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किसी दिए गए बिंदु पर कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न। व्युत्पन्न खोजें: एल्गोरिदम और समाधान के उदाहरण

इस पाठ में, हम कार्यों के व्युत्पन्नों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और अधिक उन्नत विषय, अर्थात् उत्पादों और भागफलों के व्युत्पन्नों की ओर बढ़ते हैं। यदि आपने पिछला पाठ देखा है, तो आपको शायद एहसास हुआ होगा कि हमने केवल सबसे सरल निर्माणों पर विचार किया है, अर्थात्, पावर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, योग और अंतर। विशेष रूप से, हमने सीखा कि किसी योग का व्युत्पन्न उनके योग के बराबर होता है, और किसी अंतर का व्युत्पन्न क्रमशः उनके अंतर के बराबर होता है। दुर्भाग्य से, भागफल और उत्पाद व्युत्पन्न के मामले में, सूत्र बहुत अधिक जटिल होंगे। हम फलनों के गुणनफल के अवकलज के सूत्र से शुरुआत करेंगे।

त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न

आरंभ करने के लिए, मैं एक छोटा सा गीतात्मक विषयांतर करना चाहूँगा। तथ्य यह है कि मानक पावर फ़ंक्शन - $y=((x)^(n))$ के अलावा, इस पाठ में हम अन्य फ़ंक्शनों का भी सामना करेंगे, अर्थात्, $y=\sin x$, साथ ही $ y=\ cos x$ और अन्य त्रिकोणमिति - $y=tgx$ और, निश्चित रूप से, $y=ctgx$।

यदि हम सभी पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को अच्छी तरह से जानते हैं, अर्थात् $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, तो जहां तक त्रिकोणमितीय फलनों का अलग से उल्लेख करना आवश्यक है। आइए इसे लिखें:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(\sinx \right))^(\प्राइम ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\प्राइम ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\ prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \दाएं))^(\प्राइम ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

लेकिन आप इन सूत्रों को अच्छी तरह से जानते हैं, चलिए आगे बढ़ते हैं।

किसी उत्पाद का व्युत्पन्न क्या है?

सबसे पहले, सबसे महत्वपूर्ण बात: यदि कोई फ़ंक्शन दो अन्य फ़ंक्शन का उत्पाद है, उदाहरण के लिए, $f\cdot g$, तो इस निर्माण का व्युत्पन्न निम्नलिखित अभिव्यक्ति के बराबर होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सूत्र उन सूत्रों से काफी अलग और अधिक जटिल है जिन्हें हमने पहले देखा था। उदाहरण के लिए, किसी राशि के व्युत्पन्न की गणना प्रारंभिक तरीके से की जाती है - $((\left(f+g \right))^(\ prime ))=(f)"+(g)"$, या का व्युत्पन्न एक अंतर, जिसकी गणना प्राथमिक तरीके से भी की जाती है - $(( \left(f-g \right))^(\ prime ))=(f)"-(g)"$.

आइए समस्या में हमें दिए गए दो कार्यों के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए पहला सूत्र लागू करने का प्रयास करें। आइए पहले उदाहरण से शुरू करें:

जाहिर है, निम्नलिखित निर्माण एक उत्पाद के रूप में, या अधिक सटीक रूप से, एक गुणक के रूप में कार्य करता है: $((x)^(3))$, हम इसे $f$ के रूप में मान सकते हैं, और $\left(x-5 \right) $ को हम $g$ मान सकते हैं। तब उनका उत्पाद बिल्कुल दो कार्यों का उत्पाद होगा। हमने निर्णय किया:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\प्राइम ))=((\left(( (x)^(3)) \दाएं))^(\प्राइम ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ दाएं))^(\प्राइम ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(संरेखित करें)\]।

आइए अब हमारी प्रत्येक शर्त पर करीब से नज़र डालें। हम देखते हैं कि पहले और दूसरे दोनों पदों में डिग्री $x$ है: पहले मामले में यह $((x)^(2))$ है, और दूसरे में यह $((x)^(3)) है $. आइए कोष्ठक में से छोड़ते हुए, कोष्ठक में से सबसे छोटी डिग्री निकालें:

\[\begin(संरेखित करें)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(संरेखित)\]

बस, हमें उत्तर मिल गया।

आइए अपनी समस्याओं पर वापस लौटें और हल करने का प्रयास करें:

तो, आइए फिर से लिखें:

फिर से, हम ध्यान दें कि हम दो कार्यों के उत्पाद के उत्पाद के बारे में बात कर रहे हैं: $x$, जिसे $f$ द्वारा दर्शाया जा सकता है, और $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, जो कर सकता है $g$ द्वारा निरूपित किया जाए।

इस प्रकार, हमारे सामने फिर से दो कार्यों का गुणनफल है। फ़ंक्शन $f\left(x \right)$ का व्युत्पन्न खोजने के लिए हम फिर से अपने सूत्र का उपयोग करेंगे। हम पाते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \दाएं))^(\प्राइम ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(संरेखित)\]

जवाब मिल गया है.

कारक व्युत्पन्न क्यों?

हमने अभी कई बहुत महत्वपूर्ण गणितीय तथ्यों का उपयोग किया है, जो स्वयं व्युत्पन्न से संबंधित नहीं हैं, लेकिन उनके ज्ञान के बिना, इस विषय के सभी आगे के अध्ययन का कोई मतलब नहीं है।

सबसे पहले, पहली समस्या को हल करने और पहले से ही डेरिवेटिव के सभी संकेतों से छुटकारा पाने के बाद, किसी कारण से हमने इस अभिव्यक्ति को कारक बनाना शुरू कर दिया।

दूसरे, निम्नलिखित समस्या को हल करते समय, हमने 8-9वीं कक्षा के सूत्र का उपयोग करते हुए, एक तर्कसंगत घातांक और पीछे के साथ मूल से घात तक कई बार पारित किया, जिसे अलग से दोहराना उचित होगा।

गुणनखंडन के संबंध में - इन सभी अतिरिक्त प्रयासों और परिवर्तनों की आवश्यकता क्यों है? वास्तव में, यदि समस्या केवल यह कहती है कि "किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढें", तो इन अतिरिक्त चरणों की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, वास्तविक समस्याओं में जो सभी प्रकार की परीक्षाओं और परीक्षाओं में आपका इंतजार करती हैं, केवल व्युत्पन्न ढूँढना अक्सर पर्याप्त नहीं होता है। तथ्य यह है कि व्युत्पन्न केवल एक उपकरण है जिसके साथ आप पता लगा सकते हैं, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी, और इसके लिए आपको समीकरण को हल करने और इसे गुणनखंड करने की आवश्यकता है। और यहीं पर यह तकनीक बहुत उपयुक्त होगी. और सामान्य तौर पर, यदि भविष्य में किसी परिवर्तन की आवश्यकता होती है, तो किसी फ़ंक्शन के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक और सुखद होता है। इसलिए, नियम संख्या 1: यदि व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जा सकता है, तो आपको यही करना चाहिए। और तुरंत नियम संख्या 2 (अनिवार्य रूप से, यह 8वीं-9वीं कक्षा की सामग्री है): यदि समस्या में कोई जड़ है एन-वीं डिग्री, और जड़ स्पष्ट रूप से दो से अधिक है, तो इस जड़ को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक साधारण डिग्री द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और एक अंश घातांक में दिखाई देगा, जहां एन- वही डिग्री - इस भिन्न के हर में होगी।

बेशक, अगर जड़ के नीचे कुछ डिग्री है (हमारे मामले में यह डिग्री है क), तो यह कहीं भी नहीं जाता है, लेकिन बस इसी डिग्री के अंश में समाप्त हो जाता है।

अब जब आप यह सब समझ गए हैं, तो आइए उत्पाद के डेरिवेटिव पर वापस जाएं और कुछ और समीकरणों की गणना करें।

लेकिन सीधे गणना पर जाने से पहले, मैं आपको निम्नलिखित पैटर्न याद दिलाना चाहूंगा:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(\sin x \right))^(\प्राइम ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\प्राइम ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\प्राइम ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

आइए पहले उदाहरण पर विचार करें:

हमारे पास फिर से दो कार्यों का उत्पाद है: पहला $f$ है, दूसरा $g$ है। मैं आपको सूत्र याद दिला दूं:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\ prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

आइए निर्णय लें:

\[\begin(संरेखित)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\प्राइम ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\ prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(संरेखित)\]

चलिए दूसरे फ़ंक्शन पर चलते हैं:

पुनः, $\left(3x-2 \right)$ $f$ का एक फ़ंक्शन है, $\cos x$ $g$ का एक फ़ंक्शन है। कुल मिलाकर, दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न बराबर होगा:

\[\begin(संरेखित करें)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\ prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ बाएँ(\cos x \right))^(\प्राइम ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(संरेखित)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\ prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\प्राइम ))\]

आइए इसे अलग से लिखें:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\प्राइम ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\ prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

हम इस अभिव्यक्ति का गुणनखंडन नहीं करते हैं, क्योंकि यह अभी अंतिम उत्तर नहीं है। अब हमें दूसरा भाग हल करना है। आइए इसे लिखें:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\प्राइम ))=((\left(4x \right))^(\प्राइम ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\ prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(संरेखित)\]

अब आइए अपने मूल कार्य पर वापस लौटें और सब कुछ एक साथ एक संरचना में रखें:

\[\begin(संरेखित करें)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(संरेखित)\]

बस, यही अंतिम उत्तर है.

आइए अंतिम उदाहरण पर चलते हैं - यह गणना के मामले में सबसे जटिल और सबसे बड़ा होगा। तो, एक उदाहरण:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\प्राइम ))-((\left(2xctgx \right))^(\प्राइम ) )\]

हम प्रत्येक भाग को अलग से गिनते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\प्राइम ))=((\left(((x)^(2)) \दाएं))^(\प्राइम ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\प्राइम ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\ prime ))=((\left(2x \right))^(\ prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\ prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \दाएं)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

मूल फ़ंक्शन पर लौटते हुए, आइए संपूर्ण रूप से इसके व्युत्पन्न की गणना करें:

\[\begin(ign)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

वास्तव में, मैं आपको व्युत्पन्न कार्यों के बारे में बस इतना ही बताना चाहता था। जैसा कि आप देख सकते हैं, सूत्र के साथ मुख्य समस्या इसे याद रखने में नहीं है, बल्कि इस तथ्य में है कि इसमें काफी बड़ी मात्रा में गणनाएँ शामिल हैं। लेकिन यह ठीक है, क्योंकि अब हम भागफल व्युत्पन्न की ओर बढ़ रहे हैं, जहां हमें वास्तव में कड़ी मेहनत करनी होगी।

भागफल का व्युत्पन्न क्या है?

तो, भागफल के अवकलज का सूत्र। डेरिवेटिव पर स्कूली पाठ्यक्रम में यह शायद सबसे जटिल फॉर्मूला है। मान लीजिए कि हमारे पास $\frac(f)(g)$ फॉर्म का एक फ़ंक्शन है, जहां $f$ और $g$ भी फ़ंक्शन हैं जिनसे हम अभाज्य को भी हटा सकते हैं। फिर इसकी गणना निम्न सूत्र के अनुसार की जाएगी:

अंश-गणक कुछ-कुछ हमें किसी उत्पाद के अवकलज के सूत्र की याद दिलाता है, लेकिन पदों के बीच एक ऋण चिह्न होता है और मूल हर का वर्ग भी हर में जोड़ा गया है। आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे काम करता है:

आइए हल करने का प्रयास करें:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\ prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \दाएं))^(\प्राइम ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \दाएं )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\ prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

मेरा सुझाव है कि प्रत्येक भाग को अलग-अलग लिखकर लिखें:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\प्राइम ))=((\left(((x)^(2)) \ दाएं))^(\प्राइम ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\प्राइम ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(संरेखित करें)\]

आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[\begin(संरेखित करें)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(संरेखित)\]

हमें इसका उत्तर मिल गया है. चलिए दूसरे फ़ंक्शन पर चलते हैं:

इस तथ्य को देखते हुए कि इसका अंश केवल एक है, यहां गणना थोड़ी सरल होगी। तो चलिए लिखते हैं:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\ prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\ prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

आइए उदाहरण के प्रत्येक भाग की अलग से गणना करें:

\[\begin(संरेखित करें)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\प्राइम ))=((\left(( (x)^(2)) \दाएं))^(\प्राइम ))+(4)"=2x \\\end(संरेखित)\]

आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)((\left(((x)^(2) )+4 \दाएं))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \दाएं))^(2)))\]

हमें इसका उत्तर मिल गया है. जैसा कि अपेक्षित था, गणना की मात्रा पहले फ़ंक्शन की तुलना में काफी कम निकली।

पदनामों में क्या अंतर है?

चौकस छात्रों के पास शायद पहले से ही एक प्रश्न है: क्यों कुछ मामलों में हम फ़ंक्शन को $f\left(x \right)$ के रूप में दर्शाते हैं, और अन्य मामलों में हम केवल $y$ लिखते हैं? वास्तव में, गणित के दृष्टिकोण से, बिल्कुल कोई अंतर नहीं है - आपको पहले पदनाम और दूसरे दोनों का उपयोग करने का अधिकार है, और परीक्षा या परीक्षण में कोई दंड नहीं होगा। उन लोगों के लिए जो अभी भी रुचि रखते हैं, मैं समझाऊंगा कि पाठ्यपुस्तकों और समस्याओं के लेखक कुछ मामलों में $f\left(x \right)$ क्यों लिखते हैं, और अन्य में (बहुत अधिक बार) - बस $y$। तथ्य यह है कि फॉर्म में एक फ़ंक्शन लिखकर, हम उन लोगों को स्पष्ट रूप से संकेत देते हैं जो हमारी गणना पढ़ते हैं कि हम विशेष रूप से कार्यात्मक निर्भरता की बीजगणितीय व्याख्या के बारे में बात कर रहे हैं। अर्थात्, एक निश्चित चर $x$ है, हम इस चर पर निर्भरता पर विचार करते हैं और इसे $f\left(x \right)$ दर्शाते हैं। उसी समय, इस तरह के पदनाम को देखकर, जो आपकी गणना पढ़ता है, उदाहरण के लिए, निरीक्षक, अवचेतन रूप से उम्मीद करेगा कि भविष्य में केवल बीजगणितीय परिवर्तन उसका इंतजार करेंगे - कोई ग्राफ़ और कोई ज्यामिति नहीं।

दूसरी ओर, फॉर्म \ के नोटेशन का उपयोग करके, यानी, एक एकल अक्षर के साथ एक चर को दर्शाते हुए, हम तुरंत यह स्पष्ट कर देते हैं कि भविष्य में हम फ़ंक्शन की ज्यामितीय व्याख्या में रुचि रखते हैं, यानी, हम रुचि रखते हैं, सबसे पहले सब, इसके ग्राफ़ में। तदनुसार, जब फॉर्म के रिकॉर्ड का सामना करना पड़ता है, तो पाठक को ग्राफिक गणना, यानी, ग्राफ़, निर्माण इत्यादि की अपेक्षा करने का अधिकार है, लेकिन, किसी भी मामले में, विश्लेषणात्मक परिवर्तन नहीं।

मैं आपका ध्यान उन कार्यों के डिज़ाइन की एक विशेषता की ओर भी आकर्षित करना चाहूंगा जिन पर हम आज विचार कर रहे हैं। कई छात्र सोचते हैं कि मैं बहुत विस्तृत गणनाएँ देता हूँ, और उनमें से कई को छोड़ दिया जा सकता है या बस उनके दिमाग में हल किया जा सकता है। हालाँकि, यह वास्तव में इतना विस्तृत रिकॉर्ड है जो आपको आक्रामक गलतियों से छुटकारा पाने और सही ढंग से हल की गई समस्याओं के प्रतिशत में उल्लेखनीय वृद्धि करने की अनुमति देगा, उदाहरण के लिए, परीक्षण या परीक्षा के लिए स्व-तैयारी के मामले में। इसलिए, यदि आप अभी भी अपनी क्षमताओं के बारे में अनिश्चित हैं, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन शुरू कर रहे हैं, तो जल्दबाजी न करें - प्रत्येक चरण का विस्तार से वर्णन करें, प्रत्येक कारक, प्रत्येक स्ट्रोक को लिखें, और बहुत जल्द आप ऐसे उदाहरणों को बेहतर तरीके से हल करना सीख जाएंगे। कई स्कूल शिक्षकों की तुलना में. मुझे लगता है, यह स्पष्ट है। आइए कुछ और उदाहरण गिनें।

कई दिलचस्प कार्य

इस बार, जैसा कि हम देखते हैं, गणना किए जा रहे डेरिवेटिव में त्रिकोणमिति मौजूद है। इसलिए, मैं आपको निम्नलिखित याद दिला दूं:

\[\begin(संरेखित करें)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\प्राइम ))=-\sin x \\\end(संरेखित करें )\]

बेशक, हम भागफल के व्युत्पन्न के बिना नहीं कर सकते, अर्थात्:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\ prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

आइए पहले फ़ंक्शन पर विचार करें:

\[\begin(संरेखित करें)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\ prime ))=\frac(((\left(\sin x) \दाएं))^(\प्राइम ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(संरेखित करें)\]

तो हमने इस अभिव्यक्ति का समाधान ढूंढ लिया है।

चलिए दूसरे उदाहरण पर चलते हैं:

जाहिर है, इसका व्युत्पन्न अधिक जटिल होगा, यदि केवल इसलिए कि त्रिकोणमिति इस फ़ंक्शन के अंश और हर दोनों में मौजूद है। हमने निर्णय किया:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\ prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\प्राइम ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\प्राइम )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

ध्यान दें कि हमारे पास उत्पाद का व्युत्पन्न है। इस मामले में यह इसके बराबर होगा:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\ prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ दाएं))^(\प्राइम ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(संरेखित)\]

आइए अपनी गणना पर वापस लौटें। हम लिखते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(संरेखित)\]

बस इतना ही! हमने गणित किया.

किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए भागफल के व्युत्पन्न को एक सरल सूत्र में कैसे कम करें?

और यहां मैं त्रिकोणमितीय कार्यों के संबंध में एक बहुत ही महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। तथ्य यह है कि हमारे मूल निर्माण में $\frac(\sin x)(\cos x)$ फॉर्म की एक अभिव्यक्ति शामिल है, जिसे आसानी से $tgx$ से बदला जा सकता है। इस प्रकार, हम किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए भागफल के व्युत्पन्न को एक सरल सूत्र में घटा देते हैं। आइए इस उदाहरण की दोबारा गणना करें और परिणामों की तुलना करें।

तो अब हमें निम्नलिखित पर विचार करने की आवश्यकता है:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

आइए इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए अपने मूल फ़ंक्शन $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ को फिर से लिखें। हम पाते हैं:

आइये गिनते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\ prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\प्राइम ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(संरेखित) \]

अब, यदि हम प्राप्त परिणाम की तुलना भिन्न तरीके से गणना करते समय पहले प्राप्त परिणाम से करें, तो हमें विश्वास हो जाएगा कि हमें वही अभिव्यक्ति प्राप्त हुई है। इस प्रकार, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम व्युत्पन्न की गणना करते समय किस रास्ते पर जाते हैं, अगर सब कुछ सही ढंग से गणना की जाती है, तो उत्तर वही होगा।

समस्याओं को हल करते समय महत्वपूर्ण बारीकियाँ

अंत में, मैं आपको भागफल के अवकलज की गणना से संबंधित एक और सूक्ष्मता बताना चाहूंगा। अब मैं आपको जो बताने जा रहा हूं वह वीडियो पाठ की मूल स्क्रिप्ट में नहीं था। हालाँकि, फिल्मांकन से कुछ घंटे पहले, मैं अपने एक छात्र के साथ अध्ययन कर रहा था, और हम भागफल व्युत्पन्न के विषय पर चर्चा कर रहे थे। और, जैसा कि बाद में पता चला, कई छात्र इस बिंदु को नहीं समझते हैं। तो, मान लें कि हमें निम्नलिखित फ़ंक्शन के रिमूव स्ट्रोक की गणना करने की आवश्यकता है:

सिद्धांत रूप में, पहली नज़र में इसमें कुछ भी अलौकिक नहीं है। हालाँकि, गणना प्रक्रिया में हम कई मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियाँ कर सकते हैं, जिन पर मैं अब चर्चा करना चाहूंगा।

तो, हम इस व्युत्पन्न की गणना करते हैं। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि हमारे पास $3((x)^(2))$ शब्द है, इसलिए निम्नलिखित सूत्र को याद करना उचित है:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\ prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

इसके अलावा, हमारे पास $\frac(48)(x)$ शब्द है - हम भागफल के व्युत्पन्न के माध्यम से इससे निपटेंगे, अर्थात्:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\ prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

तो, आइए तय करें:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\ prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\प्राइम ))+10(0)"\]

पहले कार्यकाल में कोई समस्या नहीं है, देखें:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\ prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\प्राइम ))=3k.2x=6x\]

लेकिन पहले पद, $\frac(48)(x)$ के साथ, आपको अलग से काम करने की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि कई छात्र उस स्थिति को भ्रमित करते हैं जब उन्हें $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\ prime ))$ खोजने की आवश्यकता होती है और जब उन्हें $((\left) खोजने की आवश्यकता होती है (\frac (48)(x) \दाएं))^(\प्राइम ))$. अर्थात्, वे भ्रमित हो जाते हैं जब अचर हर में होता है और जब अचर अंश में होता है, क्रमशः, जब चर अंश में या हर में होता है।

आइए पहले विकल्प से शुरू करें:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\ prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\ prime ) ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

दूसरी ओर, यदि हम दूसरे भिन्न के साथ भी ऐसा ही करने का प्रयास करें, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होगा:

\[\begin(संरेखित करें)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\ prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\प्राइम ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\प्राइम ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, एक ही उदाहरण की गणना अलग-अलग तरीके से की जा सकती है: उस स्तर पर जहां हम भागफल के व्युत्पन्न के पास गए थे, हम $\frac(1)(x)$ को एक नकारात्मक घातांक वाली शक्ति के रूप में मान सकते हैं, यानी, हमें निम्नलिखित मिलता है :

\[\begin(संरेखित करें)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\ prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \दाएं))^(\प्राइम ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(संरेखण)\]

और इसलिए, और इसलिए हमें वही उत्तर मिला।

इस प्रकार, हम एक बार फिर दो महत्वपूर्ण तथ्यों के प्रति आश्वस्त हैं। सबसे पहले, एक ही व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग तरीकों से की जा सकती है। उदाहरण के लिए, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\ prime ))$ को भागफल के व्युत्पन्न और पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न दोनों के रूप में माना जा सकता है। इसके अलावा, यदि सभी गणनाएँ सही ढंग से की जाती हैं, तो उत्तर हमेशा एक ही होगा। दूसरे, एक चर और एक स्थिरांक दोनों वाले डेरिवेटिव की गणना करते समय, यह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है कि चर कहाँ स्थित है - अंश में या हर में। पहले मामले में, जब चर अंश में होता है, तो हमें एक सरल रैखिक फ़ंक्शन मिलता है जिसकी गणना आसानी से की जा सकती है। और यदि चर हर में है, तो हमें पहले दी गई गणनाओं के साथ अधिक जटिल अभिव्यक्ति मिलती है।

इस बिंदु पर, पाठ को पूरा माना जा सकता है, इसलिए यदि आप किसी भागफल या उत्पाद के व्युत्पन्न के बारे में कुछ भी नहीं समझते हैं, और सामान्य तौर पर, यदि इस विषय पर आपके कोई प्रश्न हैं, तो संकोच न करें - मेरी वेबसाइट पर जाएं , लिखें, कॉल करें, और मैं निश्चित रूप से कोशिश करूंगा कि क्या मैं आपकी मदद कर सकता हूं।

व्युत्पन्न स्वयं एक जटिल विषय नहीं हैं, लेकिन वे बहुत व्यापक हैं, और जो हम अभी पढ़ रहे हैं उसका उपयोग भविष्य में अधिक जटिल समस्याओं को हल करते समय किया जाएगा। इसीलिए बेहतर है कि किसी भागफल या उत्पाद के व्युत्पन्नों की गणना से संबंधित सभी गलतफहमियों को तुरंत, अभी ही पहचान लिया जाए। तब नहीं जब वे गलतफहमी का एक बड़ा गोला हों, बल्कि तब जब वे एक छोटी टेनिस गेंद हों जिससे निपटना आसान हो।

यदि आप परिभाषा का पालन करते हैं, तो किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है Δ यतर्क वृद्धि के लिए Δ एक्स:

सब कुछ साफ नजर आ रहा है. लेकिन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करें एफ(एक्स) = एक्स 2 + (2एक्स+3) · इ एक्सपाप एक्स. यदि आप सब कुछ परिभाषा के अनुसार करते हैं, तो गणना के कुछ पृष्ठों के बाद आप बस सो जाएंगे। इसलिए, सरल और अधिक प्रभावी तरीके हैं।

आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि कार्यों की संपूर्ण विविधता से हम तथाकथित प्राथमिक कार्यों को अलग कर सकते हैं। ये अपेक्षाकृत सरल अभिव्यक्तियाँ हैं, जिनके व्युत्पन्नों की गणना और सारणीबद्धता लंबे समय से की गई है। ऐसे कार्यों को याद रखना काफी आसान है - उनके डेरिवेटिव के साथ।

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न

प्राथमिक कार्य वे सभी नीचे सूचीबद्ध हैं। इन कार्यों के व्युत्पन्नों को हृदय से जानना चाहिए। इसके अलावा, उन्हें याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है - यही कारण है कि वे प्राथमिक हैं।

तो, प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न:

नाम	समारोह	यौगिक
स्थिर	एफ(एक्स) = सी, सी ∈ आर	0 (हाँ, शून्य!)
तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति	एफ(एक्स) = एक्स एन	एन · एक्स एन − 1
साइनस	एफ(एक्स) = पाप एक्स	ओल एक्स
कोज्या	एफ(एक्स) = क्योंकि एक्स	−पाप एक्स(शून्य से साइन)
स्पर्शरेखा	एफ(एक्स) = टीजी एक्स	1/cos 2 एक्स
कोटैंजेंट	एफ(एक्स) = सीटीजी एक्स	− 1/पाप 2 एक्स
प्राकृतिक	एफ(एक्स) = लॉग एक्स	1/एक्स
मनमाना लघुगणक	एफ(एक्स) = लॉग ए एक्स	1/(एक्सएल.एन ए)
घातांक प्रकार्य	एफ(एक्स) = इ एक्स	इ एक्स(कुछ भी नहीं बदला)

यदि किसी प्राथमिक फ़ंक्शन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है, तो नए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना भी आसानी से की जाती है:

(सी · एफ)’ = सी · एफ ’.

सामान्य तौर पर, स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए:

(2एक्स 3)' = 2 · ( एक्स 3)' = 2 3 एक्स 2 = 6एक्स 2 .

जाहिर है, प्राथमिक कार्यों को एक-दूसरे से जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है - और भी बहुत कुछ। इस प्रकार नए कार्य प्रकट होंगे, जो अब विशेष रूप से प्राथमिक नहीं होंगे, बल्कि कुछ नियमों के अनुसार विभेदित भी होंगे। इन नियमों पर नीचे चर्चा की गई है।

योग और अंतर का व्युत्पन्न

फ़ंक्शंस दिए जाएं एफ(एक्स) और जी(एक्स), जिसके व्युत्पन्न हमें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, आप ऊपर चर्चा किए गए प्राथमिक कार्यों को ले सकते हैं। फिर आप इन कार्यों के योग और अंतर का व्युत्पन्न पा सकते हैं:

(एफ + जी)’ = एफ ’ + जी ’
(एफ − जी)’ = एफ ’ − जी ’

तो, दो कार्यों के योग (अंतर) का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग (अंतर) के बराबर है। और भी शर्तें हो सकती हैं. उदाहरण के लिए, ( एफ + जी + एच)’ = एफ ’ + जी ’ + एच ’.

कड़ाई से कहें तो, बीजगणित में "घटाव" की कोई अवधारणा नहीं है। "नकारात्मक तत्व" की एक अवधारणा है। इसलिए अंतर है एफ − जीयोग के रूप में पुनः लिखा जा सकता है एफ+ (−1) जी, और तब केवल एक सूत्र बचता है - योग का व्युत्पन्न।

एफ(एक्स) = एक्स 2 + पाप एक्स; जी(एक्स) = एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3.

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का योग है, इसलिए:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 2 + पाप एक्स)’ = (एक्स 2)' + (पाप) एक्स)’ = 2एक्स+ क्योंकि x;

हम फ़ंक्शन के लिए इसी तरह तर्क करते हैं जी(एक्स). केवल पहले से ही तीन पद हैं (बीजगणित के दृष्टिकोण से):

जी ’(एक्स) = (एक्स 4 + 2एक्स 2 − 3)’ = (एक्स 4 + 2एक्स 2 + (−3))’ = (एक्स 4)’ + (2एक्स 2)’ + (−3)’ = 4एक्स 3 + 4एक्स + 0 = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2एक्स+ क्योंकि x;
जी ’(एक्स) = 4एक्स · ( एक्स 2 + 1).

उत्पाद का व्युत्पन्न

गणित एक तार्किक विज्ञान है, इसलिए बहुत से लोग मानते हैं कि यदि किसी योग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, तो उत्पाद का व्युत्पन्न हड़ताल">डेरिवेटिव के उत्पाद के बराबर। लेकिन भाड़ में जाओ! किसी उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना पूरी तरह से अलग सूत्र का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्:

(एफ · जी) ’ = एफ ’ · जी + एफ · जी ’

सूत्र सरल है, लेकिन इसे अक्सर भुला दिया जाता है। और न केवल स्कूली बच्चे, बल्कि छात्र भी। परिणाम गलत तरीके से हल की गई समस्याएं हैं।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = एक्स 3 क्योंकि x; जी(एक्स) = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स .

समारोह एफ(एक्स) दो प्राथमिक कार्यों का उत्पाद है, इसलिए सब कुछ सरल है:

एफ ’(एक्स) = (एक्स 3 कोस एक्स)’ = (एक्स 3)' क्योंकि एक्स + एक्स 3 (को एक्स)’ = 3एक्स 2 कोस एक्स + एक्स 3 (- पाप एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स)

समारोह जी(एक्स) पहला गुणक थोड़ा अधिक जटिल है, लेकिन सामान्य योजना नहीं बदलती है। जाहिर है, फ़ंक्शन का पहला कारक जी(एक्स) एक बहुपद है और इसका व्युत्पन्न योग का व्युत्पन्न है। हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = ((एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स)’ = (एक्स 2 + 7एक्स− 7)' · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7) · ( इ एक्स)’ = (2एक्स+7) · इ एक्स + (एक्स 2 + 7एक्स− 7)· इ एक्स = इ एक्स· (2 एक्स + 7 + एक्स 2 + 7एक्स −7) = (एक्स 2 + 9एक्स) · इ एक्स = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = एक्स 2 (3cos एक्स − एक्सपाप एक्स);
जी ’(एक्स) = एक्स(एक्स+9) · इ एक्स .

कृपया ध्यान दें कि अंतिम चरण में व्युत्पन्न को गुणनखंडित किया जाता है। औपचारिक रूप से, ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अधिकांश डेरिवेटिव की गणना स्वयं नहीं की जाती है, बल्कि फ़ंक्शन की जांच करने के लिए की जाती है। इसका मतलब यह है कि आगे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर किया जाएगा, इसके संकेत निर्धारित किए जाएंगे, इत्यादि। ऐसे मामले के लिए, अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना बेहतर है।

यदि दो कार्य हैं एफ(एक्स) और जी(एक्स), और जी(एक्स) ≠ 0 जिस सेट में हमारी रुचि है, हम एक नया फ़ंक्शन परिभाषित कर सकते हैं एच(एक्स) = एफ(एक्स)/जी(एक्स). ऐसे फ़ंक्शन के लिए आप व्युत्पन्न भी पा सकते हैं:

कमज़ोर नहीं, हुह? माइनस कहां से आया? क्यों जी 2? और इस तरह! यह सबसे जटिल फ़ार्मुलों में से एक है - आप इसे बोतल के बिना नहीं समझ सकते। इसलिए, विशिष्ट उदाहरणों के साथ इसका अध्ययन करना बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर में प्रारंभिक कार्य होते हैं, इसलिए हमें भागफल के व्युत्पन्न के लिए केवल सूत्र की आवश्यकता होती है:

परंपरा के अनुसार, आइए अंश का गुणनखंड करें - इससे उत्तर बहुत सरल हो जाएगा:

एक जटिल फ़ंक्शन आवश्यक रूप से आधा किलोमीटर लंबा सूत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, यह फ़ंक्शन लेने के लिए पर्याप्त है एफ(एक्स) = पाप एक्सऔर वेरिएबल को बदलें एक्स, कहो, पर एक्स 2 + एल.एन एक्स. हो जाएगा एफ(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) - यह एक जटिल कार्य है। इसका एक व्युत्पन्न भी है, लेकिन ऊपर चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके इसे ढूंढना संभव नहीं होगा।

मुझे क्या करना चाहिए? ऐसे मामलों में, किसी जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए एक चर और सूत्र को बदलने से मदद मिलती है:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी', अगर एक्सद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है टी(एक्स).

एक नियम के रूप में, इस सूत्र को समझने की स्थिति भागफल के व्युत्पन्न से भी अधिक दुखद है। इसलिए, प्रत्येक चरण के विस्तृत विवरण के साथ, विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इसे समझाना भी बेहतर है।

काम। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स) = इ 2एक्स + 3 ; जी(एक्स) = पाप ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)

ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन में एफ(एक्स) अभिव्यक्ति 2 के स्थान पर एक्स+3 आसान होगा एक्स, तो हमें एक प्राथमिक कार्य मिलता है एफ(एक्स) = इ एक्स. इसलिए, हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो 2 एक्स + 3 = टी, एफ(एक्स) = एफ(टी) = इ टी. हम सूत्र का उपयोग करके एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (इ टी)’ · टी ’ = इ टी · टी ’

और अब - ध्यान! हम उलटा प्रतिस्थापन करते हैं: टी = 2एक्स+3. हमें मिलता है:

एफ ’(एक्स) = इ टी · टी ’ = इ 2एक्स+3(2 एक्स + 3)’ = इ 2एक्स+ 3 2 = 2 इ 2एक्स + 3

अब आइए फ़ंक्शन पर नजर डालें जी(एक्स). जाहिर है इसे बदलने की जरूरत है एक्स 2 + एल.एन एक्स = टी. हमारे पास है:

जी ’(एक्स) = जी ’(टी) · टी' = (पाप टी)’ · टी' = क्योंकि टी · टी ’

उलटा प्रतिस्थापन: टी = एक्स 2 + एल.एन एक्स. तब:

जी ’(एक्स) = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · ( एक्स 2 + एल.एन एक्स)' = क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स) · (2 एक्स + 1/एक्स).

बस इतना ही! जैसा कि अंतिम अभिव्यक्ति से देखा जा सकता है, पूरी समस्या व्युत्पन्न योग की गणना करने के लिए कम हो गई है।

उत्तर:
एफ ’(एक्स) = 2 · इ 2एक्स + 3 ;
जी ’(एक्स) = (2एक्स + 1/एक्स) क्योंकि ( एक्स 2 + एल.एन एक्स).

मैं अक्सर अपने पाठों में "व्युत्पन्न" शब्द के बजाय "प्राइम" शब्द का उपयोग करता हूँ। उदाहरण के लिए, योग का स्ट्रोक स्ट्रोक के योग के बराबर होता है। क्या यह अधिक स्पष्ट है? अच्छा, यह तो अच्छी बात है।

इस प्रकार, ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार व्युत्पन्न की गणना इन्हीं स्ट्रोक से छुटकारा पाने के लिए आती है। अंतिम उदाहरण के रूप में, आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ व्युत्पन्न शक्ति पर वापस लौटें:

(एक्स एन)’ = एन · एक्स एन − 1

इस भूमिका के बारे में कम ही लोग जानते हैं एनयह एक भिन्नात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, जड़ है एक्स 0.5. अगर जड़ के नीचे कुछ फैंसी हो तो क्या होगा? फिर, परिणाम एक जटिल कार्य होगा - वे परीक्षणों और परीक्षाओं में ऐसे निर्माण देना पसंद करते हैं।

काम। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

सबसे पहले, आइए मूल को एक तर्कसंगत घातांक के साथ घात के रूप में फिर से लिखें:

एफ(एक्स) = (एक्स 2 + 8एक्स − 7) 0,5 .

अब हम एक प्रतिस्थापन करते हैं: चलो एक्स 2 + 8एक्स − 7 = टी. हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न पाते हैं:

एफ ’(एक्स) = एफ ’(टी) · टी ’ = (टी 0.5)' · टी' = 0.5 · टी−0.5 · टी ’.

आइए उलटा प्रतिस्थापन करें: टी = एक्स 2 + 8एक्स− 7. हमारे पास है:

एफ ’(एक्स) = 0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7) −0.5 · ( एक्स 2 + 8एक्स− 7)' = 0.5 · (2 एक्स+8)( एक्स 2 + 8एक्स − 7) −0,5 .

अंत में, जड़ों की ओर वापस जाएँ:

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गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना व्युत्पन्न और इसकी गणना करने की विधियों के ज्ञान के बिना पूरी तरह से असंभव है। गणितीय विश्लेषण में व्युत्पन्न सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। हमने आज का लेख इस मूलभूत विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?

व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ

एक समारोह हो जाये एफ(एक्स) , एक निश्चित अंतराल में निर्दिष्ट (ए, बी) . बिंदु x और x0 इस अंतराल से संबंधित हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क बदलना - उसके मूल्यों में अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा गया है डेल्टा एक्स और इसे तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न की परिभाषा:

किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, जब तर्क शून्य हो जाता है।

अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? और यहाँ यह है:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न OX अक्ष और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न सरलरेखीय गति की गति के बराबर है।

दरअसल, स्कूल के दिनों से ही हर कोई जानता है कि गति एक विशेष मार्ग है x=f(t) और समय टी . एक निश्चित अवधि में औसत गति:

किसी समय में गति की गति का पता लगाना टी0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:

नियम एक: एक स्थिरांक निर्धारित करें

स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए. गणित में उदाहरण हल करते समय इसे एक नियम के रूप में लें - यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो उसे सरल बनाना सुनिश्चित करें .

उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:

नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न

दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।

हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।

फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न

दो भिन्न कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

समाधान:

यहां जटिल फलनों के व्युत्पन्नों की गणना के बारे में बात करना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है।

उपरोक्त उदाहरण में हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है:

इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पाँचवीं घात से 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।

नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न

दो फलनों के भागफल का अवकलज ज्ञात करने का सूत्र:

हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर खामियां होती हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।

इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन परीक्षा को हल करने और कार्यों को समझने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी व्युत्पन्न गणना नहीं की हो।

मान लीजिए कि कार्यों को एक बिंदु के एक निश्चित पड़ोस में परिभाषित किया गया है और बिंदु पर व्युत्पन्न हैं। फिर उनके उत्पाद का बिंदु पर व्युत्पन्न होता है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित होता है:
(1) .

सबूत

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
;
.
यहां और वेरिएबल्स और के फ़ंक्शन हैं। लेकिन अंकन में आसानी के लिए, हम उनके तर्कों के पदनामों को छोड़ देंगे।

आगे हम उस पर ध्यान देते हैं
;
.
शर्त के अनुसार, कार्यों और बिंदु पर व्युत्पन्न होते हैं, जो निम्नलिखित सीमाएँ हैं:
;
.
डेरिवेटिव के अस्तित्व से यह पता चलता है कि कार्य और बिंदु पर निरंतर हैं। इसीलिए
;
.

वेरिएबल x के फ़ंक्शन y पर विचार करें, जो फ़ंक्शंस का उत्पाद है और:
.
आइए इस बिंदु पर इस फ़ंक्शन की वृद्धि पर विचार करें:

.
अब हम व्युत्पन्न पाते हैं:

.

इसलिए,
.
नियम सिद्ध हो चुका है.

एक वेरिएबल के बजाय, आप किसी अन्य वेरिएबल का उपयोग कर सकते हैं। आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। फिर यदि व्युत्पन्न और हैं, तो दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
या छोटे संस्करण में
(1) .