Людвіг Больцман: Іменні досягнення. Больцмана постійна

План:

Вступ

• 1 Зв'язок між температурою та енергією
• 2 Визначення ентропії
Примітки

Вступ

Постійна Больцмана (kабо k B) - фізична постійна, що визначає зв'язок між температурою та енергією. Названа на честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, який зробив великий внесок у статистичну фізику, в якій ця стала грає ключову роль. Її експериментальне значення в системі СІ дорівнює

Дж/К.

Числа у круглих дужках вказують стандартну похибку в останніх цифрах значення величини. Постійна Больцмана може бути отримана з визначення абсолютної температури та інших постійних фізичних. Однак, обчислення постійної Больцмана за допомогою основних принципів надто складне та нездійсненне за сучасного рівня знань. У природній системі одиниць Планка природна одиниця температури задається так, що постійна Больцмана дорівнює одиниці.

Універсальна газова постійна визначається як добуток постійної Больцмана на число Авогадро, R = kN A. Газова постійна зручніша, коли число частинок задано в молях.

1. Зв'язок між температурою та енергією

В однорідному ідеальному газі, що знаходиться за абсолютної температури T, енергія, що припадає на кожну поступальну міру свободи, дорівнює, як випливає з розподілу Максвелла kT/ 2 . При кімнатній температурі (300 К) ця енергія становить Дж або 0,013 еВ. В одноатомному ідеальному газі кожен атом має три ступені свободи, що відповідають трьом просторовим осям, що означає, що на кожен атом припадає енергія в .

Знаючи теплову енергію, можна обчислити середньоквадратичну швидкість атомів, яка обернено пропорційна квадратному кореню атомної маси. Середньоквадратична швидкість за кімнатної температури змінюється від 1370 м/с для гелію до 240 м/с для ксенону. У разі молекулярного газу ситуація ускладнюється, наприклад, двоатомний газ вже має приблизно п'ять ступенів свободи.

2. Визначення ентропії

Ентропія термодинамічної системи визначається як натуральний логарифм від різних мікростанів Z, що відповідають даному макроскопічному стану (наприклад, стану із заданою повною енергією).

S = k ln Z.

Коефіцієнт пропорційності kі є стала Больцмана. Це вираз, що визначає зв'язок між мікроскопічними ( Z) та макроскопічними станами ( S), висловлює центральну ідею статистичної механіки.

Примітки

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt Fundamental Physical Constants - Complete Listing

завантажити
Даний реферат складено на основі статті з російської Вікіпедії. Синхронізацію виконано 10.07.11 01:04:29
Схожі реферати:

Постійна Больцмана, що є коефіцієнт, рівний k = 1, 38 · 10 - 23 Д ж К, є частиною значної кількості формул у фізиці. Вона отримала свою назву на ім'я австрійського фізика – одного із основоположників молекулярно-кінетичної теорії. Сформулюємо визначення постійної Больцмана:

Визначення 1

Постійної Больцмананазивається фізична постійна, за допомогою якої визначається зв'язок між енергією та температурою.

Не слід плутати її з постійною Стефаном-Больцманом, пов'язаною з випромінюванням енергії абсолютно твердого тіла.

Існують різні методи обчислення цього коефіцієнта. У рамках цієї статті ми розглянемо два з них.

Знаходження постійної Больцмана через рівняння ідеального газу

Ця постійна може бути знайдена за допомогою рівняння, що описує стан ідеального газу. Досвідченим шляхом можна визначити, що нагрівання будь-якого газу від T 0 = 273 До T 1 = 373 К призводить до зміни його тиску від p 0 = 1, 013 · 10 5 Па до p 0 = 1, 38 · 10 5 Па . Це досить простий експеримент, який можна провести навіть просто з повітрям. Для вимірювання температури потрібно використовувати термометр, а тиску – манометр. При цьому важливо пам'ятати, що кількість молекул в молі будь-якого газу приблизно дорівнює 6 · 10 23 а обсяг при тиску в 1 а т м дорівнює V = 22 , 4 л. З урахуванням усіх названих параметрів можна перейти до обчислення постійної Больцмана k:

Для цього запишемо рівняння двічі, підставивши параметри станів.

Знаючи результат, можемо знайти значення параметра k:

Знаходження постійної Больцмана через формулу броунівського руху

Для другого способу обчислення нам також потрібно провести експеримент. Для нього потрібно взяти невелике дзеркало та підвісити у повітрі за допомогою пружної нитки. Припустимо, що система дзеркало-повітря перебуває у стабільному стані (статичному рівновазі). Молекули повітря вдаряють у дзеркало, яке по суті веде себе як броунівська частка. Однак з урахуванням його підвішеного стану ми можемо спостерігати обертальні коливання навколо певної осі, що збігається з підвісом (вертикально спрямованою ниткою). Тепер направимо на поверхню дзеркала промінь світла. Навіть при незначних рухах і поворотах дзеркала промінь, що відображається в ньому, буде помітно зміщуватися. Це дає можливість виміряти обертальні коливання об'єкта.

Позначивши модуль кручення як L момент інерції дзеркала по відношенню до осі обертання як J , а кут повороту дзеркала як φ можемо записати рівняння коливань наступного виду:

Мінус у рівнянні пов'язаний із напрямком моменту сил пружності, який прагне повернути дзеркало до рівноважного положення. Тепер зробимо множення обох частин на φ, проінтегруємо результат і отримаємо:

Наступне рівняння є законом збереження енергії, який виконуватиметься для даних коливань (тобто потенційна енергія переходитиме в кінетичну та назад). Ми можемо вважати ці коливання гармонійними, отже:

При виведенні однієї з формул раніше ми використовували закон рівномірного розподілу енергії за ступенями свободи. Отже, можемо записати так:

Як ми вже казали, кут повороту можна виміряти. Так, якщо температура дорівнюватиме приблизно 290 К, а модуль кручення L ≈ 10 - 15 Н · м; φ ≈ 4 · 10 - 6 то розрахувати значення потрібного нам коефіцієнта можна так:

Отже, знаючи основи броунівського руху, ми можемо знайти постійну Больцмана за допомогою вимірювання макропараметрів.

Значення постійної Больцмана

Значення досліджуваного коефіцієнта полягає в тому, що за його допомогою можна пов'язати параметри мікросвіту з тими параметрами, що описують макросвіт, наприклад термодинамічну температуру з енергією поступального руху молекул:

Цей коефіцієнт входить до рівняння середньої енергії молекули, стану ідеального газу, кінетичної теорії газу, розподілу Больцмана-Максвелла та багато інших. Також стала Больцмана необхідна для того, щоб визначити ентропію. Вона відіграє важливу роль щодо напівпровідників, наприклад, у рівнянні, що описує залежність електропровідності від температури.

Приклад 1

Умова:обчисліть середню енергію молекули газу, що складається з N-атомних молекул при температурі T, знаючи, що у молекул збуджені всі ступені свободи - обертальні, поступальні, коливальні. Усі молекули вважатимуть об'ємними.

Рішення

Енергія рівномірно розподіляється за ступенями свободи на кожний її ступінь, отже, на ці ступені буде припадати однакова кінетична енергія. Вона дорівнюватиме ε i = 1 2 k T . Тоді для обчислення середньої енергії ми можемо використати формулу:

ε = i 2 k T , де i = m p o s t + m r + 2 m k o l являє собою суму поступальних обертальних ступенів свободи. Буквою k позначена постійна Больцмана.

Переходимо до визначення кількості ступенів свободи молекули:

m p o s t = 3 , m r = 3 , отже, m k o l = 3 N - 6 .

i = 6 + 6 N - 12 = 6 N - 6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Відповідь:за цих умов середня енергія молекули дорівнюватиме ε = 3 N - 3 k T .

Приклад 2

Умова:є суміш двох ідеальних газів, щільність яких у нормальних умовах дорівнює p. Визначте, якою буде концентрація одного газу в суміші за умови, що ми знаємо молярні маси обох газів μ 1 , μ 2 .

Рішення

Спочатку обчислимо загальну масу суміші.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02 .

Параметр m 01 означає масу молекули одного газу, m 02 – масу молекули іншого, n 2 – концентрацію молекул одного газу, n 2 – концентрацію другого. Щільність суміші дорівнює ρ.

Тепер із цього рівняння висловимо концентрацію першого газу:

n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02 .

p = n k T → n = p k T .

Підставимо отримане рівні значення:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Оскільки молярні маси газів нам відомі, ми можемо знайти маси молекул першого та другого газу:

m 01 = μ 1 N A , m 02 = μ 2 N A .

Також ми знаємо, що суміш газів перебуває у нормальних умовах, тобто. тиск дорівнює 1 а т м, а температура 290 К. Отже, ми можемо вважати задачу розв'язаною.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Згідно із законом Стефана – Больцмана, щільність інтегрального напівсферичного випромінювання. E 0залежить тільки від температури та змінюється пропорційно четвертого ступеня абсолютної температури T:

Стефана – Больцмана постійна σ 0 – фізична постійна, яка входить до закону, що визначає об'ємну щільність рівноважного теплового випромінювання абсолютно чорного тіла:

Історично закон Стефана-Больцмана був сформульований раніше за закон випромінювання Планка, з якого він випливає як наслідок. Закон Планка встановлює залежність спектральної густини потоку випромінювання E 0 від довжини хвилі λ та температури T:

де λ - Довжина хвилі, м; з=2,998 10 8 м/с – швидкість світла у вакуумі; Т- Температура тіла, К;
h= 6,625×10 -34 Дж×с– постійна Планка.

Фізична постійна k, рівна відношенню універсальної газової постійної R=8314Дж/(кг× K) до Авогадро NA=6,022× 10 26 1/(кг× моль):

Число різних конфігурацій системи з Nчастинок для цього набору чисел n i(кількість частинок, що знаходяться в i-тому стані, якому відповідає енергія e i) пропорційно величині:

Величина Wє кількість способів розподілу Nчастинок за енергетичними рівнями. Якщо справедливе співвідношення (6) вважається, що вихідна система підпорядковується статистиці Больцмана. Набір чисел n i, при якому число Wмаксимально, зустрічається найчастіше і найбільш ймовірному розподілу.

Фізична кінетика– мікроскопічна теорія процесів у статистично нерівноважних системах.

Опис великої кількості часток може успішно здійснюватися імовірнісними методами. Для одноатомного газу стан сукупності молекул визначається їх координатами та значеннями проекцій швидкостей відповідні координатні осі. Математично це описується функцією розподілу, що характеризує можливість перебування частки в даному стані:

є очікуване число молекул в обсязі d d , координати яких знаходяться в інтервалі від + d , а швидкості в інтервалі від + d.

Якщо середньою за часом потенційною енергією взаємодії молекул можна знехтувати порівняно з їхньою кінетичною енергією, то газ називається ідеальним. Ідеальний газ називається газом Больцмана, якщо відношення довжини пробігу молекул у цьому газі до характерного розміру течії Lзвісно, ​​тобто.

т.к. довжина пробігу обернено пропорційна nd 2(n – числова щільність 1/м 3 , d – діаметр молекули, м).

Величину

називають H-функцією Больцмана для одиниці об'єму, яка пов'язана з ймовірністю виявлення системи молекул газу в даному стані. Кожному стану відповідають певні числа заповнення шестивимірних просторово-швидкісних осередків, на які може бути розбитий фазовий простір молекул, що розглядаються. Позначимо Wймовірність того, що в першому осередку розглянутого простору виявиться N 1 молекул, у другому N 2 і т.д.

З точністю до постійної, що визначає початок відліку ймовірності, правомірне співвідношення:

,

де – H-функція області простору А, зайнятий газом. З (9) видно, що Wі Hвзаємопов'язані, тобто. зміна ймовірності стану призводить до відповідної еволюції функції H.

Больцмана принцип встановлює зв'язок між ентропією Sфізичної системи та термодинамічної ймовірністю Wїї стану:

(друкується за виданням: Коган М.Н. Динаміка розрідженого газу. - М.: Наука, 1967)

Загальний вигляд КУБ:

де - масова сила, обумовлена ​​наявністю різних полів (гравітаційного, електричного, магнітного), що діє на молекулу; J- Інтеграл зіткнень. Саме цей член рівняння Больцмана враховує зіткнення молекул одна з одною та відповідні зміни швидкостей взаємодіючих частинок. Інтеграл зіткнень є п'ятивимірним інтегралом і має наступну структуру:

Рівняння (12) з інтегралом (13) отримано зіткнення молекул, у яких немає тангенціальних сил, тобто. частинки, що стикаються, вважаються ідеально гладкими.

У процесі взаємодії внутрішня енергія молекул змінюється, тобто. передбачається, що ці молекули є ідеально пружними. Розглядаються дві групи молекул, що мають до зіткнення один з одним (зіткнення) швидкості та (рис. 1), а після зіткнення відповідно швидкості і . Різниця швидкостей і називається відносною швидкістю, тобто. . Зрозуміло, що для гладкого пружного зіткнення. Функції розподілу f 1 ", f", f 1, fописують молекули відповідних груп після до зіткнень, тобто. ; ; ; .

Мал. 1. Зіткнення двох молекул.

(13) входять два параметри, що характеризують розташування зіштовхуються молекул один щодо одного: bта ε; b– прицільна відстань, тобто. найменша відстань, на яку зблизилися б молекули за відсутності взаємодії (рис. 2); ε називають кутовим параметром зіткнень (рис. 3). Інтегрування по bвід 0 до ¥ і по від 0 до 2p (два зовнішні інтеграли (12)) охоплює всю площину силової взаємодії перпендикулярно вектору

Мал. 2. Траєкторія руху молекул.

Мал. 3. Розгляд взаємодії молекул у циліндричній системі координат: z, b, ε

Кінетичне рівняння Больцмана виведено за таких припущень і припущень.

1. Вважається, що відбувається переважно зіткнення двох молекул, тобто. роль зіткнень одночасно трьох і більшої кількості молекул незначна. Це припущення дозволяє використовувати для аналізу одночасткову функцію розподілу, яка названа вище просто функцією розподілу. Врахування зіткнення трьох молекул призводить до необхідності використання в дослідженні двочастинної функції розподілу. Відповідно аналіз суттєво ускладнюється.

2. Припущення про молекулярний хаос. Воно виявляється у тому, що ймовірності виявлення частки 1 у фазовій точці та частинки 2 у фазовій точці незалежні один від одного.

3. Рівноймовірні зіткнення молекул з будь-якою прицільною відстанню, тобто. функція розподілу не змінюється діаметрі взаємодії. Необхідно відзначити, що аналізований елемент має бути малим, щоб fв межах цього елемента не змінювалася, але в той же час, щоб не була велика відносна флуктуація ~ . Потенціали взаємодії, використовувані під час обчислення інтеграла зіткнень, є сферично симетричними, тобто. .

Розподіл Максвелла-Больцмана

Рівноважний стан газу описується абсолютним Максвеллівським розподілом, який є точним рішенням кінетичного рівняння Больцмана:

де m - Маса молекули, кг.

Загальний локально-максвеллівський розподіл інакше званий розподіл Максвелла-Больцмана:

у тому випадку, коли газ рухається як ціле зі швидкістю і змінні n , T залежать від координати
та часу t.

У полі тяжіння Землі точне рішення рівняння Больцмана показує:

де n 0 = щільність біля Землі, 1/м 3 ; g- Прискорення сили тяжіння, м / с 2; h- Висота, м. Формула (16) є точним рішенням кінетичного рівняння Больцман або в безмежному просторі, або за наявності кордонів, що не порушують цього розподілу, при цьому температура також повинна залишатися постійною.

Ця сторінка оформлена Пузіною Ю.Ю. за підтримки Російського Фонду Фундаментальних досліджень – проект №08-08-00638.

Народився 1844 року у Відні. Больцман є першопрохідником і першовідкривачем у науці. Його роботи та дослідження часто були незрозумілі та відкинуті суспільством. Проте з подальшим розвитком фізики його праці було визнано та згодом опубліковано.

Наукові інтереси вченого охоплювали такі фундаментальні галузі, як фізика та математика. З 1867 року він працював викладачем у низці вищих навчальних закладів. У своїх дослідженнях він встановив, що обумовлено хаотичними ударами молекул об стінки судини, в якій вони знаходяться, тоді як температура безпосередньо залежить від швидкості руху частинок (молекул), інакше кажучи, від них. Отже, чим з більшою швидкістю рухаються ці частинки, тим вища і температура. Постійну Больцмана названо на честь знаменитого австрійського вченого. Саме він зробив неоціненний внесок у розвиток статичної фізики.

Фізичний зміст цієї постійної величини

Постійна Больцмана визначає зв'язок між такими як температура та енергія. У статичній механіці вона грає головну ключову роль. Постійна Больцмана дорівнює k = 1,3806505 (24) * 10 -23 Дж/К. Числа, що знаходяться у круглих дужках, вказують на допустиму похибку значення величини щодо останніх цифр. Постійна Больцмана також може бути отримана з інших фізичних постійних. Однак ці обчислення досить складні та важкоздійсненні. Вони вимагають глибоких знань у сфері фізики, а й

(kабо k B)– фізична постійна, що визначає зв'язок між температурою та енергією. Названа на честь австрійського фізика Людвіга Больцмана, який зробив великий внесок у статистичну фізику, в якій ця стала займає ключову позицію. Її експериментальне значення у системі СІ дорівнює

Числа у круглих дужках вказують стандартну похибку в останніх цифрах значення величини. У принципі, постійну Больцмана можна отримати з визначення абсолютної температури та інших фізичних констант (для цього потрібно вміти розрахувати з перших принципів температуру потрійної точки води). Але визначення постійної Больцмана за допомогою основних принципів надто складне та нереальне при сучасному розвитку знань у цій галузі.
Постійна Больцмана – зайва фізична постійна, якщо вимірювати температуру в одиницях енергії, що часто робиться у фізиці. Вона, власне, зв'язком між добре визначеною величиною – енергією та градусом, значення якого склалося історично.
Визначення ентропії
Ентропія термодинамічної системи визначається як натуральний логарифм від числа різних мікростанів Z, що відповідають даному макроскопічному стану (наприклад, стани із заданою повною енергією).

Коефіцієнт пропорційності kі є постійним Больцманом. Цей вираз, що визначає зв'язок між мікроскопічними (Z) та макроскопічними (S) характеристиками, виражає головну (центральну) ідею статистичної механіки.