2 ist eine irrationale Zahl. Irrationale Zahlen, Definition, Beispiele

Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Buchstaben N bezeichnet. Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir Objekte zählen: 1,2,3,4, ... In einigen Quellen wird auch die Zahl 0 als natürliche Zahl betrachtet.

Die Menge aller ganzen Zahlen wird mit dem Buchstaben Z bezeichnet. Ganze Zahlen sind alle natürlichen Zahlen, Null und negative Zahlen:

1,-2,-3, -4, …

Fügen wir nun zur Menge aller ganzen Zahlen die Menge aller gewöhnlichen Brüche hinzu: 2/3, 18/17, -4/5 und so weiter. Dann erhalten wir die Menge aller rationalen Zahlen.

Satz rationaler Zahlen

Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Buchstaben Q bezeichnet. Die Menge aller rationalen Zahlen (Q) ist eine Menge bestehend aus Zahlen der Form m/n, -m/n und der Zahl 0. Als Funktion kann jede natürliche Zahl fungieren n,m. Es ist zu beachten, dass alle rationalen Zahlen als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden können. Umgekehrt gilt auch, dass jeder endliche oder unendliche periodische Dezimalbruch als rationale Zahl geschrieben werden kann.

Aber wie wäre es zum Beispiel mit der Zahl 2.0100100010...? Es ist ein unendlich NICHTPERIODISCHER Dezimalbruch. Und es gilt nicht für rationale Zahlen.

Im Schulalgebrakurs werden nur reelle (oder reelle) Zahlen studiert. Die Menge aller reellen Zahlen wird mit dem Buchstaben R bezeichnet. Die Menge R besteht aus allen rationalen und allen irrationalen Zahlen.

Das Konzept der irrationalen Zahlen

Irrationale Zahlen sind alle unendlichen dezimalen nichtperiodischen Brüche. Irrationale Zahlen haben keine besondere Bezeichnung.

Beispielsweise sind alle Zahlen, die man durch Ziehen der Quadratwurzel aus natürlichen Zahlen erhält, die keine Quadrate natürlicher Zahlen sind, irrational. (√2, √3, √5, √6 usw.).

Aber denken Sie nicht, dass irrationale Zahlen nur durch das Ziehen von Quadratwurzeln erhalten werden. Beispielsweise ist die Zahl „pi“ ebenfalls irrational und wird durch Division erhalten. Und ganz gleich, wie sehr Sie sich auch bemühen, Sie können es nicht erreichen, indem Sie die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl ziehen.

Und sie leiteten ihre Wurzeln vom lateinischen Wort „ratio“ ab, was „Vernunft“ bedeutet. Basierend auf der wörtlichen Übersetzung:

• Eine rationale Zahl ist eine „vernünftige Zahl“.
• Eine irrationale Zahl ist dementsprechend eine „unvernünftige Zahl“.

Allgemeines Konzept einer rationalen Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die wie folgt geschrieben werden kann:

1. Ein gewöhnlicher positiver Bruch.
2. Negativer gemeinsamer Bruch.
3. Als Zahl Null (0).

Mit anderen Worten, die folgenden Definitionen gelten für eine rationale Zahl:

• Jede natürliche Zahl ist von Natur aus rational, da jede natürliche Zahl als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann.
• Jede ganze Zahl, einschließlich der Zahl Null, da jede ganze Zahl entweder als positiver gewöhnlicher Bruch, als negativer gewöhnlicher Bruch oder als Zahl Null geschrieben werden kann.
• Auch jeder gewöhnliche Bruch, egal ob positiv oder negativ, nähert sich direkt der Definition einer rationalen Zahl.
• Die Definition kann auch eine gemischte Zahl, einen endlichen Dezimalbruch oder einen unendlichen periodischen Bruch umfassen.

Beispiele für rationale Zahlen

Schauen wir uns Beispiele für rationale Zahlen an:

• Natürliche Zahlen – „4“, „202“, „200“.
• Ganzzahlen – „-36“, „0“, „42“.
• Gewöhnliche Brüche.

Aus den obigen Beispielen geht das ganz klar hervor Rationale Zahlen können sowohl positiv als auch negativ sein. Natürlich gehört die Zahl 0 (Null), die wiederum auch eine rationale Zahl ist, gleichzeitig nicht zur Kategorie einer positiven oder negativen Zahl.

Daher möchte ich das allgemeine Bildungsprogramm an die folgende Definition erinnern: „Rationale Zahlen“ sind jene Zahlen, die als Bruch x/y geschrieben werden können, wobei x (Zähler) eine ganze Zahl und y (Nenner) a ist natürliche Zahl.

Allgemeines Konzept und Definition einer irrationalen Zahl

Neben „rationalen Zahlen“ kennen wir auch die sogenannten „irrationalen Zahlen“. Versuchen wir kurz, diese Zahlen zu definieren.

Sogar antike Mathematiker, die die Diagonale eines Quadrats entlang seiner Seiten berechnen wollten, erfuhren von der Existenz einer irrationalen Zahl.
Basierend auf der Definition rationaler Zahlen können Sie eine logische Kette aufbauen und eine Definition einer irrationalen Zahl angeben.
Im Wesentlichen sind also die reellen Zahlen, die nicht rational sind, einfach irrationale Zahlen.
Dezimalbrüche, die irrationale Zahlen ausdrücken, sind nicht periodisch und unendlich.

Beispiele für eine irrationale Zahl

Betrachten wir der Klarheit halber ein kleines Beispiel einer irrationalen Zahl. Wie wir bereits verstanden haben, werden unendliche dezimale nichtperiodische Brüche als irrationale Brüche bezeichnet, zum Beispiel:

• Die Zahl „-5.020020002...“ (Es ist deutlich zu erkennen, dass die Zweien durch eine Folge von eins, zwei, drei usw. Nullen getrennt sind)
• Die Zahl „7.040044000444...“ (hier wird deutlich, dass sich die Anzahl der Vieren und die Anzahl der Nullen in einer Kette jedes Mal um eins erhöht).
• Jeder kennt die Zahl Pi (3,1415...). Ja, ja – es ist auch irrational.

Im Allgemeinen sind alle reellen Zahlen sowohl rational als auch irrational. Vereinfacht ausgedrückt kann eine irrationale Zahl nicht als gemeinsamer Bruch x/y dargestellt werden.

Allgemeine Schlussfolgerung und kurzer Vergleich zwischen Zahlen

Wir haben uns jede Zahl einzeln angesehen, aber der Unterschied zwischen einer rationalen und einer irrationalen Zahl bleibt bestehen:

1. Eine irrationale Zahl entsteht beim Ziehen der Quadratwurzel, beim Teilen eines Kreises durch seinen Durchmesser usw.
2. Eine rationale Zahl stellt einen gemeinsamen Bruch dar.

Lassen Sie uns unseren Artikel mit ein paar Definitionen abschließen:

• Eine andere arithmetische Operation an einer rationalen Zahl als die Division durch 0 (Null) führt letztendlich zu einer rationalen Zahl.
• Das Endergebnis einer arithmetischen Operation mit einer irrationalen Zahl kann sowohl zu einem rationalen als auch zu einem irrationalen Wert führen.
• Wenn beide Zahlen an einer arithmetischen Operation beteiligt sind (außer Division oder Multiplikation mit Null), dann ist das Ergebnis eine irrationale Zahl.

Alle rationalen Zahlen können als gemeinsamer Bruch dargestellt werden. Dies gilt für ganze Zahlen (z. B. 12, –6, 0) und endliche Dezimalbrüche (z. B. 0,5; –3,8921) und unendliche periodische Dezimalbrüche (z. B. 0,11(23); –3 ,(87). )).

Jedoch unendliche nichtperiodische Dezimalzahlen können nicht als gewöhnliche Brüche dargestellt werden. Das sind sie irrationale Zahlen(das heißt, irrational). Ein Beispiel für eine solche Zahl ist die Zahl π, die ungefähr 3,14 beträgt. Was sie genau bedeutet, kann jedoch nicht bestimmt werden, da nach der Zahl 4 eine endlose Reihe weiterer Zahlen folgt, in denen sich wiederholende Perioden nicht unterschieden werden können. Darüber hinaus hat die Zahl π, obwohl sie nicht präzise ausgedrückt werden kann, eine spezifische geometrische Bedeutung. Die Zahl π ist das Verhältnis der Länge eines Kreises zur Länge seines Durchmessers. Somit gibt es in der Natur tatsächlich irrationale Zahlen, genau wie rationale Zahlen.

Ein weiteres Beispiel für irrationale Zahlen sind die Quadratwurzeln positiver Zahlen. Das Ziehen von Wurzeln aus einigen Zahlen ergibt rationale Werte, aus anderen irrationale Werte. Zum Beispiel ist √4 = 2, d. h. die Wurzel aus 4 ist eine rationale Zahl. Aber √2, √5, √7 und viele andere führen zu irrationalen Zahlen, das heißt, sie können nur durch Näherung ermittelt werden, indem auf eine bestimmte Dezimalstelle gerundet wird. In diesem Fall wird der Bruch nichtperiodisch. Das heißt, es ist unmöglich, genau und definitiv zu sagen, was die Wurzel dieser Zahlen ist.

Also ist √5 eine Zahl, die zwischen den Zahlen 2 und 3 liegt, da √4 = 2 und √9 = 3. Wir können auch schließen, dass √5 näher an 2 als an 3 liegt, da √4 näher an √5 liegt als √9 bis √5. Tatsächlich ist √5 ≈ 2,23 oder √5 ≈ 2,24.

Irrationale Zahlen werden auch in anderen Berechnungen (und nicht nur beim Ziehen von Wurzeln) erhalten und können negativ sein.

In Bezug auf irrationale Zahlen können wir sagen, dass wir unabhängig davon, welches Einheitssegment wir zur Messung der durch eine solche Zahl ausgedrückten Länge verwenden, diese nicht definitiv messen können.

An arithmetischen Operationen können neben rationalen auch irrationale Zahlen beteiligt sein. Gleichzeitig gibt es eine Reihe von Regelmäßigkeiten. Wenn beispielsweise an einer arithmetischen Operation nur rationale Zahlen beteiligt sind, ist das Ergebnis immer eine rationale Zahl. Wenn an der Operation nur irrationale Zahlen beteiligt sind, kann nicht eindeutig gesagt werden, ob das Ergebnis eine rationale oder irrationale Zahl sein wird.

Wenn Sie beispielsweise zwei irrationale Zahlen √2 * √2 multiplizieren, erhalten Sie 2 – das ist eine rationale Zahl. Andererseits ist √2 * √3 = √6 eine irrationale Zahl.

Wenn eine arithmetische Operation rationale und irrationale Zahlen umfasst, ist das Ergebnis irrational. Zum Beispiel: 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Warum ist √17 – 4 eine irrationale Zahl? Stellen wir uns vor, wir erhalten eine rationale Zahl x. Dann ist √17 = x + 4. Aber x + 4 ist eine rationale Zahl, weil wir angenommen haben, dass x rational ist. Die Zahl 4 ist ebenfalls rational, also ist x + 4 rational. Allerdings kann eine rationale Zahl nicht gleich der irrationalen Zahl √17 sein. Daher ist die Annahme, dass √17 – 4 ein rationales Ergebnis liefert, falsch. Das Ergebnis einer arithmetischen Operation wird irrational sein.

Es gibt jedoch eine Ausnahme von dieser Regel. Wenn wir eine irrationale Zahl mit 0 multiplizieren, erhalten wir die rationale Zahl 0.

Und π

Somit ist die Menge der irrationalen Zahlen die Differenz I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) Mengen reeller und rationaler Zahlen.

Die Existenz irrationaler Zahlen, genauer gesagt von Segmenten, die mit einem Segment der Einheitslänge inkommensurabel sind, war bereits den antiken Mathematikern bekannt: Sie kannten beispielsweise die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite eines Quadrats, was der Irrationalität von entspricht die Nummer 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Eigenschaften

• Die Summe zweier positiver irrationaler Zahlen kann eine rationale Zahl sein.
• Irrationale Zahlen definieren Dedekind-Abschnitte in der Menge der rationalen Zahlen, die in der Unterklasse keine größte Zahl und in der Oberklasse keine kleinste Zahl haben.
• Die Menge der irrationalen Zahlen ist überall auf der Zahlengeraden dicht: Zwischen zwei beliebigen unterschiedlichen Zahlen gibt es eine irrationale Zahl.
• Die Ordnung auf der Menge der irrationalen Zahlen ist isomorph zur Ordnung auf der Menge der reellen transzendenten Zahlen. [ ]

Algebraische und transzendente Zahlen

Jede irrationale Zahl ist entweder algebraisch oder transzendental. Die Menge der algebraischen Zahlen ist eine abzählbare Menge. Da die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist, ist auch die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar.

Die Menge der irrationalen Zahlen ist eine Menge der zweiten Kategorie.

Quadrieren wir die vermeintliche Gleichheit:

Geschichte

Antike

Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit von indischen Mathematikern übernommen, als Manava (ca. 750-690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen, wie 2 und 61, nicht explizit ausgedrückt werden konnten [ ] .

Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen, genauer gesagt für die Existenz inkommensurabler Segmente, wird üblicherweise dem pythagoräischen Hippasus von Metapontum (ca. 470 v. Chr.) zugeschrieben. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gab, die ausreichend klein und unteilbar war und eine ganze Zahl von Zeiten in jedem Segment umfasste [ ] .

Es gibt keine genauen Daten darüber, welche Zahl Hippasus als irrational erwies. Der Legende nach fand er es, indem er die Längen der Seiten des Pentagramms untersuchte. Daher ist es vernünftig anzunehmen, dass es sich hierbei um den Goldenen Schnitt handelte, da dies das Verhältnis der Diagonale zur Seite in einem regelmäßigen Fünfeck ist.

Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen alogos(unaussprechlich), aber den Legenden zufolge zollten sie Hippasus nicht den gebührenden Respekt. Einer Legende zufolge machte Hippasus die Entdeckung während einer Seereise und wurde von anderen Pythagoräern über Bord geworfen, „weil er ein Element des Universums geschaffen hatte, das die Lehre leugnet, dass alle Entitäten im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können“. Die Entdeckung von Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernstes Problem und zerstörte die zugrunde liegende Annahme, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar seien.

Später entwickelte Eudoxos von Knidos (410 oder 408 v. Chr. – 355 oder 347 v. Chr.) eine Proportionstheorie, die sowohl rationale als auch irrationale Beziehungen berücksichtigte. Dies diente als Grundlage für das Verständnis des grundlegenden Wesens irrationaler Zahlen. Man begann, die Menge nicht mehr als Zahl, sondern als Bezeichnung von Einheiten wie Liniensegmenten, Winkeln, Flächen, Volumina, Zeitintervallen zu betrachten – Einheiten, die sich kontinuierlich ändern können (im modernen Sinne des Wortes). Größen wurden Zahlen gegenübergestellt, die sich nur durch „Sprünge“ von einer Zahl zur nächsten ändern können, beispielsweise von 4 auf 5. Zahlen bestehen aus der kleinsten unteilbaren Größe, während Mengen unbegrenzt reduziert werden können.

Da kein quantitativer Wert mit der Größe korreliert war, konnte Eudoxus sowohl entsprechende als auch inkommensurable Größen abdecken, indem er einen Bruch als das Verhältnis zweier Größen und einen Anteil als die Gleichheit zweier Brüche definierte. Indem er quantitative Werte (Zahlen) aus den Gleichungen entfernte, vermied er die Falle, eine irrationale Größe als Zahl bezeichnen zu müssen. Die Theorie von Eudoxos ermöglichte den griechischen Mathematikern unglaubliche Fortschritte in der Geometrie und lieferte ihnen die notwendige logische Grundlage für die Arbeit mit inkommensurablen Größen. Das zehnte Buch von Euklids Elementen ist der Klassifizierung irrationaler Größen gewidmet.

Mittelalter

Das Mittelalter war geprägt von der Übernahme von Konzepten wie Null, negativen Zahlen, ganzen Zahlen und Brüchen, zunächst durch indische und dann durch chinesische Mathematiker. Später schlossen sich arabische Mathematiker an und betrachteten als erste negative Zahlen (zusammen mit positiven Zahlen) als algebraische Objekte, was die Entwicklung der Disziplin ermöglichte, die heute Algebra genannt wird.

Arabische Mathematiker kombinierten die antiken griechischen Konzepte „Zahl“ und „Größe“ zu einer einzigen, allgemeineren Vorstellung von reellen Zahlen. Sie standen Euklids Relationsvorstellungen kritisch gegenüber; im Gegensatz dazu entwickelten sie eine Theorie der Relationen beliebiger Größen und erweiterten den Zahlbegriff auf Relationen kontinuierlicher Größen. In seinem Kommentar zu Euklids Buch 10 „Elemente“ erforschte und klassifizierte der persische Mathematiker Al Makhani (ca. 800 n. Chr.) quadratische irrationale Zahlen (Zahlen der Form) und die allgemeineren kubischen irrationalen Zahlen. Er definierte rationale und irrationale Größen, die er irrationale Zahlen nannte. Er arbeitete problemlos mit diesen Objekten, sprach jedoch über sie als separate Objekte, zum Beispiel:

Im Gegensatz zu Euklids Konzept, dass Größen in erster Linie Liniensegmente sind, betrachtete Al Makhani ganze Zahlen und Brüche als rationale Größen und Quadrat- und Kubikwurzeln als irrationale Größen. Er führte auch den arithmetischen Ansatz für die Menge der irrationalen Zahlen ein, da er es war, der die Irrationalität der folgenden Größen zeigte:

Der ägyptische Mathematiker Abu Kamil (ca. 850 n. Chr. – ca. 930 n. Chr.) hielt es als erster für akzeptabel, irrationale Zahlen als Lösungen quadratischer Gleichungen oder als Koeffizienten in Gleichungen zu erkennen – im Allgemeinen in quadratischer oder kubischer Form, Wurzeln sowie Wurzeln des vierten Grades. Im 10. Jahrhundert lieferte der irakische Mathematiker Al Hashimi allgemeine Beweise (anstelle visueller geometrischer Demonstrationen) für die Irrationalität des Produkts, des Quotienten und der Ergebnisse anderer mathematischer Transformationen über irrationale und rationale Zahlen. Al Khazin (900 n. Chr. – 971 n. Chr.) gibt die folgende Definition der rationalen und irrationalen Größe:

Viele dieser Ideen wurden später von europäischen Mathematikern übernommen, nachdem sie im 12. Jahrhundert arabische Texte ins Lateinische übersetzt hatten. Al Hassar, ein arabischer Mathematiker aus dem Maghreb, der sich auf islamische Erbgesetze spezialisierte, führte im 12. Jahrhundert die moderne symbolische mathematische Notation für Brüche ein, bei der Zähler und Nenner durch einen horizontalen Balken geteilt wurden. Die gleiche Notation tauchte dann im 13. Jahrhundert in den Werken von Fibonacci auf. Während des XIV.-XVI. Jahrhunderts. Madhava von Sangamagrama und Vertreter der Kerala School of Astronomy and Mathematics untersuchten unendliche Reihen, die gegen bestimmte irrationale Zahlen wie π konvergierten, und zeigten auch die Irrationalität bestimmter trigonometrischer Funktionen. Jestadeva präsentierte diese Ergebnisse im Buch Yuktibhaza. (und beweist gleichzeitig die Existenz transzendentaler Zahlen) und überdenkt damit die Arbeit von Euklid zur Klassifizierung irrationaler Zahlen. Arbeiten zu diesem Thema wurden 1872 veröffentlicht

Kettenbrüche, die eng mit irrationalen Zahlen verwandt sind (ein Kettenbruch, der eine gegebene Zahl darstellt, ist genau dann unendlich, wenn die Zahl irrational ist), wurden erstmals 1613 von Cataldi erforscht und erlangten dann erneut Aufmerksamkeit im Werk von Euler und im Anfang des 19. Jahrhunderts - in den Werken von Lagrange. Dirichlet leistete auch bedeutende Beiträge zur Entwicklung der Theorie der Kettenbrüche. Im Jahr 1761 verwendete Lambert Kettenbrüche, um dies zu zeigen π (\displaystyle \pi ) ist keine rationale Zahl, und auch das e x (\displaystyle e^(x)) Und tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) sind für jeden rationalen Wert ungleich Null irrational x (\displaystyle x). Obwohl Lamberts Beweis als unvollständig bezeichnet werden kann, gilt er allgemein als recht streng, insbesondere angesichts der Zeit, als er geschrieben wurde. Legendre zeigte dies im Jahr 1794, nachdem er die Bessel-Clifford-Funktion eingeführt hatte π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) irrational, woher kommt die Irrationalität? π (\displaystyle \pi ) folgt trivial (eine rationale Zahl im Quadrat würde eine rationale ergeben).

Die Existenz transzendenter Zahlen wurde 1844–1851 von Liouville nachgewiesen. Später zeigte Georg Cantor (1873) ihre Existenz mit einer anderen Methode und argumentierte, dass jedes Intervall der reellen Reihe unendlich viele transzendente Zahlen enthält. Charles Hermite bewies das 1873 e transzendental, und Ferdinand Lindemann zeigte 1882, basierend auf diesem Ergebnis, Transzendenz π (\displaystyle \pi ) Literatur

Die Menge der irrationalen Zahlen wird üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet ich (\displaystyle \mathbb (I) ) im fetten Stil ohne Schattierung. Auf diese Weise: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), das heißt, die Menge der irrationalen Zahlen ist die Differenz zwischen den Mengen reeller und rationaler Zahlen.

Die Existenz irrationaler Zahlen, genauer gesagt von Segmenten, die mit einem Segment der Einheitslänge inkommensurabel sind, war bereits den antiken Mathematikern bekannt: Sie kannten beispielsweise die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite eines Quadrats, was der Irrationalität von entspricht die Nummer.

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  Irrational sind:

  Beispiele für den Beweis der Irrationalität

  Wurzel von 2

  Nehmen wir das Gegenteil an: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rational, also als Bruch dargestellt m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Wo m (\displaystyle m) ist eine ganze Zahl und n (\displaystyle n)- natürliche Zahl .

  Quadrieren wir die vermeintliche Gleichheit:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Geschichte

  Antike

  Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit von indischen Mathematikern übernommen, als Manava (ca. 750 v. Chr. – ca. 690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können [ ] .

  Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird üblicherweise Hippasus von Metapontos (ca. 500 v. Chr.), einem Pythagoräer, zugeschrieben. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gab, die ausreichend klein und unteilbar war und eine ganze Zahl von Zeiten in jedem Segment umfasste [ ] .

  Es gibt keine genauen Daten darüber, welche Zahl Hippasus als irrational erwies. Der Legende nach fand er es, indem er die Längen der Seiten des Pentagramms untersuchte. Daher ist es vernünftig anzunehmen, dass dies der Goldene Schnitt war [ ] .

  Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen alogos(unaussprechlich), aber den Legenden zufolge zollten sie Hippasus nicht den gebührenden Respekt. Einer Legende zufolge machte Hippasus die Entdeckung während einer Seereise und wurde von anderen Pythagoräern über Bord geworfen, „weil er ein Element des Universums geschaffen hatte, das die Lehre leugnet, dass alle Entitäten im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können“. Die Entdeckung von Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernstes Problem und zerstörte die zugrunde liegende Annahme, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar seien.