2 एक अपरिमेय संख्या है. अपरिमेय संख्याएँ, परिभाषा, उदाहरण

सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को अक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है। प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं: 1,2,3,4, ... कुछ स्रोतों में, संख्या 0 को एक प्राकृतिक संख्या भी माना जाता है।

सभी पूर्णांकों के समुच्चय को Z अक्षर से दर्शाया जाता है। पूर्णांक सभी प्राकृतिक संख्याएँ, शून्य और ऋणात्मक संख्याएँ हैं:

1,-2,-3, -4, …

अब आइए सभी पूर्णांकों के समुच्चय में सभी साधारण भिन्नों का समुच्चय जोड़ें: 2/3, 18/17, -4/5 इत्यादि। तब हमें सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय प्राप्त होता है।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय

सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को अक्षर Q द्वारा निरूपित किया जाता है। सभी परिमेय संख्याओं (Q) का समुच्चय m/n, -m/n रूप की संख्याओं और संख्या 0 से युक्त एक समुच्चय है। कोई भी प्राकृतिक संख्या इस प्रकार कार्य कर सकती है एन,एम. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी तर्कसंगत संख्याओं को एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसका विपरीत भी सत्य है कि किसी भी परिमित या अनंत आवर्त दशमलव अंश को परिमेय संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।

लेकिन, उदाहरण के लिए, संख्या 2.0100100010... के बारे में क्या? यह एक अपरिमित गैर-आवधिक दशमलव अंश है। और यह परिमेय संख्याओं पर लागू नहीं होता.

स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में, केवल वास्तविक (या वास्तविक) संख्याओं का अध्ययन किया जाता है। सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को अक्षर R द्वारा दर्शाया जाता है। समुच्चय R में सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं।

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा

अपरिमेय संख्याएँ सभी अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न हैं। अपरिमेय संख्याओं का कोई विशेष पदनाम नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का वर्गमूल निकालने से प्राप्त सभी संख्याएँ जो प्राकृतिक संख्याओं का वर्ग नहीं हैं, अपरिमेय होंगी। (√2, √3, √5, √6, आदि)।

लेकिन यह मत सोचिए कि केवल वर्गमूल निकालने से ही अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या "पाई" भी अपरिमेय है, और यह विभाजन द्वारा प्राप्त की जाती है। और चाहे आप कितनी भी कोशिश कर लें, आप किसी भी प्राकृत संख्या का वर्गमूल निकालकर इसे प्राप्त नहीं कर सकते।

और उनकी उत्पत्ति लैटिन शब्द "अनुपात" से हुई है, जिसका अर्थ है "कारण"। शाब्दिक अनुवाद के आधार पर:

• एक परिमेय संख्या एक "उचित संख्या" होती है।
• तदनुसार, एक अपरिमेय संख्या एक "अनुचित संख्या" है।

परिमेय संख्या की सामान्य अवधारणा

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

1. एक साधारण सकारात्मक अंश.
2. नकारात्मक सामान्य अंश.
3. एक संख्या शून्य (0) के रूप में.

दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित परिभाषाएँ एक परिमेय संख्या पर लागू होती हैं:

• कोई भी प्राकृतिक संख्या स्वाभाविक रूप से तर्कसंगत होती है, क्योंकि किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• कोई भी पूर्णांक, जिसमें संख्या शून्य भी शामिल है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक को या तो धनात्मक साधारण भिन्न के रूप में, ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में, या संख्या शून्य के रूप में लिखा जा सकता है।
• कोई भी साधारण भिन्न, और इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि वह धनात्मक है या ऋणात्मक, भी सीधे परिमेय संख्या की परिभाषा तक पहुँचता है।
• परिभाषा में एक मिश्रित संख्या, एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक अंश भी शामिल हो सकता है।

तर्कसंगत संख्या उदाहरण

आइए परिमेय संख्याओं के उदाहरण देखें:

• प्राकृतिक संख्याएँ - "4", "202", "200"।
• पूर्णांक - "-36", "0", "42"।
• साधारण भिन्न.

उपरोक्त उदाहरणों से यह बिल्कुल स्पष्ट है कि परिमेय संख्याएँ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकती हैं. स्वाभाविक रूप से, संख्या 0 (शून्य), जो बदले में एक तर्कसंगत संख्या भी है, एक ही समय में सकारात्मक या नकारात्मक संख्या की श्रेणी से संबंधित नहीं है।

इसलिए, मैं निम्नलिखित परिभाषा का उपयोग करके सामान्य शिक्षा कार्यक्रम को याद दिलाना चाहूंगा: "तर्कसंगत संख्याएं" वे संख्याएं हैं जिन्हें भिन्न x/y के रूप में लिखा जा सकता है, जहां x (अंश) एक पूर्णांक है, और y (हर) एक पूर्णांक है प्राकृतिक संख्या।

अपरिमेय संख्या की सामान्य अवधारणा और परिभाषा

"तर्कसंगत संख्याओं" के अलावा, हम तथाकथित "अपरिमेय संख्याओं" को भी जानते हैं। आइए संक्षेप में इन संख्याओं को परिभाषित करने का प्रयास करें।

यहां तक ​​कि प्राचीन गणितज्ञों ने भी, एक वर्ग की भुजाओं के विकर्ण की गणना करने की इच्छा रखते हुए, एक अपरिमेय संख्या के अस्तित्व के बारे में सीखा।
परिमेय संख्याओं की परिभाषा के आधार पर, आप एक तार्किक श्रृंखला बना सकते हैं और एक अपरिमेय संख्या की परिभाषा दे सकते हैं।
तो, संक्षेप में, वे वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं हैं, केवल अपरिमेय संख्याएँ हैं।
अपरिमेय संख्याओं को व्यक्त करने वाली दशमलव भिन्नें आवर्त और अनंत नहीं होतीं।

अपरिमेय संख्या के उदाहरण

स्पष्टता के लिए, आइए एक अपरिमेय संख्या के एक छोटे उदाहरण पर विचार करें। जैसा कि हम पहले ही समझ चुके हैं, अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्नों को अपरिमेय कहा जाता है, उदाहरण के लिए:

• संख्या "-5.020020002... (यह स्पष्ट रूप से दिखाई देता है कि दोनों को एक, दो, तीन, आदि शून्य के क्रम से अलग किया गया है)
• संख्या “7.040044000444... (यहाँ यह स्पष्ट है कि एक श्रृंखला में हर बार चार की संख्या और शून्य की संख्या एक बढ़ जाती है)।
• पाई (3.1415...) संख्या को हर कोई जानता है। हाँ, हाँ - यह भी तर्कहीन है.

सामान्य तौर पर, सभी वास्तविक संख्याएँ तर्कसंगत और अपरिमेय दोनों होती हैं। सरल शब्दों में, एक अपरिमेय संख्या को सामान्य भिन्न x/y के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

सामान्य निष्कर्ष और संख्याओं के बीच संक्षिप्त तुलना

हमने प्रत्येक संख्या को अलग-अलग देखा, लेकिन एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या के बीच अंतर बना रहता है:

1. एक अपरिमेय संख्या तब आती है जब वर्गमूल निकालते समय, किसी वृत्त को उसके व्यास से विभाजित करते समय, आदि।
2. एक परिमेय संख्या एक सामान्य भिन्न का प्रतिनिधित्व करती है।

आइए कुछ परिभाषाओं के साथ अपना लेख समाप्त करें:

• 0 (शून्य) से भाग देने के अलावा किसी परिमेय संख्या पर किया गया अंकगणितीय ऑपरेशन अंततः एक परिमेय संख्या की ओर ले जाएगा।
• एक अपरिमेय संख्या पर अंकगणितीय ऑपरेशन करते समय अंतिम परिणाम, तर्कसंगत और अपरिमेय दोनों मानों को जन्म दे सकता है।
• यदि दोनों संख्याएँ किसी अंकगणितीय संक्रिया में भाग लेती हैं (शून्य से भाग या गुणा को छोड़कर), तो परिणाम एक अपरिमेय संख्या होगी।

सभी परिमेय संख्याओं को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह पूर्ण संख्याओं (उदाहरण के लिए, 12, -6, 0), और परिमित दशमलव भिन्नों (उदाहरण के लिए, 0.5; -3.8921), और अनंत आवधिक दशमलव भिन्नों (उदाहरण के लिए, 0.11(23); -3 ,(87) पर लागू होता है )).

तथापि अनंत गैर-आवधिक दशमलवसाधारण भिन्नों के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता। वे यही हैं तर्कहीन संख्या(अर्थात, तर्कहीन)। ऐसी संख्या का एक उदाहरण संख्या π है, जो लगभग 3.14 के बराबर है। हालाँकि, यह वास्तव में क्या बराबर है यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि संख्या 4 के बाद अन्य संख्याओं की एक अंतहीन श्रृंखला होती है जिसमें दोहराई जाने वाली अवधियों को अलग नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, हालाँकि संख्या π को सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसका एक विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। संख्या π किसी वृत्त की लंबाई और उसके व्यास की लंबाई का अनुपात है। इस प्रकार, परिमेय संख्याओं की तरह, अपरिमेय संख्याएँ भी वास्तव में प्रकृति में मौजूद हैं।

अपरिमेय संख्याओं का एक अन्य उदाहरण धनात्मक संख्याओं का वर्गमूल है। कुछ संख्याओं से मूल निकालने पर तर्कसंगत मान मिलते हैं, दूसरों से - अपरिमेय। उदाहरण के लिए, √4 = 2, अर्थात 4 का मूल एक परिमेय संख्या है। लेकिन √2, √5, √7 और कई अन्य के परिणामस्वरूप अपरिमेय संख्याएँ होती हैं, अर्थात, उन्हें केवल सन्निकटन द्वारा, एक निश्चित दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करके निकाला जा सकता है। इस स्थिति में, अंश गैर-आवधिक हो जाता है। अर्थात् इन संख्याओं का मूल क्या है, यह ठीक-ठीक और निश्चित रूप से कहना असंभव है।

तो √5 संख्या 2 और 3 के बीच स्थित एक संख्या है, क्योंकि √4 = 2, और √9 = 3. हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि √5, 3 की तुलना में 2 के करीब है, क्योंकि √4, √5 की तुलना में करीब है √9 से √5. दरअसल, √5 ≈ 2.23 या √5 ≈ 2.24।

अपरिमेय संख्याएँ अन्य गणनाओं में भी प्राप्त की जाती हैं (और न केवल जड़ें निकालते समय), और नकारात्मक हो सकती हैं।

अपरिमेय संख्याओं के संबंध में हम कह सकते हैं कि ऐसी संख्या द्वारा व्यक्त लंबाई को मापने के लिए हम चाहे कोई भी इकाई खंड लें, हम उसे निश्चित रूप से मापने में सक्षम नहीं होंगे।

अंकगणितीय संक्रियाओं में, परिमेय संख्याओं के साथ-साथ अपरिमेय संख्याएँ भी भाग ले सकती हैं। साथ ही, कई नियमितताएं भी हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी अंकगणितीय संक्रिया में केवल परिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं, तो परिणाम हमेशा एक परिमेय संख्या होता है। यदि केवल अपरिमेय लोग ही ऑपरेशन में भाग लेते हैं, तो यह स्पष्ट रूप से कहना असंभव है कि परिणाम एक तर्कसंगत या अपरिमेय संख्या होगी या नहीं।

उदाहरण के लिए, यदि आप दो अपरिमेय संख्याओं √2 * √2 को गुणा करते हैं, तो आपको 2 मिलता है - यह एक परिमेय संख्या है। दूसरी ओर, √2 * √3 = √6 एक अपरिमेय संख्या है।

यदि किसी अंकगणितीय संक्रिया में तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं, तो परिणाम अपरिमेय होगा। उदाहरण के लिए, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.

√17 – 4 एक अपरिमेय संख्या क्यों है? आइए कल्पना करें कि हमें एक परिमेय संख्या x प्राप्त होती है। तब √17 = x + 4. लेकिन x + 4 एक परिमेय संख्या है, क्योंकि हमने मान लिया कि x परिमेय संख्या है। संख्या 4 भी परिमेय है, इसलिए x + 4 परिमेय है। हालाँकि, एक परिमेय संख्या अपरिमेय संख्या √17 के बराबर नहीं हो सकती। इसलिए, यह धारणा कि √17 – 4 एक तर्कसंगत परिणाम देता है गलत है। अंकगणितीय संक्रिया का परिणाम अतार्किक होगा।

हालाँकि, इस नियम का एक अपवाद है। यदि हम किसी अपरिमेय संख्या को 0 से गुणा करते हैं, तो हमें परिमेय संख्या 0 प्राप्त होती है।

और π

इस प्रकार, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अंतर है I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )वास्तविक और परिमेय संख्याओं का समुच्चय।

अपरिमेय संख्याओं, या अधिक सटीक रूप से खंडों का अस्तित्व, इकाई लंबाई के एक खंड के साथ असंगत, प्राचीन गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात था: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण और वर्ग के किनारे की असंगतता, जो के बराबर है संख्या की अतार्किकता 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

गुण

• दो धनात्मक अपरिमेय संख्याओं का योग एक परिमेय संख्या हो सकता है।
• अपरिमेय संख्याएँ उन परिमेय संख्याओं के समूह में डेडेकाइंड वर्गों को परिभाषित करती हैं जिनकी निम्न वर्ग में सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है और उच्च वर्ग में सबसे छोटी संख्या नहीं होती है।
• अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या रेखा पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो भिन्न संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।
• अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का क्रम वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समुच्चय के समरूपी होता है। [ ]

बीजगणितीय और पारलौकिक संख्याएँ

प्रत्येक अपरिमेय संख्या या तो बीजगणितीय या पारलौकिक होती है। बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय एक गणनीय समुच्चय है। चूँकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है।

अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।

आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

कहानी

प्राचीन काल

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा परोक्ष रूप से अपनाया गया था, जब मानव (लगभग 750-690 ईसा पूर्व) ने पता लगाया कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं, जैसे 2 और 61, के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है [ ] .

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण, या अधिक सटीक रूप से असंगत खंडों के अस्तित्व का श्रेय आमतौर पर मेटापोंटम के पाइथागोरसियन हिप्पासस (लगभग 470 ईसा पूर्व) को दिया जाता है। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई थी, जो काफी छोटी और अविभाज्य थी, जिसमें किसी भी खंड में कई बार पूर्णांक संख्या शामिल होती थी [ ] .

इस बात का कोई सटीक डेटा नहीं है कि हिप्पासस ने किस संख्या को तर्कहीन साबित किया था। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने इसे पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके पाया। इसलिए, यह मान लेना उचित है कि यह स्वर्णिम अनुपात था क्योंकि यह एक नियमित पंचभुज में विकर्ण और भुजा का अनुपात है।

यूनानी गणितज्ञों ने इस अनुपात को असंगत मात्राओं का अनुपात कहा है alogos(अकथनीय), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार उन्होंने हिप्पासस को उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान यह खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा उसे "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए फेंक दिया गया था जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में कम किया जा सकता है।" हिप्पासस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या खड़ी कर दी, जिससे यह अंतर्निहित धारणा नष्ट हो गई कि संख्याएँ और ज्यामितीय वस्तुएँ एक और अविभाज्य थीं।

बाद में, कनिडस के यूडोक्सस (410 या 408 ईसा पूर्व - 355 या 347 ईसा पूर्व) ने अनुपात का एक सिद्धांत विकसित किया जिसमें तर्कसंगत और तर्कहीन दोनों संबंधों को ध्यान में रखा गया। इसने अपरिमेय संख्याओं के मूलभूत सार को समझने के लिए आधार के रूप में कार्य किया। मात्रा को एक संख्या के रूप में नहीं, बल्कि संस्थाओं के एक पदनाम के रूप में माना जाने लगा, जैसे कि रेखा खंड, कोण, क्षेत्र, आयतन, समय अंतराल - ऐसी संस्थाएँ जो लगातार बदल सकती हैं (शब्द के आधुनिक अर्थ में)। परिमाण की तुलना संख्याओं से की गई, जो केवल एक संख्या से दूसरी संख्या में "छलांग" से बदल सकती हैं, उदाहरण के लिए, 4 से 5 तक। संख्याएँ सबसे छोटी अविभाज्य मात्रा से बनी होती हैं, जबकि मात्राएँ अनिश्चित काल तक कम की जा सकती हैं।

चूँकि परिमाण के साथ कोई भी मात्रात्मक मान सहसंबंधित नहीं था, यूडोक्सस एक अंश को दो मात्राओं के अनुपात के रूप में और अनुपात को दो अंशों की समानता के रूप में परिभाषित करते समय अनुरूप और असंगत दोनों मात्राओं को कवर करने में सक्षम था। समीकरणों से मात्रात्मक मानों (संख्याओं) को हटाकर, उन्होंने एक अपरिमेय मात्रा को संख्या कहने के जाल से बचा लिया। यूडोक्सस के सिद्धांत ने ग्रीक गणितज्ञों को ज्यामिति में अविश्वसनीय प्रगति करने की अनुमति दी, जिससे उन्हें अतुलनीय मात्राओं के साथ काम करने के लिए आवश्यक तार्किक आधार प्रदान किया गया। यूक्लिड के तत्वों की दसवीं पुस्तक अपरिमेय मात्राओं के वर्गीकरण के लिए समर्पित है।

मध्य युग

मध्य युग को पहले भारतीय और फिर चीनी गणितज्ञों द्वारा शून्य, ऋणात्मक संख्या, पूर्णांक और भिन्न जैसी अवधारणाओं को अपनाने के द्वारा चिह्नित किया गया था। बाद में, अरब गणितज्ञ इसमें शामिल हो गए और नकारात्मक संख्याओं को बीजगणितीय वस्तुओं (सकारात्मक संख्याओं के साथ) के रूप में मानने वाले पहले व्यक्ति थे, जिससे उस अनुशासन को विकसित करना संभव हो गया जिसे अब बीजगणित कहा जाता है।

अरब गणितज्ञों ने "संख्या" और "परिमाण" की प्राचीन यूनानी अवधारणाओं को वास्तविक संख्याओं के एक एकल, अधिक सामान्य विचार में जोड़ दिया। वे संबंधों के बारे में यूक्लिड के विचारों के आलोचक थे; इसके विपरीत, उन्होंने मनमानी मात्राओं के संबंधों का एक सिद्धांत विकसित किया और संख्या की अवधारणा को निरंतर मात्राओं के संबंधों तक विस्तारित किया। यूक्लिड की पुस्तक 10 एलीमेंट्स पर अपनी टिप्पणी में, फ़ारसी गणितज्ञ अल मखानी (सी. 800 ई.) ने द्विघात अपरिमेय संख्याओं (रूप की संख्याएँ) और अधिक सामान्य घन अपरिमेय संख्याओं की खोज और वर्गीकरण किया। उन्होंने परिमेय और अपरिमेय मात्राओं को परिभाषित किया, जिन्हें उन्होंने अपरिमेय संख्याएँ कहा। उन्होंने इन वस्तुओं के साथ आसानी से काम किया, लेकिन उनके बारे में अलग-अलग वस्तुओं के रूप में बात की, उदाहरण के लिए:

यूक्लिड की अवधारणा के विपरीत कि मात्राएँ मुख्य रूप से रेखा खंड हैं, अल मखानी ने पूर्णांक और भिन्न को तर्कसंगत मात्रा माना, और वर्ग और घनमूल को अपरिमेय माना। उन्होंने अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के लिए अंकगणितीय दृष्टिकोण भी प्रस्तुत किया, क्योंकि उन्होंने ही निम्नलिखित मात्राओं की अपरिमेयता दिखाई थी:

मिस्र के गणितज्ञ अबू कामिल (सी. 850 सी.ई. - सी. 930 सी.ई.) पहले व्यक्ति थे जिन्होंने अपरिमेय संख्याओं को द्विघात समीकरणों के समाधान के रूप में या समीकरणों में गुणांक के रूप में पहचानने को स्वीकार्य माना - आम तौर पर द्विघात या घन रूप में जड़ों के साथ-साथ जड़ों में भी चौथी डिग्री का. 10वीं शताब्दी में, इराकी गणितज्ञ अल हाशिमी ने अपरिमेय और तर्कसंगत संख्याओं पर उत्पाद, भागफल और अन्य गणितीय परिवर्तनों के परिणामों की अतार्किकता के सामान्य प्रमाण (दृश्य ज्यामितीय प्रदर्शनों के बजाय) प्रस्तुत किए। अल खज़िन (900 ई. - 971 ई.) तर्कसंगत और अपरिमेय मात्रा की निम्नलिखित परिभाषा देते हैं:

इनमें से कई विचारों को 12वीं शताब्दी में अरबी ग्रंथों के लैटिन में अनुवाद के बाद यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा अपनाया गया था। अल हसर, मगरेब के एक अरब गणितज्ञ, जो इस्लामी विरासत कानूनों में विशेषज्ञता रखते थे, ने 12वीं शताब्दी में अंशों के लिए आधुनिक प्रतीकात्मक गणितीय संकेतन की शुरुआत की, जिसमें अंश और हर को एक क्षैतिज पट्टी से विभाजित किया गया। फिर वही अंकन 13वीं शताब्दी में फाइबोनैचि के कार्यों में दिखाई दिया। XIV-XVI सदियों के दौरान। संगमग्राम के माधव और केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स के प्रतिनिधियों ने π जैसी कुछ अपरिमेय संख्याओं में परिवर्तित होने वाली अनंत श्रृंखला की जांच की, और कुछ त्रिकोणमितीय कार्यों की अतार्किकता को भी दिखाया। जेस्तादेव ने इन परिणामों को युक्तिभाज नामक पुस्तक में प्रस्तुत किया। (एक ही समय में पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व को साबित करते हुए), जिससे अपरिमेय संख्याओं के वर्गीकरण पर यूक्लिड के काम पर पुनर्विचार किया गया। इस विषय पर रचनाएँ 1872 में प्रकाशित हुईं

निरंतर भिन्न, अपरिमेय संख्याओं से निकटता से संबंधित (किसी दी गई संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला निरंतर अंश अनंत है यदि और केवल यदि संख्या अपरिमेय है), पहली बार 1613 में कैटाल्डी द्वारा खोजा गया था, फिर यूलर के काम में फिर से ध्यान में आया, और 19वीं सदी की शुरुआत - लैग्रेंज के कार्यों में। डिरिचलेट ने निरंतर भिन्नों के सिद्धांत के विकास में भी महत्वपूर्ण योगदान दिया। 1761 में, लैंबर्ट ने यह दिखाने के लिए निरंतर भिन्नों का उपयोग किया π (\displaystyle \pi )एक परिमेय संख्या नहीं है, और वह भी ई एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल ई^(x))और टीजी ⁡ एक्स (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (टीजी) एक्स)किसी भी गैर-शून्य तर्कसंगत के लिए तर्कहीन हैं एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल x). हालाँकि लैंबर्ट के प्रमाण को अधूरा कहा जा सकता है, लेकिन आम तौर पर इसे काफी कठोर माना जाता है, खासकर उस समय को देखते हुए जब इसे लिखा गया था। लीजेंड्रे ने 1794 में बेसेल-क्लिफोर्ड फ़ंक्शन की शुरुआत करने के बाद यह दिखाया π 2 (\displaystyle \pi ^(2))तर्कहीन, तर्कहीनता कहाँ से आती है? π (\displaystyle \pi )तुच्छ रूप से अनुसरण करता है (एक परिमेय संख्या का वर्ग एक परिमेय देगा)।

ट्रान्सेंडैंटल संख्याओं का अस्तित्व 1844-1851 में लिउविले द्वारा सिद्ध किया गया था। बाद में, जॉर्ज कैंटर (1873) ने एक अलग विधि का उपयोग करके अपना अस्तित्व दिखाया, और तर्क दिया कि वास्तविक श्रृंखला के किसी भी अंतराल में अनंत संख्या में पारलौकिक संख्याएं होती हैं। चार्ल्स हरमाइट ने 1873 में यह सिद्ध किया इट्रान्सेंडैंटल, और फर्डिनेंड लिंडमैन ने 1882 में, इस परिणाम के आधार पर, ट्रान्सेंडेंटल दिखाया π (\displaystyle \pi ) साहित्य

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है मैं (\displaystyle \mathbb (I) )बिना शेडिंग के बोल्ड अंदाज में। इस प्रकार: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )अर्थात्, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच का अंतर है।

अपरिमेय संख्याओं का अस्तित्व, अधिक सटीक रूप से, इकाई लंबाई के एक खंड के साथ असंगत खंड, प्राचीन गणितज्ञों को पहले से ही ज्ञात था: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, एक वर्ग के विकर्ण और पक्ष की असंगतता, जो कि अतार्किकता के बराबर है जो नंबर।

विश्वकोश यूट्यूब

• 1 / 5

  तर्कहीन हैं:

  अतार्किकता के प्रमाण के उदाहरण

  2 की जड़

  आइए इसके विपरीत मान लें: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))तर्कसंगत, अर्थात, भिन्न के रूप में दर्शाया गया है m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), कहाँ एम (\डिस्प्लेस्टाइल एम)एक पूर्णांक है, और एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)- प्राकृतिक संख्या ।

  आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\राइटएरो m^(2)=2n^(2)).

  कहानी

  प्राचीन काल

  अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में भारतीय गणितज्ञों द्वारा स्पष्ट रूप से अपनाया गया था, जब मानव (लगभग 750 ईसा पूर्व - लगभग 690 ईसा पूर्व) ने पता लगाया कि कुछ प्राकृतिक संख्याओं, जैसे 2 और 61 के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। [ ] .

  अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आम तौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (लगभग 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, जो एक पायथागॉरियन था। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई थी, जो काफी छोटी और अविभाज्य थी, जिसमें किसी भी खंड में कई बार पूर्णांक संख्या शामिल होती थी [ ] .

  इस बात का कोई सटीक डेटा नहीं है कि हिप्पासस ने किस संख्या को तर्कहीन साबित किया था। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने इसे पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके पाया। इसलिए, यह मान लेना उचित है कि यह स्वर्णिम अनुपात था [ ] .

  यूनानी गणितज्ञों ने इस अनुपात को असंगत मात्राओं का अनुपात कहा है alogos(अकथनीय), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार उन्होंने हिप्पासस को उचित सम्मान नहीं दिया। एक किंवदंती है कि हिप्पासस ने समुद्री यात्रा के दौरान यह खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा उसे "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए फेंक दिया गया था जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्णांक और उनके अनुपात में कम किया जा सकता है।" हिप्पासस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या खड़ी कर दी, जिससे यह अंतर्निहित धारणा नष्ट हो गई कि संख्याएँ और ज्यामितीय वस्तुएँ एक और अविभाज्य थीं।