (modülo) katsayıya sahip bilinmeyene göre çözüyoruz. 5x - 8y = 19 x = .

5'e bölündüğünde kalanlar: 0,1,2,3,4. Bu sayıları y'nin yerine koyalım.

Eğer y = 0 ise x = = olur.

Eğer y = 1 ise x = = olur.

Eğer y = 2 ise x = = = 7 Z olur.

Eğer y = 3 ise x = = olur.

Eğer y = 4 ise x = = olur.) Çözüm

Bu arada çoğu bilim tarihçisi, matematikçilerin aksine Diophantus'un çalışmalarını şimdiye kadar hafife aldı. Birçoğu Diophantus'un yalnızca tek bir çözüm bulmakla sınırlı olduğuna inanıyordu ve bunun için farklı sorunlara farklı yapay teknikler kullanıyordu. Fakat aslında çoğu Diophantine denkleminde benzer çözüm algoritmaları gözlemliyoruz.

Bugün gördüğümüz gibi algoritmaları kolay hatırlanabilen birkaç farklı çözüm var. Daha önce de belirtildiği gibi, bu denklem genellikle Birleşik Devlet Sınavında C6 görevinde bulunur. Diophantine denklemlerini çözmek için algoritmaların incelenmesi, önemli sayıda puana değer olan bu görevin çözülmesine yardımcı olabilir.

Kaynakça

1. İskenderiyeli Diophantus. Aritmetik ve çokgen sayılar hakkında bir kitap (eski Yunancadan I. N. Veselovsky'ye çeviri; I. G. Bashmakova'nın düzenleme ve yorumları). M., “Bilim”, 1974.

2. B. L. Van der Waerden, Uyanış Bilimi (çeviri: I. N. Veselovsky). M., Fizmatgiz, 1959.

3. G. G. Tseyten, Antik Çağda ve Orta Çağda Matematik Tarihi (P. Yushkevich'in çevirisi). M.–L., Gostekhizdat, 1932

4. A.V. Vasiliev, Tamsayı. Petersburg, 1919

5. I. V. Yashchenko, S. A. Shestakov, P. I. Zakharov, Matematik, Birleşik Devlet Sınavı, MTsNMO, 2010

İskenderiyeli Diophantus(Antik Yunan Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς ; enlem. Diophantus) muhtemelen MS 3. yüzyılda yaşamış eski bir Yunan matematikçisidir. e. Genellikle "cebirin babası" olarak anılır. Belirsiz denklemlere pozitif rasyonel çözümler bulmaya adanmış bir kitap olan "Aritmetik"in yazarı. Günümüzde “Diofant denklemleri” genellikle çözümlerinin tam sayılar arasında bulunması gereken tam sayı katsayılı denklemler anlamına gelmektedir.

Biyografi [ | ]

Latince çeviri Aritmetik (1621)

Aşağıdaki denklemin çözümüne eşdeğerdir:

x = x 6 + x 12 + x 7 + 5 + x 2 + 4 (\displaystyle x=(\frac (x)(6))+(\frac (x)(12))+(\frac (x) (7))+5+(\frac (x)(2))+4)

Bu denklem şunu verir x = 84 (\displaystyle x=84) yani Diophantus'un yaşı 84'tür. Ancak bilgilerin doğruluğu teyit edilemez.

Aritmetik Diofanta[ | ]

Diophantus'un ana eseri - Aritmetik 13 kitapta. Ne yazık ki, ilk 13 kitaptan yalnızca 6'sı (veya 10'u, aşağıya bakın) hayatta kaldı.

Etkilemek Aritmetik matematiğin gelişimi için[ | ]

10. yüzyılda Aritmetik Arapçaya çevrildi ve ardından İslam ülkelerinden matematikçiler (Ebu Kamil ve diğerleri) Diophantus'un bazı araştırmalarına devam ettiler. Avrupa'da ilgi artıyor Aritmetik Raphael Bombelli'nin bu eseri Latince'ye çevirip yayınlamasından ve 143 problemi kendi kitabında yayınlamasından sonra arttı. Cebir(1572). 1621'de klasik, detaylı bir şekilde yorumlanmış bir Latince çeviri ortaya çıktı. Aritmetik Bachet de Meziriac tarafından idam edildi.

Diophantus'un diğer eserleri[ | ]

Diophantus'un Kitabı Porizmler yalnızca kullanılan birkaç teoremden bilinmektedir. Aritmetik.

Yazarın Diophantus'un nerede yaşadığı sorusuna ilişkin bölümde Lera... en iyi cevap Diophantus - (MS 3. yüzyılın sonları) - ünlü antik Yunan matematikçisi.
Hayatı hakkında neredeyse hiçbir bilgi yok; doğum ve ölüm tarihleri bile tamamen güvenilir değil.
Mısır'ın İskenderiye şehrinde yaşadı.
Diophantus'un faaliyeti, bilindiği gibi Roma tarafından fethedilen Yunanistan'ın gerilemesiyle aynı zamana denk geldi.
Yunan bilim adamları Mısır'a, özellikle de o zamanlar dünya kültürünün merkezi haline gelen İskenderiye'ye sığındılar.
Diophantus zamanında dünya kültürünün ve beşeri bilimlerin merkezi haline gelen İskenderiye'de muhteşem bir kütüphane oluşturuldu; İskenderiye'de sözde kütüphane ortaya çıktı. Doğa ve matematik bilimlerinin en seçkin temsilcilerinin faaliyetlerinin yoğunlaştığı Museion (ilham perilerinin tapınağı veya kutsal alanı).
Bu bilim adamları arasında, Suriyeli ve Hintli matematikçilerle tanışması sayesinde Babillilerin cebir alanındaki başarılarını Yunan bilimine aktaran matematikçi Diophantus da vardı.

Yanıtlayan: İskender[guru]
Yunanistan'dan tüm matematikçiler

Yanıtlayan: katkı yapmak[acemi]
İskenderiyeli Diophantus olduğu gerçeğine bakılırsa MS 3. yüzyılda İskenderiye'de (modern Mısır topraklarında) yaşamıştır. Muhtemelen yaşam tarihleri: doğum - 325, ölüm - MS 409

Yanıtlayan: Delmek[acemi]
İskenderiyeli Diophantus mu?
Antik Romalı matematikçi
MS 3. yüzyılda yaşadığı iddia edilen eski bir Yunan matematikçisi. e. Genellikle "cebirin babası" olarak anılır. Belirsiz denklemlere pozitif rasyonel çözümler bulmaya adanmış bir kitap olan "Aritmetik"in yazarı. Günümüzde “Diofant denklemleri” genellikle çözümlerinin tam sayılar arasında bulunması gereken tam sayı katsayılı denklemler anlamına gelmektedir.

Ahtapotların 8, denizyıldızlarının 5 bacağı vardır.

Toplamda 39 uzuv varsa akvaryumda kaç tane deniz hayvanı vardır?

İskenderiyeli Diophantus, muhtemelen MS 3. yüzyılda yaşamış eski bir Yunan matematikçisidir.

Hayatının ayrıntıları hakkında neredeyse hiçbir şey bilinmiyor. Diophantus bir yandan Hypsicles'ten (MÖ 2. yüzyıl) alıntı yapıyor; Öte yandan İskenderiyeli Theon'un (yaklaşık MS 350) Diophantus hakkında yazdığı yazıdan onun yaşamının bu dönem sınırları içinde geçtiği sonucunu çıkarabiliriz. Diophantus'un yaşamının dönemine ilişkin olası bir açıklama, onun "Aritmetik" kitabının "en saygıdeğer Dionysius'a" ithaf edildiği gerçeğine dayanmaktadır. Bu Dionysius'un 3. yüzyılın ortalarında yaşamış İskenderiye Piskoposu Dionysius'tan başkası olmadığı sanılıyor. N. e.

Palatine Antolojisi, Diophantus'un 84 yıl yaşadığı sonucuna varabileceğimiz bir epigram-görevi içerir:

Diophantus'un külleri mezarda duruyor; ona ve taşa hayret ediyorum

Merhumun yaşı onun hikmetli sanatıyla konuşur.

Tanrıların izniyle hayatının altıda birini çocuk olarak geçirdi.

Ve beş buçukta yanaklarımda tüylerle karşılaştım.

Yedinci günden hemen sonra kız arkadaşıyla nişanlandı.

Bilgenin onunla beş yıl geçirdikten sonra bir oğlu oldu;

Babasının çok sevdiği oğlu ömrünün sadece yarısını yaşadı.

Babasının elinden erken mezarı tarafından alındı.

İki yıl boyunca iki kez ebeveyn ağır bir kederin yasını tuttu,

Burada hüzünlü hayatımın sınırını gördüm.

Modern denklem çözme yöntemlerini kullanarak Diophantus'un kaç yıl yaşadığını hesaplamak mümkündür. Denklemi oluşturup çözelim:

Bu denklemin çözümü 84 sayısıdır. Böylece Diophantus 84 yıl yaşadı.

Diophantus'un ana eseri 13 kitaptan oluşan “Aritmetik”tir. Ne yazık ki 13 kitaptan yalnızca ilk 6'sı günümüze ulaşmıştır.

İlk kitabın önünde Diophantus'un kullandığı notasyonu açıklayan kapsamlı bir giriş yer alıyor. Diophantus bilinmeyene bir “sayı” (?ριθμ?ς) adını verir ve onu bilinmeyenin karesi olan ς harfiyle bir sembolle belirtir (δ?ναμις - “derece”nin kısaltması). Bilinmeyenlerin küp-küp denilen altıncıya kadar olan dereceleri ve bunların karşısındaki dereceler için özel işaretler verilmiştir. Diophantus'un toplama işareti yoktur: sadece pozitif terimleri yan yana yazar ve her terimde önce bilinmeyenin derecesi, ardından sayısal katsayı yazılır. Çıkarılan terimler de yan yana yazılır ve tüm gruplarının önüne ters Ψ harfi şeklinde özel bir işaret yerleştirilir. Eşittir işareti iki harf ?σ ile gösterilir (?σος - “eşit” ifadesinin kısaltması). Denklemin her iki tarafına benzer terimleri getirme kuralı ve aynı sayıyı veya ifadeyi denklemin her iki tarafına ekleme veya çıkarma kuralı formüle edildi: El-Harizmi daha sonra buna "el-cebr ve el-mukabele" adını verdi. Bir işaret kuralı getirildi: eksi çarpı eksi artıyı verir; Bu kural, iki ifadeyi çıkarılan terimlerle çarparken kullanılır. Bütün bunlar geometrik yorumlara atıfta bulunulmadan genel terimlerle formüle edilmiştir.

Çalışmaların çoğu, genel yöntemleri göstermek için ustaca seçilmiş, çözümleri olan problemlerin bir derlemesidir (hayatta kalan altı kitapta toplam 189 tane vardır). Aritmetiğin temel sorunu belirsiz denklemlere pozitif rasyonel çözümler bulmaktır. Rasyonel sayılar, Diophantus tarafından, eski matematikçiler için tipik olmayan doğal sayılarla aynı şekilde yorumlanır.

Diophantus ilk olarak 2 bilinmeyenli 2. dereceden denklem sistemlerini inceliyor; Zaten biliniyorsa diğer çözümleri bulmak için bir yöntem belirtir. Daha sonra benzer yöntemleri daha yüksek dereceli denklemlere uygular.

10. yüzyılda “Aritmetik” Arapçaya çevrildi ve ardından İslam ülkelerinden matematikçiler (Ebu Kamil ve diğerleri) Diophantus’un bazı araştırmalarına devam ettiler. Raphael Bombelli'nin Vatikan Kütüphanesi'nde bu eseri keşfetmesi ve Cebir adlı eserinde (1572) 143 problemi yayınlamasıyla Avrupa'da Aritmetiğe ilgi arttı. 1621'de, Bachet de Meziriak tarafından gerçekleştirilen, “Aritmetik”in klasik, derinlemesine yorumlanmış bir Latince çevirisi ortaya çıktı. Diophantus'un yöntemlerinin François Viète ve Pierre Fermat üzerinde büyük etkisi oldu; Gauss ve Euler'in çalışmalarının başlangıç noktası oldu. Ancak modern zamanlarda belirsiz denklemler, Diophantus'un yaptığı gibi rasyonel sayılarla değil, genellikle tam sayılarla çözülür.

20. yüzyılda Diophantus adı altında 4 aritmetik kitabının daha Arapça metni keşfedildi. Bazı matematik tarihçileri, bu metni analiz ettikten sonra, yazarlarının Diophantus değil, Diophantus'un yöntemleri konusunda bilgili bir yorumcu, büyük olasılıkla Hypatia olduğu hipotezini öne sürdüler.

Diophantus'un “Çokgen Sayılar Üzerine” adlı incelemesi (Περ? πολυγ?νων ?ριθμ?ν) tamamen korunmamıştır; korunan kısımda geometrik cebir yöntemleri kullanılarak bir dizi yardımcı teorem türetilmiştir.

Diophantus'un “Yüzeylerin ölçümü üzerine” (?πιπεδομετρικ?) ve “Çarpma Üzerine” (Περ? πολλαπλασιασμο?) eserlerinden de sadece parçalar korunmuştur.

Diophantus'un "Porisms" adlı kitabı yalnızca Aritmetikte kullanılan birkaç teoremden bilinmektedir.

Bugün denklem şu şekildedir:

Nerede P- bir tamsayı işlevi (örneğin, tamsayı katsayılı bir polinom) ve değişkenler, eski Yunan matematikçisi Diophantine'in onuruna adlandırılan tamsayı değerlerini alır.

Muhtemelen en ünlü Diophant denklemi

Çözümleri Pisagor üçlüleridir: (3; 4; 5), (6; 8; 10), (5; 12; 13), (12; 35; 37)…

Diophantine denkleminin tam sayılarında çözülemezliğin kanıtı

en (Fermat'ın Son Teoremi) İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından 1994 yılında tamamlandı.

Diofant denkleminin bir başka örneği de Pell denklemidir

parametre nerede N tam bir kare değil.

Hilbert'in onuncu problemi, David Hilbert'in 8 Ağustos 1900'de İkinci Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde önerdiği 23 problemden biridir. Hilbert'in raporunda onuncu problemin formülasyonu en kısa olanıdır:

Rastgele bilinmeyenlere ve tamsayı rasyonel sayısal katsayılara sahip bir Diophantine denklemi verilsin. Sonlu sayıda işlemden sonra bu denklemin rasyonel tamsayılarda çözülebilir olup olmadığını belirlemenin mümkün olduğu bir yöntem belirtin.

Bu problemin algoritmik çözülemezliğini kanıtlamak yaklaşık yirmi yıl sürdü ve 1970 yılında Yuri Matiyasevich tarafından tamamlandı.

Büyük ölçüde İskenderiyeli Pappus'un (III. Yüzyıl) faaliyetleri sayesinde eski bilim adamları ve eserleri hakkında bilgiler bize ulaştı. Apollonius'tan sonra (MÖ 2. yüzyıldan itibaren) antik bilimde bir gerileme başladı. Yeni derin fikirler ortaya çıkmıyor. MÖ 146'da. e. Roma, Yunanistan'ı ve MÖ 31'de ele geçirir. e. - İskenderiye. Genel durgunluk ve gerilemenin arka planında, büyük antik matematikçilerin sonuncusu, "cebirin babası" olan İskenderiyeli Diophantus'un devasa figürü keskin bir şekilde öne çıkıyor.

Aşağıdaki matematiksel nesneler Diophantus'un adını almıştır: