Primjeri iracionalnih brojeva. Racionalni i iracionalni brojevi: opis i po čemu se razlikuju? Brojevi nisu iracionalni

Iracionalan broj- Ovo pravi broj, koji nije racionalan, odnosno ne može se prikazati kao razlomak, gdje su cijeli brojevi, . Iracionalan broj može se prikazati kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak.

Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim latiničnim slovom masnim slovima bez sjenčanja. Dakle: , tj. postoji mnogo iracionalnih brojeva razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

O postojanju iracionalnih brojeva, točnije segmente nesumjerljive s odsječkom jedinične duljine poznavali su već stari matematičari: poznavali su, na primjer, nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je jednako iracionalnosti broja.

Svojstva

• Bilo koji realni broj može se napisati kao beskonačni decimalni razlomak, dok se iracionalni brojevi i samo oni pišu kao neperiodični beskonačni decimalni razlomci.
• Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove rezove u skupu racionalnih brojeva koji nemaju najveći broj u nižoj klasi i nemaju najmanji broj u višoj klasi.
• Svaki realni transcendentalni broj je iracionalan.
• Svaki iracionalan broj je ili algebarski ili transcendentalan.
• Skup iracionalnih brojeva je posvuda na brojevnom pravcu gust: između bilo koja dva broja nalazi se iracionalan broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentalnih brojeva.
• Skup iracionalnih brojeva je neprebrojiv i skup je druge kategorije.

Primjeri

Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Korijen od 2

Pretpostavimo suprotno: racionalan je, to jest, predstavljen je u obliku nesvodivog razlomka, gdje je cijeli broj, a prirodan broj. Kvadriramo pretpostavljenu jednakost:

Slijedi da je čak i . Neka bude tamo gdje je cjelina. Zatim

Prema tome, čak znači čak i . Utvrdili smo da su i čak, što je u suprotnosti s nesvodljivošću razlomka . To znači da je izvorna pretpostavka bila netočna i da se radi o iracionalnom broju.

Binarni logaritam broja 3

Pretpostavimo suprotno: racionalan je, to jest, predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se odabrati da bude pozitivan. Zatim

Ali par i nepar. Dobivamo kontradikciju.

e

Priča

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. stoljeću pr. Kr., kada je Manava (oko 750. pr. Kr. - oko 690. pr. Kr.) shvatio da se kvadratni korijeni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti .

Prvi dokaz o postojanju iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu iz Metaponta (oko 500. pr. Kr.), pitagorejcu koji je ovaj dokaz pronašao proučavajući duljine stranica pentagrama. U vrijeme pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja ulazi u bilo koji segment cijeli broj puta. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica za duljinu, budući da pretpostavka o njezinom postojanju dovodi do kontradikcije. Pokazao je da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trokuta sadrži cijeli broj jediničnih odsječaka, tada taj broj mora biti i paran i neparan. Dokaz je izgledao ovako:

• Omjer duljine hipotenuze i duljine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, Gdje a I b izabran kao najmanji mogući.
• Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
• Jer a- čak, a mora biti paran (jer bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
• Jer a:b nesvodljiv b mora biti neparan.
• Jer ačak, označavamo a = 2g.
• Zatim a² = 4 g² = 2 b².
• b² = 2 g², dakle b- čak i onda bčak.
• Međutim, dokazano je da b neparan. Kontradikcija.

Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesamjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendama nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira koji poriče doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere." Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim slovom Ja (\displaystyle \mathbb (I) ) u odvažnom stilu bez sjenčanja. Tako: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \obrnuta kosa crta \mathbb (Q) ), odnosno skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Postojanje iracionalnih brojeva, točnije odsječaka nesumjerljivih s odsječkom jedinične duljine, znali su već stari matematičari: poznavali su, primjerice, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je jednako iracionalnosti broj.

Enciklopedijski YouTube

• 1 / 5

  Iracionalni su:

  Primjeri dokaza iracionalnosti

  Korijen od 2

  Pretpostavimo suprotno: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalan, odnosno predstavljen kao razlomak m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Gdje m (\displaystyle m) je cijeli broj, i n (\displaystyle n)- prirodni broj.

  Kvadriramo pretpostavljenu jednakost:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Priča

  Antika

  Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. stoljeću pr. Kr., kada je Manava (oko 750. pr. Kr. - oko 690. pr. Kr.) shvatio da se kvadratni korijeni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti [ ] .

  Prvi dokaz o postojanju iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu iz Metaponta (oko 500. pr. Kr.), pitagorejcu. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja uključuje cijeli broj puta u bilo kojem segmentu [ ] .

  Ne postoje točni podaci o tome koji je broj Hipas dokazao iracionalnim. Prema legendi, pronašao ga je proučavajući duljine stranica pentagrama. Stoga je razumno pretpostaviti da je to bio zlatni rez [ ] .

  Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesamjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendama nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira koji poriče doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere." Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

  A svoje korijene vuku iz latinske riječi "ratio", što znači "razlog". Na temelju doslovnog prijevoda:

  • Racionalan broj je "razuman broj".
  • Iracionalan broj je, prema tome, "nerazuman broj".

  Opći pojam racionalnog broja

  Racionalan broj je broj koji se može napisati kao:

  1. Obični pozitivni razlomak.
  2. Negativni obični razlomak.
  3. Kao broj nula (0).

  

  Drugim riječima, sljedeće definicije vrijede za racionalan broj:

  • Svaki prirodni broj je inherentno racionalan, budući da se svaki prirodni broj može prikazati kao običan razlomak.
  • Bilo koji cijeli broj, uključujući broj nula, budući da se svaki cijeli broj može napisati ili kao pozitivan obični razlomak, kao negativan obični razlomak ili kao broj nula.
  • Svaki obični razlomak, bez obzira je li pozitivan ili negativan, također se izravno približava definiciji racionalnog broja.
  • Definicija također može uključivati ​​mješoviti broj, konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak.

  Primjeri racionalnih brojeva

  Pogledajmo primjere racionalnih brojeva:

  • Prirodni brojevi - "4", "202", "200".
  • Cijeli brojevi - “-36”, “0”, “42”.
  • Obični razlomci.

  Iz navedenih primjera sasvim je očito da racionalni brojevi mogu biti i pozitivni i negativni. Naravno, broj 0 (nula), koji je također racionalan broj, ujedno ne pripada kategoriji pozitivnog ili negativnog broja.

  Stoga bih želio podsjetiti na općeobrazovni program koristeći sljedeću definiciju: „Racionalni brojevi“ su oni brojevi koji se mogu napisati kao razlomak x/y, gdje je x (brojnik) cijeli broj, a y (nazivnik) je prirodni broj.

  Opći pojam i definicija iracionalnog broja

  Osim “racionalnih brojeva” poznajemo i takozvane “iracionalne brojeve”. Pokušajmo ukratko definirati te brojke.

  Čak su i stari matematičari, želeći izračunati dijagonalu kvadrata duž njegovih stranica, saznali za postojanje iracionalnog broja.
  Na temelju definicije racionalnih brojeva možete izgraditi logički lanac i dati definiciju iracionalnog broja.
  Dakle, u biti, oni realni brojevi koji nisu racionalni jednostavno su iracionalni brojevi.
  Decimalni razlomci, koji izražavaju iracionalne brojeve, nisu periodični i beskonačni.
  
  

  Primjeri iracionalnog broja

  Radi jasnoće, razmotrimo mali primjer iracionalnog broja. Kao što smo već shvatili, beskonačni decimalni neperiodični razlomci nazivaju se iracionalnim, na primjer:

  • Broj “-5.020020002... (jasno je vidljivo da su dvojke odvojene nizom od jedne, dvije, tri itd. nula)
  • Broj “7.040044000444... (ovdje je jasno da se broj četvorki i broj nula svaki put u lancu povećava za jedan).
  • Svima je poznat broj Pi (3,1415...). Da, da - također je iracionalno.

  Općenito, svi realni brojevi su i racionalni i iracionalni. Jednostavnije rečeno, iracionalan broj ne može se predstaviti kao obični razlomak x/y.

  Opći zaključak i kratka usporedba brojeva

  Gledali smo svaki broj zasebno, ali razlika između racionalnog broja i iracionalnog broja ostaje:

  1. Iracionalan broj se javlja kod vađenja kvadratnog korijena, kod dijeljenja kruga s njegovim promjerom itd.
  2. Racionalan broj predstavlja obični razlomak.

  Zaključimo naš članak s nekoliko definicija:

  • Aritmetička operacija izvedena na racionalnom broju, osim dijeljenja s 0 (nula), u konačnici će dovesti do racionalnog broja.
  • Konačni rezultat, kada se izvodi aritmetička operacija na iracionalnom broju, može dovesti i do racionalne i do iracionalne vrijednosti.
  • Ako oba broja sudjeluju u aritmetičkoj operaciji (osim dijeljenja ili množenja s nulom), tada će rezultat biti iracionalan broj.

  Primjer:
  \(4\) je racionalan broj, jer se može napisati kao \(\frac(4)(1)\) ;
  \(0,0157304\) je također racionalan, jer se može napisati u obliku \(\frac(157304)(10000000)\) ;
  \(0,333(3)...\) - a ovo je racionalan broj: može se predstaviti kao \(\frac(1)(3)\) ;
  \(\sqrt(\frac(3)(12))\) je racionalan, budući da se može prikazati kao \(\frac(1)(2)\) . Doista, možemo izvesti lanac transformacija \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

  
  

  Iracionalan broj je broj koji se ne može napisati kao razlomak s cijelim brojnikom i nazivnikom.

  Nemoguće je jer je beskrajan razlomci, pa čak i neperiodični. Dakle, ne postoje cijeli brojevi koji bi, kada se međusobno dijele, dali iracionalan broj.

  Primjer:
  \(\sqrt(2)≈1,414213562…\) je iracionalan broj;
  \(π≈3,1415926… \) je iracionalan broj;
  \(\log_(2)(5)≈2,321928…\) je iracionalan broj.

  
  

  Primjer (Zadatak iz OGE). Značenje kojeg od izraza je racionalan broj?
  1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
  2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

  Riješenje:

  1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – ne može se uzeti korijen \(14\), što znači Također je nemoguće predstaviti broj kao razlomak s cijelim brojevima, stoga je broj iracionalan.

  2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – nema preostalih korijena, broj se lako može prikazati kao razlomak, na primjer \(\frac(-5)(1)\), što znači da je racionalan.

  3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – ne može se izvući korijen - broj je iracionalan.

  4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) također je iracionalan.

  Definicija iracionalnog broja

  Iracionalni brojevi su oni brojevi koji u decimalnom zapisu predstavljaju beskonačne neperiodične decimalne razlomke.

  
  
  

  Tako su, primjerice, brojevi dobiveni vađenjem kvadratnog korijena iz prirodnih brojeva iracionalni i nisu kvadrati prirodnih brojeva. Ali nisu svi iracionalni brojevi dobiveni vađenjem kvadratnog korijena, jer je broj pi dobiven dijeljenjem također iracionalan, a teško da ćete ga dobiti pokušajem vađenja kvadratnog korijena prirodnog broja.

  Svojstva iracionalnih brojeva

  Za razliku od brojeva zapisanih kao beskonačne decimale, samo iracionalni brojevi se pišu kao neperiodične beskonačne decimale.
  Zbroj dvaju nenegativnih iracionalnih brojeva može na kraju biti racionalan broj.
  Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove rezove u skupu racionalnih brojeva, u čijoj nižoj klasi nema najvećeg broja, a u višoj klasi nema manjeg.
  Svaki realni transcendentalni broj je iracionalan.
  Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentalni.
  Skup iracionalnih brojeva na liniji je gusto smješten, a između bilo koja dva njegova broja sigurno se nalazi iracionalan broj.
  Skup iracionalnih brojeva je beskonačan, neprebrojiv i skup je 2. kategorije.
  Prilikom izvođenja bilo koje aritmetičke operacije s racionalnim brojevima, osim dijeljenja s 0, rezultat će biti racionalan broj.
  Kada racionalan broj zbrajamo iracionalnom broju, rezultat je uvijek iracionalan broj.
  Kada zbrajamo iracionalne brojeve, možemo dobiti racionalan broj.
  Skup iracionalnih brojeva nije paran.
  

  Brojevi nisu iracionalni

  Ponekad je prilično teško odgovoriti na pitanje je li broj iracionalan, posebno u slučajevima kada je broj u obliku decimalnog razlomka ili u obliku numeričkog izraza, korijena ili logaritma.

  Stoga neće biti suvišno znati koji brojevi nisu iracionalni. Ako slijedimo definiciju iracionalnih brojeva, tada već znamo da racionalni brojevi ne mogu biti iracionalni.

  Iracionalni brojevi nisu:

  Prvo, svi prirodni brojevi;
  Drugo, cijeli brojevi;
  Treće, obični razlomci;
  Četvrto, različiti mješoviti brojevi;
  Peto, to su beskonačni periodični decimalni razlomci.
  

  Uz sve navedeno, iracionalan broj ne može biti niti jedna kombinacija racionalnih brojeva koja se izvodi predznacima računskih operacija, kao što su +, -, , :, jer će i u tom slučaju rezultat dva racionalna broja biti racionalan broj.

  Sada da vidimo koji su brojevi iracionalni:

  
  
  

  Znate li za postojanje kluba obožavatelja u kojem obožavatelji ovog tajanstvenog matematičkog fenomena traže sve više informacija o broju Pi, pokušavajući razotkriti njegovu misteriju? Članom ovog kluba može postati svaka osoba koja zna napamet određeni broj Pi brojeva iza decimalne točke;

  Jeste li znali da se u Njemačkoj, pod zaštitom UNESCO-a, nalazi palača Castadel Monte, zahvaljujući čijim proporcijama možete izračunati broj Pi. Kralj Fridrik II posvetio je cijelu palaču ovom broju.

  Ispostavilo se da su pokušali koristiti broj Pi u izgradnji Babilonske kule. No, nažalost, to je dovelo do kolapsa projekta, jer u to vrijeme točan izračun vrijednosti Pi nije bio dovoljno proučen.

  Pjevačica Kate Bush na svom novom disku snimila je pjesmu pod nazivom "Pi", u kojoj se čuju stotinu dvadeset i četiri broja iz poznatog niza brojeva 3, 141...