अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण. परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ: विवरण और वे कैसे भिन्न हैं? संख्याएँ अतार्किक नहीं हैं

अपरिमेय संख्या- यह वास्तविक संख्या, जो तर्कसंगत नहीं है, अर्थात, भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां पूर्णांक हैं। एक अपरिमेय संख्या को अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बिना छायांकन के मोटे अक्षरों में बड़े लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है। इस प्रकार: , यानी कई अपरिमेय संख्याएँ हैं वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच अंतर.

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व के बारे में, अधिक सटीक रूप से इकाई लंबाई के एक खंड के साथ असंगत खंड प्राचीन गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण और वर्ग के किनारे की असंगतता, जो संख्या की अतार्किकता के बराबर है।

गुण

• किसी भी वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है, जबकि अपरिमेय संख्याओं को केवल गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है।
• अपरिमेय संख्याएँ उन परिमेय संख्याओं के सेट में डेडेकाइंड कट्स को परिभाषित करती हैं जिनकी निम्न वर्ग में सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है और उच्च वर्ग में सबसे छोटी संख्या नहीं होती है।
• प्रत्येक वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय है।
• प्रत्येक अपरिमेय संख्या या तो बीजगणितीय या पारलौकिक होती है।
• अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या रेखा पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।
• अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का क्रम वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समुच्चय के समरूपी होता है।
• अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है और दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।

उदाहरण

तर्कहीन हैं:

अतार्किकता के प्रमाण के उदाहरण

2 की जड़

आइए इसके विपरीत मान लें: यह तर्कसंगत है, अर्थात, इसे एक अघुलनशील अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां एक पूर्णांक है और एक प्राकृतिक संख्या है। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम सम और है। इसे वहीं रहने दो जहां संपूर्ण है। तब

अत: सम का अर्थ सम और है। हमने पाया कि और सम हैं, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसका मतलब यह है कि मूल धारणा गलत थी, और यह एक अपरिमेय संख्या है।

संख्या 3 का द्विआधारी लघुगणक

आइए हम इसके विपरीत मान लें: यह तर्कसंगत है, अर्थात, इसे भिन्न के रूप में दर्शाया गया है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और को सकारात्मक चुना जा सकता है। तब

लेकिन सम और विषम. हमें एक विरोधाभास मिलता है.

इ

कहानी

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से अपनाया गया था, जब मानव (लगभग 750 ईसा पूर्व - लगभग 690 ईसा पूर्व) ने पता लगाया कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं, जैसे 2 और 61 के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। .

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (लगभग 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, जो एक पायथागॉरियन था, जिसने पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके यह प्रमाण पाया था। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई थी, जो काफी छोटी और अविभाज्य थी, जो किसी भी खंड में कई बार पूर्णांक में प्रवेश करती थी। हालाँकि, हिप्पासस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण में इकाई खंडों की पूर्णांक संख्या होती है, तो यह संख्या सम और विषम दोनों होनी चाहिए। प्रमाण इस तरह दिखता था:

• एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ एऔर बीजितना संभव हो उतना छोटा चुना गया।
• पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए² = 2 बी².
• क्योंकि ए- यहां तक ​​की, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
• क्योंकि ए:बीअलघुकरणीय बीअजीब होना चाहिए.
• क्योंकि एयहां तक ​​कि, हम निरूपित करते हैं ए = 2य.
• तब ए² = 4 य² = 2 बी².
• बी² = 2 य², इसलिए बी- फिर भी बीयहां तक ​​की।
• हालाँकि, यह बात सिद्ध हो चुकी है बीविषम। विरोधाभास।

यूनानी गणितज्ञों ने इस अनुपात को असंगत मात्राओं का अनुपात कहा है alogos(अकथनीय), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार उन्होंने हिप्पासस को उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान यह खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा उसे "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए फेंक दिया गया था जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में कम किया जा सकता है।" हिप्पासस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या खड़ी कर दी, जिससे यह अंतर्निहित धारणा नष्ट हो गई कि संख्याएँ और ज्यामितीय वस्तुएँ एक और अविभाज्य थीं।

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है मैं (\displaystyle \mathbb (I) )बिना शेडिंग के बोल्ड अंदाज में। इस प्रकार: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )अर्थात्, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच का अंतर है।

अपरिमेय संख्याओं का अस्तित्व, अधिक सटीक रूप से, इकाई लंबाई के एक खंड के साथ असंगत खंड, प्राचीन गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात था: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, एक वर्ग के विकर्ण और पक्ष की असंगतता, जो कि अतार्किकता के बराबर है जो नंबर।

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• 1 / 5

  तर्कहीन हैं:

  अतार्किकता के प्रमाण के उदाहरण

  2 की जड़

  आइए इसके विपरीत मान लें: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))तर्कसंगत, अर्थात, भिन्न के रूप में दर्शाया गया है m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), कहाँ एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)एक पूर्णांक है, और एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)- प्राकृतिक संख्या ।

  आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\राइटएरो m^(2)=2n^(2)).

  कहानी

  प्राचीन काल

  अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से अपनाया गया था, जब मानव (लगभग 750 ईसा पूर्व - लगभग 690 ईसा पूर्व) ने पता लगाया कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं, जैसे 2 और 61 के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। [ ] .

  अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आम तौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (लगभग 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, जो एक पायथागॉरियन था। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई थी, जो काफी छोटी और अविभाज्य थी, जिसमें किसी भी खंड में कई बार पूर्णांक संख्या शामिल होती थी [ ] .

  इस बात का कोई सटीक डेटा नहीं है कि हिप्पासस ने किस संख्या को तर्कहीन साबित किया था। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने इसे पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके पाया। इसलिए, यह मान लेना उचित है कि यह स्वर्णिम अनुपात था [ ] .

  यूनानी गणितज्ञों ने इस अनुपात को असंगत मात्राओं का अनुपात कहा है alogos(अकथनीय), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार उन्होंने हिप्पासस को उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान यह खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा उसे "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए फेंक दिया गया था जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में कम किया जा सकता है।" हिप्पासस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या खड़ी कर दी, जिससे यह अंतर्निहित धारणा नष्ट हो गई कि संख्याएँ और ज्यामितीय वस्तुएँ एक और अविभाज्य थीं।

  और उनकी उत्पत्ति लैटिन शब्द "अनुपात" से हुई है, जिसका अर्थ है "कारण"। शाब्दिक अनुवाद के आधार पर:

  • एक परिमेय संख्या एक "उचित संख्या" होती है।
  • तदनुसार, एक अपरिमेय संख्या एक "अनुचित संख्या" है।

  परिमेय संख्या की सामान्य अवधारणा

  परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

  1. एक साधारण सकारात्मक अंश.
  2. नकारात्मक सामान्य अंश.
  3. एक संख्या शून्य (0) के रूप में.

  

  दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित परिभाषाएँ एक परिमेय संख्या पर लागू होती हैं:

  • कोई भी प्राकृतिक संख्या स्वाभाविक रूप से तर्कसंगत होती है, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।
  • कोई भी पूर्णांक, जिसमें संख्या शून्य भी शामिल है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक को या तो धनात्मक साधारण भिन्न के रूप में, ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में, या संख्या शून्य के रूप में लिखा जा सकता है।
  • कोई भी साधारण भिन्न, और इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि वह धनात्मक है या ऋणात्मक, भी सीधे परिमेय संख्या की परिभाषा तक पहुँचता है।
  • परिभाषा में एक मिश्रित संख्या, एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक अंश भी शामिल हो सकता है।

  तर्कसंगत संख्या उदाहरण

  आइए परिमेय संख्याओं के उदाहरण देखें:

  • प्राकृतिक संख्याएँ - "4", "202", "200"।
  • पूर्णांक - "-36", "0", "42"।
  • साधारण भिन्न.

  उपरोक्त उदाहरणों से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि परिमेय संख्याएँ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकती हैं. स्वाभाविक रूप से, संख्या 0 (शून्य), जो बदले में एक तर्कसंगत संख्या भी है, एक ही समय में सकारात्मक या नकारात्मक संख्या की श्रेणी से संबंधित नहीं है।

  इसलिए, मैं निम्नलिखित परिभाषा का उपयोग करके सामान्य शिक्षा कार्यक्रम को याद दिलाना चाहूंगा: "तर्कसंगत संख्याएं" वे संख्याएं हैं जिन्हें भिन्न x/y के रूप में लिखा जा सकता है, जहां x (अंश) एक पूर्णांक है, और y (हर) एक पूर्णांक है प्राकृतिक संख्या।

  अपरिमेय संख्या की सामान्य अवधारणा और परिभाषा

  "तर्कसंगत संख्याओं" के अलावा, हम तथाकथित "अपरिमेय संख्याओं" को भी जानते हैं। आइए संक्षेप में इन संख्याओं को परिभाषित करने का प्रयास करें।

  यहां तक ​​कि प्राचीन गणितज्ञों ने भी, एक वर्ग की भुजाओं के विकर्ण की गणना करने की इच्छा रखते हुए, एक अपरिमेय संख्या के अस्तित्व के बारे में सीखा।
  परिमेय संख्याओं की परिभाषा के आधार पर, आप एक तार्किक श्रृंखला बना सकते हैं और एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा दे सकते हैं।
  तो, संक्षेप में, वे वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं हैं, केवल अपरिमेय संख्याएँ हैं।
  अपरिमेय संख्याओं को व्यक्त करने वाली दशमलव भिन्नें आवर्त और अनंत नहीं होतीं।
  
  

  अपरिमेय संख्या के उदाहरण

  स्पष्टता के लिए, आइए एक अपरिमेय संख्या के एक छोटे उदाहरण पर विचार करें। जैसा कि हम पहले ही समझ चुके हैं, अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्नों को अपरिमेय कहा जाता है, उदाहरण के लिए:

  • संख्या "-5.020020002... (यह स्पष्ट रूप से दिखाई देता है कि दोनों को एक, दो, तीन, आदि शून्य के क्रम से अलग किया गया है)
  • संख्या “7.040044000444... (यहाँ यह स्पष्ट है कि एक श्रृंखला में हर बार चार की संख्या और शून्य की संख्या एक बढ़ जाती है)।
  • पाई (3.1415...) संख्या को हर कोई जानता है। हाँ, हाँ - यह भी तर्कहीन है.

  सामान्य तौर पर, सभी वास्तविक संख्याएँ तर्कसंगत और अपरिमेय दोनों होती हैं। सरल शब्दों में, एक अपरिमेय संख्या को सामान्य भिन्न x/y के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

  सामान्य निष्कर्ष और संख्याओं के बीच संक्षिप्त तुलना

  हमने प्रत्येक संख्या को अलग-अलग देखा, लेकिन एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या के बीच अंतर बना रहता है:

  1. एक अपरिमेय संख्या तब आती है जब वर्गमूल निकालते समय, किसी वृत्त को उसके व्यास से विभाजित करते समय, आदि।
  2. एक परिमेय संख्या एक सामान्य भिन्न का प्रतिनिधित्व करती है।

  आइए कुछ परिभाषाओं के साथ अपना लेख समाप्त करें:

  • 0 (शून्य) से भाग देने के अलावा किसी परिमेय संख्या पर किया गया अंकगणितीय ऑपरेशन अंततः एक परिमेय संख्या की ओर ले जाएगा।
  • एक अपरिमेय संख्या पर अंकगणितीय ऑपरेशन करते समय अंतिम परिणाम, तर्कसंगत और अपरिमेय दोनों मानों को जन्म दे सकता है।
  • यदि दोनों संख्याएँ किसी अंकगणितीय संक्रिया में भाग लेती हैं (शून्य से भाग या गुणा को छोड़कर), तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या होगी।

  उदाहरण:
  \(4\) एक परिमेय संख्या है, क्योंकि इसे \(\frac(4)(1)\) के रूप में लिखा जा सकता है;
  \(0.0157304\) तर्कसंगत भी है, क्योंकि इसे \(\frac(157304)(10000000)\) के रूप में लिखा जा सकता है;
  \(0.333(3)...\) - और यह एक परिमेय संख्या है: इसे \(\frac(1)(3)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है;
  \(\sqrt(\frac(3)(12))\) तर्कसंगत है, क्योंकि इसे \(\frac(1)(2)\) के रूप में दर्शाया जा सकता है। वास्तव में, हम परिवर्तनों की एक श्रृंखला को अंजाम दे सकते हैं \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

  
  

  अपरिमेय संख्याएक संख्या है जिसे पूर्णांक अंश और हर के साथ भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

  यह असंभव है क्योंकि यह है अनंतभिन्न, और यहां तक ​​कि गैर-आवधिक भी। इसलिए, ऐसे कोई पूर्णांक नहीं हैं, जिन्हें एक-दूसरे से विभाजित करने पर एक अपरिमेय संख्या प्राप्त हो।

  उदाहरण:
  \(\sqrt(2)≈1.414213562…\) एक अपरिमेय संख्या है;
  \(π≈3.1415926... \) एक अपरिमेय संख्या है;
  \(\log_(2)(5)≈2.321928…\) एक अपरिमेय संख्या है।

  
  

  उदाहरण (OGE से असाइनमेंट). इनमें से किस अभिव्यक्ति का अर्थ एक परिमेय संख्या है?
  1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
  2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

  समाधान:

  1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) - \(14\) का मूल नहीं लिया जा सकता, जिसका अर्थ है कि किसी संख्या को पूर्णांकों के साथ भिन्न के रूप में प्रस्तुत करना भी असंभव है, इसलिए वह संख्या अपरिमेय है।

  2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - कोई मूल नहीं बचा है, संख्या को आसानी से भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए \(\frac(-5)(1)\), जिसका अर्थ है कि यह तर्कसंगत है।

  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) - मूल नहीं निकाला जा सकता - संख्या अपरिमेय है।

  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) भी तर्कहीन है।

  एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा

  अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो दशमलव अंकन में अंतहीन गैर-आवधिक दशमलव अंशों का प्रतिनिधित्व करती हैं।

  
  
  

  इसलिए, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का वर्गमूल निकालने से प्राप्त संख्याएँ अपरिमेय होती हैं और प्राकृतिक संख्याओं का वर्ग नहीं होती हैं। लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ वर्गमूल निकालने से प्राप्त नहीं होती हैं, क्योंकि विभाजन से प्राप्त संख्या पाई भी अपरिमेय होती है, और किसी प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल निकालने का प्रयास करके आपको यह प्राप्त होने की संभावना नहीं है।

  अपरिमेय संख्याओं के गुण

  अनंत दशमलव के रूप में लिखी गई संख्याओं के विपरीत, केवल अपरिमेय संख्याओं को गैर-आवधिक अनंत दशमलव के रूप में लिखा जाता है।
  दो गैर-ऋणात्मक अपरिमेय संख्याओं का योग अंततः एक परिमेय संख्या बन सकता है।
  अपरिमेय संख्याएँ तर्कसंगत संख्याओं के सेट में डेडेकाइंड कटौती को परिभाषित करती हैं, जिसके निचले वर्ग में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है, और उच्च वर्ग में कोई छोटी संख्या नहीं होती है।
  कोई भी वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय होती है।
  सभी अपरिमेय संख्याएँ या तो बीजगणितीय या पारलौकिक हैं।
  एक रेखा पर अपरिमेय संख्याओं का समूह सघन रूप से स्थित होता है, और इसकी किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होना निश्चित है।
  अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अनंत, बेशुमार तथा द्वितीय श्रेणी का समुच्चय है।
  परिमेय संख्याओं पर कोई भी अंकगणितीय संक्रिया करते समय, 0 से भाग देने के अलावा, परिणाम एक परिमेय संख्या होगी।
  किसी अपरिमेय संख्या में परिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम हमेशा एक अपरिमेय संख्या होता है।
  अपरिमेय संख्याओं को जोड़ने पर, हम एक परिमेय संख्या प्राप्त कर सकते हैं।
  अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय सम नहीं है।
  

  संख्याएँ अतार्किक नहीं हैं

  कभी-कभी इस प्रश्न का उत्तर देना काफी कठिन होता है कि क्या कोई संख्या अपरिमेय है, विशेषकर ऐसे मामलों में जहां संख्या दशमलव अंश के रूप में या संख्यात्मक अभिव्यक्ति, मूल या लघुगणक के रूप में है।

  इसलिए, यह जानना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय नहीं हैं। यदि हम अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा का पालन करें, तो हम पहले से ही जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ अपरिमेय नहीं हो सकतीं।

  अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं:

  सबसे पहले, सभी प्राकृतिक संख्याएँ;
  दूसरे, पूर्णांक;
  तीसरा, साधारण भिन्न;
  चौथा, विभिन्न मिश्रित संख्याएँ;
  पाँचवें, ये अनंत आवर्त दशमलव भिन्न हैं।
  

  उपरोक्त सभी के अलावा, एक अपरिमेय संख्या तर्कसंगत संख्याओं का कोई संयोजन नहीं हो सकती है जो अंकगणितीय परिचालनों के संकेतों द्वारा की जाती है, जैसे कि +, -, , :, क्योंकि इस मामले में दो तर्कसंगत संख्याओं का परिणाम भी होगा एक तर्कसंगत संख्या.

  अब आइए देखें कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय हैं:

  
  
  

  क्या आप किसी फैन क्लब के अस्तित्व के बारे में जानते हैं जहां इस रहस्यमय गणितीय घटना के प्रशंसक पाई के बारे में अधिक से अधिक जानकारी की तलाश में हैं, इसके रहस्य को जानने की कोशिश कर रहे हैं? कोई भी व्यक्ति जो दशमलव बिंदु के बाद पाई की एक निश्चित संख्या को याद करता है, वह इस क्लब का सदस्य बन सकता है;

  क्या आप जानते हैं कि जर्मनी में, यूनेस्को के संरक्षण में, कास्टाडेल मोंटे महल है, जिसके अनुपात की बदौलत आप पाई की गणना कर सकते हैं। राजा फ्रेडरिक द्वितीय ने पूरा महल इस नंबर को समर्पित कर दिया।

  यह पता चला है कि उन्होंने टॉवर ऑफ़ बैबेल के निर्माण में पाई संख्या का उपयोग करने का प्रयास किया था। लेकिन दुर्भाग्य से, इससे परियोजना विफल हो गई, क्योंकि उस समय पाई के मूल्य की सटीक गणना का पर्याप्त अध्ययन नहीं किया गया था।

  गायिका केट बुश ने अपनी नई डिस्क में "पाई" नामक एक गाना रिकॉर्ड किया, जिसमें प्रसिद्ध नंबर श्रृंखला 3, 141... के एक सौ चौबीस नंबर सुने गए।