Площа бічної чотирикутної поверхні. Піраміда
– це постать, основу якої лежить довільний багатокутник, а бічні грані представлені трикутниками. Їхні вершини лежать в одній точці і відповідають вершині піраміди.
Піраміда може бути різноманітною – трикутною, чотирикутною, шестикутною тощо. Її назву можна визначити в залежності від кількості кутів, що прилягають до основи.
Правильною пірамідоюназивається піраміда, в якій рівні сторони основи, кути і ребра. Також у такій піраміді дорівнюватиме площа бічних граней.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ усіх її граней: 
Тобто, щоб розрахувати площу бічної поверхні довільної піраміди, необхідно знайти площу кожного окремого трикутника та скласти їх між собою. Якщо піраміда усічена, її межі представлені трапеціями. Для правильної піраміди є інша формула. У ній площа бічної поверхні розраховується через півпериметр основи та довжину апофеми:
Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.
Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Сторона заснування b= 6 см, а апофема a= 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні.
В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат. Для початку знайдемо його периметр:
Тепер можемо прорахувати площу бічної поверхні нашої піраміди: 
Для того щоб знайти повну площу багатогранника, потрібно знайти площу його основи. Формула площі основи піраміди може відрізнятися, залежно від того, який багатокутник лежить в основі. Для цього використовуються формули площі трикутника, площі паралелограмаі т.д.
Розглянь приклад розрахунку площі основи піраміди, заданої нашими умовами. Оскільки піраміда правильна, у її основі лежить квадрат.
Площа квадратарозраховується за формулою: ,
де a - Сторона квадрата. У нас вона дорівнює 6 см. Значить площа основи піраміди: 
Тепер залишається лише знайти повну площу багатогранника. Формула площі піраміди складається із суми площі її основи та бічної поверхні.
Чи є загальна формула? Ні, взагалі немає. Просто потрібно шукати площі бічних граней та підсумовувати їх.
Формулу можна написати для прямий призми:
Де – периметр основи.
Але все-таки набагато простіше у кожному даному випадку скласти всі площі, ніж запам'ятовувати додаткові формули. Наприклад порахуємо повну поверхню правильної шестикутної призми.
Усі бічні грані – прямокутники. Значить.
Це вже виводили за підрахунку обсягу.
Отже, отримуємо:
Площа поверхні піраміди
Для піраміди також діє загальне правило:
Тепер давай порахуємо площу поверхні найпопулярніших пірамід.
Площа поверхні правильної трикутної піраміди
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне. Потрібно знайти в.
Згадаймо тепер, що
Це площа правильного трикутника.
І ще згадаємо, як шукати цю площу. Використовуємо формулу площі:
У нас "" - це, а "" - це теж, а.
Тепер знайдемо.
Користуючись основною формулою площі та теоремою Піфагора, знаходимо
Увага:якщо в тебе правильний тетраедр (тобто), то формула виходить такою:
Площа поверхні правильної чотирикутної піраміди
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне.
В основі – квадрат, і тому.
Залишилось знайти площу бічної грані
Площа поверхні правильної шестикутної піраміди.
Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро.
Як знайти? Шестикутник складається з шести однакових правильних трикутників. Площу правильного трикутника ми вже шукали при підрахунку площі поверхні правильної трикутної піраміди, тут використовуємо знайдену формулу.
Ну, і площу бічної грані ми вже шукали аж двічі
Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.
Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!
Тепер найголовніше.
Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.
Проблема в тому, що цього не вистачить.
Для чого?
Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.
Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…
Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.
Але й це – не головне.
Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...
Але, думай сам...
Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?
Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.
На іспиті в тебе не питатимуть теорію.
Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.
І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.
Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.
Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!
Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.
Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.
Як? Є два варіанта:
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
- Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб
Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.
Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.
І на закінчення...
Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.
"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.
Знайди завдання та вирішуй!
Площа поверхні піраміди. У цій статті ми розглянемо завдання з правильними пірамідами. Нагадаю, що правильна піраміда – це піраміда, основою якої є правильний багатокутник, вершина піраміди проектується до центру цього багатокутника.
Бічна грань такої піраміди це рівнобедрений трикутник.Висота цього трикутника, проведена з вершини правильної піраміди, називається апофемою, SF – апофема:
У наведеному нижче типі завдань потрібно знайти площу поверхні всієї піраміди або площу її бічної поверхні. На блозі вже розглянуто кілька завдань з правильними пірамідами, де ставилося питання про знаходження елементів (висоти, ребра основи, бічного ребра).
У завданнях ЄДІ, як правило, розглядаються правильні трикутні, чотирикутні та шестикутні піраміди. Завдань із правильними п'ятикутними та семикутними пірамідами не зустрічав.
Формула площі всієї поверхні проста - потрібно знайти суму площі основи піраміди та площі її бічної поверхні:
Розглянемо завдання:
Сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 72, бічні ребра дорівнюють 164. Знайдіть площу поверхні цієї піраміди.
Площа поверхні піраміди дорівнює сумі площ бічної поверхні та основи:
*Бічна поверхня складається з чотирьох рівних за площею трикутників. Основа піраміди це квадрат.
Площу бокової сторони піраміди можемо обчислити скориставшись :
Таким чином, площа поверхні піраміди дорівнює:
Відповідь: 28224
Сторони основи правильної шестикутної піраміди дорівнюють 22, бічні ребра дорівнюють 61. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.
Підставою правильної шестикутної піраміди є правильний шестикутник.
Площа бічної поверхні даної піраміди складається з шести площ рівних трикутників зі сторонами 61,61 та 22:
Знайдемо площу трикутника, скористаємося формулою Герона:
Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює:
Відповідь: 3240
*У поданих вище завданнях площу бічної грані можна було знайти використовуючи іншу формулу трикутника, але для цього потрібно обчислити апофему.
27155. Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 6 і висота дорівнює 4.
Для того, щоб знайти площу поверхні піраміди нам необхідно знати площу основи та площу бічної поверхні:
Площа основи дорівнює 36, оскільки це квадрат зі стороною 6.
Бічна поверхня складається із чотирьох граней, які є рівними трикутниками. Для того, щоб знайти площу такого трикутника потрібно знати його основу та висоту (апофему):
*Площа трикутника дорівнює половині добутку основи та висоти проведеної до цієї основи.
Підстава відома, вона дорівнює шести. Знайдемо висоту. Розглянемо прямокутний трикутник (він виділено жовтим):
Один катет дорівнює 4, так як це висота піраміди, інший дорівнює 3, так як він дорівнює половині ребра основи. Можемо знайти гіпотенузу, за теоремою Піфагора:
Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:
Таким чином, площа поверхні всієї піраміди дорівнює:
Відповідь: 96
27069. Сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 10, бічні ребра дорівнюють 13. Знайдіть площу поверхні цієї піраміди.
27070. Сторони основи правильної шестикутної піраміди дорівнюють 10, бічні ребра дорівнюють 13. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.
Існують ще формули площі бічної поверхні правильної піраміди. У правильній піраміді основа є ортогональною проекцією бічної поверхні, тому:
P- периметр основи, l- Апофема піраміди
*Ця формула ґрунтується на формулі площі трикутника.
Якщо хочете дізнатися докладніше, як ці формули виводяться, не пропустіть, стежте за публікацією статей.На цьому все. Успіху Вам!
З повагою Олександр Крутицьких.
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
Трикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.
У такій піраміді грані основи та ребра бічних сторін рівні між собою. Відповідно площа бічних граней перебуває із суми площ трьох однакових трикутників. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди можна за формулою. А можна зробити розрахунок у кілька разів швидше. Для цього необхідно застосувати формулу площі бічної поверхні трикутної піраміди:
де p - периметр основи, у якого всі сторони дорівнюють b, a - апофема, опущена з вершини до цієї основи. Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.
Завдання: Нехай дана правильна піраміда. Сторона трикутника, що лежить у підставі, дорівнює b = 4 см. Апофема піраміди дорівнює a = 7 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Оскільки за умовами завдання ми знаємо довжину всіх необхідних елементів, знайдемо периметр. Пам'ятаємо, що у правильному трикутнику усі сторони рівні, отже, периметр розраховується по формуле:
Підставимо дані та знайдемо значення:
Тепер, знаючи периметр, можемо розраховувати площу бічної поверхні: 
Щоб застосувати формулу площі трикутної піраміди для обчислення повного значення, необхідно знайти площу основи багатогранника. Для цього використовується формула: 
Формула площі основи трикутної піраміди може бути іншою. Допускається застосування будь-якого розрахунку параметрів для заданої фігури, але найчастіше це потрібно. Розглянемо приклад розрахунку площі основи трикутної піраміди.
Завдання: У правильній піраміді сторона трикутника, що лежить в основі, дорівнює a = 6 см. Розрахуйте площу основи.
Для обчислення нам потрібна лише довжина сторони правильного трикутника, що розташовується в основі піраміди. Підставимо дані у формулу: 
Досить часто потрібно знайти повну площу багатогранника. Для цього потрібно скласти площу бічної поверхні та основи. 
Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.
Завдання: нехай дана правильна трикутна піраміда. Сторона основи дорівнює b = 4 см, апофема a = 6 см. Знайдіть повну площу піраміди.
Для початку знайдемо площу бічної поверхні за вже відомою формулою. Розрахуємо периметр:
Підставляємо дані у формулу: 
Тепер знайдемо площу основи: 
Знаючи площу основи та бічної поверхні, знайдемо повну площу піраміди: 
При розрахунку площі правильної піраміди варто не забувати про те, що в основі лежить правильний трикутник і багато елементів цього багатогранника рівні між собою.
