Formula površine trokuta koja se temelji na dvije strane. Površina trokuta

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najjednostavnija i najčešće korištena je da se visina pomnoži s duljinom baze i zatim rezultat podijeli s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta pomoću različitih formula.

Zasebno ćemo pogledati načine za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njezinu bit.

Univerzalne metode za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrirat ćemo svaki od njih:

• a, b, c – duljine triju stranica figure koju razmatramo;
• r je polumjer kruga koji se može upisati u naš trokut;
• R je polumjer kruga koji se može opisati oko njega;
• α je veličina kuta koji čine stranice b i c;
• β je veličina kuta između a i c;
• γ je veličina kuta koji čine stranice a i b;
• h je visina našeg trokuta, spuštena od kuta α na stranu a;
• p – polovica zbroja stranica a, b i c.

Logično je jasno zašto možete pronaći područje trokuta na ovaj način. Trokut se lako može dovršiti u paralelogram, u kojem će jedna stranica trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem duljine jedne od njegovih stranica s vrijednošću visine nacrtane na nju. Dijagonala dijeli ovaj uvjetni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da površina našeg izvornog trokuta mora biti jednaka polovici površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta nalazi se množenjem duljina njegovih dviju stranica, to jest a i b, sa sinusom kuta koji one čine. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Spustimo li visinu s kuta β na stranicu b, tada, prema svojstvima pravokutnog trokuta, kad pomnožimo duljinu stranice a sa sinusom kuta γ, dobivamo visinu trokuta, odnosno h .

Područje dotične figure nalazi se množenjem polovice polumjera kruga koji se u njega može upisati s njegovim opsegom. Drugim riječima, nalazimo umnožak polumjera i polumjera spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se pronaći dijeljenjem umnoška stranica figure s 4 radijusa kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne jer omogućuju određivanje površine bilo kojeg trokuta (razmjerni, jednakokračni, jednakostranični, pravokutni). To se može učiniti pomoću složenijih izračuna, na kojima se nećemo detaljnije zadržavati.

Površine trokuta s određenim svojstvima

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Osobitost ove figure je u tome što su njene dvije strane istovremeno i visine. Ako su a i b katete, a c postaje hipotenuza, tada područje nalazimo ovako:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta? Ima dvije stranice duljine a i jednu stranicu duljine b. Prema tome, njegova se površina može odrediti dijeljenjem s 2 umnoška kvadrata stranice a sa sinusom kuta γ.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta? U njemu je duljina svih stranica jednaka a, a veličina svih kutova α. Njegova visina jednaka je polovici umnoška duljine stranice a i kvadratnog korijena od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom od 3 i podijeliti s 4.

Ponekad u životu postoje situacije kada morate zadubiti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, trebate odrediti površinu parcele trokutastog oblika ili je došlo vrijeme za još jednu obnovu u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu s trokutasti oblik. Bilo je vrijeme kada ste mogli riješiti takav problem u nekoliko minuta, ali sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne brini za to! Uostalom, sasvim je normalno kada čovjekov mozak odluči prenijeti dugo neiskorišteno znanje negdje u zabačeni kutak, odakle ga ponekad nije tako lako izvući. Kako se ne biste morali mučiti s traženjem zaboravljenog školskog znanja za rješavanje takvog problema, ovaj članak sadrži različite metode koje olakšavaju pronalaženje tražene površine trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta mnogokuta koji je ograničen na najmanji mogući broj stranica. U načelu, bilo koji mnogokut može se podijeliti na nekoliko trokuta spajanjem njegovih vrhova segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, znajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trokutima koji se pojavljuju u životu mogu se razlikovati sljedeći posebni tipovi: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih kutova prav, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to polovica pravokutnika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnoška stranica koje međusobno tvore pravi kut.

Ako znamo visinu trokuta, spuštenu s jednog od njegovih vrhova na suprotnu stranu, i duljinu te stranice, koja se naziva baza, tada se površina izračunava kao polovica umnoška visine i baze. Ovo je napisano pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je potrebna površina trokuta;

b, h - odnosno visina i baza trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i može se lako izmjeriti. Ako je područje određeno, tada je prikladno uzeti duljinu jedne od stranica koje čine pravi kut kao visinu.

Sve je to naravno dobro, ali kako odrediti je li jedan od kutova trokuta pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, tada možemo koristiti konstrukcijski kut, trokut za crtanje, razglednicu ili neki drugi predmet pravokutnog oblika.

Ali što ako imamo trokutastu parcelu? U tom slučaju postupite na sljedeći način: od vrha pretpostavljenog pravog kuta na jednoj strani izmjerite udaljenost višekratnik 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani izmjerite udaljenost višekratnik 4 u istoj proporcija (40 cm, 160 cm, 4 m). Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih točaka ova dva segmenta. Ako je rezultat višekratnik broja 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), tada možemo reći da je kut pravi.

Ako je poznata duljina svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Kako bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluperimetar. Ovo je zbroj svih strana našeg trokuta, podijeljen na pola. Nakon što je izračunat poluperimetar, možete početi s određivanjem površine pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

sqrt - kvadratni korijen;

p - vrijednost poluperimetra (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - rubovi (stranice) trokuta.

Ali što ako trokut ima nepravilan oblik? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takvu figuru u dva pravokutna trokuta, čiji se zbroj površina izračunava zasebno, a zatim zbraja. Ili, ako su poznati kut između dviju stranica i veličina tih stranica, primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trokuta;

c je veličina kuta između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak, sve je moguće u životu, tako da gornja formula neće biti suvišna. Sretno s izračunima!

Kako slijedi:

S = ½ * a * h,

Gdje:
S – površina trokuta,
a je duljina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Duljina i visina stranice moraju biti prikazane u istim mjernim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se dobiti u odgovarajućim jedinicama " ".

Primjer.
Na jednu stranicu skalenskog trokuta duljine 20 cm spuštena je okomica iz suprotnog vrha duljine 10 cm.
Potrebno je područje trokuta.
Riješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako su poznate duljine bilo koje dvije stranice razmjernog trokuta i kut između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b duljine dviju proizvoljnih stranica, a γ vrijednost kuta između njih.

U praksi, na primjer, pri mjerenju površine zemlje, korištenje gornjih formula ponekad je teško, jer zahtijeva dodatnu konstrukciju i mjerenje kutova.

Ako znate duljine sve tri stranice razmjernog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – duljine stranica trokuta,
p – poluopseg: p = (a+b+c)/2.

Ako je uz duljine svih stranica poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, tada se koristi sljedeća kompaktna formula:

gdje je: r – radijus upisane kružnice (r – poluopseg).

Da biste izračunali površinu razmjernog trokuta pomoću polumjera opisane kružnice i duljine njegovih stranica, upotrijebite formulu:

gdje je: R – polumjer opisane kružnice.

Ako je poznata duljina jedne od stranica trokuta i vrijednosti tri kuta (u principu su dovoljna dva - vrijednost trećeg izračunava se iz jednakosti zbroja triju kutova trokuta - 180º), zatim upotrijebite formulu:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost kuta nasuprot stranici a;
β, γ – vrijednosti preostala dva kuta trokuta.

Pravilni trokut je trokut s tri jednake stranice. Ima sljedeća svojstva: sve stranice pravilnog trokuta su međusobno jednake, a svi kutovi jednaki su 60 stupnjeva. Pravilni trokut je jednakokračan.

Trebat će vam

• Poznavanje geometrije.

upute

Neka je dana stranica pravilnog trokuta duljine a=7. Poznavajući stranu takvog trokuta, lako možete izračunati njegovu površinu. Za to se koristi sljedeće: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Zamijenimo vrijednost a=7 u ovu formulu i dobijemo sljedeće: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Tako smo utvrdili da je površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom a=7 jednaka S=20,82.

Ako je zadan polumjer kruga, izgledat će ovako:
S = 3*3^(1/2)*r^2, gdje je r polumjer upisane kružnice. Neka je polumjer upisane kružnice r=4. Zamijenimo ga u prethodno napisanu formulu i dobijemo sljedeći izraz: S = 3*1,7*4*4 = 81,6. To jest, ako je polumjer upisane kružnice jednak 4, površina jednakostraničnog trokuta bit će jednaka 81,6.

S poznatim polumjerom opisane kružnice, formula za površinu trokuta izgleda ovako: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, gdje je R polumjer opisane kružnice . Pretpostavimo da je R=5, zamijenimo ovu vrijednost u formulu: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Ispada da je s radijusom opisane kružnice jednakim 5, površina trokuta 31,9.

Bilješka

Površina trokuta je uvijek pozitivna, kao i duljina stranice trokuta i polumjeri upisane i opisane kružnice.

Koristan savjet

Polumjer upisane i opisane kružnice u jednakostraničnom trokutu razlikuje se za faktor dva, znajući to, možete se sjetiti samo jedne formule, na primjer, kroz polumjer upisane kružnice, i izvesti drugu, znajući ovu izjavu.

Ako je poznata duljina jedne od stranica trokuta i vrijednosti susjednih kutova, njegova se površina može izračunati na nekoliko načina. Svaka od formula za izračun uključuje korištenje trigonometrijskih funkcija, ali to ne bi trebalo biti zastrašujuće - da biste ih izračunali, dovoljno je imati pristup Internetu, a da ne spominjemo prisutnost ugrađenog kalkulatora u operacijskom sustavu.

upute

Prva opcija za izračunavanje površine (S) iz poznate duljine jedne od stranica (A) i vrijednosti susjednih kutova (α i β) uključuje izračunavanje ovih kutova. Površina će u ovom slučaju biti kvadrat duljine poznate stranice, podijeljen s dvostrukim kotangensima poznatih kutova: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Na primjer, ako je duljina poznate stranice 15 cm, a susjedni kutovi su 40° i 60°, tada će izračun površine izgledati ovako: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 kvadratnih centimetara.

Druga opcija za izračun površine koristi sinuse poznatih kutova umjesto kotangenata. U ovoj verziji, površina je jednaka kvadratu duljine poznate stranice, pomnoženoj sa sinusima svakog od kutova i podijeljenoj s dvostrukim sinusom zbroja ovih kutova: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Na primjer, za isti trokut s poznatom stranicom od 15 cm i susjednim kutovima od 40° i 60°, izračun površine izgledat će ovako: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 kvadratnih centimetara.

Treća opcija za izračunavanje površine trokuta koristi tangente kutova. Površina će biti jednaka kvadratu duljine poznate stranice, pomnoženoj s tangentama svakog od kutova i podijeljenom s dvostrukim zbrojem tangenti ovih kutova: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β)). Na primjer, za trokut korišten u prethodnim koracima sa stranicom od 15 cm i susjednim kutovima od 40° i 60°, izračun površine izgledat će ovako: (15*15*tg(40)*tg(60 ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1,11721493)*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 kvadratnih centi metara.

Praktični izračuni mogu se napraviti, na primjer, pomoću kalkulatora tražilice Google. Da biste to učinili, samo zamijenite numeričke vrijednosti u formule i unesite ih u polje upita za pretraživanje.

Savjet 4: Kako pronaći površinu trokuta i pravokutnika

Trokut i pravokutnik dva su najjednostavnija ravna geometrijska lika u euklidskoj geometriji. Unutar perimetara koje tvore strane ovih poligona postoji određeni dio ravnine, čija se površina može odrediti na mnogo načina. Izbor metode u svakom konkretnom slučaju ovisit će o poznatim parametrima figura.

Površina geometrijske figure- numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine ograničen zatvorenom konturom ove figure). Veličina površine izražena je brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Formule površine trokuta

1. Formula za površinu trokuta prema stranici i visini
   Površina trokuta jednak polovici umnoška duljine stranice trokuta i duljine visine povučene na tu stranicu
   
2. Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru opisane kružnice
   
3. Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru upisane kružnice
   Površina trokuta jednak je umnošku polumjera trokuta i polumjera upisane kružnice.
   
gdje je S površina trokuta,
- duljine stranica trokuta,
- visina trokuta,
- kut između stranica i,
- radijus upisane kružnice,
R - polumjer opisane kružnice,

Formule kvadratne površine

1. Formula za površinu kvadrata prema duljini stranice
   Kvadratna površina jednaka kvadratu duljine njegove stranice.
2. Formula za površinu kvadrata duž dijagonalne duljine
   Kvadratna površina jednaka polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.
   

   S=	1	2
   	2

gdje je S površina kvadrata,
- duljina stranice kvadrata,
- duljina dijagonale kvadrata.

Formula površine pravokutnika

Površina pravokutnika jednak umnošku duljina njegovih dviju susjednih stranica

gdje je S površina pravokutnika,
- duljine stranica pravokutnika.

Formule površine paralelograma

1. Formula za površinu paralelograma na temelju duljine stranice i visine
   Površina paralelograma
2. Formula za površinu paralelograma koja se temelji na dvjema stranicama i kutu između njih
   Površina paralelograma jednak je umnošku duljina njegovih stranica pomnoženih sa sinusom kuta između njih.
   

   a b sin α

gdje je S površina paralelograma,
- duljine stranica paralelograma,
- duljina visine paralelograma,
- kut između stranica paralelograma.

Formule za površinu romba

1. Formula za površinu romba na temelju duljine i visine stranice
   Površina romba jednaka je umnošku duljine njegove stranice i duljine visine spuštene na tu stranu.
2. Formula za površinu romba na temelju duljine stranice i kuta
   Površina romba jednak je umnošku kvadrata duljine njegove stranice i sinusa kuta između stranica romba.
3. Formula za površinu romba na temelju duljina njegovih dijagonala
   Površina romba jednak polovici umnoška duljina njegovih dijagonala.
gdje je S površina romba,
- duljina stranice romba,
- duljina visine romba,
- kut između stranica romba,
1, 2 - duljine dijagonala.

Formule površine trapeza

1. Heronova formula za trapez

   Gdje je S površina trapeza,
   - duljine osnovica trapeza,
   - duljine stranica trapeza,
   

Pojam područja

Koncept područja bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s figurom kao što je kvadrat. Za jedinicu površine bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi cjelovitosti, podsjetimo se na dva osnovna svojstva za pojam površina geometrijskih figura.

Svojstvo 1: Ako su geometrijski likovi jednaki, jednake su im i površine.

Svojstvo 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju površina svih njegovih sastavnih figura.

Pogledajmo primjer.

Primjer 1

Očito je da je jedna od stranica trokuta dijagonala pravokutnika čija je jedna stranica duljine $5$ (budući da ima $5$ ćelija), a druga je $6$ (budući da ima $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovici takvog pravokutnika. Površina pravokutnika je

Tada je površina trokuta jednaka

Odgovor: 15 dolara.

Zatim ćemo razmotriti nekoliko metoda za pronalaženje područja trokuta, naime pomoću visine i baze, pomoću Heronove formule i površine jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta pomoću njegove visine i baze

Teorem 1

Površina trokuta može se pronaći kao polovica umnoška duljine stranice i visine te stranice.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ duljina stranice, $h$ je visina povučena na nju.

Dokaz.

Promotrimo trokut $ABC$ u kojem je $AC=α$. Ovoj stranici je povučena visina $BH$ koja je jednaka $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravokutnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravokutnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Zatim

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Stoga je tražena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem je dokazan.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na slici ispod ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnovica ovog trokuta jednaka je $9$ (budući da je $9$ kvadrat od $9$). Visina je također $9$. Tada, prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 dolara.

Heronova formula

Teorem 2

Ako su nam dane tri stranice trokuta $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može pronaći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ znači poluopseg ovog trokuta.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trokuta $ABH$ dobivamo

Iz trokuta $CBH$, prema Pitagorinom teoremu, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobivamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Budući da je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, što znači

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$