जोड़ और गुणा के गुण. पूर्णांकों के जोड़, गुणा, घटाव और भाग के गुण

इस क्रिया में निहित कई परिणाम देखे जा सकते हैं। ये परिणाम कहलाते हैं प्राकृतिक संख्याओं के योग के गुण. इस लेख में हम प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के गुणों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, उन्हें अक्षरों का उपयोग करके लिखेंगे और व्याख्यात्मक उदाहरण देंगे।

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प्राकृत संख्याओं के योग का संयोजन गुण।

आइए अब प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के साहचर्य गुण को दर्शाते हुए एक उदाहरण दें।

आइए एक स्थिति की कल्पना करें: पहले सेब के पेड़ से 1 सेब गिरा, और दूसरे सेब के पेड़ से 2 सेब और 4 और सेब गिरे। अब इस स्थिति पर विचार करें: पहले सेब के पेड़ से 1 सेब और 2 और सेब गिरे, और दूसरे सेब के पेड़ से 4 सेब गिरे। यह स्पष्ट है कि पहले और दूसरे दोनों मामलों में जमीन पर सेबों की संख्या समान होगी (जिसे पुनर्गणना द्वारा सत्यापित किया जा सकता है)। अर्थात संख्या 1 को संख्या 2 और 4 के योग के साथ जोड़ने का परिणाम संख्या 1 और 2 के योग को संख्या 4 के साथ जोड़ने के परिणाम के बराबर है।

माना गया उदाहरण हमें प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने का संयोजन गुण तैयार करने की अनुमति देता है: किसी दी गई संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ने के लिए, हम दिए गए योग का पहला पद इस संख्या में जोड़ सकते हैं और दूसरा पद जोड़ सकते हैं। परिणामी परिणाम का योग दिया गया। इस गुण को अक्षरों का उपयोग करके इस प्रकार लिखा जा सकता है: a+(b+c)=(a+b)+c, जहां ए, बी और सी मनमानी प्राकृतिक संख्याएं हैं।

कृपया ध्यान दें कि समानता a+(b+c)=(a+b)+c में कोष्ठक "(" और ")" शामिल हैं। कोष्ठक का उपयोग अभिव्यक्तियों में उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें क्रियाएं की जाती हैं - कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं (इसके बारे में अनुभाग में अधिक लिखा गया है)। दूसरे शब्दों में, जिन अभिव्यक्तियों के मूल्यों का मूल्यांकन पहले किया जाता है उन्हें कोष्ठक में रखा जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि जोड़ की संयोजनात्मक संपत्ति हमें तीन, चार या अधिक प्राकृतिक संख्याओं के जोड़ को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है।

शून्य और प्राकृत संख्या को जोड़ने का गुण, शून्य और शून्य को जोड़ने का गुण।

हम जानते हैं कि शून्य कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। तो फिर हमने इस लेख में शून्य और एक प्राकृत संख्या जोड़ने के गुणधर्म पर गौर करने का निर्णय क्यों लिया? इसके लिए यहां तीन कारण हैं। पहला: किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ते समय इस गुण का उपयोग किया जाता है। दूसरा: इस गुण का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय किया जाता है। तीसरा: यदि हम मान लें कि शून्य का अर्थ किसी चीज़ का अभाव है, तो शून्य और एक प्राकृतिक संख्या जोड़ने का अर्थ दो प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के अर्थ से मेल खाता है।

आइए हम कुछ तर्क करें जो हमें शून्य और एक प्राकृतिक संख्या को जोड़ने का गुण तैयार करने में मदद करेंगे। आइए कल्पना करें कि बॉक्स में कोई वस्तु नहीं है (दूसरे शब्दों में, बॉक्स में 0 वस्तुएं हैं), और इसमें एक वस्तु रखी गई है, जहां a कोई प्राकृतिक संख्या है। यानी, हमने 0 और एक ऑब्जेक्ट जोड़ा। यह स्पष्ट है कि इस क्रिया के बाद बॉक्स में ऑब्जेक्ट हैं। इसलिए, समानता 0+a=a सत्य है।

इसी प्रकार, यदि किसी बॉक्स में एक आइटम है और उसमें 0 आइटम जोड़े गए हैं (अर्थात कोई आइटम नहीं जोड़ा गया है), तो इस क्रिया के बाद बॉक्स में एक आइटम होगा। तो a+0=a .

अब हम शून्य और एक प्राकृत संख्या को जोड़ने के गुण का सूत्रीकरण दे सकते हैं: दो संख्याओं का योग, जिनमें से एक शून्य है, दूसरी संख्या के बराबर है. गणितीय रूप से, इस गुण को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: 0+ए=एया ए+0=ए, जहां a एक मनमाना प्राकृतिक संख्या है।

अलग से, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि एक प्राकृतिक संख्या और शून्य को जोड़ने पर, जोड़ का क्रमविनिमेय गुण सत्य रहता है, अर्थात a+0=0+a।

अंत में, आइए हम शून्य में शून्य जोड़ने की संपत्ति तैयार करें (यह काफी स्पष्ट है और अतिरिक्त टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है): दो संख्याओं का योग, जिनमें से प्रत्येक शून्य के बराबर है, शून्य के बराबर है. वह है, 0+0=0 .

अब यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्राकृत संख्याओं को कैसे जोड़ा जाए।

ग्रंथ सूची.

• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की पहली, दूसरी, तीसरी, चौथी कक्षा के लिए कोई भी पाठ्यपुस्तकें।
• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की 5वीं कक्षा के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।

एक संख्या को दूसरे में जोड़ना काफी सरल है। आइए एक उदाहरण देखें, 4+3=7. इस अभिव्यक्ति का अर्थ है कि चार इकाइयों में तीन इकाइयाँ जोड़ी गईं और परिणाम सात इकाइयाँ थीं।
हमने जो संख्याएँ 3 और 4 जोड़ीं, वे कहलाती हैं शर्तें. और संख्या 7 को जोड़ने का परिणाम कहलाता है मात्रा.

जोड़संख्याओं का योग है. धन चिह्न "+"।
शाब्दिक रूप में यह उदाहरण इस प्रकार दिखेगा:

ए+बी=सी

अतिरिक्त घटक:
ए- अवधि, बी- शर्तें, सी- जोड़।
यदि हम 3 इकाइयों में 4 इकाईयाँ जोड़ दें तो योग के फलस्वरूप हमें वही परिणाम प्राप्त होगा जो 7 के बराबर होगा;

इस उदाहरण से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि चाहे हम शब्दों की अदला-बदली कैसे भी करें, उत्तर वही रहता है:

पदों के इस गुण को कहा जाता है जोड़ का क्रमविनिमेय नियम.

जोड़ का क्रमविनिमेय नियम.

पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।

शाब्दिक संकेतन में, क्रमविनिमेय कानून इस तरह दिखता है:

ए+बी=बी+ए

यदि हम तीन पदों पर विचार करते हैं, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 1, 2 और 4 लेते हैं। और हम इस क्रम में जोड़ करते हैं, पहले 1 + 2 जोड़ते हैं, और फिर परिणामी योग में 4 जोड़ते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है:

(1+2)+4=7

हम इसके विपरीत कर सकते हैं, पहले 2+4 जोड़ें, और फिर परिणामी योग में 1 जोड़ें। हमारा उदाहरण इस तरह दिखेगा:

1+(2+4)=7

उत्तर वही रहता है. एक ही उदाहरण के लिए दोनों प्रकार के जोड़ का उत्तर एक ही है। हम निष्कर्ष निकालते हैं:

(1+2)+4=1+(2+4)

जोड़ के इस गुण को कहा जाता है जोड़ का साहचर्य नियम.

जोड़ का क्रमविनिमेय और साहचर्य नियम सभी गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए काम करता है।

जोड़ का संयोजन नियम.

दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप दूसरी और तीसरी संख्या का योग पहली संख्या में जोड़ सकते हैं।

(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)

संयोजन कानून किसी भी संख्या के लिए काम करता है। हम इस नियम का उपयोग तब करते हैं जब हमें संख्याओं को सुविधाजनक क्रम में जोड़ने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, आइए तीन संख्याओं 12, 6, 8 और 4 को जोड़ें। पहले 12 और 8 को जोड़ना और फिर परिणामी योग में दो संख्याओं 6 और 4 का योग जोड़ना अधिक सुविधाजनक होगा।
(12+8)+(6+4)=30

शून्य के साथ जोड़ का गुण.

जब आप किसी संख्या को शून्य के साथ जोड़ते हैं, तो परिणामी योग वही संख्या होगी।

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

शाब्दिक अभिव्यक्ति में, शून्य के साथ जोड़ इस तरह दिखेगा:

ए+0=ए
0+ ए=ए

प्राकृतिक संख्याओं के योग के विषय पर प्रश्न:
एक अतिरिक्त तालिका बनाएं और देखें कि क्रमविनिमेय कानून की संपत्ति कैसे काम करती है?
1 से 10 तक की अतिरिक्त तालिका इस प्रकार दिख सकती है:

अतिरिक्त तालिका का दूसरा संस्करण.

यदि हम अतिरिक्त तालिकाओं को देखें, तो हम देख सकते हैं कि क्रमविनिमेय नियम कैसे काम करता है।

अभिव्यक्ति a+b=c में, योग क्या होगा?
उत्तर: योग पदों को जोड़ने का परिणाम है। ए+बी और सी.

व्यंजक a+b=c पदों में, क्या होगा?
उत्तर: ए और बी. जोड़ वे संख्याएँ हैं जिन्हें हम एक साथ जोड़ते हैं।

यदि आप किसी संख्या में 0 जोड़ दें तो उसका क्या होगा?
उत्तर: कुछ नहीं, संख्या नहीं बदलेगी. शून्य के साथ जोड़ने पर संख्या वही रहती है, क्योंकि शून्य एक का अभाव है।

उदाहरण में कितने पद होने चाहिए ताकि जोड़ का संयोजन नियम लागू किया जा सके?
उत्तर: तीन या अधिक पदों से।

क्रमविनिमेय नियम को शाब्दिक रूप में लिखिए?
उत्तर: a+b=b+a

कार्यों के उदाहरण.
उदाहरण 1:
दिए गए भावों का उत्तर लिखें: a) 15+7 b) 7+15
उत्तर: ए) 22 बी) 22

उदाहरण #2:
संयोजन नियम को शर्तों पर लागू करें: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
उत्तर: 20.

उदाहरण #3:
अभिव्यक्ति को हल करें:
ए) 5921+0 बी) 0+5921
समाधान:
ए) 5921+0 =5921
बी) 0+5921=5921

हमने पूर्णांकों के जोड़, गुणा, घटाव और भाग को परिभाषित किया है। इन क्रियाओं (ऑपरेशंस) के कई विशिष्ट परिणाम होते हैं, जिन्हें गुण कहा जाता है। इस लेख में हम पूर्णांकों को जोड़ने और गुणा करने के मूल गुणों को देखेंगे, जिनसे इन क्रियाओं के अन्य सभी गुण निकलते हैं, साथ ही पूर्णांकों को घटाने और विभाजित करने के गुणों पर भी गौर करेंगे।

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पूर्णांकों के योग में कई अन्य अत्यंत महत्वपूर्ण गुण होते हैं।

उनमें से एक शून्य के अस्तित्व से संबंधित है। पूर्णांकों के योग का यह गुण यह बताता है किसी भी पूर्णांक में शून्य जोड़ने से वह संख्या नहीं बदलती. आइए योग के इस गुण को अक्षरों का उपयोग करके लिखें: a+0=a और 0+a=a (यह समानता योग के क्रमविनिमेय गुण के कारण सत्य है), a कोई भी पूर्णांक है। आपने सुना होगा कि पूर्णांक शून्य को इसके अलावा तटस्थ तत्व भी कहा जाता है। आइए कुछ उदाहरण दें. पूर्णांक −78 और शून्य का योग −78 है; यदि आप धनात्मक पूर्णांक 999 को शून्य में जोड़ते हैं, तो परिणाम 999 होता है।

अब हम पूर्णांकों के योग के एक अन्य गुण का सूत्रीकरण देंगे, जो किसी भी पूर्णांक के लिए विपरीत संख्या के अस्तित्व से जुड़ा है। किसी भी पूर्णांक का उसकी विपरीत संख्या के साथ योग शून्य होता है. आइए इस गुण को लिखने का शाब्दिक रूप दें: a+(−a)=0, जहां a और −a विपरीत पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, योग 901+(−901) शून्य है; इसी प्रकार, विपरीत पूर्णांकों -97 और 97 का योग शून्य है।

पूर्णांकों को गुणा करने के मूल गुण

पूर्णांकों के गुणन में प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के सभी गुण होते हैं। आइए इन संपत्तियों में से मुख्य को सूचीबद्ध करें।

जिस प्रकार जोड़ के संबंध में शून्य एक तटस्थ पूर्णांक है, उसी प्रकार पूर्णांक गुणन के संबंध में एक तटस्थ पूर्णांक है। वह है, किसी भी पूर्णांक को एक से गुणा करने पर गुणा की जाने वाली संख्या नहीं बदलती. तो 1·a=a, जहां a कोई पूर्णांक है। अंतिम समानता को a·1=a के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, यह हमें गुणन का क्रमविनिमेय गुण बनाने की अनुमति देता है। चलिए दो उदाहरण देते हैं. पूर्णांक 556 बटा 1 का गुणनफल 556 है; एक और ऋणात्मक पूर्णांक −78 का गुणनफल −78 के बराबर है।

पूर्णांकों को गुणा करने का अगला गुण शून्य से गुणा करने से संबंधित है। किसी भी पूर्णांक a को शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होता है, अर्थात a·0=0 . पूर्णांकों को गुणा करने के क्रमविनिमेय गुण के कारण समानता 0·a=0 भी सत्य है। विशेष स्थिति में जब a=0, शून्य और शून्य का गुणनफल शून्य के बराबर होता है।

पूर्णांकों के गुणन के लिए, पिछले वाले का व्युत्क्रम गुण भी सत्य है। ऐसा दावा है दो पूर्णांकों का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर हो. शाब्दिक रूप में, इस गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: a·b=0, यदि या तो a=0, या b=0, या दोनों a और b एक ही समय में शून्य के बराबर हैं।

योग के सापेक्ष पूर्णांकों के गुणन का वितरण गुण

पूर्णांकों का संयुक्त जोड़ और गुणन हमें जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणात्मक संपत्ति पर विचार करने की अनुमति देता है, जो दो संकेतित क्रियाओं को जोड़ता है। जोड़ और गुणन का एक साथ उपयोग करने से अतिरिक्त संभावनाएं खुलती हैं जिन्हें हम चूक जाएंगे यदि हम जोड़ को गुणन से अलग मानें।

तो, जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरण गुण बताता है कि एक पूर्णांक a और दो पूर्णांकों a और b का योग का गुणनफल a b और a c के गुणनफल के योग के बराबर है, अर्थात, ए·(बी+सी)=ए·बी+ए·सी. उसी गुण को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है: (ए+बी)सी=एसी+बीसी .

योग के सापेक्ष पूर्णांकों को गुणा करने का वितरणात्मक गुण, योग के संयोजन गुण के साथ, हमें तीन या अधिक पूर्णांकों के योग से एक पूर्णांक का गुणन निर्धारित करने की अनुमति देता है, और फिर पूर्णांकों के योग को योग से गुणा करने की अनुमति देता है।

यह भी ध्यान दें कि पूर्णांकों के योग और गुणन के अन्य सभी गुण हमारे द्वारा बताए गए गुणों से प्राप्त किए जा सकते हैं, अर्थात, वे ऊपर बताए गए गुणों के परिणाम हैं।

पूर्णांकों को घटाने के गुण

परिणामी समानता से, साथ ही पूर्णांकों के जोड़ और गुणन के गुणों से, पूर्णांकों के घटाव के निम्नलिखित गुण अनुसरण करते हैं (ए, बी और सी मनमाना पूर्णांक हैं):

• सामान्य तौर पर पूर्णांकों के घटाव में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है: a−b≠b−a।
• समान पूर्णांकों का अंतर शून्य है: a−a=0.
• किसी दिए गए पूर्णांक से दो पूर्णांकों का योग घटाने का गुण: a−(b+c)=(a−b)−c .
• दो पूर्णांकों के योग से एक पूर्णांक घटाने का गुण: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• घटाव के सापेक्ष गुणन का वितरणात्मक गुण: a·(b−c)=a·b−ac·c और (a−b)·c=ac·c−b·c.
• और पूर्णांकों को घटाने के अन्य सभी गुण।

पूर्णांकों के विभाजन के गुण

पूर्णांकों को विभाजित करने के अर्थ पर चर्चा करते समय, हमने पाया कि पूर्णांकों को विभाजित करना गुणन की व्युत्क्रम क्रिया है। हमने निम्नलिखित परिभाषा दी है: पूर्णांकों को विभाजित करने का अर्थ किसी ज्ञात गुणनफल और ज्ञात गुणनखंड से एक अज्ञात गुणनखंड ज्ञात करना है। अर्थात्, हम पूर्णांक c को पूर्णांक a को पूर्णांक b से विभाजित करने का भागफल कहते हैं, जब गुणनफल c·b, a के बराबर होता है।

यह परिभाषा, साथ ही ऊपर चर्चा की गई पूर्णांकों पर संक्रियाओं के सभी गुण, पूर्णांकों को विभाजित करने के निम्नलिखित गुणों की वैधता स्थापित करना संभव बनाते हैं:

• किसी भी पूर्णांक को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता.
• शून्य को शून्य के अलावा किसी अन्य मनमाने पूर्णांक से विभाजित करने का गुण: 0:a=0।
• समान पूर्णांकों को विभाजित करने का गुण: a:a=1, जहां a शून्य के अलावा कोई पूर्णांक है।
• एक मनमाना पूर्णांक a को एक से विभाजित करने का गुण: a:1=a.
• सामान्य तौर पर, पूर्णांकों के विभाजन में क्रमविनिमेय गुण नहीं होता है: a:b≠b:a ।
• दो पूर्णांकों के योग और अंतर को एक पूर्णांक से विभाजित करने के गुण: (a+b):c=a:c+b:c और (a−b):c=a:c−b:c, जहां a, b , और c ऐसे पूर्णांक हैं कि a और b दोनों c से विभाज्य हैं और c अशून्य है।
• दो पूर्णांक a और b के गुणनफल को शून्य के अलावा किसी पूर्णांक c से विभाजित करने का गुण: (a·b):c=(a:c)·b, यदि a, c से विभाज्य है; (a·b):c=a·(b:c) , यदि b, c से विभाज्य है; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , यदि a और b दोनों c से विभाज्य हैं।
• एक पूर्णांक a को दो पूर्णांकों b और c के गुणनफल से विभाजित करने का गुण (संख्याएँ a , b और c ऐसी हैं कि a को b c से विभाजित करना संभव है): a:(b c)=(a:b)c=(a :सी)·बी .
• पूर्णांकों को विभाजित करने का कोई अन्य गुण।