Піфагорові трійки та їх кількість. Сучасні наукомісткі технології Прості числа у складі піфагорових трійок

«Обласний центр освіти»

Методична розробка

Використання піфагорових трійок при вирішенні

геометричних завдань та тригонометричних завдань ЄДІ

м. Калуга, 2016

I. Вступ

Теорема Піфагора - одна з головних і, можна сказати, найголовніша теорема геометрії. Значення її у тому, що з неї чи з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. Теорема Піфагора чудова ще й тим, що сама собою вона зовсім не очевидна. Наприклад, властивості рівнобедреного трикутника можна побачити безпосередньо на кресленні. Але скільки не дивися на прямокутний трикутник, ніяк не побачиш, що між його сторонами є таке просте співвідношення: a2+b2=c2. Однак не Піфагор відкрив теорему, яка носить його ім'я. Вона була відома ще раніше, але, можливо, лише як факт, виведений із вимірів. Мабуть, Піфагор знав це, але знайшов доказ.

Існує безліч натуральних чисел a, b, c, що задовольняють співвідношення a2+b2=c2.. Вони називаються піфагоровими числами. Відповідно до теореми Піфагора такі числа можуть бути довжинами сторін деякого прямокутного трикутника – називатимемо їх пифагоровыми трикутниками.

Мета роботи:вивчити можливість та ефективність застосування піфагорових трійок для вирішення завдань шкільного курсу математики, завдань ЄДІ.

Виходячи з мети роботи, поставлені такі завдання:

Вивчити історію та класифікацію піфагорових трійок. Проаналізувати задачі із застосуванням піфагорових трійок, що є у шкільних підручниках та зустрічаються у контрольно-вимірювальних матеріалах ЄДІ. Оцінити ефективність застосування піфагорових трійок та їх властивостей для вирішення задач.

Об'єкт дослідження: піфагорові трійки чисел

Предмет дослідження: завдання шкільного курсу тригонометрії та геометрії, в яких використовуються піфагорові трійки

Актуальність дослідження. Піфагорові трійки часто використовуються в геометрії та тригонометрії, знання їх позбавить помилок у обчисленнях та економить час.

ІІ. Основна частина. Розв'язання задач за допомогою піфагорових трійок.

2.1.Таблиця трійок піфагорових чисел (за Перельманом)

Піфагорові числа мають вигляд a= m·n, , Де m і n - деякі взаємно прості непарні числа.

Піфагорові числа мають низку цікавих особливостей:

Один із «катетів» має бути кратним трьом.

Один із «катетів» має бути кратним чотирма.

Одне з піфагорових чисел має бути кратним п'яти.

У книзі «Цікава алгебра» наводиться таблиця піфагорових трійок, що містять числа до ста, що не мають спільних множників.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Класифікація піфагорових трійок по Шустрову.

Шустрова виявила таку закономірність: якщо всі піфагорові трикутники розподілити по групах, то для непарного катета x, парного y і гіпотенузи z справедливі наступні формули:

х = (2N-1) · (2n + 2N-1); y = 2n · (n + 2N-1); z = 2n · (n + 2N-1) + (2N-1) 2, де N - номер сімейства і n - порядковий номер трикутника в сімействі.

Підставляючи в формулу місце N і n будь-які цілі позитивні числа, починаючи з одиниці, можна отримати, всі основні піфагорові трійки чисел, а також кратні певного виду. Можна скласти таблицю всіх піфагорових трійок за кожним сімейством.

2.3. Завдання з планіметрії

Розглянемо завдання з різних підручників з геометрії та з'ясуємо, наскільки часто зустрічаються піфагорові трійки у цих завданнях. Тривіальні завдання на перебування третього елемента за таблицею піфагорових трійок не розглядатимемо, хоча вони теж зустрічаються в підручниках. Покажемо, як звести рішення задачі, дані якої не виражені натуральними числами, до піфагорових трійок.

Розглянемо завдання з підручника з геометрії для 7-9 класу.

№ 000. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника за катетами а=, b=.

Рішення. Помножимо довжини катетів на 7, отримаємо два елементи з піфагорової трійки 3 і 4. Недостатній елемент 5, який ділимо на 7. Відповідь .

№ 000. У прямокутнику ABCD знайдіть BC, якщо CD = 1,5, AC = 2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Рішення. Розв'яжемо прямокутний трикутник АСD. Помножимо довжини на 2, отримаємо два елементи з піфагорової трійки 3 і 5, Недостатній елемент 4, який ділимо на 2. Відповідь: 2.

При вирішенні наступного номера перевіряти співвідношення a2+b2=c2Зовсім необов'язково, достатньо скористатися піфагоровими числами та їх властивостями.

№ 000. З'ясуйте, чи трикутник є прямокутним, якщо його сторони виражаються числами:

а) 6,8,10 (піфагорова трійка 3,4.5) - так;

Один із катетів прямокутного трикутника повинен ділитися на 4. Відповідь: ні.

в) 9,12,15 (піфагорова трійка 3,4.5) - так;

г) 10,24,26 (піфагорова трійка 5,12.13) - так;

Одне з піфагорових чисел має бути кратним п'яти. Відповідь: ні.

ж) 15, 20, 25 (піфагорова трійка 3,4.5) - так.

З тридцяти дев'яти завдань даного параграфа (теорема Піфагора) двадцять два вирішуються усно за допомогою піфагорових чисел та знання їх властивостей.

Розглянемо задачу № 000 (з розділу «Додаткові завдання»):

Знайдіть площу чотирикутника ABCD, в якому АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9 см, DA=15 см, АС=12 см.

У завданні треба перевірити співвідношення a2+b2=c2і довести, що цей чотирикутник складається з двох прямокутних трикутників (зворотна теорема). А знання піфагорових трійок: 3, 4, 5 і 5, 12, 13 позбавляє від обчислень.

Наведемо розв'язання кількох завдань із підручника з геометрії для 7-9 класу.

Завдання 156 (з). Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 40. Знайдіть медіану, проведену до гіпотенузи.

Рішення . Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. Піфагорова трійка 9,40 та 41. Отже, медіана дорівнює 20,5.

Завдання 156(і). Бічні сторони трикутника рівні: а= 13 см, b = 20 см, а висота hс = 12 см. Знайдіть основу с.

Завдання (КІМИ ЄДІ). Знайдіть радіус кола, вписаного в гострокутний трикутник АВС, якщо висота ВH дорівнює12 і відомо, що sin А=,sin З=left">

Рішення.Вирішуємо прямокутний АСК: sin А=, ВH=12 , звідси АВ=13,АК=5 (Піфагорова трійка 5,12,13). Вирішуємо прямокутний ∆ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Піфагорова трійка 3,4,5).Радіус знаходимо за формулою r === 4. Відповідь.

2.4. Піфагорові трійки у тригонометрії

Основне тригонометричне тотожність - окремий випадок теореми Піфагора: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Тому деякі тригонометричні завдання легко вирішуються усно за допомогою Піфагорових трійок.

Завдання, у яких потрібно за заданим значенням функції визначити значення інших тригонометричних функцій, можна вирішити без зведення квадрат і вилучення квадратного кореня. Усі завдання цього у шкільному підручнику алгебри (10-11) Мордковича (№ 000-№ 000) можна вирішити усно, знаючи лише кілька піфагорових трійок: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Розглянемо розв'язки двох завдань.

№000 а). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Рішення. Піфагорова трійка: 3, 4, 5. Отже, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

№000 б). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Рішення. tg t = 2,4 = 24/10 = 12/5. Піфагорова трійка 5,12,13. З огляду на знаки отримуємо sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ

а) cos (arcsin 3/5) = 4/5 (3, 4, 5)

б) sin (arccos 5/13) = 12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0,6) = 0,75 (6, 8, 10)

г) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 tg (π-arcsin (-3/5)) = 4/3 tg (π + arcsin 3/5) = 4/3 tg arcsin 3/5=4/3·3/4=1

е) перевірте вірність рівності:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Рішення. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) · cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) · sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 · 12/13 + 3/5 · 5/13 = 63/65

ІІІ. Висновок

У геометричних задачах часто доводиться вирішувати прямокутні трикутники, іноді кілька разів. Проаналізувавши завдання шкільних підручників та матеріалів ЄДІ, можна зробити висновок, що в основному використовуються трійки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; які легко запам'ятати. При вирішенні деяких тригонометричних завдань класичне рішення за допомогою тригонометричних формул і великою кількістю обчислень займає час, а знання піфагорових трійок позбавить помилок у обчисленнях і заощадить час для вирішення важких завдань на ЄДІ.

бібліографічний список

1. Алгебра та початку аналізу. 10-11 класи. У 2 ч. ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ / [та ін]; за ред. . - 8-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 315 с. : іл.

2. Перельман алгебра. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.

3. Рогановський: Навч. Для 7-9 кл. з поглибл. вивченням математики загальноосвіт. шк. з рос. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн.; народ. Асвета, 2000. - 574 с.: Іл.

4. Математика: Хрестоматія з історії, методології, дидактики. / Упоряд. . - М.: Вид-во УРАО, 2001. - 384 с.

5. Журнал «Математика у шкільництві» №1, 1965 рік.

6. Контрольно-вимірювальні матеріали ЄДІ.

7. Геометрія, 7-9: Навч. для загальноосвітніх установ /, та ін. – 13-те вид. – М.: Просвітництво,2003. - 384 с. : іл.

8. Геометрія: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк./ , та інших. – 2-ге вид. - М.: Просвітництво, 1993, - 207 с.: Іл.

Перельман алгебра. - Д.: ВАП, 1994. - 200 с.

Журнал "Математика в школі" №1, 1965 рік.

Геометрія, 7-9: Навч. для загальноосвітніх установ /, та ін. – 13-те вид. – М.: Просвітництво,2003. - 384 с. : іл.

Рогановський: Навч. Для 7-9 кл. з поглибл. вивченням математики загальноосвіт. шк. з рос. яз. навчання, - 3-тє вид. - Мн.; народ. Асвета, 2000. - 574 с.: Іл.

Алгебра та початку аналізу. 10-11 класи. У 2 ч. ч. 2. Задачник для загальноосвітніх установ / [та ін]; за ред. . - 8-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2007. - 315 с. : іл., стор.18.

Білотелов В.А. Піфагорові трійки та їх кількість // Енциклопедія Нестерових

Ця стаття є відповіддю одному професору – щипалеві. Дивися, професоре, як це у нас на селі роблять.

Нижегородська область, м. Заволжя.

Потрібне знання алгоритму розв'язання діофантових рівнянь (АРДУ) та знання прогресій багаточленів.

ПЧ – просте число.

СЧ – складова кількість.

Нехай є число N непарне. Для будь-якого непарного числа, крім одиниці, можна скласти рівняння.

р 2 + N = q 2

де р + q = N, q - р = 1.

Наприклад, для чисел 21 та 23 рівняннями будуть, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Якщо число N просте, це рівняння єдине. Якщо число N складене, тоді можна скласти подібних рівнянь за кількістю пар співмножників, що представляють це число, включаючи 1 x N.

Візьмемо число N = 45 -

1 х 45 = 45, 3 х 15 = 45, 5 х 9 = 45.

Мріялося, а чи не можна вчепившись за цю різницю між ПЧ і СЧ знайти метод їх ідентифікації.

Введемо позначення;

Змінимо нижнє рівняння, -

N = 2 – а 2 = (в – а)(в + а).

Згрупуємо величини N за ознакою - а, тобто. складемо таблицю.

Числа N були зведені в матрицю, -

Саме під це завдання довелося розбиратися з прогресіями багаточленів та їх матрицями. Все виявилося даремно – ПЧ оборону тримають потужно. Давайте в таблицю 1 введемо стовпець, де - а = 1 (q - р = 1).

І ще раз. Таблиця 2 вийшла внаслідок спроби розв'язання задачі про ідентифікацію ПЛ та СЧ. З таблиці слід, що з будь-якого числа N, існує стільки рівнянь виду а 2 + N = в 2 , скільки пар співмножників можна розбити число N, включаючи сомножитель 1 х N. Крім чисел N = ℓ 2 , де

ℓ - ПЧ. Для N = ℓ 2 де ℓ - ПЧ, існує єдине рівняння р 2 + N = q 2 . Про який додатковий доказ може йтися, якщо в таблиці перебрано менші множники з пар співмножників, що утворюють N, від одиниці до ∞. Таблицю 2 помістимо в скриньку, а скриньку сховаємо в комірчині.

Повернімося до теми заявленої статті.

Ця стаття є відповіддю одному професору – щипалеві.

Звернувся за допомогою, – потрібен ряд чисел, який не міг знайти в інтернеті. Напоровся на питання типу, - "а за чим?", "А покажи метод". Було зокрема завдання питання, чи нескінченна низка піфагорових трійок, "а як довести?". Не допоміг він мені. Дивися, професоре, як це у нас на селі роблять.

Візьмемо формулу піфагорових трійок, –

х 2 = у 2 + z2. (1)

Пропустимо через Арду.

Можливі три ситуації:

I. х - непарне число,

у – парне число,

z – парне число.

І є умова х> у> z.

ІІ. х – непарне число,

у – парне число,

z – непарне число.

х > z > в.

III.х - парне число,

у – непарне число,

z – непарне число.

х > у > z.

Почнемо по порядку із I.

Введемо нові змінні

Підставимо до рівняння (1).

Скоротимо на меншу змінну 2γ.

(2α – 2γ + 2к + 1) 2 = (2β – 2γ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 .

Скоротимо на менше змінне 2β – 2γ з одночасним введенням нового параметра ƒ, -

(2α – 2β + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 (2)

Тоді 2α – 2β = х – у – 1.

Рівняння (2) набуде вигляду, –

(х - у + 2 + 2к) 2 = (2 + 2к) 2 + (2к + 1) 2

Зведемо у квадрат, -

(х – у) 2 + 2(2ƒ + 2к)(х – у) + (2ƒ + 2к) 2 = (2ƒ + 2к) 2 + (2к + 1) 2 ,

(х - у) 2 + 2 (2 + 2к) (х - у) - (2к + 1) 2 = 0. (3)

АРДУ дає через параметри співвідношення між старшими членами рівняння тому ми отримали рівняння (3).

Чи не солідно займатися підбором рішень. Але, по-перше, подітися нікуди, а по-друге, цих рішень потрібно кілька, а нескінченний ряд рішень ми зможемо відновити.

За ƒ = 1, к = 1, маємо х – у = 1.

За ƒ = 12, к = 16, маємо х – у = 9.

За ƒ = 4, к = 32, маємо х – у = 25.

Підбирати можна довго, але зрештою ряд набуде вигляду, -

х - у = 1, 9, 25, 49, 81, ….

Розглянемо варіант II.

Введемо до рівняння (1) нові змінні

(2α + 2к + 1) 2 = (2β + 2к) 2 + (2γ + 2к + 1) 2 .

Скоротимо на менше змінне 2 β, -

(2α – 2β + 2к + 1) 2 = (2α – 2β + 2к+1) 2 + (2к) 2 .

Скоротимо на меншу змінну 2α – 2β, –

(2α – 2γ + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2 . (4)

2α – 2γ = х – z і підставимо на рівняння (4).

(х – z + 2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2

(х – z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) + (2ƒ + 2к + 1) 2 = (2ƒ + 2к + 1) 2 + (2к) 2 (х – z) 2 + 2(2ƒ + 2к + 1)(х – z) – (2к) 2 = 0

За ƒ = 3, к = 4, маємо х – z = 2.

За ƒ = 8, к = 14, маємо х – z = 8.

За ƒ = 3, к = 24, маємо х – z = 18.

х - z = 2, 8, 18, 32, 50, ….

Намалюємо трапецію, -

Напишемо формулу.

де n=1, 2... ∞.

Випадок ІІІ розписувати не будемо, – немає там рішень.

Для умови II набір трійок буде таким:

Рівняння (1) представлене у вигляді х 2 = z 2 + у 2 для наочності.

Для умови I набір трійок буде таким:

Загалом розписано 9 стовпців трійок, по п'ять трійок у кожному. І кожен із представлених стовпців можна писати до ∞.

Як приклад розглянемо трійки останнього стовпця, де х – у = 81.

Для величин х розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Для величин у розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Для величин z розпишемо трапецію, -

Напишемо формулу, -

Де n = 1 ÷ ∞.

Як і обіцяно, ряд трійок при х – у = 81 летить у ∞.

Була спроба випадків I і II побудувати матриці для величин х, у, z.

Випишемо з останніх п'яти стовпців величини х з верхніх рядків і збудуємо трапецію.

Не вийшло, а закономірність має бути квадратичною. Щоб усе було в ажурі, виявилося, що треба об'єднати стовпці І та ІІ.

У разі II величини у z знову поміняємо місцями.

Об'єднати вдалося з однієї причини, – карти добре лягли у цьому завданні, – пощастило.

Тепер можна розписати матриці для х, у, z.

Візьмемо з останніх п'яти стовпців величини х з верхніх рядків і збудуємо трапецію.

Все нормально можна будувати матриці, і почнемо з матриці для z.

Бігом у комірчину за скринькою.

Разом: Крім одиниці, кожне непарне число числової осі бере участь у освіті піфагорових трійок рівним кількості пар співмножників, що утворюють дане число N, включаючи співмножник 1 х N.

Число N = ℓ 2 де ℓ - ПЧ, утворює одну піфагорову трійку, якщо ℓ - СЧ, то на співмножниках ℓхℓ трійки не існує.

Побудуємо матриці для величин х, у.

Почнемо працювати з матрицею для х. Для цього натягнемо на неї координатну сітку із завдання з ідентифікації ПЧ та СЧ.

Нумерація вертикальних рядів нормована виразом

Перший стовпець приберемо, т.к.

Матриця набуде вигляду, -

Опишемо вертикальні ряди, -

Опишемо коефіцієнти при "а", -

Опишемо вільні члени, -

Складемо загальну формулу для "х", -

Якщо провести подібну роботу для "у", отримаємо, -

Можна підійти до цього результату з іншого боку.

Візьмемо рівняння, –

а 2 + N = 2 .

Трохи перетворимо, -

N = 2 – а 2 .

Зведемо в квадрат, -

N 2 = в 4 - 2в 2 а 2 + а 4 .

До лівої та правої частини рівняння додамо за величиною 4в 2 а 2 -

N 2 + 4в 2 а 2 = 4 + 2в 2 а 2 + а 4 .

І остаточно, –

(2 + а 2) 2 = (2ва) 2 + N 2 .

Піфагорові трійки складаються так:

Розглянемо приклад із числом N = 117.

1 х 117 = 117, 3 х 39 = 117, 9 х 13 = 117.

Вертикальні стовпці таблиці 2 пронумеровані величинами - а, тоді як вертикальні стовпці таблиці 3 пронумеровані величинами х - у.

х – у = (в – а) 2 ,

х = у + (в - а) 2 .

Складемо три рівняння.

(у + 1 2) 2 = у 2 + 117 2

(у + 3 2) 2 = у 2 + 117 2

(У + 9 2) 2 = У 2 + 117 2 .

х 1 = 6845, у 1 = 6844, z1 = 117.

х 2 = 765, у 2 = 756, z 2 = 117 (х 2 = 85, у 2 = 84, z 2 = 13).

х 3 = 125, у 3 = 44, z 3 = 117.

Співмножники 3 і 39 є взаємно простими числами, тому одна трійка вийшла з коефіцієнтом 9.

Зобразимо вище написане у загальних символах, -

У цій роботі все, включаючи приклад на розрахунок піфагорових трійок з числом

N = 117, прив'язано до меншого співмножника - а. Явна дискримінація по відношенню до співмножника + а. Виправимо цю несправедливість, - складемо три рівняння з співмножником + а.

Повернемося до питання про ідентифікацію ПЛ та СЧ.

Багато чого було здійснено в цьому напрямку і на сьогодні через руки дійшла така думка, – рівняння ідентифікації, та такого, щоб і співмножники визначити, не існує.

Допустимо знайдено співвідношення F = а, (N).

Є формула

Можна позбутися у формулі F від і вийде однорідне рівняння n – ой ступеня щодо а, тобто. F = а(N).

За будь-якого ступеня n даного рівняння знайдеться число N, що має m пар співмножників, при m > n.

І, як наслідок, однорідне рівняння n ступеня повинно мати m коріння.

Так бути такого не може.

У цій роботі числа N розглядалися для рівняння х 2 = у 2 + z 2 коли вони знаходяться в рівнянні на місці z. Коли N на місці х - це вже інше завдання.

З повагою Бєлотелов В.А.

Далі розглянемо відомі способи генерації ефективних піфагорових трійок. Учні Піфагора були першими, хто винайшли простий спосіб генерації піфагорових трійок, використовуючи формулу, частини якої являють собою піфагорову трійку:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Де m- Непарне, m>2. Справді,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Аналогічну формулу запропонував давньогрецький філософ Платон:

(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Де m- Будь-яке число. Для m= 2,3,4,5 генеруються такі трійки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Як бачимо, ці формули не можуть дати всі можливі примітивні трійки.

Розглянемо наступний поліном, який розкладається на суму поліномів:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .

Звідси такі формули для отримання примітивних трійок:

a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Ці формули генерують трійки, у яких середнє число відрізняється від найбільшого рівно на одиницю, тобто також генеруються не всі можливі трійки. Тут перші трійки дорівнюють: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Щоб визначити спосіб генерації всіх примітивних трійок слід досліджувати їх властивості. По-перше, якщо ( a, b, c) - примітивна трійка, то aі b, bі c, аі c- Повинні бути взаємно простими. Нехай aі bподіляються на d. Тоді a 2 + b 2 - також ділиться на d. Відповідно, c 2 та cповинні ділитися на d. Тобто це не є примітивна трійка.

По-друге, серед чисел a, bодне має бути парним, інше — непарним. Справді, якщо aі b— парні, то й збуде парним, і числа можна поділити принаймні на 2. Якщо вони обидва непарні, їх можна представити як 2 k+1 і 2 l+1, де k,l- Деякі числа. Тоді a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, тобто, з 2 , як і a 2 + b 2 при поділі на 4 має залишок 2.

Нехай з- будь-яке число, тобто з = 4k+i (i= 0, ..., 3). Тоді з 2 = (4k+i) 2 має залишок 0 або 1 і не може мати залишок 2. Таким чином, aі bне можуть бути непарними, тобто a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 та залишок від розподілу з 2 на 4 має бути 1, що означає, що змає бути непарним.

Такі вимоги до елементів піфагорової трійки задовольняють такі числа:

a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)

Де mі n- Взаємно прості з різною парністю. Вперше ці залежності стали відомими із праць Евкліда, який жив 2300 нар. назад.

Доведемо справедливість залежностей (2). Нехай а- парне, тоді bі c- Непарні. Тоді c + b i c − b- парні. Їх можна уявити як c + b = 2uі c − b = 2v, де u,v- Деякі цілі числа. Тому

a 2 = з 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u·2 v = 4uv

І тому ( a/2) 2 = uv.

Можна довести від неприємного, що uі v- Взаємно прості. Нехай uі v- поділяються на d. Тоді ( c + b) та ( c − b) поділяються на d. І тому cі bповинні ділитися на d, а це суперечить умові до піфагорової трійки.

Так як uv = (a/2) 2 та uі v- Взаємно прості, то нескладно довести, що uі vмають бути квадратами якихось чисел.

Таким чином, є позитивні цілі числа mі n, такі що u = m 2 та v = n 2 . Тоді

а 2 = 4uv = 4m 2 n 2 , так що
а = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Так як b> 0, то m > n.

Залишилось показати, що mі nмають різну парність. Якщо mі n- парні, то uі vповинні бути парними, а це неможливо, тому що вони взаємно прості. Якщо mі n- Непарні, то b = m 2 − n 2 та c = m 2 + n 2 були б парними, що неможливо, оскільки cі b- Взаємно прості.

Таким чином, будь-яка примітивна піфагорова трійка повинна задовольняти умови (2). При цьому числа mі nназиваються генеруючими числамипримітивних трійок. Наприклад, нехай маємо примітивну піфагорову трійку (120,119,169). В цьому випадку

а= 120 = 2 · 12 · 5, b= 119 = 144 − 25, та c = 144+25=169,

Де m = 12, n= 5 - генеруючі числа, 12> 5; 12 і 5 - взаємно прості та різної парності.

Можна довести протилежне, що числа m, nза формулами (2) дають примітивну піфагорову трійку (a, b, c). Справді,

а 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

Тобто ( a,b,c) - Піфагорова трійка. Доведемо, що при цьому a,b,c- Взаємно прості числа від протилежного. Нехай ці числа поділяються на p> 1. Оскільки mі nмають різну парність, то bі c- непарні, тобто p≠ 2. Оскільки рділить bі c, то рмає ділити 2 m 2 та 2 n 2 , а це неможливо, тому що p≠ 2. Тому m, n- Взаємно прості та a,b,c- теж взаємно прості.

У таблиці 1 показані всі примітивні піфагорові трійки, згенеровані за формулами (2) m≤10.

Таблиця 1. Примітивні піфагорові трійки для m≤10

m	n	a	b	c	m	n	a	b	c
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Аналіз цієї таблиці показує наявність наступного ряду закономірностей:

• або a, або bділяться на 3;
• одне з чисел a,b,cділиться на 5;
• число аділиться на 4;
• твір a· bділиться на 12

У 1971 р. американські математики Тейган та Хедвін для генерації трійок запропонували такі маловідомі параметри прямокутного трикутника, як його зростання (height) h = c− b та надлишок (success) е = a + b − c. На рис.1. показані ці величини деякому прямокутному трикутнику.

Малюнок 1. Прямокутний трикутник та його зростання та надлишок

Назва "надлишок" є похідною від того, що це додаткова відстань, яку необхідно пройти по катетах трикутника з однієї вершини в протилежну, якщо не йти його діагоналі.

Через надлишок та зростання сторони піфагорового трикутника можна виразити як:

e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Не всі комбінації hі eможуть відповідати піфагоровим трикутникам. Для заданого hможливі значення e- Це твори деякого числа d. Це число dмає назву приросту і відноситься до hнаступним чином: d- Це найменше позитивне ціле число, квадрат якого ділиться на 2 h. Так як eкратне d, то воно записується як e = kd, де k- Позитивне ціле.

За допомогою пар ( k,h) можна згенерувати всі піфагорові трикутники, включаючи непримітивні та узагальнені, таким чином:

(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Причому трійка є примітивною, якщо kі h- Взаємно прості і якщо h =± q 2 при q- Непарному.
Крім того, це буде саме піфагорова трійка, якщо k> √2· h/dі h > 0.

Щоб знайти kі hз ( a,b,c), виконують такі дії:

• h = c − b;
• записують hяк h = pq 2 , де p> 0 таке, що є квадратом;
• d = 2pqякщо p- Непарне і d = pqякщо p - парне;
• k = (a − h)/d.

Наприклад, для трійки (8,15,17) маємо h= 17−15 = 2·1, отже p= 2 і q = 1, d= 2, і k= (8 − 2)/2 = 3. Так що ця трійка задається як ( k,h) = (3,2).

Для трійки (459,1260,1341) маємо h= 1341 − 1260 = 81, тож p = 1, q= 9 і d= 18, звідси k= (459 − 81)/18 = 21, так що код цієї трійки дорівнює ( k,h) = (21, 81).

Завдання трійок за допомогою hі kмає низку цікавих властивостей. Параметр kдорівнює

k = 4S/(dP), (5)

Де S = ab/2 - площа трикутника, а P = a + b + c- Його периметр. Це випливає з рівності eP = 4S, що виходить із теореми Піфагора.

Для прямокутного трикутника eдорівнює діаметру вписаного в трикутник кола. Це виходить із того, що гіпотенуза з = (а − r)+(b − r) = a + b − 2r, де r- Радіус кола. Звідси h = c − b = а − 2rі е = a − h = 2r.

Для h> 0 та k > 0, kє порядковим номером трійок a-b-cу послідовності піфагорових трикутників зі зростанням h. З таблиці 2, де представлено кілька варіантів трійок, згенерованих парами h, k, видно, що зі збільшенням kзростають величини сторін трикутника. Таким чином, на відміну від класичної нумерації, нумерація парами h, kмає більший порядок у послідовностях трійок.

Таблиця 2. Піфагорові трійки, згенеровані парами h, k.

h	k	a	b	c	h	k	a	b	c
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Для h > 0, dзадовольняє нерівність 2√ h ≤ d ≤ 2h, в якому нижня межа досягається при p= 1, а верхня - при q= 1. Тому значення dщодо 2√ h- це міра того, наскільки число hвіддалений від квадрата деякого числа.

Властивості

Оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженні x , yі zна те саме число вийде інша піфагорова трійка. Піфагорова трійка називається примітивноюякщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа .

Приклади

Деякі піфагорові трійки (відсортовані за зростанням максимального числа, виділено примітивні):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Грунтуючись на властивостях чисел Фібоначчі, можна скласти з них, наприклад, такі піфагорові трійки:

.

Історія

Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі давньомесопотамських надгробків зустрічається рівнобедрений трикутник, складений із двох прямокутних зі сторонами 9, 12 та 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н.е.) побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 та 29, а також 18, 24 та 30 десятків єгипетських ліктів.

Див. також

Посилання

• Є. А. ГорінСтупені простих чисел у складі піфагорових трійок // Математичне просвітництво. – 2008. – В. 12. – С. 105-125.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Піфагорові числа" в інших словниках:

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Великий Енциклопедичний словник

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, наприклад трійка чисел: 3, 4, 5. * * * Енциклопедичний словник

Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (чи рівні) цим числам, є прямокутним. По теоремі, зворотній теоремі Піфагора (див. теорема Піфагора), для цього достатньо, щоб вони ...

Трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + 2 = z2. Усі рішення цього рівняння, отже, і всі П. год. виражаються формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, де а, b довільні цілі позитивні числа (а>b). П. год. Математична енциклопедія

Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5… Природознавство. Енциклопедичний словник

У математиці піфагоровими числами (піфагорової трійкою) називається кортеж із трьох цілих чисел, що задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 = z2. Зміст 1 Властивості 2 Приклади … Вікіпедія

Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних із тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття перегукується з піфагорійцям. Імовірно від фігурних чисел виник вираз: «Звести число квадрат або куб». Зміст… … Вікіпедія

Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних із тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття перегукується з піфагорійцям. Розрізняють такі види фігурних чисел: Лінійні числа числа, що не розкладаються на помножувачі, тобто їх ... Вікіпедія

- «Парадокс числа пі» жарт на тему математики, що мав ходіння серед студентів до 80-х років (фактично, до масового поширення мікрокалькуляторів) і був пов'язаний з обмеженою точністю обчислень тригонометричних функцій і ... Вікіпедія

- (грец. arithmetika, від arithmys число) наука про числа, в першу чергу про натуральні (цілі позитивні) числа і (раціональні) дроби, і дії над ними. Володіння досить розвиненим поняттям натурального числа та вміння. Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• Архімедове літо, або Історія співдружності юних математиків. Двійкова система числення, Бобров Сергій Павлович. Двійкова система числення, "Ханойська вежа", хід коня, магічні квадрати, арифметичний трикутник, фігурні числа, поєднання, поняття про ймовірності, стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.

» заслуженого професора математики Уорікського університету, відомого популяризатора науки Іена Стюарта, присвяченої ролі чисел в історії людства та актуальності їх вивчення у наш час.

Піфагорова гіпотенуза

Піфагорові трикутники мають прямий кут та цілочисленні сторони. У найпростішого їх найдовша сторона має довжину 5, інші - 3 і 4. Усього існує 5 правильних багатогранників. Рівняння п'ятого ступеня неможливо вирішити за допомогою коренів п'ятого ступеня - або будь-якого іншого коріння. Грати на площині та у тривимірному просторі не мають п'ятипелюсткової симетрії обертання, тому такі симетрії відсутні і в кристалах. Однак вони можуть бути біля ґрат у чотиривимірному просторі та в цікавих структурах, відомих як квазікристали.

Гіпотенуза найменшої піфагорової трійки

Теорема Піфагора говорить, що найдовша сторона прямокутного трикутника (славнозвісна гіпотенуза) співвідноситься з двома іншими сторонами цього трикутника дуже просто і красиво: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін.

Традиційно називаємо цю теорему ім'ям Піфагора, але насправді історія її досить туманна. Глиняні таблички дозволяють припустити, що давні вавилоняни знали теорему Піфагора задовго до Піфагора; славу першовідкривача приніс йому математичний культ піфагорійців, прихильники якого вірили, що Всесвіт заснований на числових закономірностях. Стародавні автори приписували піфагорійцям - а отже, і Піфагору - різні математичні теореми, але насправді ми уявлення не маємо про те, якою математикою займався сам Піфагор. Ми навіть не знаємо, чи піфагорійці могли довести теорему Піфагора або просто вірили в те, що вона вірна. Або, що найімовірніше, у них були переконливі дані про її істинність, яких, проте, не вистачило б на те, що ми вважаємо доказом сьогодні.

Докази Піфагора

Перший відомий доказ теореми Піфагора ми знаходимо в «Початках» Евкліда. Це досить складний доказ з використанням креслення, в якому вікторіанські школярі одразу впізнали б піфагорові штани; креслення і справді нагадує сохнучі на мотузці підштанники. Відомі буквально сотні інших доказів, більшість з яких робить твердження, що доводиться, більш очевидним.

// Мал. 33. Піфагорові штани

Один із найпростіших доказів - це свого роду математичний пазл. Візьміть будь-який прямокутний трикутник, зробіть чотири його копії та зберіть їх усередині квадрата. При одному укладанні бачимо квадрат на гіпотенузі; при іншій – квадрати на двох інших сторонах трикутника. При цьому ясно, що площі в тому й іншому випадку дорівнюють.

// Мал. 34. Зліва: квадрат на гіпотенузі (плюс чотири трикутники). Праворуч: сума квадратів на двох інших сторонах (плюс ті ж чотири трикутники). А тепер виключіть трикутники

Розсічення Перигаля – ще один доказ-пазл.

// Мал. 35. Розсічення Перигаля

Існує також доказ теореми з використанням укладання квадратів на площині. Можливо, саме так піфагорійці чи їхні невідомі попередники відкрили цю теорему. Якщо поглянути на те, як косий квадрат перекриває два інші квадрати, то можна побачити, як розрізати великий квадрат на шматки, а потім скласти з них два менші квадрати. Можна також побачити прямокутні трикутники, сторони яких дають розміри трьох задіяних квадратів.

// Мал. 36. Доказ мощенням

Є цікаві докази з використанням подібних трикутників у тригонометрії. Відомо щонайменше п'ятдесят різних доказів.

Піфагорові трійки

Теорема чисел теорема Піфагора стала джерелом плідної ідеї: знайти цілочисельні рішення алгебраїчних рівнянь. Піфагорова трійка - це набір цілих чисел a, b і c, таких що

Геометрично така трійка визначає прямокутний трикутник із цілими сторонами.

Найменша гіпотенуза піфагорової трійки дорівнює 5.

Інші дві сторони цього трикутника дорівнюють 3 і 4. Тут

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Наступна за величиною гіпотенуза дорівнює 10, тому що

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Однак це, по суті, той самий трикутник із подвоєними сторонами. Наступна за величиною і по-справжньому інша гіпотенуза дорівнює 13 для неї

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклід знав, що існує безліч різних варіантів піфагорових трійок, і дав те, що можна назвати формулою для знаходження їх усіх. Пізніше Діофант Олександрійський запропонував простий рецепт, що збігається з евклідовим.

Візьміть будь-які два натуральні числа і обчисліть:

їх подвоєний твір;

різницю їх квадратів;

суму їхніх квадратів.

Три числа, що виходять, будуть сторонами піфагорового трикутника.

Візьмемо, наприклад, числа 2 та 1. Обчислимо:

подвоєний твір: 2×2×1 = 4;

різницю квадратів: 22 - 12 = 3;

сума квадратів: 22 + 12 = 5,

і ми отримали відомий трикутник 3–4–5. Якщо взяти замість цього числа 3 та 2, отримаємо:

подвоєний твір: 2×3×2 = 12;

різницю квадратів: 32 - 22 = 5;

суму квадратів: 32 + 22 = 13,

і отримуємо наступний за популярністю трикутник 5 - 12 - 13. Спробуємо взяти числа 42 і 23 і отримаємо:

подвоєний твір: 2×42×23 = 1932;

різницю квадратів: 422 - 232 = 1235;

сума квадратів: 422 + 232 = 2293,

ніхто ніколи не чув про трикутник 1235–1932–2293.

Але ці числа також працюють:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

У діофантовому правилі є ще одна особливість, яку вже натякали: отримавши три числа, ми можемо взяти ще одне довільне число і всі їх на нього помножити. Таким чином, трикутник 3–4–5 можна перетворити на трикутник 6–8–10, помноживши всі сторони на 2, або на трикутник 15–20–25, помноживши все на 5.

Якщо перейти на мову алгебри, правило набуває наступного вигляду: нехай u, v і k – натуральні числа. Тоді прямокутний трикутник зі сторонами

2kuv та k (u2 - v2) має гіпотенузу

Існують інші способи викладу основний ідеї, але вони зводяться до описаному вище. Цей метод дозволяє отримати всі піфагорові трійки.

Правильні багатогранники

Існує рівно п'ять правильних багатогранників. Правильний багатогранник (або поліедр) – це об'ємна фігура з кінцевим числом плоских граней. Грані сходяться друг з одним лініях, іменованих ребрами; ребра зустрічаються у точках, іменованих вершинами.

Кульмінацією евклідових «Початок» є доказ того, що може бути лише п'ять правильних багатогранників, тобто багатогранників, у яких кожна грань є правильним багатокутником (рівні сторони, рівні кути), всі грані ідентичні і всі вершини оточені рівною кількістю однаково розташованих граней. Ось п'ять правильних багатогранників:

тетраедр із чотирма трикутними гранями, чотирма вершинами та шістьма ребрами;

куб, або гексаедр, з 6 квадратними гранями, 8 вершинами та 12 ребрами;

октаедр з 8 трикутними гранями, 6 вершинами та 12 ребрами;

додекаедр з 12 п'ятикутними гранями, 20 вершинами та 30 ребрами;

ікосаедр з 20 трикутними гранями, 12 вершинами та 30 ребрами.

// Мал. 37. П'ять правильних багатогранників

Правильні багатогранники можна знайти й у природі. У 1904 р. Ернст Геккель опублікував малюнки крихітних організмів, відомих як радіолярії; багато з них формою нагадують ті самі п'ять правильних багатогранників. Можливо, щоправда, він трохи підправив природу, і малюнки повністю не відображають форму конкретних живих істот. Перші три структури спостерігаються також у кристалах. Додекаедра та ікосаедра в кристалах ви не знайдете, хоча неправильні додекаедри та ікосаедри там іноді трапляються. Справжні додекаедри можуть виникати у вигляді квазікристалів, які у всьому схожі на кристали, за винятком того, що їх атоми не утворюють періодичних ґрат.

// Мал. 38. Малюнки Геккеля: радіолярії у формі правильних багатогранників

// Мал. 39. Розгорнення правильних багатогранників

Буває цікаво робити моделі правильних багатогранників з паперу, вирізавши попередньо набір з'єднаних між собою граней – це називається розгорткою багатогранника; розгортку складають по ребрах і склеюють відповідні ребра між собою. Корисно додати до одного з ребер кожної такої пари додатковий майданчик для клею, як показано на рис. 39. Якщо такого майданчика немає, можна використати липку стрічку.

Рівняння п'ятого ступеня

Немає алгебраїчної формули на вирішення рівнянь 5-го ступеня.

У загальному вигляді рівняння п'ятого ступеня виглядає так:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Проблема в тому, щоб знайти формулу для розв'язання такого рівняння (у нього може бути до п'яти рішень). Досвід поводження з квадратними і кубічними рівняннями, а також із рівняннями четвертого ступеня дозволяє припустити, що така формула повинна існувати і для рівнянь п'ятого ступеня, причому в ній, за ідеєю, повинні фігурувати коріння п'ятого, третього та другого ступеня. Знову ж таки, можна сміливо припустити, що така формула, якщо вона існує, виявиться дуже складною.

Це припущення зрештою виявилося помилковим. Справді, жодної такої формули немає; принаймні немає формули, що складається з коефіцієнтів a, b, c, d, e і f, складеної з використанням складання, віднімання, множення і поділу, і навіть вилучення коренів. Таким чином, серед 5 є щось зовсім особливе. Причини такої незвичайної поведінки п'ятірки дуже глибокі, і знадобилося чимало часу, щоб у них розібратися.

Першою ознакою проблеми стало те, що, хоч би як математики намагалися відшукати таку формулу, хоч би якими розумними вони були, вони незмінно зазнавали невдачі. Деякий час усі вважали, що причини криються в неймовірній складності формули. Вважалося, що ніхто просто не може добре розібратися в цій алгебрі. Однак з часом деякі математики почали сумніватися в тому, що така формула взагалі існує, а в 1823 Нільс Хендрік Абель зумів довести протилежне. Такої формули немає. Незабаром після цього Еваріст Галуа знайшов спосіб визначити, чи можна вирішити рівняння того чи іншого ступеня - 5-го, 6-го, 7-го, взагалі будь-якого - з використанням такого роду формули.

Висновок з цього простий: число 5 особливе. Можна вирішувати рівняння алгебри (за допомогою коренів n-го ступеня для різних значень n) для ступенів 1, 2, 3 і 4, але не для 5-го ступеня. Тут очевидна закономірність закінчується.

Нікого не дивує, що рівняння ступенів більше 5 поводяться ще гірше; зокрема, з ними пов'язана така сама складність: немає загальних формул для їх вирішення. Не означає, що рівняння немає рішень; це також не означає, що неможливо знайти дуже точні чисельні значення цих рішень. Вся справа в обмеженості традиційних алгебри інструментів. Це нагадує неможливість трисекції кута за допомогою лінійки та циркуля. Відповідь існує, але перераховані методи недостатні і не дозволяють визначити, якою вона є.

Кристалографічне обмеження

Кристали у двох та трьох вимірах не мають 5-променевої симетрії обертання.

Атоми в кристалі утворюють ґрати, тобто структуру, яка періодично повторюється у кількох незалежних напрямках. Наприклад, малюнок на шпалерах повторюється по довжині рулону; крім того, він зазвичай повторюється і в горизонтальному напрямку, іноді зі зсувом від одного шматка шпалер до наступного. Фактично, шпалери - це двовимірний кристал.

Існує 17 різновидів шпалерних малюнків на площині (див. Розділ 17). Вони різняться за типами симетрії, тобто за способами жорстко зрушити малюнок таким чином, щоб він точно ліг сам на себе в початковому положенні. До типів симетрії відносяться, зокрема, різні варіанти симетрії обертання, де малюнок слід повернути певний кут навколо певної точки - центру симетрії.

Порядок симетрії обертання - це, скільки разів можна повернути тіло до повного кола те щоб всі деталі малюнка повернулися на початкові позиції. Наприклад, поворот на 90° - це симетрія обертання 4-го порядку. Список можливих типів симетрії обертання в кристалічній решітці знову свідчить про незвичність числа 5: його немає. Існують варіанти із симетрією обертання 2, 3, 4 та 6-го порядків, але жоден шпалерний малюнок не має симетрії обертання 5-го порядку. Симетрії обертання порядку більше 6 в кристалах теж не буває, але перше порушення послідовності відбувається все ж таки на числі 5.

Те саме відбувається з кристалографічними системами у тривимірному просторі. Тут грати повторюють себе за трьома незалежними напрямками. Існує 219 різних типів симетрії, або 230, якщо вважати дзеркальне відображення малюнка окремим варіантом - при тому, що в даному випадку немає дзеркальної симетрії. Знову ж таки, спостерігаються симетрії обертання порядків 2, 3, 4 і 6, але не 5. Цей факт отримав назву кристалографічного обмеження.

У чотиривимірному просторі решітки із симетрією 5-го порядку існують; взагалі, для ґрат досить високої розмірності можливий будь-який наперед заданий порядок симетрії обертання.

// Мал. 40. Кристалічні грати кухонної солі. Темні кульки зображують атоми натрію, світлі атоми хлору.

Квазікристали

Хоча симетрія обертання 5-го порядку в двовимірних і тривимірних ґратах неможлива, вона може існувати в менш регулярних структурах, відомих як квазікристали. Скориставшись начерками Кеплера, Роджер Пенроуз відкрив плоскі системи з більш загальним типом п'ятиразової симетрії. Вони отримали назву квазікристалів.

Квазікристали існують у природі. У 1984 р. Даніель Шехтман відкрив, що сплав алюмінію та марганцю може утворювати квазікристали; спочатку кристалографи зустріли його повідомлення з деяким скепсисом, але пізніше відкриття було підтверджено, і в 2011 р. Шехтмана було удостоєно Нобелівської премії з хімії. У 2009 р. команда вчених під керівництвом Луки Бінді виявила квазікристали в мінералі з російського Коряцького нагір'я - з'єднання алюмінію, міді та заліза. Сьогодні цей мінерал називається ікосаедрит. Вимірявши за допомогою мас-спектрометра вміст у мінералі різних ізотопів кисню, вчені показали, що цей мінерал виник не Землі. Він сформувався близько 4,5 млрд років тому, у той час, коли Сонячна система тільки зароджувалася, і провів більшу частину часу в поясі астероїдів, звертаючись навколо Сонця, поки якесь обурення не змінило його орбіту і не привело його врешті-решт на Землю.

// Мал. 41. Зліва: одна з двох квазікристалічних ґрат з точною п'ятикратною симетрією. Праворуч: атомна модель ікосаедричного алюмінієво-паладієво-марганцевого квазікристалу