Ters trigonometrik fonksiyon türev hesaplayıcısı. Türev hesaplama kuralları

türev hesaplama diferansiyel hesabın en önemli işlemlerinden biridir. Aşağıda basit fonksiyonların türevlerini bulmak için bir tablo bulunmaktadır. Daha karmaşık türev kuralları için diğer derslere bakın:

• Üstel ve logaritmik fonksiyonların türev tablosu

Verilen formülleri referans değerleri olarak kullanın. Diferansiyel denklemleri ve problemleri çözmede yardımcı olacaklardır. Resimde, basit fonksiyonların türevleri tablosunda, türevi bulmanın ana durumlarının kullanım için anlaşılır bir biçimde bir "hile sayfası" var, yanında her durum için açıklamalar var.

Basit fonksiyonların türevleri

1. Bir sayının türevi sıfırdır
с´ = 0
Örnek:
5' = 0

Açıklama:
Türev, argüman değiştiğinde fonksiyonun değerinin değişme oranını gösterir. Sayı hiçbir koşulda hiçbir şekilde değişmediği için değişim oranı her zaman sıfırdır.

2. Bir değişkenin türevi bire eşit
x' = 1

Açıklama:
Bağımsız değişkenin (x) her bir artışında, fonksiyonun değeri (hesaplama sonucu) aynı miktarda artar. Böylece, y = x fonksiyonunun değerinin değişim oranı, bağımsız değişkenin değerinin değişim oranına tam olarak eşittir.

3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
сx´ = с
Örnek:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Açıklama:
Bu durumda, işlev argümanı her seferinde ( X) değeri (y) büyür İle bir kere. Böylece, fonksiyonun değerinin argümanın değişim oranına göre değişim oranı, değere tam olarak eşittir. İle.

Bunu nereden takip ediyor
(cx + b)" = c
yani, y=kx+b doğrusal fonksiyonunun diferansiyeli düz çizginin (k) eğimine eşittir.

4. Bir değişkenin modulo türevi bu değişkenin modülüne olan bölümüne eşittir
|x|"= x / |x| x ≠ 0 olması koşuluyla
Açıklama:
Değişkenin türevi (bkz. formül 2) bire eşit olduğu için, modülün türevi yalnızca işlevin değişim oranının değerinin başlangıç ​​noktasını geçerken tersine değişmesi bakımından farklılık gösterir (bir grafik çizmeye çalışın) fonksiyonunun y = |x| ve kendiniz görün.Bu tam olarak bir değerdir ve x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bir. Yani, x değişkeninin negatif değerlerinde, argümandaki değişiklikteki her artışla, fonksiyonun değeri tam olarak aynı değerde azalır ve pozitif değerlerde ise tam tersine artar, ancak tam olarak aynı değer

5. Bir değişkenin güç türevi bu kuvvetin sayısının ve kuvvetteki değişkenin çarpımına eşittir, bir azaltılır
(x c)"= cx c-1, x c ve cx c-1 tanımlanmış ve c ≠ 0 olması koşuluyla
Örnek:
(x 2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Formülü ezberlemek için:
"Aşağı" değişkeninin üssünü çarpan olarak alın ve ardından üssün kendisini bir azaltın. Örneğin, x 2 için - iki, x'in önündeydi ve sonra azaltılmış güç (2-1 = 1) bize 2x verdi. Aynı şey x 3 için de oldu - üçlüyü indiririz, bir azaltırız ve küp yerine bir karemiz olur, yani 3x 2 . Biraz "bilim dışı" ama hatırlaması çok kolay.

6.kesir türevi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Örnek:
Bir kesir, negatif bir güce yükseltme olarak temsil edilebildiğinden
(1/x)" = (x -1)" , o zaman türev tablosunun 5. kuralındaki formülü uygulayabilirsiniz.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. kesir türevi keyfi bir derece değişkeni ile paydada
(1/x c)" = - c / x c+1
Örnek:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. kök türevi(karekök altındaki değişkenin türevi)
(√x)" = 1 / (2√x) veya 1/2 x -1/2
Örnek:
(√x)" = (x 1/2)" böylece 5. kuraldaki formülü uygulayabilirsiniz
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Keyfi bir derecenin kökü altındaki bir değişkenin türevi
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Başvuru

Öğrenciler ve okul çocukları tarafından kapsanan materyali birleştirmek için türevin siteye çözümü. Çevrimiçi problem çözme hizmetimizi kullanıyorsanız, bir fonksiyonun türevini birkaç saniye içinde hesaplamak zor değildir. Her üç öğrenciden biri, uygulamalı bir derste kapsamlı bir çalışma için ayrıntılı bir analiz yapabilecektir. Ülkenin eğitim kurumlarında matematiğin tanıtılması için ilgili bölümün bölümü tarafından sıklıkla bize başvurulmaktadır. Nasıl, bu durumda, kapalı bir sayısal dizi uzayı için türevin çevrimiçi çözümünden bahsetmiyorum bile. Birçok varlıklı bireyin şaşkınlıklarını ifade etmesine izin verilir. Ancak bu arada matematikçiler de boş durmaz ve çok çalışırlar. Doğrusal özelliklere göre giriş parametrelerindeki değişiklik, esas olarak küplerin azalan konumlarının üst değeri nedeniyle türev hesaplayıcı tarafından kabul edilecektir. Sonuç yüzeysel olarak kaçınılmazdır. İlk veri olarak, çevrimiçi türev, gereksiz adımlar atma ihtiyacını ortadan kaldırır. Hayali ödevler hariç. Çevrimiçi olarak türev çözmenin matematik öğrenmenin gerekli ve önemli bir yönü olmasına ek olarak, öğrenciler genellikle geçmişteki sorunları hatırlamazlar. Öğrenci, tembel bir yaratık gibi bunu anlar. Ama öğrenciler komik insanlar! Ya kurallara göre yapın ya da fonksiyonun eğimli bir düzlemdeki türevi maddesel bir noktaya ivme verebilir. Alçalan uzamsal ışının vektörünü bir yere yönlendirelim. İstenen cevapta, matematiksel sistemin istikrarsızlığından dolayı türevi bulmak soyut bir teorik yön gibi görünmektedir. Sayıların oranını kullanılmayan seçenekler dizisi olarak düşünün. İletişim kanalı, küpün kapalı çatallanma noktasından alçalan vektör boyunca beşinci çizgi ile dolduruldu. Eğri uzaylar düzleminde, türevi çevrimiçi olarak çözmek, bizi geçen yüzyılda gezegenin en büyük beyinlerini düşündüren bir sonuca götürüyor. Matematik alanından olaylar sırasında, bir değişkenin seçiminin konumunun iyileştirilmesine katkıda bulunan temel olarak önemli beş faktör kamuoyu tartışmasına sunuldu. Yani puan yasası, çevrimiçi türevin her durumda ayrıntılı olarak hesaplanmadığını, yalnızca sadık bir şekilde ilerleyen bir anın bir istisna olabileceğini söylüyor. Tahmin bizi yeni bir gelişme turuna getirdi. Bir sonuca ihtiyacımız var. Yüzeyin altından geçen matematiksel eğim doğrusunda, mod türevlerinin hesaplayıcısı çarpımların bükme setindeki kesişim alanındadır. Geriye epsilon komşuluğu yakınındaki bağımsız noktasında fonksiyonun farklılaşmasını analiz etmek kalır. Bunu pratikte herkes görebilir. Sonuç olarak, programlamanın bir sonraki aşamasında karar verilecek bir şey olacaktır. Öğrenci, uygulanan hayali çalışmalardan bağımsız olarak, her zaman olduğu gibi çevrimiçi türevlere ihtiyaç duyar. Bir sabitle çarpılan türev fonksiyonunun çevrimiçi çözümünün, malzeme noktasının genel hareket yönünü değiştirmediği, ancak düz bir çizgide hızdaki artışı karakterize ettiği ortaya çıktı. Bu anlamda türev hesaplayıcımızı uygulamak ve bir fonksiyonun tüm değerlerini tanım kümesinin tamamı üzerinde hesaplamak faydalı olacaktır. Yerçekimi alanının kuvvet dalgalarını incelemeye gerek yok. Çevrimiçi türev çözümü hiçbir durumda giden ışının eğimini göstermez, ancak yalnızca nadir durumlarda, gerçekten gerekli olduğunda, üniversite öğrencileri bunu hayal edebilir. Müdürü soruşturuyoruz. En küçük rotorun değeri tahmin edilebilir. Sonuca, topun tanımlandığı sağa bakan çizgileri uygulayın, ancak çevrimiçi türev hesaplayıcı, özel kuvvet ve doğrusal olmayan bağımlılık rakamlarının temelidir. Matematik proje raporu hazır. Kişisel özellikler, en küçük sayıların farkı ve fonksiyonun y ekseni boyunca türevi, aynı fonksiyonun içbükeyliğini yüksekliğe getirecektir. Bir yön var - bir sonuç var. Teoriyi pratiğe dökmek daha kolaydır. Çalışmanın başlama zamanlaması konusunda öğrencilerden bir öneri var. Bir öğretmenin cevabına ihtiyacınız var. Yine bir önceki pozisyonda olduğu gibi matematiksel sistem türevi bulmaya yardımcı olacak bir eylem bazında düzenlenmemiştir.Alt yarı-doğrusal versiyonda olduğu gibi, çevrimiçi türev de çözüme göre çözümün tanımlanmasını ayrıntılı olarak gösterecektir. yozlaşmış koşullu yasa. Sadece formülleri hesaplama fikrini ortaya koyun. Bir fonksiyonun doğrusal türevi, basitçe ilgisiz pozitif varyasyonları ortaya koyarak çözümün doğruluğunu reddeder. Karşılaştırma işaretlerinin önemi, fonksiyonun eksen boyunca sürekli kırılması olarak kabul edilecektir. Öğrenciye göre bu, çevrimiçi türevin matematiksel analizin sadık bir örneğinden başka bir şey olduğu en bilinçli sonucun önemidir. Öte yandan, Öklid uzayında eğri bir dairenin yarıçapı, türev hesaplayıcısına kararlılık için belirleyici problemlerin mübadelesinin doğal bir temsilini veriyordu. En iyi yöntem bulundu. Görevi yükseltmek daha kolaydı. Bağımsız fark oranının uygulanabilirliği, türevlerin çevrimiçi çözümüne yol açsın. Çözüm, bir daire şeklini tanımlayarak x ekseni etrafında döner. Bir çıkış yolu var ve herkesin öğrendiği teorik olarak üniversite öğrencileri tarafından desteklenen araştırmalara dayanıyor ve zamanın o anlarında bile fonksiyonun bir türevi var. İlerleme için bir yol bulduk ve öğrenciler bunu onayladı. Matematiksel sistemi dönüştürmek için doğal olmayan bir yaklaşımın ötesine geçmeden türevi bulmayı göze alabiliriz. Sol orantı işareti, sonsuz y ekseni üzerindeki doğrusal faktörlerin bilinmeyen durumu nedeniyle çevrimiçi türev hesaplayıcının matematiksel temsili olarak katlanarak büyür. Tüm dünyadaki matematikçiler, üretim sürecinin ayrıcalığını kanıtladılar. Teorinin açıklamasına göre dairenin içinde en küçük kare vardır. Yine, çevrimiçi türev, ilk etapta teorik olarak rafine edilmiş görüşü neyin etkilemiş olabileceğine dair tahminimizi detaylandıracaktır. İncelediğimiz rapordan farklı nitelikte görüşler vardı. Fakültelerimizin öğrencilerine ayrı bir ilgi olmayabilir, ancak bir fonksiyonun türevini yalnızca bir bahane olarak gören akıllı ve ileri matematikçilere olmayabilir. Türevin mekanik anlamı çok basittir. Kaldırma kuvveti, zaman içinde aşağı doğru eğimli sabit alanlar için çevrimiçi bir türev olarak hesaplanır. Açıkçası, türev hesaplayıcı, yapay bir dönüşümün yozlaşma problemini şekilsiz bir cisim olarak tanımlamanın titiz bir sürecidir. İlk türev, maddi bir noktanın hareketindeki bir değişiklikten bahseder. Üç boyutlu uzay, türevleri çevrim içi çözmek için özel olarak eğitilmiş teknolojiler bağlamında açık bir şekilde gözlemlenmektedir, aslında bu, matematik disiplini konulu her kolokyumda görülmektedir. İkinci türev, bir malzeme noktasının hızındaki değişimi karakterize eder ve ivmeyi belirler. Afin dönüşüm kullanımına dayanan meridyen yaklaşımı, bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bu fonksiyonun tanım alanından yeni bir seviyeye taşır. Çevrimiçi bir türev hesaplayıcısı, görevdeki şeylerin dönüştürülebilir düzenlemesi dışında, bazı durumlarda doğru yürütülebilir anda sayılar ve sembolik gösterimler olmadan olamaz. Şaşırtıcı bir şekilde, maddi bir noktanın ikinci bir ivmesi vardır, bu ivmedeki değişikliği karakterize eder. Kısa bir süre sonra türevin çözümünü online olarak çalışmaya başlayacağız ancak bilgide belirli bir dönüm noktasına ulaşılır ulaşılmaz öğrencimiz bu süreci durduracaktır. Ağ oluşturmanın en iyi yolu, matematiksel bir konuda canlı sohbet etmektir. Görev ne kadar zor olursa olsun, hiçbir koşulda ihlal edilmemesi gereken ilkeler vardır. Türevi online olarak zamanında ve hatasız bulmakta fayda var. Bu, matematiksel ifadenin yeni bir konumuna yol açacaktır. Sistem kararlı. Türevin fiziksel anlamı, mekanik anlamı kadar popüler değildir. Çevrimiçi türevin, fonksiyonun çizgilerinin ana hatlarını x eksenine bitişik üçgenden normale doğru düzlemde nasıl ayrıntılı olarak ortaya çıkardığını kimsenin hatırlaması pek olası değildir. İnsan, geçen yüzyılın araştırmalarında büyük bir rolü hak ediyor. Fonksiyonun hem tanım alanından hem de sonsuzda noktalarda farklılaşmasını üç temel aşamada gerçekleştirelim. Sadece çalışma alanında yazılı olacak, ancak matematik ve sayı teorisinde ana vektörün yerini alabilir, ne olur olmaz çevrimiçi türev hesaplayıcı problemine bağlanacaktır. Bir sebep olurdu, ama bir denklem oluşturmak için bir sebep olacak. Tüm giriş parametrelerini akılda tutmak çok önemlidir. En iyisi her zaman kafa kafaya alınmaz, bunun arkasında çevrimiçi türevin uzayda nasıl hesaplandığını bilen en iyi beyinlerin muazzam miktarda emeği vardır. O zamandan beri dışbükeylik, sürekli bir fonksiyonun bir özelliği olarak kabul edildi. Yine de, mümkün olan en kısa sürede çevrimiçi olarak türevleri çözme görevini belirlemek daha iyidir. Böylece çözüm tamamlanmış olacaktır. Karşılanmayan normlara ek olarak, bu yeterli görülmemektedir. Başlangıçta hemen hemen her öğrenci, bir fonksiyonun türevinin nasıl tartışmalı bir büyüme algoritmasına yol açtığına dair basit bir yöntem ortaya koymayı teklif eder. Yükselen ışın yönünde. Bu genel bir pozisyon olarak mantıklı. Daha önce, belirli bir matematiksel eylemin tamamlanmasının başlangıcını işaretlediler, ancak bugün tam tersi olacak. Belki türevin çevrimiçi çözümü konuyu tekrar gündeme getirecek ve öğretmenler toplantısındaki tartışmada korunması konusunda ortak bir görüş kabul edeceğiz. Toplantı katılımcılarının her tarafından anlayış göstermesini umuyoruz. Mantıksal anlam, geçen yüzyılda dünyanın büyük bilim adamları tarafından cevaplanan problem düşüncesinin sunum sırası hakkındaki sayıların rezonansındaki türev hesap makinesinin açıklamasında yer almaktadır. Dönüştürülen ifadeden karmaşık bir değişkenin çıkarılmasına ve aynı türde büyük bir eylem gerçekleştirmek için türevinin çevrimiçi olarak bulunmasına yardımcı olacaktır. Gerçek, tahminden çok daha iyidir. Trenddeki en küçük değer. Ayrıntılı olarak çevrimiçi bir türevi olan en doğru konum için benzersiz bir hizmet kullandığınızda sonuç uzun sürmeyecek. Dolaylı olarak, ama noktaya kadar, bir bilge adamın dediği gibi, birliğin farklı şehirlerinden birçok öğrencinin talebi üzerine bir çevrimiçi türev hesap makinesi oluşturuldu. Bir fark varsa, o zaman neden iki kez karar verin. Verilen vektör normalle aynı taraftadır. Geçen yüzyılın ortalarında bir fonksiyonun farklılaşması hiçbir şekilde bugünkü gibi algılanmıyordu. Devam eden gelişme sayesinde çevrimiçi matematik ortaya çıktı. Zamanla, öğrenciler matematiksel disiplinlere kredi vermeyi unuturlar. Çevrimiçi türevin çözümü, haklı olarak teorinin uygulanmasına dayanan ve pratik bilgiyle desteklenen tezimize meydan okuyacaktır. Sunum faktörünün mevcut değerinin ötesine geçecek ve formülü işlev için açık bir biçimde yazacaktır. Herhangi bir hesap makinesi kullanmadan türevi hemen şimdi çevrimiçi bulmanız gerekiyor, ancak her zaman öğrencinin numarasına başvurabilir ve yine de web sitesi gibi bir hizmeti kullanabilirsiniz. Böylece öğrenci, taslak bir defterden örnekleri son forma kopyalamak için çok zaman kazanacaktır. Çelişki yoksa, bu tür karmaşık örnekler için adım adım çözüm hizmetini kullanın.

Tanım.\(y = f(x) \) fonksiyonu, içindeki \(x_0 \) noktasını içeren bir aralıkta tanımlansın. Bu aralıktan çıkmamak için argümana \(\Delta x \) artıralım. \(\Delta y \) fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulun (\(x_0 \) noktasından \(x_0 + \Delta x \)) noktasına geçerken) ve \(\frac(\Delta y) ilişkisini oluşturun )(\Delta x) \). Bu ilişkinin \(\Delta x \rightarrow 0 \) noktasında bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir. türev fonksiyonu\(y=f(x) \) \(x_0 \) noktasında ve \(f"(x_0) \ olarak gösterir).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

y sembolü genellikle türevi belirtmek için kullanılır. y" = f(x)'in yeni bir fonksiyon olduğuna, ancak yukarıdaki limitin bulunduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla doğal olarak ilişkili olduğuna dikkat edin. Bu işlev şu şekilde adlandırılır: y \u003d f (x) fonksiyonunun türevi.

Türevin geometrik anlamı aşağıdakilerden oluşur. x \u003d a apsisli bir noktada y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine y eksenine paralel olmayan bir teğet çizilebilirse, f (a) teğetin eğimini ifade eder:
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \ olduğundan, \(f"(a) = tg(a) \) eşitliği doğrudur.

Ve şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler cinsinden yorumluyoruz. \(y = f(x) \) fonksiyonunun belirli bir \(x \) noktasında türevi olsun:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında, yaklaşık eşitlik \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), yani \(\Delta y \approx f"(x) \cdot anlamına gelir. \Deltaks\). Elde edilen yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: fonksiyonun artışı, argümanın artışıyla "neredeyse orantılıdır" ve orantılılık katsayısı, belirli bir x noktasındaki türevin değeridir. Örneğin, \(y = x^2 \) işlevi için yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) doğrudur. Türevin tanımını dikkatlice incelersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.

Formüle edelim.

y \u003d f (x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?

1. \(x \) değerini sabitleyin, \(f(x) \) öğesini bulun
2. \(x \) argümanını \(\Delta x \) artırın, yeni bir noktaya gidin \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) bulun
3. Fonksiyon artışını bulun: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ hesaplayın
Bu limit, fonksiyonun x noktasındaki türevidir.

y = f(x) fonksiyonunun x noktasında bir türevi varsa, o zaman x noktasında türevlenebilir olarak adlandırılır. y \u003d f (x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürü denir farklılaşma y = f(x) fonksiyonları.

Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği ve türevlenebilirliği nasıl ilişkilidir?

y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevlenebilir olmasına izin verin. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M (x; f (x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin eğimi f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik şu noktada "kırılamaz" M noktası, yani fonksiyon x'te sürekli olmalıdır.

"Parmaklarda" muhakeme ediyordu. Daha sert bir argüman sunalım. y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) tutar. sıfır, sonra \(\Delta y \ ) de sıfır olma eğiliminde olacaktır ve bu, fonksiyonun bir noktada sürekliliğinin koşuludur.

Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevliyse, o noktada da süreklidir..

Tersi doğru değil. Örneğin: y işlevi = |x| her yerde, özellikle x = 0 noktasında süreklidir, ancak fonksiyonun grafiğine "eklem noktasında" (0; 0) teğet yoktur. Bir noktada fonksiyon grafiğine teğet çizmek imkansızsa, o zaman bu noktada türev yoktur.

Bir örnek daha. \(y=\sqrt(x) \) işlevi, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası dahil herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x \u003d 0 şeklindedir. Böyle bir düz çizgi için eğim yoktur, yani \ ( f "(0) \) de mevcut değil

Böylece, bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun bir fonksiyonun grafiğinden türevlenebilir olup olmadığını nasıl anlarsınız?

Cevap aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada x eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine bir teğet çizilebiliyorsa, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilir. Bir noktada fonksiyonun grafiğine teğet yoksa veya x eksenine dik ise, o zaman fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

Farklılaşma kuralları

türevi bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken, genellikle bölümler, toplamlar, işlevlerin çarpımları ve ayrıca "işlevlerin işlevleri", yani karmaşık işlevlerle çalışmanız gerekir. Türevin tanımına dayanarak, bu işi kolaylaştıran türev kurallarını türetebiliriz. C sabit bir sayıysa ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Bileşik fonksiyon türevi:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Bazı fonksiyonların türev tablosu

$$ \left(\frac(1)(x) \sağ) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

İlk seviye

Fonksiyon türevi. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Dağlık bir alandan geçen düz bir yol hayal edin. Yani yukarı ve aşağı gider ama sağa veya sola dönmez. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen belli bir sıfır yükseklik seviyesidir, hayatta deniz seviyesini onun gibi kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken, aynı zamanda yukarı veya aşağı hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket ederek), fonksiyonun değeri değişir (ordinat ekseni boyunca hareket ederek). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim. Bu değer ne olabilir? Çok basit: Belli bir mesafe ilerlediğinde yükseklik ne kadar değişecek? Aslında, yolun farklı bölümlerinde, (apsis boyunca) bir kilometre ilerleyerek, deniz seviyesine göre (ordinat boyunca) farklı sayıda metre yükselecek veya alçalacağız.

İlerlemeyi belirtiyoruz ("delta x" okuyun).

Yunanca harf (delta) matematikte yaygın olarak "değişim" anlamına gelen bir önek olarak kullanılır. Yani - bu, büyüklükteki bir değişikliktir, - bir değişikliktir; o zaman ne? Bu doğru, boyutta bir değişiklik.

Önemli: ifade tek bir varlık, bir değişkendir. "X" veya başka herhangi bir harften "delta"yı asla ayırmamalısınız! Yani, örneğin, .

Böylece, yatay olarak ilerledik. Yolun çizgisini bir fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak, yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani, ilerlerken daha da yükseliriz.

Değeri hesaplamak kolaydır: başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra yükseklikteysek, o zaman. Bitiş noktasının başlangıç ​​noktasından daha düşük olduğu ortaya çıkarsa, negatif olacaktır - bu, yükseldiğimiz değil, alçaldığımız anlamına gelir.

"Dikliğe" geri dön: bu, birim mesafe başına ileri doğru hareket ederken yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Yolun bir bölümünde km ile ilerlerken yolun km yükseldiğini varsayalım. O zaman bu yerdeki diklik eşittir. Ve eğer yol m ilerlerken km batarsa? O zaman eğim eşittir.

Şimdi bir tepenin zirvesini düşünün. Bölümün başlangıcını yarım kilometre yukarıya ve bitişi - yarım kilometre sonra alırsanız, yüksekliğin neredeyse aynı olduğunu görebilirsiniz.

Yani mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu açıkça doğru değil. Sadece birkaç mil ötede çok şey değişebilir. Dikliğin daha yeterli ve doğru bir tahmini için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin, bir metre ilerlerken yükseklik değişimini ölçerseniz, sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta, yolun ortasında bir direk varsa, içinden kolayca geçebiliriz. O zaman hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha azı daha iyidir!

Gerçek hayatta, mesafeyi en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle, kavram şuydu: sonsuz küçük, yani modulo değeri adlandırabileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin, diyorsunuz ki: bir trilyonda bir! Ne kadar az? Ve bu sayıyı - ile bölersiniz ve daha da az olur. Ve benzeri. Değerin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra eğilimlidir” okuruz). anlamak çok önemli bu sayının sıfıra eşit olmadığını! Ama ona çok yakın. Bu, bölünebileceği anlamına gelir.

Sonsuz küçüğün zıttı kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, modül olarak aklınıza gelebilecek tüm sayılardan daha büyüktür. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, sadece iki ile çarpın ve daha fazlasını elde edin. Ve sonsuzluk olandan bile daha fazlasıdır. Aslında, sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tersi: at.

Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirme ile yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını unutmayın. Ama sonsuz küçüğün sıfıra eşit anlamına gelmediğini hatırlatmama izin verin. Örneğin sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz tamamen sıradan bir sayı elde edebilirsiniz. Yani, küçük bir değer diğerinden tam olarak iki kat daha büyük olabilir.

Bütün bunlar neden? Yol, yokuş... Bir ralliye gitmiyoruz ama matematik öğreniyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, sadece farklı şekilde adlandırılır.

Türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun artışının bağımsız değişkenin sonsuz küçük artışındaki artışına oranıdır.

artış matematikte değişim denir. Eksen boyunca hareket ederken argümanın () ne kadar değiştiği denir. bağımsız değişken artışı ve ile gösterilir Eksen boyunca bir mesafe ileri hareket ederken fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiği denir fonksiyon artışı ve işaretlenir.

Yani, bir fonksiyonun türevi, ne zaman ile olan ilişkisidir. Türevi, işlevle aynı harfle, yalnızca sağ üstten bir vuruşla gösteririz: veya basitçe. Öyleyse, bu notasyonları kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol benzetmesinde olduğu gibi burada da fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir.

Ama türev sıfıra eşit mi? Kesinlikle. Örneğin düz bir yatay yolda ilerliyorsak diklik sıfırdır. Aslında, yükseklik hiç değişmez. Yani türev ile: sabit bir fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfırdır.

Tepe örneğini ele alalım. Segmentin uçlarını, uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani segment eksene paralel olacak şekilde tepe noktasının karşıt taraflarına yerleştirmenin mümkün olduğu ortaya çıktı:

Ancak büyük segmentler, yanlış ölçümün bir işaretidir. Segmentimizi kendisine paralel yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacaktır.

Sonunda, zirveye sonsuz yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuzca küçülecektir. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğilmez, ancak eşittir). Yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede dururken sağa veya sola küçük bir kayma, boyumuzu önemsiz ölçüde değiştirir.

Tamamen cebirsel bir açıklama da var: üst kısmın solunda fonksiyon artıyor ve sağında azalıyor. Daha önce öğrendiğimiz gibi, fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatiftir. Ancak, atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol hiçbir yerde eğimini keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle, negatif ve pozitif değerler arasında olmalıdır. Tepe noktasında, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.

Aynısı vadi için de geçerlidir (fonksiyonun solda azalıp sağda arttığı alan):

Artımlar hakkında biraz daha.

Böylece argümanı bir değere çeviriyoruz. Hangi değerden değişiriz? O (argüman) şimdi ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi ondan dans edeceğiz.

Koordinatlı bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse, işlev oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu, işlevin değiştirdiği miktardır:

Artımları bulma alıştırması yapın:

1. Argüman artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Bir noktada bir fonksiyon için aynı.

Çözümler:

Argümanın aynı artışı ile farklı noktalarda, fonksiyonun artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin kendine ait olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun farklı noktalardaki dikliği farklıdır). Bu nedenle, bir türev yazarken, hangi noktada belirtmeliyiz:

Güç işlevi.

Güç işlevi, argümanın bir dereceye kadar (mantıksal, değil mi?) olduğu bir işlev olarak adlandırılır.

Ve - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum, üssün şu olduğu durumdur:

Bir noktadaki türevini bulalım. Bir türevin tanımını hatırlayın:

Böylece bağımsız değişken ile arasında değişir. fonksiyon artışı nedir?

Artış Ancak herhangi bir noktada işlev, bağımsız değişkenine eşittir. Bu yüzden:

Türev:

türevi:

b) Şimdi ikinci dereceden işlevi ele alalım (): .

Şimdi bunu hatırlayalım. Bu, sonsuz küçük olduğu ve bu nedenle başka bir terimin arka planına karşı önemsiz olduğu için artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir:

Yani, başka bir kuralımız var:

c) Mantıksal diziye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı için formülü kullanarak ilk parantezi açın veya küplerin farkı için formülü kullanarak tüm ifadeyi çarpanlara ayırın. Önerilen yollardan herhangi biriyle kendiniz yapmaya çalışın.

Böylece, aşağıdakileri aldım:

Ve tekrar hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

Biz: .

d) Büyük güçler için benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın, bir tamsayı bile değil, keyfi bir üslü bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:

(2)

Kuralı şu sözlerle formüle edebilirsiniz: "derece bir katsayı olarak öne alınır ve sonra azalır".

Bu kuralı daha sonra ispatlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formülle ve türevin tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını sayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Nasıl? Ve derece nerede? ”,“ ”Konusunu hatırla!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, sadece kesirlidir:.
   Yani karekökümüz sadece üssü olan bir kuvvet:
   .
   Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada yine belirsizleşirse, "" konusunu tekrarlayın !!! (negatif göstergeli bir derece hakkında)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım yoluyla (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi, her zamanki gibi, aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir gerçeği kullanacağız:

Ne zaman ifade.

İspatı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için sınavı iyi geçmeniz gerekiyor). Şimdi grafiksel olarak göstereceğim:

Fonksiyon olmadığında - grafikteki noktanın delindiğini görüyoruz. Ancak değere ne kadar yakınsa, fonksiyon o kadar yakındır.Bu tam da “çabalar”.

Ek olarak, bu kuralı bir hesap makinesiyle de kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, çekinme, hesap makinesi al, henüz sınava girmedik.

Hadi deneyelim: ;

Hesap makinesini Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vesaire. Oranın değeri ne kadar küçükse o kadar yakın olduğunu görüyoruz.

a) Bir fonksiyon düşünün. Her zamanki gibi, artışını buluyoruz:

Sinüs farkını bir çarpıma çevirelim. Bunu yapmak için formülü kullanıyoruz ("" konusunu hatırlayın):.

Şimdi türev:

Bir ikame yapalım: . O halde, sonsuz küçük için, aynı zamanda sonsuz küçüktür: . for ifadesi şu şekli alır:

Ve şimdi bunu ifade ile hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda ihmal edilebilecek kadar küçük bir değer varsa (yani at).

Böylece aşağıdaki kuralı elde ederiz: sinüsün türevi kosinüs'e eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.

Pratik:

1. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. İlk olarak, türevi genel bir biçimde buluruz ve sonra onun yerine değerini koyarız:
   ;
   .
2. Burada bir güç fonksiyonuna benzer bir şeyimiz var. onu getirmeye çalışalım
   Normal görünüm:
   .
   Tamam, şimdi formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Bu nedir????

Tamam, haklısın, bu tür türevleri nasıl bulacağımızı hala bilmiyoruz. Burada birkaç fonksiyon türünün bir kombinasyonuna sahibiz. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte öyle bir fonksiyon vardır ki, herhangi biri için türevi, kendisi için fonksiyonun kendisinin değerine eşittir. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur

Bu işlevin temeli - bir sabit - sonsuz bir ondalık kesirdir, yani irrasyonel bir sayıdır (örneğin). "Euler sayısı" olarak adlandırılır, bu nedenle bir harfle gösterilir.

Yani kural şudur:

Hatırlaması çok kolay.

Pekala, uzağa gitmeyeceğiz, hemen ters işlevi ele alacağız. Üstel fonksiyonun tersi nedir? Logaritma:

Bizim durumumuzda, taban bir sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani, tabanı olan bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: bunun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Üs ve doğal logaritma, türev açısından benzersiz şekilde basit olan işlevlerdir. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır, bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Ne kuralları? Yine yeni bir terim mi?!...

farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Sadece ve her şey. Bu süreç için başka bir kelime nedir? Proizvodnovanie değil... Matematiğin diferansiyeli, işlevin çok artışı olarak adlandırılır. Bu terim Latin farklılığından gelir - fark. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken, iki işlev kullanacağız, örneğin ve. Artımları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplam 5 kural vardır.

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural şu ​​fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırak ya da daha kolay.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. noktada;
2. noktada;
3. noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (doğrusal bir fonksiyon olduğu için türev her noktada aynıdır, unuttunuz mu?);

Bir ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtıyoruz ve artışını buluyoruz:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

üstel fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, sadece üssü değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterli (henüz ne olduğunu unuttunuz mu?).

Peki bir numara nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, bu yüzden fonksiyonumuzu yeni bir tabana getirmeye çalışalım:

Bunu yapmak için basit bir kural kullanıyoruz: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün üssün türevine çok benzer olduğu ortaya çıktı: olduğu gibi kaldı, sadece bir sayı olan ancak bir değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani daha basit bir biçimde yazılamayan bir sayıdır. Bu nedenle cevapta bu formda bırakılmıştır.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

İşte benzer: doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, logaritmadan farklı bir tabana sahip bir keyfi bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana getirmemiz gerekiyor. Bir logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Sadece şimdi bunun yerine yazacağız:

Paydanın sadece bir sabit olduğu ortaya çıktı (değişkensiz sabit bir sayı). Türev çok basit:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri sınavda neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık işlev" nedir? Hayır, bu bir logaritma veya bir yay teğeti değil. Bu işlevleri anlamak zor olabilir (logaritma size zor geliyorsa, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve her şey yoluna girecek), ancak matematik açısından "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir konveyör hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, birincisi bir çikolatayı bir pakete sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Böyle bir bileşik nesne ortaya çıkıyor: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata. Bir çikolata yemek için ters adımları ters sırayla uygulamanız gerekir.

Benzer bir matematiksel boru hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız ve sonra elde edilen sayının karesini alacağız. Böylece bize bir sayı (çikolata) veriyorlar, ben onun kosinüsünü (sarmalayıcı) buluyorum ve sonra sen elimdekinin karesini alıyorsun (bir kurdeleyle bağlıyorsun). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyon örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle yaptığımızda ve ardından birincinin sonucunda olanlarla başka bir ikinci eylemi yaptığımızda.

Aynı işlemleri ters sırayla da yapabiliriz: önce karesini alırsın, sonra ben çıkan sayının kosinüsünü ararım:. Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık fonksiyonların önemli bir özelliği: eylemlerin sırası değiştiğinde fonksiyon da değişir.

Başka bir deyişle, Karmaşık bir işlev, bağımsız değişkeni başka bir işlev olan bir işlevdir.: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı). .

Yaptığımız son eylem çağrılacak "dış" işlev ve sırasıyla ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi işlevin harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonların ayrılması, değişen değişkenlere çok benzer: örneğin, fonksiyonda

1. İlk olarak hangi işlemi yapacağız? Önce sinüsü hesaplıyoruz ve ancak o zaman onu bir küp haline getiriyoruz. Yani bu dahili bir fonksiyondur, harici değil.
   Ve orijinal işlev, bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ederiz.

Pekala, şimdi çikolatamızı çıkaracağız - türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnek için şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde, nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

Her şey basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(şimdiye kadar düşürmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmadı, unuttunuz mu?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Burada üç seviyeli karmaşık bir fonksiyon olduğu hemen anlaşılıyor: Sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir fonksiyon ve yine de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir paketleyiciye koyuyoruz) ve evrak çantasında bir kurdele ile). Ancak korkmak için bir neden yok: Her neyse, bu işlevi her zamanki sırayla "ambalajından çıkaracağız": sondan.

Yani önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi ayırt ederiz. Ve sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda, eylemleri numaralandırmak uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "dışsal" olacaktır. İşlem sırası - daha önce olduğu gibi:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Eylem rotasını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA KONU HAKKINDA KISACA

fonksiyon türevi- işlevin artışının, bağımsız değişkenin sonsuz küçük artışıyla bağımsız değişkenin artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaştırma kuralları:

Sabit, türevin işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Türev ürün:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için algoritma:

1. "İç" işlevi tanımlar, türevini buluruz.
2. "Dış" işlevi tanımlar, türevini buluruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.