Ev › şasi › Sınırlı bir kapalı alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur? Bir fonksiyonun grafiğinin incelenmesi.

Sınırlı bir kapalı alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur? Bir fonksiyonun grafiğinin incelenmesi.

Bu makalede, bulma yeteneğinin bir işlevi incelemeye nasıl uygulanacağı hakkında konuşacağım: en büyüğünü bulmak veya en küçük değer. Ardından Görev B15'ten bazı sorunları çözeceğiz. açık banka için görevler.

Her zamanki gibi, önce teoriyle başlayalım.

Herhangi bir fonksiyon çalışmasının başlangıcında, onu buluruz.

Fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını ve hangi aralıklarda azaldığını araştırmanız gerekir.

Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini bulmanız ve sabit işaret aralıklarını, yani türevin işaretini koruduğu aralıkları incelemeniz gerekir.

Bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklar artan fonksiyon aralıklarıdır.

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklar azalan fonksiyon aralıklarıdır.

1. B15 görevini çözelim (No. 245184)

Bunu çözmek için aşağıdaki algoritmayı izleyeceğiz:

a) Fonksiyonun tanım alanını bulun

b) Fonksiyonun türevini bulun.

c) Sıfıra eşitleyin.

d) Fonksiyonun sabit işaret aralıklarını bulalım.

e) Fonksiyonun en büyük değeri aldığı noktayı bulunuz.

f) Fonksiyonun bu noktadaki değerini bulunuz.

Bu görevin detaylı çözümünü VİDEO DERS'te anlatıyorum:

Muhtemelen tarayıcınız desteklenmiyor. "Birleşik Devlet Sınav Saati" simülatörünü kullanmak için indirmeyi deneyin
Firefox

2. B15 görevini çözelim (No. 282862)

Bir fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte

Görüldüğü gibi fonksiyonun segment üzerindeki en büyük değeri x=2'deki maksimum noktasında aldığı açıktır. Bu noktada fonksiyonun değerini bulun:

Cevap: 5

3. B15 görevini çözelim (No. 245180):

Bir fonksiyonun en büyük değerini bulun

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Orijinal işlevin kapsamından bu yana title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Pay noktasında sıfırdır. ODZ'nin işleve ait olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için, şu koşulun title="4-2x-x^2>0) olup olmadığını kontrol edin."> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

bu nedenle nokta, işlevin ODZ'sine aittir

Noktanın sağındaki ve solundaki türevin işaretini inceliyoruz:

Fonksiyonun en büyük değeri noktada aldığını görüyoruz. Şimdi fonksiyonun değerini şurada bulalım:

Not 1. Bu problemde fonksiyonun tanım alanını bulmadığımıza dikkat edin: sadece kısıtlamaları düzelttik ve türevin sıfıra eşit olduğu noktanın fonksiyonun tanım alanına ait olup olmadığını kontrol ettik. Bu problemde, bunun yeterli olduğu ortaya çıktı. Ancak, bu her zaman böyle değildir. Göreve bağlı.

Açıklama 2. Karmaşık bir fonksiyonun davranışını incelerken, aşağıdaki kural kullanılabilir:

bir bileşik fonksiyonun dış fonksiyonu artıyorsa, fonksiyon en büyük değerini iç fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktada alır. Bu, artan bir fonksiyonun tanımından çıkar: bir fonksiyon, eğer I aralığında artarsa daha büyük değer bu aralıktaki bir bağımsız değişken, işlevin daha büyük bir değerine karşılık gelir.
karmaşık bir fonksiyonun dış fonksiyonu azalıyorsa, fonksiyon en büyük değeri iç fonksiyonun en küçük değeri aldığı noktada alır. . Bu, azalan bir fonksiyonun tanımından çıkar: fonksiyon, bu aralıktaki bağımsız değişkenin daha büyük değeri, fonksiyonun daha küçük değerine karşılık geliyorsa, I aralığında azalır.

Örneğimizde, dış işlev - tüm tanım alanı boyunca artar. Logaritmanın işaretinin altında bir ifade vardır - negatif bir kıdemli katsayı ile noktada en büyük değeri alan bir kare üçlü terim . Daha sonra, x'in bu değerini fonksiyonun denkleminde yerine koyarız. ve en büyük değerini bulun.

$z=f(x,y)$ fonksiyonunun bazı sınırlı $D$ etki alanında tanımlanmış ve sürekli olmasına izin verin. için bu alana izin ver verilen işlev birinci dereceden sonlu kısmi türevlere sahiptir (sonlu sayıda noktanın olası istisnası dışında). Belirli bir kapalı bölgedeki iki değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için basit bir algoritmanın üç adımı gerekir.

$D$ kapalı etki alanındaki $z=f(x,y)$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.

$z=f(x,y)$ fonksiyonunun $D$ bölgesine ait kritik noktalarını bulun. Kritik noktalardaki işlev değerlerini hesaplayın.
Olası maksimum ve minimum değerlerin noktalarını bularak $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $D$ bölgesinin sınırındaki davranışını araştırın. Elde edilen noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayınız.
Önceki iki paragrafta elde edilen fonksiyon değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Kritik noktalar nelerdir? göster/gizle

Altında kritik noktalar her iki birinci dereceden kısmi türevin sıfıra eşit olduğu noktaları ima eder (yani, $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ve $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) veya en az bir kısmi türev mevcut değildir.

Genellikle birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu noktalara denir. sabit noktalar. Bu nedenle, durağan noktalar kritik noktaların bir alt kümesidir.

Örnek 1

$z=x^2+2xy-y^2-4x$ fonksiyonunun $x=3$, $y=0$ ve $y=x doğrularıyla sınırlandırılmış kapalı bölgesindeki maksimum ve minimum değerlerini bulun +1$.

Yukarıdakileri takip edeceğiz, ancak önce $D$ harfiyle göstereceğimiz belirli bir alanın çizimiyle ilgileneceğiz. Bize bu alanı sınırlayan üç düz çizginin denklemleri verildi. $x=3$ düz çizgisi, y eksenine (Oy ekseni) paralel $(3;0)$ noktasından geçer. Düz çizgi $y=0$ apsis ekseninin (Öküz ekseni) denklemidir. Pekala, $y=x+1$ düz bir çizgi oluşturmak için bu düz çizgiyi çizeceğimiz iki nokta bulalım. Elbette, $x$ yerine birkaç rasgele değeri değiştirebilirsiniz. Örneğin, $x=10$ yerine koyarak şunu elde ederiz: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ doğrusu üzerinde $(10;11)$ noktasını bulduk. Ancak, $y=x+1$ doğrusunun $x=3$ ve $y=0$ doğrularıyla kesiştiği noktaları bulmak daha iyidir. Neden daha iyi? Çünkü bir taşla birkaç kuş bırakacağız: $y=x+1$ düz çizgisini oluşturmak için iki puan alacağız ve aynı zamanda bu düz çizginin verileni sınırlayan diğer çizgileri hangi noktalarda kestiğini öğreneceğiz. alan. $y=x+1$ doğrusu $x=3$ doğrusuyla $(3;4)$ noktasında ve $y=0$ - doğrusuyla $(-1;0)$ noktasında kesişir. Çözümün gidişatını yardımcı açıklamalarla meşgul etmemek için bu iki noktayı elde etme sorusunu bir notta belirteceğim.

$(3;4)$ ve $(-1;0)$ puanları nasıl elde edildi? göster/gizle

$y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının kesiştiği noktadan başlayalım. İstenen noktanın koordinatları hem birinci hem de ikinci satıra aittir, bu nedenle bilinmeyen koordinatları bulmak için denklem sistemini çözmeniz gerekir:

$$ \left \( \begin(hizalı) & y=x+1;\\ & x=3. \end(hizalı) \sağ.$$

Böyle bir sistemin çözümü önemsizdir: elde edeceğimiz ilk denklemde $x=3$ yerine koymak: $y=3+1=4$. $(3;4)$ noktası, $y=x+1$ ve $x=3$ doğrularının istenen kesişme noktasıdır.

Şimdi $y=x+1$ ve $y=0$ doğrularının kesişme noktasını bulalım. Yine, denklem sistemini oluşturuyor ve çözüyoruz:

$$ \left \( \begin(hizalı) & y=x+1;\\ & y=0. \end(hizalı) \sağ.$$

$y=0$'ı ilk denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ noktası, $y=x+1$ ve $y=0$ (apsis ekseni) çizgilerinin istenen kesişme noktasıdır.

Şuna benzer bir çizim oluşturmak için her şey hazır:

Notun sorusu açık görünüyor, çünkü şekilden her şey görülebiliyor. Ancak, çizimin kanıt olarak hizmet edemeyeceğini hatırlamakta fayda var. Şekil sadece netlik için bir örnektir.

Alanımız, onu sınırlayan çizgilerin denklemleri kullanılarak belirlendi. Bu çizgilerin bir üçgeni tanımladığı çok açık değil mi? Ya da pek açık değil mi? Ya da belki bize aynı çizgilerle sınırlanmış farklı bir alan verilmiştir:

Tabii ki koşul, alanın kapalı olduğunu söylüyor, bu nedenle gösterilen resim yanlış. Ancak bu tür belirsizliklerden kaçınmak için bölgeleri eşitsizliklerle tanımlamak daha iyidir. $y=x+1$ çizgisinin altında bulunan uçağın parçasıyla ilgileniyoruz? Tamam, yani $y ≤ x+1$. Alanımız $y=0$ çizgisinin üzerinde mi olmalı? Harika, yani $y ≥ 0$. Bu arada, son iki eşitsizlik kolaylıkla tek bir eşitsizlikte birleştirilebilir: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(hizalı) \sağ.$$

Bu eşitsizlikler, $D$ alanını tanımlar ve herhangi bir belirsizlik olmaksızın benzersiz bir şekilde tanımlar. Ancak bu, dipnotun başındaki soruda bize nasıl yardımcı oluyor? Ayrıca yardımcı olacaktır :) $M_1(1;1)$ noktasının $D$ bölgesine ait olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. Bu bölgeyi tanımlayan eşitsizlikler sistemine $x=1$ ve $y=1$ koyalım. Her iki eşitsizlik de sağlanıyorsa, nokta bölgenin içindedir. Eşitsizliklerden en az biri sağlanmıyorsa nokta bölgeye ait değildir. Bu yüzden:

$$ \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(hizalı) \sağ. \;\; \left \( \begin(hizalı) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(hizalı) \sağ.$$

Her iki eşitsizlik de doğrudur. $M_1(1;1)$ noktası $D$ bölgesine aittir.

Şimdi, fonksiyonun etki alanının sınırındaki davranışını araştırma sırası, yani. gitmek $y=0$ düz çizgisiyle başlayalım.

Düz çizgi $y=0$ (apsis ekseni), $D$ bölgesini $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında sınırlar. Verilen $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ işlevinde $y=0$'ı değiştirin. $x$ değişkeninin ortaya çıkan ikame fonksiyonu $f_1(x)$ olarak gösterilecektir:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Şimdi $f_1(x)$ fonksiyonu için $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmamız gerekiyor. Bu fonksiyonun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ değeri $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentine aittir, dolayısıyla puan listesine $M_2(2;0)$'ı da ekleriz. Ek olarak, $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinin uçlarındaki $z$ fonksiyonunun değerlerini hesaplıyoruz, yani. $M_3(-1;0)$ ve $M_4(3;0)$ noktalarında. Bu arada, eğer $M_2$ noktası söz konusu segmente ait değilse, o zaman, elbette, içindeki $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamaya gerek kalmayacaktır.

O halde $z$ fonksiyonunun $M_2$, $M_3$, $M_4$ noktalarındaki değerlerini hesaplayalım. Elbette, bu noktaların koordinatlarını $z=x^2+2xy-y^2-4x$ orijinal ifadesinde değiştirebilirsiniz. Örneğin, $M_2$ noktası için şunu elde ederiz:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Ancak, hesaplamalar biraz basitleştirilebilir. Bunu yapmak için, $M_3M_4$ segmentinde $z(x,y)=f_1(x)$ olduğunu hatırlamaya değer. Ayrıntılı olarak yazacağım:

\begin(hizalı) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cnokta 3=-3. \end(hizalı)

Tabii ki, genellikle bu kadar ayrıntılı girişlere gerek yoktur ve gelecekte tüm hesaplamaları daha kısa bir şekilde yazmaya başlayacağız:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Şimdi $x=3$ düz çizgisine dönelim. Bu satır, $0 ≤ y ≤ 4$ koşulu altında $D$ alanını sınırlar. Verilen $z$ işlevinde $x=3$'ı değiştirin. Böyle bir ikamenin sonucu olarak, $f_2(y)$ fonksiyonunu elde ederiz:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ fonksiyonu için $0 ≤ y ≤ 4$ aralığındaki en büyük ve en küçük değerleri bulmanız gerekir. Bu fonksiyonun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ değeri $0 ≤ y ≤ 4$ segmentine aittir, dolayısıyla daha önce bulunan noktalara $M_5(3;3)$ ekliyoruz. Ayrıca $0 ≤ y ≤ 4$ segmentinin uçlarındaki noktalarda $z$ fonksiyonunun değerini hesaplamak gerekir, yani $M_4(3;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktalarında. $M_4(3;0)$ noktasında zaten $z$ değerini hesaplamış olduk. $z$ fonksiyonunun $M_5$ ve $M_6$ noktalarındaki değerini hesaplayalım. $M_4M_6$ segmentinde $z(x,y)=f_2(y)$ olduğunu hatırlatmama izin verin, dolayısıyla:

\begin(hizalı) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(hizalı)

Ve son olarak, $D$'ın son sınırını düşünün, yani. satır $y=x+1$. Bu çizgi, $-1 ≤ x ≤ 3$ koşulu altında $D$ bölgesini sınırlar. $y=x+1$'ı $z$ işlevinde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Bir kez daha $x$ tek değişkenli bir fonksiyonumuz var. Ve yine $-1 ≤ x ≤ 3$ segmentinde bu fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmanız gerekiyor. $f_(3)(x)$ fonksiyonunun türevini bulun ve sıfıra eşitleyin:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ değeri, $-1 ≤ x ≤ 3$ aralığına aittir. $x=1$ ise $y=x+1=2$. Nokta listesine $M_7(1;2)$ ekleyelim ve bu noktada $z$ fonksiyonunun değerinin ne olduğunu bulalım. Segmentin uçlarındaki noktalar $-1 ≤ x ≤ 3$, yani $M_3(-1;0)$ ve $M_6(3;4)$ noktaları daha önce ele alındı, içlerinde fonksiyonun değerini zaten bulduk.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Çözümün ikinci aşaması tamamlandı. Yedi değerimiz var:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Dönelim. Üçüncü paragrafta elde edilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçerek, sahip olacağız:

$$z_(dk)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Sorun çözüldü, geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.

Cevap: $z_(dk)=-4; \; z_(maks)=6$.

Örnek 2

$z=x^2+y^2-12x+16y$ fonksiyonunun $x^2+y^2 ≤ 25$ bölgesindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Önce bir çizim yapalım. $x^2+y^2=25$ denklemi (bu, verilen alanın sınır çizgisidir), merkezi orijinde (yani $(0;0)$ noktasında) ve yarıçapı 5. $x^2 +y^2 ≤ 25$ eşitsizliği, belirtilen çemberin içindeki ve üzerindeki tüm noktaları sağlar.

harekete geçeceğiz. Kısmi türevleri bulalım ve kritik noktaları bulalım.

$$ \frac(\kısmi z)(\kısmi x)=2x-12; \frac(\kısmi z)(\kısmi y)=2y+16. $$

Bulunan kısmi türevlerin bulunmadığı noktalar yoktur. Her iki kısmi türevinin hangi noktalarda aynı anda sıfıra eşit olduğunu bulalım, yani. sabit noktalar bulun.

$$ \left \( \begin(hizalı) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(hizalı) \sağ. \;\; \left \( \begin(hizalı) & x =6;\\ & y=-8.\end(hizalı) \sağ.$$

$(6;-8)$ durağan bir noktamız var. Ancak bulunan nokta $D$ bölgesine ait değildir. Çizime bile başvurmadan bunu göstermek kolaydır. $D$ etki alanımızı tanımlayan $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliğinin geçerli olup olmadığını kontrol edelim. $x=6$, $y=-8$ ise $x^2+y^2=36+64=100$, yani $x^2+y^2 ≤ 25$ eşitsizliği karşılanmamıştır. Sonuç: $(6;-8)$ noktası $D$ bölgesine ait değildir.

Dolayısıyla, $D$ içinde kritik nokta yoktur. Konusuna geçelim. Verilen alanın sınırında, yani fonksiyonun davranışını araştırmamız gerekiyor. $x^2+y^2=25$ çemberinde. Elbette, $y$'ı $x$ cinsinden ifade edebilir ve sonra ortaya çıkan ifadeyi $z$ fonksiyonumuzla değiştirebilirsiniz. Daire denkleminden şunu elde ederiz: $y=\sqrt(25-x^2)$ veya $y=-\sqrt(25-x^2)$. Örneğin, verilen işlevde $y=\sqrt(25-x^2)$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Diğer çözüm, önceki örnek No. 1'deki bölgenin sınırındaki fonksiyonun davranışının incelenmesiyle tamamen aynı olacaktır. Ancak bu durumda Lagrange yöntemini uygulamak bana daha mantıklı geliyor. Bu yöntemin sadece ilk kısmıyla ilgileniyoruz. Lagrange yönteminin ilk kısmını uyguladıktan sonra, $z$ fonksiyonunun minimum ve maksimum değerleri için hangi noktaları alacağız ve inceleyeceğiz.

Lagrange işlevini oluşturuyoruz:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25). $$

Lagrange fonksiyonunun kısmi türevlerini buluyoruz ve karşılık gelen denklem sistemini oluşturuyoruz:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (hizalı) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(hizalı) \ \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( hizalanmış)\sağ.$$

Bu sistemi çözmek için $\lambda\neq -1$ olduğunu hemen belirtelim. Neden $\lambda\neq -1$? İlk denklemde $\lambda=-1$ yerine koymaya çalışalım:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Ortaya çıkan $0=6$ çelişkisi, $\lambda=-1$ değerinin geçersiz olduğunu söylüyor. Çıktı: $\lambda\neq -1$. $x$ ve $y$'ı $\lambda$ cinsinden ifade edelim:

\begin(hizalı) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(hizalı)

$\lambda\neq -1$ koşulunu neden özel olarak şart koştuğumuzu burada açıkça ortaya koyduğumuza inanıyorum. Bu, $1+\lambda$ ifadesini müdahale olmadan paydalara sığdırmak için yapıldı. Yani, paydanın $1+\lambda\neq 0$ olduğundan emin olmak için.

$x$ ve $y$ için elde edilen ifadeleri sistemin üçüncü denklemine, yani $x^2+y^2=25$ olarak:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \sağ)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \sağ)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Ortaya çıkan eşitlikten $1+\lambda=2$ veya $1+\lambda=-2$ sonucu çıkar. Bu nedenle, $\lambda$ parametresinin iki değerine sahibiz, yani: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Buna göre, $x$ ve $y$ olmak üzere iki çift değer elde ederiz:

\begin(hizalı) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(hizalı)

Böylece, olası bir koşullu ekstremumun iki noktasına sahibiz, yani. $M_1(3;-4)$ ve $M_2(-3;4)$. $z$ fonksiyonunun $M_1$ ve $M_2$ noktalarındaki değerlerini bulun:

\begin(hizalı) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(hizalı)

Birinci ve ikinci adımda elde ettiğimiz değerlerden en büyük ve en küçük değerleri seçmeliyiz. Ama içinde bu durum seçim küçük :) Elimizde:

$$z_(dk)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Cevap: $z_(dk)=-75; \; z_(maks)=125$.

Bu yazıda bahsedeceğim en büyük ve en küçük değeri bulmak için algoritma fonksiyon, minimum ve maksimum noktalar.

Teoriden, kesinlikle ihtiyacımız olacak türev tablosu Ve farklılaşma kuralları. Hepsi bu panoda:

En büyük ve en küçük değerleri bulmak için algoritma.

açıklamayı daha kolay buluyorum özel örnek. Dikkate almak:

Örnek:[–4;0] doğru parçası üzerinde y=x^5+20x^3–65x fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Aşama 1. Türevi alıyoruz.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Adım 2 Ekstrem noktaları bulma.

uç nokta fonksiyonun maksimum veya minimum değerine ulaştığı noktaları adlandırırız.

Ekstrem noktaları bulmak için, fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemek gerekir (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Şimdi bu biquadratic denklemi çözüyoruz ve bulunan kökler uç noktalarımız.

Bu tür denklemleri t = x^2 ve ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0'ı değiştirerek çözüyorum.

Denklemi 5 azaltın, şunu elde ederiz: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kare(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kare(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Ters ikame x^2 = t yaparız:

X_(1 ve 2) = ±kare(1) = ±1
x_(3 ve 4) = ±sqrt(-13) (hariç tutuyoruz, kökün altında negatif sayılar olamaz tabii ki karmaşık sayılardan bahsetmiyorsak)

Toplam: x_(1) = 1 ve x_(2) = -1 - bunlar uç noktalarımız.

Aşama 3 En büyük ve en küçük değeri belirleyin.

İkame yöntemi.

Koşulda bize [b][–4;0] segmenti verildi. x=1 noktası bu parçaya dahil değildir. O yüzden dikkate almıyoruz. Ama x=-1 noktasına ek olarak, segmentimizin sol ve sağ kenarlarını, yani -4 ve 0 noktalarını da dikkate almamız gerekiyor. Bunu yapmak için, bu üç noktayı da orijinal fonksiyonda yerine koyuyoruz. Orijinal olanın (y=x^5+20x^3–65x) koşulunda verilen olduğuna dikkat edin, bazıları türevin yerine geçmeye başlar...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Bu, fonksiyonun maksimum değerinin [b]44 olduğu ve fonksiyonun [-4] parçası üzerindeki maksimum noktası olarak adlandırılan [b]-1 noktalarında ulaşıldığı anlamına gelir; 0].

Karar verdik ve cevap aldık, biz harikayız, siz rahat olun. Ama dur! y(-4) saymanın bir şekilde çok karmaşık olduğunu düşünmüyor musunuz? Kısıtlı zaman koşullarında başka bir yöntem kullanmak daha iyidir, ben şöyle derim:

Süreklilik aralıkları boyunca.

Bu boşluklar, fonksiyonun türevi için yani biquadratic denklemimiz için bulunur.

Ben aşağıdaki şekilde yapıyorum. Yön çizgisi çiziyorum. Noktaları belirledim: -4, -1, 0, 1. Verilen segmente 1 dahil edilmemesine rağmen, sabitlik aralıklarını doğru bir şekilde belirlemek için yine de not edilmelidir. 1'den katlarca büyük bir sayı alalım, 100 diyelim, zihinsel olarak 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 ikili denklemimizin yerine koyalım. Hiçbir şey saymadan bile, 100 noktasında açıkça görülüyor fonksiyonun artı işareti vardır. Bu, 1'den 100'e kadar olan aralıklar için artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sağdan sola gidiyoruz), fonksiyon işareti eksi olarak değiştirecektir. 0 noktasından geçerken fonksiyon işaretini koruyacaktır, çünkü bu sadece parçanın sınırıdır ve denklemin kökü değildir. -1'den geçerken, fonksiyon işareti tekrar artıya değiştirecektir.

Teoriden, fonksiyonun türevinin nerede olduğunu biliyoruz (ve bunun için bunu çizdik) işareti artıdan eksiye değiştirir (bizim durumumuzda nokta -1) işlev ulaşır yerel maksimum (y(-1)=44 daha önce hesaplandığı gibi) bu segmentte (mantıksal olarak çok açık, fonksiyon maksimuma ulaştığı ve azalmaya başladığı için artmayı bıraktı).

Buna göre, fonksiyonun türevi nerede işareti eksiden artıya değiştirir elde edildi bir fonksiyonun yerel minimumu. Evet, evet, yerel minimum noktayı da bulduk, yani 1 ve y(1) fonksiyonun -1 ile +∞ arasındaki aralıktaki minimum değeri. Lütfen bunun yalnızca YEREL MİNİMUM olduğunu, yani belirli bir segmentte minimum olduğunu unutmayın. Gerçek (global) minimum fonksiyon orada bir yere, -∞ içinde ulaşacağından.

Bence birinci yöntem teorik olarak daha basit, ikincisi aritmetik işlemler açısından daha basit ama teorik olarak çok daha zor. Sonuçta, bazen fonksiyonun denklemin kökünden geçerken işaret değiştirmediği durumlar vardır ve gerçekten de bu yerel, global maksimumlar ve minimumlarla karıştırabilirsiniz, ancak yine de iyi bir şekilde ustalaşmanız gerekecek. teknik bir üniversiteye girmek (ve başka ne vermek için profil sınavı ve bu sorunu çöz). Ancak uygulama ve yalnızca uygulama size bu tür sorunları kesin olarak nasıl çözeceğinizi öğretecektir. Ve web sitemizde eğitim alabilirsiniz. Burada .

Herhangi bir sorunuz varsa veya net olmayan bir şey varsa, sorduğunuzdan emin olun. Size cevap vermekten ve makaleye değişiklikler, eklemeler yapmaktan mutluluk duyacağım. Unutmayın, bu siteyi birlikte yapıyoruz!

Grafik kullanarak bir fonksiyonu nasıl keşfedeceğimizi görelim. Görünüşe göre grafiğe baktığınızda, bizi ilgilendiren her şeyi bulabilirsiniz, yani:

işlev kapsamı
işlev aralığı
işlev sıfırları
artış ve azalış dönemleri
yüksek ve düşük noktalar
segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri.

Terminolojiyi açıklığa kavuşturalım:

apsis noktanın yatay koordinatıdır.
ordinat- dikey koordinat.
apsis- genellikle eksen olarak adlandırılan yatay eksen.
Y ekseni- dikey eksen veya eksen.

Argüman fonksiyonun değerlerinin bağlı olduğu bağımsız bir değişkendir. Çoğu zaman belirtilir.
Başka bir deyişle, kendimiz seçeriz, fonksiyon formülünde yerine koyarız ve elde ederiz.

İhtisas işlevler - işlevin var olduğu argümanın bu (ve yalnızca) değerlerinin kümesi.
Belirtilen: veya .

Şeklimizde, fonksiyonun tanım bölgesi bir segmenttir. Fonksiyonun grafiği bu segmentte çizilir. Sadece burada bu işlev mevcuttur.

fonksiyon aralığı değişkenin aldığı değerler kümesidir. Bizim şeklimizde bu, en düşük değerden en yüksek değere kadar bir segmenttir.

fonksiyon sıfırları- fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu noktalar, yani . Şeklimizde, bunlar noktalar ve .

Fonksiyon değerleri pozitif Neresi . Şeklimizde, bunlar aralıklardır ve .
Fonksiyon değerleri negatif Neresi . Bu aralığa (veya aralığa) sahibiz.

En önemli kavramlar - artan ve azalan fonksiyon bazı setlerde. Küme olarak, bir doğru parçasını, bir aralığı, aralıkların birleşimini veya tüm sayı doğrusunu alabilirsiniz.

İşlev artışlar

Diğer bir deyişle, daha fazla, daha fazla, yani grafik sağa ve yukarı gider.

İşlev azalır kümede varsa ve kümeye ait eşitsizlik eşitsizliği ima eder.

Azalan bir fonksiyon için, daha büyük bir değer daha küçük bir değere karşılık gelir. Grafik sağa ve aşağı gider.

Şeklimizde, fonksiyon aralıkta artar ve aralıklarda azalır ve ve .

nedir tanımlayalım fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

Maksimum nokta- bu, tanım alanının dahili bir noktasıdır, öyle ki, içindeki fonksiyonun değeri, ona yeterince yakın olan tüm noktalardan daha büyüktür.
Başka bir deyişle, maksimum nokta öyle bir noktadır ki, fonksiyonun değeri Daha komşu olanlardan daha. Bu, haritadaki yerel bir "tepe"dir.

Bizim şeklimizde - maksimum nokta.

Düşük nokta- tanım alanının bir iç noktası, öyle ki içindeki fonksiyonun değeri, ona yeterince yakın olan tüm noktalardan daha az.
Yani minimum nokta, içindeki fonksiyonun değeri komşu olanlardan daha az olacak şekildedir. Grafikte, bu yerel bir "deliktir".

Bizim şeklimizde - minimum nokta.

Nokta sınırdır. Tanım alanının bir iç noktası değildir ve bu nedenle bir maksimum noktanın tanımına uymaz. Ne de olsa solda komşusu yok. Aynı şekilde grafiğimizde de minimum nokta olamaz.

Maksimum ve minimum noktalar toplu olarak adlandırılır fonksiyonun uç noktaları. Bizim durumumuzda, bu ve .

Peki ya bulmanız gerekirse, örneğin, fonksiyon minimum kesimde mi? Bu durumda, cevap: Çünkü fonksiyon minimum minimum noktadaki değeridir.

Benzer şekilde, fonksiyonumuzun maksimumu . Noktasına varılır.

Fonksiyonun ekstremumlarının ve 'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Bazen bulmanız gereken görevlerde fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri Belirli bir segmentte. Mutlaka aşırı uçlarla çakışmazlar.

bizim durumumuzda en küçük fonksiyon değeri aralıkta, fonksiyonun minimumuna eşittir ve bununla çakışır. Ancak bu segmentteki en büyük değeri eşittir. Segmentin sol ucunda ulaşılır.

Her durumda, bir segment üzerindeki sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri, segmentin uç noktalarında veya uç noktalarında elde edilir.

Yüzen bir öğrenci için cankurtaran halatı görevi gören türden minyatür ve oldukça basit bir görev. Doğada, Temmuz ortasının uykulu diyarı, bu yüzden sahilde bir dizüstü bilgisayarla yerleşmenin zamanı geldi. Sabah erkenden oynandı güneş ışınıİddia edilen hafifliğine rağmen kumda cam parçaları içeren pratiğe yakında odaklanmak için teori. Bu bağlamda, bu sayfadan birkaç örneği dikkatlice incelemenizi tavsiye ederim. Pratik görevleri çözmek için şunları yapabilmeniz gerekir: türevleri bul ve makalenin içeriğini anlayın Bir fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıkları.

İlk olarak, kısaca ana şey hakkında. hakkında bir derste fonksiyon sürekliliği Bir noktada sürekliliğin, bir aralıkta sürekliliğin tanımını verdim. Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki örnek davranışı formüle edilmiştir. benzer şekilde. Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyon bir segment üzerinde süreklidir:

1) aralıkta süreklidir;
2) bir noktada sürekli sağda ve noktada sol.

İkinci paragraf sözde ile ilgilidir tek taraflı süreklilik bir noktada işlev görür. Tanımına birkaç yaklaşım var, ancak daha önce başladığım satıra bağlı kalacağım:

Fonksiyon bir noktada süreklidir. sağda, eğer belirli bir noktada tanımlanmışsa ve sağdaki limiti, işlevin belirli bir noktadaki değeriyle çakışıyorsa: . noktasında süreklidir. sol, eğer belirli bir noktada tanımlanmışsa ve soldaki limiti o noktadaki değere eşitse:

Yeşil noktaların sihirli lastik bandın takılı olduğu tırnaklar olduğunu hayal edin:

Zihinsel olarak kırmızı çizgiyi elinize alın. Açıkçası, grafiği yukarı ve aşağı (eksen boyunca) ne kadar uzatırsak uzatalım, fonksiyon yine aynı kalacaktır. sınırlı- üstte bir çit, altta bir çit ve ürünümüz bir padokta otluyor. Böylece, bir segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyon onun üzerinde sınırlandırılmıştır. Matematiksel analiz sırasında, görünüşte basit olan bu gerçek ifade edilir ve titizlikle kanıtlanır. Weierstrass'ın birinci teoremi.... Birçoğu, temel ifadelerin matematikte sıkıcı bir şekilde doğrulanmasından rahatsız, ancak önemli anlam. Orta Çağ'ın havlu kumaşından belirli bir sakinin grafiği görüş sınırlarının ötesinde gökyüzüne çektiğini ve bunun eklendiğini varsayalım. Teleskopun icadından önce, uzaydaki sınırlı işlev hiç de açık değildi! Gerçekten de, ufkun ötesinde bizi neyin beklediğini nereden biliyorsunuz? Ne de olsa, bir zamanlar Dünya düz kabul ediliyordu, bu yüzden bugün sıradan ışınlanma bile kanıt gerektiriyor =)

Buna göre ikinci Weierstrass teoremi, segmentte süreklifonksiyon amacına ulaşır tam üst kenar ve onun kesin alt kenar .

Numara da denir segmentteki fonksiyonun maksimum değeri ve ile gösterilir ve sayı - fonksiyonun aralıktaki minimum değeri işaretlenmiş .

Bizim durumumuzda:

Not : teoride, kayıtlar yaygındır .

Kabaca konuşursak, en büyük değer, en çok yüksek nokta grafikler ve en küçük - en alçak nokta nerede.

Önemli! başlıklı yazıda da belirtildiği gibi fonksiyonun uç noktası, fonksiyonun en büyük değeri Ve en küçük fonksiyon değeri – AYNI DEĞİL, Ne fonksiyon maksimum Ve fonksiyon minimum. Dolayısıyla, bu örnekte sayı, fonksiyonun minimum değeridir, ancak minimum değeri değildir.

Bu arada, segmentin dışında neler oluyor? Evet, ele alınan sorun bağlamında sel bile bu bizi hiç ilgilendirmiyor. Görev yalnızca iki sayı bulmayı içerir ve bu kadar!

Ayrıca, çözüm tamamen analitiktir, bu nedenle, çizmeye gerek yok!

Algoritma yüzeyde yatıyor ve yukarıdaki şekilden kendini gösteriyor:

1) Fonksiyon değerlerini bulun kritik noktalar, Bu segmente ait olan.

Bir güzellik daha yakalayın: Az önce gösterildiği gibi, bir minimum veya maksimum varlığı olduğundan, bir ekstremum için yeterli bir koşulu kontrol etmeye gerek yoktur. henüz garanti değil minimum veya maksimum değer nedir. Demo işlevi maksimuma ulaşır ve kaderin iradesiyle aynı sayı en yüksek değer aralığında işlev görür. Ancak elbette böyle bir tesadüf her zaman gerçekleşmiyor.

Böylece ilk adımda segmente ait kritik noktalarda ekstremum olup olmadığına bakmadan fonksiyonun değerlerini hesaplamak daha hızlı ve kolay oluyor.

2) Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz.

3) 1. ve 2. paragrafta bulunan fonksiyon değerleri arasından en küçüğünü ve en büyüğünü seçiyoruz. Büyük sayı, cevabı yazın.

Mavi denizin kıyısında oturuyoruz ve sığ suda topuklara vuruyoruz:

örnek 1

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun

Çözüm:
1) Fonksiyonun bu segmente ait kritik noktalardaki değerlerini hesaplayın:

İkinci adımda fonksiyonun değerini hesaplıyoruz kritik nokta:

2) Fonksiyonun segmentin uçlarındaki değerlerini hesaplayın:

3) Üstel sayılar ve logaritmalarla "kalın" sonuçlar elde edildi, bu da karşılaştırmalarını önemli ölçüde karmaşıklaştırıyor. Bu nedenle kendimizi bir hesap makinesi veya Excel ile silahlandıracağız ve şunu unutmadan yaklaşık değerleri hesaplayacağız: