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Ableitung des Produkts von Funktionen an einem bestimmten Punkt. Finden Sie die Ableitung: Algorithmus und Lösungsbeispiele

In dieser Lektion beschäftigen wir uns weiterhin mit Ableitungen von Funktionen und gehen dann zu einem fortgeschritteneren Thema über, nämlich den Ableitungen von Produkten und Quotienten. Wenn Sie sich die vorherige Lektion angesehen haben, ist Ihnen wahrscheinlich klar geworden, dass wir nur die einfachsten Konstruktionen betrachtet haben, nämlich die Ableitung einer Potenzfunktion, Summe und Differenz. Insbesondere haben wir gelernt, dass die Ableitung einer Summe gleich ihrer Summe und die Ableitung einer Differenz jeweils gleich ihrer Differenz ist. Leider sind die Formeln bei Quotienten- und Produktableitungen deutlich komplizierter. Wir beginnen mit der Formel für die Ableitung eines Funktionsprodukts.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Lassen Sie mich zunächst einen kleinen lyrischen Exkurs machen. Tatsache ist, dass wir in dieser Lektion neben der Standardpotenzfunktion $y=((x)^(n))$ auch auf andere Funktionen stoßen, nämlich $y=\sin x$ sowie $ y=\ cos x$ und andere Trigonometrie - $y=tgx$ und natürlich $y=ctgx$.

Wenn wir alle die Ableitung einer Potenzfunktion genau kennen, nämlich $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, dann gilt: trigonometrische Funktionen müssen gesondert erwähnt werden. Schreiben wir es auf:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Aber Sie kennen diese Formeln sehr gut, machen wir weiter.

Was ist das Derivat eines Produkts?

Zuerst das Wichtigste: Wenn eine Funktion das Produkt zweier anderer Funktionen ist, zum Beispiel $f\cdot g$, dann ist die Ableitung dieser Konstruktion gleich dem folgenden Ausdruck:

Wie Sie sehen, ist diese Formel deutlich anders und komplexer als die Formeln, die wir zuvor betrachtet haben. Beispielsweise wird die Ableitung einer Summe auf elementare Weise berechnet - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, oder die Ableitung von eine Differenz, die ebenfalls auf elementare Weise berechnet wird - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Versuchen wir, die erste Formel anzuwenden, um die Ableitungen der beiden Funktionen zu berechnen, die uns im Problem gegeben werden. Beginnen wir mit dem ersten Beispiel:

Offensichtlich fungiert die folgende Konstruktion als Produkt, oder genauer gesagt als Multiplikator: $((x)^(3))$, wir können es als $f$ betrachten, und $\left(x-5 \right) $ können wir als $g$ betrachten. Dann ist ihr Produkt genau das Produkt zweier Funktionen. Wir entscheiden:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Schauen wir uns nun jeden unserer Begriffe genauer an. Wir sehen, dass sowohl der erste als auch der zweite Term den Grad $x$ enthalten: Im ersten Fall ist er $((x)^(2))$ und im zweiten Fall ist er $((x)^(3)) $. Nehmen wir den kleinsten Grad aus der Klammer und lassen in Klammern stehen:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]

Das war's, wir haben die Antwort gefunden.

Kehren wir zu unseren Problemen zurück und versuchen sie zu lösen:

Also schreiben wir es um:

Wir stellen erneut fest, dass es sich um das Produkt des Produkts zweier Funktionen handelt: $x$, das mit $f$ bezeichnet werden kann, und $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, das mit $f$ bezeichnet werden kann mit $g$ bezeichnet werden.

Wir haben also wieder das Produkt zweier Funktionen vor uns. Um die Ableitung der Funktion $f\left(x \right)$ zu finden, verwenden wir erneut unsere Formel. Wir bekommen:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Die Antwort ist gefunden.

Warum Faktorderivate?

Wir haben gerade einige sehr wichtige mathematische Fakten verwendet, die an sich nichts mit Ableitungen zu tun haben, aber ohne deren Kenntnis macht jede weitere Untersuchung dieses Themas einfach keinen Sinn.

Nachdem wir zunächst das allererste Problem gelöst hatten und bereits alle Zeichen von Ableitungen beseitigt hatten, begannen wir aus irgendeinem Grund, diesen Ausdruck zu faktorisieren.

Zweitens sind wir bei der Lösung des folgenden Problems mehrmals von der Wurzel zur Potenz mit einem rationalen Exponenten und zurück gegangen und haben dabei die Formel der 8. bis 9. Klasse verwendet, die es wert wäre, separat wiederholt zu werden.

Was die Faktorisierung betrifft: Warum sind all diese zusätzlichen Anstrengungen und Transformationen erforderlich? Wenn die Aufgabe lediglich lautet: „Finde die Ableitung einer Funktion“, sind diese zusätzlichen Schritte nicht erforderlich. Bei realen Problemen, die in Prüfungen und Tests aller Art auf Sie warten, reicht es jedoch oft nicht aus, nur die Ableitung zu finden. Tatsache ist, dass die Ableitung nur ein Werkzeug ist, mit dem Sie beispielsweise die Zunahme oder Abnahme einer Funktion herausfinden können. Dazu müssen Sie die Gleichung lösen und faktorisieren. Und hier wird diese Technik sehr geeignet sein. Und im Allgemeinen ist es viel bequemer und angenehmer, mit einer Funktion zu arbeiten, die in der Zukunft faktorisiert wird, wenn Transformationen erforderlich sind. Daher Regel Nr. 1: Wenn die Ableitung faktorisiert werden kann, sollten Sie dies tun. Und sofort Regel Nr. 2 (im Wesentlichen handelt es sich hierbei um Material der 8. bis 9. Klasse): Wenn das Problem eine Wurzel enthält N-ter Grad, und die Wurzel ist eindeutig größer als zwei, dann kann diese Wurzel durch einen gewöhnlichen Grad mit einem rationalen Exponenten ersetzt werden, und im Exponenten erscheint ein Bruch, wobei N– genau dieser Grad – wird im Nenner dieses Bruchs stehen.

Natürlich, wenn unter der Wurzel ein Grad steht (in unserem Fall ist das der Grad). k), dann geht es nirgendwo hin, sondern landet einfach im Zähler genau dieses Grades.

Nachdem Sie das alles verstanden haben, kehren wir zu den Ableitungen des Produkts zurück und berechnen ein paar weitere Gleichungen.

Bevor ich jedoch direkt zu den Berechnungen übergehe, möchte ich Sie an die folgenden Muster erinnern:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Betrachten wir das erste Beispiel:

Wir haben wieder ein Produkt zweier Funktionen: Die erste ist $f$, die zweite ist $g$. Ich möchte Sie an die Formel erinnern:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Lass uns entscheiden:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Kommen wir zur zweiten Funktion:

Auch hier ist $\left(3x-2 \right)$ eine Funktion von $f$, $\cos x$ ist eine Funktion von $g$. Insgesamt ist die Ableitung des Produkts zweier Funktionen gleich:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Schreiben wir es separat auf:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Wir faktorisieren diesen Ausdruck nicht, da dies noch nicht die endgültige Antwort ist. Jetzt müssen wir den zweiten Teil lösen. Schreiben wir es auf:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Kehren wir nun zu unserer ursprünglichen Aufgabe zurück und fügen alles in einer einzigen Struktur zusammen:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

Das ist es, das ist die endgültige Antwort.

Kommen wir zum letzten Beispiel – es wird das komplexeste und umfangreichste in Bezug auf die Berechnungen sein. Also ein Beispiel:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Wir zählen jeden Teil einzeln:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Kehren wir zur ursprünglichen Funktion zurück und berechnen wir ihre Ableitung als Ganzes:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Das ist eigentlich alles, was ich Ihnen über die abgeleiteten Werke sagen wollte. Wie Sie sehen, besteht das Hauptproblem der Formel nicht darin, sie auswendig zu lernen, sondern darin, dass sie eine ziemlich große Menge an Berechnungen erfordert. Aber das ist in Ordnung, denn jetzt kommen wir zur Quotientenableitung, wo wir wirklich hart arbeiten müssen.

Was ist die Ableitung eines Quotienten?

Also die Formel für die Ableitung des Quotienten. Dies ist vielleicht die komplexeste Formel im Schulkurs über Derivate. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion der Form $\frac(f)(g)$, wobei $f$ und $g$ ebenfalls Funktionen sind, aus denen wir auch die Primzahl entfernen können. Dann wird es nach folgender Formel berechnet:

Der Zähler erinnert ein wenig an die Formel für die Ableitung eines Produkts, allerdings gibt es zwischen den Termen ein Minuszeichen und dem Nenner wurde auch das Quadrat des ursprünglichen Nenners hinzugefügt. Mal sehen, wie das in der Praxis funktioniert:

Versuchen wir zu lösen:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Ich schlage vor, jeden Teil einzeln aufzuschreiben und aufzuschreiben:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ rechts))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Schreiben wir unseren Ausdruck um:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right ))^(2))) \\\end(align)\]

Wir haben die Antwort gefunden. Kommen wir zur zweiten Funktion:

Aufgrund der Tatsache, dass sein Zähler einfach eins ist, werden die Berechnungen hier etwas einfacher sein. Also schreiben wir:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Berechnen wir jeden Teil des Beispiels einzeln:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Schreiben wir unseren Ausdruck um:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Wir haben die Antwort gefunden. Wie erwartet fiel der Rechenaufwand deutlich geringer aus als bei der ersten Funktion.

Was ist der Unterschied zwischen den Bezeichnungen?

Aufmerksame Studierende haben wahrscheinlich schon eine Frage: Warum bezeichnen wir die Funktion in manchen Fällen als $f\left(x \right)$ und in anderen Fällen schreiben wir einfach $y$? Tatsächlich gibt es aus mathematischer Sicht überhaupt keinen Unterschied – Sie haben das Recht, sowohl die erste als auch die zweite Bezeichnung zu verwenden, und es gibt keine Strafen bei Prüfungen oder Tests. Für diejenigen, die noch Interesse haben, erkläre ich, warum die Autoren von Lehrbüchern und Problemen in manchen Fällen $f\left(x \right)$ schreiben, in anderen (viel häufiger) einfach $y$. Tatsache ist, dass wir durch das Schreiben einer Funktion in der Form \ diejenigen, die unsere Berechnungen lesen, implizit darauf hinweisen, dass es sich speziell um die algebraische Interpretation der funktionalen Abhängigkeit handelt. Das heißt, es gibt eine bestimmte Variable $x$, wir betrachten die Abhängigkeit von dieser Variablen und bezeichnen sie als $f\left(x \right)$. Gleichzeitig wird derjenige, der Ihre Berechnungen liest, zum Beispiel der Inspektor, nach dem Anblick einer solchen Bezeichnung unbewusst erwarten, dass ihn in Zukunft nur noch algebraische Transformationen erwarten – keine Graphen und keine Geometrie.

Wenn wir andererseits Notationen der Form \ verwenden, also eine Variable mit einem einzigen Buchstaben bezeichnen, machen wir sofort deutlich, dass wir in Zukunft an der geometrischen Interpretation der Funktion interessiert sind, d. h., wir interessieren uns zunächst für alles in seiner Grafik. Dementsprechend hat der Leser bei einer Aufzeichnung der Form das Recht, grafische Berechnungen, also Diagramme, Konstruktionen usw., zu erwarten, auf keinen Fall jedoch analytische Transformationen.

Ich möchte Sie auch auf ein Merkmal der Gestaltung der Aufgaben aufmerksam machen, mit denen wir uns heute befassen. Viele Schüler finden, dass ich zu detaillierte Berechnungen anbiete, und viele davon könnten übersprungen oder einfach im Kopf gelöst werden. Doch gerade eine solche detaillierte Aufzeichnung ermöglicht es Ihnen, beleidigende Fehler loszuwerden und den Anteil richtig gelöster Probleme, beispielsweise bei der Selbstvorbereitung auf Tests oder Prüfungen, deutlich zu erhöhen. Wenn Sie sich also noch nicht sicher sind, was Sie können, und wenn Sie gerade erst anfangen, sich mit diesem Thema zu beschäftigen, beeilen Sie sich nicht – beschreiben Sie jeden Schritt im Detail, schreiben Sie jeden Faktor, jeden Strich auf, und schon bald werden Sie lernen, solche Beispiele besser zu lösen als viele Schullehrer. Ich hoffe, das ist klar. Zählen wir noch ein paar Beispiele.

Mehrere interessante Aufgaben

Diesmal ist, wie wir sehen, Trigonometrie in den berechneten Ableitungen vorhanden. Deshalb möchte ich Sie an Folgendes erinnern:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Auf die Ableitung des Quotienten können wir natürlich nicht verzichten, nämlich:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Betrachten wir die erste Funktion:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Wir haben also eine Lösung für diesen Ausdruck gefunden.

Kommen wir zum zweiten Beispiel:

Offensichtlich wird ihre Ableitung komplexer sein, schon allein deshalb, weil sowohl im Zähler als auch im Nenner dieser Funktion Trigonometrie vorhanden ist. Wir entscheiden:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Beachten Sie, dass wir eine Ableitung des Produkts haben. In diesem Fall ist es gleich:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ right))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Kehren wir zu unseren Berechnungen zurück. Wir schreiben auf:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben nachgerechnet.

Wie lässt sich die Ableitung eines Quotienten auf eine einfache Formel für die Ableitung eines Produkts reduzieren?

Und hier möchte ich eine sehr wichtige Bemerkung zu trigonometrischen Funktionen machen. Tatsache ist, dass unsere ursprüngliche Konstruktion einen Ausdruck der Form $\frac(\sin x)(\cos x)$ enthält, der leicht einfach durch $tgx$ ersetzt werden kann. Daher reduzieren wir die Ableitung eines Quotienten auf eine einfachere Formel für die Ableitung eines Produkts. Lassen Sie uns dieses Beispiel noch einmal berechnen und die Ergebnisse vergleichen.

Nun müssen wir Folgendes berücksichtigen:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Schreiben wir unsere ursprüngliche Funktion $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ unter Berücksichtigung dieser Tatsache neu. Wir bekommen:

Lass uns zählen:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Wenn wir nun das erhaltene Ergebnis mit dem vergleichen, was wir zuvor bei einer anderen Berechnung erhalten haben, werden wir überzeugt sein, dass wir den gleichen Ausdruck erhalten haben. Unabhängig davon, in welche Richtung wir bei der Berechnung der Ableitung gehen, ist die Antwort immer dieselbe, wenn alles richtig berechnet wird.

Wichtige Nuancen bei der Lösung von Problemen

Abschließend möchte ich Ihnen noch eine Feinheit im Zusammenhang mit der Berechnung der Ableitung eines Quotienten erläutern. Was ich Ihnen jetzt sagen werde, war nicht im Originalskript der Videolektion enthalten. Ein paar Stunden vor den Dreharbeiten saß ich jedoch mit einem meiner Studenten zusammen und wir diskutierten gerade über das Thema Quotientenableitungen. Und wie sich herausstellte, verstehen viele Studenten diesen Punkt nicht. Nehmen wir also an, wir müssen den Entfernungshub der folgenden Funktion berechnen:

Im Prinzip ist daran auf den ersten Blick nichts Übernatürliches. Allerdings können wir bei der Berechnung viele dumme und beleidigende Fehler machen, auf die ich jetzt eingehen möchte.

Also berechnen wir diese Ableitung. Zunächst stellen wir fest, dass wir den Term $3((x)^(2))$ haben, daher ist es angebracht, sich an die folgende Formel zu erinnern:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Darüber hinaus haben wir den Term $\frac(48)(x)$ – wir werden ihn durch die Ableitung des Quotienten behandeln, nämlich:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Also, lasst uns entscheiden:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Mit dem ersten Semester gibt es keine Probleme, siehe:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Aber mit dem ersten Term, $\frac(48)(x)$, müssen Sie separat arbeiten. Tatsache ist, dass viele Schüler die Situation verwechseln, wenn sie $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ finden müssen und wann sie $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Das heißt, sie geraten durcheinander, wenn die Konstante im Nenner und die Konstante im Zähler steht bzw. wenn die Variable im Zähler oder im Nenner steht.

Beginnen wir mit der ersten Option:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Wenn wir andererseits versuchen, dasselbe mit dem zweiten Bruch zu machen, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Dasselbe Beispiel könnte jedoch auch anders berechnet werden: In der Phase, in der wir zur Ableitung des Quotienten übergegangen sind, können wir $\frac(1)(x)$ als eine Potenz mit einem negativen Exponenten betrachten, d. h. wir erhalten Folgendes :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Und so, und so erhielten wir die gleiche Antwort.

Somit sind wir erneut von zwei wichtigen Tatsachen überzeugt. Erstens kann dieselbe Ableitung auf völlig unterschiedliche Weise berechnet werden. Beispielsweise kann $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ sowohl als Ableitung eines Quotienten als auch als Ableitung einer Potenzfunktion betrachtet werden. Wenn außerdem alle Berechnungen korrekt durchgeführt werden, ist die Antwort immer dieselbe. Zweitens ist es bei der Berechnung von Ableitungen, die sowohl eine Variable als auch eine Konstante enthalten, grundsätzlich wichtig, wo sich die Variable befindet – im Zähler oder im Nenner. Im ersten Fall, wenn die Variable im Zähler steht, erhalten wir eine einfache lineare Funktion, die leicht berechnet werden kann. Und wenn die Variable im Nenner steht, erhalten wir mit den zuvor angegebenen begleitenden Berechnungen einen komplexeren Ausdruck.

An diesem Punkt kann die Lektion als abgeschlossen betrachtet werden. Wenn Sie also nichts über die Ableitungen eines Quotienten oder eines Produkts verstehen und generell Fragen zu diesem Thema haben, zögern Sie nicht – besuchen Sie meine Website , schreiben Sie, rufen Sie an und ich werde es auf jeden Fall versuchen. Kann ich Ihnen helfen?

Derivate an sich sind kein komplexes Thema, aber sie sind sehr umfangreich, und das, was wir jetzt studieren, wird in Zukunft zur Lösung komplexerer Probleme verwendet. Deshalb ist es besser, alle Missverständnisse im Zusammenhang mit der Berechnung von Ableitungen eines Quotienten oder eines Produkts sofort zu erkennen. Nicht, wenn es sich um einen riesigen Schneeball aus Missverständnissen handelt, sondern wenn es sich um einen kleinen Tennisball handelt, mit dem man leicht umgehen kann.

Folgt man der Definition, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion Δ j zum Argumentinkrement Δ X:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, diese Formel zu verwenden, um beispielsweise die Ableitung der Funktion zu berechnen F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X Sünde X. Wenn Sie alles per Definition machen, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Möglichkeiten.

Zunächst stellen wir fest, dass wir aus der gesamten Funktionsvielfalt die sogenannten Elementarfunktionen unterscheiden können. Dabei handelt es sich um relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen schon seit langem berechnet und tabelliert werden. Solche Funktionen sind – zusammen mit ihren Ableitungen – recht einfach zu merken.

Ableitungen elementarer Funktionen

Zu den Elementarfunktionen zählen alle nachfolgend aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwer, sie auswendig zu lernen – deshalb sind sie elementar.

Also Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	F(X) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Potenz mit rationalem Exponenten	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = Sünde X	cos X
Kosinus	F(X) = cos X	−Sünde X(minus Sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Natürlicher Logarithmus	F(X) = log X	1/X
Beliebiger Logarithmus	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Exponentialfunktion	F(X) = e X	e X(nichts hat sich geändert)

Wird eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Zum Beispiel:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Selbstverständlich lassen sich Elementarfunktionen addieren, multiplizieren, dividieren – und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr besonders elementar, sondern nach bestimmten Regeln differenziert. Diese Regeln werden im Folgenden besprochen.

Ableitung von Summe und Differenz

Die Funktionen seien gegeben F(X) Und G(X), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher der Unterschied F − G kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) G, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

F(X) = X 2 + Sünde x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funktion F(X) ist die Summe zweier Elementarfunktionen, also:

F ’(X) = (X 2 + Sünde X)’ = (X 2)’ + (Sünde X)’ = 2X+ cos x;

Wir argumentieren ähnlich für die Funktion G(X). Nur gibt es bereits drei Begriffe (aus algebraischer Sicht):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Antwort:
F ’(X) = 2X+ cos x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat des Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, daher glauben viele Menschen, dass, wenn die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts gleich ist schlagen">entspricht dem Produkt von Ableitungen. Aber scheiß drauf! Die Ableitung eines Produkts wird nach einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Die Folge sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = X 3 cos x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funktion F(X) ist das Produkt zweier Elementarfunktionen, also ist alles einfach:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)‘ weil X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− Sünde X) = X 2 (3cos X − X Sünde X)

Funktion G(X) Der erste Multiplikator ist etwas komplizierter, aber das allgemeine Schema ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Faktor der Funktion G(X) ist ein Polynom und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)‘ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Antwort:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Sünde X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht erforderlich, die meisten Ableitungen werden jedoch nicht allein berechnet, sondern zur Untersuchung der Funktion. Das bedeutet, dass die Ableitung weiter mit Null gleichgesetzt wird, ihre Vorzeichen bestimmt werden und so weiter. In einem solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck faktorisieren zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(X) Und G(X), Und G(X) ≠ 0 auf der Menge, die uns interessiert, können wir eine neue Funktion definieren H(X) = F(X)/G(X). Für eine solche Funktion kann man auch die Ableitung finden:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum G 2? Und so! Dies ist eine der komplexesten Formeln – ohne eine Flasche kommt man nicht dahinter. Daher ist es besser, es anhand konkreter Beispiele zu studieren.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Zähler und Nenner jedes Bruchs enthalten Elementarfunktionen, wir brauchen also nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Der Tradition zufolge faktorisieren wir den Zähler – das wird die Antwort erheblich vereinfachen:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Es reicht beispielsweise aus, die Funktion zu übernehmen F(X) = Sünde X und ersetzen Sie die Variable X, sagen wir, auf X 2 + ln X. Es klappt F(X) = Sünde ( X 2 + ln X) – das ist eine komplexe Funktion. Es gibt auch eine Ableitung, die jedoch mit den oben besprochenen Regeln nicht gefunden werden kann.

Was soll ich machen? In solchen Fällen hilft das Ersetzen einer Variablen und einer Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(X) = F ’(T) · T', Wenn X wird ersetzt durch T(X).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es anhand konkreter Beispiele zu erklären und jeden Schritt detailliert zu beschreiben.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = Sünde ( X 2 + ln X)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(X) anstelle von Ausdruck 2 X+ 3 wird einfach sein X, dann erhalten wir eine Elementarfunktion F(X) = e X. Deshalb machen wir einen Ersatz: sei 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Wir suchen nach der Ableitung einer komplexen Funktion mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt – Achtung! Wir führen den umgekehrten Ersatz durch: T = 2X+ 3. Wir erhalten:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an G(X). Offensichtlich muss es ersetzt werden X 2 + ln X = T. Wir haben:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (Sünde T)’ · T’ = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = X 2 + ln X. Dann:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das gesamte Problem auf die Berechnung der Ableitungssumme reduziert.

Antwort:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) weil ( X 2 + ln X).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Primzahl“. Beispielsweise ist der Strich der Summe gleich der Summe der Striche. Ist das klarer? Das ist gut.

Bei der Berechnung der Ableitung kommt es also darauf an, dieselben Striche gemäß den oben besprochenen Regeln zu entfernen. Als letztes Beispiel kehren wir zur Ableitungspotenz mit einem rationalen Exponenten zurück:

(X N)’ = N · X N − 1

Das wissen nur wenige Menschen in der Rolle N kann durchaus eine Bruchzahl sein. Zum Beispiel ist die Wurzel X 0,5. Was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas Ausgefallenes befindet? Auch hier wird das Ergebnis eine komplexe Funktion sein – solche Konstruktionen gibt man gerne in Tests und Prüfungen an.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Schreiben wir zunächst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Jetzt machen wir einen Ersatz: let X 2 + 8X − 7 = T. Wir finden die Ableitung mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)‘ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Machen wir die umgekehrte Ersetzung: T = X 2 + 8X− 7. Wir haben:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Zum Schluss zurück zu den Wurzeln:

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Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

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Das Lösen physikalischer Probleme oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und der Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte in der mathematischen Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , angegeben in einem bestimmten Intervall (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern – der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit, den schwierigsten Test zu lösen und die Aufgaben zu verstehen, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.

Die Funktionen u seien in einer bestimmten Umgebung eines Punktes definiert und hätten dort Ableitungen. Dann hat ihr Produkt an dem Punkt eine Ableitung, die durch die Formel bestimmt wird:
(1) .

Nachweisen

Führen wir die folgende Notation ein:
;
.
Hier und sind Funktionen der Variablen und . Zur Vereinfachung der Notation verzichten wir jedoch auf die Bezeichnungen ihrer Argumente.

Als nächstes bemerken wir das
;
.
Gemäß der Bedingung haben die Funktionen und an dem Punkt Ableitungen, die die folgenden Grenzen haben:
;
.
Aus der Existenz von Ableitungen folgt, dass die Funktionen und im Punkt stetig sind. Deshalb
;
.

Betrachten Sie die Funktion y der Variablen x, die das Produkt der Funktionen und ist:
.
Betrachten wir das Inkrement dieser Funktion an der Stelle:

.
Jetzt finden wir die Ableitung:

.

Also,
.
Die Regel hat sich bewährt.

Anstelle einer Variablen können Sie auch jede andere Variable verwenden. Bezeichnen wir es als x. Wenn es dann Ableitungen gibt und , dann wird die Ableitung des Produkts zweier Funktionen durch die Formel bestimmt:
.
Oder in einer kürzeren Version
(1) .

Folge

Es seien Funktionen der unabhängigen Variablen x. Dann
;
;
usw. ...

Lassen Sie uns die erste Formel beweisen. Zuerst wenden wir die Produktableitungsformel (1) für die Funktionen und an und dann für die Funktionen und:

.

Andere ähnliche Formeln werden auf ähnliche Weise bewiesen.