Kleinstes gemeinsames Vielfaches von 3 und 2. Gemeinsamer Teiler und Vielfaches

Zweite Zahl: b=

Zifferntrennzeichen Kein Leerzeichentrennzeichen „ ´

Ergebnis:

Größter gemeinsamer Teiler gcd( A,B)=6

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von LCM( A,B)=468

Die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind, heißt größter gemeinsamer Teiler(gcd) dieser Zahlen. Wird mit gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) oder hcf(a,b) bezeichnet.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) zweier ganzen Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die ohne Rest durch a und b teilbar ist. Wird als LCM(a,b) oder lcm(a,b) bezeichnet.

Es werden die ganzen Zahlen a und b aufgerufen Koprime wenn sie keine anderen gemeinsamen Teiler als +1 und −1 haben.

Größter gemeinsamer Teiler

Gegeben seien zwei positive Zahlen A 1 und A 2 1). Es ist erforderlich, einen gemeinsamen Teiler dieser Zahlen zu finden, d.h. Finde eine solche Nummer λ , das die Zahlen dividiert A 1 und A 2 gleichzeitig. Beschreiben wir den Algorithmus.

1) In diesem Artikel bedeutet das Wort Zahl eine ganze Zahl.

Lassen A 1 ≥ A 2 und lass

Wo M 1 , A 3 sind einige ganze Zahlen, A 3 <A 2 (Rest aus Division A 1 auf A 2 sollte weniger sein A 2).

Tun wir mal so λ teilt A 1 und A 2 also λ teilt M 1 A 2 und λ teilt A 1 −M 1 A 2 =A 3 (Behauptung 2 des Artikels „Teilbarkeit von Zahlen. Zeichen der Teilbarkeit“). Daraus folgt, dass jeder gemeinsame Teiler A 1 und A 2 ist ein gemeinsamer Teiler A 2 und A 3 . Das Umgekehrte gilt auch, wenn λ gemeinsamer Teiler A 2 und A 3 also M 1 A 2 und A 1 =M 1 A 2 +A 3 sind ebenfalls unterteilt in λ . Daher der gemeinsame Teiler A 2 und A 3 ist auch ein gemeinsamer Teiler A 1 und A 2. Als A 3 <A 2 ≤A 1 , dann können wir sagen, dass die Lösung des Problems darin besteht, einen gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden A 1 und A 2 reduziert auf ein einfacheres Problem, einen gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden A 2 und A 3 .

Wenn A 3 ≠0, dann können wir dividieren A 2 auf A 3 . Dann

,

Wo M 1 und A 4 sind einige ganze Zahlen, ( A 4 Rest der Teilung A 2 auf A 3 (A 4 <A 3)). Durch ähnliche Überlegungen kommen wir zu dem Schluss, dass die gemeinsamen Teiler von Zahlen A 3 und A 4 ist dasselbe wie gemeinsame Teiler von Zahlen A 2 und A 3 , und auch mit gemeinsamen Teilern A 1 und A 2. Als A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... Zahlen, die ständig abnehmen, und da dazwischen eine endliche Anzahl ganzer Zahlen liegt A 2 und 0, dann irgendwann N, Rest der Division A n auf A n+1 wird gleich Null sein ( A n+2=0).

.

Jeder gemeinsame Teiler λ Zahlen A 1 und A 2 ist auch ein Teiler von Zahlen A 2 und A 3 , A 3 und A 4 , .... A n und A n+1 . Das Umgekehrte gilt auch, gemeinsame Teiler von Zahlen A n und A n+1 sind auch Teiler von Zahlen A n−1 und A N , .... , A 2 und A 3 , A 1 und A 2. Aber der gemeinsame Teiler A n und A n+1 ist eine Zahl A n+1 , weil A n und A n+1 sind teilbar durch A n+1 (denken Sie daran A n+2=0). Somit A n+1 ist auch ein Teiler von Zahlen A 1 und A 2 .

Beachten Sie, dass die Nummer A n+1 ist der größte Zahlenteiler A n und A n+1 , da der größte Teiler A n+1 ist es selbst A n+1 . Wenn A n + 1 kann als Produkt ganzer Zahlen dargestellt werden, dann sind diese Zahlen auch gemeinsame Teiler von Zahlen A 1 und A 2. Nummer A n+1 werden aufgerufen größter gemeinsamer Teiler Zahlen A 1 und A 2 .

Zahlen A 1 und A 2 kann sowohl positive als auch negative Zahlen sein. Wenn eine der Zahlen gleich Null ist, ist der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen gleich dem Absolutwert der anderen Zahl. Der größte gemeinsame Teiler von Nullzahlen ist nicht definiert.

Der obige Algorithmus wird aufgerufen Euklids Algorithmus um den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzen Zahlen zu finden.

Ein Beispiel für die Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen

Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen 630 und 434.

• Schritt 1. Teilen Sie die Zahl 630 durch 434. Der Rest ist 196.
• Schritt 2. Teilen Sie die Zahl 434 durch 196. Der Rest ist 42.
• Schritt 3. Teilen Sie die Zahl 196 durch 42. Der Rest ist 28.
• Schritt 4. Teilen Sie die Zahl 42 durch 28. Der Rest ist 14.
• Schritt 5. Teilen Sie die Zahl 28 durch 14. Der Rest ist 0.

Bei Schritt 5 ist der Rest der Division 0. Daher ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 630 und 434 14. Beachten Sie, dass die Zahlen 2 und 7 auch Teiler der Zahlen 630 und 434 sind.

Koprimzahlen

Definition 1. Sei der größte gemeinsame Teiler der Zahlen A 1 und A 2 ist gleich eins. Dann werden diese Nummern aufgerufen Koprimzahlen die keinen gemeinsamen Teiler haben.

Satz 1. Wenn A 1 und A 2 relativ Primzahlen und λ eine Zahl, dann ein beliebiger gemeinsamer Teiler von Zahlen λa 1 und A 2 ist auch ein gemeinsamer Teiler von Zahlen λ Und A 2 .

Nachweisen. Betrachten Sie den Algorithmus von Euklid zum Finden des größten gemeinsamen Teilers von Zahlen A 1 und A 2 (siehe oben).

.

Aus den Bedingungen des Satzes folgt, dass der größte gemeinsame Teiler von Zahlen ist A 1 und A 2 , und deshalb A n und A n+1 ist 1. D.h. A n+1=1.

Lassen Sie uns alle diese Gleichungen mit multiplizieren λ , Dann

.

Lassen Sie den gemeinsamen Teiler A 1 λ Und A 2 ist δ . Dann δ geht als Faktor ein A 1 λ , M 1 A 2 λ und in A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (Siehe „Teilbarkeit von Zahlen“, Aussage 2). Weiter δ geht als Faktor ein A 2 λ Und M 2 A 3 λ und geht daher als Faktor in ein A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Aufgrund dieser Argumentation sind wir davon überzeugt δ geht als Faktor ein A n−1 λ Und M n−1 A N λ , und daher in A n−1 λ −M n−1 A N λ =A n+1 λ . Als A n+1 =1, dann δ geht als Faktor ein λ . Daher die Zahl δ ist ein gemeinsamer Teiler von Zahlen λ Und A 2 .

Betrachten Sie Sonderfälle von Satz 1.

Folge 1. Lassen A Und C Primzahlen sind relativ B. Dann ihr Produkt ac ist eine Primzahl bzgl B.

Wirklich. Aus Satz 1 ac Und B haben die gleichen gemeinsamen Teiler wie C Und B. Aber die Zahlen C Und B Koprime, d.h. haben einen einzigen gemeinsamen Teiler 1. Dann ac Und B haben auch einen einzigen gemeinsamen Teiler 1. Daher ac Und B gegenseitig einfach.

Folge 2. Lassen A Und B Koprimzahlen und let B teilt ak. Dann B teilt und k.

Wirklich. Aus der Behauptungsbedingung ak Und B einen gemeinsamen Teiler haben B. Aufgrund von Satz 1 gilt: B muss ein gemeinsamer Teiler sein B Und k. Somit B teilt k.

Folgerung 1 lässt sich verallgemeinern.

Folge 3. 1. Lassen Sie die Zahlen A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sind relativ zur Zahl Primzahlen B. Dann A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , das Produkt dieser Zahlen ist bezüglich der Zahl eine Primzahl B.

2. Lassen Sie uns zwei Zahlenreihen haben

so dass jede Zahl in der ersten Reihe eine Primzahl zu jeder Zahl in der zweiten Reihe ist. Dann das Produkt

Es gilt, solche Zahlen zu finden, die durch jede dieser Zahlen teilbar sind.

Wenn die Zahl teilbar ist durch A 1 , dann sieht es so aus sa 1 , wo S irgendeine Zahl. Wenn Q ist der größte gemeinsame Teiler von Zahlen A 1 und A 2 also

Wo S 1 ist eine ganze Zahl. Dann

Ist kleinstes gemeinsames Vielfaches von Zahlen A 1 und A 2 .

A 1 und A 2 Koprime, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen A 1 und A 2:

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Daraus folgt, dass jedes Vielfache der Zahlen A 1 , A 2 , A 3 muss ein Vielfaches von Zahlen sein ε Und A 3 und umgekehrt. Sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ε Und A 3 ist ε 1 . Außerdem ein Vielfaches von Zahlen A 1 , A 2 , A 3 , A 4 muss ein Vielfaches von Zahlen sein ε 1 und A 4 . Sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ε 1 und A 4 ist ε 2. So haben wir herausgefunden, dass alle Vielfachen von Zahlen A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m fallen mit Vielfachen einer bestimmten Zahl zusammen ε n , das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen.

Im besonderen Fall, wenn die Zahlen A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m teilerfremd, also das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen A 1 , A 2 hat wie oben gezeigt die Form (3). Weiter, seitdem A 3 Primzahlen in Bezug auf Zahlen A 1 , A 2 also A 3 ist eine relative Primzahl A 1 · A 2 (Folge 1). Also das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen A 1 ,A 2 ,A 3 ist eine Zahl A 1 · A 2 · A 3 . Wenn wir auf ähnliche Weise argumentieren, kommen wir zu den folgenden Behauptungen.

Stellungnahme 1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von teilerfremden Zahlen A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m ist gleich ihrem Produkt A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .

Stellungnahme 2. Jede Zahl, die durch jede der teilerfremden Zahlen teilbar ist A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m ist auch durch ihr Produkt teilbar A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .

Ein Vielfaches einer Zahl ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine bestimmte Zahl teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) einer Gruppe von Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch jede Zahl in der Gruppe gleichmäßig teilbar ist. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen Sie die Primfaktoren der gegebenen Zahlen ermitteln. LCM kann auch mit einer Reihe anderer Methoden berechnet werden, die auf Gruppen von zwei oder mehr Zahlen anwendbar sind.

Schritte

Mehrere Vielfache

Schauen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode eignet sich am besten, wenn zwei Zahlen angegeben werden, die beide kleiner als 10 sind. Wenn große Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

• Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 8. Da es sich um kleine Zahlen handelt, kann diese Methode verwendet werden.

1. Ein Vielfaches einer Zahl ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine bestimmte Zahl teilbar ist. In der Multiplikationstabelle können mehrere Zahlen gefunden werden.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind, sind beispielsweise: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Schreiben Sie eine Reihe von Zahlen auf, die ein Vielfaches der ersten Zahl sind. Tun Sie dies unter Vielfachen der ersten Zahl, um zwei Zahlenreihen zu vergleichen.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 8 sind, sind beispielsweise: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 und 64.

3. Finden Sie die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachreihen vorkommt. Möglicherweise müssen Sie lange Reihen von Vielfachen schreiben, um die Gesamtsumme zu ermitteln. Die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachreihen vorkommt, ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

   • Beispielsweise ist die kleinste Zahl, die in der Reihe der Vielfachen von 5 und 8 erscheint, 40. Daher ist 40 das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 8.

   Primfaktorzerlegung

   1. Schauen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode eignet sich am besten, wenn zwei Zahlen angegeben werden, die beide größer als 10 sind. Wenn kleinere Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

      • Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 84. Jede der Zahlen ist größer als 10, daher kann diese Methode verwendet werden.

   2. Faktorisieren Sie die erste Zahl. Das heißt, Sie müssen solche Primzahlen finden. Wenn Sie sie multiplizieren, erhalten Sie eine bestimmte Zahl. Nachdem Sie Primfaktoren gefunden haben, schreiben Sie sie als Gleichheit auf.

      • Zum Beispiel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Und 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Somit sind die Primfaktoren der Zahl 20 die Zahlen 2, 2 und 5. Schreiben Sie sie als Ausdruck auf: .

   3. Zerlegen Sie die zweite Zahl in Primfaktoren. Machen Sie dies auf die gleiche Weise, wie Sie die erste Zahl faktorisiert haben, d. h. finden Sie solche Primzahlen, die bei der Multiplikation diese Zahl ergeben.

      • Zum Beispiel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Und 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Somit sind die Primfaktoren der Zahl 84 die Zahlen 2, 7, 3 und 2. Schreiben Sie sie als Ausdruck auf: .

   4. Notieren Sie die gemeinsamen Faktoren beider Zahlen. Schreiben Sie solche Faktoren als Multiplikationsoperation. Wenn Sie jeden Faktor aufschreiben, streichen Sie ihn in beiden Ausdrücken durch (Ausdrücke, die die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschreiben).

      • Der gemeinsame Faktor beider Zahlen ist beispielsweise 2, also schreiben Sie 2 × (\displaystyle 2\times ) und streiche die 2 in beiden Ausdrücken durch.
      • Der gemeinsame Faktor beider Zahlen ist ein weiterer Faktor von 2, also schreiben Sie 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) und streichen Sie die zweite 2 in beiden Ausdrücken durch.

   5. Fügen Sie die verbleibenden Faktoren zur Multiplikationsoperation hinzu. Dabei handelt es sich um Faktoren, die in beiden Ausdrücken nicht durchgestrichen sind, also Faktoren, die nicht beiden Zahlen gemeinsam sind.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) beide Zweien (2) sind durchgestrichen, da es sich um gemeinsame Faktoren handelt. Der Faktor 5 ist nicht durchgestrichen, daher schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Im Ausdruck 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) beide Zweien (2) sind ebenfalls durchgestrichen. Die Faktoren 7 und 3 sind nicht durchgestrichen, daher schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Berechnen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen in der schriftlichen Multiplikationsoperation.

      • Zum Beispiel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 84 ist also 420.

   Gemeinsame Teiler finden

   1. Zeichnen Sie ein Raster, wie Sie es für eine Partie Tic-Tac-Toe tun würden. Ein solches Gitter besteht aus zwei parallelen Linien, die sich (im rechten Winkel) mit zwei anderen parallelen Linien schneiden. Dies führt zu drei Zeilen und drei Spalten (das Raster ähnelt stark dem #-Zeichen). Schreiben Sie die erste Zahl in die erste Zeile und die zweite Spalte. Schreiben Sie die zweite Zahl in die erste Zeile und die dritte Spalte.

      • Ermitteln Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30. Schreiben Sie 18 in die erste Zeile und zweite Spalte und 30 in die erste Zeile und dritte Spalte.

   2. Finden Sie den gemeinsamen Teiler beider Zahlen. Schreiben Sie es in die erste Zeile und die erste Spalte. Es ist besser, nach Primteilern zu suchen, aber das ist keine Voraussetzung.

      • Beispielsweise sind 18 und 30 gerade Zahlen, daher ist ihr gemeinsamer Teiler 2. Schreiben Sie also 2 in die erste Zeile und die erste Spalte.

   3. Teilen Sie jede Zahl durch den ersten Teiler. Schreiben Sie jeden Quotienten unter die entsprechende Zahl. Der Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen.

      • Zum Beispiel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), also schreibe 9 unter 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), also schreibe 15 unter 30.

   4. Finden Sie einen Teiler, der beiden Quotienten gemeinsam ist. Wenn es keinen solchen Teiler gibt, überspringen Sie die nächsten beiden Schritte. Andernfalls notieren Sie den Divisor in der zweiten Zeile und der ersten Spalte.

      • Beispielsweise sind 9 und 15 durch 3 teilbar, also schreiben Sie 3 in die zweite Zeile und die erste Spalte.

   5. Teilen Sie jeden Quotienten durch den zweiten Teiler. Schreiben Sie jedes Divisionsergebnis unter den entsprechenden Quotienten.

      • Zum Beispiel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), also schreibe 3 unter 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), also schreibe 5 unter 15.

   6. Ergänzen Sie das Raster bei Bedarf mit weiteren Zellen. Wiederholen Sie die obigen Schritte, bis die Quotienten einen gemeinsamen Teiler haben.

   7. Kreisen Sie die Zahlen in der ersten Spalte und der letzten Zeile des Rasters ein. Schreiben Sie dann die markierten Zahlen als Multiplikationsoperation.

      • Beispielsweise befinden sich die Zahlen 2 und 3 in der ersten Spalte und die Zahlen 3 und 5 in der letzten Zeile. Schreiben Sie die Multiplikationsoperation also wie folgt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Finden Sie das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen. Dadurch wird das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden angegebenen Zahlen berechnet.

      • Zum Beispiel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30 ist also 90.

   Euklids Algorithmus

   1. Denken Sie an die Terminologie im Zusammenhang mit der Divisionsoperation. Die Dividende ist die Zahl, die geteilt wird. Der Divisor ist die Zahl, durch die geteilt werden soll. Der Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen. Der Rest ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn zwei Zahlen geteilt werden.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ausruhen. 3:
        15 ist das Teilbare
        6 ist der Teiler
        2 ist privat
        3 ist der Rest.

Aber viele natürliche Zahlen sind gleichmäßig durch andere natürliche Zahlen teilbar.

Zum Beispiel:

Die Zahl 12 ist durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12 teilbar;

Die Zahl 36 ist durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36 teilbar.

Man nennt die Zahlen, durch die die Zahl teilbar ist (bei 12 sind es 1, 2, 3, 4, 6 und 12). Zahlenteiler. Teiler einer natürlichen Zahl A ist die natürliche Zahl, die die gegebene Zahl teilt A ohne jede Spur. Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Faktoren hat, heißt zusammengesetzt .

Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Das sind die Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen A Und B ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind A Und B.

gemeinsames Vielfaches Mehrere Zahlen nennt man die Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. Zum Beispiel, die Zahlen 9, 18 und 45 haben ein gemeinsames Vielfaches von 180. Aber auch 90 und 360 sind ihre gemeinsamen Vielfachen. Unter allen jgemeinsamen Vielfachen gibt es immer das kleinste, in diesem Fall ist es 90. Diese Zahl heißt am wenigstengemeinsames Vielfaches (LCM).

LCM ist immer eine natürliche Zahl, die größer sein muss als die größte der Zahlen, für die sie definiert ist.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM). Eigenschaften.

Kommutativität:

Assoziativität:

Insbesondere wenn und teilerfremde Zahlen sind, dann gilt:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier ganzer Zahlen M Und N ist ein Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen M Und N. Darüber hinaus die Menge der gemeinsamen Vielfachen m,n stimmt mit der Menge der Vielfachen für LCM überein( m,n).

Die Asymptotik für kann durch einige zahlentheoretische Funktionen ausgedrückt werden.

So, Tschebyscheff-Funktion. Und auch:

Dies ergibt sich aus der Definition und den Eigenschaften der Landau-Funktion g(n).

Was folgt aus dem Gesetz der Verteilung der Primzahlen?

Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).

NOC( a, b) kann auf verschiedene Arten berechnet werden:

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler bekannt ist, können Sie seine Beziehung zum LCM verwenden:

2. Die kanonische Zerlegung beider Zahlen in Primfaktoren sei bekannt:

Wo p 1 ,...,p k sind verschiedene Primzahlen, und d 1 ,...,dk Und e 1 ,...,ek sind nicht negative ganze Zahlen (sie können Null sein, wenn die entsprechende Primzahl nicht in der Erweiterung enthalten ist).

Dann LCM ( A,B) wird nach der Formel berechnet:

Mit anderen Worten: Die LCM-Entwicklung enthält alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlenentwicklungen enthalten sind a, b, und der größte der beiden Exponenten dieses Faktors wird genommen.

Beispiel:

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen lässt sich auf mehrere aufeinanderfolgende Berechnungen des LCM zweier Zahlen reduzieren:

Regel. Um den LCM einer Zahlenreihe zu ermitteln, benötigen Sie:

- Zahlen in Primfaktoren zerlegen;

- Übertragen Sie die größte Entwicklung auf die Faktoren des gewünschten Produkts (das Produkt der Faktoren der größten Anzahl der gegebenen) und addieren Sie dann Faktoren aus der Entwicklung anderer Zahlen, die in der ersten Zahl nicht vorkommen oder darin enthalten sind eine geringere Anzahl von Malen;

- Das resultierende Produkt der Primfaktoren ist das kgV der gegebenen Zahlen.

Zwei oder mehr natürliche Zahlen haben ihr eigenes LCM. Wenn die Zahlen keine Vielfachen voneinander sind oder in der Entwicklung nicht die gleichen Faktoren haben, ist ihr kgV gleich dem Produkt dieser Zahlen.

Die Primfaktoren der Zahl 28 (2, 2, 7) wurden mit dem Faktor 3 (der Zahl 21) ergänzt, das resultierende Produkt (84) ist die kleinste Zahl, die durch 21 und 28 teilbar ist.

Die Primfaktoren der größten Zahl 30 wurden mit dem Faktor 5 der Zahl 25 ergänzt, das resultierende Produkt 150 ist größer als die größte Zahl 30 und durch alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar. Dies ist das kleinstmögliche Produkt (150, 250, 300...), von dem alle gegebenen Zahlen Vielfache sind.

Die Zahlen 2,3,11,37 sind Primzahlen, daher ist ihr kgV gleich dem Produkt der gegebenen Zahlen.

Regel. Um den kgV von Primzahlen zu berechnen, müssen Sie alle diese Zahlen miteinander multiplizieren.

Andere Option:

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1) Stellen Sie jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar, zum Beispiel:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) Schreiben Sie die Potenzen aller Primfaktoren auf:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) Notieren Sie alle Primteiler (Multiplikatoren) jeder dieser Zahlen;

4) Wählen Sie jeweils den größten Grad aus, der in allen Entwicklungen dieser Zahlen zu finden ist;

5) Multiplizieren Sie diese Kräfte.

Beispiel. Finden Sie den LCM der Zahlen: 168, 180 und 3024.

Lösung. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wir schreiben die größten Potenzen aller Primteiler aus und multiplizieren sie:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Das Thema „Mehrfache Zahlen“ wird in der 5. Klasse einer Gesamtschule studiert. Ziel ist die Verbesserung der schriftlichen und mündlichen Fähigkeiten im mathematischen Rechnen. In dieser Lektion werden neue Konzepte eingeführt – „mehrfache Zahlen“ und „Teiler“, die Technik zum Finden von Teilern und Vielfachen einer natürlichen Zahl, die Fähigkeit, LCM auf verschiedene Weise zu finden, wird erarbeitet.

Dieses Thema ist sehr wichtig. Kenntnisse darüber können beim Lösen von Beispielen mit Brüchen angewendet werden. Dazu müssen Sie den gemeinsamen Nenner ermitteln, indem Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) berechnen.

Ein Vielfaches von A ist eine ganze Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist.

Jede natürliche Zahl hat unendlich viele Vielfache davon. Es gilt als das geringste. Ein Vielfaches kann nicht kleiner sein als die Zahl selbst.

Es muss nachgewiesen werden, dass die Zahl 125 ein Vielfaches der Zahl 5 ist. Dazu müssen Sie die erste Zahl durch die zweite dividieren. Wenn 125 ohne Rest durch 5 teilbar ist, lautet die Antwort „Ja“.

Diese Methode ist für kleine Zahlen anwendbar.

Bei der Berechnung des LCM gibt es Sonderfälle.

1. Wenn Sie ein gemeinsames Vielfaches für zwei Zahlen (zum Beispiel 80 und 20) finden müssen, wobei eine davon (80) ohne Rest durch die andere (20) teilbar ist, dann ist diese Zahl (80) die kleinste Vielfaches dieser beiden Zahlen.

LCM (80, 20) = 80.

2. Wenn zwei keinen gemeinsamen Teiler haben, können wir sagen, dass ihr LCM das Produkt dieser beiden Zahlen ist.

LCM (6, 7) = 42.

Betrachten Sie das letzte Beispiel. 6 und 7 im Verhältnis zu 42 sind Teiler. Sie dividieren ein Vielfaches ohne Rest.

In diesem Beispiel sind 6 und 7 Paarteiler. Ihr Produkt ist gleich dem größten Vielfachen (42).

Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar ist (3:1=3; 3:3=1). Der Rest wird als zusammengesetzt bezeichnet.

In einem anderen Beispiel müssen Sie feststellen, ob 9 ein Teiler von 42 ist.

42:9=4 (Rest 6)

Antwort: 9 ist kein Teiler von 42, da die Antwort einen Rest hat.

Ein Divisor unterscheidet sich von einem Vielfachen dadurch, dass der Divisor die Zahl ist, durch die natürliche Zahlen geteilt werden, und das Vielfache selbst durch diese Zahl teilbar ist.

Größter gemeinsamer Teiler der Zahlen A Und B, multipliziert mit ihrem kleinsten Vielfachen, ergibt das Produkt der Zahlen selbst A Und B.

Nämlich: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Gemeinsame Vielfache für komplexere Zahlen werden auf folgende Weise ermittelt.

Ermitteln Sie beispielsweise den LCM für 168, 180, 3024.

Wir zerlegen diese Zahlen in Primfaktoren und schreiben sie als Potenzprodukt:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Um zu verstehen, wie der LCM berechnet wird, sollten Sie zunächst die Bedeutung des Begriffs „Mehrfach“ ermitteln.

Ein Vielfaches von A ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist. Daher können 15, 20, 25 usw. als Vielfache von 5 betrachtet werden.

Es kann eine begrenzte Anzahl von Teilern einer bestimmten Zahl geben, aber es gibt unendlich viele Vielfache.

Ein gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die ohne Rest durch sie teilbar ist.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von Zahlen (zwei, drei oder mehr) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle diese Zahlen gleichmäßig teilbar ist.

Um das NOC zu finden, können Sie verschiedene Methoden verwenden.

Bei kleinen Zahlen ist es zweckmäßig, alle Vielfachen dieser Zahlen in einer Zeile aufzuschreiben, bis unter ihnen ein gemeinsames gefunden wird. Vielfache werden im Datensatz mit einem Großbuchstaben K gekennzeichnet.

Vielfache von 4 können beispielsweise so geschrieben werden:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Sie sehen also, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6 die Zahl 24 ist. Diese Eingabe erfolgt wie folgt:

LCM(4, 6) = 24

Wenn die Zahlen groß sind, ermitteln Sie das gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen. Dann ist es besser, eine andere Methode zur Berechnung des LCM zu verwenden.

Um die Aufgabe abzuschließen, ist es notwendig, die vorgeschlagenen Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Zuerst müssen Sie die Entwicklung der größten Zahl in einer Zeile aufschreiben und darunter den Rest.

Bei der Entwicklung jeder Zahl kann es eine unterschiedliche Anzahl von Faktoren geben.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahlen 50 und 20 in Primfaktoren zerlegen.

Bei der Entwicklung der kleineren Zahl sollte man die Faktoren hervorheben, die bei der Entwicklung der ersten größten Zahl fehlen, und diese dann hinzufügen. Im vorgestellten Beispiel fehlt eine Zwei.

Jetzt können wir das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 50 berechnen.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Somit ist das Produkt der Primfaktoren der größeren Zahl und der Faktoren der zweiten Zahl, die nicht in die Zerlegung der größeren Zahl einbezogen werden, das kleinste gemeinsame Vielfache.

Um das kgV von drei oder mehr Zahlen zu ermitteln, müssen alle wie im vorherigen Fall in Primfaktoren zerlegt werden.

Als Beispiel können Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 16, 24, 36 finden.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Somit wurden nur zwei Zweien aus der Zerlegung von sechzehn nicht in die Faktorisierung einer größeren Zahl einbezogen (eins ist in der Zerlegung von vierundzwanzig).

Daher müssen sie zur Zerlegung einer größeren Zahl hinzugefügt werden.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Es gibt Sonderfälle bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Wenn also eine der Zahlen ohne Rest durch eine andere geteilt werden kann, dann ist die größere dieser Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache.

Zum Beispiel wären die NOCs von zwölf und vierundzwanzig vierundzwanzig.

Wenn es notwendig ist, das kleinste gemeinsame Vielfache von teilerfremden Zahlen zu finden, die nicht die gleichen Teiler haben, dann ist ihr LCM gleich ihrem Produkt.

Beispiel: LCM(10, 11) = 110.