दो भुजाओं पर आधारित त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आप विभिन्न सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। सभी तरीकों में से, सबसे आसान और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला तरीका ऊंचाई को आधार की लंबाई से गुणा करना और फिर परिणाम को दो से विभाजित करना है। हालाँकि, यह विधि एकमात्र से बहुत दूर है। नीचे आप पढ़ सकते हैं कि विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।

अलग से, हम विशिष्ट प्रकार के त्रिभुजों - आयताकार, समद्विबाहु और समबाहु के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर गौर करेंगे। हम प्रत्येक सूत्र के साथ एक संक्षिप्त व्याख्या देते हैं जो आपको इसका सार समझने में मदद करेगी।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की सार्वभौमिक विधियाँ

नीचे दिए गए सूत्र विशेष संकेतन का उपयोग करते हैं। हम उनमें से प्रत्येक को समझेंगे:

• ए, बी, सी - जिस आकृति पर हम विचार कर रहे हैं उसकी तीन भुजाओं की लंबाई;
• r वृत्त की त्रिज्या है जिसे हमारे त्रिभुज में अंकित किया जा सकता है;
• आर वृत्त की त्रिज्या है जिसे इसके चारों ओर वर्णित किया जा सकता है;
• α भुजाओं b और c से बने कोण का परिमाण है;
• β a और c के बीच के कोण का परिमाण है;
• γ भुजाओं a और b से बने कोण का परिमाण है;
• h हमारे त्रिभुज की ऊंचाई है, जो कोण α से भुजा a तक कम है;
• पी - पक्षों ए, बी और सी का आधा योग।

यह तार्किक रूप से स्पष्ट है कि आप इस प्रकार त्रिभुज का क्षेत्रफल क्यों ज्ञात कर सकते हैं। त्रिभुज को आसानी से एक समांतर चतुर्भुज में पूरा किया जा सकता है, जिसमें त्रिभुज की एक भुजा विकर्ण के रूप में कार्य करेगी। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी एक भुजा की लंबाई को उस पर खींची गई ऊंचाई के मान से गुणा करके पाया जाता है। विकर्ण इस सशर्त समांतर चतुर्भुज को 2 समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि हमारे मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सहायक समांतर चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए।

एस=½ ए बी पाप γ

इस सूत्र के अनुसार, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं अर्थात a और b की लंबाई को उनसे बने कोण की ज्या से गुणा करके निकाला जाता है। यह सूत्र तार्किक रूप से पिछले सूत्र से लिया गया है। यदि हम कोण β से भुजा b तक की ऊँचाई कम करते हैं, तो, एक समकोण त्रिभुज के गुणों के अनुसार, जब हम भुजा a की लंबाई को कोण γ की ज्या से गुणा करते हैं, तो हमें त्रिभुज की ऊँचाई प्राप्त होती है, अर्थात h .

प्रश्नाधीन आकृति का क्षेत्रफल उसमें अंकित की जा सकने वाली वृत्त की आधी त्रिज्या को उसके परिमाप से गुणा करके ज्ञात किया जाता है। दूसरे शब्दों में, हम उल्लिखित वृत्त की अर्ध-परिधि और त्रिज्या का गुणनफल ज्ञात करते हैं।

एस= ए बी सी/4आर

इस सूत्र के अनुसार, हमें जिस मूल्य की आवश्यकता है वह आकृति की भुजाओं के गुणनफल को उसके चारों ओर वर्णित वृत्त की 4 त्रिज्याओं से विभाजित करके पाया जा सकता है।

ये सूत्र सार्वभौमिक हैं, क्योंकि ये किसी भी त्रिभुज (स्केलीन, समद्विबाहु, समबाहु, आयताकार) का क्षेत्रफल निर्धारित करना संभव बनाते हैं। यह अधिक जटिल गणनाओं का उपयोग करके किया जा सकता है, जिस पर हम विस्तार से ध्यान नहीं देंगे।

विशिष्ट गुणों वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इस आकृति की ख़ासियत यह है कि इसकी दोनों भुजाएँ एक साथ इसकी ऊँचाई हैं। यदि a और b पैर हैं, और c कर्ण बन जाता है, तो हम क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात करते हैं:

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसकी दो भुजाएँ a लंबाई वाली और एक भुजा b लंबाई वाली है। नतीजतन, इसका क्षेत्रफल कोण γ की ज्या द्वारा भुजा a के वर्ग के गुणनफल को 2 से विभाजित करके निर्धारित किया जा सकता है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसमें सभी भुजाओं की लंबाई a के बराबर होती है और सभी कोणों का परिमाण α होता है। इसकी ऊंचाई भुजा a की लंबाई और 3 के वर्गमूल के आधे गुणनफल के बराबर है। एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको भुजा a के वर्ग को 3 के वर्गमूल से गुणा करना होगा और इससे विभाजित करना होगा। 4.

जीवन में कभी-कभी ऐसी परिस्थितियाँ आती हैं जब आपको लंबे समय से भूले हुए स्कूली ज्ञान की तलाश में अपनी स्मृति में जाना पड़ता है। उदाहरण के लिए, आपको त्रिकोणीय आकार की भूमि का क्षेत्रफल निर्धारित करने की आवश्यकता है, या किसी अपार्टमेंट या निजी घर में एक और नवीनीकरण का समय आ गया है, और आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि सतह के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होगी एक त्रिकोणीय आकार. एक समय था जब आप ऐसी समस्या को कुछ ही मिनटों में हल कर सकते थे, लेकिन अब आप यह याद करने की बेताबी से कोशिश कर रहे हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निर्धारित किया जाए?

इसके बारे में चिंता मत करो! आख़िरकार, यह बिल्कुल सामान्य है जब किसी व्यक्ति का मस्तिष्क लंबे समय से अप्रयुक्त ज्ञान को किसी सुदूर कोने में स्थानांतरित करने का निर्णय लेता है, जहाँ से कभी-कभी इसे निकालना इतना आसान नहीं होता है। ताकि आपको ऐसी समस्या को हल करने के लिए भूले हुए स्कूली ज्ञान को खोजने में संघर्ष न करना पड़े, इस लेख में विभिन्न विधियां शामिल हैं जो त्रिभुज के आवश्यक क्षेत्र को ढूंढना आसान बनाती हैं।

यह सर्वविदित है कि त्रिभुज एक प्रकार का बहुभुज है जो भुजाओं की न्यूनतम संभव संख्या तक सीमित होता है। सिद्धांत रूप में, किसी भी बहुभुज को उसके शीर्षों को ऐसे खंडों से जोड़कर कई त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जो उसकी भुजाओं को नहीं काटते हैं। इसलिए, त्रिभुज को जानकर, आप लगभग किसी भी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

जीवन में घटित होने वाले सभी संभावित त्रिभुजों में से, निम्नलिखित विशेष प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: और आयताकार।

किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सबसे आसान तरीका तब होता है जब उसका एक कोण समकोण हो, अर्थात समकोण त्रिभुज के मामले में। यह देखना आसान है कि यह आधा आयत है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल एक दूसरे से समकोण बनाने वाली भुजाओं के आधे गुणनफल के बराबर है।

यदि हम किसी त्रिभुज की ऊंचाई जानते हैं, जो उसके एक शीर्ष से विपरीत दिशा तक कम है, और इस भुजा की लंबाई, जिसे आधार कहा जाता है, तो क्षेत्रफल की गणना ऊंचाई और आधार के आधे उत्पाद के रूप में की जाती है। इसे निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके लिखा गया है:

एस = 1/2*बी*एच, जिसमें

S त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल है;

बी, एच - क्रमशः, त्रिकोण की ऊंचाई और आधार।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना बहुत आसान है क्योंकि ऊँचाई विपरीत भुजा को समद्विभाजित करेगी और इसे आसानी से मापा जा सकता है। यदि क्षेत्रफल निर्धारित है, तो समकोण बनाने वाली किसी एक भुजा की लंबाई को ऊंचाई के रूप में लेना सुविधाजनक है।

यह सब निःसंदेह अच्छा है, लेकिन यह कैसे निर्धारित किया जाए कि त्रिभुज का कोई एक कोण समकोण है या नहीं? यदि हमारी आकृति का आकार छोटा है, तो हम एक निर्माण कोण, एक ड्राइंग त्रिकोण, एक पोस्टकार्ड या आयताकार आकार वाली किसी अन्य वस्तु का उपयोग कर सकते हैं।

लेकिन अगर हमारे पास ज़मीन का एक त्रिकोणीय टुकड़ा हो तो क्या होगा? इस मामले में, इस प्रकार आगे बढ़ें: अनुमानित समकोण के शीर्ष से एक तरफ 3 (30 सेमी, 90 सेमी, 3 मीटर) के गुणक की दूरी गिनें, और दूसरी तरफ उसी में 4 के गुणक की दूरी मापें। अनुपात (40 सेमी, 160 सेमी, 4 मीटर)। अब आपको इन दो खंडों के अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी मापने की आवश्यकता है। यदि परिणाम 5 (50 सेमी, 250 सेमी, 5 मीटर) का गुणज है, तो हम कह सकते हैं कि कोण सही है।

यदि हमारी आकृति की तीनों भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई ज्ञात हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। इसे सरल रूप देने के लिए एक नये मान का प्रयोग किया जाता है, जिसे अर्ध-परिधि कहते हैं। यह आधे में विभाजित हमारे त्रिभुज की सभी भुजाओं का योग है। अर्ध-परिधि की गणना करने के बाद, आप सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र निर्धारित करना शुरू कर सकते हैं:

एस = sqrt(पी(पी-ए)(पी-बी)(पी-सी)), कहां

sqrt - वर्गमूल;

पी - अर्ध-परिधि मान (पी = (ए+बी+सी)/2);

ए, बी, सी - त्रिभुज के किनारे (भुजाएँ)।

लेकिन क्या होगा यदि त्रिभुज का आकार अनियमित हो? यहां दो संभावित तरीके हैं. उनमें से पहला है ऐसी आकृति को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करने का प्रयास करना, जिनके क्षेत्रफलों का योग अलग से गणना किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है। या, यदि दो भुजाओं के बीच का कोण और इन भुजाओं का आकार ज्ञात हो, तो सूत्र लागू करें:

एस = 0.5 * एबी * सिनसी, कहां

ए,बी - त्रिभुज की भुजाएँ;

c इन भुजाओं के बीच के कोण का आकार है।

बाद वाला मामला व्यवहार में दुर्लभ है, लेकिन फिर भी, जीवन में सब कुछ संभव है, इसलिए उपरोक्त सूत्र अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। आपकी गणना में शुभकामनाएँ!

निम्नलिखित नुसार:

एस = ½ * ए * एच,

कहाँ:
एस – त्रिभुज का क्षेत्रफल,
a इसकी भुजा की लंबाई है,
h इस तरफ कम की गई ऊँचाई है।

साइड की लंबाई और ऊंचाई को माप की समान इकाइयों में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। इस स्थिति में, त्रिभुज का क्षेत्रफल संगत "" इकाइयों में प्राप्त होगा।

उदाहरण।
20 सेमी लंबे स्केलीन त्रिभुज के एक तरफ, विपरीत शीर्ष से 10 सेमी लंबा एक लंब उतारा जाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल आवश्यक है.
समाधान।
एस = ½ * 20 * 10 = 100 (सेमी²)।

यदि एक विषमबाहु त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो सूत्र का उपयोग करें:

एस = ½ * ए * बी * पापγ,

जहाँ: a, b दो मनमानी भुजाओं की लंबाई हैं, और γ उनके बीच के कोण का मान है।

व्यवहार में, उदाहरण के लिए, भूमि के क्षेत्रफल को मापते समय, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कभी-कभी कठिन होता है, क्योंकि इसके लिए अतिरिक्त निर्माण और कोणों के माप की आवश्यकता होती है।

यदि आप एक विषमकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं, तो हेरॉन के सूत्र का उपयोग करें:

एस = √(पी(पी-ए)(पी-बी)(पी-सी)),

ए, बी, सी - त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
पी - अर्ध-परिधि: पी = (ए+बी+सी)/2।

यदि, सभी भुजाओं की लंबाई के अलावा, त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो, तो निम्नलिखित कॉम्पैक्ट सूत्र का उपयोग करें:

कहा पे: आर - खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या (पी - अर्ध-परिधि)।

परिवृत्त की त्रिज्या और उसकी भुजाओं की लंबाई का उपयोग करके एक विषमबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

कहा पे: आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या।

यदि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई और तीन कोणों का मान ज्ञात हो (सिद्धांत रूप में, दो पर्याप्त हैं - तीसरे के मान की गणना त्रिभुज के तीन कोणों के योग की समानता से की जाती है - 180º), फिर सूत्र का उपयोग करें:

एस = (ए² * पापβ * पापγ)/2sinα,

जहां α भुजा a के विपरीत कोण का मान है;
β, γ – त्रिभुज के शेष दो कोणों का मान.

एक नियमित त्रिभुज तीन समान भुजाओं वाला एक त्रिभुज होता है। इसमें निम्नलिखित गुण हैं: एक नियमित त्रिभुज की सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और सभी कोण 60 डिग्री के बराबर होते हैं। एक नियमित त्रिभुज समद्विबाहु होता है।

आपको चाहिये होगा

• ज्यामिति का ज्ञान.

निर्देश

मान लीजिए a=7 लंबाई वाले एक नियमित त्रिभुज की एक भुजा दी गई है। ऐसे त्रिभुज की भुजा जानकर आप उसके क्षेत्रफल की गणना आसानी से कर सकते हैं। इसके लिए, निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है: S = (3^(1/2)*a^2)/4. आइए इस सूत्र में मान a=7 को प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित प्राप्त करें: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1.7 / 4 = 20.82। इस प्रकार, हमने पाया कि a=7 भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल S=20.82 के बराबर है।

यदि वृत्त की त्रिज्या दी गई है, तो यह इस तरह दिखेगा:
S = 3*3^(1/2)*r^2, जहां r अंकित वृत्त की त्रिज्या है। माना कि अंकित वृत्त की त्रिज्या r=4 है। आइए इसे पहले लिखे गए सूत्र में प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करें: S = 3*1.7*4*4 = 81.6। अर्थात् यदि अंकित वृत्त की त्रिज्या 4 के बराबर है तो समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 81.6 के बराबर होगा।

परिचालित वृत्त की ज्ञात त्रिज्या के साथ, त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार दिखता है: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, जहां R परिचालित वृत्त की त्रिज्या है . आइए मान लें कि R=5, इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: S = 3*1.7*25/4 = 31.9। यह पता चला है कि परिचालित वृत्त की त्रिज्या 5 के बराबर होने पर, त्रिभुज का क्षेत्रफल 31.9 है।

टिप्पणी

त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, जैसे त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई और अंकित और परिचालित वृत्तों की त्रिज्याएँ।

मददगार सलाह

एक समबाहु त्रिभुज में अंकित और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्या में दो गुना का अंतर होता है, यह जानकर, आप केवल एक सूत्र को याद कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, अंकित वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से, और इस कथन को जानकर, दूसरा प्राप्त कर सकते हैं।

यदि किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा की लंबाई और आसन्न कोणों का मान ज्ञात हो, तो उसके क्षेत्रफल की गणना कई तरीकों से की जा सकती है। प्रत्येक गणना सूत्र में त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग शामिल है, लेकिन यह डराने वाला नहीं होना चाहिए - उनकी गणना करने के लिए, इंटरनेट तक पहुंच होना पर्याप्त है, ऑपरेटिंग सिस्टम में अंतर्निहित कैलकुलेटर की उपस्थिति का उल्लेख नहीं करना है।

निर्देश

किसी एक पक्ष (ए) की ज्ञात लंबाई और आसन्न कोणों (α और β) के मूल्यों से क्षेत्र (एस) की गणना करने के पहले विकल्प में इन कोणों की गणना शामिल है। इस मामले में क्षेत्रफल ज्ञात भुजा की लंबाई का वर्ग होगा, जो ज्ञात कोणों के कोटैंजेंट के दोगुने से विभाजित होगा: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β)))। उदाहरण के लिए, यदि किसी ज्ञात भुजा की लंबाई 15 सेमी है, और आसन्न कोण 40° और 60° हैं, तो क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार होगी: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0.895082918+3.12460562)) = 225/4.4590454 = 50.4592305 वर्ग सेंटीमीटर।

क्षेत्रफल की गणना के लिए दूसरा विकल्प कोटैंजेंट के बजाय ज्ञात कोणों की ज्याओं का उपयोग करता है। इस संस्करण में, क्षेत्रफल ज्ञात भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होता है, जिसे प्रत्येक कोण की ज्या से गुणा किया जाता है और इन कोणों के योग की ज्या के दोगुने से विभाजित किया जाता है: S = A*A*sin(α) )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). उदाहरण के लिए, 15 सेमी की ज्ञात भुजा और 40° और 60° के आसन्न कोण वाले समान त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल की गणना इस तरह दिखाई देगी: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621)/(2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 वर्ग सेंटीमीटर.

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए तीसरा विकल्प कोणों की स्पर्शरेखाओं का उपयोग करता है। क्षेत्रफल ज्ञात भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर होगा, जिसे प्रत्येक कोण की स्पर्शरेखाओं से गुणा किया जाएगा और इन कोणों की स्पर्शरेखाओं के योग के दोगुने से विभाजित किया जाएगा: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). उदाहरण के लिए, पिछले चरणों में 15 सेमी की भुजा और 40° और 60° के आसन्न कोण वाले त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल की गणना इस तरह दिखाई देगी: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 वर्ग सेंटीमीटर।

उदाहरण के लिए, Google खोज इंजन कैलकुलेटर का उपयोग करके व्यावहारिक गणनाएँ की जा सकती हैं। ऐसा करने के लिए, बस संख्यात्मक मानों को सूत्रों में प्रतिस्थापित करें और उन्हें खोज क्वेरी फ़ील्ड में दर्ज करें।

टिप 4: एक त्रिभुज और एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुज और आयत दो सबसे सरल समतल ज्यामितीय आकृतियाँ हैं। इन बहुभुजों की भुजाओं से बनी परिधियों के अंदर समतल का एक निश्चित भाग होता है, जिसका क्षेत्रफल कई प्रकार से निर्धारित किया जा सकता है। प्रत्येक विशिष्ट मामले में विधि का चुनाव आंकड़ों के ज्ञात मापदंडों पर निर्भर करेगा।

एक ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल- एक ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता जो इस आकृति का आकार दिखाती है (इस आकृति के बंद समोच्च द्वारा सीमित सतह का हिस्सा)। क्षेत्रफल का आकार उसमें निहित वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा और ऊँचाई द्वारा त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की एक भुजा की लंबाई और इस भुजा पर खींची गई ऊँचाई की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर
   
2. तीन भुजाओं और परिवृत्त की त्रिज्या के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   
3. तीन भुजाओं और अंकित वृत्त की त्रिज्या के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की अर्ध-परिधि और अंकित वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर है।
   
जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
-त्रिभुज की ऊंचाई,
- भुजाओं के बीच का कोण और,
- अंकित वृत्त की त्रिज्या,
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या,

वर्ग क्षेत्रफल सूत्र

1. भुजा की लंबाई से एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   चौकोर क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर.
2. विकर्ण लंबाई के अनुदिश एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   चौकोर क्षेत्रइसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के बराबर।
   

   एस=	1	2
   	2

जहाँ S वर्ग का क्षेत्रफल है,
- वर्ग की भुजा की लंबाई,
- वर्ग के विकर्ण की लंबाई.

आयत क्षेत्रफल सूत्र

एक आयत का क्षेत्रफलइसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर

जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है,
- आयत की भुजाओं की लंबाई.

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊंचाई के आधार पर समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
2. दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के आधार पर समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफलयह इसकी भुजाओं की लंबाई को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करने के गुणनफल के बराबर है।
   

   ए बी पाप α

जहाँ S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
- समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊंचाई के आधार पर एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलइसकी भुजा की लंबाई और इस भुजा से नीचे की ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल के बराबर।
2. भुजा की लंबाई और कोण के आधार पर समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलयह समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई के वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है।
3. एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई के आधार पर उसके क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलइसके विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर।
जहाँ S समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समचतुर्भुज के किनारे की लंबाई,
- समचतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण,
1, 2 - विकर्णों की लंबाई।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

1. समलम्ब चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र

   जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
   - समलम्ब चतुर्भुज के आधारों की लंबाई,
   - समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
   

क्षेत्रफल की अवधारणा

किसी भी ज्यामितीय आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा, विशेष रूप से एक त्रिभुज, एक वर्ग जैसी आकृति से जुड़ी होगी। किसी भी ज्यामितीय आकृति के इकाई क्षेत्रफल के लिए हम एक वर्ग का क्षेत्रफल लेंगे जिसकी भुजा एक के बराबर हो। पूर्णता के लिए, आइए हम ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की अवधारणा के लिए दो बुनियादी गुणों को याद करें।

संपत्ति 1:यदि ज्यामितीय आकृतियाँ समान हैं, तो उनका क्षेत्रफल भी समान है।

संपत्ति 2:किसी भी आकृति को कई आकृतियों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, मूल आकृति का क्षेत्रफल उसके सभी घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

आइए एक उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

जाहिर है, त्रिभुज की एक भुजा एक आयत का विकर्ण है, जिसकी एक भुजा की लंबाई $5$ है (क्योंकि इसमें $5$ कोशिकाएँ हैं), और दूसरी $6$ है (क्योंकि इसमें $6$ कोशिकाएँ हैं)। अत: इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ऐसे आयत के आधे के बराबर होगा। आयत का क्षेत्रफल है

तब त्रिभुज का क्षेत्रफल बराबर होता है

उत्तर: $15$.

इसके बाद, हम त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कई तरीकों पर विचार करेंगे, अर्थात् ऊँचाई और आधार का उपयोग करके, हेरोन के सूत्र और एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके।

किसी त्रिभुज की ऊंचाई और आधार का उपयोग करके उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

प्रमेय 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक भुजा की लंबाई और उस भुजा की ऊँचाई के गुणनफल के आधे के रूप में पाया जा सकता है।

गणितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है

$S=\frac(1)(2)αh$

जहां $a$ भुजा की लंबाई है, $h$ उस पर खींची गई ऊंचाई है।

सबूत।

एक त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें जिसमें $AC=α$ है। इस तरफ ऊँचाई $BH$ खींची गई है, जो $h$ के बराबर है। आइए इसे चित्र 2 के अनुसार वर्ग $AXYC$ तक बनाएं।

आयत $AXBH$ का क्षेत्रफल $h\cdot AH$ है, और आयत $HBYC$ का क्षेत्रफल $h\cdot HC$ है। तब

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

इसलिए, संपत्ति 2 द्वारा त्रिभुज का आवश्यक क्षेत्रफल बराबर है

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण 2

यदि कोशिका का क्षेत्रफल एक के बराबर है तो नीचे दिए गए चित्र में त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

इस त्रिभुज का आधार $9$ के बराबर है (क्योंकि $9$ $9$ वर्ग है)। ऊंचाई भी $9$ है. फिर, प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

उत्तर: $40.5$.

बगुला का सूत्र

प्रमेय 2

यदि हमें किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ $α$, $β$ और $γ$ दी गई हैं, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

यहाँ $ρ$ का अर्थ इस त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।

सबूत।

निम्नलिखित चित्र पर विचार करें:

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज $ABH$ से हम प्राप्त करते हैं

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज $CBH$ से, हमारे पास है

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

इन दोनों संबंधों से हमें समानता प्राप्त होती है

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

चूँकि $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, तो $α+β+γ=2ρ$, जिसका अर्थ है

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$