Fläche einer Dreiecksformel basierend auf zwei Seiten. Fläche eines Dreiecks

Um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, können Sie verschiedene Formeln verwenden. Von allen Methoden besteht die einfachste und am häufigsten verwendete Methode darin, die Höhe mit der Länge der Basis zu multiplizieren und das Ergebnis dann durch zwei zu dividieren. Diese Methode ist jedoch bei weitem nicht die einzige. Nachfolgend können Sie lesen, wie Sie mit verschiedenen Formeln die Fläche eines Dreiecks ermitteln.

Unabhängig davon werden wir uns mit Möglichkeiten befassen, die Fläche bestimmter Dreieckstypen zu berechnen – rechteckig, gleichschenklig und gleichseitig. Wir begleiten jede Formel mit einer kurzen Erklärung, die Ihnen hilft, ihr Wesen zu verstehen.

Universelle Methoden zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks

Die folgenden Formeln verwenden eine spezielle Notation. Wir werden jeden von ihnen entschlüsseln:

• a, b, c – die Längen der drei Seiten der Figur, die wir betrachten;
• r ist der Radius des Kreises, der in unser Dreieck eingeschrieben werden kann;
• R ist der Radius des Kreises, der um ihn herum beschrieben werden kann;
• α ist die Größe des Winkels, den die Seiten b und c bilden;
• β ist die Größe des Winkels zwischen a und c;
• γ ist die Größe des Winkels, den die Seiten a und b bilden;
• h ist die Höhe unseres Dreiecks, abgesenkt vom Winkel α zur Seite a;
• p – die halbe Summe der Seiten a, b und c.

Es ist logisch klar, warum man auf diese Weise die Fläche eines Dreiecks ermitteln kann. Das Dreieck lässt sich leicht zu einem Parallelogramm ergänzen, bei dem eine Seite des Dreiecks als Diagonale fungiert. Die Fläche eines Parallelogramms wird ermittelt, indem man die Länge einer seiner Seiten mit dem Wert der darauf gezeichneten Höhe multipliziert. Die Diagonale teilt dieses bedingte Parallelogramm in 2 identische Dreiecke. Daher ist es ganz offensichtlich, dass die Fläche unseres ursprünglichen Dreiecks gleich der Hälfte der Fläche dieses Hilfsparallelogramms sein muss.

S=½ a b sin γ

Nach dieser Formel ergibt sich die Fläche eines Dreiecks durch Multiplikation der Längen seiner beiden Seiten, also a und b, mit dem Sinus des von ihnen gebildeten Winkels. Diese Formel leitet sich logisch von der vorherigen ab. Wenn wir die Höhe vom Winkel β zur Seite b verringern, erhalten wir gemäß den Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn wir die Länge der Seite a mit dem Sinus des Winkels γ multiplizieren, die Höhe des Dreiecks, d. h. h .

Die Fläche der betreffenden Figur ergibt sich aus der Multiplikation des halben Radius des Kreises, der in sie eingeschrieben werden kann, mit ihrem Umfang. Mit anderen Worten: Wir ermitteln das Produkt aus dem Halbumfang und dem Radius des genannten Kreises.

S= a b c/4R

Nach dieser Formel lässt sich der benötigte Wert ermitteln, indem man das Produkt der Seiten der Figur durch 4 Radien des um sie herum beschriebenen Kreises dividiert.

Diese Formeln sind universell, da sie es ermöglichen, die Fläche jedes Dreiecks (skalenförmig, gleichschenklig, gleichseitig, rechteckig) zu bestimmen. Dies kann durch komplexere Berechnungen erfolgen, auf die wir nicht näher eingehen.

Flächen von Dreiecken mit spezifischen Eigenschaften

Wie finde ich die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks? Die Besonderheit dieser Figur besteht darin, dass ihre beiden Seiten gleichzeitig ihre Höhen darstellen. Wenn a und b Beine sind und c zur Hypotenuse wird, dann finden wir die Fläche wie folgt:

Wie finde ich die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks? Es hat zwei Seiten mit der Länge a und eine Seite mit der Länge b. Folglich kann seine Fläche bestimmt werden, indem das Produkt des Quadrats der Seite a durch den Sinus des Winkels γ durch 2 geteilt wird.

Wie finde ich die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks? Darin ist die Länge aller Seiten gleich a und der Betrag aller Winkel ist α. Seine Höhe entspricht dem halben Produkt aus der Länge der Seite a und der Quadratwurzel aus 3. Um die Fläche eines regelmäßigen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie das Quadrat der Seite a mit der Quadratwurzel aus 3 multiplizieren und durch dividieren 4.

Manchmal gibt es im Leben Situationen, in denen man auf der Suche nach längst vergessenem Schulwissen in seinem Gedächtnis stöbern muss. Sie müssen beispielsweise die Fläche eines dreieckigen Grundstücks bestimmen oder es ist Zeit für eine weitere Renovierung einer Wohnung oder eines Privathauses und Sie müssen berechnen, wie viel Material für eine Fläche benötigt wird eine dreieckige Form. Früher konnte man ein solches Problem in ein paar Minuten lösen, aber jetzt versuchen Sie verzweifelt, sich daran zu erinnern, wie man die Fläche eines Dreiecks bestimmt?

Machen Sie sich darüber keine Sorgen! Schließlich ist es ganz normal, wenn das Gehirn eines Menschen beschließt, lange ungenutztes Wissen irgendwo in eine entlegene Ecke zu übertragen, aus der es manchmal nicht so einfach zu extrahieren ist. Damit Sie sich zur Lösung eines solchen Problems nicht mit der Suche nach vergessenem Schulwissen abmühen müssen, finden Sie in diesem Artikel verschiedene Methoden, mit denen Sie die benötigte Fläche eines Dreiecks einfach finden können.

Es ist bekannt, dass ein Dreieck eine Art Polygon ist, das auf die minimal mögliche Anzahl von Seiten beschränkt ist. Im Prinzip kann jedes Polygon in mehrere Dreiecke unterteilt werden, indem man seine Eckpunkte mit Segmenten verbindet, die seine Seiten nicht schneiden. Wenn Sie das Dreieck kennen, können Sie daher die Fläche fast jeder Figur berechnen.

Unter allen möglichen Dreiecken, die im Leben vorkommen, lassen sich folgende besondere Typen unterscheiden: und rechteckig.

Die Fläche eines Dreiecks lässt sich am einfachsten berechnen, wenn einer seiner Winkel rechtwinklig ist, also im Fall eines rechtwinkligen Dreiecks. Es ist leicht zu erkennen, dass es sich um ein halbes Rechteck handelt. Daher ist seine Fläche gleich dem halben Produkt der Seiten, die miteinander einen rechten Winkel bilden.

Wenn wir die Höhe eines Dreiecks kennen, das von einem seiner Eckpunkte zur gegenüberliegenden Seite abgesenkt wird, und die Länge dieser Seite, die Basis genannt wird, dann wird die Fläche als halbes Produkt aus Höhe und Basis berechnet. Dies wird mit der folgenden Formel geschrieben:

S = 1/2*b*h, wobei

S ist die erforderliche Fläche des Dreiecks;

b, h – jeweils die Höhe und Basis des Dreiecks.

Es ist so einfach, die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, da die Höhe die gegenüberliegende Seite halbiert und leicht gemessen werden kann. Wenn die Fläche bestimmt ist, ist es zweckmäßig, die Länge einer der Seiten, die einen rechten Winkel bilden, als Höhe zu verwenden.

Das alles ist natürlich gut, aber wie kann man feststellen, ob einer der Winkel eines Dreiecks richtig ist oder nicht? Wenn die Größe unserer Figur klein ist, können wir einen Konstruktionswinkel, ein Zeichendreieck, eine Postkarte oder einen anderen Gegenstand mit rechteckiger Form verwenden.

Was aber, wenn wir ein dreieckiges Grundstück haben? Gehen Sie in diesem Fall wie folgt vor: Zählen Sie vom Scheitelpunkt des vermeintlichen rechten Winkels auf der einen Seite ein Distanz-Vielfaches von 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) und messen Sie auf der anderen Seite ein Distanz-Vielfaches von 4 im selben Proportion (40 cm, 160 cm, 4 m). Jetzt müssen Sie den Abstand zwischen den Endpunkten dieser beiden Segmente messen. Wenn das Ergebnis ein Vielfaches von 5 ist (50 cm, 250 cm, 5 m), dann können wir sagen, dass der Winkel stimmt.

Wenn die Länge jeder der drei Seiten unserer Figur bekannt ist, kann die Fläche des Dreiecks mit der Formel von Heron bestimmt werden. Damit es eine einfachere Form hat, wird ein neuer Wert verwendet, der als Halbumfang bezeichnet wird. Dies ist die Summe aller Seiten unseres Dreiecks, geteilt in zwei Hälften. Nachdem der Halbumfang berechnet wurde, können Sie mit der Flächenermittlung nach folgender Formel beginnen:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), wobei

sqrt – Quadratwurzel;

p – Halbumfangswert (p = (a+b+c)/2);

a, b, c – Kanten (Seiten) des Dreiecks.

Was aber, wenn das Dreieck eine unregelmäßige Form hat? Hier gibt es zwei mögliche Wege. Die erste davon besteht darin, zu versuchen, eine solche Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke zu unterteilen, deren Flächensumme separat berechnet und dann addiert wird. Oder wenn der Winkel zwischen zwei Seiten und die Größe dieser Seiten bekannt sind, wenden Sie die Formel an:

S = 0,5 * ab * sinC, wobei

a,b – Seiten des Dreiecks;

c ist die Größe des Winkels zwischen diesen Seiten.

Letzterer Fall kommt in der Praxis selten vor, dennoch ist im Leben alles möglich, sodass die obige Formel nicht überflüssig ist. Viel Glück bei deinen Berechnungen!

Wie folgt:

S = ½ * a * h,

Wo:
S – Fläche des Dreiecks,
a ist die Länge seiner Seite,
h ist die zu dieser Seite abgesenkte Höhe.

Seitenlänge und Höhe müssen in den gleichen Maßeinheiten angegeben werden. In diesem Fall wird die Fläche des Dreiecks in den entsprechenden „ “-Einheiten ermittelt.

Beispiel.
Auf einer Seite eines 20 cm langen ungleichseitigen Dreiecks wird eine Senkrechte vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt von 10 cm Länge abgesenkt.
Die Fläche des Dreiecks wird benötigt.
Lösung.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Wenn die Längen zweier beliebiger Seiten eines ungleichseitigen Dreiecks und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, verwenden Sie die Formel:

S = ½ * a * b * sinγ,

Dabei sind: a, b die Längen zweier beliebiger Seiten und γ der Wert des Winkels zwischen ihnen.

In der Praxis, beispielsweise bei der Vermessung der Landfläche, ist die Verwendung der oben genannten Formeln manchmal schwierig, da zusätzliche Konstruktionen und Winkelmessungen erforderlich sind.

Wenn Sie die Längen aller drei Seiten eines ungleichseitigen Dreiecks kennen, verwenden Sie die Formel von Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – Längen der Seiten des Dreiecks,
p – Halbumfang: p = (a+b+c)/2.

Wenn zusätzlich zu den Längen aller Seiten auch der Radius des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises bekannt ist, dann verwenden Sie die folgende kompakte Formel:

wobei: r – Radius des eingeschriebenen Kreises (ð – Halbumfang).

Um die Fläche eines ungleichseitigen Dreiecks anhand des Radius des Umkreises und der Länge seiner Seiten zu berechnen, verwenden Sie die Formel:

wobei: R – Radius des umschriebenen Kreises.

Wenn die Länge einer der Seiten des Dreiecks und die Werte von drei Winkeln bekannt sind (im Prinzip reichen zwei aus – der Wert des dritten berechnet sich aus der Gleichheit der Summe der drei Winkel des Dreiecks – 180º), dann verwenden Sie die Formel:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

wobei α der Wert des Winkels gegenüber der Seite a ist;
β, γ – Werte der verbleibenden zwei Winkel des Dreiecks.

Ein regelmäßiges Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleichen Seiten. Es hat die folgenden Eigenschaften: Alle Seiten eines regelmäßigen Dreiecks sind einander gleich und alle Winkel sind gleich 60 Grad. Ein regelmäßiges Dreieck ist gleichschenklig.

Du wirst brauchen

• Kenntnisse der Geometrie.

Anweisungen

Gegeben sei eine Seite eines regelmäßigen Dreiecks mit der Länge a=7. Wenn Sie die Seite eines solchen Dreiecks kennen, können Sie dessen Fläche leicht berechnen. Hierzu wird Folgendes verwendet: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Setzen wir den Wert a=7 in diese Formel ein und erhalten wir Folgendes: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Somit haben wir herausgefunden, dass die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a=7 gleich S=20,82 ist.

Wenn der Radius des Kreises angegeben ist, sieht er folgendermaßen aus:
S = 3*3^(1/2)*r^2, wobei r der Radius des eingeschriebenen Kreises ist. Der Radius des eingeschriebenen Kreises sei r=4. Ersetzen wir es in die zuvor geschriebene Formel und erhalten den folgenden Ausdruck: S = 3*1,7*4*4 = 81,6. Das heißt, wenn der Radius des eingeschriebenen Kreises gleich 4 ist, beträgt die Fläche des gleichseitigen Dreiecks 81,6.

Bei bekanntem Radius des umschriebenen Kreises sieht die Formel für die Fläche eines Dreiecks wie folgt aus: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, wobei R der Radius des umschriebenen Kreises ist . Nehmen wir an, dass R=5 ist, setzen Sie diesen Wert in die Formel ein: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Es stellt sich heraus, dass bei einem Radius des umschriebenen Kreises von 5 die Fläche des Dreiecks 31,9 beträgt.

beachten Sie

Die Fläche eines Dreiecks ist immer positiv, ebenso wie die Länge einer Seite eines Dreiecks und die Radien der ein- und umschriebenen Kreise.

Hilfreicher Rat

Der Radius des eingeschriebenen und umschriebenen Kreises in einem gleichseitigen Dreieck unterscheidet sich um den Faktor zwei. Wenn Sie dies wissen, können Sie sich nur eine Formel merken, beispielsweise durch den Radius des eingeschriebenen Kreises, und die zweite ableiten, wenn Sie diese Aussage kennen.

Wenn die Länge einer der Seiten eines Dreiecks und die Werte der angrenzenden Winkel bekannt sind, kann seine Fläche auf verschiedene Arten berechnet werden. Jede der Berechnungsformeln beinhaltet die Verwendung trigonometrischer Funktionen, was jedoch nicht einschüchternd sein sollte – um sie zu berechnen, reicht es aus, Zugang zum Internet zu haben, ganz zu schweigen von der Anwesenheit eines integrierten Rechners im Betriebssystem.

Anweisungen

Die erste Möglichkeit, die Fläche (S) aus der bekannten Länge einer der Seiten (A) und den Werten der angrenzenden Winkel (α und β) zu berechnen, besteht darin, diese Winkel zu berechnen. Die Fläche ist in diesem Fall das Quadrat der Länge der bekannten Seite, geteilt durch das Doppelte der Kotangenten der bekannten Winkel: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Wenn beispielsweise die Länge einer bekannten Seite 15 cm beträgt und die angrenzenden Winkel 40° und 60° betragen, sieht die Flächenberechnung folgendermaßen aus: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60 ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 Quadratzentimeter.

Die zweite Option zur Flächenberechnung verwendet Sinuswerte bekannter Winkel anstelle von Kotangenten. In dieser Version ist die Fläche gleich dem Quadrat der Länge der bekannten Seite, multipliziert mit den Sinuswerten jedes Winkels und dividiert durch den doppelten Sinuswert der Summe dieser Winkel: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Für dasselbe Dreieck mit einer bekannten Seitenlänge von 15 cm und angrenzenden Winkeln von 40° und 60° sieht die Flächenberechnung beispielsweise so aus: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 Quadratzentimeter.

Die dritte Möglichkeit zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks verwendet die Tangenten der Winkel. Die Fläche entspricht dem Quadrat der Länge der bekannten Seite, multipliziert mit den Tangenten jedes Winkels und dividiert durch die doppelte Summe der Tangenten dieser Winkel: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Für ein in den vorherigen Schritten verwendetes Dreieck mit einer Seitenlänge von 15 cm und angrenzenden Winkeln von 40° und 60° sieht die Flächenberechnung beispielsweise so aus: (15*15*tg(40)*tg(60 ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1,11721493)*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 Quadratzentimeter.

Praktische Berechnungen lassen sich beispielsweise mit dem Suchmaschinenrechner von Google durchführen. Ersetzen Sie dazu einfach Zahlenwerte in die Formeln und geben Sie diese in das Suchabfragefeld ein.

Tipp 4: So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks und eines Rechtecks

Dreieck und Rechteck sind die beiden einfachsten ebenen geometrischen Figuren in der euklidischen Geometrie. Innerhalb des Umfangs, der durch die Seiten dieser Polygone gebildet wird, befindet sich ein bestimmter Abschnitt der Ebene, dessen Fläche auf viele Arten bestimmt werden kann. Die Wahl der Methode im Einzelfall hängt von den bekannten Parametern der Figuren ab.

Fläche einer geometrischen Figur- ein numerisches Merkmal einer geometrischen Figur, das die Größe dieser Figur angibt (Teil der Oberfläche, die durch die geschlossene Kontur dieser Figur begrenzt wird). Die Größe der Fläche wird durch die Anzahl der darin enthaltenen Quadrateinheiten ausgedrückt.

Dreiecksflächenformeln

1. Formel für die Fläche eines Dreiecks nach Seite und Höhe
   Fläche eines Dreiecks gleich dem halben Produkt aus der Länge einer Seite eines Dreiecks und der Länge der zu dieser Seite gezeichneten Höhe
   
2. Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des Umkreises
   
3. Formel für die Fläche eines Dreiecks basierend auf drei Seiten und dem Radius des eingeschriebenen Kreises
   Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus dem Halbumfang des Dreiecks und dem Radius des eingeschriebenen Kreises.
   
wobei S die Fläche des Dreiecks ist,
- Längen der Seiten des Dreiecks,
- Höhe des Dreiecks,
- der Winkel zwischen den Seiten und,
- Radius des eingeschriebenen Kreises,
R - Radius des umschriebenen Kreises,

Quadratische Flächenformeln

1. Formel für die Fläche eines Quadrats nach Seitenlänge
   Quadratischer Bereich gleich dem Quadrat der Länge seiner Seite.
2. Formel für die Fläche eines Quadrats entlang der Diagonallänge
   Quadratischer Bereich gleich dem halben Quadrat der Länge seiner Diagonale.
   

   S=	1	2
   	2

wobei S die Fläche des Quadrats ist,
- Länge der Seite des Quadrats,
- Länge der Diagonale des Quadrats.

Rechteckflächenformel

Fläche eines Rechtecks gleich dem Produkt der Längen seiner beiden benachbarten Seiten

wobei S die Fläche des Rechtecks ​​ist,
- Längen der Seiten des Rechtecks.

Formeln für Parallelogrammflächen

1. Formel für die Fläche eines Parallelogramms basierend auf Seitenlänge und -höhe
   Fläche eines Parallelogramms
2. Formel für die Fläche eines Parallelogramms basierend auf zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen
   Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt der Längen seiner Seiten multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.
   

   a b sin α

wobei S die Fläche des Parallelogramms ist,
- Längen der Seiten des Parallelogramms,
- Länge der Parallelogrammhöhe,
- der Winkel zwischen den Seiten des Parallelogramms.

Formeln für die Fläche einer Raute

1. Formel für die Fläche einer Raute basierend auf Seitenlänge und -höhe
   Fläche einer Raute gleich dem Produkt aus der Länge seiner Seite und der Länge der zu dieser Seite abgesenkten Höhe.
2. Formel für die Fläche einer Raute basierend auf Seitenlänge und Winkel
   Fläche einer Raute ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat der Länge seiner Seite und dem Sinus des Winkels zwischen den Seiten der Raute.
3. Formel für die Fläche einer Raute basierend auf den Längen ihrer Diagonalen
   Fläche einer Raute gleich dem halben Produkt der Längen seiner Diagonalen.
wobei S die Fläche der Raute ist,
- Länge der Seite der Raute,
- Länge der Höhe der Raute,
- der Winkel zwischen den Seiten der Raute,
1, 2 - Längen der Diagonalen.

Trapezflächenformeln

1. Herons Formel für Trapez

   Wobei S die Fläche des Trapezes ist,
   - Längen der Grundflächen des Trapezes,
   - Längen der Seiten des Trapezes,
   

Konzept der Fläche

Der Begriff der Fläche einer beliebigen geometrischen Figur, insbesondere eines Dreiecks, wird mit einer Figur wie einem Quadrat in Verbindung gebracht. Für die Flächeneinheit einer beliebigen geometrischen Figur nehmen wir die Fläche eines Quadrats, dessen Seite gleich eins ist. Der Vollständigkeit halber erinnern wir uns an zwei grundlegende Eigenschaften für das Konzept der Flächen geometrischer Figuren.

Eigenschaft 1: Wenn geometrische Figuren gleich sind, dann sind auch ihre Flächen gleich.

Eigenschaft 2: Jede Figur kann in mehrere Figuren unterteilt werden. Darüber hinaus ist die Fläche der Originalfigur gleich der Summe der Flächen aller ihrer Bestandteile.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1

Offensichtlich ist eine der Seiten des Dreiecks eine Diagonale eines Rechtecks, dessen eine Seite eine Länge von 5 $ hat (da es 5 $-Zellen gibt) und die andere Seite 6 $ hat (da es 6 $-Zellen gibt). Daher entspricht die Fläche dieses Dreiecks der Hälfte eines solchen Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks ​​beträgt

Dann ist die Fläche des Dreiecks gleich

Antwort: 15 $.

Als nächstes betrachten wir mehrere Methoden zum Ermitteln der Flächen von Dreiecken, nämlich die Verwendung der Höhe und der Basis, die Verwendung der Heron-Formel und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.

So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks anhand seiner Höhe und Basis

Satz 1

Die Fläche eines Dreiecks kann als halbes Produkt aus der Länge einer Seite und der Höhe zu dieser Seite ermittelt werden.

Mathematisch sieht es so aus

$S=\frac(1)(2)αh$

Dabei ist $a$ die Länge der Seite und $h$ die dorthin gezogene Höhe.

Nachweisen.

Betrachten Sie ein Dreieck $ABC$, in dem $AC=α$. Auf dieser Seite wird die Höhe $BH$ eingezeichnet, die gleich $h$ ist. Bauen wir es wie in Abbildung 2 zum Quadrat $AXYC$ auf.

Die Fläche des Rechtecks ​​$AXBH$ beträgt $h\cdot AH$, und die Fläche des Rechtecks ​​$HBYC$ beträgt $h\cdot HC$. Dann

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Daher ist die erforderliche Fläche des Dreiecks gemäß Eigenschaft 2 gleich

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche des Dreiecks in der Abbildung unten, wenn die Zelle eine Fläche von eins hat

Die Basis dieses Dreiecks ist gleich 9 $ (da 9 $ aus 9 $ Quadraten besteht). Die Höhe beträgt ebenfalls 9$. Dann erhalten wir nach Satz 1

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Antwort: 40,5 $.

Herons Formel

Satz 2

Wenn wir drei Seiten eines Dreiecks $α$, $β$ und $γ$ erhalten, dann kann seine Fläche wie folgt ermittelt werden

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

hier bedeutet $ρ$ den Halbumfang dieses Dreiecks.

Nachweisen.

Betrachten Sie die folgende Abbildung:

Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir aus dem Dreieck $ABH$

Aus dem Dreieck $CBH$ ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras:

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Aus diesen beiden Beziehungen erhalten wir die Gleichheit

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Da $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, dann $α+β+γ=2ρ$, was bedeutet

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Nach Satz 1 erhalten wir

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$