Що називається тангенсом гострого кута прямокутного трикутника. Прямокутний трикутник

Я думаю, ви заслуговуєте більше, ніж це. Ось мій ключ до тригонометрії:

• Намалюйте купол, стіну та стелю
• Тригонометричні функції - це не що інше, як відсоткове відношення цих трьох форм.

Метафора для синуса та косинуса: купол

Замість того, щоб просто дивитися на самі трикутники, уявіть їх у дії, знайшовши якийсь приклад з життя.

Уявіть, ніби ви перебуваєте посередині бані і хочете підвісити екран для кінопроектора. Ви вказуєте пальцем на купол під деяким кутом "x", і до цієї точки повинен бути підвішений екран.

Кут, на який ви вказуєте, визначає:

• синус(x) = sin(x) = висота екрана (від підлоги до точки кріплення на куполі)
• косинус(x) = cos(x) = відстань від вас до екрана (по підлозі)
• гіпотенуза, відстань від вас до верхівки екрана, завжди однакова, і радіусу купола

Бажаєте, щоб екран був максимально великий? Повісьте його над собою.

Бажаєте, щоб екран висів на максимальній відстані від вас? Вішайте його прямо перпендикулярно. У екрані буде нульова висота в цьому положенні, і він висітиме найбільш віддалено, як ви і просили.

Висота і відстань від екрану обернено пропорційні: чим ближче висить екран, тим його висота буде більшою.

Синус та косинус - це відсотки

Ніхто в роки мого навчання, на жаль, не пояснив мені, що тригонометричні функції синус та косинус – це не що інше, як відсотки. Їх значення варіюються від +100% до 0 і -100%, або від позитивного максимуму до нуля і до негативного максимуму.

Скажімо, я сплатив податок 14 рублів. Ви не знаєте, наскільки багато. Але якщо сказати, що я заплатив 95% як податок, ви зрозумієте, що мене просто обдерли, як липку.

Абсолютна висота ні про що не каже. Але якщо значення синуса становить 0.95, я розумію, що телевізор висить майже на верхівці вашого купола. Незабаром він досягне максимальної висоти по центру бані, а потім почне знову знижуватися.

Як ми можемо визначити цей відсоток? Дуже просто: поділіть поточне значення висоти екрану на максимально можливе (радіус бані, який також називають гіпотенузою).

Ось чомунам кажуть, що "Косінус = протилежний катет / гіпотенуза". Це все для того, щоб отримати відсоток! Найкраще визначити синус як “відсоток поточної висоти максимально можливої”. (Синус стає негативним, якщо ваш кут вказує "під землю". Косинус стає негативним, якщо кут вказує на точку купола позаду вас).

Спростимо розрахунки, припустивши, що ми знаходимося в центрі одиничного кола (радіус = 1). Ми можемо пропустити поділ і просто взяти синус, що дорівнює висоті.

Кожне коло, по суті, є одиничним, збільшеним або зменшеним у масштабі до потрібного розміру. Тому визначте зв'язки одиничного кола та застосуйте результати до вашого конкретного розміру кола.

Поекспериментуйте: візьміть будь-який кут і подивіться, яке відсоткове співвідношення висоти до ширини він відображає:

Графік зростання значення синуса – не просто пряма лінія. Перші 45 градусів покривають 70% висоти, а останні 10 градусів (з 80 ° до 90 °) покривають лише 2%.

Так вам стане зрозумілішим: якщо йти по колу, при 0° ви піднімаєтесь майже вертикально, але в міру підходу до верхівки купола, висота змінюється дедалі менше.

Тангенс та секанс. Стіна

Одного разу сусід збудував стіну прямо впритулдо вашого куполу. Плакали ваш вигляд з вікна та гарна ціна для перепродажу!

Але чи можна виграти якось у цій ситуації?

Звісно так. А якщо ми повісимо кіноекран прямо на сусідську стіну? Ви націлюєтеся на кут (х) і отримуєте:

• тангенс(x) = tan(x) = висота екрану на стіні
• відстань від вас до стіни: 1 (це радіус вашого бані, стіна нікуди не рухається від вас, вірно?)
• секанс(x) = sec(x) = “довжина сходів” від вас, що стоїть у центрі купола, до верхівки підвішеного екрану

Давайте уточнимо пару моментів щодо тангенсу, або висоти екрану.

• він починається на 0 і може підніматися нескінченно високо. Ви можете розтягувати екран все вище та вище на стіні, щоб отримати просто нескінченне полотно для перегляду улюбленого фільму! (На такий величезний, звичайно, доведеться пристойно витратитись).
• тангенс – це просто збільшена версія синуса! І доки приріст синуса сповільнюється в міру просування до верхівки купола, тангенс продовжує зростати!

Секансу теж є чим похвалитися:

• секанс починається з 1 (сходи лежить на підлозі, від вас до стіни) і починає підніматися звідти
• Секанс завжди довший за тангенс. Нахилені сходи, за допомогою яких ви вішаєте свій екран, повинні бути довшими, ніж сам екран, вірно? (При нереальних розмірах, коли екран дуже довгий, і сходи потрібно ставити практично вертикально, їх розміри майже однакові. Але навіть тоді секанс буде трохи довше).

Пам'ятайте, значення є відсотками. Якщо ви вирішили повісити екран під кутом 50 градусів, tan(50) = 1.19. Ваш екран на 19% більше, ніж відстань до стіни (радіус бані).

(Введіть x=0 та перевірте свою інтуїцію - tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)

Котангенс та косеканс. Стеля

Неймовірно, але ваш сусід тепер вирішив звести перекриття над вашим куполом. (Що з ним таке? Він, мабуть, не хоче, щоб ви за ним підглядали, поки він розгулює по двору голяка…)

Ну що ж, настав час збудувати вихід на дах і поговорити з сусідом. Ви вибираєте кут нахилу, і починаєте будівництво:

• вертикальна відстань між виходом на даху та підлогою завжди дорівнює 1 (радіусу купола)
• котангенс(x) = cot(x) = відстань між верхівкою бані та місцем виходу
• косеканс(x) = csc(x) = довжина вашого шляху на дах

Тангенс та секанс описує стіну, а КОтангенс та КОсеканс описує перекриття.

Наші інтуїтивні висновки цього разу схожі на попередні:

• Якщо ви візьмете кут, що дорівнює 0°, ваш вихід на дах триватиме нескінченно, оскільки ніколи не досягне перекриття. Проблема.
• найкоротший "трап" на дах вийде, якщо будувати його під кутом 90 градусів до підлоги. Котангенс дорівнюватиме 0 (ми взагалі не пересуваємося вздовж даху, виходимо строго перпендикулярно), а косеканс дорівнює 1 (“довжина трапу” буде мінімальною).

Візуалізуйте зв'язки

Якщо всі три випадки намалювати в комбінації купол-стіна-перекриття, вийде таке:

Ну треба ж, це все той самий трикутник, збільшений у розмірі, щоб дістати до стіни і до перекриття. У нас є вертикальні сторони (синус, тангенс), горизонтальні сторони (косинус, котангенс) та “гіпотенузи” (секанс, косеканс). (За стрілками ви можете бачити, доки доходить кожен елемент. Косеканс – це повна відстань від вас до даху).

Трохи чаклунства. Усі трикутники об'єднують одні й ті самі рівності:

З теореми Піфагора (a 2 + b 2 = c 2) бачимо, як пов'язані сторони кожного трикутника. Крім того, співвідношення типу "висота до ширини" повинні бути однаковими для всіх трикутників. (Просто відступіть від найбільшого трикутника до меншого. Так, розмір змінився, але пропорції сторін залишаться незмінними).

Знаючи, який бік у кожному трикутнику дорівнює 1 (радіусу купола), ми легко обчислимо, що “sin/cos = tan/1”.

Я завжди намагався запам'ятати ці факти шляхом простої візуалізації. На картинці ти чітко бачиш ці залежності і розумієш, звідки вони беруться. Цей прийом набагато краще за навчання сухих формул.

Не варто забувати про інші кути

Тсс ... Не потрібно зациклюватися на одному графіку, думаючи, що тангенс завжди менше 1. Якщо збільшити кут, можна дійти до стелі, не досягнувши стіни:

Зв'язки Піфагора завжди працюють, але відносні розміри можуть бути різними.

(Ви, напевно, помітили, що співвідношення синус і косинус завжди найменші, тому що вони укладені всередині купола).

Підсумуємо: що нам потрібно запам'ятати?

Для більшості з нас, я сказав би, що цього буде достатньо:

• тригонометрія пояснює анатомію математичних об'єктів, таких як кола та інтервали, що повторюються.
• аналогія купол/стіна/дах показує зв'язок між різними тригонометричними функціями
• результатом тригонометричних функцій є відсотки, які ми застосовуємо до сценарію.

Вам не потрібно запам'ятовувати формули типу 1 2 + cot 2 = csc 2 . Вони годяться хіба що для дурних тестів, у яких знання факту видається за його розуміння. Витратьте хвилинку, щоб намалювати півколо у вигляді купола, стіну та дах, підпишіть елементи, і всі формули самі напросяться вам на папір.

Додаток: зворотні функції

Будь-яка тригонометрична функція використовує як вхідний параметр кут і повертає результат у вигляді відсотка. sin(30) = 0.5. Це означає, що кут 30 градусів займає 50% від максимальної висоти.

Зворотна тригонометрична функція записується як sin-1 або arcsin (“арксинус”). Також часто пишуть asin у різних мовах програмування.

Якщо наша висота складає 25% від висоти бані, який наш кут?

У нашій табличці пропорцій можна знайти співвідношення, де секанс ділиться на 1. Наприклад, секанс на 1 (гіпотенуза до горизонталі) дорівнює 1 поділити на косинус:

Допустимо, наш секанс дорівнює 3.5, тобто. 350% від радіусу одиничного кола. Якому куту нахилу до стіни це значення відповідає?

Додаток: Кілька прикладів

Нудна задача. Давайте ускладнимо банальне “знайти синус” до “Яка висота у відсотках від максимуму (гіпотенузи)?”.

По-перше, зауважте, що трикутник повернутий. В цьому немає нічого страшного. Також у трикутника є висота, вона на малюнку вказана зеленим.

А чому дорівнює гіпотенуза? За теоремою Піфагора, ми знаємо, що:

3 2 + 4 2 = гіпотенуза 2 25 = гіпотенуза 2 5 = гіпотенуза

Добре! Синус - це відсоток висоти від найдовшої сторони трикутника або гіпотенузи. У прикладі синус дорівнює 3/5 чи 0.60.

Звичайно, ми можемо йти кількома шляхами. Тепер ми знаємо, що синус дорівнює 0.60 і ми можемо просто знайти арксинус:

Asin (0.6) = 36.9

А ось ще один підхід. Зауважте, що трикутник стоїть "віч-на-віч до стіни", так що замість синуса ми можемо використовувати тангенс. Висота дорівнює 3, відстань стіні - 4, отже тангенс дорівнює ¾ чи 75%. Ми можемо використовувати арктангенс, щоб із відсоткового значення повернутися назад у кут:

Tan = 3/4 = 0.75 atan (0.75) = 36.9 Приклад: А чи ви допливете до берега?

Ви у човні, і у вас є достатньо палива, щоб пропливти 2 км. Зараз ви знаходитесь в 0.25 км. від берега. Під яким максимальним кутом до берега ви можете доплисти так, щоб вистачило палива? Доповнення до умови завдання: у нас є лише таблиця значень арккосинусов.

Що ми маємо? Берегову лінію можна як “стіну” у нашому знаменитому трикутнику, а “довжину сходів”, приставленої до стіни - максимально можливою переборною відстанню на човні до берега (2 км). Вимальовується секанс.

Спочатку потрібно перейти на відсотки. У нас є 2 / 0.25 = 8, тобто ми можемо пропливти відстань, в 8 разів більшу за пряму дистанцію до берега (або до стіни).

Виникає питання "Чому дорівнює секанс 8?". Але ми не можемо дати на нього відповіді, тому що у нас є тільки арккосинуси.

Ми використовуємо наші раніше виведені залежності, щоб прив'язати секанс до косінусу: “sec/1 = 1/cos”

Секанс 8 дорівнює косінус ⅛. Кут, косинус якого ⅛ дорівнює acos(1/8) = 82.8. І це найбільший кут, який ми можемо собі дозволити на човні із зазначеною кількістю пального.

Непогано, правда? Без аналогії з куполом-стіною-стелею, я б заплутався в купі формул та обчислень. Візуалізація завдання сильно спрощує пошук рішення, до того ж цікаво побачити, яка тригонометрична функція в результаті допоможе.

При вирішенні кожного завдання думайте так: мене цікавить купол (sin/cos), стіна (tan/sec) чи стеля (cot/csc)?

І тригонометрія стане набагато приємніше. Легких вам обчислень!

Синус є однією з основних тригонометричних функцій, застосування якої не обмежене лише геометрією. Таблиці обчислення тригонометричних функцій, як і інженерні калькулятори, не завжди під рукою, а обчислення синуса часом необхідне рішення різних завдань. Взагалі, обчислення синуса допоможе закріпити креслярські навички та знання тригонометричних тотожностей.

Ігри з лінійкою та олівцем

Просте завдання: як знайти синус кута, намальованого на папері? Для вирішення знадобиться звичайна лінійка, трикутник (або циркуль) та олівець. Найпростішим способом обчислити синус кута можна розділивши дальній катет трикутника з прямим кутом на довгу сторону - гіпотенузу. Таким чином, спочатку потрібно доповнити гострий кут до фігури прямокутного трикутника, прокресливши перпендикулярну до одного з променів лінію на довільній відстані від вершини кута. Потрібно дотримати кут саме 90 °, для чого нам і знадобиться канцелярський трикутник.

Використання циркуля трохи точніше, але займе більше часу. На одному з променів потрібно відзначити 2 точки на деякій відстані, налаштувати на циркулі радіус, приблизно рівний відстані між точками, і прокреслити півкола з центрами в цих точках до отримання перетинів цих ліній. Поєднавши точки перетину наших кіл між собою, ми отримаємо строгий перпендикуляр до променя нашого кута, залишається лише продовжити лінію до перетину з іншим променем.

В отриманому трикутнику потрібно лінійкою виміряти бік навпроти кута і довгу бік одному з променів. Відношення першого виміру до другого і буде шуканою величиною синуса гострого кута.

Знайти синус для кута більше 90°

Для тупого кута завдання не набагато складніше. Потрібно прокреслити промінь з вершини в протилежний бік за допомогою лінійки для утворення прямої з одним з променів кута, що цікавить нас. З отриманим гострим кутом слід надходити, як описано вище, синуси суміжних кутів, що утворюють разом розгорнутий кут 180°, рівні.

Обчислення синуса за іншими тригонометричними функціями

Також обчислення синуса можливе, якщо відомі значення інших тригонометричних функцій кута або хоча б довжини сторін трикутника. У цьому нам допоможуть тригонометричні тотожності. Розберемо найпоширеніші приклади.

Як знаходити синус при відомому косинус кута? Перше тригонометричне тотожність, що виходить з теореми Піфагора, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса одного і того ж кута дорівнює одиниці.

Як знаходити синус за відомого тангенсу кута? Тангенс отримують розподілом далекого катета на ближній або поділом синуса на косинус. Таким чином, синусом буде твір косинуса на тангенс, а квадрат синусу буде квадрат цього твору. Замінюємо косинус у квадраті на різницю між одиницею та квадратним синусом згідно з першою тригонометричною тотожністю і шляхом нехитрих маніпуляцій наводимо рівняння до обчислення квадратного синуса через тангенс, відповідно, для обчислення синуса доведеться витягти корінь з отриманого результату.

Як знаходити синус за відомого котангенсу кута? Значення котангенсу можна обчислити, розділивши довжину ближнього від кута катета на довжину далекого, а також поділивши косинус на синус, тобто котангенс - функція, зворотна тангенсу щодо числа 1. Для розрахунку синуса можна обчислити тангенс за формулою tg α = 1 / ct скористатися формулою у другому варіанті. Також можна вивести пряму формулу за аналогією з тангенсом, яка виглядатиме таким чином.

Як знаходити синус по трьох сторонах трикутника

Існує формула для знаходження довжини невідомої сторони будь-якого трикутника, не тільки прямокутного, з двох відомих сторін з використанням тригонометричної функції косинуса протилежного кута. Виглядає вона так.

Спочатку синус і косинус виникли через необхідність розраховувати величини прямокутних трикутниках. Було помічено, що й значення градусної міри кутів у прямокутному трикутнику не змінювати, то співвідношення сторін, хоч би ці сторони змінювалися у довжині, залишається завжди однаковим.

Саме так і було введено поняття синуса та косинуса. Синус гострого кута у прямокутному трикутнику – це відношення протилежного катета до гіпотенузи, а косинус – прилеглого до гіпотенузи.

Теореми косінусів та синусів

Але косинуси та синуси можуть застосовуватися не тільки у прямокутних трикутниках. Щоб знайти значення тупого чи гострого кута, сторони будь-якого трикутника, достатньо застосувати теорему косінусів та синусів.

Теорема косінусів досить проста: «Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін за вирахуванням подвоєного твору цих сторін на косинус кута між ними».

Існує два трактування теореми синусів: мала та розширена. Відповідно до малої: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам». Цю теорему часто розширюють за рахунок властивості описаного у трикутника кола: «У трикутнику кути пропорційні протилежним сторонам, а їх відношення дорівнює діаметру описаного кола».

Похідні

Похідна – математичний інструмент, що показує, як швидко змінюється функція щодо зміни її аргументу. Похідні використовуються , геометрії, і ряд технічних дисциплін.

При вирішенні завдань потрібно знати табличні значення похідних тригонометричних функцій: синуса та косинуса. Похідною синуса є косинус, а косинуса – синус, але зі знаком «мінус».

Застосування в математиці

Особливо часто синуси та косинуси використовуються при вирішенні прямокутних трикутників та завдань, пов'язаних з ними.

Зручність синусів і косінусів знайшло своє відображення і в техніці. Кути та сторони було просто оцінювати за теоремами косинусів та синусів, розбиваючи складні фігури та об'єкти на «прості» трикутники. Інженери і , що часто мають справу з розрахунками співвідношення сторін і градусних заходів, витрачали чимало часу та зусиль для обчислення косінусів та синусів не табличних кутів.

Тоді «на допомогу» прийшли таблиці Брадіса, що містять тисячі значень синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів різних кутів. За радянських часів деякі викладачі змушували своїх підопічних сторінки таблиць Брадіса напам'ять.

Радіан - кутова величина дуги, по довжині рівної радіусу або 57,295779513 градусів.

Градус (в геометрії) - 1/360 частина кола або 1/90 частина прямого кута.

π = 3.141592653589793238462… (приблизне значення числа Пі).

Таблиця косинусів для кутів: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330 °, 360 °.

Де було розглянуто завдання на розв'язання прямокутного трикутника, я пообіцяв викласти прийом запам'ятовування визначень синуса та косинуса. Використовуючи його, ви завжди швидко згадаєте - який катет відноситься до гіпотенузи (прилеглий або протилежний). Вирішив у «довгу скриньку не відкладати», необхідний матеріал нижче, прошу ознайомитися 😉

Справа в тому, що я не раз спостерігав, як учні 10-11 класів важко згадують дані визначення. Вони чудово пам'ятають, що катет відноситься до гіпотенузи, а ось який з них- забувають і плутають. Ціна помилки, як ви знаєте на іспиті, – це втрачений бал.

Інформація, яку я представлю безпосередньо до математики, не має жодного відношення. Вона з образним мисленням, і з прийомами словесно-логічного зв'язку. Саме так, я сам, раз і завжди запам'ятавдані визначення. Якщо ви їх все ж таки забудете, то за допомогою представлених прийомів завжди легко згадайте.

Нагадаю визначення синуса та косинуса у прямокутному трикутнику:

Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Отже, які асоціації викликає слово косинус?

Напевно, у кожного свої 😉Запам'ятовуйте зв'язку:

Таким чином, у вас відразу в пам'яті виникне вираз –

«… відношення ПРИЛЕЖНОГО катета до гіпотенузи».

Проблему з визначенням косинуса вирішено.

Якщо потрібно згадати визначення синуса в прямокутному трикутнику, то згадавши визначення косинуса, ви легко встановите, що синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це ставлення протилежного катета до гіпотенузи. Адже катет всього два, якщо прилеглий катет «зайнятий» косинусом, то синусу залишається тільки протилежний.

Як бути з тангенсом та котангенсом? Плутанина та сама. Учні знають, що це ставлення катетів, але проблема згадати який до якого належить – чи протилежний до прилеглого, чи навпаки.

Визначення:

Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого:

Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного:

Як запам'ятати? Є два способи. Один так само використовує словесно-логічний зв'язок, інший – математичний.

СПОСІБ МАТЕМАТИЧНИЙ

Є таке визначення - тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

*Запам'ятавши формулу, ви завжди зможете визначити, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого.

Аналогічно.Котангенсом гострого кута називається відношення косинуса кута до його синуса:

Отже! Запам'ятавши зазначені формули, ви завжди зможете визначити, що:

- тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого

- Котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного.

СПОСІБ СЛОВОВО-ЛОГІЧНИЙ

Про тангенс. Запам'ятайте зв'язку:

Тобто якщо потрібно згадати визначення тангенсу, за допомогою даного логічного зв'язку, ви легко згадаєте, що це

«... ставлення протилежного катета до прилеглого»

Якщо мова зайде про котангенс, то згадавши визначення тангенсу ви легко озвучите визначення котангенсу –

«… відношення прилеглого катета до протилежного»

Є цікавий прийом із запам'ятовування тангенсу та котангенсу на сайті " Математичний тандем " подивіться.

СПОСІБ УНІВЕРСАЛЬНИЙ

Можна просто зазубрити.Але як показує практика, завдяки словесно-логічним зв'язкам людина запам'ятовує інформацію надовго, і не лише математичну.

Сподіваюся, матеріал вам був корисний.

З повагою, Олександр Крутицьких

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Косинус – це відома тригонометрична функція, яка до того ж є ще й однією з основних функцій тригонометрії. Косинус кута в трикутнику прямокутного типу - це відношення прилеглого катета трикутника до гіпотенузи трикутника. Найчастіше визначення косинуса пов'язують із трикутником саме прямокутного типу. Але буває і так, що той кут, для якого необхідно обчислити в трикутнику прямокутного типу косинус, у цьому трикутнику прямокутного типу не розташований. Що тоді робити? Як знайти косинус кута трикутника?

Якщо потрібно обчислити косинус кута саме в трикутнику прямокутного типу, то все дуже просто. Потрібно лише згадати визначення косинуса, у якому криється вирішення цього завдання. Просто потрібно знайти те саме ставлення між прилеглим катетом, а також гіпотенузою трикутника. Справді, тут неважко висловити косинус кута. Формула виглядає так: - cosα = a/c, тут "а" - це довжина катета, а сторона "с", відповідно, довжина гіпотенузи. Наприклад, косинус гострого кута прямокутного трикутника можна знайти за цією формулою.

Якщо Вас цікавить, до чого дорівнює косинус кута в довільному трикутнику, то на допомогу приходить теорема косінусів, якою і варто скористатися в подібних випадках. Теорема косінусів говорить про те, що квадрат сторони трикутника апріорі дорівнює сумі квадратів інших сторін того ж трикутника, але вже без подвоєного добутку цих сторін на косинус того кута, який розташований між ними.

1. Якщо у трикутнику необхідно знайти косинус гострого кута, то потрібно скористатися такою формулою: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. Якщо ж у трикутнику необхідно знайти косинус тупого кута, потрібно скористатися такою формулою: cosα = (з 2 – a 2 – b 2)/(2ab). Позначення у формулі – а та b – це довжини сторін, які є прилеглими до шуканого кута, с – це довжина сторони, яка є протилежною шуканому куту.

Також косинус кута можна обчислювати за допомогою теореми синусів. Вона свідчить, що це сторони трикутника пропорційні синусам кутів, які протилежні. За допомогою теореми синусів можна обчислювати решту елементів трикутника, маючи відомості лише про дві сторони і вугілля, що є протилежним одній стороні, або ж по двох кутах і одній стороні. Розглянь на прикладі. Умови задачі: а = 1; b = 2; с=3. Кут, який протилежний стороні "А", позначаємо - α, тоді, згідно з формулами, маємо: соsα=(b²+c²-а²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²)/(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Відповідь: 1.

Якщо ж косинус кута потрібно обчислити над трикутнику, а якийсь інший довільної геометричній фігурі, то тут усе стає трохи складніше. Величину кута спочатку потрібно визначити в радіанах або градусах, а вже потім обчислювати косинус за цією величиною. Косинус за числовим значенням визначається за допомогою таблиць Брадіса, інженерних калькуляторів або спеціальних математичних програм.

Спеціальні математичні програми можуть мати такі функції, як автоматичний підрахунок косінусів кутів у тій чи іншій фігурі. Принадність таких додатків полягає в тому, що вони дають правильну відповідь, а користувач не витрачає свого часу на вирішення часом досить складних завдань. З іншого боку, при постійному використанні виключно додатків для розв'язання задач, губляться всі навички по роботі з розв'язанням математичних задач на знаходження косінусів кутів у трикутниках та інших довільних фігурах.