एक वेक्टर और स्वयं का क्रॉस उत्पाद। निर्देशांक द्वारा दिए गए सदिशों का सदिश गुणनफल

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परिभाषा। एक वेक्टर (गुणक) द्वारा एक वेक्टर (गुणक) का वेक्टर उत्पाद जो इसके संरेख में नहीं है, तीसरा वेक्टर सी (उत्पाद) है, जिसे निम्नानुसार बनाया गया है:

1) इसका मापांक संख्यात्मक रूप से अंजीर में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। 155), सदिशों पर निर्मित, अर्थात, यह उल्लिखित समांतर चतुर्भुज के तल के लंबवत दिशा के बराबर है;

3) इस मामले में, वेक्टर सी की दिशा चुनी जाती है (दो संभावित लोगों में से) ताकि वेक्टर सी एक दाएं हाथ की प्रणाली (§ 110) बना सके।

पदनाम: या

परिभाषा में परिशिष्ट. यदि सदिश संरेख हैं, तो आकृति को (सशर्त) समांतर चतुर्भुज मानकर शून्य क्षेत्रफल निर्दिष्ट करना स्वाभाविक है। इसीलिए वेक्टर उत्पादसंरेख सदिशों को शून्य सदिशों के बराबर माना जाता है।

चूंकि शून्य वेक्टर को कोई भी दिशा दी जा सकती है, इसलिए यह परिपाटी परिभाषा के आइटम 2 और 3 का खंडन नहीं करती है।

टिप्पणी 1. शब्द "वेक्टर उत्पाद" में, पहला शब्द इंगित करता है कि किसी क्रिया का परिणाम एक वेक्टर है (एक अदिश उत्पाद के विपरीत; सीएफ. § 104, टिप्पणी 1)।

उदाहरण 1. वेक्टर उत्पाद ढूंढें जहां सही समन्वय प्रणाली के मुख्य वैक्टर हैं (चित्र 156)।

1. चूँकि मुख्य सदिशों की लंबाई स्केल इकाई के बराबर होती है, समांतर चतुर्भुज (वर्ग) का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक के बराबर होता है। इसलिए, वेक्टर उत्पाद का मापांक एक के बराबर है।

2. चूँकि समतल का लम्ब अक्ष है, वांछित वेक्टर उत्पाद वेक्टर k के संरेख में एक वेक्टर है; और चूँकि उन दोनों का मापांक 1 है, आवश्यक क्रॉस उत्पाद या तो k या -k है।

3. इन दो संभावित वैक्टरों में से, पहले को चुना जाना चाहिए, क्योंकि वेक्टर k एक दायां सिस्टम बनाते हैं (और वेक्टर एक बायां सिस्टम बनाते हैं)।

उदाहरण 2. क्रॉस उत्पाद खोजें

समाधान। जैसा कि उदाहरण 1 में है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेक्टर या तो k या -k है। लेकिन अब हमें -k चुनने की जरूरत है, क्योंकि वेक्टर सही प्रणाली बनाते हैं (और वेक्टर बाईं ओर बनाते हैं)। इसलिए,

उदाहरण 3 सदिशों की लंबाई क्रमशः 80 और 50 सेमी है, और वे 30° का कोण बनाते हैं। एक मीटर को लंबाई की इकाई के रूप में लेते हुए, वेक्टर उत्पाद ए की लंबाई ज्ञात करें

समाधान। सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वांछित सदिश गुणनफल की लंबाई के बराबर होता है

उदाहरण 4. लंबाई की एक इकाई के रूप में एक सेंटीमीटर लेते हुए, समान वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात करें।

समाधान। चूँकि सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सदिश गुणनफल की लंबाई के बराबर होता है, अर्थात्।

उदाहरण 3 और 4 की तुलना से पता चलता है कि वेक्टर की लंबाई न केवल कारकों की लंबाई पर निर्भर करती है, बल्कि लंबाई इकाई की पसंद पर भी निर्भर करती है।

वेक्टर उत्पाद का भौतिक अर्थ.वेक्टर उत्पाद द्वारा प्रदर्शित कई भौतिक मात्राओं में से, हम केवल बल के क्षण पर विचार करेंगे।

मान लीजिए A बल के अनुप्रयोग का बिंदु है। बिंदु O के सापेक्ष बल के क्षण को वेक्टर उत्पाद कहा जाता है। चूँकि इस वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल संख्यात्मक रूप से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है (चित्र 157), क्षण का मापांक ऊंचाई द्वारा आधार के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात, बल को बिंदु O से उस सीधी रेखा की दूरी से गुणा किया जाता है जिसके साथ बल कार्य करता है।

यांत्रिकी में यह सिद्ध है कि किसी कठोर पिंड के संतुलन के लिए यह आवश्यक है कि न केवल पिंड पर लागू बलों का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टरों का योग, बल्कि बलों के क्षणों का योग भी शून्य के बराबर होना चाहिए। ऐसे मामले में जब सभी बल एक ही विमान के समानांतर होते हैं, क्षणों का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर के जोड़ को उनके मॉड्यूल के जोड़ और घटाव द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। लेकिन बलों की मनमानी दिशाओं के लिए, ऐसा प्रतिस्थापन असंभव है। इसके अनुसार, क्रॉस उत्पाद को सटीक रूप से एक वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है, न कि एक संख्या के रूप में।

ऑनलाइन कैलकुलेटरवैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना करता है। विस्तृत समाधान दिया गया है. सदिशों के क्रॉस उत्पाद की गणना करने के लिए, कक्षों में सदिशों के निर्देशांक दर्ज करें और "गणना करें" पर क्लिक करें।

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वैक्टर का क्रॉस उत्पाद

सदिशों के सदिश गुणनफल की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, अवधारणाओं पर विचार करें सदिशों का क्रमबद्ध त्रिगुण, सदिशों का बायां त्रिगुण, सदिशों का दायां त्रिगुण.

परिभाषा 1. तीन सदिश कहलाते हैं ट्रिपल का आदेश दिया(या ट्रिपल) यदि यह इंगित किया जाए कि इनमें से कौन सा वेक्टर पहला है, कौन सा दूसरा है और कौन सा तीसरा है।

रिकॉर्डिंग सीबीए- का अर्थ है - पहला एक वेक्टर है सी, दूसरा वेक्टर है बीऔर तीसरा वेक्टर है ए.

परिभाषा 2. गैर-समतलीय सदिशों का त्रिगुण एबीसीदाएं (बाएं) कहा जाता है यदि, एक सामान्य शुरुआत में कम होने पर, इन वैक्टरों को व्यवस्थित किया जाता है क्योंकि वे क्रमशः बड़े, असंतुलित सूचकांक और होते हैं बीच की उंगलियांदायाँ (बायाँ) हाथ।

परिभाषा 2 को दूसरे तरीके से तैयार किया जा सकता है।

परिभाषा 2. गैर-समतलीय सदिशों का त्रिगुण एबीसीदाएँ (बाएँ) कहा जाता है यदि, जब एक सामान्य मूल में घटाया जाता है, तो वेक्टर सीसदिशों द्वारा परिभाषित तल के दूसरी ओर स्थित है एऔर बी, जहां से सबसे छोटा मोड़ आता है एको बीवामावर्त (घड़ी की दिशा में) प्रदर्शन किया।

वेक्टर तिकड़ी एबीसीअंजीर में दिखाया गया है। 1 सही और तीन है एबीसीअंजीर में दिखाया गया है। 2 बाकी है.

यदि सदिशों के दो त्रिक दाएँ या बाएँ हैं, तो कहा जाता है कि उनका अभिविन्यास समान है। अन्यथा, उन्हें विपरीत दिशा वाला कहा जाता है।

परिभाषा 3. एक कार्टेशियन या एफ़िन समन्वय प्रणाली को दाएं (बाएं) कहा जाता है यदि तीन आधार वैक्टर दाएं (बाएं) ट्रिपल बनाते हैं।

निश्चितता के लिए, निम्नलिखित में हम केवल दाएँ हाथ की समन्वय प्रणालियों पर विचार करेंगे।

परिभाषा 4. वेक्टर कलावेक्टर एप्रति वेक्टर बीवेक्टर कहा जाता है साथ, प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है सी=[अब] (या सी=[ए,बी], या सी=ए×बी) और निम्नलिखित तीन आवश्यकताओं को पूरा करना:

• वेक्टर लंबाई साथसदिशों की लंबाई के गुणनफल के बराबर है एऔर बीकोण की ज्या तक φ उन दोनों के बीच:

|सी|=|[अब]|=|ए||बी|पापφ;

(1)

• वेक्टर साथप्रत्येक सदिश के लिए ओर्थोगोनल एऔर बी;
• वेक्टर सीनिर्देशित किया ताकि तीन एबीसीसही है।

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• [अब]=−[बी ० ए] (प्रतिपरिवर्तनशीलताकारक);
• [(λa)बी]=λ [अब] (अनुकूलतासंख्यात्मक कारक के सापेक्ष);
• [(क+ख)सी]=[एसी]+[बीसी] (वितरणसदिशों के योग के सापेक्ष);
• [आ]=0 किसी भी वेक्टर के लिए ए.

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद के ज्यामितीय गुण

प्रमेय 1. दो सदिशों के संरेख होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनका सदिश गुणनफल शून्य के बराबर हो।

सबूत। आवश्यकता. वैक्टर चलो एऔर बीसंरेख. तब उनके बीच का कोण 0 या 180° और होता है पापφ=पाप180=पाप 0=0. इसलिए, अभिव्यक्ति (1) को ध्यान में रखते हुए, वेक्टर की लंबाई सीशून्य के बराबर है. तब सीशून्य वेक्टर.

पर्याप्तता. चलो वैक्टर का क्रॉस उत्पाद एऔर बीनेविगेशन से शून्य: [ अब]=0. आइए हम सिद्ध करें कि सदिश एऔर बीसंरेख. यदि कम से कम एक वेक्टर एऔर बीशून्य, तो ये सदिश संरेख होते हैं (क्योंकि शून्य सदिश की दिशा अनिश्चित होती है और इसे किसी भी सदिश के संरेख माना जा सकता है)।

यदि दोनों सदिश एऔर बीशून्येतर, फिर | ए|>0, |बी|>0. फिर से [ अब]=0 और (1) से यह इस प्रकार है पापφ=0. इसलिए सदिश एऔर बीसंरेख.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 2. वेक्टर उत्पाद की लंबाई (मापांक) [ अब] क्षेत्रफल के बराबर है एससदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज एक सामान्य मूल में परिवर्तित हो गया एऔर बी.

सबूत। जैसा कि आप जानते हैं, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होता है। इस तरह:

फिर इन वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद का रूप है:

पहली पंक्ति के तत्वों पर निर्धारक का विस्तार करने पर, हमें वेक्टर का अपघटन मिलता है ए×बीआधार मैं, जे, के, जो सूत्र (3) के बराबर है।

प्रमेय 3 का प्रमाण। आधार सदिशों के सभी संभावित युग्मों की रचना करें मैं, जे, केऔर उनके वेक्टर उत्पाद की गणना करें। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि आधार वैक्टर परस्पर ऑर्थोगोनल होते हैं, एक सही ट्रिपल बनाते हैं, और इकाई लंबाई होती है (दूसरे शब्दों में, हम मान सकते हैं कि मैं={1, 0, 0}, जे={0, 1, 0}, क=(0, 0, 1)). तो हमारे पास हैं:

अंतिम समानता और संबंध (4) से, हम प्राप्त करते हैं:

एक 3×3 मैट्रिक्स बनाएं, जिसकी पहली पंक्ति आधार वेक्टर हैं मैं, जे, के,और शेष पंक्तियाँ सदिशों के तत्वों से भरी हुई हैं एऔर बी.

एक सदिश उत्पाद की अवधारणा देने से पहले, आइए त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सदिशों a → , b → , c → के क्रमित त्रिक के अभिविन्यास के प्रश्न की ओर मुड़ें।

आरंभ करने के लिए, आइए सदिश a → , b → , c → को एक बिंदु से अलग रखें। ट्रिपल a → , b → , c → का अभिविन्यास वेक्टर c → की दिशा के आधार पर दाएं या बाएं है। जिस दिशा में वेक्टर a → से b → तक वेक्टर c → के अंत से सबसे छोटा मोड़ बनाया जाता है, उससे त्रिक a → , b → , c → का रूप निर्धारित किया जाएगा।

यदि सबसे छोटा घूर्णन वामावर्त है, तो सदिशों का त्रिक a → , b → , c → कहलाता है सहीयदि दक्षिणावर्त - बाएं.

इसके बाद, दो असंरेख सदिश a → और b → लें। आइए फिर बिंदु A से सदिश A B → = a → और A C → = b → को स्थगित करें। आइए एक वेक्टर A D → = c → बनाएं, जो A B → और A C → दोनों पर एक साथ लंबवत है। इस प्रकार, वेक्टर A D → = c → का निर्माण करते समय, हम दो काम कर सकते हैं, इसे या तो एक दिशा या विपरीत दिशा दे सकते हैं (चित्रण देखें)।

जैसा कि हमने पाया, सदिशों की क्रमित तिकड़ी a → , b → , c → सदिश की दिशा के आधार पर दाएँ या बाएँ हो सकती है।

उपरोक्त से, हम एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा पेश कर सकते हैं। यह परिभाषात्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो वैक्टरों के लिए दिया गया है।

परिभाषा 1

दो सदिश a → और b → का सदिश गुणनफल त्रि-आयामी अंतरिक्ष की आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए ऐसे वेक्टर को हम इस प्रकार कहेंगे:

• यदि सदिश a → और b → संरेख हैं, तो यह शून्य होगा;
• यह वेक्टर a →​ और वेक्टर b → दोनों के लंबवत होगा। ∠ ए → सी → = ∠ बी → सी → = π 2 ;
• इसकी लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: सी → = ए → बी → पाप ∠ ए → , बी → ;
• सदिशों के त्रिक a → , b → , c → का अभिविन्यास दिए गए समन्वय प्रणाली के समान है।

वैक्टर a → और b → के क्रॉस उत्पाद में निम्नलिखित अंकन है: a → × b →।

क्रॉस उत्पाद निर्देशांक

चूँकि किसी भी वेक्टर के समन्वय प्रणाली में कुछ निश्चित निर्देशांक होते हैं, इसलिए वेक्टर उत्पाद की दूसरी परिभाषा प्रस्तुत करना संभव है, जो आपको वैक्टर के दिए गए निर्देशांक से इसके निर्देशांक खोजने की अनुमति देगा।

परिभाषा 2

त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो सदिशों का सदिश गुणनफल a → = (a x ; a y ; a z) और b → = (b x ; b y ; b z) वेक्टर को कॉल करें c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , जहां i → , j → , k → निर्देशांक सदिश हैं।

वेक्टर उत्पाद को तीसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां पहली पंक्ति ऑर्टा वेक्टर i → , j → , k → है, दूसरी पंक्ति में वेक्टर a → के निर्देशांक शामिल हैं, और तीसरी किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में वेक्टर b → के निर्देशांक हैं, यह मैट्रिक्स निर्धारक इस तरह दिखता है: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

पहली पंक्ति के तत्वों पर इस निर्धारक का विस्तार करने पर, हमें समानता प्राप्त होती है: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

क्रॉस उत्पाद गुण

यह ज्ञात है कि निर्देशांक में वेक्टर उत्पाद को मैट्रिक्स c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z के निर्धारक के रूप में दर्शाया जाता है, फिर आधार पर मैट्रिक्स निर्धारक गुणनिम्नलिखित वेक्टर उत्पाद गुण:

1. एंटीकम्यूटेटिविटी ए → × बी → = - बी → × ए → ;
2. वितरण ए (1) → + ए (2) → × बी = ए (1) → × बी → + ए (2) → × बी → या ए → × बी (1) → + बी (2) → = ए → × बी (1) → + ए → × बी (2) → ;
3. साहचर्यता λ a → × b → = λ a → × b → या a → × (λ b →) = λ a → × b → , जहां λ एक मनमाना वास्तविक संख्या है।

इन संपत्तियों के प्रमाण जटिल नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, हम एक वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी संपत्ति को साबित कर सकते हैं।

प्रतिसंक्रामकता का प्रमाण

परिभाषा के अनुसार, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z और b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z। और यदि मैट्रिक्स की दो पंक्तियाँ आपस में बदल दी जाती हैं, तो मैट्रिक्स के निर्धारक का मान विपरीत में बदल जाना चाहिए, इसलिए, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - बी → × ए → , जो वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी को साबित करता है।

वेक्टर उत्पाद - उदाहरण और समाधान

अधिकांश मामलों में, कार्य तीन प्रकार के होते हैं।

पहले प्रकार की समस्याओं में, आमतौर पर दो वैक्टरों की लंबाई और उनके बीच का कोण दिया जाता है, लेकिन आपको क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। इस मामले में, निम्न सूत्र का उपयोग करें c → = a → b → syn ∠ a → , b → .

उदाहरण 1

सदिश a → और b → के क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 ज्ञात है।

समाधान

सदिश a → और b → के सदिश गुणनफल की लंबाई की परिभाषा का उपयोग करके, हम इस समस्या को हल करते हैं: a → × b → = a → b → पाप → a → , b → = 3 5 पाप π 4 = 15 2 2 .

उत्तर: 15 2 2 .

दूसरे प्रकार के कार्यों का संबंध सदिशों के निर्देशांक से होता है, उनमें एक सदिश उत्पाद, उसकी लंबाई आदि शामिल होते हैं। ज्ञात निर्देशांक के माध्यम से खोजा गया दिए गए सदिश ए → = (ए एक्स ; ए वाई ; ए जेड) और बी → = (बी एक्स ; बी वाई ; बी जेड) .

इस प्रकार के कार्य के लिए, आप कार्यों के लिए बहुत सारे विकल्प हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सदिश a → और b → के निर्देशांक नहीं, बल्कि प्रपत्र के निर्देशांक सदिशों में उनका विस्तार बी → = बी एक्स आई → + बी वाई जे → + बी जेड के → और c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , या सदिश a → और b → उनके निर्देशांक द्वारा दिए जा सकते हैं आरंभ और अंत बिंदु.

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें.

उदाहरण 2

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो वेक्टर सेट हैं a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . उनके वेक्टर उत्पाद खोजें.

समाधान

दूसरी परिभाषा के अनुसार, हम दिए गए निर्देशांक में दो वैक्टर का वेक्टर उत्पाद पाते हैं: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) आई → + ((- 3) 0 - 2 1) जे → + (2 (- 1) - 1 0) के → = = - 2 आई → - 2 जे → - 2 k → .

यदि हम क्रॉस उत्पाद को मैट्रिक्स निर्धारक के संदर्भ में लिखते हैं, तो समाधान यह उदाहरणइस तरह दिखता है: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →।

उत्तर: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

उदाहरण 3

वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात करें i → - j → और i → + j → + k → , जहां i → , j → , k → - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के ऑर्ट्स।

समाधान

सबसे पहले, आइए दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → के निर्देशांक खोजें।

यह ज्ञात है कि सदिश i → - j → और i → + j → + k → के क्रमशः निर्देशांक (1 ; - 1 ; 0) और (1 ; 1 ; 1) हैं। मैट्रिक्स निर्धारक का उपयोग करके वेक्टर उत्पाद की लंबाई ज्ञात करें, फिर हमारे पास i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → है + 2 के → .

इसलिए, वेक्टर उत्पाद i → - j → × i → + j → + k → के दिए गए समन्वय प्रणाली में निर्देशांक (- 1 ; - 1 ; 2) हैं।

हम सूत्र द्वारा वेक्टर उत्पाद की लंबाई पाते हैं (वेक्टर की लंबाई खोजने पर अनुभाग देखें): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

उत्तर: i → - j → × i → + j → + k → = 6। .

उदाहरण 4

तीन बिंदुओं A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) के निर्देशांक एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिए गए हैं। एक ही समय में A B → और A C → पर लंबवत कुछ वेक्टर खोजें।

समाधान

सदिश A B → और A C → के क्रमशः निम्नलिखित निर्देशांक (- 1 ; 2 ; 2) और (0 ; 4 ; 1) हैं। सदिश A B → और A C → का सदिश गुणनफल प्राप्त करने के बाद, यह स्पष्ट है कि यह A B → और A C → दोनों की परिभाषा के अनुसार एक लंबवत सदिश है, अर्थात यह हमारी समस्या का समाधान है। इसे खोजें A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →।

उत्तर: - 6 आई → + जे → - 4 के → . लंबवत सदिशों में से एक है।

तीसरे प्रकार की समस्याएं वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करने पर केंद्रित हैं। जिसे लागू करने के बाद हम दी गई समस्या का समाधान प्राप्त कर लेंगे।

उदाहरण 5

सदिश a → और b → लंबवत हैं और उनकी लंबाई क्रमशः 3 और 4 है। क्रॉस उत्पाद की लंबाई ज्ञात करें 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 ए → × - 2 बी → + - बी → × ए → + - बी → × - 2 बी →।

समाधान

सदिश गुणनफल के वितरण गुण द्वारा, हम 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 लिख सकते हैं ए → × ए → + 3 ए → × - 2 बी → + - बी → × ए → + - बी → × - 2 बी →

साहचर्यता के गुण द्वारा, हम अंतिम अभिव्यक्ति में वेक्टर उत्पादों के चिह्न से परे संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 बी → = = 3 ए → × ए → + 3 (- 2) ए → × बी → + (- 1) बी → × ए → + (- 1) (- 2) बी → × बी → = = 3 ए → × ए → - 6 ए → × बी → - बी → × ए → + 2 बी → × बी →

सदिश उत्पाद a → × a → और b → × b → 0 के बराबर हैं, क्योंकि a → × a → = a → a → पाप 0 = 0 और b → × b → = b → b → पाप 0 = 0, फिर 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →। .

वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी से यह निम्नानुसार है - 6 ए → × बी → - बी → × ए → = - 6 ए → × बी → - (- 1) ए → × बी → = - 5 ए → × बी →। .

वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके, हम समानता 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → प्राप्त करते हैं।

शर्त के अनुसार, सदिश a → और b → लंबवत हैं, अर्थात उनके बीच का कोण π 2 के बराबर है। अब यह केवल पाए गए मानों को संबंधित सूत्रों में प्रतिस्थापित करने के लिए रह गया है: 3 ए → - बी → × ए → - 2 बी → = - 5 ए → × बी → = = 5 ए → × बी → = 5 ए → बी → पाप (ए →, बी →) = 5 3 4 पाप π 2 = 60।

उत्तर: 3 ए → - बी → × ए → - 2 बी → = 60।

परिभाषा के अनुसार सदिशों के क्रॉस उत्पाद की लंबाई a → × b → = a → · b → · syn ∠ a → , b → है। चूँकि यह पहले से ही ज्ञात है (स्कूल पाठ्यक्रम से) कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दोनों भुजाओं की लंबाई के आधे उत्पाद को इन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा करने के बराबर होता है। इसलिए, वेक्टर उत्पाद की लंबाई एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है - एक दोगुना त्रिकोण, अर्थात्, वैक्टर के रूप में पक्षों का उत्पाद ए → और बी →, एक बिंदु से, साइन द्वारा बिछाया गया उनके बीच के कोण का पाप ∠ a → , b → .

यह वेक्टर उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ है।

वेक्टर उत्पाद का भौतिक अर्थ

यांत्रिकी में, भौतिकी की शाखाओं में से एक, वेक्टर उत्पाद के लिए धन्यवाद, आप अंतरिक्ष में एक बिंदु के सापेक्ष बल का क्षण निर्धारित कर सकते हैं।

परिभाषा 3

बिंदु A के सापेक्ष बिंदु B पर लागू बल F → के क्षण के तहत, हम निम्नलिखित वेक्टर उत्पाद A B → × F → को समझेंगे।

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डॉट उत्पाद गुण

वैक्टर, परिभाषा, गुणों का डॉट उत्पाद

सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँ।

वेक्टर, बुनियादी अवधारणाएँ, परिभाषाएँ, उन पर रैखिक संचालन

एक समतल पर एक वेक्टर अपने बिंदुओं का एक क्रमित युग्म होता है, जबकि पहले बिंदु को शुरुआत कहा जाता है, और दूसरे को वेक्टर का अंत कहा जाता है।

दो सदिश समान कहलाते हैं यदि वे समान और सहदिशात्मक हों।

एक ही रेखा पर स्थित सदिशों को सह-दिशात्मक कहा जाता है यदि वे ऐसे ही कुछ सदिशों के साथ सह-दिशाबद्ध होते हैं जो इस रेखा पर स्थित नहीं होते हैं।

वे सदिश जो एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं, संरेख कहलाते हैं, और संरेख लेकिन सह-दिशात्मक नहीं, विपरीत दिशा वाले कहलाते हैं।

लंबवत रेखाओं पर स्थित सदिशों को ऑर्थोगोनल कहा जाता है।

परिभाषा 5.4. जोड़ क+ख वैक्टर ए और बी सदिश के आरंभ से आने वाला सदिश कहलाता है ए वेक्टर के अंत तक बी , यदि वेक्टर की शुरुआत बी वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है ए .

परिभाषा 5.5. अंतर ए - बी वैक्टर ए और बी ऐसे वेक्टर को कहा जाता है साथ , जो वेक्टर के साथ मिलकर बी एक वेक्टर देता है ए .

परिभाषा 5.6. कामक ए वेक्टर ए प्रति संख्या कवेक्टर कहा जाता है बी , संरेख सदिश ए , जिसका मॉड्यूल | के बराबर है क||ए |, और एक दिशा जो दिशा के समान है ए पर क>0 और विपरीत ए पर क<0.

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के गुण:

संपत्ति 1. क(क+ख ) = के ए+ क बी.

संपत्ति 2. (क+म)ए = क ए+ एम ए.

संपत्ति 3. के(एम ए) = (किमी)ए .

परिणाम। यदि गैर-शून्य सदिश ए और बी संरेख हैं, तो एक संख्या है क, क्या बी= क ए.

दो अशून्य सदिशों का अदिश गुणनफल एऔर बीइन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण φ की कोज्या के गुणनफल के बराबर एक संख्या (अदिश) कहलाती है। अदिश गुणनफल को विभिन्न तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, जैसे अब, ए · बी, (ए , बी), (ए · बी). तो डॉट उत्पाद है:

ए · बी = |ए| · | बी| क्योंकि φ

यदि सदिशों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है, तो अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है।

क्रमपरिवर्तन संपत्ति: ए · बी = बी · ए(अदिश गुणनफल कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है);

वितरण संपत्ति: ए · ( बी · सी) = (ए · बी) · सी(परिणाम गुणन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है);

संयोजन गुण (अदिश कारक के संबंध में): (λ ए) · बी = λ ( ए · बी).

ऑर्थोगोनैलिटी (लंबवतता) की संपत्ति: यदि वेक्टर एऔर बीगैर-शून्य, तो उनका डॉट उत्पाद शून्य तभी होता है जब ये वेक्टर ऑर्थोगोनल (एक दूसरे के लंबवत) होते हैं ए ┴ बी;

वर्ग संपत्ति: ए · ए = ए 2 = |ए| 2 (किसी सदिश का अदिश गुणनफल उसके मापांक के वर्ग के बराबर होता है);

यदि सदिशों के निर्देशांक ए=(x 1 , y 1 , z 1 ) और बी=(x 2 , y 2 , z 2 ), तो अदिश गुणनफल है ए · बी= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2।

वेक्टर होल्डिंग वेक्टर. परिभाषा: दो सदिशों के सदिश गुणनफल को एक सदिश के रूप में समझा जाता है जिसके लिए:

मॉड्यूल इन वैक्टरों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है, अर्थात। , सदिशों और के बीच का कोण कहां है

यह सदिश गुणित सदिशों के लंबवत है, अर्थात।

यदि सदिश असंरेखी हैं, तो वे सदिशों का एक लंब त्रिक बनाते हैं।

क्रॉस उत्पाद गुण:

1. जब कारकों का क्रम बदल जाता है, तो वेक्टर उत्पाद अपना चिह्न विपरीत में बदल देता है, मॉड्यूल को संरक्षित करता है, अर्थात।

2 .वेक्टर वर्ग शून्य-वेक्टर के बराबर है, अर्थात।

3 .अदिश गुणनखंड को सदिश गुणनफल के चिह्न से निकाला जा सकता है, अर्थात।

4 .किन्हीं तीन सदिशों के लिए, समानता

5 .दो सदिशों की संरेखता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त तथा :