Τι ονομάζεται εφαπτομένη οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. Ορθογώνιο τρίγωνο

Νομίζω ότι αξίζετε περισσότερα από αυτό. Εδώ είναι το κλειδί μου για την τριγωνομετρία:

• Σχεδιάστε τον θόλο, τον τοίχο και την οροφή
• Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν είναι παρά ποσοστά αυτών των τριών μορφών.

Μεταφορά για το ημίτονο και το συνημίτονο: θόλος

Αντί να κοιτάτε απλώς τα ίδια τα τρίγωνα, φανταστείτε τα σε δράση βρίσκοντας κάποιο συγκεκριμένο παράδειγμα της πραγματικής ζωής.

Φανταστείτε ότι βρίσκεστε στη μέση ενός θόλου και θέλετε να κλείσετε μια οθόνη προβολέα ταινιών. Δείχνεις το δάχτυλό σου στον θόλο σε κάποια γωνία "x" και πρέπει να κρεμαστεί μια οθόνη από αυτό το σημείο.

Η γωνία στην οποία υποδεικνύετε καθορίζει:

• sine(x) = sin(x) = ύψος οθόνης (σημείο στήριξης από δάπεδο έως θόλο)
• συνημίτονο(x) = cos(x) = απόσταση από εσάς στην οθόνη (κατά όροφο)
• υποτείνουσα, η απόσταση από εσάς μέχρι την κορυφή της οθόνης, πάντα ίδια, ίση με την ακτίνα του θόλου

Θέλετε η οθόνη να είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερη; Κρεμάστε το ακριβώς από πάνω σας.

Θέλετε η οθόνη να κρέμεται όσο το δυνατόν πιο μακριά από εσάς; Κρεμάστε το ίσια κάθετα. Η οθόνη θα έχει μηδενικό ύψος σε αυτή τη θέση και θα κρέμεται όσο πιο πίσω ζητήσατε.

Το ύψος και η απόσταση από την οθόνη είναι αντιστρόφως ανάλογα: όσο πιο κοντά κρέμεται η οθόνη, τόσο μεγαλύτερο θα είναι το ύψος της.

Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι ποσοστά

Κανείς στα χρόνια των σπουδών μου, δυστυχώς, δεν μου εξήγησε ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο δεν είναι παρά ποσοστά. Οι τιμές τους κυμαίνονται από +100% έως 0 έως -100%, ή από θετικό μέγιστο έως μηδέν έως αρνητικό μέγιστο.

Ας πούμε ότι πλήρωσα φόρο 14 ρούβλια. Δεν ξέρεις πόσο είναι. Αλλά αν πεις ότι πλήρωσα 95% φόρο, θα καταλάβεις ότι απλά γδέρτωσα σαν κολλητός.

Το απόλυτο ύψος δεν σημαίνει τίποτα. Αλλά αν η τιμή του ημιτόνου είναι 0,95, τότε καταλαβαίνω ότι η τηλεόραση κρέμεται σχεδόν πάνω από τον θόλο σας. Πολύ σύντομα θα φτάσει στο μέγιστο ύψος του στο κέντρο του θόλου, και στη συνέχεια θα αρχίσει να υποχωρεί ξανά.

Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε αυτό το ποσοστό; Πολύ απλό: διαιρέστε το τρέχον ύψος της οθόνης με το μέγιστο δυνατό (την ακτίνα του θόλου, που ονομάζεται επίσης υποτείνουσα).

Να γιατίμας λένε ότι «συνημίτονο = αντίθετο πόδι / υποτείνουσα». Όλα αυτά για να πάρουμε ένα ποσοστό! Ο καλύτερος τρόπος για να ορίσετε το ημίτονο είναι «το ποσοστό του τρέχοντος ύψους από το μέγιστο δυνατό». (Το ημίτονο γίνεται αρνητικό εάν η γωνία σας δείχνει "υπόγεια". Το συνημίτονο γίνεται αρνητικό εάν η γωνία δείχνει προς το σημείο του θόλου πίσω σας.)

Ας απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς υποθέτοντας ότι βρισκόμαστε στο κέντρο του μοναδιαίου κύκλου (ακτίνα = 1). Μπορούμε να παραλείψουμε τη διαίρεση και απλώς να πάρουμε το ημίτονο ίσο με το ύψος.

Κάθε κύκλος, στην πραγματικότητα, είναι ένας ενιαίος, μεγεθυσμένος ή μειωμένος σε κλίμακα στο επιθυμητό μέγεθος. Προσδιορίστε λοιπόν τις σχέσεις στον κύκλο μονάδας και εφαρμόστε τα αποτελέσματα στο συγκεκριμένο μέγεθος του κύκλου σας.

Πείραμα: πάρτε οποιαδήποτε γωνία και δείτε ποιο ποσοστό ύψους προς πλάτος εμφανίζει:

Το γράφημα της αύξησης της τιμής του ημιτονοειδούς δεν είναι απλώς μια ευθεία γραμμή. Οι πρώτες 45 μοίρες καλύπτουν το 70% του ύψους και οι τελευταίες 10 μοίρες (από 80° έως 90°) καλύπτουν μόνο το 2%.

Αυτό θα σας κάνει πιο ξεκάθαρο: αν κάνετε κύκλο, σε 0 ° σηκώνεστε σχεδόν κάθετα, αλλά καθώς πλησιάζετε στην κορυφή του θόλου, το ύψος αλλάζει όλο και λιγότερο.

Εφαπτομένη και τέμνουσα. Τείχος

Μια μέρα ένας γείτονας έχτισε έναν τοίχο δεξιά πλάτη με πλάτηστον τρούλο σου. Έκλαψε η θέα του παραθύρου και καλή τιμή μεταπώλησης!

Είναι όμως δυνατόν να κερδίσεις με κάποιο τρόπο σε αυτή την κατάσταση;

Φυσικά ναι. Κι αν κρεμάσουμε μια οθόνη ταινίας ακριβώς στον τοίχο του γείτονα; Στοχεύετε στη γωνία (x) και παίρνετε:

• tan(x) = tan(x) = ύψος οθόνης στον τοίχο
• απόσταση από εσάς στον τοίχο: 1 (αυτή είναι η ακτίνα του θόλου σας, ο τοίχος δεν μετακινείται πουθενά από εσάς, σωστά;)
• secant(x) = sec(x) = "μήκος της σκάλας" από εσάς που στέκεστε στο κέντρο του θόλου μέχρι την κορυφή της αναρτημένης οθόνης

Ας διευκρινίσουμε μερικά πράγματα σχετικά με την εφαπτομένη ή το ύψος της οθόνης.

• ξεκινάει από το 0 και μπορεί να φτάσει απείρως ψηλά. Μπορείτε να τεντώσετε την οθόνη όλο και πιο ψηλά στον τοίχο για να αποκτήσετε μόνο έναν ατελείωτο καμβά για να παρακολουθήσετε την αγαπημένη σας ταινία! (Για ένα τόσο τεράστιο, φυσικά, θα πρέπει να ξοδέψετε πολλά χρήματα).
• Η εφαπτομένη είναι απλώς μια διευρυμένη εκδοχή του ημιτονοειδούς! Και ενώ η ανάπτυξη του ημιτονοειδούς επιβραδύνεται καθώς προχωράτε προς την κορυφή του θόλου, η εφαπτομένη συνεχίζει να μεγαλώνει!

Η Sekansu έχει επίσης κάτι να καυχιέται:

• η τομή ξεκινά από το 1 (η σκάλα είναι στο πάτωμα, μακριά από εσάς προς τον τοίχο) και αρχίζει να ανεβαίνει από εκεί
• Η τομή είναι πάντα μεγαλύτερη από την εφαπτομένη. Η κεκλιμένη σκάλα με την οποία κρεμάτε την οθόνη σας πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την ίδια την οθόνη, σωστά; (Σε μη ρεαλιστικά μεγέθη, όταν η οθόνη είναι πολύ μεγάλη και η σκάλα πρέπει να τοποθετηθεί σχεδόν κάθετα, τα μεγέθη τους είναι σχεδόν τα ίδια. Αλλά ακόμα και τότε η τομή θα είναι λίγο μεγαλύτερη).

Θυμηθείτε ότι οι αξίες είναι τοις εκατό. Εάν αποφασίσετε να κρεμάσετε την οθόνη σε γωνία 50 μοιρών, μαύρισμα(50)=1,19. Η οθόνη σας είναι 19% μεγαλύτερη από την απόσταση από τον τοίχο (ακτίνα θόλου).

(Εισαγάγετε x=0 και δοκιμάστε τη διαίσθησή σας - tan(0) = 0 και sec(0) = 1.)

Συνεφαπτομένη και συνοδευτική. Οροφή

Απίστευτα, ο γείτονάς σας αποφάσισε τώρα να χτίσει μια οροφή πάνω από τον τρούλο σας. (Τι συμβαίνει με αυτόν; Προφανώς δεν θέλει να τον κρυφοκοιτάζετε ενώ περπατάει γυμνός στην αυλή...)

Λοιπόν, ήρθε η ώρα να φτιάξετε μια έξοδο στην ταράτσα και να μιλήσετε με τον γείτονα. Επιλέγετε τη γωνία κλίσης και αρχίζετε να χτίζετε:

• η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ της εξόδου της οροφής και του δαπέδου είναι πάντα 1 (ακτίνα του θόλου)
• cotgent(x) = cot(x) = απόσταση μεταξύ της κορυφής του θόλου και του σημείου εξόδου
• cosecant(x) = csc(x) = μήκος της διαδρομής σας προς την οροφή

Η εφαπτομένη και η τέμνουσα περιγράφουν τον τοίχο, ενώ η συνεφαπτομένη και η συνάφεια περιγράφουν το δάπεδο.

Τα διαισθητικά μας συμπεράσματα αυτή τη φορά είναι παρόμοια με τα προηγούμενα:

• Εάν τραβήξετε γωνία 0°, η έξοδός σας στην οροφή θα διαρκέσει για πάντα καθώς δεν θα φτάσει ποτέ στην οροφή. Πρόβλημα.
• Η συντομότερη "σκάλα" στην οροφή θα επιτευχθεί εάν την χτίσετε υπό γωνία 90 μοιρών ως προς το πάτωμα. Η συνεφαπτομένη θα είναι ίση με 0 (δεν κινούμαστε καθόλου κατά μήκος της οροφής, βγαίνουμε αυστηρά κάθετα) και η συνεφαπτομένη θα είναι ίση με 1 («το μήκος της σκάλας» θα είναι ελάχιστο).

Οπτικοποίηση συνδέσεων

Εάν και οι τρεις περιπτώσεις σχεδιάζονται σε συνδυασμό θόλου-τοίχου-δαπέδου, θα ληφθούν τα εξής:

Λοιπόν, ουάου, είναι το ίδιο τρίγωνο, μεγεθύνεται σε μέγεθος για να φτάσει στον τοίχο και στην οροφή. Έχουμε κατακόρυφες πλευρές (ημιτονοειδές, εφαπτομένη), οριζόντιες πλευρές (συνημίτονο, συνεφαπτομένη) και «υποτείνουσες» (τομή, συνεφαπτομένη). (Μπορείτε να δείτε από τα βέλη πόσο μακριά φτάνει το κάθε στοιχείο. Η συνέκταση είναι η συνολική απόσταση από εσάς μέχρι την οροφή).

Λίγη μαγεία. Όλα τα τρίγωνα μοιράζονται τις ίδιες ισότητες:

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα (a 2 + b 2 = c 2) βλέπουμε πώς συνδέονται οι πλευρές κάθε τριγώνου. Επιπλέον, οι λόγοι ύψους προς πλάτος πρέπει επίσης να είναι ίδιοι για όλα τα τρίγωνα. (Απλά κάντε ένα βήμα πίσω από το μεγαλύτερο τρίγωνο στο μικρότερο. Ναι, το μέγεθος έχει αλλάξει, αλλά οι αναλογίες των πλευρών θα παραμείνουν οι ίδιες).

Γνωρίζοντας ποια πλευρά σε κάθε τρίγωνο είναι 1 (η ακτίνα του θόλου), μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε ότι "sin/cos = tan/1".

Πάντα προσπαθούσα να θυμάμαι αυτά τα γεγονότα μέσω απλής οπτικοποίησης. Στην εικόνα μπορείτε να δείτε καθαρά αυτές τις εξαρτήσεις και να καταλάβετε από πού προέρχονται. Αυτή η τεχνική είναι πολύ καλύτερη από την απομνημόνευση ξηρών τύπων.

Μην ξεχνάτε άλλες γωνίες

Σσσ… Δεν χρειάζεται να κρεμαστείτε σε ένα γράφημα, νομίζοντας ότι η εφαπτομένη είναι πάντα μικρότερη από 1. Εάν αυξήσετε τη γωνία, μπορείτε να φτάσετε στην οροφή χωρίς να φτάσετε στον τοίχο:

Οι πυθαγόρειες συνδέσεις λειτουργούν πάντα, αλλά τα σχετικά μεγέθη μπορεί να είναι διαφορετικά.

(Πιθανότατα έχετε παρατηρήσει ότι η αναλογία ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς είναι πάντα η μικρότερη επειδή είναι κλεισμένα μέσα σε έναν θόλο.)

Συνοψίζοντας: τι πρέπει να θυμόμαστε;

Για τους περισσότερους από εμάς, θα έλεγα ότι αυτό θα είναι αρκετό:

• η τριγωνομετρία εξηγεί την ανατομία των μαθηματικών αντικειμένων όπως οι κύκλοι και τα επαναλαμβανόμενα διαστήματα
• η αναλογία θόλου/τοίχου/οροφής δείχνει τη σχέση μεταξύ διαφορετικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων
• το αποτέλεσμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι τα ποσοστά που εφαρμόζουμε στο σενάριό μας.

Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε τύπους όπως 1 2 + κρεβατάκι 2 = csc 2 . Είναι κατάλληλα μόνο για ανόητα τεστ στα οποία η γνώση ενός γεγονότος παρουσιάζεται ως κατανόησή του. Αφιερώστε ένα λεπτό για να σχεδιάσετε ένα ημικύκλιο με τη μορφή θόλου, τοίχου και στέγης, υπογράψτε τα στοιχεία και όλοι οι τύποι θα σας ζητηθούν σε χαρτί.

Εφαρμογή: Αντίστροφες συναρτήσεις

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική συνάρτηση παίρνει μια γωνία ως είσοδο και επιστρέφει το αποτέλεσμα ως ποσοστό. sin(30) = 0,5. Αυτό σημαίνει ότι μια γωνία 30 μοιρών καταλαμβάνει το 50% του μέγιστου ύψους.

Η αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση γράφεται ως sin -1 ή arcsin ("arxine"). Είναι επίσης συχνά γραμμένο σε διάφορες γλώσσες προγραμματισμού.

Αν το ύψος μας είναι 25% του ύψους του θόλου, ποια είναι η γωνία μας;

Στον πίνακα αναλογιών μας, μπορείτε να βρείτε την αναλογία όπου η τομή διαιρείται με το 1. Για παράδειγμα, η τομή με το 1 (η υποτείνουσα προς την οριζόντια) θα είναι ίση με το 1 διαιρούμενο με το συνημίτονο:

Ας πούμε ότι το τμήμα μας είναι 3,5, δηλ. 350% της ακτίνας του κύκλου μονάδας. Σε ποια γωνία κλίσης προς τον τοίχο αντιστοιχεί αυτή η τιμή;

Παράρτημα: Μερικά παραδείγματα

Παράδειγμα: Να βρείτε το ημίτονο της γωνίας x.

Βαρετό έργο. Ας περιπλέκουμε το κοινότυπο «βρες το ημίτονο» σε «Ποιο είναι το ύψος ως ποσοστό του μέγιστου (υποτείνουσα);».

Αρχικά, παρατηρήστε ότι το τρίγωνο περιστρέφεται. Δεν υπάρχει τίποτα κακό σε αυτό. Το τρίγωνο έχει επίσης ύψος, φαίνεται με πράσινο χρώμα στο σχήμα.

Με τι ισούται η υποτείνουσα; Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, γνωρίζουμε ότι:

3 2 + 4 2 = υποτείνουσα 2 25 = υποτείνουσα 2 5 = υποτείνουσα

Πρόστιμο! Το ημίτονο είναι το ποσοστό του ύψους από τη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου ή την υποτείνουσα. Στο παράδειγμά μας, το ημίτονο είναι 3/5 ή 0,60.

Φυσικά, μπορούμε να πάμε με διάφορους τρόπους. Τώρα ξέρουμε ότι το ημίτονο είναι 0,60 και μπορούμε απλά να βρούμε το τόξο:

Ασίνη(0,6)=36,9

Και εδώ είναι μια άλλη προσέγγιση. Σημειώστε ότι το τρίγωνο είναι «πρόσωπο με πρόσωπο με τον τοίχο», οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε εφαπτομένη αντί για ημίτονο. Το ύψος είναι 3, η απόσταση από τον τοίχο είναι 4, επομένως η εφαπτομένη είναι ¾ ή 75%. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εφαπτομένη του τόξου για να πάμε από το ποσοστό πίσω στη γωνία:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Παράδειγμα: Θα κολυμπήσετε μέχρι την ακτή;

Είστε σε ένα σκάφος και έχετε αρκετά καύσιμα για να διανύσετε 2 χλμ. Είστε τώρα 0,25 χλμ. από την ακτή. Σε ποια μέγιστη γωνία ως προς την ακτή μπορείτε να κολυμπήσετε προς αυτήν ώστε να έχετε αρκετά καύσιμα; Προσθήκη στην συνθήκη του προβλήματος: έχουμε μόνο έναν πίνακα τιμών συνημιτόνου τόξου.

Τι έχουμε? Η ακτογραμμή μπορεί να αναπαρασταθεί ως «τοίχος» στο περίφημο τρίγωνό μας και το «μήκος των σκαλοπατιών» που συνδέονται με τον τοίχο μπορεί να αναπαρασταθεί ως η μέγιστη δυνατή απόσταση με βάρκα μέχρι την ακτή (2 χλμ.). Προκύπτει ένα τμήμα.

Πρώτα, πρέπει να μεταβείτε σε ποσοστά. Έχουμε 2 / 0,25 = 8, που σημαίνει ότι μπορούμε να κολυμπήσουμε 8 φορές την ευθεία απόσταση μέχρι την ακτή (ή τον τοίχο).

Τίθεται το ερώτημα «Τι είναι το secant 8;». Αλλά δεν μπορούμε να δώσουμε απάντηση σε αυτό, αφού έχουμε μόνο συνημίτονα τόξου.

Χρησιμοποιούμε τις προηγούμενες εξαρτήσεις μας για να αντιστοιχίσουμε τη διατομή στο συνημίτονο: "sec/1 = 1/cos"

Η τομή του 8 ισούται με το συνημίτονο του ⅛. Μια γωνία της οποίας το συνημίτονο είναι ⅛ είναι acos(1/8) = 82,8. Και αυτή είναι η μεγαλύτερη γωνία που μπορούμε να αντέξουμε οικονομικά σε ένα σκάφος με την καθορισμένη ποσότητα καυσίμου.

Δεν είναι κακό, σωστά; Χωρίς την αναλογία θόλου-τοίχου-οροφής, θα μπερδευόμουν σε ένα σωρό τύπους και υπολογισμούς. Η οπτικοποίηση του προβλήματος απλοποιεί σημαντικά την αναζήτηση λύσης, επιπλέον, είναι ενδιαφέρον να δούμε ποια τριγωνομετρική συνάρτηση θα βοηθήσει τελικά.

Για κάθε εργασία, σκεφτείτε το εξής: με ενδιαφέρει ένας θόλος (sin/cos), ένας τοίχος (tan/sec) ή μια οροφή (κρεβατάκι/csc);

Και η τριγωνομετρία θα γίνει πολύ πιο ευχάριστη. Εύκολοι υπολογισμοί για εσάς!

Το ημίτονο είναι μια από τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η εφαρμογή της οποίας δεν περιορίζεται μόνο στη γεωμετρία. Πίνακες για τον υπολογισμό τριγωνομετρικών συναρτήσεων, όπως οι αριθμομηχανές μηχανικής, δεν είναι πάντα διαθέσιμοι και ο υπολογισμός του ημιτόνου είναι μερικές φορές απαραίτητος για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Γενικά, ο υπολογισμός του ημιτονοειδούς θα βοηθήσει στην εδραίωση των δεξιοτήτων σχεδίασης και της γνώσης των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.

Παιχνίδια με χάρακες και μολύβι

Μια απλή εργασία: πώς να βρείτε το ημίτονο μιας γωνίας που σχεδιάστηκε σε χαρτί; Για να λύσετε, χρειάζεστε έναν κανονικό χάρακα, ένα τρίγωνο (ή μια πυξίδα) και ένα μολύβι. Ο απλούστερος τρόπος για να υπολογίσετε το ημίτονο μιας γωνίας είναι διαιρώντας το μακρινό σκέλος ενός τριγώνου με ορθή γωνία με τη μεγάλη πλευρά - την υποτείνουσα. Έτσι, πρώτα πρέπει να συμπληρώσετε την οξεία γωνία προς το σχήμα ενός ορθογωνίου τριγώνου σχεδιάζοντας μια γραμμή κάθετη σε μία από τις ακτίνες σε αυθαίρετη απόσταση από την κορυφή της γωνίας. Θα χρειαστεί να παρατηρήσουμε μια γωνία ακριβώς 90 °, για την οποία χρειαζόμαστε ένα γραφικό τρίγωνο.

Η χρήση πυξίδας είναι λίγο πιο ακριβής, αλλά θα διαρκέσει περισσότερο. Σε μία από τις ακτίνες, πρέπει να σημειώσετε 2 σημεία σε μια ορισμένη απόσταση, να ορίσετε μια ακτίνα στην πυξίδα περίπου ίση με την απόσταση μεταξύ των σημείων και να σχεδιάσετε ημικύκλια με κέντρα σε αυτά τα σημεία μέχρι να τέμνονται αυτές οι γραμμές. Συνδέοντας τα σημεία τομής των κύκλων μας μεταξύ τους, θα πάρουμε μια αυστηρή κάθετη στην ακτίνα της γωνίας μας, μένει μόνο να επεκτείνουμε τη γραμμή μέχρι να τέμνεται με μια άλλη ακτίνα.

Στο τρίγωνο που προκύπτει, πρέπει να μετρήσετε την πλευρά απέναντι από τη γωνία και τη μακριά πλευρά σε μία από τις ακτίνες με χάρακα. Ο λόγος της πρώτης μέτρησης προς τη δεύτερη θα είναι η επιθυμητή τιμή του ημιτόνου της οξείας γωνίας.

Βρείτε το ημίτονο για γωνία μεγαλύτερη από 90°

Για μια αμβλεία γωνία, το έργο δεν είναι πολύ πιο δύσκολο. Είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε μια ακτίνα από την κορυφή προς την αντίθετη κατεύθυνση χρησιμοποιώντας έναν χάρακα για να σχηματίσουμε μια ευθεία γραμμή με μια από τις ακτίνες της γωνίας που μας ενδιαφέρει. Με την προκύπτουσα οξεία γωνία, θα πρέπει να προχωρήσετε όπως περιγράφεται παραπάνω, τα ημίτονο των γειτονικών γωνιών, που σχηματίζουν μαζί μια ανεπτυγμένη γωνία 180 °, είναι ίσα.

Υπολογισμός του ημιτόνου από άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Επίσης, ο υπολογισμός του ημιτόνου είναι δυνατός εάν είναι γνωστές οι τιμές άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας ή τουλάχιστον του μήκους των πλευρών του τριγώνου. Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες θα μας βοηθήσουν σε αυτό. Ας δούμε κοινά παραδείγματα.

Πώς να βρείτε το ημίτονο με ένα γνωστό συνημίτονο μιας γωνίας; Η πρώτη τριγωνομετρική ταυτότητα, που προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, λέει ότι το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας είναι ίσο με ένα.

Πώς να βρείτε το ημίτονο με μια γνωστή εφαπτομένη μιας γωνίας; Η εφαπτομένη προκύπτει διαιρώντας το μακρινό σκέλος με το κοντινό ή διαιρώντας το ημίτονο με το συνημίτονο. Έτσι, το ημίτονο θα είναι το γινόμενο του συνημιτόνου και της εφαπτομένης, και το τετράγωνο του ημιτόνου θα είναι το τετράγωνο αυτού του γινόμενου. Αντικαθιστούμε το τετράγωνο συνημίτονο με τη διαφορά μεταξύ της μονάδας και του τετραγώνου ημιτόνου σύμφωνα με την πρώτη τριγωνομετρική ταυτότητα και, με απλούς χειρισμούς, φέρνουμε την εξίσωση για να υπολογίσουμε το τετράγωνο ημίτονο μέσω της εφαπτομένης, αντίστοιχα, για να υπολογίσουμε το ημίτονο, θα πρέπει να εξάγετε τη ρίζα από το αποτέλεσμα που προκύπτει.

Πώς να βρείτε το ημίτονο με μια γνωστή συνεφαπτομένη γωνίας; Η τιμή της συνεφαπτομένης μπορεί να υπολογιστεί διαιρώντας το μήκος της κοντινής από τη γωνία του ποδιού με το μήκος της μακρινής και επίσης διαιρώντας το συνημίτονο με το ημίτονο, δηλαδή, η συνεφαπτομένη είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εφαπτομένης με σε σχέση με τον αριθμό 1. Για να υπολογίσετε το ημίτονο, μπορείτε να υπολογίσετε την εφαπτομένη χρησιμοποιώντας τον τύπο tg α \u003d 1 / ctg α και να χρησιμοποιήσετε τον τύπο στη δεύτερη επιλογή. Μπορείτε επίσης να εξαγάγετε έναν άμεσο τύπο κατ' αναλογία με την εφαπτομένη, που θα μοιάζει με αυτό.

Πώς να βρείτε το ημίτονο των τριών πλευρών ενός τριγώνου

Υπάρχει ένας τύπος για την εύρεση του μήκους της άγνωστης πλευράς οποιουδήποτε τριγώνου, όχι μόνο ενός ορθογωνίου τριγώνου, με δεδομένες δύο γνωστές πλευρές χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική συνάρτηση του συνημιτόνου της αντίθετης γωνίας. Μοιάζει κάπως έτσι.

Λοιπόν, το ημίτονο μπορεί να υπολογιστεί περαιτέρω από το συνημίτονο σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους.

Αρχικά, το ημίτονο και το συνημίτονο προέκυψαν λόγω της ανάγκης υπολογισμού ποσοτήτων σε ορθογώνια τρίγωνα. Παρατηρήθηκε ότι εάν η τιμή του μέτρου μοίρας των γωνιών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο δεν αλλάξει, τότε η αναλογία όψεων, όσο και αν αλλάζουν σε μήκος αυτές οι πλευρές, παραμένει πάντα η ίδια.

Έτσι εισήχθησαν οι έννοιες ημίτονο και συνημίτονο. Το ημίτονο μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα και το συνημίτονο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Θεωρήματα συνημιτόνων και ημιτόνων

Αλλά τα συνημίτονα και τα ημιτόνια μπορούν να χρησιμοποιηθούν όχι μόνο σε ορθογώνια τρίγωνα. Για να βρείτε την τιμή μιας αμβλείας ή οξείας γωνίας, της πλευράς οποιουδήποτε τριγώνου, αρκεί να εφαρμόσετε το θεώρημα συνημιτόνου και ημιτόνου.

Το θεώρημα του συνημιτόνου είναι αρκετά απλό: "Το τετράγωνο μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών μείον το διπλάσιο του γινόμενου αυτών των πλευρών από το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας."

Υπάρχουν δύο ερμηνείες του ημιτονικού θεωρήματος: μικρή και εκτεταμένη. Σύμφωνα με το μικρό: «Σε ένα τρίγωνο οι γωνίες είναι ανάλογες με τις απέναντι πλευρές». Αυτό το θεώρημα επεκτείνεται συχνά λόγω της ιδιότητας του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα τρίγωνο: "Σε ένα τρίγωνο, οι γωνίες είναι ανάλογες προς τις απέναντι πλευρές και η αναλογία τους είναι ίση με τη διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου."

Παράγωγα

Μια παράγωγος είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που δείχνει πόσο γρήγορα αλλάζει μια συνάρτηση σε σχέση με μια αλλαγή στο όρισμά της. Τα παράγωγα χρησιμοποιούνται στη γεωμετρία και σε διάφορους τεχνικούς κλάδους.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να γνωρίζετε τις πινακοποιημένες τιμές των παραγώγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημίτονο και συνημίτονο. Η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο, και η παράγωγος του συνημίτονου είναι το ημίτονο, αλλά με πρόσημο μείον.

Εφαρμογή στα μαθηματικά

Ιδιαίτερα συχνά, ημίτονο και συνημίτονο χρησιμοποιούνται για την επίλυση ορθογωνίων τριγώνων και προβλημάτων που σχετίζονται με αυτά.

Η ευκολία των ημιτόνων και των συνημιτόνων αντικατοπτρίζεται επίσης στην τεχνολογία. Οι γωνίες και οι πλευρές ήταν εύκολο να αξιολογηθούν χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα συνημιτόνου και ημιτόνου, σπάζοντας πολύπλοκα σχήματα και αντικείμενα σε «απλά» τρίγωνα. Οι μηχανικοί και, συχνά ασχολούμενοι με υπολογισμούς αναλογιών διαστάσεων και μετρήσεων βαθμών, ξόδεψαν πολύ χρόνο και προσπάθεια για να υπολογίσουν συνημίτονα και ημίτονο γωνιών εκτός πίνακα.

Στη συνέχεια βοήθησαν οι πίνακες Bradis, που περιείχαν χιλιάδες τιμές ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων διαφορετικών γωνιών. Στη σοβιετική εποχή, ορισμένοι δάσκαλοι ανάγκαζαν τους θαλάμους τους να απομνημονεύουν τις σελίδες των τραπεζιών Μπράντις.

Ακτίνιο - η γωνιακή τιμή του τόξου, κατά μήκος ίσο με την ακτίνα ή 57,295779513 ° μοίρες.

Βαθμός (στη γεωμετρία) - 1/360ο κύκλου ή 1/90ο ορθής γωνίας.

π = 3,141592653589793238462… (τιμή κατά προσέγγιση του pi).

Πίνακας συνημιτονοειδών για γωνίες: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Γωνία x (σε μοίρες)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Γωνία x (σε ακτίνια)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Όπου εξετάστηκαν οι εργασίες για την επίλυση ενός ορθογώνιου τριγώνου, υποσχέθηκα να παρουσιάσω μια τεχνική για την απομνημόνευση των ορισμών του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Χρησιμοποιώντας το, θα θυμάστε πάντα γρήγορα ποιο πόδι ανήκει στην υποτείνουσα (παρακείμενο ή απέναντι). Αποφάσισα να μην το αναβάλω επ' αόριστον, το απαραίτητο υλικό είναι παρακάτω, διαβάστε το 😉

Γεγονός είναι ότι έχω επανειλημμένα παρατηρήσει πώς οι μαθητές των τάξεων 10-11 δυσκολεύονται να θυμηθούν αυτούς τους ορισμούς. Θυμούνται πολύ καλά ότι το πόδι παραπέμπει στην υποτείνουσα, αλλά ποια- ξεχάστε και ταραγμένος. Το τίμημα ενός λάθους, όπως ξέρετε στις εξετάσεις, είναι μια χαμένη βαθμολογία.

Οι πληροφορίες που θα παρουσιάσω απευθείας στα μαθηματικά δεν έχουν καμία σχέση. Συνδέεται με την εικονική σκέψη, και με τις μεθόδους λεκτικής-λογικής σύνδεσης. Σωστά, εγώ ο ίδιος, μια για πάντα θυμήθηκαδεδομένα ορισμού. Εάν εξακολουθείτε να τα ξεχνάτε, τότε με τη βοήθεια των τεχνικών που παρουσιάζονται είναι πάντα εύκολο να θυμάστε.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου σε ορθογώνιο τρίγωνο:

ΣυνημίτονοΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:

ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα:

Λοιπόν, τι συνειρμούς προκαλεί σε εσάς η λέξη συνημίτονο;

Μάλλον ο καθένας έχει το δικό τουΘυμηθείτε τον σύνδεσμο:

Έτσι, θα έχετε αμέσως μια έκφραση στη μνήμη σας -

«… αναλογία ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΟΥ ποδιού προς υπόταση».

Το πρόβλημα με τον ορισμό του συνημιτόνου έχει λυθεί.

Εάν πρέπει να θυμάστε τον ορισμό του ημιτονοειδούς σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε θυμηθείτε τον ορισμό του συνημιτόνου, μπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε ότι το ημίτονο μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς την υποτείνουσα. Εξάλλου, υπάρχουν μόνο δύο σκέλη, εάν το διπλανό σκέλος "καταλαμβάνεται" από το συνημίτονο, τότε μόνο η αντίθετη πλευρά παραμένει για το ημίτονο.

Τι γίνεται με την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη; Ίδια σύγχυση. Οι μαθητές γνωρίζουν ότι αυτή είναι η αναλογία των ποδιών, αλλά το πρόβλημα είναι να θυμούνται ποιο αναφέρεται σε ποιο - είτε αντίθετο από το διπλανό είτε το αντίστροφο.

Ορισμοί:

Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό:

ΣυνεφαπτομένηΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το αντίθετο:

Πώς να θυμάστε; Υπάρχουν δύο τρόποι. Το ένα χρησιμοποιεί επίσης μια λεκτική-λογική σύνδεση, η άλλη - μια μαθηματική.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ

Υπάρχει ένας τέτοιος ορισμός - η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου μιας γωνίας προς το συνημίτονό της:

* Υπενθυμίζοντας τον τύπο, μπορείτε πάντα να προσδιορίσετε ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι η αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό.

Επίσης.Η συνεφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του συνημιτόνου μιας γωνίας προς το ημίτονο της:

Ετσι! Αν θυμάστε αυτούς τους τύπους, μπορείτε πάντα να προσδιορίσετε ότι:

- η εφαπτομένη οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό

- η συνεφαπτομένη οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς το απέναντι.

ΛΕΚΤΙΚΗ-ΛΟΓΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ

Περί εφαπτομένης. Θυμηθείτε τον σύνδεσμο:

Δηλαδή, εάν πρέπει να θυμάστε τον ορισμό της εφαπτομένης, χρησιμοποιώντας αυτή τη λογική σύνδεση, μπορείτε εύκολα να θυμηθείτε τι είναι

"... η αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό"

Εάν πρόκειται για την συνεφαπτομένη, τότε θυμηθείτε τον ορισμό της εφαπτομένης, μπορείτε εύκολα να εκφράσετε τον ορισμό της εφαπτομένης -

"... η αναλογία του διπλανού ποδιού προς το αντίθετο"

Υπάρχει μια ενδιαφέρουσα τεχνική για την απομνημόνευση της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης στην τοποθεσία " Μαθηματική σειρά " , Κοίτα.

ΜΕΘΟΔΟΣ Universal

Μπορείτε απλά να αλέσετε.Αλλά όπως δείχνει η πρακτική, χάρη στις λεκτικές-λογικές συνδέσεις, ένα άτομο θυμάται πληροφορίες για μεγάλο χρονικό διάστημα, και όχι μόνο μαθηματικές.

Ελπίζω ότι το υλικό σας ήταν χρήσιμο.

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Το συνημίτονο είναι μια πολύ γνωστή τριγωνομετρική συνάρτηση, η οποία είναι επίσης μια από τις κύριες συναρτήσεις της τριγωνομετρίας. Το συνημίτονο μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους του τριγώνου προς την υποτείνουσα του τριγώνου. Τις περισσότερες φορές, ο ορισμός του συνημιτόνου σχετίζεται με ένα τρίγωνο ακριβώς ορθογώνιου τύπου. Αλλά συμβαίνει επίσης ότι η γωνία για την οποία είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το συνημίτονο σε ένα τρίγωνο ορθογώνιου τύπου δεν βρίσκεται σε αυτό το ίδιο το τρίγωνο ενός ορθογώνιου τύπου. Τι να κάνεις τότε; Πώς να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ενός τριγώνου;

Εάν θέλετε να υπολογίσετε το συνημίτονο μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε όλα είναι πολύ απλά. Απλά πρέπει να θυμάστε τον ορισμό του συνημιτόνου, στον οποίο βρίσκεται η λύση σε αυτό το πρόβλημα. Απλά πρέπει να βρείτε την ίδια αναλογία μεταξύ του διπλανού σκέλους, καθώς και της υποτείνουσας του τριγώνου. Πράγματι, εδώ δεν είναι δύσκολο να εκφράσουμε το συνημίτονο μιας γωνίας. Ο τύπος μοιάζει με αυτό: - cosα = a/c, εδώ το "a" είναι το μήκος του ποδιού και η πλευρά "c", αντίστοιχα, είναι το μήκος της υποτείνουσας. Για παράδειγμα, το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο.

Αν σας ενδιαφέρει με τι ισούται το συνημίτονο μιας γωνίας σε ένα αυθαίρετο τρίγωνο, τότε το θεώρημα συνημιτόνου έρχεται στη διάσωση, το οποίο θα πρέπει να χρησιμοποιείται σε τέτοιες περιπτώσεις. Το θεώρημα συνημιτόνου δηλώνει ότι το τετράγωνο μιας πλευράς ενός τριγώνου είναι a priori ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων πλευρών του ίδιου τριγώνου, αλλά χωρίς το διπλάσιο γινόμενο αυτών των πλευρών από το συνημίτονο της γωνίας που βρίσκεται μεταξύ τους.

1. Εάν πρέπει να βρείτε το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας σε ένα τρίγωνο, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab).
2. Εάν σε ένα τρίγωνο είναι απαραίτητο να βρείτε το συνημίτονο μιας αμβλείας γωνίας, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab). Οι ονομασίες στον τύπο - a και b - είναι τα μήκη των πλευρών που γειτνιάζουν με την επιθυμητή γωνία, c είναι το μήκος της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την επιθυμητή γωνία.

Επίσης, το συνημίτονο μιας γωνίας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το ημιτονικό θεώρημα. Λέει ότι όλες οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ανάλογες με τα ημίτονο των γωνιών που είναι απέναντι. Χρησιμοποιώντας το ημιτονικό θεώρημα, μπορείτε να υπολογίσετε τα υπόλοιπα στοιχεία ενός τριγώνου, γνωρίζοντας μόνο δύο πλευρές και μια γωνία που είναι απέναντι από τη μία πλευρά ή δύο γωνίες και μία πλευρά. Εξετάστε ένα παράδειγμα. Προβληματικές συνθήκες: a=1; b=2; c=3. Η γωνία που είναι απέναντι από την πλευρά "A", συμβολίζουμε - α, τότε, σύμφωνα με τους τύπους, έχουμε: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. Απάντηση: 1.

Εάν το συνημίτονο της γωνίας πρέπει να υπολογιστεί όχι σε τρίγωνο, αλλά σε κάποιο άλλο αυθαίρετο γεωμετρικό σχήμα, τότε όλα γίνονται λίγο πιο περίπλοκα. Η τιμή της γωνίας πρέπει πρώτα να καθοριστεί σε ακτίνια ή μοίρες και μόνο τότε να υπολογίσετε το συνημίτονο από αυτήν την τιμή. Το συνημίτονο με αριθμητική τιμή προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας πίνακες Bradis, υπολογιστές μηχανικής ή ειδικές μαθηματικές εφαρμογές.

Οι ειδικές μαθηματικές εφαρμογές μπορεί να έχουν λειτουργίες όπως ο αυτόματος υπολογισμός των συνημιτόνων των γωνιών σε ένα δεδομένο σχήμα. Η ομορφιά τέτοιων εφαρμογών είναι ότι δίνουν τη σωστή απάντηση και ο χρήστης δεν ξοδεύει το χρόνο του για να λύσει μερικές φορές αρκετά περίπλοκα προβλήματα. Από την άλλη, με τη συνεχή χρήση αποκλειστικά εφαρμογών επίλυσης προβλημάτων, χάνονται όλες οι δεξιότητες για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων για την εύρεση των συνημιτόνων των γωνιών σε τρίγωνα, καθώς και άλλων αυθαίρετων σχημάτων.