Κατασκευάστε ένα γράφημα της συνάρτησης χρησιμοποιώντας το γενικό σχήμα της μελέτης. Εξερεύνηση και σχεδίαση πλήρους λειτουργίας

Για πλήρη μελέτησυνάρτηση και κατασκευάζοντας το γράφημά της, συνιστάται να χρησιμοποιήσετε το ακόλουθο σχήμα:

1) βρείτε το εύρος της συνάρτησης.

2) βρείτε τα σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και των κατακόρυφων ασυμπτωμάτων (αν υπάρχουν).

3) Διερευνήστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο, βρείτε τις οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες.

4) Διερευνήστε τη συνάρτηση για ομοιότητα (περίεργο) και για περιοδικότητα (για τριγωνομετρικές συναρτήσεις).

5) βρείτε άκρα και διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.

6) προσδιορίστε τα διαστήματα κυρτότητας και καμπής.

7) βρείτε σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων, αν είναι δυνατόν, και μερικά επιπλέον σημεία που βελτιώνουν το γράφημα.

Η μελέτη της συνάρτησης πραγματοποιείται ταυτόχρονα με την κατασκευή του γραφήματος της.

Παράδειγμα 9Εξερευνήστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε ένα γράφημα.

1. Τομέας ορισμού: ;

2. Η συνάρτηση διακόπτεται σε σημεία
,
;

Διερευνούμε τη συνάρτηση για την παρουσία κάθετων ασυμπτωμάτων.

;
,
─ κατακόρυφη ασύμπτωτη.

;
,
─ κατακόρυφη ασύμπτωτη.

3. Διερευνούμε τη συνάρτηση για την παρουσία λοξών και οριζόντιων ασυμπτωμάτων.

Ευθεία
─ πλάγιο ασύμπτωτο, αν
,
.

,
.

Ευθεία
─ οριζόντια ασύμπτωτη.

4. Η συνάρτηση είναι άρτια επειδή
. Η ισοτιμία της συνάρτησης δείχνει τη συμμετρία της γραφικής παράστασης ως προς τον άξονα y.

5. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και ακρότατου της συνάρτησης.

Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία, δηλ. σημεία όπου η παράγωγος είναι 0 ή δεν υπάρχει:
;
. Έχουμε τρεις βαθμούς
;

. Αυτά τα σημεία χωρίζουν ολόκληρο τον πραγματικό άξονα σε τέσσερα διαστήματα. Ας ορίσουμε τα σημάδια σε καθένα από αυτά.

Στα διαστήματα (-∞; -1) και (-1; 0) η συνάρτηση αυξάνεται, στα διαστήματα (0; 1) και (1; +∞) μειώνεται. Όταν διέρχεται από ένα σημείο
η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον, επομένως, σε αυτό το σημείο, η συνάρτηση έχει ένα μέγιστο
.

6. Ας βρούμε διαστήματα κυρτότητας, σημεία καμπής.

Ας βρούμε τα σημεία που είναι 0 ή δεν υπάρχει.

δεν έχει πραγματικές ρίζες.
,
,

σημεία
Και
διαιρέστε τον πραγματικό άξονα σε τρία διαστήματα. Ας ορίσουμε το σημάδι σε κάθε μεσοδιάστημα.

Έτσι, η καμπύλη στα διαστήματα
Και
κυρτό προς τα κάτω, στο διάστημα (-1;1) κυρτό προς τα πάνω. δεν υπάρχουν σημεία καμπής, αφού η συνάρτηση στα σημεία
Και
δεν καθορίζεται.

7. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες.

με άξονα
η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνεται στο σημείο (0; -1), και με τον άξονα
το γράφημα δεν τέμνεται, γιατί ο αριθμητής αυτής της συνάρτησης δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Το γράφημα της δεδομένης συνάρτησης φαίνεται στο σχήμα 1.

Εικόνα 1 ─ Γράφημα της συνάρτησης

Εφαρμογή της έννοιας του παραγώγου στα οικονομικά. Ελαστικότητα λειτουργίας

Για τη μελέτη των οικονομικών διαδικασιών και την επίλυση άλλων εφαρμοζόμενων προβλημάτων, χρησιμοποιείται συχνά η έννοια της ελαστικότητας συνάρτησης.

Ορισμός.Ελαστικότητα λειτουργίας
ονομάζεται όριο του λόγου της σχετικής αύξησης της συνάρτησης στη σχετική αύξηση της μεταβλητής στο
, . (VII)

Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης δείχνει περίπου πόσο τοις εκατό θα αλλάξει η συνάρτηση
κατά την αλλαγή της ανεξάρτητης μεταβλητής κατά 1%.

Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης χρησιμοποιείται στην ανάλυση της ζήτησης και της κατανάλωσης. Εάν η ελαστικότητα της ζήτησης (σε απόλυτη τιμή)
, τότε η ζήτηση θεωρείται ελαστική αν
─ ουδέτερο αν
─ ανελαστικό ως προς την τιμή (ή το εισόδημα).

Παράδειγμα 10Να υπολογίσετε την ελαστικότητα μιας συνάρτησης
και βρείτε την τιμή του δείκτη ελαστικότητας για = 3.

Λύση: σύμφωνα με τον τύπο (VII) η ελαστικότητα της συνάρτησης:

Έστω x=3 τότε
Αυτό σημαίνει ότι εάν η ανεξάρτητη μεταβλητή αυξηθεί κατά 1%, τότε η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής θα αυξηθεί κατά 1,42%.

Παράδειγμα 11Αφήστε τη ζήτηση να λειτουργήσει σχετικά με την τιμή έχει τη μορφή
, Οπου ─ σταθερός συντελεστής. Βρείτε την τιμή του δείκτη ελαστικότητας της συνάρτησης ζήτησης στην τιμή x = 3 den. μονάδες

Λύση: υπολογίστε την ελαστικότητα της συνάρτησης ζήτησης χρησιμοποιώντας τον τύπο (VII)

Υποθέτοντας
νομισματικές μονάδες, παίρνουμε
. Αυτό σημαίνει ότι στην τιμή
νομισματική μονάδα μια αύξηση της τιμής κατά 1% θα προκαλέσει μείωση της ζήτησης κατά 6%, δηλ. η ζήτηση είναι ελαστική.

Σήμερα σας προσκαλούμε να εξερευνήσετε και να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης μαζί μας. Μετά από μια προσεκτική μελέτη αυτού του άρθρου, δεν θα χρειαστεί να ιδρώσετε για μεγάλο χρονικό διάστημα για να ολοκληρώσετε αυτό το είδος εργασίας. Δεν είναι εύκολο να εξερευνήσετε και να δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, η εργασία είναι ογκώδης, απαιτεί μέγιστη προσοχή και ακρίβεια των υπολογισμών. Για να διευκολύνουμε την αντίληψη του υλικού, θα μελετήσουμε σταδιακά την ίδια λειτουργία, θα εξηγήσουμε όλες τις ενέργειες και τους υπολογισμούς μας. Καλώς ήρθατε στον εκπληκτικό και συναρπαστικό κόσμο των μαθηματικών! Πηγαίνω!

Τομέα

Για να εξερευνήσετε και να σχεδιάσετε μια συνάρτηση, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς ορισμούς. Η συνάρτηση είναι μια από τις βασικές (βασικές) έννοιες στα μαθηματικά. Αντικατοπτρίζει την εξάρτηση μεταξύ πολλών μεταβλητών (δύο, τρεις ή περισσότερες) με αλλαγές. Η συνάρτηση δείχνει επίσης την εξάρτηση των συνόλων.

Φανταστείτε ότι έχουμε δύο μεταβλητές που έχουν ένα συγκεκριμένο εύρος μεταβολών. Άρα, το y είναι συνάρτηση του x, με την προϋπόθεση ότι κάθε τιμή της δεύτερης μεταβλητής αντιστοιχεί σε μία τιμή της δεύτερης. Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή y είναι εξαρτημένη και ονομάζεται συνάρτηση. Συνηθίζεται να λέμε ότι οι μεταβλητές x και y βρίσκονται σε Για μεγαλύτερη σαφήνεια αυτής της εξάρτησης, δημιουργείται ένα γράφημα της συνάρτησης. Τι είναι ένα γράφημα συνάρτησης; Αυτό είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων, όπου κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία τιμή του y. Τα γραφήματα μπορεί να είναι διαφορετικά - μια ευθεία γραμμή, υπερβολή, παραβολή, ημιτονοειδής και ούτω καθεξής.

Ένα γράφημα συνάρτησης δεν μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς εξερεύνηση. Σήμερα θα μάθουμε πώς να διεξάγουμε έρευνα και να σχεδιάζουμε ένα γράφημα συνάρτησης. Είναι πολύ σημαντικό να κρατάτε σημειώσεις κατά τη διάρκεια της μελέτης. Έτσι θα είναι πολύ πιο εύκολο να αντιμετωπίσετε το έργο. Το πιο βολικό σχέδιο μελέτης:

1. Τομέα.
2. Συνέχεια.
3. Ζυγά η μονά.
4. Περιοδικότης.
5. Ασύμπτωτοι.
6. Μηδενικά.
7. Σταθερότητα.
8. Αύξουσα και καθοδική.
9. Ακρα.
10. Κυρτότητα και κοιλότητα.

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο σημείο. Ας βρούμε τον τομέα ορισμού, δηλαδή σε ποια διαστήματα υπάρχει η συνάρτησή μας: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση υπάρχει για οποιεσδήποτε τιμές του x, δηλαδή ο τομέας ορισμού είναι R. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως xОR.

Συνέχεια

Τώρα θα εξερευνήσουμε τη συνάρτηση ασυνέχειας. Στα μαθηματικά, ο όρος «συνέχεια» εμφανίστηκε ως αποτέλεσμα της μελέτης των νόμων της κίνησης. Τι είναι το άπειρο; Χώρος, χρόνος, ορισμένες εξαρτήσεις (ένα παράδειγμα είναι η εξάρτηση των μεταβλητών S και t σε προβλήματα κίνησης), η θερμοκρασία του θερμαινόμενου αντικειμένου (νερό, τηγάνι, θερμόμετρο κ.λπ.), μια συνεχής γραμμή (δηλαδή, ένα που μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να το αφαιρέσετε από το μολύβι του φύλλου).

Ένα γράφημα θεωρείται συνεχές αν δεν σπάσει κάποια στιγμή. Ενα από τα πολλά καλά παραδείγματαένα τέτοιο γράφημα είναι ένα ημιτονοειδές κύμα, το οποίο μπορείτε να δείτε στην εικόνα σε αυτήν την ενότητα. Η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x0 εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις:

• μια συνάρτηση ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο.
• τα δεξιά και τα αριστερά όρια σε ένα σημείο είναι ίσα.
• το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x0.

Εάν δεν πληρούται τουλάχιστον μία προϋπόθεση, η λειτουργία λέγεται ότι διακόπτεται. Και τα σημεία στα οποία διακόπτεται η συνάρτηση ονομάζονται σημεία διακοπής. Ένα παράδειγμα συνάρτησης που θα "σπάσει" όταν εμφανίζεται γραφικά είναι: y=(x+4)/(x-3). Επιπλέον, το y δεν υπάρχει στο σημείο x = 3 (αφού είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν).

Στη συνάρτηση που μελετάμε (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) όλα αποδείχθηκαν απλά, αφού το γράφημα θα είναι συνεχές.

Ζυγά μονά

Τώρα εξετάστε τη συνάρτηση για ισοτιμία. Ας ξεκινήσουμε με μια μικρή θεωρία. Μια άρτια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη f (-x) = f (x) για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x (από το εύρος τιμών). Παραδείγματα είναι:

• ενότητα x (το γράφημα μοιάζει με τσαμπουκά, η διχοτόμος του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου του γραφήματος).
• x τετράγωνο (παραβολή);
• συνημίτονο x (συνημιτονικό κύμα).

Σημειώστε ότι όλα αυτά τα γραφήματα είναι συμμετρικά όταν τα βλέπουμε ως προς τον άξονα y.

Τι ονομάζεται λοιπόν περιττή συνάρτηση; Αυτές είναι οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την συνθήκη: f (-x) \u003d - f (x) για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x. Παραδείγματα:

• υπερβολή;
• κυβική παραβολή?
• ημιτονοειδής?
• εφαπτομένη και ούτω καθεξής.

Σημειώστε ότι αυτές οι συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς το σημείο (0:0), δηλαδή την αρχή. Με βάση όσα ειπώθηκαν σε αυτήν την ενότητα του άρθρου, μια άρτια και περιττή συνάρτηση πρέπει να έχει την ιδιότητα: το x ανήκει στο σύνολο ορισμού και το -x επίσης.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση για ισοτιμία. Μπορούμε να δούμε ότι δεν ταιριάζει σε καμία από τις περιγραφές. Επομένως, η συνάρτησή μας δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Ασύμπτωτοι

Ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Ασύμπτωτη είναι μια καμπύλη που είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο γράφημα, δηλαδή η απόσταση από κάποιο σημείο τείνει στο μηδέν. Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων:

• κατακόρυφη, δηλαδή παράλληλη στον άξονα y.
• οριζόντια, δηλαδή παράλληλα με τον άξονα x.
• λοξός.

Όσον αφορά τον πρώτο τύπο, αυτές οι γραμμές θα πρέπει να αναζητηθούν σε ορισμένα σημεία:

• χάσμα;
• άκρα του τομέα.

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση είναι συνεχής και το πεδίο ορισμού είναι το R. Επομένως, δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει μια οριζόντια ασύμπτωτη, η οποία πληροί την ακόλουθη απαίτηση: αν το x τείνει στο άπειρο ή μείον το άπειρο, και το όριο είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό (για παράδειγμα, a). ΣΕ αυτή η υπόθεση y=a είναι η οριζόντια ασύμπτωτη. Δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύμπτωτες στη συνάρτηση που μελετάμε.

Μια λοξή ασύμπτωτη υπάρχει μόνο εάν πληρούνται δύο προϋποθέσεις:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Τότε μπορεί να βρεθεί με τον τύπο: y=kx+b. Και πάλι, στην περίπτωσή μας δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

Συναρτήσεις μηδενικά

Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε το γράφημα της συνάρτησης για μηδενικά. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι η εργασία που σχετίζεται με την εύρεση των μηδενικών μιας συνάρτησης εμφανίζεται όχι μόνο στη μελέτη και κατασκευή ενός γραφήματος συνάρτησης, αλλά και ως ανεξάρτητη εργασία και ως τρόπος επίλυσης ανισώσεων. Μπορεί να σας ζητηθεί να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα ή να χρησιμοποιήσετε μαθηματικούς συμβολισμούς.

Η εύρεση αυτών των τιμών θα σας βοηθήσει να σχεδιάσετε τη συνάρτηση με μεγαλύτερη ακρίβεια. Αν για να μιλήσω απλή γλώσσα, τότε το μηδέν της συνάρτησης είναι η τιμή της μεταβλητής x, στην οποία y=0. Αν ψάχνετε για τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα, τότε θα πρέπει να προσέξετε τα σημεία όπου το γράφημα τέμνεται με τον άξονα x.

Για να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Αφού κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς, παίρνουμε την εξής απάντηση:

σημάδι σταθερότητας

Το επόμενο στάδιο στη μελέτη και κατασκευή μιας συνάρτησης (γραφικά) είναι η εύρεση διαστημάτων σταθερότητας πρόσημου. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να προσδιορίσουμε σε ποια διαστήματα η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή και σε ποια διαστήματα παίρνει αρνητική τιμή. Τα μηδενικά των συναρτήσεων που βρέθηκαν στην προηγούμενη ενότητα θα μας βοηθήσουν να το κάνουμε αυτό. Επομένως, πρέπει να δημιουργήσουμε μια ευθεία γραμμή (ξεχωριστά από το γράφημα) και να κατανείμουμε τα μηδενικά της συνάρτησης κατά μήκος της με τη σωστή σειρά από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο. Τώρα πρέπει να προσδιορίσετε ποια από τα διαστήματα που προκύπτουν έχει σύμβολο "+" και ποιο έχει "-".

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή στα διαστήματα:

• από 1 έως 4?
• από το 9 στο άπειρο.

Αρνητική σημασία:

• από μείον άπειρο έως 1.
• από 4 έως 9.

Αυτό είναι αρκετά εύκολο να προσδιοριστεί. Αντικαταστήστε οποιονδήποτε αριθμό από το διάστημα στη συνάρτηση και δείτε ποιο πρόσημο είναι η απάντηση (μείον ή συν).

Λειτουργία Αύξουσα και Φθίνουσα

Για να εξερευνήσουμε και να δημιουργήσουμε μια συνάρτηση, πρέπει να ξέρουμε πού θα αυξηθεί το γράφημα (ανεβαίνει στο Oy) και πού θα πέσει (έρπουσα προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα y).

Η συνάρτηση αυξάνεται μόνο εάν η μεγαλύτερη τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή του y. Δηλαδή, το x2 είναι μεγαλύτερο από το x1 και το f(x2) είναι μεγαλύτερο από το f(x1). Και παρατηρούμε ένα εντελώς αντίθετο φαινόμενο σε μια φθίνουσα συνάρτηση (όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y). Για να προσδιορίσετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης, πρέπει να βρείτε τα ακόλουθα:

• πεδίο εφαρμογής (το έχουμε ήδη)
• παράγωγο (στην περίπτωσή μας: 1/3(3x^2-28x+49);
• λύστε την εξίσωση 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Μετά τους υπολογισμούς, παίρνουμε το αποτέλεσμα:

Παίρνουμε: η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα από το μείον άπειρο στο 7/3 και από το 7 στο άπειρο και μειώνεται στο διάστημα από 7/3 στο 7.

Ακρα

Η συνάρτηση που διερευνήθηκε y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) είναι συνεχής και υπάρχει για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής x. Το ακραίο σημείο δείχνει το μέγιστο και το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας, δεν υπάρχουν, κάτι που απλοποιεί πολύ το έργο κατασκευής. Διαφορετικά, βρίσκονται επίσης χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση παραγώγου. Μετά την εύρεση, μην ξεχάσετε να τα σημειώσετε στο διάγραμμα.

Κυρτότητα και κοιλότητα

Συνεχίζουμε να μελετάμε τη συνάρτηση y(x). Τώρα πρέπει να το ελέγξουμε για κυρτότητα και κοιλότητα. Οι ορισμοί αυτών των εννοιών είναι αρκετά δύσκολο να γίνουν αντιληπτοί, είναι καλύτερο να αναλύσουμε τα πάντα με παραδείγματα. Για τη δοκιμή: μια συνάρτηση είναι κυρτή αν είναι μη φθίνουσα συνάρτηση. Συμφωνώ, αυτό είναι ακατανόητο!

Πρέπει να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης δεύτερης τάξης. Παίρνουμε: y=1/3(6x-28). Τώρα εξισώνουμε τη δεξιά πλευρά με το μηδέν και λύνουμε την εξίσωση. Απάντηση: x=14/3. Βρήκαμε το σημείο καμπής, δηλαδή το σημείο όπου το γράφημα αλλάζει από κυρτό σε κοίλο ή αντίστροφα. Στο διάστημα από μείον άπειρο έως 14/3, η συνάρτηση είναι κυρτή και από 14/3 έως συν άπειρο, είναι κοίλη. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι το σημείο καμπής στο διάγραμμα πρέπει να είναι ομαλό και απαλό, όχι αιχμηρές γωνίεςδεν πρέπει να είναι παρών.

Ορισμός πρόσθετων σημείων

Το καθήκον μας είναι να εξερευνήσουμε και να σχεδιάσουμε το γράφημα συνάρτησης. Έχουμε ολοκληρώσει τη μελέτη, δεν θα είναι δύσκολο να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση τώρα. Για πιο ακριβή και λεπτομερή αναπαραγωγή μιας καμπύλης ή μιας ευθείας γραμμής στο επίπεδο συντεταγμένων, μπορείτε να βρείτε πολλά βοηθητικά σημεία. Είναι πολύ εύκολο να τα υπολογίσεις. Για παράδειγμα, παίρνουμε x=3, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουμε y=4. Ή x=5 και y=-5 και ούτω καθεξής. Μπορείτε να πάρετε όσους επιπλέον πόντους χρειάζεστε για να δημιουργήσετε. Βρίσκονται τουλάχιστον 3-5 από αυτά.

Κατασκευή διαγράμματος

Χρειάστηκε να διερευνήσουμε τη συνάρτηση (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Όλα τα απαραίτητα σημάδια κατά τη διάρκεια των υπολογισμών έγιναν στο επίπεδο συντεταγμένων. Το μόνο που μένει να γίνει είναι να φτιάξουμε ένα γράφημα, δηλαδή να συνδέσουμε όλα τα σημεία μεταξύ τους. Η σύνδεση των κουκκίδων είναι ομαλή και ακριβής, αυτό είναι θέμα δεξιότητας - λίγη εξάσκηση και το πρόγραμμά σας θα είναι τέλειο.

Εντολή

Βρείτε το εύρος της συνάρτησης. Για παράδειγμα, η συνάρτηση sin(x) ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα από -∞ έως +∞ και η συνάρτηση 1/x ορίζεται από -∞ έως +∞, εκτός από το σημείο x = 0.

Ορίστε περιοχές συνέχειας και σημεία διακοπής. Συνήθως μια συνάρτηση είναι συνεχής στον ίδιο τομέα όπου ορίζεται. Για να ανιχνεύσετε ασυνέχειες, πρέπει να υπολογίσετε πότε το όρισμα προσεγγίζει μεμονωμένα σημεία εντός του τομέα ορισμού. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 1/x τείνει στο άπειρο όταν x→0+ και στο μείον άπειρο όταν x→0-. Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο x = 0 έχει ασυνέχεια δεύτερου είδους.
Εάν τα όρια στο σημείο ασυνέχειας είναι πεπερασμένα αλλά όχι ίσα, τότε πρόκειται για ασυνέχεια πρώτου είδους. Αν είναι ίσες, τότε η συνάρτηση θεωρείται συνεχής, αν και δεν ορίζεται σε απομονωμένο σημείο.

Βρείτε τις κάθετες ασύμπτωτες, εάν υπάρχουν. Οι υπολογισμοί από το προηγούμενο βήμα θα σας βοηθήσουν εδώ, αφού η κατακόρυφη ασύμπτωτη βρίσκεται σχεδόν πάντα στο σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους. Ωστόσο, μερικές φορές δεν εξαιρούνται μεμονωμένα σημεία από το πεδίο ορισμού, αλλά ολόκληρα διαστήματα σημείων και, στη συνέχεια, οι κάθετες ασύμπτωτες μπορούν να εντοπιστούν στα άκρα αυτών των διαστημάτων.

Ελέγξτε εάν η συνάρτηση έχει ειδικές ιδιότητες: ζυγές, περιττές και περιοδικές.
Η συνάρτηση θα είναι άρτια αν για οποιοδήποτε x στον τομέα f(x) = f(-x). Για παράδειγμα, οι cos(x) και x^2 είναι ζυγές συναρτήσεις.

Η περιοδικότητα είναι μια ιδιότητα που λέει ότι υπάρχει ένας ορισμένος αριθμός Τ που ονομάζεται περίοδος, ο οποίος για κάθε x f(x) = f(x + T). Για παράδειγμα, όλα τα κύρια τριγωνομετρικές συναρτήσεις(ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη) - περιοδικό.

Βρείτε σημεία. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε την παράγωγο της δεδομένης συνάρτησης και βρείτε αυτές τις τιμές x όπου εξαφανίζεται. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x^3 + 9x^2 -15 έχει μια παράγωγο g(x) = 3x^2 + 18x που εξαφανίζεται στο x = 0 και x = -6.

Για να προσδιορίσετε ποια ακραία σημεία είναι μέγιστα και ποια ελάχιστα, ανιχνεύστε την αλλαγή στα πρόσημα της παραγώγου στα μηδενικά που βρέθηκαν. Η g(x) αλλάζει πρόσημο από συν στο x = -6 και πίσω από μείον σε συν στο x = 0. Επομένως, η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστο στο πρώτο σημείο και ελάχιστο στο δεύτερο.

Έτσι, βρήκατε επίσης περιοχές μονοτονίας: η f(x) αυξάνεται μονοτονικά στο διάστημα -∞;-6, μειώνεται μονοτονικά στο -6;0 και αυξάνεται ξανά στο 0;+∞.

Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο. Οι ρίζες της θα δείχνουν πού θα είναι κυρτή η γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης και πού θα είναι κοίλη. Για παράδειγμα, η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x) θα είναι h(x) = 6x + 18. Εξαφανίζεται στο x = -3, αλλάζοντας το πρόσημά της από μείον σε συν. Επομένως, το γράφημα f (x) πριν από αυτό το σημείο θα είναι κυρτό, μετά από αυτό - κοίλο, και αυτό το ίδιο το σημείο θα είναι ένα σημείο καμπής.

Μια συνάρτηση μπορεί να έχει άλλες ασύμπτωτες, εκτός από κάθετες, αλλά μόνο εάν ο τομέας ορισμού της περιλαμβάνει . Για να τα βρείτε, υπολογίστε το όριο της f(x) όταν x→∞ ή x→-∞. Αν είναι πεπερασμένο, τότε έχετε βρει την οριζόντια ασύμπτωτη.

Η πλάγια ασύμπτωτη είναι μια ευθεία της μορφής kx + b. Για να βρείτε το k, υπολογίστε το όριο της f(x)/x ως x→∞. Να βρείτε το b - όριο (f(x) – kx) με το ίδιο x→∞.

Σχεδιάστε τη συνάρτηση στα υπολογισμένα δεδομένα. Επισημάνετε τα ασύμπτωτα, εάν υπάρχουν. Σημειώστε τα ακραία σημεία και τις τιμές συνάρτησης σε αυτά. Για μεγαλύτερη ακρίβεια του γραφήματος, υπολογίστε τις τιμές των συναρτήσεων σε πολλά ακόμη ενδιάμεσα σημεία. Η έρευνα ολοκληρώθηκε.

Ένα από τα πιο σημαντικά καθήκοντα διαφορικός λογισμόςείναι η ανάπτυξη κοινά παραδείγματαμελέτες για τη συμπεριφορά των συναρτήσεων.

Εάν η συνάρτηση y \u003d f (x) είναι συνεχής στο διάστημα και η παράγωγός της είναι θετική ή ίση με 0 στο διάστημα (a, b), τότε το y \u003d f (x) αυξάνεται κατά (f "(x) 0). Εάν η συνάρτηση y \u003d f (x) είναι συνεχής στο τμήμα , και η παράγωγός της είναι αρνητική ή ίση με 0 στο διάστημα (a,b), τότε το y=f(x) μειώνεται κατά (f"( x)0)

Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση δεν μειώνεται ή αυξάνεται ονομάζονται διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης. Η φύση της μονοτονίας μιας συνάρτησης μπορεί να αλλάξει μόνο σε εκείνα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία αλλάζει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου. Τα σημεία στα οποία η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης εξαφανίζεται ή διακόπτεται ονομάζονται κρίσιμα σημεία.

Θεώρημα 1 (1η επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη άκρου).

Έστω η συνάρτηση y=f(x) να οριστεί στο σημείο x 0 και έστω μια γειτονιά δ>0 τέτοια ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο τμήμα , διαφοροποιήσιμη στο διάστημα (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , και η παράγωγός του διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. Τότε αν στα x 0 -δ, x 0) και (x 0, x 0 + δ) τα πρόσημα της παραγώγου είναι διαφορετικά, τότε το x 0 είναι ακραίο σημείο και αν ταιριάζουν, τότε το x 0 δεν είναι ακραίο σημείο . Επιπλέον, εάν, όταν διέρχεται από το σημείο x0, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (στα αριστερά του x 0, εκτελείται f "(x)> 0, τότε το x 0 είναι το μέγιστο σημείο· εάν η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από το μείον στο συν (στα δεξιά του x 0 εκτελείται από το f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία ονομάζονται ακραία σημεία της συνάρτησης και τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης ονομάζονται ακραίες τιμές της.

Θεώρημα 2 (απαραίτητο κριτήριο για τοπικό άκρο).

Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει άκρο στο ρεύμα x=x 0, τότε είτε f'(x 0)=0 είτε f'(x 0) δεν υπάρχει.
Στα ακραία σημεία μιας διαφορίσιμης συνάρτησης, η εφαπτομένη στη γραφική της παράσταση είναι παράλληλη προς τον άξονα Ox.

Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ένα άκρο:

1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2) Βρείτε κρίσιμα σημεία, δηλ. σημεία όπου η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγος είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.
3) Εξετάστε τη γειτονιά καθενός από τα σημεία και εξετάστε το πρόσημο της παραγώγου αριστερά και δεξιά αυτού του σημείου.
4) Προσδιορίστε τις συντεταγμένες των ακραίων σημείων, για αυτήν την τιμή των κρίσιμων σημείων, αντικαταστήστε τη συνάρτηση αυτή. Χρησιμοποιώντας επαρκείς ακραίες συνθήκες, βγάλτε τα κατάλληλα συμπεράσματα.

Παράδειγμα 18. Διερευνήστε τη συνάρτηση y=x 3 -9x 2 +24x

Λύση.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Εξισώνοντας την παράγωγο με το μηδέν, βρίσκουμε x 1 =2, x 2 =4. Σε αυτή την περίπτωση, η παράγωγος ορίζεται παντού. Ως εκ τούτου, εκτός από τα δύο σημεία που βρέθηκαν, δεν υπάρχουν άλλα κρίσιμα σημεία.
3) Το πρόσημο της παραγώγου y "=3(x-2)(x-4) αλλάζει ανάλογα με το διάστημα όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Όταν διέρχεται από το σημείο x=2, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, και κατά τη διέλευση από το σημείο x=4 - από μείον στο συν.
4) Στο σημείο x=2, η συνάρτηση έχει μέγιστο y max =20 και στο σημείο x=4 - ελάχιστο y min =16.

Θεώρημα 3. (2η επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη ακρότατου).

Έστω f "(x 0) και f "" (x 0) υπάρχουν στο σημείο x 0. Τότε αν f "" (x 0)> 0, τότε x 0 είναι το ελάχιστο σημείο, και αν f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Στο τμήμα, η συνάρτηση y \u003d f (x) μπορεί να φτάσει τη μικρότερη (τουλάχιστον) ή τη μεγαλύτερη (το πολύ) τιμή είτε στα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης που βρίσκονται στο διάστημα (a; b) είτε στα άκρα του τμήματος.

Ο αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνεχούς συνάρτησης y=f(x) στο τμήμα:

1) Βρείτε το f "(x).
2) Βρείτε τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει f "(x) = 0 ή f" (x) - και επιλέξτε από αυτά αυτά που βρίσκονται μέσα στο τμήμα.
3) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης y \u003d f (x) στα σημεία που λαμβάνονται στην παράγραφο 2), καθώς και στα άκρα του τμήματος και επιλέξτε το μεγαλύτερο και το μικρότερο από αυτά: είναι, αντίστοιχα, τα μεγαλύτερα ( για τη μεγαλύτερη) και τη μικρότερη (για τη μικρότερη) τιμές συναρτήσεων στο τμήμα .

Παράδειγμα 19. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης y=x 3 -3x 2 -45+225 στο τμήμα .

1) Έχουμε y "=3x 2 -6x-45 στο τμήμα
2) Η παράγωγος y" υπάρχει για όλα τα x. Ας βρούμε τα σημεία όπου y"=0; παίρνουμε:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Μόνο το σημείο x=5 ανήκει στο τμήμα. Η μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης που βρέθηκαν είναι 225 και η μικρότερη είναι ο αριθμός 50. Άρα, στο max = 225, στο max = 50.

Διερεύνηση συνάρτησης κυρτότητας

Το σχήμα δείχνει τα γραφήματα δύο συναρτήσεων. Το πρώτο από αυτά είναι γυρισμένο με μια διόγκωση προς τα πάνω, το δεύτερο - με μια διόγκωση προς τα κάτω.

Η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής στο τμήμα και διαφορίσιμη στο διάστημα (a;b), ονομάζεται κυρτή προς τα πάνω (κάτω) σε αυτό το τμήμα, εάν για το axb η γραφική παράσταση της δεν βρίσκεται υψηλότερη (όχι χαμηλότερη) από την εφαπτομένη σχεδιασμένο σε οποιοδήποτε σημείο M 0 (x 0 ;f(x 0)), όπου axb.

Θεώρημα 4. Έστω η συνάρτηση y=f(x) να έχει δεύτερη παράγωγο σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο x του τμήματος και να είναι συνεχής στα άκρα αυτού του τμήματος. Τότε αν η ανισότητα f""(x)0 ικανοποιείται στο διάστημα (a;b), τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω στο τμήμα ; αν η ανισότητα f""(x)0 ικανοποιείται στο διάστημα (а;b), τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω στο .

Θεώρημα 5. Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα (a;b) και αν αλλάξει πρόσημο όταν διέρχεται από το σημείο x 0 , τότε το M(x 0 ;f(x 0)) είναι ένα σημείο καμπής.

Κανόνας για την εύρεση σημείων καμπής:

1) Βρείτε σημεία όπου η f""(x) δεν υπάρχει ή εξαφανίζεται.
2) Εξετάστε το σύμβολο f""(x) αριστερά και δεξιά από κάθε σημείο που βρίσκεται στο πρώτο βήμα.
3) Με βάση το Θεώρημα 4, βγάλτε ένα συμπέρασμα.

Παράδειγμα 20. Να βρείτε ακραία σημεία και σημεία καμπής της γραφικής παράστασης συνάρτησης y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Έχουμε f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Προφανώς, f"(x)=0 για x 1 =0, x 2 =1. Η παράγωγος, όταν διέρχεται από το σημείο x=0, αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, και όταν περνά από το σημείο x=1, δεν αλλάζει πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι x=0 είναι το ελάχιστο σημείο (y min =12), και δεν υπάρχει άκρο στο σημείο x=1. Στη συνέχεια, βρίσκουμε . Η δεύτερη παράγωγος εξαφανίζεται στα σημεία x 1 =1, x 2 =1/3. Τα πρόσημα της δεύτερης παραγώγου αλλάζουν ως εξής: Στην ακτίνα (-∞;) έχουμε f""(x)>0, στο διάστημα (;1) έχουμε f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Επομένως, x= είναι το σημείο καμπής του γραφήματος συνάρτησης (μετάβαση από την κυρτότητα προς τα κάτω στην κυρτότητα προς τα πάνω) και το x=1 είναι επίσης σημείο καμπής (μετάβαση από κυρτότητα προς τα πάνω στην κυρτότητα προς τα κάτω). Αν x=, τότε y= ; αν, τότε x=1, y=13.

Ένας αλγόριθμος για την εύρεση της ασύμπτοτης ενός γραφήματος

I. Αν y=f(x) ως x → a , τότε το x=a είναι κάθετη ασύμπτωτη.
II. Αν y=f(x) ως x → ∞ ή x → -∞ τότε y=A είναι η οριζόντια ασύμπτωτη.
III. Για να βρούμε την πλάγια ασύμπτωτη, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
1) Υπολογίστε. Αν το όριο υπάρχει και είναι ίσο με b, τότε το y=b είναι η οριζόντια ασύμπτωτη. αν , τότε μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.
2) Υπολογίστε. Αν αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε δεν υπάρχει ασύμπτωτο. αν υπάρχει και είναι ίσο με k, τότε πηγαίνετε στο τρίτο βήμα.
3) Υπολογίστε. Αν αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε δεν υπάρχει ασύμπτωτο. αν υπάρχει και ισούται με b, τότε πηγαίνετε στο τέταρτο βήμα.
4) Να γράψετε την εξίσωση της πλάγιας ασύμπτωτης y=kx+b.

Παράδειγμα 21: Βρείτε μια ασύμπτωτη για μια συνάρτηση

1)
2)
3)
4) Η πλάγια ασυμπτωτική εξίσωση έχει τη μορφή

Το σχήμα της μελέτης της συνάρτησης και η κατασκευή του γραφήματος της

I. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
II. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων.
III. Βρείτε ασύμπτωτες.
IV. Βρείτε σημεία πιθανού άκρου.
V. Βρείτε κρίσιμα σημεία.
VI. Χρησιμοποιώντας το βοηθητικό σχέδιο, διερευνήστε το πρόσημο της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου. Προσδιορίστε τα εμβαδά αύξησης και μείωσης της συνάρτησης, βρείτε την κατεύθυνση της κυρτότητας της γραφικής παράστασης, τα ακραία σημεία και τα σημεία καμπής.
VII. Κατασκευάστε ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη τη μελέτη που έγινε στις παραγράφους 1-6.

Παράδειγμα 22: Σχεδιάστε ένα γράφημα συνάρτησης σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα

Λύση.
I. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, εκτός από το x=1.
II. Εφόσον η εξίσωση x 2 +1=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Ox, αλλά τέμνει τον άξονα Oy στο σημείο (0; -1).
III. Ας διευκρινίσουμε το ζήτημα της ύπαρξης ασυμπτωτών. Διερευνούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο σημείο ασυνέχειας x=1. Εφόσον y → ∞ για x → -∞, y → +∞ για x → 1+, τότε η ευθεία x=1 είναι κάθετη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Αν x → +∞(x → -∞), τότε y → +∞(y → -∞); Επομένως, το γράφημα δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη. Περαιτέρω, από την ύπαρξη ορίων

Λύνοντας την εξίσωση x 2 -2x-1=0, παίρνουμε δύο σημεία ενός πιθανού άκρου:
x 1 =1-√2 και x 2 =1+√2

V. Για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία, υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο:

Εφόσον η f""(x) δεν εξαφανίζεται, δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία.
VI. Ερευνούμε το πρόσημο της πρώτης και δεύτερης παραγώγου. Πιθανά ακραία σημεία που πρέπει να ληφθούν υπόψη: x 1 =1-√2 και x 2 =1+√2, διαιρέστε την περιοχή ύπαρξης της συνάρτησης σε διαστήματα (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) και (1+√2;+∞).

Σε καθένα από αυτά τα διαστήματα, η παράγωγος διατηρεί το πρόσημά της: στο πρώτο - συν, στο δεύτερο - μείον, στο τρίτο - συν. Η ακολουθία των σημείων της πρώτης παραγώγου θα γραφεί ως εξής: +, -, +.
Παίρνουμε ότι η συνάρτηση στο (-∞;1-√2) αυξάνεται, στο (1-√2;1+√2) μειώνεται και στο (1+√2;+∞) αυξάνεται ξανά. Ακραία σημεία: μέγιστο στο x=1-√2, επιπλέον f(1-√2)=2-2√2 ελάχιστο στο x=1+√2, επιπλέον f(1+√2)=2+2√2. Στο (-∞;1) το γράφημα είναι κυρτό προς τα πάνω και στο (1;+∞) - προς τα κάτω.
VII Ας κάνουμε έναν πίνακα με τις τιμές που λαμβάνονται

VIII Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζουμε ένα σκίτσο του γραφήματος της συνάρτησης

Τα σημεία αναφοράς στη μελέτη των συναρτήσεων και την κατασκευή των γραφημάτων τους είναι χαρακτηριστικά σημεία - σημεία ασυνέχειας, ακρότατου, καμπής, τομής με τους άξονες συντεταγμένων. Με τη βοήθεια του διαφορικού λογισμού, είναι δυνατό να καθοριστούν τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της αλλαγής των συναρτήσεων: αύξηση και μείωση, μέγιστα και ελάχιστα, η κατεύθυνση της κυρτότητας και της κοιλότητας του γραφήματος, η παρουσία ασυμπτωτών.

Ένα σκίτσο του γραφήματος συνάρτησης μπορεί (και πρέπει) να σκιαγραφηθεί μετά την εύρεση των ασυμπτωμάτων και των ακραίων σημείων και είναι βολικό να συμπληρώσετε τον συνοπτικό πίνακα της μελέτης της συνάρτησης κατά τη διάρκεια της μελέτης.

Συνήθως, χρησιμοποιείται το ακόλουθο σχήμα έρευνας λειτουργιών.

1.Βρείτε τον τομέα, τα διαστήματα συνέχειας και τα σημεία διακοπής μιας συνάρτησης.

2.Εξετάστε τη συνάρτηση για άρτια ή περιττή (αξονική ή κεντρική συμμετρία του γραφήματος.

3.Βρείτε ασύμπτωτες (κάθετες, οριζόντιες ή πλάγιες).

4.Βρείτε και εξερευνήστε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης, τα ακραία σημεία της.

5.Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας και κοιλότητας της καμπύλης, τα σημεία καμπής της.

6.Να βρείτε τα σημεία τομής της καμπύλης με τους άξονες συντεταγμένων, αν υπάρχουν.

7.Να συντάξετε έναν συνοπτικό πίνακα της μελέτης.

8.Κατασκευάστε ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη τη μελέτη της συνάρτησης, που πραγματοποιήθηκε σύμφωνα με τα παραπάνω σημεία.

Παράδειγμα.Λειτουργία εξερεύνησης

και σχεδιάστε το.

7. Ας φτιάξουμε έναν συνοπτικό πίνακα της μελέτης της συνάρτησης, όπου θα εισάγουμε όλα τα χαρακτηριστικά σημεία και τα διαστήματα μεταξύ τους. Δεδομένης της ισοτιμίας της συνάρτησης, παίρνουμε τον ακόλουθο πίνακα: