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Beispiele für irrationale Zahlen. Rationale und irrationale Zahlen: Beschreibung und wie unterscheiden sie sich? Zahlen sind nicht irrational

Irrationale Zahl- Das reelle Zahl, was nicht rational ist, das heißt, es kann nicht als Bruch dargestellt werden, wo ganze Zahlen sind, . Eine irrationale Zahl kann als unendlicher nichtperiodischer Dezimalbruch dargestellt werden.

Die Menge der irrationalen Zahlen wird normalerweise durch einen großen lateinischen Buchstaben in Fettschrift ohne Schattierung gekennzeichnet. Also: , d.h. Es gibt viele irrationale Zahlen Unterschied zwischen den Mengen reeller und rationaler Zahlen.

Genauer gesagt über die Existenz irrationaler Zahlen Segmente, die mit einem Segment der Einheitslänge inkommensurabel sind, waren bereits den antiken Mathematikern bekannt: Sie kannten beispielsweise die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite des Quadrats, was der Irrationalität der Zahl entspricht.

Eigenschaften

Jede reelle Zahl kann als unendlicher Dezimalbruch geschrieben werden, während irrationale Zahlen und nur sie als nichtperiodische unendliche Dezimalbrüche geschrieben werden.
Irrationale Zahlen definieren Dedekind-Schnitte in der Menge rationaler Zahlen, die in der Unterklasse keine größte Zahl und in der Oberklasse keine kleinste Zahl haben.
Jede reelle transzendente Zahl ist irrational.
Jede irrationale Zahl ist entweder algebraisch oder transzendental.
Die Menge der irrationalen Zahlen ist überall auf der Zahlengeraden dicht: Zwischen zwei beliebigen Zahlen liegt eine irrationale Zahl.
Die Ordnung auf der Menge der irrationalen Zahlen ist isomorph zur Ordnung auf der Menge der reellen transzendenten Zahlen.
Die Menge der irrationalen Zahlen ist überzählbar und gehört zur zweiten Kategorie.

Beispiele

Irrationale Zahlen
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Irrational sind:

Beispiele für den Beweis der Irrationalität

Wurzel von 2

Nehmen wir das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird in Form eines irreduziblen Bruchs dargestellt, wobei es sich um eine ganze Zahl und um eine natürliche Zahl handelt. Quadrieren wir die vermeintliche Gleichheit:

Daraus folgt, dass gerade gerade und ist. Lass es dort sein, wo das Ganze ist. Dann

Daher bedeutet gerade gerade und . Wir haben festgestellt, dass und gerade sind, was der Irreduzibilität des Bruchs widerspricht. Dies bedeutet, dass die ursprüngliche Annahme falsch war und es sich um eine irrationale Zahl handelt.

Binärer Logarithmus der Zahl 3

Nehmen wir das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als Bruch dargestellt, wobei und ganze Zahlen sind. Da , und positiv gewählt werden können. Dann

Aber gerade und ungerade. Wir erhalten einen Widerspruch.

e

Geschichte

Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit von indischen Mathematikern übernommen, als Manava (ca. 750 v. Chr. – ca. 690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können .

Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird üblicherweise Hippasus von Metapontos (ca. 500 v. Chr.) zugeschrieben, einem Pythagoräer, der diesen Beweis fand, indem er die Längen der Seiten des Pentagramms untersuchte. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gab, die ausreichend klein und unteilbar war und ganzzahlig oft in jedes Segment eindrang. Hippasus argumentierte jedoch, dass es keine einzelne Längeneinheit gebe, da die Annahme ihrer Existenz zu einem Widerspruch führe. Er zeigte, dass, wenn die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks eine ganze Zahl von Einheitssegmenten enthält, diese Zahl sowohl gerade als auch ungerade sein muss. Der Beweis sah so aus:

Das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Länge des Schenkels eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks kann ausgedrückt werden als: A:B, Wo A Und B so klein wie möglich gewählt.
Nach dem Satz des Pythagoras: A² = 2 B².
Als A- sogar, A muss gerade sein (da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade wäre).
Weil das A:B irreduzibel B muss seltsam sein.
Als A sogar bezeichnen wir A = 2j.
Dann A² = 4 j² = 2 B².
B² = 2 j² also B- sogar dann B sogar.
Das ist jedoch erwiesen B seltsam. Widerspruch.

Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen alogos(unaussprechlich), aber den Legenden zufolge zollten sie Hippasus nicht den gebührenden Respekt. Einer Legende zufolge machte Hippasus die Entdeckung während einer Seereise und wurde von anderen Pythagoräern über Bord geworfen, „weil er ein Element des Universums geschaffen hatte, das die Lehre leugnet, dass alle Entitäten im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können“. Die Entdeckung von Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernstes Problem und zerstörte die zugrunde liegende Annahme, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar seien.

Die Menge der irrationalen Zahlen wird üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet ich (\displaystyle \mathbb (I) ) im fetten Stil ohne Schattierung. Auf diese Weise: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), das heißt, die Menge der irrationalen Zahlen ist die Differenz zwischen den Mengen reeller und rationaler Zahlen.

Die Existenz irrationaler Zahlen, genauer gesagt von Segmenten, die mit einem Segment der Einheitslänge inkommensurabel sind, war bereits den antiken Mathematikern bekannt: Sie kannten beispielsweise die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite eines Quadrats, was der Irrationalität von entspricht die Nummer.

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Irrational sind:

Beispiele für den Beweis der Irrationalität

Wurzel von 2

Nehmen wir das Gegenteil an: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rational, also als Bruch dargestellt m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Wo m (\displaystyle m) ist eine ganze Zahl und n (\displaystyle n)- natürliche Zahl .
Quadrieren wir die vermeintliche Gleichheit:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).
Geschichte

Antike

Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit von indischen Mathematikern übernommen, als Manava (ca. 750 v. Chr. – ca. 690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können [ ] .
Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird üblicherweise Hippasus von Metapontos (ca. 500 v. Chr.), einem Pythagoräer, zugeschrieben. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gab, die ausreichend klein und unteilbar war und eine ganze Zahl von Zeiten in jedem Segment umfasste [ ] .
Es gibt keine genauen Daten darüber, welche Zahl Hippasus als irrational erwies. Der Legende nach fand er es, indem er die Längen der Seiten des Pentagramms untersuchte. Daher ist es vernünftig anzunehmen, dass dies der Goldene Schnitt war [ ] .
Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen alogos(unaussprechlich), aber den Legenden zufolge zollten sie Hippasus nicht den gebührenden Respekt. Einer Legende zufolge machte Hippasus die Entdeckung während einer Seereise und wurde von anderen Pythagoräern über Bord geworfen, „weil er ein Element des Universums geschaffen hatte, das die Lehre leugnet, dass alle Entitäten im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können“. Die Entdeckung von Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernstes Problem und zerstörte die zugrunde liegende Annahme, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar seien.

Und sie leiteten ihre Wurzeln vom lateinischen Wort „ratio“ ab, was „Vernunft“ bedeutet. Basierend auf der wörtlichen Übersetzung:
- Eine rationale Zahl ist eine „vernünftige Zahl“.
- Eine irrationale Zahl ist dementsprechend eine „unvernünftige Zahl“.
Allgemeines Konzept einer rationalen Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die wie folgt geschrieben werden kann:
1. Ein gewöhnlicher positiver Bruch.
2. Negativer gemeinsamer Bruch.
3. Als Zahl Null (0).
Mit anderen Worten, die folgenden Definitionen gelten für eine rationale Zahl:
- Jede natürliche Zahl ist von Natur aus rational, da jede natürliche Zahl als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann.
- Jede ganze Zahl, einschließlich der Zahl Null, da jede ganze Zahl entweder als positiver gewöhnlicher Bruch, als negativer gewöhnlicher Bruch oder als Zahl Null geschrieben werden kann.
- Auch jeder gewöhnliche Bruch, egal ob positiv oder negativ, nähert sich direkt der Definition einer rationalen Zahl.
- Die Definition kann auch eine gemischte Zahl, einen endlichen Dezimalbruch oder einen unendlichen periodischen Bruch umfassen.
Beispiele für rationale Zahlen

Schauen wir uns Beispiele für rationale Zahlen an:
- Natürliche Zahlen – „4“, „202“, „200“.
- Ganzzahlen – „-36“, „0“, „42“.
- Gewöhnliche Brüche.
Aus den obigen Beispielen geht das ganz klar hervor Rationale Zahlen können sowohl positiv als auch negativ sein. Natürlich gehört die Zahl 0 (Null), die wiederum auch eine rationale Zahl ist, gleichzeitig nicht zur Kategorie einer positiven oder negativen Zahl.

Daher möchte ich das allgemeine Bildungsprogramm an die folgende Definition erinnern: „Rationale Zahlen“ sind jene Zahlen, die als Bruch x/y geschrieben werden können, wobei x (Zähler) eine ganze Zahl und y (Nenner) a ist natürliche Zahl.

Allgemeines Konzept und Definition einer irrationalen Zahl

Neben „rationalen Zahlen“ kennen wir auch die sogenannten „irrationalen Zahlen“. Versuchen wir kurz, diese Zahlen zu definieren.

Sogar antike Mathematiker, die die Diagonale eines Quadrats entlang seiner Seiten berechnen wollten, erfuhren von der Existenz einer irrationalen Zahl.
Basierend auf der Definition rationaler Zahlen können Sie eine logische Kette aufbauen und eine Definition einer irrationalen Zahl angeben.
Im Wesentlichen sind also die reellen Zahlen, die nicht rational sind, einfach irrationale Zahlen.
Dezimalbrüche, die irrationale Zahlen ausdrücken, sind nicht periodisch und unendlich.

Beispiele für eine irrationale Zahl

Betrachten wir der Klarheit halber ein kleines Beispiel einer irrationalen Zahl. Wie wir bereits verstanden haben, werden unendliche dezimale nichtperiodische Brüche als irrationale Brüche bezeichnet, zum Beispiel:
- Die Zahl „-5.020020002...“ (Es ist deutlich zu erkennen, dass die Zweien durch eine Folge von eins, zwei, drei usw. Nullen getrennt sind)
- Die Zahl „7.040044000444...“ (hier wird deutlich, dass sich die Anzahl der Vieren und die Anzahl der Nullen in einer Kette jedes Mal um eins erhöht).
- Jeder kennt die Zahl Pi (3,1415...). Ja, ja – es ist auch irrational.
Im Allgemeinen sind alle reellen Zahlen sowohl rational als auch irrational. Vereinfacht ausgedrückt kann eine irrationale Zahl nicht als gemeinsamer Bruch x/y dargestellt werden.

Allgemeine Schlussfolgerung und kurzer Vergleich zwischen Zahlen

Wir haben uns jede Zahl einzeln angesehen, aber der Unterschied zwischen einer rationalen und einer irrationalen Zahl bleibt bestehen:
1. Eine irrationale Zahl entsteht beim Ziehen der Quadratwurzel, beim Teilen eines Kreises durch seinen Durchmesser usw.
2. Eine rationale Zahl stellt einen gemeinsamen Bruch dar.
Lassen Sie uns unseren Artikel mit ein paar Definitionen abschließen:
- Eine andere arithmetische Operation an einer rationalen Zahl als die Division durch 0 (Null) führt letztendlich zu einer rationalen Zahl.
- Das Endergebnis einer arithmetischen Operation mit einer irrationalen Zahl kann sowohl zu einem rationalen als auch zu einem irrationalen Wert führen.
- Wenn beide Zahlen an einer arithmetischen Operation beteiligt sind (außer Division oder Multiplikation mit Null), dann ist das Ergebnis eine irrationale Zahl.
Beispiel:
\(4\) ist eine rationale Zahl, da sie als \(\frac(4)(1)\) geschrieben werden kann;
\(0.0157304\) ist ebenfalls rational, da es in der Form \(\frac(157304)(10000000)\) geschrieben werden kann;
\(0,333(3)...\) – und das ist eine rationale Zahl: kann dargestellt werden als \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) ist rational, da es als \(\frac(1)(2)\) dargestellt werden kann. Tatsächlich können wir eine Kette von Transformationen \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= durchführen \) \ (\frac(1)(2)\)

Irrationale Zahl ist eine Zahl, die nicht als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner geschrieben werden kann.

Es ist unmöglich, weil es so ist endlos Brüche und sogar nichtperiodische Brüche. Daher gibt es keine ganzen Zahlen, die, wenn man sie durcheinander dividiert, eine irrationale Zahl ergeben würden.

Beispiel:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) ist eine irrationale Zahl;
\(π≈3,1415926… \) ist eine irrationale Zahl;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) ist eine irrationale Zahl.

Beispiel (Auftrag der OGE). Welcher der Ausdrücke bedeutet eine rationale Zahl?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Lösung:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – die Wurzel von \(14\) kann nicht gezogen werden, Das heißt, es ist auch unmöglich, eine Zahl als Bruch mit ganzen Zahlen darzustellen, daher ist die Zahl irrational.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – es gibt keine Wurzeln mehr, die Zahl kann leicht als Bruch dargestellt werden, zum Beispiel \(\frac(-5)(1)\), was bedeutet, dass sie rational ist.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – die Wurzel kann nicht gezogen werden – die Zahl ist irrational.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) ist ebenfalls irrational.

Definition einer irrationalen Zahl

Irrationale Zahlen sind Zahlen, die in der Dezimalschreibweise endlose nichtperiodische Dezimalbrüche darstellen.

So sind beispielsweise Zahlen, die man durch Ziehen der Quadratwurzel natürlicher Zahlen erhält, irrational und keine Quadrate natürlicher Zahlen. Aber nicht alle irrationalen Zahlen erhält man durch das Ziehen von Quadratwurzeln, denn auch die durch Division erhaltene Zahl pi ist irrational, und es ist unwahrscheinlich, dass man sie erhält, wenn man versucht, die Quadratwurzel einer natürlichen Zahl zu ziehen.

Eigenschaften irrationaler Zahlen

Im Gegensatz zu Zahlen, die als unendliche Dezimalzahlen geschrieben werden, werden nur irrationale Zahlen als nichtperiodische unendliche Dezimalzahlen geschrieben.
Die Summe zweier nicht negativer irrationaler Zahlen kann am Ende eine rationale Zahl sein.
Irrationale Zahlen definieren Dedekind-Schnitte in der Menge der rationalen Zahlen, in deren Unterklasse es keine größte und in der Oberklasse keine kleinere Zahl gibt.
Jede reelle transzendente Zahl ist irrational.
Alle irrationalen Zahlen sind entweder algebraisch oder transzendental.
Die Menge der irrationalen Zahlen auf einer Geraden ist dicht verteilt, und zwischen zwei beliebigen Zahlen liegt mit Sicherheit eine irrationale Zahl.
Die Menge der irrationalen Zahlen ist unendlich, abzählbar und eine Menge der 2. Kategorie.
Bei jeder arithmetischen Operation mit rationalen Zahlen, mit Ausnahme der Division durch 0, ist das Ergebnis eine rationale Zahl.
Wenn man eine rationale Zahl zu einer irrationalen Zahl addiert, ist das Ergebnis immer eine irrationale Zahl.
Wenn wir irrationale Zahlen addieren, können wir am Ende eine rationale Zahl erhalten.
Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht gerade.

Zahlen sind nicht irrational

Manchmal ist es ziemlich schwierig, die Frage zu beantworten, ob eine Zahl irrational ist, insbesondere wenn die Zahl die Form eines Dezimalbruchs oder die Form eines numerischen Ausdrucks, einer Wurzel oder eines Logarithmus hat.
Daher wird es nicht überflüssig sein zu wissen, welche Zahlen nicht irrational sind. Wenn wir der Definition irrationaler Zahlen folgen, wissen wir bereits, dass rationale Zahlen nicht irrational sein können.
Irrationale Zahlen sind nicht:
Erstens alle natürlichen Zahlen;
Zweitens ganze Zahlen;
Drittens: gewöhnliche Brüche;
Viertens verschiedene gemischte Zahlen;
Fünftens sind dies unendliche periodische Dezimalbrüche.
Darüber hinaus kann eine irrationale Zahl keine Kombination rationaler Zahlen sein, die durch die Vorzeichen arithmetischer Operationen wie +, -, , : ausgeführt wird, da in diesem Fall auch das Ergebnis zweier rationaler Zahlen vorliegt eine rationale Zahl.
Schauen wir uns nun an, welche Zahlen irrational sind:

Wissen Sie, dass es einen Fanclub gibt, in dem Fans dieses mysteriösen mathematischen Phänomens nach immer mehr Informationen über Pi suchen und versuchen, sein Geheimnis zu lüften? Mitglied dieses Clubs kann jeder werden, der eine bestimmte Anzahl an Pi-Zahlen hinter dem Komma auswendig kann;
Wussten Sie, dass es in Deutschland unter dem Schutz der UNESCO das Schloss Castadel Monte gibt, anhand dessen Proportionen Sie Pi berechnen können? König Friedrich II. widmete dieser Nummer das gesamte Schloss.
Es stellte sich heraus, dass sie versuchten, die Zahl Pi beim Bau des Turmbaus zu Babel zu verwenden. Dies führte jedoch leider zum Scheitern des Projekts, da die genaue Berechnung des Wertes von Pi zu diesem Zeitpunkt noch nicht ausreichend untersucht war.
Sängerin Kate Bush hat auf ihrer neuen CD ein Lied namens „Pi“ aufgenommen, in dem einhundertvierundzwanzig Nummern aus der berühmten Nummernreihe 3, 141… zu hören waren.