Dom › Svjetlo i staklo › Derivacija umnoška funkcija u danoj točki. Nađi izvod: algoritam i primjeri rješenja

Derivacija umnoška funkcija u danoj točki. Nađi izvod: algoritam i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavljamo proučavati derivacije funkcija i prelazimo na napredniju temu, naime derivacije umnožaka i kvocijenata. Ako ste gledali prethodnu lekciju, vjerojatno ste shvatili da smo razmatrali samo najjednostavnije konstrukcije, naime derivaciju potencije, zbroj i razliku. Konkretno, naučili smo da je derivacija zbroja jednaka njihovom zbroju, a derivacija razlike jednaka njihovoj razlici. Nažalost, u slučaju derivata kvocijenta i produkta, formule će biti mnogo kompliciranije. Počet ćemo s formulom za derivaciju produkta funkcija.

Derivacije trigonometrijskih funkcija

Za početak, da napravim malu lirsku digresiju. Činjenica je da ćemo osim standardne funkcije potencije - $y=((x)^(n))$, u ovoj lekciji susresti i druge funkcije, naime $y=\sin x$, kao i $ y=\ cos x$ i druga trigonometrija - $y=tgx$ i, naravno, $y=ctgx$.

Ako svi savršeno dobro znamo derivaciju funkcije potencije, naime $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, onda što se tiče trigonometrijske funkcije, potrebno je posebno spomenuti. Zapišimo to:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\lijevo(tgx \desno))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\lijevo( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Ali ti jako dobro znaš ove formule, idemo dalje.

Što je derivat proizvoda?

Prvo, ono najvažnije: ako je funkcija umnožak dviju drugih funkcija, na primjer, $f\cdot g$, tada će derivacija ove konstrukcije biti jednaka sljedećem izrazu:

Kao što vidite, ova je formula znatno drugačija i složenija od formula koje smo ranije gledali. Na primjer, derivacija zbroja izračunava se na elementarni način - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ili derivacija razlika, koja se također izračunava na elementarni način - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Pokušajmo primijeniti prvu formulu za izračunavanje derivacija dviju funkcija koje su nam zadane u zadatku. Počnimo s prvim primjerom:

Očito, sljedeća konstrukcija djeluje kao produkt, točnije, kao množitelj: $((x)^(3))$, možemo ga smatrati $f$, i $\left(x-5 \right) $ možemo smatrati $g$. Tada će njihov proizvod biti upravo proizvod dviju funkcija. Mi odlučujemo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \lijevo(x-5 \desno)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Sada pobliže pogledajmo svaki od naših pojmova. Vidimo da i prvi i drugi član sadrže stupanj $x$: u prvom slučaju to je $((x)^(2))$, au drugom je $((x)^(3)) $. Izvadimo najmanji stupanj iz zagrada, ostavljajući u zagradama:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \lijevo(x-5 \desno)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\lijevo(3\cdot 1\lijevo(x-5 \desno)+x \desno)= \\& =((x)^(2))\lijevo(3x-15+x \desno)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]

To je to, pronašli smo odgovor.

Vratimo se našim problemima i pokušajmo ih riješiti:

Dakle, prepišimo:

Opet napominjemo da govorimo o umnošku umnoška dviju funkcija: $x$, koja se može označiti s $f$, i $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, koja se može označiti s $g$.

Dakle, opet imamo pred sobom produkt dviju funkcija. Da bismo pronašli derivaciju funkcije $f\left(x \right)$ ponovno ćemo koristiti našu formulu. Dobivamo:

\[\begin(align)& (f)"=\lijevo(x \desno)"\cdot \lijevo(\sqrt(x)-1 \desno)+x\cdot ((\lijevo(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Odgovor je pronađen.

Zašto faktorizirati izvedenice?

Upravo smo upotrijebili nekoliko vrlo važnih matematičkih činjenica, koje same po sebi nisu vezane uz derivacije, ali bez njihovog poznavanja svako daljnje proučavanje ove teme jednostavno nema smisla.

Prvo, dok smo rješavali prvi problem i već smo se riješili svih znakova izvedenica, iz nekog smo razloga počeli faktorizirati ovaj izraz.

Drugo, pri rješavanju sljedećeg zadatka nekoliko smo puta prelazili s korijena na potenciju s racionalnim eksponentom i natrag, koristeći formulu 8-9 razreda, koju bi vrijedilo posebno ponoviti.

Što se tiče faktorizacije - zašto su potrebni svi ti dodatni napori i transformacije? Zapravo, ako problem jednostavno kaže "pronađi derivaciju funkcije", tada ti dodatni koraci nisu potrebni. Međutim, u stvarnim problemima koji vas čekaju na svim vrstama ispita i kolokvija jednostavno pronalaženje izvedenice često nije dovoljno. Činjenica je da je derivacija samo alat s kojim možete saznati, na primjer, porast ili pad funkcije, a za to morate riješiti jednadžbu i faktorizirati je. I ovdje će ova tehnika biti vrlo prikladna. I općenito, mnogo je prikladnije i ugodnije raditi s funkcijom faktoriziranom u budućnosti ako su potrebne bilo kakve transformacije. Stoga, pravilo br. 1: ako se izvod može faktorizirati, to je ono što trebate učiniti. I odmah pravilo br. 2 (u suštini, ovo je gradivo za 8.-9. razred): ako problem sadrži korijen n-tog stupnja, a korijen je jasno veći od dva, tada se taj korijen može zamijeniti običnim stupnjem s racionalnim eksponentom, a u eksponentu će se pojaviti razlomak, gdje n― upravo taj stupanj ― bit će u nazivniku ovog razlomka.

Naravno, ako ispod korijena postoji neki stupanj (u našem slučaju to je stupanj k), onda ne ide nigdje, nego jednostavno završi u brojniku upravo tog stupnja.

Sad kad sve ovo razumijete, vratimo se na derivacije umnoška i izračunajmo još nekoliko jednadžbi.

Ali prije nego što prijeđem izravno na izračune, želio bih vas podsjetiti na sljedeće obrasce:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Razmotrimo prvi primjer:

Opet imamo produkt dviju funkcija: prva je $f$, druga je $g$. Da vas podsjetim na formulu:

\[((\lijevo(f\cdot g \desno))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Odlučimo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\lijevo(\sin x \desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\lijevo(3\sin x+x\cdot \cos x \desno) \\\end(align)\]

Prijeđimo na drugu funkciju:

Opet, $\left(3x-2 \right)$ je funkcija od $f$, $\cos x$ je funkcija od $g$. Ukupno će derivacija umnoška dviju funkcija biti jednaka:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ lijevo(\cos x \desno))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\lijevo(3x-2 \desno)\cdot \lijevo(-\sin x \desno)=3\ cos x-\lijevo(3x-2 \desno)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\lijevo(((x)^(2))\cdot \cos x \desno))^(\prime ))+((\lijevo(4x\sin x \desno)) ^(\prime ))\]

Zapišimo to zasebno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \desno)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\lijevo(\cos x \desno))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \lijevo(-\sin x \desno)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Ovaj izraz ne faktoriziramo jer ovo još nije konačan odgovor. Sada moramo riješiti drugi dio. Zapišimo to:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\lijevo(\sin x \desno))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Sada se vratimo našem izvornom zadatku i stavimo sve zajedno u jednu strukturu:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

To je to, ovo je konačan odgovor.

Prijeđimo na posljednji primjer - bit će najsloženiji i najobimniji u smislu izračuna. Dakle, primjer:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Računamo svaki dio zasebno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Vraćajući se na izvornu funkciju, izračunajmo njezinu derivaciju kao cjelinu:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

To je zapravo sve što sam vam htio reći o izvedenicama. Kao što vidite, glavni problem s formulom nije njezino pamćenje, već činjenica da uključuje prilično veliku količinu izračuna. Ali to je u redu, jer sada prelazimo na izvod kvocijenta, gdje ćemo se morati jako potruditi.

Što je derivacija kvocijenta?

Dakle, formula za izvod kvocijenta. Ovo je možda najsloženija formula u školskom tečaju derivata. Recimo da imamo funkciju oblika $\frac(f)(g)$, gdje su $f$ i $g$ također funkcije iz kojih također možemo ukloniti prost broj. Tada će se izračunati prema sljedećoj formuli:

Brojnik nas donekle podsjeća na formulu za izvod umnoška, ali postoji znak minus između članova, a nazivniku je dodan i kvadrat izvornog nazivnika. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi:

Pokušajmo riješiti:

\[(f)"=((\lijevo(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \desno))^(\prime ))=\frac(((\lijevo (((x)^(2))-1 \desno))^(\prime ))\cdot \lijevo(x+2 \desno)-\lijevo(((x)^(2))-1 \desno )\cdot ((\lijevo(x+2 \desno))^(\prime )))(((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))\]

Predlažem da ispišete svaki dio posebno i zapišete:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ desno))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\lijevo(x+2 \desno))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]

Prepišimo naš izraz:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 1) (((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\lijevo(x+2 \desno))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\lijevo(x+2 \desno) ))^(2))) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor. Prijeđimo na drugu funkciju:

Sudeći po činjenici da je njegov brojnik samo jedan, izračuni će ovdje biti malo jednostavniji. Dakle, napišimo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(1)(((x)^(2))+4) \desno))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \lijevo(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot ((\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(\prime )))(( (\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Izračunajmo svaki dio primjera zasebno:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Prepišimo naš izraz:

\[(y)"=\frac(0\cdot \lijevo(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot 2x)(((\lijevo(((x)^(2) )+4 \desno))^(2)))=-\frac(2x)(((\lijevo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Našli smo odgovor. Kao što se i očekivalo, pokazalo se da je količina izračuna znatno manja nego za prvu funkciju.

Koja je razlika između oznaka?

Pažljivi studenti vjerojatno već imaju pitanje: zašto u nekim slučajevima funkciju označavamo kao $f\left(x \right)$, au drugim slučajevima jednostavno pišemo $y$? Zapravo, s gledišta matematike nema apsolutno nikakve razlike – imate pravo koristiti i prvu i drugu oznaku, a na ispitima i kolokvijima neće biti nikakvih kazni. Za one koje još zanima objasnit ću zašto autori udžbenika i zadataka u nekim slučajevima pišu $f\left(x \right)$, au drugim (mnogo češće) jednostavno $y$. Činjenica je da pisanjem funkcije u obliku \ implicitno nagovještavamo onima koji čitaju naše izračune da govorimo upravo o algebarskoj interpretaciji funkcionalne ovisnosti. Odnosno, postoji određena varijabla $x$, razmatramo ovisnost o toj varijabli i označavamo je $f\lijevo(x \desno)$. U isto vrijeme, nakon što je vidio takvu oznaku, onaj tko čita vaše izračune, na primjer, inspektor, podsvjesno će očekivati da ga u budućnosti čekaju samo algebarske transformacije - bez grafikona i bez geometrije.

S druge strane, korištenjem zapisa u obliku \, tj. označavanjem varijable jednim jedinim slovom, odmah dajemo do znanja da nas ubuduće zanima geometrijska interpretacija funkcije, tj. zanima nas, prije svega, sve, u svom grafikonu. Sukladno tome, kada se suoči sa zapisom forme, čitatelj ima pravo očekivati grafičke izračune, tj. grafikone, konstrukcije itd., ali, ni u kojem slučaju, analitičke transformacije.

Također bih želio skrenuti vašu pozornost na jednu značajku dizajna zadataka koje danas razmatramo. Mnogi učenici misle da sam dao previše detaljne izračune, a mnoge bi mogli preskočiti ili jednostavno riješiti u glavi. Međutim, upravo tako detaljan zapis omogućit će vam da se riješite uvredljivih pogrešaka i značajno povećate postotak točno riješenih zadataka, na primjer, u slučaju samostalne pripreme za testove ili ispite. Stoga, ako još uvijek niste sigurni u svoje sposobnosti, ako tek počinjete proučavati ovu temu, nemojte žuriti - detaljno opišite svaki korak, zapišite svaki faktor, svaki potez i vrlo brzo ćete naučiti bolje rješavati takve primjere nego mnogi školski učitelji. Nadam se da je ovo jasno. Nabrojimo još nekoliko primjera.

Nekoliko zanimljivih zadataka

Ovaj put, kao što vidimo, trigonometrija je prisutna u izvedenicama koje se izračunavaju. Stoga vas podsjećam na sljedeće:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Naravno, ne možemo bez izvoda kvocijenta, naime:

\[((\lijevo(\frac(f)(g) \desno))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Razmotrimo prvu funkciju:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Dakle, pronašli smo rješenje za ovaj izraz.

Prijeđimo na drugi primjer:

Očito je da će njezina derivacija biti složenija, makar samo zato što je trigonometrija prisutna i u brojniku i u nazivniku ove funkcije. Mi odlučujemo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(x\sin x)(\cos x) \desno))^(\prime ))=\frac(((\lijevo(x\sin x \desno) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Imajte na umu da imamo izvedenicu proizvoda. U ovom slučaju to će biti jednako:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ desno))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Vratimo se našim izračunima. Zapisujemo:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\lijevo(\sin x+x\cos x \desno)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \lijevo(-\sin x \desno) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\lijevo(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \desno))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

To je sve! Izračunali smo.

Kako derivaciju kvocijenta svesti na jednostavnu formulu za derivaciju umnoška?

I ovdje bih želio dati jednu vrlo važnu napomenu koja se tiče trigonometrijskih funkcija. Činjenica je da naša izvorna konstrukcija sadrži izraz u obliku $\frac(\sin x)(\cos x)$, koji se jednostavno može zamijeniti s $tgx$. Dakle, izvodimo kvocijent na jednostavniju formulu za izvod umnoška. Izračunajmo ponovno ovaj primjer i usporedimo rezultate.

Dakle, sada moramo razmotriti sljedeće:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Napišimo ponovno našu izvornu funkciju $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ uzimajući u obzir ovu činjenicu. Dobivamo:

Računajmo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Sada, ako dobiveni rezultat usporedimo s onim što smo ranije dobili kad smo izračunali na drugačiji način, tada ćemo se uvjeriti da smo dobili isti izraz. Dakle, bez obzira na koji način idemo kod izračuna derivacije, ako je sve točno izračunato, odgovor će biti isti.

Važne nijanse pri rješavanju problema

Zaključno, želio bih vam reći još jednu suptilnost u vezi s izračunavanjem derivata kvocijenta. Ono što ću vam sada reći nije bilo u originalnom scenariju video lekcije. Međutim, par sati prije snimanja učio sam s jednim od svojih studenata i baš smo razgovarali o temi kvocijentnih derivata. I, kako se pokazalo, mnogi studenti ne razumiju ovu točku. Dakle, recimo da trebamo izračunati hod uklanjanja sljedeće funkcije:

U principu, na prvi pogled u tome nema ničeg nadnaravnog. Međutim, u procesu izračuna možemo napraviti mnoge glupe i uvredljive pogreške, o kojima bih sada želio razgovarati.

Dakle, izračunavamo ovu derivaciju. Prije svega, napominjemo da imamo izraz $3((x)^(2))$, pa je prikladno podsjetiti se sljedeće formule:

\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Osim toga, imamo i izraz $\frac(48)(x)$ - njime ćemo se baviti kroz izvod kvocijenta, naime:

\[((\lijevo(\frac(f)(g) \desno))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Dakle, odlučimo:

\[(y)"=((\lijevo(\frac(48)(x) \desno))^(\prime ))+((\lijevo(3((x)^(2)) \desno)) ^(\prime ))+10(0)"\]

S prvim terminom nema problema, pogledajte:

\[((\lijevo(3((x)^(2)) \desno))^(\prime ))=3\cdot ((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Ali s prvim članom, $\frac(48)(x)$, trebate raditi odvojeno. Činjenica je da mnogi učenici brkaju situaciju kada trebaju pronaći $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ i kada trebaju pronaći $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Odnosno, zbunjuju se kada je konstanta u nazivniku, a kada je konstanta u brojniku, odnosno kada je varijabla u brojniku ili u nazivniku.

Počnimo s prvom opcijom:

\[((\lijevo(\frac(x)(48) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(1)(48)\cdot x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

S druge strane, ako pokušamo učiniti isto s drugim razlomkom, dobit ćemo sljedeće:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\lijevo(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Međutim, isti bi se primjer mogao izračunati drugačije: u fazi u kojoj smo prešli na izvod kvocijenta, $\frac(1)(x)$ možemo smatrati potencijom s negativnim eksponentom, tj. dobivamo sljedeće :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

I tako, i tako smo dobili isti odgovor.

Tako se još jednom uvjeravamo u dvije važne činjenice. Prvo, ista derivacija može se izračunati na potpuno različite načine. Na primjer, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ može se smatrati i izvodom kvocijenta i izvodom funkcije potencije. Štoviše, ako su svi izračuni izvedeni ispravno, odgovor će uvijek biti isti. Drugo, kada se računaju izvedenice koje sadrže i varijablu i konstantu, bitno je gdje se varijabla nalazi - u brojniku ili u nazivniku. U prvom slučaju, kada je varijabla u brojniku, dobivamo jednostavnu linearnu funkciju koju je lako izračunati. A ako je varijabla u nazivniku, tada dobivamo složeniji izraz s popratnim izračunima danim ranije.

U ovom trenutku lekcija se može smatrati završenom, pa ako ne razumijete ništa o izvedenicama kvocijenta ili proizvoda, i općenito, ako imate bilo kakvih pitanja o ovoj temi, ne oklijevajte - idite na moju web stranicu , pišite, zovite, a ja ću svakako pokušati mogu li vam pomoći.

Derivacije same po sebi nisu složena tema, ali su vrlo opsežne, a ono što sada proučavamo koristit ćemo u budućnosti pri rješavanju složenijih problema. Zato je sve nesporazume vezane uz izračun izvoda kvocijenta ili umnoška bolje identificirati odmah, odmah. Ne kada su golema gruda nesporazuma, nego kada su mala teniska loptica s kojom se lako nositi.

Ako slijedite definiciju, tada je derivacija funkcije u točki granica omjera prirasta funkcije Δ g na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte upotrijebiti ovu formulu za izračunavanje, recimo, izvoda funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, nakon nekoliko stranica izračuna jednostavno ćete zaspati. Stoga postoje jednostavniji i učinkovitiji načini.

Za početak napominjemo da iz čitavog niza funkcija možemo izdvojiti tzv. elementarne funkcije. To su relativno jednostavni izrazi, čije su derivacije odavno izračunate i tablice. Takve je funkcije prilično lako zapamtiti - zajedno s njihovim izvedenicama.

Izvodnice elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve dolje navedene. Derivati ovih funkcija moraju se znati napamet. Štoviše, uopće ih nije teško zapamtiti - zato su elementarne.

Dakle, izvodnice elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Izvedenica
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nula!)
Potencija s racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	−grijeh x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/grijeh 2 x
Prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ul a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži s proizvoljnom konstantom, tada se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Općenito, konstante se mogu uzeti iz predznaka derivacije. Na primjer:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očito, elementarne funkcije se mogu zbrajati jedna drugoj, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, ne više osobito elementarne, već također diferencirane prema određenim pravilima. O ovim pravilima raspravlja se u nastavku.

Derivacija zbroja i razlike

Neka su zadane funkcije f(x) I g(x), čiji su nam derivati poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo govorili gore. Zatim možete pronaći izvod zbroja i razlike ovih funkcija:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbroja (razlike) dviju funkcija jednaka je zbroju (razlici) derivacija. Može biti više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Stoga razlika f − g može se prepisati kao zbroj f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija zbroja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbroj dviju elementarnih funkcija, dakle:

f ’(x) = (x 2 + grijeh x)’ = (x 2)’ + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;

Slično razmišljamo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa gledišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logična znanost, pa mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija zbroja jednaka zbroju derivacija, tada je derivacija umnoška štrajk">jednako umnošku izvedenica. Ali jebite se! Izvodnica umnoška izračunava se pomoću potpuno drugačije formule. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, nego i studenti. Rezultat su netočno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dviju elementarnih funkcija, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− grijeh x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo kompliciraniji, ali opća shema se ne mijenja. Očito, prvi faktor funkcije g(x) je polinom i njegova derivacija je derivacija zbroja. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da se u zadnjem koraku izvod faktorizira. Formalno, to nije potrebno učiniti, ali većina izvedenica se ne izračunava sama za sebe, već radi ispitivanja funkcije. To znači da će se nadalje derivacija izjednačiti s nulom, odrediti njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je faktorizirati izraz.

Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju također možete pronaći izvod:

Nije slabo, ha? Otkud minus? Zašto g 2? I ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez bočice. Stoga je bolje proučiti ga na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija:

Brojnik i nazivnik svakog razlomka sadrže elementarne funkcije, pa sve što nam treba je formula za derivaciju kvocijenta:

Prema tradiciji, faktorizirajmo brojnik - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je preuzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2 + ln x. Sredit će se f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Također ima derivat, ali ga neće biti moguće pronaći korištenjem gore navedenih pravila.

Što da napravim? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x zamjenjuje se sa t(x).

U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s izvodom kvocijenta. Stoga je također bolje objasniti ga na konkretnim primjerima, uz detaljan opis svakog koraka.

Zadatak. Pronađite izvode funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 bit će lako x, tada dobivamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga vršimo zamjenu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Derivaciju složene funkcije tražimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pozor! Izvodimo obrnutu zamjenu: t = 2x+ 3. Dobivamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sada pogledajmo funkciju g(x). Očito ga treba zamijeniti x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (grijeh t)’ · t’ = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2 + ln x. Zatim:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje izvoda zbroja.

Odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) jer ( x 2 + ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama, umjesto izraza "derivacija", koristim riječ "prim". Na primjer, udarac zbroja jednak je zbroju udaraca. Jel to jasnije? Pa to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata svodi se na uklanjanje tih istih udaraca prema gore razmotrenim pravilima. Kao posljednji primjer, vratimo se na derivaciju potencije s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0,5. Što ako ispod korijena postoji nešto otmjeno? Opet, rezultat će biti složena funkcija - vole davati takve konstrukcije na testovima i ispitima.

Zadatak. Pronađite izvod funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao potenciju s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Derivaciju nalazimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Napravimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Na kraju, povratak korijenima:

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o derivatima za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.

Neka su funkcije u definirane u nekoj okolini točke i neka imaju izvodnice u točki. Tada njihov umnožak ima izvod u točki, koji je određen formulom:
(1) .

Dokaz

Uvedimo sljedeću oznaku:
;
.
Ovdje i su funkcije varijabli i . Ali radi lakšeg bilježenja, izostavit ćemo oznake njihovih argumenata.

Zatim to primjećujemo
;
.
Prema uvjetu, funkcije i imaju derivacije u točki, a to su sljedeće granice:
;
.
Iz postojanja izvodnica slijedi da su funkcije i neprekidne u točki. Zato
;
.

Promotrimo funkciju y varijable x, koja je umnožak funkcija i:
.
Razmotrimo prirast ove funkcije u točki:

.
Sada nalazimo izvod:

.

Tako,
.
Pravilo je dokazano.

Umjesto varijable možete koristiti bilo koju drugu varijablu. Označimo to kao x. Tada ako postoje derivacije i , tada je derivacija umnoška dviju funkcija određena formulom:
.
Ili u kraćoj verziji
(1) .