एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या। समान भुजाओं वाला त्रिकोण

यदि कोई वृत्त किसी कोण के अंदर स्थित हो और उसकी भुजाओं को स्पर्श करता हो, तो उसे इस कोण में अंकित कहा जाता है। ऐसे अंकित वृत्त का केंद्र स्थित है इस कोण का समद्विभाजक.

यदि यह उत्तल बहुभुज के अंदर स्थित है और इसकी सभी भुजाओं के संपर्क में है, तो इसे उत्तल बहुभुज में अंकित कहा जाता है।

वृत्त त्रिभुज में अंकित है

त्रिभुज में अंकित एक वृत्त इस आकृति की प्रत्येक भुजा को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है। एक त्रिभुज में केवल एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

ऐसे वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज के निम्नलिखित मापदंडों पर निर्भर करेगी:

1. एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई.
2. उसका क्षेत्र.
3. इसकी परिधि.
4. त्रिभुज के कोण.

किसी त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना करने के लिए, ऊपर सूचीबद्ध सभी मापदंडों को जानना हमेशा आवश्यक नहीं होता है, क्योंकि वे त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से परस्पर जुड़े होते हैं।

अर्ध-परिधि का उपयोग करके गणना

1. यदि किसी ज्यामितीय आकृति की सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो (हम उन्हें ए, बी और सी अक्षरों से दर्शाते हैं), तो वर्गमूल निकालकर त्रिज्या की गणना करनी होगी।
2. गणना शुरू करते समय, प्रारंभिक डेटा में एक और चर जोड़ना आवश्यक है - अर्ध-परिधि (पी)। इसकी गणना सभी लंबाई जोड़कर और परिणामी राशि को 2 से विभाजित करके की जा सकती है। p = (a+b+c)/2। इस प्रकार, त्रिज्या ज्ञात करने का सूत्र काफी सरल बनाया जा सकता है।
3. सामान्य तौर पर, सूत्र में मूलांक का चिह्न शामिल होना चाहिए जिसके अंतर्गत अंश रखा गया है, इस अंश का हर अर्ध-परिधि पी का मान होगा।
4. इस भिन्न का अंश अंतरों का गुणनफल होगा (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. इस प्रकार, सूत्र का पूर्ण रूप इस प्रकार प्रस्तुत किया जाएगा: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

त्रिभुज के क्षेत्रफल को ध्यान में रखते हुए गणना

अगर हम जानते हैं एक त्रिभुज का क्षेत्रफलऔर इसकी सभी भुजाओं की लंबाई, यह हमें जड़ों को निकालने का सहारा लिए बिना हमारी रुचि के वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने की अनुमति देगा।

1. सबसे पहले आपको क्षेत्र का आकार दोगुना करना होगा।
2. परिणाम को सभी भुजाओं की लंबाई के योग से विभाजित किया जाता है। तब सूत्र इस तरह दिखेगा: r = 2*S/(a+b+c).
3. यदि आप अर्ध-परिधि के मान का उपयोग करते हैं, तो आप एक बहुत ही सरल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: r \u003d S / p।

त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके गणना

यदि समस्या की स्थिति में किसी एक भुजा की लंबाई, विपरीत कोण का मान और परिधि शामिल है, तो आप त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन - स्पर्शरेखा का उपयोग कर सकते हैं। इस स्थिति में, गणना सूत्र इस तरह दिखेगा:

r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), जहां r वांछित त्रिज्या है, P परिधि है, a एक पक्ष की लंबाई है, α विपरीत पक्ष का मान है, और कोना।

वृत्त की त्रिज्या, जिसे एक नियमित त्रिभुज में अंकित करने की आवश्यकता होगी, सूत्र r = a*√3/6 द्वारा ज्ञात की जा सकती है।

वृत्त एक समकोण त्रिभुज में अंकित है

आप समकोण त्रिभुज में अंकित कर सकते हैं केवल एक चक्र. ऐसे वृत्त का केंद्र एक साथ सभी समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में कार्य करता है। इस ज्यामितीय आकृति में कुछ विशिष्ट विशेषताएं हैं जिन्हें अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए।

1. सबसे पहले आपको दिए गए मापदंडों के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाना होगा। आप ऐसी आकृति उसकी एक भुजा के आकार और दो कोणों के मान से, या दो भुजाओं और इन भुजाओं के बीच के कोण से बना सकते हैं। इन सभी मापदंडों को कार्य विवरण में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। एक त्रिभुज को ABC के रूप में दर्शाया गया है, जिसमें C समकोण का शीर्ष है। पैरों को चर द्वारा दर्शाया गया है, एऔर बी, और कर्ण एक चर है साथ.
2. एक शास्त्रीय सूत्र बनाने और एक वृत्त की त्रिज्या की गणना करने के लिए, समस्या की स्थिति में वर्णित आकृति के सभी पक्षों के आयामों को ढूंढना और उनसे अर्धपरिधि की गणना करना आवश्यक है। यदि स्थितियाँ दो पैरों के आयाम देती हैं, तो उनका उपयोग पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर कर्ण के मूल्य की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
3. यदि स्थिति में एक पैर और एक कोण का आकार दिया गया है, तो यह समझना आवश्यक है कि यह कोण आसन्न या विपरीत है। पहले मामले में, साइन प्रमेय का उपयोग करके कर्ण पाया जाता है: с=a/sinСАВ, दूसरे मामले में, कोसाइन प्रमेय लागू किया जाता है с=a/cosCBA.
4. जब सभी गणनाएँ पूरी हो जाती हैं और सभी भुजाओं के आयाम ज्ञात हो जाते हैं, तो ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करके अर्ध-परिधि पाई जाती है।
5. अर्ध-परिधि का मान जानकर आप त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं। सूत्र एक अंश है. इसका अंश अर्ध-परिधि और प्रत्येक पक्ष के अंतर का गुणनफल है, और हर अर्ध-परिधि का मान है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस सूत्र का अंश क्षेत्र का सूचक है। इस मामले में, त्रिज्या ज्ञात करने का सूत्र बहुत सरल है - यह क्षेत्र को अर्ध-परिधि से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।

यदि दोनों पैर ज्ञात हों तो ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करना भी संभव है। इन पैरों के वर्गों का योग कर्ण है, फिर अर्ध-परिधि की गणना की जाती है। आप पैरों की लंबाई को एक-दूसरे से गुणा करके और परिणाम को 2 से विभाजित करके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

यदि शर्तों में दोनों पैरों और कर्ण की लंबाई दी गई है, तो त्रिज्या को एक बहुत ही सरल सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: इसके लिए, पैरों की लंबाई जोड़ी जाती है, कर्ण की लंबाई परिणामी संख्या से घटा दी जाती है। परिणाम को आधे में विभाजित किया जाना चाहिए।

वीडियो

इस वीडियो से आप सीखेंगे कि त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात की जाती है।

वृत्त त्रिभुज में अंकित है

त्रिभुज में अंकित वृत्त का अस्तित्व

परिभाषा याद करें कोण द्विभाजक .

परिभाषा 1 .कोण द्विभाजक वह किरण कहलाती है जो एक कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

प्रमेय 1 (कोण समद्विभाजक का मूल गुण) . कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है (चित्र 1)।

चावल। 1

सबूत डी कोण के समद्विभाजक पर स्थित हैबीएसी , और डे और डी.एफ. कोने के किनारों पर (चित्र 1)।समकोण त्रिभुज एडीएफ और एडीई बराबर क्योंकि उनके न्यूनकोण समान हैंडीएएफ और डीएई , और कर्ण विज्ञापन - सामान्य। इस तरह,

डी.एफ. = डी.ई.

क्यू.ई.डी.

प्रमेय 2 (प्रमेय 1 का व्युत्क्रम प्रमेय) . यदि कुछ है, तो यह कोण के समद्विभाजक पर स्थित है (चित्र 2)।

चावल। 2

सबूत . एक मनमाना बिंदु पर विचार करेंडी अंदर कोने में पड़ा हुआबीएसी और कोने के किनारों से समान दूरी पर स्थित है। बिंदु से गिराओडी लंबवत डे और डी.एफ. कोने के किनारों पर (चित्र 2)।समकोण त्रिभुज एडीएफ और एडीई बराबर , क्योंकि उनके पैर बराबर हैंडी.एफ. और डे , और कर्ण विज्ञापन - सामान्य। इस तरह,

क्यू.ई.डी.

परिभाषा 2 . वृत्त कहलाता है एक कोण में अंकित वृत्त यदि यह इस कोण की भुजाएँ हैं।

प्रमेय 3 . यदि एक वृत्त किसी कोण में अंकित है, तो कोण के शीर्ष से कोण की भुजाओं के साथ वृत्त के संपर्क बिंदु तक की दूरी बराबर होती है।

सबूत . आइए बात को स्पष्ट करें डी एक कोण में अंकित वृत्त का केंद्र हैबीएसी , और अंक इ और एफ - कोने के किनारों के साथ वृत्त के संपर्क के बिंदु (चित्र 3)।

चित्र 3

ए , बी , सी - त्रिभुज की भुजाएँ
 एस -वर्ग,

आर – अंकित वृत्त की त्रिज्या,
 पी - अर्धपरिधि

.

सूत्र आउटपुट देखें

ए – एक समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजा , 
 बी - आधार, आर – अंकित वृत्त त्रिज्या

ए आर – अंकित वृत्त त्रिज्या

सूत्र आउटपुट देखें

,

कहाँ

,

तब, समद्विबाहु त्रिभुज के मामले में, जब

हम पाते हैं

जो कि आवश्यक था।

प्रमेय 7 . समानता के लिए

कहाँ ए - एक समबाहु त्रिभुज की भुजाआर – अंकित वृत्त की त्रिज्या (चित्र 8)।

चावल। 8

सबूत .

,

तब, एक समबाहु त्रिभुज के मामले में, जब

बी=ए,

हम पाते हैं

जो कि आवश्यक था।

टिप्पणी . मैं एक अभ्यास के रूप में सीधे एक समबाहु त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र प्राप्त करने की सलाह देता हूं, अर्थात। एक मनमाना त्रिभुज या एक समद्विबाहु त्रिभुज में अंकित वृत्तों की त्रिज्या के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग किए बिना।

प्रमेय 8 . एक समकोण त्रिभुज के लिए, समानता

कहाँ ए , बी - समकोण त्रिभुज के पैर, सी – कर्ण , आर – अंकित वृत्त की त्रिज्या.

सबूत . चित्र 9 पर विचार करें।

चावल। 9

चतुर्भुज के बाद सेसीडीओएफ है , जिसकी आसन्न भुजाएँ हैंकरना और का बराबर हैं, तो यह आयत है . इस तरह,

सीबी = सीएफ = आर,

प्रमेय 3 के आधार पर, समानताएँ

इसलिए, इसे भी ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं

जो कि आवश्यक था।

"एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त" विषय पर कार्यों का चयन।

1.

समद्विबाहु त्रिभुज में अंकित एक वृत्त संपर्क बिंदु पर एक पक्ष को दो खंडों में विभाजित करता है, जिनकी लंबाई आधार के विपरीत शीर्ष से गिनती करते हुए 5 और 3 के बराबर होती है। त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

2.

3

त्रिभुज ABC में AC=4, BC=3, कोण C 90º है। अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

4.

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के पैर 2+ हैं। इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

5.

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या 2 है। इस त्रिभुज का कर्ण c ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में c(-1) लिखें.

यहां समाधान के साथ परीक्षा के कई कार्य दिए गए हैं।

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या होती है। इस त्रिभुज का कर्ण c ज्ञात कीजिए। कृपया अपने उत्तर में बताएं.

त्रिभुज समद्विबाहु और समद्विबाहु है। तो उसके पैर वैसे ही हैं. प्रत्येक पैर को बराबर होने दें. फिर कर्ण है.

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल हम दो प्रकार से लिखते हैं:

इन भावों को समान करने पर हमें वह प्राप्त होता है. क्योंकि, हमें वह मिल गया. तब.

जवाब में लिखो.

उत्तर:.

कार्य 2.

1. किन्हीं दो भुजाओं में 10 सेमी और 6 सेमी (एबी और बीसी)। परिचालित और अंकित वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए
टिप्पणी करने से समस्या स्वतंत्र रूप से हल हो जाती है।

समाधान:

में.

1) खोजें:
2) सिद्ध करें:और सीके खोजें
3) ज्ञात करें: परिचालित और अंकित वृत्तों की त्रिज्याएँ

समाधान:

कार्य 6.

आर एक वर्ग में अंकित वृत्त की त्रिज्या है. इस वर्ग के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।दिया गया :

खोजो: ओएस=?
समाधान: इस मामले में, समस्या को पाइथागोरस प्रमेय या आर के सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है। दूसरा मामला सरल होगा, क्योंकि आर का सूत्र प्रमेय से लिया गया है।

कार्य 7.

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या 2 है। कर्ण ज्ञात कीजिएसाथ यह त्रिकोण. कृपया अपने उत्तर में बताएं.

S त्रिभुज का क्षेत्रफल है

हम त्रिभुज की न तो भुजाएँ जानते हैं और न ही उसका क्षेत्रफल जानते हैं। आइए पैरों को x के रूप में निरूपित करें, तो कर्ण इसके बराबर होगा:

त्रिभुज का क्षेत्रफल 0.5x होगा 2 .

मतलब

तो कर्ण होगा:

उत्तर लिखना होगा:

उत्तर - 4

कार्य 8.

त्रिभुज ABC में, AC = 4, BC = 3, कोण सी 90 0 के बराबर है. अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

आइए एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र का उपयोग करें:

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं

S त्रिभुज का क्षेत्रफल है

दो भुजाएँ ज्ञात हैं (ये पैर हैं), हम तीसरे (कर्ण) की गणना कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल की भी गणना कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

आइये क्षेत्रफल ज्ञात करें:

इस प्रकार:

उत्तर 1

कार्य 9.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 5 हैं, आधार 6 है। अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

आइए एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र का उपयोग करें:

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं

S त्रिभुज का क्षेत्रफल है

सभी पक्ष ज्ञात हैं, और क्षेत्रफल की गणना की गई है। हम इसे हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके पा सकते हैं:

तब

समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए, यह एक समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों को प्राप्त करता है। अर्थात्:

• समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं।
• एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके आंतरिक कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

एक वृत्त को चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो।
अत: किसी भी समचतुर्भुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। अंकित वृत्त का केंद्र समचतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन केंद्र के साथ मेल खाता है।
एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या को कई तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है

1 रास्ता. ऊंचाई के माध्यम से एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

एक समचतुर्भुज की ऊँचाई अंकित वृत्त के व्यास के बराबर होती है। यह एक आयत के गुण से अनुसरण करता है, जो अंकित वृत्त के व्यास और समचतुर्भुज की ऊँचाई से बनता है - आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं।

इसलिए, ऊंचाई के माध्यम से एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या का सूत्र:

2 रास्ते। विकर्णों के माध्यम से एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल अंकित वृत्त की त्रिज्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
, कहाँ आरसमचतुर्भुज की परिधि है. यह जानते हुए कि परिमाप एक चतुर्भुज की सभी भुजाओं का योग है, हमारे पास है पी= 4×हा.तब
लेकिन एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भी उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है
क्षेत्रफल सूत्रों के सही भागों को बराबर करने पर हमें निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है
परिणामस्वरूप, हमें एक सूत्र प्राप्त होता है जो हमें विकर्णों के माध्यम से एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना करने की अनुमति देता है

यदि विकर्ण ज्ञात हों तो समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना करने का एक उदाहरण
एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि विकर्णों की लंबाई 30 सेमी और 40 सेमी है
होने देना ए बी सी डी- रोम्बस, फिर एसीऔर बी.डीइसके विकर्ण. एसी= 30 सेमी , बी.डी=40 सेमी
आइए बात को स्पष्ट करें के बारे मेंसमचतुर्भुज में अंकित का केंद्र है ए बी सी डीवृत्त, तो यह इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु भी होगा, जो उन्हें आधे में विभाजित करेगा।


चूँकि समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो त्रिभुज एओबीआयताकार. फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
, हम पहले प्राप्त मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

अब= 25 सेमी
एक समचतुर्भुज पर परिचालित वृत्त की त्रिज्या के लिए पहले से प्राप्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

3 रास्ता. खंड m और n के माध्यम से समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

डॉट एफ- समचतुर्भुज के किनारे के साथ वृत्त का संपर्क बिंदु, जो इसे खंडों में विभाजित करता है ए एफऔर BF के. होने देना वायुसेना=एम, बीएफ=एन.
डॉट हे- समचतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन का केंद्र और उसमें अंकित वृत्त का केंद्र।
त्रिकोण एओबी- आयताकार, क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
, क्योंकि वृत्त के स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई त्रिज्या है। इस तरह का-त्रिभुज की ऊंचाई एओबीकर्ण को. तब ए एफऔर BF-कर्ण पर पैरों का प्रक्षेपण।
एक समकोण त्रिभुज में कर्ण से नीचे की ऊंचाई कर्ण पर पैरों के प्रक्षेपण के बीच का औसत आनुपातिक है।

खंडों के माध्यम से एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या का सूत्र इन खंडों के उत्पाद के वर्गमूल के बराबर होता है जिसमें समचतुर्भुज के किनारे को वृत्त के स्पर्शरेखा बिंदु से विभाजित किया जाता है

एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त पर विचार करें (चित्र 302)। याद रखें कि इसका केंद्र O त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर स्थित है। खंड OA, OB, OS, O को त्रिभुज ABC के शीर्षों से जोड़ते हुए, त्रिभुज को तीन त्रिभुजों में विभाजित करेंगे:

एओबी, बीओएस, एसओए। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज की ऊंचाई त्रिज्या के बराबर है, और इसलिए उनके क्षेत्रों को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

संपूर्ण त्रिभुज S का क्षेत्रफल इन तीन क्षेत्रों के योग के बराबर है:

त्रिभुज का अर्धपरिमाप कहाँ है. यहाँ से

अंकित वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसकी आधी परिधि के अनुपात के बराबर है।

किसी त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रस्ताव को सिद्ध करते हैं।

प्रमेय a: किसी भी त्रिभुज में, भुजा परिचालित वृत्त के व्यास को विपरीत कोण की ज्या से गुणा करने के बराबर होती है।

सबूत। एक मनमाना त्रिभुज ABC और उसके चारों ओर परिचालित एक वृत्त पर विचार करें, जिसकी त्रिज्या R द्वारा निरूपित की जाएगी (चित्र 303)। माना A त्रिभुज का न्यूनकोण है। आइए वृत्त की त्रिज्या OB, OS खींचें और इसके केंद्र O से त्रिभुज की भुजा BC पर लंब OK छोड़ें। ध्यान दें कि त्रिभुज का कोण a चाप BC के आधे भाग से मापा जाता है, जिसके लिए कोण BOC केंद्रीय कोण है। यहां से यह स्पष्ट है कि. इसलिए, एक समकोण त्रिभुज SOK से हम पाते हैं, या, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

दिया गया चित्र. 303 और तर्क एक त्रिभुज के न्यूनकोण के मामले को संदर्भित करता है; समकोण और अधिक कोणों के मामलों के लिए प्रमाण देना कठिन नहीं होगा (पाठक स्वयं ऐसा करेगा), लेकिन कोई साइन प्रमेय (218.3) का उपयोग कर सकता है। चूँकि यह कहाँ होना चाहिए

साइन प्रमेय भी इसमें लिखा गया है। रूप

और संकेतन (218.3) के साथ तुलना करने पर पता चलता है

परिचालित वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज की तीनों भुजाओं और उसके चतुर्भुज क्षेत्रफल के गुणनफल के अनुपात के बराबर है।

काम। एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करें यदि इसके उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः हों

समाधान। आइए एक त्रिभुज के उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याओं को व्यक्त करने वाले सूत्र लिखें:

एक भुजा और एक आधार वाले समद्विबाहु त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

या, भिन्न को गैर-शून्य गुणनखंड से कम करने पर, हमारे पास है

जो एक द्विघात समीकरण की ओर ले जाता है

इसके दो समाधान हैं:

या R के लिए किसी भी समीकरण में इसकी अभिव्यक्ति के बजाय प्रतिस्थापित करने पर, हमें अंततः अपनी समस्या के दो उत्तर मिलते हैं:

अभ्यास

1. समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की ऊंचाई, कर्ण को विभाजित करती है, प्रत्येक पैर का कर्ण से अनुपात ज्ञात कीजिए।

2. एक वृत्त के चारों ओर अंकित समद्विबाहु समलंब के आधार a और b के बराबर होते हैं। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

3. दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएं केंद्र रेखा पर 30° के कोण पर झुकी होती हैं। संपर्क बिंदुओं के बीच स्पर्शरेखा खंड की लंबाई 108 सेमी है। वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए।

4. एक समकोण त्रिभुज के पैर a और b के बराबर हैं। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की ऊँचाई और माध्यिका हैं, जो समकोण के शीर्ष से खींची गई हैं, और कर्ण के साथ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच कर्ण का खंड है।

5. त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14, 15 हैं। उनमें से प्रत्येक का अन्य दो पर प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए।

6. एक त्रिभुज में, भुजाएँ और ऊँचाई ज्ञात होती हैं। भुजाएँ b और c ज्ञात कीजिए।

7. त्रिभुज की दो भुजाएँ और माध्यिका ज्ञात हैं। त्रिभुज की तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

8. एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच एक कोण a दिया गया है: अंकित और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए।

9. त्रिभुज a, b, c की भुजाएँ ज्ञात हैं। वे कौन से खंड हैं जिनमें उन्हें त्रिभुज की भुजाओं के साथ अंकित वृत्त के संपर्क बिंदुओं द्वारा विभाजित किया गया है?