उनके निर्देशांक द्वारा शहरों के बीच दूरियों की गणना। जीपीएस निर्देशांक के बीच दूरी की गणना कैसे करें

निर्देशांक ग्लोब पर किसी वस्तु का स्थान निर्धारित करते हैं। निर्देशांक अक्षांश और देशांतर द्वारा इंगित किए जाते हैं। अक्षांश रेखा के दोनों ओर भूमध्य रेखा से मापे जाते हैं। उत्तरी गोलार्ध में, अक्षांश सकारात्मक हैं, में दक्षिणी गोलार्द्ध- नकारात्मक। देशांतर को प्रारंभिक याम्योत्तर से या तो पूर्व या पश्चिम में मापा जाता है, क्रमशः या तो पूर्वी या पश्चिमी देशांतर प्राप्त किया जाता है।

आम तौर पर स्वीकृत स्थिति के अनुसार, मध्याह्न को प्रारंभिक के रूप में लिया जाता है, जो ग्रीनविच में पुराने ग्रीनविच वेधशाला से होकर गुजरता है। जीपीएस नेविगेटर का उपयोग करके स्थान के भौगोलिक निर्देशांक प्राप्त किए जा सकते हैं। यह उपकरण WGS-84 समन्वय प्रणाली में एक उपग्रह पोजीशनिंग सिस्टम से संकेत प्राप्त करता है, जो पूरी दुनिया के लिए समान है।

नेविगेटर मॉडल निर्माताओं, कार्यक्षमता और इंटरफ़ेस में भिन्न होते हैं। वर्तमान में, सेल फोन के कुछ मॉडलों में अंतर्निहित जीपीएस-नेविगेटर उपलब्ध हैं। लेकिन कोई भी मॉडल बिंदु निर्देशांक को रिकॉर्ड और सहेज सकता है।

जीपीएस निर्देशांक के बीच दूरी

कुछ उद्योगों में व्यावहारिक और सैद्धांतिक समस्याओं को हल करने के लिए, उनके निर्देशांक द्वारा बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आप कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं। भौगोलिक निर्देशांक का विहित प्रतिनिधित्व: डिग्री, मिनट, सेकंड।

उदाहरण के लिए, आप निम्नलिखित निर्देशांकों के बीच की दूरी निर्धारित कर सकते हैं: बिंदु संख्या 1 - अक्षांश 55°45′07″ N, देशांतर 37°36′56″ E; बिंदु संख्या 2 - अक्षांश 58°00'02" N, देशांतर 102°39'42" E

दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए -कैलकुलेटर का उपयोग करना सबसे आसान तरीका है। ब्राउज़र खोज इंजन में, आपको निम्नलिखित खोज पैरामीटर सेट करने होंगे: ऑनलाइन - दो निर्देशांकों के बीच की दूरी की गणना करने के लिए। ऑनलाइन कैलकुलेटर में, पहले और दूसरे निर्देशांक के लिए क्वेरी फ़ील्ड में अक्षांश और देशांतर मान दर्ज किए जाते हैं। गणना करते समय, ऑनलाइन कैलकुलेटर ने परिणाम दिया - 3,800,619 मीटर।

अगली विधि अधिक समय लेने वाली है, लेकिन अधिक दृश्य भी है। किसी भी उपलब्ध मैपिंग या नेविगेशन प्रोग्राम का उपयोग करना आवश्यक है। प्रोग्राम जो निर्देशांक द्वारा अंक बना सकते हैं और उनके बीच की दूरी को माप सकते हैं उनमें निम्नलिखित अनुप्रयोग शामिल हैं: बेसकैंप ( आधुनिक एनालॉग MapSource प्रोग्राम), Google Earth, SAS.Planet.

उपरोक्त सभी कार्यक्रम किसी भी नेटवर्क उपयोगकर्ता के लिए उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, Google धरती में दो निर्देशांकों के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, आपको पहले बिंदु और दूसरे बिंदु के निर्देशांकों को दर्शाने वाले दो लेबल बनाने होंगे। फिर, शासक उपकरण का उपयोग करके, आपको पहले और दूसरे अंक को एक रेखा से जोड़ने की आवश्यकता है, कार्यक्रम स्वचालित रूप से माप परिणाम देगा और पृथ्वी की उपग्रह छवि पर पथ दिखाएगा।

उपरोक्त उदाहरण के मामले में, Google धरती कार्यक्रम ने परिणाम लौटाया - बिंदु #1 और बिंदु #2 के बीच की दूरी की लंबाई 3,817,353 मीटर है।

दूरी तय करने में त्रुटि क्यों होती है

निर्देशांकों के बीच की सभी दूरी की गणनाएँ चाप की लंबाई की गणनाओं पर आधारित होती हैं। चाप की लंबाई की गणना में पृथ्वी की त्रिज्या शामिल है। लेकिन चूंकि पृथ्वी का आकार एक चपटे दीर्घवृत्त के करीब है, इसलिए कुछ बिंदुओं पर पृथ्वी की त्रिज्या अलग है। निर्देशांक के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, पृथ्वी की त्रिज्या का औसत मान लिया जाता है, जो माप में त्रुटि देता है। मापी गई दूरी जितनी अधिक होगी, त्रुटि उतनी ही अधिक होगी।

बिंदु से बिंदु की दूरीदिए गए पैमाने पर इन बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई है। इस प्रकार, कब हम बात कर रहे हैंदूरी माप, आपको उस पैमाने (लंबाई की इकाई) को जानने की आवश्यकता है जिसमें माप लिया जाएगा। इसलिए, एक बिंदु से एक बिंदु तक की दूरी को खोजने की समस्या को आमतौर पर या तो एक समन्वय रेखा पर या एक समतल पर या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में माना जाता है। दूसरे शब्दों में, अक्सर आपको बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके निर्देशांकों द्वारा परिकलित करना पड़ता है।

इस लेख में, हम, सबसे पहले, याद करते हैं कि समन्वय रेखा पर एक बिंदु से एक बिंदु की दूरी कैसे निर्धारित की जाती है। अगला, हम विमान या अंतरिक्ष के दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं दिए गए निर्देशांक. अंत में, हम विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधान पर विस्तार से विचार करते हैं।

पेज नेविगेशन।

एक समन्वय रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी।

आइए पहले संकेतन को परिभाषित करें। बिंदु A से बिंदु B तक की दूरी को के रूप में दर्शाया जाएगा।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं निर्देशांक के साथ बिंदु A से बिंदु B तक समन्वय के साथ दूरी निर्देशांक में अंतर के मापांक के बराबर है, वह है, निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं की किसी भी व्यवस्था के लिए।

विमान पर एक बिंदु से एक बिंदु तक की दूरी, सूत्र।

आइए बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करें और एक समतल पर एक आयताकार कार्तीय समन्वय प्रणाली में दिया गया।

बिंदु ए और बी के स्थान के आधार पर, निम्नलिखित विकल्प संभव हैं।

यदि बिंदु A और B संपाती हैं, तो उनके बीच की दूरी शून्य होती है।

यदि बिंदु ए और बी एक्स-अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर झूठ बोलते हैं, तो बिंदु और मेल खाते हैं, और दूरी दूरी के बराबर होती है। पिछले पैराग्राफ में, हमने पाया कि समन्वय रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक के बीच के अंतर के मापांक के बराबर है, इसलिए, . इस तरह, ।

इसी प्रकार, यदि बिंदु A और B, y-अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो बिंदु A से बिंदु B की दूरी इस प्रकार पाई जाती है।

इस मामले में, त्रिभुज एबीसी निर्माण में आयताकार है, और और । द्वारा पायथागॉरियन प्रमेयहम समानता लिख ​​सकते हैं, जहां से।

आइए सभी परिणामों को सारांशित करें: एक बिंदु से एक विमान पर एक बिंदु की दूरी सूत्र द्वारा बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से पाई जाती है .

बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने के लिए परिणामी सूत्र का उपयोग तब किया जा सकता है जब बिंदु A और B संयोग करते हैं या किसी एक निर्देशांक अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। वास्तव में, यदि A और B समान हैं, तो . यदि बिंदु ए और बी ऑक्स अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो। यदि A और B Oy अक्ष के लम्बवत् एक सरल रेखा पर स्थित हों, तब .

अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी, सूत्र।

आइए अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली Оxyz का परिचय दें। किसी बिंदु से दूरी ज्ञात करने का सूत्र प्राप्त करें मुद्दे पर .

सामान्य तौर पर, बिंदु ए और बी एक समन्वय विमान के समानांतर एक विमान में स्थित नहीं होते हैं। चलो समन्वय अक्षों ऑक्स, ओए और ओज़ के समतल में बिंदु ए और बी के माध्यम से आरेखित करते हैं। निर्देशांक अक्षों के साथ इन तलों के प्रतिच्छेदन बिंदु हमें इन अक्षों पर बिंदुओं A और B के अनुमान देंगे। अनुमानों को निरूपित करें .

बिंदु A और B के बीच की वांछित दूरी आकृति में दिखाए गए आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है। रचना के अनुसार, इस समानांतर चतुर्भुज के आयाम हैं और । ज्यामिति के क्रम में उच्च विद्यालययह साबित हो गया था कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर है, इसलिए, . इस लेख के पहले खंड की जानकारी के आधार पर हम निम्नलिखित समानताएं लिख सकते हैं, इसलिए,

हमें कहाँ मिलता है अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र .

यह सूत्र भी मान्य है यदि अंक ए और बी

• मेल खाना;
• समन्वय अक्षों में से एक या समन्वय अक्षों में से एक के समानांतर सीधी रेखा से संबंधित;
• समन्वय विमानों में से एक या समन्वय विमानों में से एक के समानांतर एक विमान से संबंधित है।

बिंदु से बिंदु, उदाहरण और समाधान से दूरी ढूँढना।

इसलिए, हमें समन्वय रेखा, समतल और त्रि-आयामी स्थान के दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के सूत्र मिले। यह विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करने का समय है।

कार्यों की संख्या जिसमें अंतिम चरण दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके निर्देशांक के अनुसार खोजना है, वास्तव में बहुत बड़ा है। ऐसे उदाहरणों की पूरी समीक्षा इस लेख के दायरे से बाहर है। यहां हम खुद को उन उदाहरणों तक सीमित रखते हैं जिनमें दो बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात होते हैं और उनके बीच की दूरी की गणना करना आवश्यक होता है।

सैद्धांतिक प्रश्न

विमान पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति

1. समन्वय विधि: संख्या रेखा, रेखा पर निर्देशांक; समतल पर आयताकार (कार्तीय) समन्वय प्रणाली; धुवीय निर्देशांक।

आइए एक सीधी रेखा पर एक नज़र डालते हैं। आइए इस पर एक दिशा चुनें (तब यह एक धुरी बन जाएगी) और कुछ बिंदु 0 (मूल बिंदु)। एक चुनी हुई दिशा और उत्पत्ति के साथ एक सीधी रेखा कहलाती है समन्वय रेखा(इस मामले में, हम मानते हैं कि स्केल यूनिट का चयन किया गया है)।

होने देना एमसमन्वय रेखा पर एक मनमाना बिंदु है। बिंदु के अनुसार डालते हैं एमवास्तविक संख्या एक्स, मूल्य के बराबर ओमखंड : एक्स = ओएम।संख्या एक्सबिन्दु का निर्देशांक कहलाता है एम.

इस प्रकार, समन्वय रेखा का प्रत्येक बिंदु एक निश्चित वास्तविक संख्या से मेल खाता है - इसका समन्वय। इसका विलोम भी सत्य है, प्रत्येक वास्तविक संख्या x निर्देशांक रेखा पर किसी बिंदु से मेल खाती है, अर्थात् ऐसा बिंदु एम, जिसका निर्देशांक x है। यह पत्राचार कहा जाता है परस्पर असंदिग्ध।

इसलिए, वास्तविक संख्याओं को निर्देशांक रेखा के बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, अर्थात समन्वय रेखा सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की छवि के रूप में कार्य करती है। इसलिए, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को कहा जाता है संख्या रेखा, और कोई भी संख्या इस रेखा का एक बिंदु है। संख्या रेखा पर एक बिंदु के निकट, एक संख्या को अक्सर इंगित किया जाता है - इसका निर्देशांक।

समतल पर आयताकार (या कार्तीय) समन्वय प्रणाली।

दो परस्पर लंबवत अक्ष एक्स के बारे मेंऔर वाई के बारे मेंएक सामान्य शुरुआत होना के बारे मेंऔर वही स्केल यूनिट, फॉर्म समतल पर आयताकार (या कार्तीय) समन्वय प्रणाली।

एक्सिस ओहएक्स-एक्सिस, एक्सिस कहा जाता है ओए- वाई-अक्ष। डॉट के बारे मेंअक्षों के प्रतिच्छेदन को मूल कहा जाता है। वह तल जिसमें कुल्हाड़ियाँ स्थित हैं ओहऔर ओए, को निर्देशांक तल कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है ओह xy.

तो, एक विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली विमान के सभी बिंदुओं के सेट और संख्याओं के जोड़े के सेट के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करती है, जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय बीजगणितीय तरीकों को लागू करना संभव बनाता है। निर्देशांक अक्ष समतल को 4 भागों में विभाजित करते हैं, इन्हें कहते हैं क्वार्टरों, वर्गया समन्वय कोण.

धुवीय निर्देशांक।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में कुछ बिंदु होते हैं के बारे मेंबुलाया खंभा, और उससे निकलने वाली किरण ँबुलाया ध्रुवीय अक्ष।इसके अलावा, खंडों की लंबाई मापने के लिए पैमाना इकाई निर्धारित है। चलो एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली दी और जाने दो एमविमान का एक मनमाना बिंदु है। द्वारा निरूपित करें आर- बिंदु दूरी एमबिन्दु से के बारे में, और के माध्यम से φ - कोण जिसके द्वारा बीम को ध्रुवीय अक्ष के विपरीत दिशा में घुमाया जाता है ताकि बीम के साथ मिल सके ओम.

धुवीय निर्देशांकअंक एमनंबरों पर कॉल करें आरऔर φ . संख्या आरप्रथम समन्वयक के रूप में माना जाता है और बुलाया जाता है ध्रुवीय त्रिज्या, संख्या φ - दूसरा निर्देशांक कहा जाता है ध्रुवीय कोण.

डॉट एमध्रुवीय निर्देशांक के साथ आरऔर φ निम्नानुसार नामित हैं: एम (; φ)।आइए एक बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक और उसके आयताकार निर्देशांक के बीच संबंध स्थापित करें।
इस मामले में, हम मान लेंगे कि आयताकार समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति ध्रुव पर है, और भुज का सकारात्मक अर्ध-अक्ष ध्रुवीय अक्ष के साथ मेल खाता है।

मान लें कि बिंदु M में आयताकार निर्देशांक हैं एक्सऔर वाईऔर ध्रुवीय निर्देशांक आरऔर φ .

(1)

सबूत।

डॉट्स से ड्रॉप करें एम 1और एम 2लंबवत एम 1 वीऔर एम 1 ए,. क्योंकि (एक्स 2; वाई 2). सिद्धांत रूप में, अगर एम 1 (एक्स 1)और एम 2 (एक्स 2)कोई भी दो बिंदु हैं और α उनके बीच की दूरी है, तब α = ‌‌‌‌|x 2 - x 1 | .

एक विमान पर उनके निर्देशांक के अनुसार बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना प्राथमिक है, पृथ्वी की सतह पर यह थोड़ा अधिक जटिल है: हम प्रक्षेपण परिवर्तनों के बिना बिंदुओं के बीच की दूरी और प्रारंभिक दिगंश को मापने पर विचार करेंगे। पहले, आइए शब्दावली को समझते हैं।

परिचय

महान वृत्त चाप लंबाई- गोले की सतह पर स्थित किसी भी दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी, इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के साथ मापी जाती है (ऐसी रेखा को ऑर्थोड्रोम कहा जाता है) और गोले की सतह या क्रांति की अन्य सतह के साथ गुजरती है। गोलाकार ज्यामिति सामान्य यूक्लिडियन से अलग है और दूरी के समीकरण भी एक अलग रूप लेते हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक सीधी रेखा होती है। एक गोले पर, कोई सीधी रेखाएँ नहीं होती हैं। गोले पर ये रेखाएँ बड़े वृत्तों का हिस्सा हैं - वृत्त जिनके केंद्र गोले के केंद्र के साथ मेल खाते हैं। प्रारंभिक दिगंश- दिगंश, जो बिंदु A से शुरू होने पर, बिंदु B के लिए सबसे छोटी दूरी के लिए महान वृत्त का अनुसरण करते हुए, अंतिम बिंदु बिंदु B होगा। बिंदु A से बिंदु B तक महान वृत्त रेखा के साथ चलते समय, दिगंश से अंत बिंदु बी करने के लिए वर्तमान स्थिति स्थिर है बदल रहा है। प्रारंभिक दिगंश एक स्थिर से भिन्न होता है, जिसके बाद वर्तमान बिंदु से अंतिम तक का दिगंश नहीं बदलता है, लेकिन मार्ग दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी नहीं है।

गोले की सतह पर किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से, यदि वे एक-दूसरे के सीधे विपरीत नहीं हैं (अर्थात, वे एंटीपोड नहीं हैं), तो एक अद्वितीय बड़ा वृत्त खींचा जा सकता है। दो बिंदु बड़े वृत्त को दो चापों में विभाजित करते हैं। लघु चाप की लंबाई दो बिन्दुओं के बीच की न्यूनतम दूरी होती है। दो एंटीपोडल बिंदुओं के बीच अनंत संख्या में बड़े वृत्त खींचे जा सकते हैं, लेकिन उनके बीच की दूरी किसी भी वृत्त पर समान होगी और वृत्त की आधी परिधि के बराबर होगी, या π*R, जहां R गोले की त्रिज्या है।

एक तल पर (एक आयताकार समन्वय प्रणाली में), महान वृत्त और उनके टुकड़े, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सभी अनुमानों में चाप हैं, सूक्ति को छोड़कर, जहां बड़े वृत्त सीधी रेखाएं हैं। व्यवहार में, इसका मतलब यह है कि हवाई जहाज और अन्य हवाई परिवहन हमेशा ईंधन बचाने के लिए बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी के मार्ग का उपयोग करते हैं, अर्थात उड़ान एक बड़े वृत्त की दूरी के साथ की जाती है, विमान पर यह एक चाप जैसा दिखता है।

पृथ्वी के आकार को एक गोले के रूप में वर्णित किया जा सकता है, इसलिए दूरियों की गणना के लिए समीकरणों पर दीर्घ वृत्ताकारपृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण हैं और अक्सर नेविगेशन में उपयोग किए जाते हैं। इस विधि द्वारा दूरी की गणना करना अधिक कुशल है और कई मामलों में अनुमानित निर्देशांक (आयताकार समन्वय प्रणाली में) की गणना करने से अधिक सटीक है, क्योंकि, सबसे पहले, इसे अनुवाद करने की आवश्यकता नहीं है भौगोलिक निर्देशांकएक आयताकार समन्वय प्रणाली में (प्रक्षेपण परिवर्तन करें) और, दूसरी बात, गलत तरीके से चुने गए कई अनुमान, प्रक्षेपण विकृतियों की विशेषताओं के कारण महत्वपूर्ण लंबाई विकृतियों को जन्म दे सकते हैं। यह ज्ञात है कि एक गोला नहीं, बल्कि एक दीर्घवृत्त पृथ्वी के आकार का अधिक सटीक वर्णन करता है, हालाँकि, यह लेख एक गोले पर दूरियों की गणना पर चर्चा करता है, गणना के लिए 6372795 मीटर के दायरे के साथ एक गोले का उपयोग किया जाता है, जिससे हो सकता है 0.5% के क्रम की दूरियों की गणना करने में त्रुटि।

सूत्रों

एक बड़े वृत्त की गोलाकार दूरी की गणना करने के तीन तरीके हैं। 1. गोलाकार कोसाइन प्रमेयछोटी दूरी और छोटी गणना बिट गहराई (दशमलव स्थानों की संख्या) के मामले में, सूत्र के उपयोग से महत्वपूर्ण गोल त्रुटियां हो सकती हैं। φ1, λ1; φ2, λ2 - रेडियन में दो बिंदुओं का अक्षांश और देशांतर Δλ - देशांतर में अंतर का समन्वय Δδ - कोणीय अंतर Δδ = आर्ककोस (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) कोणीय दूरी को मीट्रिक में बदलने के लिए, आपको गुणा करना होगा त्रिज्या द्वारा कोणीय अंतर (6372795 मीटर), अंतिम दूरी की इकाइयाँ उन इकाइयों के बराबर होंगी जिनमें त्रिज्या व्यक्त की गई है (में इस मामले में- मीटर)। 2. हावरसाइन फॉर्मूलाकम दूरी की समस्याओं से बचने के लिए उपयोग किया जाता है। 3. एंटीपोड के लिए संशोधनपिछला सूत्र भी एंटीपोड की समस्या के अधीन है, इसे हल करने के लिए, निम्नलिखित संशोधन का उपयोग किया जाता है।

PHP में मेरा कार्यान्वयन

// पृथ्वी त्रिज्या परिभाषित ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * दो बिंदुओं के बीच की दूरी * $φA, $λA - अक्षांश, पहले बिंदु का देशांतर, * $φB, $λB - अक्षांश, दूसरे बिंदु का देशांतर * http://gis-lab.info/ qa पर आधारित /great-circles.html * मिखाइल कोबज़रेव * */ फंक्शन कैलकुलेट द डिस्टेंस ($φA, $λA, $φB, $λB) (//निर्देशांकों को रेडियंस में बदलें $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // अक्षांश और देशांतर अंतर की कोसाइन और ज्या $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // गणना ग्रेट सर्किल लंबाई $y = sqrt(पाउ($cl2 * $sdelta, 2) + पाउ($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; $long1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139.55; गूंज गणना TheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) । "मीटर"; // रिटर्न "17166029 मीटर"

समतल के प्रत्येक बिंदु A को उसके निर्देशांक (x, y) द्वारा चित्रित किया जाता है। वे वेक्टर 0А के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, जो बिंदु 0 - मूल से निकलते हैं।

मान लीजिए A और B क्रमशः निर्देशांक (x 1 y 1) और (x 2, y 2) वाले समतल के मनमाना बिंदु हैं।

फिर सदिश AB में स्पष्ट रूप से निर्देशांक (x 2 - x 1, y 2 - y 1) हैं। यह ज्ञात है कि एक सदिश की लंबाई का वर्ग उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसलिए, बिंदु A और B के बीच की दूरी d, या, जो समान है, वेक्टर AB की लंबाई, स्थिति से निर्धारित होती है

डी 2 \u003d (एक्स 2 - एक्स 1) 2 + (वाई 2 - वाई 1) 2।

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

परिणामी सूत्र आपको विमान के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने की अनुमति देता है, यदि केवल इन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों

हर बार, विमान के एक विशेष बिंदु के निर्देशांक के बारे में बोलते हुए, हमारे पास एक अच्छी तरह से परिभाषित समन्वय प्रणाली x0y है। सामान्य तौर पर, विमान पर समन्वय प्रणाली को विभिन्न तरीकों से चुना जा सकता है। इसलिए, x0y निर्देशांक प्रणाली के बजाय, हम xִy समन्वय प्रणाली पर विचार कर सकते हैं, जो प्रारंभिक बिंदु 0 के चारों ओर पुराने समन्वय अक्षों को घुमाकर प्राप्त की जाती है। वामावर्तकोने पर तीर α .

यदि x0y समन्वय प्रणाली में समतल के किसी बिंदु के निर्देशांक (x, y) थे, तो in नई प्रणालीनिर्देशांक хִу इसमें पहले से ही अन्य निर्देशांक होंगे (х, y)।

एक उदाहरण के रूप में, 0x अक्ष पर स्थित बिंदु M पर विचार करें और बिंदु 0 से 1 के बराबर दूरी पर स्थित है।

जाहिर है, x0y समन्वय प्रणाली में, इस बिंदु में निर्देशांक (cos α , पाप α ), और समन्वय प्रणाली में хִу निर्देशांक (1,0) हैं।

विमान ए और बी के किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक इस बात पर निर्भर करते हैं कि इस विमान में समन्वय प्रणाली कैसे स्थापित की जाती है। और यहां इन बिंदुओं के बीच की दूरी इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि समन्वय प्रणाली कैसे निर्दिष्ट की जाती है .

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