Ev › Yakıt sistemi › Bir denklemden bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur? Kapalı bir bölgede iki değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri

Bir denklemden bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur? Kapalı bir bölgede iki değişkenli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri

Yüzen bir öğrenci için cankurtaran halatı görevi gören türden minyatür ve oldukça basit bir görev. Doğada, Temmuz ortasının uykulu diyarı, bu yüzden sahilde bir dizüstü bilgisayarla yerleşmenin zamanı geldi. Sabah erkenden oynandı güneş ışınıİddia edilen hafifliğine rağmen kumda cam parçaları içeren pratiğe yakında odaklanmak için teori. Bu bağlamda, bu sayfadan birkaç örneği dikkatlice incelemenizi tavsiye ederim. Pratik görevleri çözmek için şunları yapabilmeniz gerekir: türevleri bul ve makalenin içeriğini anlayın Bir fonksiyonun monotonluk ve ekstremum aralıkları.

İlk olarak, kısaca ana şey hakkında. hakkında bir derste fonksiyon sürekliliği Bir noktada sürekliliğin, bir aralıkta sürekliliğin tanımını verdim. Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki örnek davranışı formüle edilmiştir. benzer şekilde. Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyon bir segment üzerinde süreklidir:

1) aralıkta süreklidir;
2) bir noktada sürekli sağda ve noktada sol.

İkinci paragraf sözde ile ilgilidir tek taraflı süreklilik bir noktada işlev görür. Tanımına birkaç yaklaşım var, ancak daha önce başladığım satıra bağlı kalacağım:

Fonksiyon bir noktada süreklidir. sağda, eğer belirli bir noktada tanımlanmışsa ve sağdaki limiti, işlevin belirli bir noktadaki değeriyle çakışıyorsa: . noktasında süreklidir. sol, belirli bir noktada tanımlanmışsa ve soldaki limiti o noktadaki değere eşitse:

Yeşil noktaların sihirli lastik bandın takılı olduğu tırnaklar olduğunu hayal edin:

Zihinsel olarak kırmızı çizgiyi elinize alın. Açıkçası, grafiği yukarı ve aşağı (eksen boyunca) ne kadar uzatırsak uzatalım, fonksiyon yine de aynı kalacaktır. sınırlı- üstte bir çit, altta bir çit ve ürünümüz bir padokta otluyor. Böylece, bir segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyon onun üzerinde sınırlandırılmıştır. Matematiksel analiz sırasında, görünüşte basit olan bu gerçek ifade edilir ve titizlikle kanıtlanır. Weierstrass'ın birinci teoremi.... Pek çok insan, temel ifadelerin matematikte sıkıcı bir şekilde doğrulanmasından rahatsızdır, ancak önemli anlam. Orta Çağ'ın belirli bir sakininin, grafiği görünürlük sınırlarının ötesinde gökyüzüne çektiğini varsayalım, bu eklendi. Teleskopun icadından önce, uzaydaki sınırlı işlev hiç de açık değildi! Gerçekten de, ufkun ötesinde bizi neyin beklediğini nereden biliyorsunuz? Ne de olsa, bir zamanlar Dünya düz kabul ediliyordu, bu yüzden bugün sıradan ışınlanma bile kanıt gerektiriyor =)

Buna göre ikinci Weierstrass teoremi, segmentte süreklifonksiyon amacına ulaşır tam üst kenar ve onun kesin alt kenar .

Numara da denir segmentteki fonksiyonun maksimum değeri ve ile gösterilir ve sayı - fonksiyonun aralıktaki minimum değeri işaretlenmiş .

Bizim durumumuzda:

Not : teoride, kayıtlar yaygındır .

Kabaca konuşma, en yüksek değer nerede bulunur yüksek nokta grafikler ve en küçük - en alçak nokta nerede.

Önemli! başlıklı yazıda da belirtildiği gibi fonksiyonun uç noktası, fonksiyonun en büyük değeri Ve en küçük fonksiyon değeri – AYNI DEĞİL, Ne fonksiyon maksimum Ve fonksiyon minimum. Dolayısıyla, bu örnekte sayı, fonksiyonun minimum değeridir, ancak minimum değeri değildir.

Bu arada, segmentin dışında neler oluyor? Evet, ele alınan sorun bağlamında sel bile bu bizi hiç ilgilendirmiyor. Görev yalnızca iki sayı bulmayı içerir ve bu kadar!

Ayrıca, çözüm tamamen analitiktir, bu nedenle, çizmeye gerek yok!

Algoritma yüzeyde yatıyor ve yukarıdaki şekilden kendini gösteriyor:

1) Fonksiyon değerlerini bulun kritik noktalar, Bu segmente ait olan.

Bir güzellik daha yakalayın: Az önce gösterildiği gibi, bir minimum veya maksimum varlığı olduğundan, bir ekstremum için yeterli bir koşulu kontrol etmeye gerek yoktur. henüz garanti değil minimum veya maksimum değer nedir. Gösterim işlevi maksimum değerine ulaşır ve kaderin iradesiyle aynı sayı, işlevin aralıktaki en büyük değeridir. Ancak elbette böyle bir tesadüf her zaman gerçekleşmiyor.

Böylece ilk adımda segmente ait kritik noktalarda ekstremum olup olmadığına bakmadan fonksiyonun değerlerini hesaplamak daha hızlı ve kolay oluyor.

2) Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplıyoruz.

3) 1. ve 2. paragrafta bulunan fonksiyon değerleri arasından en küçüğünü ve en büyüğünü seçiyoruz. Büyük sayı, cevabı yazın.

Mavi denizin kıyısında oturuyoruz ve sığ suda topuklara vuruyoruz:

örnek 1

En büyüğünü bul ve en küçük değer aralıktaki işlevler

Çözüm:
1) Fonksiyonun bu segmente ait kritik noktalardaki değerlerini hesaplayın:

İkinci kritik noktadaki fonksiyonun değerini hesaplayalım:

2) Fonksiyonun segmentin uçlarındaki değerlerini hesaplayın:

3) Üstel sayılar ve logaritmalarla "kalın" sonuçlar elde edildi, bu da karşılaştırmalarını önemli ölçüde karmaşıklaştırıyor. Bu nedenle kendimizi bir hesap makinesi veya Excel ile silahlandıracağız ve şunu unutmadan yaklaşık değerleri hesaplayacağız:

Şimdi anlaşıldı.

Cevap:

Bağımsız çözüm için kesirli-rasyonel örnek:

Örnek 6

Bir segmentteki bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulun

Fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, ele alınan aralıktaki ordinatın kabul edilen en büyük (en küçük) değeridir.

Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapmanız gerekenler:

Verilen segmente hangi sabit noktaların dahil edildiğini kontrol edin.
3. adımdaki segmentin uçlarındaki ve durağan noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın
Elde edilen sonuçlar arasından en büyük veya en küçük değeri seçin.

Maksimum veya minimum noktaları bulmak için yapmanız gerekenler:

$f"(x)$ fonksiyonunun türevini bulun
$f"(x)=0$ denklemini çözerek durağan noktaları bulun
Bir fonksiyonun türevini çarpanlara ayırın.
Bir koordinat çizgisi çizin, üzerine durağan noktalar yerleştirin ve elde edilen aralıklarda 3. maddedeki gösterimi kullanarak türevin işaretlerini belirleyin.
Kurala göre maksimum veya minimum noktaları bulun: bir noktada türev işareti artıdan eksiye değiştirirse, bu maksimum nokta olacaktır (eksiden artıya ise, bu minimum nokta olacaktır). Uygulamada, aralıklarda okların görüntüsünü kullanmak uygundur: türevin pozitif olduğu aralıkta ok yukarı doğru çekilir ve bunun tersi de geçerlidir.

Bazı temel fonksiyonların türev tablosu:

İşlev	Türev
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1))), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$çünkü^2x$	$-sin2x$
$günah^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Farklılaşmanın temel kuralları

1. Toplam ve farkın türevi, her terimin türevine eşittir

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ fonksiyonunun türevini bulun

Toplamın ve farkın türevi, her terimin türevine eşittir

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Bir ürünün türevi.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ türevini bulun

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Bölümün türevi

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ türevini bulun

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, harici fonksiyonun türevi ile dahili fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ fonksiyonunun minimum noktasını bulun

1. Fonksiyonun ODZ'sini bulun: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ fonksiyonunun türevini bulun

3. Türevi sıfıra eşitleyerek durağan noktaları bulun

$(2x+21)/(x+11)=0$

Pay sıfırsa ve payda sıfır değilse bir kesir sıfırdır

$2x+21=0; x≠-11$

4. Bir koordinat doğrusu çizin, üzerine durağan noktalar yerleştirin ve elde edilen aralıklarda türevin işaretlerini belirleyin. Bunu yapmak için, aşırı sağ bölgeden herhangi bir sayıyı, örneğin sıfırı türevde yerine koyarız.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimum noktada türevin işareti eksiden artıya değişir, dolayısıyla $-10.5$ noktası minimum noktadır.

Cevap: $-10.5$

$y=6x^5-90x^3-5$ fonksiyonunun $[-5;1]$ segmentindeki maksimum değerini bulun

1. $y'=30x^4-270x^2$ fonksiyonunun türevini bulun

2. Türevi sıfıra eşitleyin ve durağan noktaları bulun

$30x^4-270x^2=0$

$30x^2$ ortak çarpanını parantezden çıkaralım

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Her faktörü sıfıra eşitle

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Belirli $[-5;1]$ segmentine ait durağan noktaları seçin

$x=0$ ve $x=-3$ sabit noktaları bizim için uygundur

4. Segmentin uçlarındaki ve 3. maddedeki durağan noktalardaki fonksiyonun değerini hesaplayın.

Bir fonksiyonun uç noktası nedir ve uç noktası için gerekli koşul nedir?

Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.

Fonksiyonun maksimum ve minimum (ekstremum) değeri için gerekli koşul şu şekildedir: f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir uç noktası varsa, o zaman bu noktada türev ya sıfırdır ya da sonsuzdur veya yok

Bu koşul gereklidir, ancak yeterli değildir. x = a noktasındaki türev kaybolabilir, sonsuza gidebilir veya fonksiyonun bu noktada bir uç noktası olmadan var olmayabilir.

Fonksiyonun uç noktası (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?

Birinci koşul:

x = a noktasına yeterince yakınsa, f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve a'nın sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında, f(x) fonksiyonunun kendisi maksimum

x = a noktasına yeterince yakınsa, f?(x) türevi a'nın solunda negatif ve a'nın sağında pozitif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu minimum f(x) fonksiyonunun burada sürekli olması şartıyla.

Bunun yerine, işlevin uç noktası için ikinci yeterli koşulu kullanabilirsiniz:

x = noktasında birinci türev f?(x) yok olsun; f??(а) ikinci türevi negatif ise, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir maksimumu, pozitif ise bir minimumu vardır.

Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?

Bu, fonksiyonun bir ekstremuma (yani maksimum veya minimum) sahip olduğu fonksiyon bağımsız değişkeninin değeridir. Onu bulmak için ihtiyacınız var türevi bul f?(x) fonksiyonu ve sıfıra eşitleyerek, denklemi çözün f?(x) = 0. Bu denklemin kökleri ve bu fonksiyonun türevinin bulunmadığı noktalar kritik noktalardır, yani bir ekstremum olabileceği argümanın değerleridir. . Bakılarak kolayca tanımlanabilirler. türev grafiği: fonksiyonun grafiğinin apsis ekseniyle (Öküz ekseni) kesiştiği ve grafiğin kırıldığı argüman değerleriyle ilgileniyoruz.

Örneğin, bulalım parabolün uç noktası.

Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Fonksiyon türevi: y?(x) = 6x + 2

Denklemi çözüyoruz: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

İÇİNDE bu durum kritik nokta x0=-1/3'tür. Fonksiyonun sahip olduğu argümanın bu değeri içindir. aşırılık. Onu almak için bulmak, işlev ifadesinde "x" yerine bulunan sayıyı değiştiririz:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değeri nasıl belirlenir, örn. en büyük ve en küçük değerleri?

x0 kritik noktasından geçerken türevin işareti "artı"dan "eksi"ye değişirse, o zaman x0 maksimum nokta; türevin işareti eksiden artıya değişirse, o zaman x0 minimum nokta; işaret değişmezse, o zaman x0 noktasında ne maksimum ne de minimum vardır.

Ele alınan örnek için:

Solundaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz. kritik nokta: x = -1

x = -1 olduğunda, türevin değeri y (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yani eksi işareti) olacaktır.

Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1

x = 1 için türevin değeri y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yani artı işareti) olacaktır.

Gördüğünüz gibi, kritik noktadan geçerken türev eksiden artıya işaret değiştirdi. Bu, x0'ın kritik değerinde bir minimum noktamız olduğu anlamına gelir.

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri aralıkta(segmentte) aynı prosedürle bulunur, yalnızca belki de tüm kritik noktaların belirtilen aralık içinde olmayacağı gerçeği dikkate alınır. Aralığın dışında kalan kritik noktalar dikkate alınmamalıdır. Aralık içinde yalnızca bir kritik nokta varsa, bu noktanın bir maksimumu veya bir minimumu olacaktır. Bu durumda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirlemek için fonksiyonun aralığın uçlarındaki değerlerini de dikkate alıyoruz.

Örneğin, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım.

y (x) \u003d 3 günah (x) - 0,5x

aralıklarla:

Yani fonksiyonun türevi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± ark (0,16667) + 2πk.

[-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (aralığa dahil değildir)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (aralığa dahil değildir)

Fonksiyonun değerlerini argümanın kritik değerlerinde buluyoruz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

[-9; 9] fonksiyon x = -4,88'de en büyük değere sahiptir:

x = -4,88, y = 5,398,

ve en küçüğü - x = 4.88'de:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6; -3] sadece bir kritik noktamız var: x = -4.88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'dir.

Fonksiyonun değerini aralığın sonunda buluyoruz:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz

x = -4,88'de y = 5,398

en küçük değer

x = -3'te y = 1,077

Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey kenarları nasıl belirlenir?

Y \u003d f (x) çizgisinin tüm bükülme noktalarını bulmak için, ikinci türevi bulmanız, sıfıra eşitlemeniz (denklemi çözmeniz) ve ikinci türevi sıfır olan tüm x değerlerini test etmeniz gerekir. , sonsuz veya yok. Bu değerlerden birinden geçerken ikinci türev işaret değiştirirse, fonksiyonun grafiği bu noktada bir bükülmeye sahiptir. Değişmezse, bükülme olmaz.

Denklemin kökleri f ? (x) = 0, ayrıca fonksiyonun olası süreksizlik noktaları ve ikinci türev, fonksiyonun tanım alanını birkaç aralığa böler. Aralıklarının her birindeki dışbükeylik, ikinci türevin işareti ile belirlenir. İncelenen aralıktaki bir noktadaki ikinci türev pozitifse, o zaman y = f(x) doğrusu burada yukarıya doğru içbükeydir ve negatifse aşağıya doğru içbükeydir.

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumları nasıl bulunur?

Atama alanında farklılaştırılabilen f(x, y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için ihtiyacınız olan:

1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) her P0(a;b) kritik noktası için, farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın

tüm noktalar için (x; y) P0'a yeterince yakın. Fark pozitif bir işareti koruyorsa, o zaman P0 noktasında bir minimuma sahibiz, eğer negatifse, o zaman bir maksimuma sahibiz. Fark işaretini korumuyorsa, Р0 noktasında ekstremum yoktur.

Benzer şekilde, fonksiyonun uç noktaları daha fazla sayıda bağımsız değişken için belirlenir.

Sonsuza Kadar Sonra Shrek Nedir?
Çizgi Film: Shrek Forever After Yayın Yılı: 2010 Prömiyer (Rusya): 20 Mayıs 2010 Ülke: ABD Yönetmen: Michael Pitchel Senaryo: Josh Klausner, Darren Lemke Tür: aile komedisi, fantezi, macera Resmi web sitesi: www.shrekforeverafter.com arsa katır

Regl dönemimde kan bağışlayabilir miyim?
Doktorlar adet döneminde kan bağışı yapılmasını önermezler çünkü. kan kaybı, önemli miktarda olmasa da, hemoglobin seviyelerinde azalma ve kadının sağlığında bozulma ile doludur. Kan bağışı prosedürü sırasında, sağlık durumu kanamanın keşfedilmesine kadar kötüleşebilir. Bu nedenle kadınlar adet döneminde kan bağışından kaçınmalıdır. Ve zaten bitirdikten sonraki 5. günde

Zeminleri yıkarken kaç kcal/saat tüketilir?
Çeşit fiziksel aktivite Enerji tüketimi, kcal/h Yemek yapma 80 Giyinme 30 Araba kullanma 50 Toz alma 80 Yemek yeme 30 Bahçe işleri 135 Ütü yapma 45 Yatak yapma 130 Alışveriş 80 Hareketsiz çalışma 75 Odun kesme 300 Yer yıkama 130 Seks 100-150 Düşük yoğunluklu aerobik dans

"haydut" kelimesinin anlamı nedir?
Dolandırıcı, küçük hırsızlıklarla uğraşan bir hırsız veya hileli numaralara eğilimli bir haydut kişidir. Bu tanımın teyidi, Krylov'un etimolojik sözlüğünde yer almaktadır; buna göre "dolandırıcı" kelimesi, &la fiiline benzer şekilde "dolandırıcı" (hırsız, dolandırıcı) kelimesinden oluşturulmuştur.

Strugatsky kardeşlerin son yayınlanan hikayesinin adı nedir?
küçük bir hikaye Arkady ve Boris Strugatsky "Siklotasyon konusunda" ilk olarak Nisan 2008'de bilim kurgu antolojisi "Noon. XXI Century" de yayınlandı (Boris Strugatsky'nin editörlüğünde yayınlanan "Vokrug sveta" dergisinin eki). Yayın, Boris Strugatsky'nin 75. yıldönümüne ithaf edildi.

Work And Travel USA programına katılanların hikayelerini nereden okuyabilirim?
Work and Travel USA (work and travel in the USA), yazı Amerika'da yasal olarak hizmet sektöründe çalışarak ve seyahat ederek geçirebileceğiniz popüler bir öğrenci değişim programıdır. Work & Travel programının tarihi, hükumetler arası değişimlerin yer aldığı Cultural Exchange Pro programının bir parçasıdır.

Kulak. Mutfak ve tarihsel referans İki buçuk yüzyıldan fazla bir süredir, "ukha" kelimesi çorbaları veya taze balık kaynatmalarını belirtmek için kullanılmıştır. Ancak bu kelimenin daha geniş bir şekilde yorumlandığı bir zaman vardı. Çorbayı gösterdiler - sadece balık değil, aynı zamanda et, bezelye ve hatta tatlı. Yani tarihsel belgede - "

Bilgi ve işe alma portalları Superjob.ru - işe alma portalı Superjob.ru üzerinde çalışır Rusya pazarı 2000 yılından bu yana çevrimiçi işe alım ve iş arama ve personel bulma sunan kaynaklar arasında liderdir. Site veritabanına her gün 80.000'den fazla uzman özgeçmişi ve 10.000'den fazla açık pozisyon eklenmektedir.

motivasyon nedir
Motivasyonun tanımı Motivasyon (lat. moveo'dan - hareket ediyorum) - harekete geçme dürtüsü; insan davranışını kontrol eden, yönünü, organizasyonunu, faaliyetini ve istikrarını belirleyen dinamik bir fizyolojik ve psikolojik plan süreci; insanın ihtiyaçlarını emek yoluyla karşılama yeteneği. motivasyon

Bob Dylan kimdir?
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, gerçek adı - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; 24 Mayıs 1941 doğumlu), Rolling Stone dergisi tarafından yapılan bir ankete göre ikinci (

İç mekan bitkileri nasıl taşınır
satın alma işleminden sonra kapalı bitkiler, bahçıvan, satın alınan egzotik çiçekleri zarar görmeden teslim etme görevi ile karşı karşıyadır. İç mekan bitkilerinin paketlenmesi ve taşınması için temel kuralları bilmek bu sorunu çözmeye yardımcı olacaktır. Bitkilerin taşınması veya taşınması için paketlenmesi gerekir. Bitkiler ne kadar kısa mesafe kat edilirse taşınsın zarar görebilir, kuruyabilir ve kışın &m

Bir fonksiyonun uç noktası nedir ve uç noktası için gerekli koşul nedir?

Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.

Bu koşul gereklidir, ancak yeterli değildir. x = a noktasındaki türev kaybolabilir, sonsuza gidebilir veya fonksiyonun bu noktada bir uç noktası olmadan var olmayabilir.

Fonksiyonun uç noktası (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?

Birinci koşul:

x = a noktasına yeterince yakınsa, f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve a'nın sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında, f(x) fonksiyonunun kendisi maksimum

Bunun yerine, işlevin uç noktası için ikinci yeterli koşulu kullanabilirsiniz:

x = noktasında birinci türev f?(x) yok olsun; f??(а) ikinci türevi negatif ise, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir maksimumu, pozitif ise bir minimumu vardır.

Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?

Örneğin, bulalım parabolün uç noktası.

Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Fonksiyon türevi: y?(x) = 6x + 2

Denklemi çözüyoruz: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Bu durumda kritik nokta x0=-1/3'tür. Fonksiyonun sahip olduğu argümanın bu değeri içindir. aşırılık. Onu almak için bulmak, işlev ifadesinde "x" yerine bulunan sayıyı değiştiririz:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değeri nasıl belirlenir, örn. en büyük ve en küçük değerleri?

Ele alınan örnek için:

Kritik noktanın solundaki bağımsız değişkenin keyfi bir değerini alıyoruz: x = -1

x = -1 olduğunda, türevin değeri y (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yani eksi işareti) olacaktır.

Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1

x = 1 için türevin değeri y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yani artı işareti) olacaktır.

Gördüğünüz gibi, kritik noktadan geçerken türev eksiden artıya işaret değiştirdi. Bu, x0'ın kritik değerinde bir minimum noktamız olduğu anlamına gelir.

Örneğin, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım.

y (x) \u003d 3 günah (x) - 0,5x

aralıklarla:

Yani fonksiyonun türevi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± ark (0,16667) + 2πk.

[-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (aralığa dahil değildir)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (aralığa dahil değildir)

Fonksiyonun değerlerini argümanın kritik değerlerinde buluyoruz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

[-9; 9] fonksiyon x = -4,88'de en büyük değere sahiptir:

x = -4,88, y = 5,398,

ve en küçüğü - x = 4.88'de:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6; -3] sadece bir kritik noktamız var: x = -4.88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'dir.

Fonksiyonun değerini aralığın sonunda buluyoruz:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz

x = -4,88'de y = 5,398

en küçük değer

x = -3'te y = 1,077

Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey kenarları nasıl belirlenir?

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumları nasıl bulunur?

Atama alanında farklılaştırılabilen f(x, y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için ihtiyacınız olan:

1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) her P0(a;b) kritik noktası için, farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın

Benzer şekilde, fonksiyonun uç noktaları daha fazla sayıda bağımsız değişken için belirlenir.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur?

Bunun için iyi bilinen algoritmayı takip ediyoruz:

1 . ODZ fonksiyonlarını buluyoruz.

2 . Bir fonksiyonun türevini bulma

3 . Türevi sıfıra eşitle

4 . Türevin işaretini koruduğu aralıkları buluruz ve bunlardan fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirleriz:

Eğer I aralığında 0" fonksiyonunun türevi ise title="f^(asal)(x)>0">, то функция !} bu aralıkta artar.

I aralığında fonksiyonun türevi ise, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.

5 . Bulduk fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

İÇİNDE fonksiyonun maksimum noktası, türev işaretini "+"dan "-"ye değiştirir.

İÇİNDE fonksiyonun minimum noktasıtürev işaretini "-"den "+"ya değiştirir.

6 . Fonksiyonun değerini segmentin sonunda buluyoruz,

sonra segmentin uçlarındaki ve maksimum noktalardaki fonksiyonun değerini karşılaştırırız ve fonksiyonun en büyük değerini bulmanız gerekiyorsa en büyüğünü seçin
veya segmentin uçlarındaki ve minimum noktalardaki fonksiyonun değerini karşılaştırırız ve fonksiyonun en küçük değerini bulmanız gerekiyorsa en küçüğünü seçin

Ancak, fonksiyonun aralıkta nasıl davrandığına bağlı olarak bu algoritma önemli ölçüde azaltılabilir.

işlevi göz önünde bulundurun . Bu fonksiyonun grafiği şöyle görünür:

Bazı problem çözme örneklerine bakalım. açık banka için ödevler

1. Görev B15 (#26695)

kesim üzerinde.

1. Fonksiyon, x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır.

Açıkçası, bu denklemin çözümü yoktur ve türev x'in tüm değerleri için pozitiftir. Bu nedenle fonksiyon artar ve aralığın sağ ucunda yani x=0'da en büyük değeri alır.

Cevap: 5.

2 . Görev B15 (No. 26702)

Bir fonksiyonun en büyük değerini bulun segment üzerinde.

1.ODZ işlevi title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

türevi sıfırdır, ancak bu noktalarda işaret değiştirmez:

Bu nedenle, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} artar ve aralığın sağ ucunda en büyük değeri alır.

Türevin neden işaret değiştirmediğini açıklığa kavuşturmak için türevin ifadesini aşağıdaki gibi dönüştürürüz:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2) (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Cevap: 5.

3. Görev B15 (#26708)

Aralıktaki fonksiyonun en küçük değerini bulun.

1. ODZ işlevleri: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Bu denklemin köklerini bir trigonometrik daireye yerleştirelim.

Aralık iki sayı içerir: ve

Tabelaları koyalım. Bunu yapmak için x=0 noktasında türevin işaretini belirleriz: . Noktalardan geçerken ve türev işaret değiştirir.

Fonksiyonun türevinin işaretlerinin değişimini koordinat doğrusu üzerinde gösterelim:

Açıkçası, nokta minimum noktadır (burada türev işareti "-" den "+" ya değiştirir) ve fonksiyonun aralıktaki en küçük değerini bulmak için fonksiyonun değerlerini karşılaştırmanız gerekir. minimum noktada ve segmentin sol ucunda, .

Kategoride popüler: