2 je iracionalan broj. Iracionalni brojevi, definicija, primjeri

Skup svih prirodnih brojeva označavamo slovom N. Prirodni brojevi su brojevi kojima brojimo predmete: 1,2,3,4, ... U nekim se izvorima prirodnim brojem smatra i broj 0.

Skup svih cijelih brojeva označava se slovom Z. Cijeli brojevi su svi prirodni brojevi, nula i negativni brojevi:

1,-2,-3, -4, …

Dodajmo sada skupu svih cijelih brojeva skup svih običnih razlomaka: 2/3, 18/17, -4/5 i tako dalje. Tada dobivamo skup svih racionalnih brojeva.

Skup racionalnih brojeva

Skup svih racionalnih brojeva označava se slovom Q. Skup svih racionalnih brojeva (Q) je skup koji se sastoji od brojeva oblika m/n, -m/n i broja 0. Svaki prirodni broj može djelovati kao n,m. Treba napomenuti da se svi racionalni brojevi mogu prikazati kao konačni ili beskonačni PERIODIČNI decimalni razlomak. Također vrijedi i obrnuto da se svaki konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak može napisati kao racionalan broj.

Ali što je s, primjerice, brojem 2,0100100010...? To je beskonačno NEPERIODIČNI decimalni razlomak. I ne odnosi se na racionalne brojeve.

U školskom tečaju algebre proučavaju se samo realni (ili stvarni) brojevi. Skup svih realnih brojeva označavamo slovom R. Skup R čine svi racionalni i svi iracionalni brojevi.

Pojam iracionalnih brojeva

Iracionalni brojevi su svi beskonačni decimalni neperiodični razlomci. Iracionalni brojevi nemaju posebno označavanje.

Na primjer, svi brojevi dobiveni vađenjem kvadratnog korijena prirodnih brojeva koji nisu kvadrati prirodnih brojeva bit će iracionalni. (√2, √3, √5, √6, itd.).

Ali nemojte misliti da se iracionalni brojevi dobivaju samo vađenjem kvadratnih korijena. Na primjer, broj "pi" također je iracionalan, a dobiva se dijeljenjem. I koliko god se trudili, ne možete ga dobiti vađenjem kvadratnog korijena bilo kojeg prirodnog broja.

A svoje korijene vuku iz latinske riječi "ratio", što znači "razlog". Na temelju doslovnog prijevoda:

• Racionalan broj je "razuman broj".
• Iracionalan broj je, prema tome, "nerazuman broj".

Opći pojam racionalnog broja

Racionalan broj je broj koji se može napisati kao:

1. Obični pozitivni razlomak.
2. Negativni obični razlomak.
3. Kao broj nula (0).

Drugim riječima, sljedeće definicije vrijede za racionalan broj:

• Svaki prirodni broj je inherentno racionalan, budući da se svaki prirodni broj može prikazati kao običan razlomak.
• Bilo koji cijeli broj, uključujući broj nula, budući da se svaki cijeli broj može napisati ili kao pozitivan obični razlomak, kao negativan obični razlomak ili kao broj nula.
• Svaki obični razlomak, bez obzira je li pozitivan ili negativan, također se izravno približava definiciji racionalnog broja.
• Definicija također može uključivati ​​mješoviti broj, konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak.

Primjeri racionalnih brojeva

Pogledajmo primjere racionalnih brojeva:

• Prirodni brojevi - "4", "202", "200".
• Cijeli brojevi - “-36”, “0”, “42”.
• Obični razlomci.

Iz navedenih primjera sasvim je očito da racionalni brojevi mogu biti i pozitivni i negativni. Naravno, broj 0 (nula), koji je također racionalan broj, ujedno ne pripada kategoriji pozitivnog ili negativnog broja.

Stoga bih želio podsjetiti na općeobrazovni program koristeći sljedeću definiciju: „Racionalni brojevi“ su oni brojevi koji se mogu napisati kao razlomak x/y, gdje je x (brojnik) cijeli broj, a y (nazivnik) je prirodni broj.

Opći pojam i definicija iracionalnog broja

Osim “racionalnih brojeva” poznajemo i takozvane “iracionalne brojeve”. Pokušajmo ukratko definirati te brojke.

Čak su i stari matematičari, želeći izračunati dijagonalu kvadrata duž njegovih stranica, saznali za postojanje iracionalnog broja.
Na temelju definicije racionalnih brojeva možete izgraditi logički lanac i dati definiciju iracionalnog broja.
Dakle, u biti, oni realni brojevi koji nisu racionalni jednostavno su iracionalni brojevi.
Decimalni razlomci, koji izražavaju iracionalne brojeve, nisu periodični i beskonačni.

Primjeri iracionalnog broja

Radi jasnoće, razmotrimo mali primjer iracionalnog broja. Kao što smo već shvatili, beskonačni decimalni neperiodični razlomci nazivaju se iracionalnim, na primjer:

• Broj “-5.020020002... (jasno je vidljivo da su dvojke odvojene nizom od jedne, dvije, tri itd. nula)
• Broj “7.040044000444... (ovdje je jasno da se broj četvorki i broj nula svaki put u lancu povećava za jedan).
• Svima je poznat broj Pi (3,1415...). Da, da - također je iracionalno.

Općenito, svi realni brojevi su i racionalni i iracionalni. Jednostavnije rečeno, iracionalan broj ne može se predstaviti kao obični razlomak x/y.

Opći zaključak i kratka usporedba brojeva

Gledali smo svaki broj zasebno, ali razlika između racionalnog broja i iracionalnog broja ostaje:

1. Iracionalan broj se javlja kod vađenja kvadratnog korijena, kod dijeljenja kruga s njegovim promjerom itd.
2. Racionalan broj predstavlja obični razlomak.

Zaključimo naš članak s nekoliko definicija:

• Aritmetička operacija izvedena na racionalnom broju, osim dijeljenja s 0 (nula), u konačnici će dovesti do racionalnog broja.
• Konačni rezultat, kada se izvodi aritmetička operacija na iracionalnom broju, može dovesti i do racionalne i do iracionalne vrijednosti.
• Ako oba broja sudjeluju u aritmetičkoj operaciji (osim dijeljenja ili množenja s nulom), tada će rezultat biti iracionalan broj.

Svi racionalni brojevi mogu se prikazati kao obični razlomak. Ovo se odnosi na cijele brojeve (na primjer, 12, –6, 0) i konačne decimalne razlomke (na primjer, 0,5; –3,8921) i beskonačne periodične decimalne razlomke (na primjer, 0,11(23); –3 ,(87) )).

Međutim beskonačne neperiodične decimale ne mogu se prikazati kao obični razlomci. To su oni iracionalni brojevi(odnosno iracionalno). Primjer takvog broja je broj π, koji je približno jednak 3,14. Međutim, ne može se utvrditi čemu je on točno jednak, budući da iza broja 4 postoji beskonačan niz drugih brojeva u kojima se ne mogu razlučiti periode koje se ponavljaju. Štoviše, iako se broj π ne može precizno izraziti, on ima specifično geometrijsko značenje. Broj π je omjer duljine bilo kojeg kruga i duljine njegovog promjera. Dakle, iracionalni brojevi zapravo postoje u prirodi, baš kao i racionalni brojevi.

Drugi primjer iracionalnih brojeva je kvadratni korijen pozitivnih brojeva. Izvlačenje korijena iz nekih brojeva daje racionalne vrijednosti, iz drugih - iracionalne. Na primjer, √4 = 2, tj. korijen iz 4 je racionalan broj. Ali √2, √5, √7 i mnogi drugi rezultiraju iracionalnim brojevima, odnosno mogu se izdvojiti samo aproksimacijom, zaokruživanjem na određeno decimalno mjesto. U tom slučaju razlomak postaje neperiodičan. Odnosno, nemoguće je točno i definitivno reći koji je korijen ovih brojeva.

Dakle, √5 je broj koji se nalazi između brojeva 2 i 3, budući da je √4 = 2, a √9 = 3. Također možemo zaključiti da je √5 bliže 2 nego 3, budući da je √4 bliže √5 nego √9 do √5. Zaista, √5 ≈ 2,23 ili √5 ≈ 2,24.

Iracionalni brojevi dobivaju se i u drugim izračunima (a ne samo pri vađenju korijena), a mogu biti i negativni.

U odnosu na iracionalne brojeve možemo reći da, bez obzira koji jedinični odsječak uzmemo za mjerenje dužine izražene takvim brojem, nećemo je moći sa sigurnošću izmjeriti.

U aritmetičkim operacijama uz racionalne mogu sudjelovati i iracionalni brojevi. Pritom postoji niz pravilnosti. Na primjer, ako su u aritmetičkoj operaciji uključeni samo racionalni brojevi, tada je rezultat uvijek racionalan broj. Ako u operaciji sudjeluju samo iracionalni, tada je nemoguće nedvosmisleno reći hoće li rezultat biti racionalan ili iracionalan broj.

Na primjer, ako pomnožite dva iracionalna broja √2 * √2, dobit ćete 2 - to je racionalan broj. S druge strane, √2 * √3 = √6 je iracionalan broj.

Ako aritmetička operacija uključuje racionalne i iracionalne brojeve, tada će rezultat biti iracionalan. Na primjer, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Zašto je √17 – 4 iracionalan broj? Zamislimo da smo dobili racionalan broj x. Tada je √17 = x + 4. Ali x + 4 je racionalan broj, jer smo pretpostavili da je x racionalan. Broj 4 je također racionalan, pa je x + 4 racionalan. Međutim, racionalan broj ne može biti jednak iracionalnom broju √17. Stoga je pretpostavka da √17 – 4 daje racionalan rezultat netočna. Rezultat aritmetičke operacije bit će iracionalan.

Međutim, postoji iznimka od ovog pravila. Ako iracionalan broj pomnožimo s 0, dobit ćemo racionalan broj 0.

i π

Dakle, skup iracionalnih brojeva je razlika I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \obrnuta kosa crta \mathbb (Q) ) skupovi realnih i racionalnih brojeva.

Postojanje iracionalnih brojeva, točnije odsječaka nesumjerljivih s odsječkom jedinične duljine, znali su već stari matematičari: poznavali su, primjerice, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je jednako iracionalnosti broj 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Svojstva

• Zbroj dvaju pozitivnih iracionalnih brojeva može biti racionalan broj.
• Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove dijelove u skupu racionalnih brojeva koji nemaju najveći broj u nižoj klasi i nemaju najmanji broj u višoj klasi.
• Skup iracionalnih brojeva je gust posvuda na brojevnom pravcu: između bilo koja dva različita broja nalazi se iracionalan broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentalnih brojeva. [ ]

Algebarski i transcendentni brojevi

Svaki iracionalan broj je ili algebarski ili transcendentalan. Skup algebarskih brojeva je prebrojiv skup. Kako je skup realnih brojeva neprebrojiv, skup iracionalnih brojeva je neprebrojiv.

Skup iracionalnih brojeva je skup druge kategorije.

Kvadriramo pretpostavljenu jednakost:

Priča

Antika

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su prihvatili indijski matematičari u 7. stoljeću pr. Kr., kada je Manava (oko 750.-690. pr. Kr.) shvatio da se kvadratni korijeni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti [ ] .

Prvi dokaz o postojanju iracionalnih brojeva, točnije o postojanju nesamjerljivih segmenata, obično se pripisuje pitagorejcu Hipasu iz Metaponta (oko 470. pr. Kr.). U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja uključuje cijeli broj puta u bilo kojem segmentu [ ] .

Ne postoje točni podaci o tome koji je broj Hipas dokazao iracionalnim. Prema legendi, pronašao ga je proučavajući duljine stranica pentagrama. Stoga je razumno pretpostaviti da je to zlatni rez jer je to omjer dijagonale i stranice u pravilnom peterokutu.

Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesamjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendama nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira koji poriče doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere." Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

Kasnije je Eudoks iz Knida (410. ili 408. pr. Kr. - 355. ili 347. pr. Kr.) razvio teoriju proporcija koja je uzimala u obzir i racionalne i iracionalne odnose. To je poslužilo kao osnova za razumijevanje temeljne suštine iracionalnih brojeva. Količina se počela smatrati ne brojem, već oznakom entiteta, kao što su segmenti linije, kutovi, površine, volumeni, vremenski intervali - entiteti koji se mogu kontinuirano mijenjati (u modernom smislu riječi). Veličine su suprotstavljene brojevima, koji se mogu mijenjati samo “skokovima” s jednog broja na drugi, npr. s 4 na 5. Brojeve čini najmanja nedjeljiva veličina, a količine se mogu neograničeno smanjivati.

Budući da nijedna kvantitativna vrijednost nije bila u korelaciji s veličinom, Eudoks je mogao pokriti i sumjerljive i nesamjerljive količine kada je definirao razlomak kao omjer dviju veličina, a razmjer kao jednakost dvaju razlomaka. Uklanjanjem kvantitativnih vrijednosti (brojeva) iz jednadžbi izbjegao je zamku da iracionalnu količinu mora nazvati brojem. Eudoksova teorija omogućila je grčkim matematičarima nevjerojatan napredak u geometriji, pružajući im potrebnu logičnu osnovu za rad s nesamjerljivim veličinama. Deseta knjiga Euklidovih Elemenata posvećena je klasifikaciji iracionalnih veličina.

Srednji vijek

Srednji vijek obilježen je usvajanjem pojmova kao što su nula, negativni brojevi, cijeli brojevi i razlomci, prvo od strane indijskih, a zatim i od strane kineskih matematičara. Kasnije su se pridružili arapski matematičari koji su prvi negativne brojeve smatrali algebarskim objektima (uz pozitivne brojeve), što je omogućilo razvoj discipline koja se danas naziva algebra.

Arapski matematičari kombinirali su starogrčke koncepte "broja" i "veličine" u jednu, općenitiju ideju stvarnih brojeva. Bili su kritični prema Euklidovim idejama o odnosima; nasuprot tome, razvili su teoriju odnosa proizvoljnih veličina i proširili pojam broja na odnose kontinuiranih količina. U svom komentaru na Euklidovu knjigu 10 Elementi, perzijski matematičar Al Makhani (oko 800. n. e.) istraživao je i klasificirao kvadratne iracionalne brojeve (brojeve oblika) i općenitije kubične iracionalne brojeve. Definirao je racionalne i iracionalne veličine koje je nazvao iracionalnim brojevima. Lako je operirao s tim objektima, ali je o njima govorio kao o zasebnim objektima, na primjer:

Za razliku od Euklidovog koncepta da su količine primarno odsječci, Al Makhani je cijele brojeve i razlomke smatrao racionalnim veličinama, a kvadratne i kubne korijene iracionalnim. Također je uveo aritmetički pristup skupu iracionalnih brojeva, jer je upravo on pokazao iracionalnost sljedećih veličina:

Egipatski matematičar Abu Kamil (oko 850. n. e. - oko 930. n. e.) bio je prvi koji je smatrao prihvatljivim prepoznavanje iracionalnih brojeva kao rješenja kvadratnih jednadžbi ili kao koeficijenata u jednadžbama - općenito u kvadratnom ili kubičnom obliku korijena, kao i korijena četvrtog stupnja. U 10. stoljeću irački matematičar Al Hashimi iznio je općenite dokaze (umjesto vizualnih geometrijskih demonstracija) iracionalnosti umnoška, ​​kvocijenta i rezultata drugih matematičkih transformacija nad iracionalnim i racionalnim brojevima. Al Khazin (900 AD - 971 AD) daje sljedeću definiciju racionalne i iracionalne količine:

Mnoge od ovih ideja kasnije su usvojili europski matematičari nakon prijevoda arapskih tekstova na latinski u 12. stoljeću. Al Hassar, arapski matematičar iz Magreba koji se specijalizirao za islamske zakone o nasljeđivanju, uveo je modernu simboličku matematičku notaciju za razlomke u 12. stoljeću, dijeleći brojnik i nazivnik horizontalnom crtom. Ista se oznaka zatim pojavila u Fibonaccijevim djelima u 13. stoljeću. Tijekom XIV-XVI stoljeća. Madhava iz Sangamagrame i predstavnici Keralske škole astronomije i matematike istraživali su beskonačne nizove koji konvergiraju određenim iracionalnim brojevima, kao što je π, a također su pokazali iracionalnost određenih trigonometrijskih funkcija. Jestadeva je ove rezultate predstavio u knjizi Yuktibhaza. (istodobno dokazujući postojanje transcendentalnih brojeva), čime je preispitao Euklidov rad o klasifikaciji iracionalnih brojeva. Radovi na ovu temu objavljeni su 1872. godine

Neprekidne razlomke, usko povezane s iracionalnim brojevima (nastavljeni razlomak koji predstavlja dati broj je beskonačan ako i samo ako je broj iracionalan), prvi je istraživao Cataldi 1613. godine, a zatim su ponovno privukli pažnju u radu Eulera, i u početkom 19. stoljeća - u djelima Lagrangea. Dirichlet je također dao značajan doprinos razvoju teorije nastavljenih razlomaka. Godine 1761. Lambert je upotrijebio kontinuirane razlomke da to pokaže π (\displaystyle \pi ) nije racionalan broj, a također i to e x (\displaystyle e^(x)) I tg ⁡ x (\displaystyle \operatorname (tg) x) su iracionalni za svaki ne-nula racionalni x (\displaystyle x). Iako se Lambertov dokaz može nazvati nepotpunim, općenito se smatra da je prilično rigorozan, posebno s obzirom na vrijeme kada je napisan. Legendre je 1794. godine, nakon uvođenja Bessel-Cliffordove funkcije, to pokazao π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) iracionalno, odakle iracionalnost? π (\displaystyle \pi ) slijedi trivijalno (racionalan broj na kvadrat dao bi racionalan).

Postojanje transcendentalnih brojeva dokazao je Liouville 1844-1851. Kasnije je Georg Cantor (1873.) pokazao njihovo postojanje koristeći drugu metodu, te je tvrdio da svaki interval realnog niza sadrži beskonačan broj transcendentalnih brojeva. Charles Hermite je 1873. dokazao da e transcendentalna, a Ferdinand Lindemann je 1882. na temelju tog rezultata pokazao transcendentalnost π (\displaystyle \pi ) Književnost

Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim slovom Ja (\displaystyle \mathbb (I) ) u odvažnom stilu bez sjenčanja. Tako: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \obrnuta kosa crta \mathbb (Q) ), odnosno skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Postojanje iracionalnih brojeva, točnije odsječaka nesumjerljivih s odsječkom jedinične duljine, znali su već stari matematičari: poznavali su, primjerice, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je jednako iracionalnosti broj.

Enciklopedijski YouTube

• 1 / 5

  Iracionalni su:

  Primjeri dokaza iracionalnosti

  Korijen od 2

  Pretpostavimo suprotno: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalan, odnosno predstavljen kao razlomak m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Gdje m (\displaystyle m) je cijeli broj, i n (\displaystyle n)- prirodni broj.

  Kvadriramo pretpostavljenu jednakost:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Priča

  Antika

  Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. stoljeću pr. Kr., kada je Manava (oko 750. pr. Kr. - oko 690. pr. Kr.) shvatio da se kvadratni korijeni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti [ ] .

  Prvi dokaz o postojanju iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu iz Metaponta (oko 500. pr. Kr.), pitagorejcu. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja uključuje cijeli broj puta u bilo kojem segmentu [ ] .

  Ne postoje točni podaci o tome koji je broj Hipas dokazao iracionalnim. Prema legendi, pronašao ga je proučavajući duljine stranica pentagrama. Stoga je razumno pretpostaviti da je to bio zlatni rez [ ] .

  Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesamjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendama nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira koji poriče doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere." Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.