Tripel Pythagoras dan jumlahnya. Teknologi intensif sains modern Bilangan prima sebagai bagian dari tripel Pythagoras

"Pusat pendidikan daerah"

Pengembangan metodis

Menggunakan tiga kali lipat Pythagoras dalam memecahkan

masalah geometri dan tugas trigonometri GUNAKAN

Kaluga, 2016

Saya Pendahuluan

Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema utama dan, bahkan bisa dikatakan, teorema geometri yang paling penting. Signifikansinya terletak pada kenyataan bahwa sebagian besar teorema geometri dapat disimpulkan darinya atau dengan bantuannya. Teorema Pythagoras juga luar biasa karena dengan sendirinya tidak jelas sama sekali. Misalnya, sifat-sifat segitiga sama kaki dapat dilihat langsung pada gambar. Tetapi tidak peduli bagaimana Anda melihat segitiga siku-siku, Anda tidak akan pernah melihat bahwa ada rasio sederhana antara sisi-sisinya: a2+b2=c2. Namun, bukan Pythagoras yang menemukan teorema yang menyandang namanya. Itu diketahui lebih awal, tapi mungkin hanya sebagai fakta yang diturunkan dari pengukuran. Agaknya, Pythagoras mengetahui hal ini, tetapi menemukan buktinya.

Ada jumlah bilangan asli yang tak terbatas a, b, c, memuaskan relasi a2+b2=c2.. Mereka disebut bilangan Pythagoras. Menurut teorema Pythagoras, bilangan seperti itu dapat berfungsi sebagai panjang sisi dari beberapa segitiga siku-siku - kita akan menyebutnya segitiga Pythagoras.

Tujuan pekerjaan: untuk mempelajari kemungkinan dan keefektifan penggunaan Tripel Pythagoras untuk memecahkan masalah kursus matematika sekolah, tugas USE.

Berdasarkan tujuan pekerjaan, berikut ini tugas:

Untuk mempelajari sejarah dan klasifikasi Tripel Pythagoras. Menganalisis tugas menggunakan Tripel Pythagoras yang tersedia di buku pelajaran sekolah dan ditemukan di bahan kontrol dan pengukuran ujian. Mengevaluasi keefektifan penggunaan Tripel Pythagoras dan propertinya untuk memecahkan masalah.

Objek studi: bilangan tiga kali lipat Pythagoras.

Subjek studi: tugas kursus trigonometri dan geometri sekolah, di mana Tripel Pythagoras digunakan.

Relevansi penelitian. Tripel Pythagoras sering digunakan dalam geometri dan trigonometri, mengetahuinya akan menghilangkan kesalahan dalam perhitungan dan menghemat waktu.

II. Bagian utama. Memecahkan masalah menggunakan Tripel Pythagoras.

2.1 Tabel perkalian tiga bilangan Pythagoras (menurut Perelman)

Angka Pythagoras memiliki bentuk A= M N, , di mana m dan n adalah bilangan ganjil koprime.

Angka Pythagoras memiliki sejumlah fitur menarik:

Salah satu "kaki" harus merupakan kelipatan tiga.

Salah satu "kaki" harus kelipatan empat.

Salah satu bilangan Pythagoras harus merupakan kelipatan lima.

Buku "Aljabar Menghibur" berisi tabel tiga kali lipat Pythagoras yang berisi angka hingga seratus, yang tidak memiliki faktor persekutuan.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Klasifikasi Tripel Pythagoras oleh Shustrov.

Shustrov menemukan pola berikut: jika semua segitiga Pythagoras dibagi menjadi beberapa kelompok, maka rumus berikut ini berlaku untuk kaki ganjil x, genap y, dan sisi miring z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2, di mana N adalah bilangan keluarga dan n adalah bilangan urut segitiga dalam keluarga tersebut.

Mengganti rumus di tempat N dan n bilangan bulat positif apa pun, mulai dari satu, Anda bisa mendapatkan semua bilangan tiga kali lipat Pythagoras utama, serta kelipatan dari jenis tertentu. Anda dapat membuat tabel dari semua Tripel Pythagoras untuk setiap keluarga.

2.3. Tugas planimetri

Mari pertimbangkan masalah dari berbagai buku teks tentang geometri dan cari tahu seberapa sering tripel Pythagoras ditemukan dalam tugas ini. Masalah sepele menemukan elemen ketiga dalam tabel tiga kali lipat Pythagoras tidak akan dipertimbangkan, meskipun mereka juga ditemukan di buku teks. Mari kita tunjukkan cara mereduksi solusi dari masalah yang datanya tidak dinyatakan dengan bilangan asli menjadi tripel Pythagoras.

Pertimbangkan tugas dari buku teks geometri untuk kelas 7-9.

№ 000. Temukan sisi miring dari segitiga siku-siku A=, B=.

Larutan. Lipat gandakan panjang kaki dengan 7, kita mendapatkan dua elemen dari triple Pythagoras 3 dan 4. Elemen yang hilang adalah 5, yang kita bagi dengan 7. Jawab.

№ 000. Pada persegi panjang ABCD, tentukan BC jika CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Larutan. Mari kita selesaikan ACD segitiga siku-siku. Kami kalikan panjangnya dengan 2, kami mendapatkan dua elemen dari triple Pythagoras 3 dan 5, elemen yang hilang adalah 4, yang kami bagi dengan 2. Jawaban: 2.

Saat memecahkan angka berikutnya, periksa rasionya a2+b2=c2 itu sepenuhnya opsional, cukup menggunakan bilangan Pythagoras dan propertinya.

№ 000. Cari tahu apakah sebuah segitiga siku-siku jika sisi-sisinya dinyatakan dengan angka:

a) 6,8,10 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya;

Salah satu kaki segitiga siku-siku harus habis dibagi 4. Jawaban: tidak.

c) 9,12,15 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya;

d) 10,24,26 (triple Pythagoras 5,12.13) - ya;

Salah satu bilangan Pythagoras harus merupakan kelipatan lima. Jawaban: tidak.

g) 15, 20, 25 (triple Pythagoras 3,4.5) - ya.

Dari tiga puluh sembilan tugas di bagian ini (teorema Pythagoras), dua puluh dua diselesaikan secara lisan menggunakan bilangan Pythagoras dan pengetahuan tentang sifat-sifatnya.

Pertimbangkan masalah #000 (dari bagian "Tugas Tambahan"):

Hitunglah luas segi empat ABCD dengan AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

Tugasnya adalah memeriksa rasionya a2+b2=c2 dan buktikan bahwa segiempat yang diberikan terdiri dari dua segitiga siku-siku (teorema terbalik). Dan pengetahuan tentang tiga kali lipat Pythagoras: 3, 4, 5 dan 5, 12, 13, menghilangkan kebutuhan akan perhitungan.

Mari berikan solusi untuk beberapa masalah dari buku teks tentang geometri untuk kelas 7-9.

Soal 156 (h). Kaki-kaki segitiga siku-siku adalah 9 dan 40. Temukan median yang ditarik ke sisi miring.

Larutan . Median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengahnya. Tripel Pythagoras adalah 9,40 dan 41. Jadi, mediannya adalah 20,5.

Soal 156 (i). Sisi-sisi segitiga tersebut adalah: A= 13 cm, b= 20 cm dan tinggi hc = 12 cm Temukan alasnya Dengan.

Tugas (KIM USE). Hitunglah jari-jari lingkaran pada segitiga lancip ABC jika tinggi BH adalah 12 dan diketahui sin A=,sin C \u003d kiri "\u003e

Larutan. Kita selesaikan ∆ ASC persegi panjang: sin A=, BH=12, maka AB=13,AK=5 (triple Pythagoras 5,12,13). Selesaikan persegi panjang ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagoras tripel 3,4,5).Jari-jari ditemukan dengan rumus r === 4. Jawaban.4.

2.4. Tripel Pythagoras dalam trigonometri

Identitas trigonometri utama adalah kasus khusus dari teorema Pythagoras: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Oleh karena itu, beberapa tugas trigonometri mudah diselesaikan secara lisan menggunakan Tripel Pythagoras.

Masalah di mana diperlukan untuk menemukan nilai fungsi trigonometri lainnya dari nilai fungsi tertentu dapat diselesaikan tanpa mengkuadratkan dan mengekstraksi akar kuadrat. Semua tugas jenis ini di buku pelajaran aljabar sekolah (10-11) Mordkovich (No. 000-No. 000) dapat diselesaikan secara lisan, hanya mengetahui beberapa Tripel Pythagoras: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Mari pertimbangkan solusi dari dua masalah.

No.000 a). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Larutan. Tripel Pythagoras: 3, 4, 5. Oleh karena itu, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

No.000 b). tg t = 2.4, π< t < 3π/2.

Larutan. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5. Tripel Pythagoras 5,12,13. Dengan tanda-tandanya, kita mendapatkan sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Mengontrol dan mengukur materi ujian

a) cos (busursin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) dosa (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

c) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

d) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

e) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

e) periksa validitas persamaan:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Larutan. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

sin busur 4/5 + sin busur 5/13 = π/2 - sin busur 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arccos 16/65)

sin (arcsin 4/5) cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

AKU AKU AKU. Kesimpulan

Dalam soal geometri, kita sering harus menyelesaikan segitiga siku-siku, terkadang beberapa kali. Setelah menganalisis tugas buku pelajaran sekolah dan materi USE, kita dapat menyimpulkan bahwa triplet terutama digunakan: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; yang mudah diingat. Saat menyelesaikan beberapa tugas trigonometri, solusi klasik menggunakan rumus trigonometri dan banyak perhitungan membutuhkan waktu, dan pengetahuan tentang tiga kali lipat Pythagoras akan menghilangkan kesalahan dalam perhitungan dan menghemat waktu untuk menyelesaikan masalah yang lebih sulit pada ujian.

daftar bibliografi

1. Aljabar dan awal analisis. nilai 10-11. Jam 2. Bagian 2. Buku tugas untuk lembaga pendidikan / [dan lainnya]; ed. . - edisi ke-8, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 hal. : sakit.

2. Aljabar Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 hal.

3. Roganovsky: Proc. Untuk 7-9 sel. dengan dalam studi matematika pendidikan umum. sekolah dari bahasa Rusia lang. belajar, - edisi ke-3. - M N.; Nar. Asveta, 2000. - 574 hal.: sakit.

4. Matematika: Pembaca tentang sejarah, metodologi, didaktika. / Komp. . - M.: Penerbit URAO, 2001. - 384 hal.

5. Jurnal “Matematika di Sekolah” No.1 Tahun 1965.

6. Mengontrol dan mengukur bahan ujian.

7. Geometri, 7-9: Proc. untuk institusi pendidikan /, dll. - edisi ke-13 - M .: Education, 2003. – 384 hal. : sakit.

8. Geometri: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah /, dll. - edisi ke-2. - M .: Pendidikan, 1993, - 207 hal.: sakit.

Aljabar Perelman. - D.: VAP, 1994. - 200 hal.

Jurnal “Matematika di Sekolah” No.1, 1965.

Geometri, 7-9: Proc. untuk institusi pendidikan /, dll. - edisi ke-13 - M .: Education, 2003. – 384 hal. : sakit.

Roganovsky: Proc. Untuk 7-9 sel. dengan dalam studi matematika pendidikan umum. sekolah dari bahasa Rusia lang. belajar, - edisi ke-3. - M N.; Nar. Asveta, 2000. - 574 hal.: sakit.

Aljabar dan awal analisis. nilai 10-11. Jam 2. Bagian 2. Buku tugas untuk lembaga pendidikan / [dan lainnya]; ed. . - edisi ke-8, Sr. - M. : Mnemosyne, 2007. - 315 hal. : sakit., hal.18.

Belotelov V.A. Tripel Pythagoras dan jumlahnya // Ensiklopedia Nesterov

Artikel ini adalah jawaban untuk seorang profesor - seorang penjepit. Lihat, profesor, bagaimana mereka melakukannya di desa kita.

Wilayah Nizhny Novgorod, Zavolzhye.

Diperlukan pengetahuan tentang algoritme untuk menyelesaikan persamaan Diophantine (ADDE) dan pengetahuan tentang progresi polinomial.

JIKA adalah bilangan prima.

MF adalah bilangan komposit.

Misalkan ada bilangan ganjil N. Untuk bilangan ganjil selain satu, Anda dapat menulis persamaan.

p 2 + N \u003d q 2,

di mana р + q = N, q – р = 1.

Misalnya, untuk angka 21 dan 23, persamaannya menjadi, -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

Jika N prima, persamaan ini unik. Jika bilangan N adalah gabungan, maka dimungkinkan untuk membuat persamaan serupa untuk jumlah pasangan faktor yang mewakili bilangan ini, termasuk 1 x N.

Mari kita ambil angka N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45.

Saya bermimpi, tetapi mungkinkah, berpegang teguh pada perbedaan antara IF dan MF ini, untuk menemukan metode identifikasi mereka.

Mari kita perkenalkan notasinya;

Mari kita ubah persamaan yang lebih rendah, -

N \u003d dalam 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a).

Mari kita kelompokkan nilai-nilai N menurut kriteria di - a, yaitu. mari kita membuat tabel.

Bilangan N dirangkum dalam matriks, -

Untuk tugas inilah saya harus berurusan dengan progresi polinomial dan matriksnya. Semuanya ternyata sia-sia - pertahanan PCh dipegang dengan kuat. Mari kita masukkan kolom pada tabel 1, di mana - a \u003d 1 (q - p \u003d 1).

Sekali lagi. Tabel 2 diperoleh sebagai hasil dari upaya untuk memecahkan masalah mengidentifikasi IF dan MF. Ini mengikuti dari tabel bahwa untuk bilangan N berapa pun, ada banyak persamaan bentuk a 2 + N \u003d dalam 2, menjadi berapa pasang faktor bilangan N dapat dibagi, termasuk faktor 1 x N. Selain itu ke angka N \u003d ℓ 2, dimana

ℓ - FC. Untuk N = ℓ 2 , di mana ℓ adalah JIKA, ada persamaan tunggal p 2 + N = q 2 . Bukti tambahan apa yang dapat kita bicarakan jika tabel mencantumkan faktor yang lebih kecil dari pasangan faktor yang membentuk N, dari satu ke ∞. Kami akan menempatkan Meja 2 di peti, dan menyembunyikan peti di lemari.

Mari kembali ke topik yang tertera di judul artikel.

Artikel ini adalah jawaban untuk seorang profesor - seorang penjepit.

Saya meminta bantuan - saya membutuhkan serangkaian angka yang tidak dapat saya temukan di Internet. Saya mendapat pertanyaan seperti, - "untuk apa?", "Tapi tunjukkan metodenya." Secara khusus, ada pertanyaan apakah rangkaian tiga kali lipat Pythagoras tidak terbatas, "bagaimana membuktikannya?". Dia tidak membantu saya. Lihat, profesor, bagaimana mereka melakukannya di desa kita.

Mari kita ambil rumus Tripel Pythagoras, -

x 2 \u003d y 2 + z 2. (1)

Mari kita lewati ARDU.

Tiga situasi yang mungkin:

I.x adalah bilangan ganjil,

y adalah bilangan genap

z adalah bilangan genap.

Dan ada kondisi x > y > z.

II. x adalah bilangan ganjil

y adalah bilangan genap

z adalah bilangan ganjil.

x > z > y.

III.x - bilangan genap,

y adalah bilangan ganjil

z adalah bilangan ganjil.

x > y > z.

Mari kita mulai dengan saya.

Mari perkenalkan variabel baru

Substitusi ke persamaan (1).

Mari kita batalkan dengan variabel yang lebih kecil 2γ.

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

Mari kita kurangi variabel 2β – 2γ dengan yang lebih kecil dengan memasukkan parameter baru secara simultan ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

Maka, 2α - 2β = x - y - 1.

Persamaan (2) akan berbentuk, –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

Mari kita kuadratkan -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0. (3)

ARDU memberikan hubungan antara suku senior persamaan melalui parameter, sehingga diperoleh persamaan (3).

Tidak solid untuk berurusan dengan pemilihan solusi. Tapi, pertama, tidak ada tempat tujuan, dan kedua, beberapa solusi ini diperlukan, dan kami dapat memulihkan solusi dalam jumlah tak terbatas.

Untuk ƒ = 1, k = 1, kita memiliki x – y = 1.

Dengan ƒ = 12, k = 16, kita memiliki x - y = 9.

Dengan ƒ = 4, k = 32, x - y = 25.

Anda dapat mengambilnya untuk waktu yang lama, tetapi pada akhirnya rangkaiannya akan berbentuk -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

Pertimbangkan opsi II.

Mari kita masukkan variabel baru ke dalam persamaan (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

Kami mengurangi dengan variabel yang lebih kecil 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

Mari kita kurangi dengan variabel yang lebih kecil 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (4)

2α - 2γ = x - z dan substitusikan ke persamaan (4).

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

Dengan ƒ = 3, k = 4, kita memiliki x - z = 2.

Dengan ƒ = 8, k = 14, kita memiliki x - z = 8.

Dengan ƒ = 3, k = 24, kita memiliki x - z = 18.

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

Mari menggambar trapesium -

Mari kita menulis rumus.

di mana n=1, 2,...∞.

Kasus III tidak akan dijelaskan - tidak ada solusi di sana.

Untuk kondisi II, himpunan tripel adalah sebagai berikut:

Persamaan (1) disajikan sebagai x 2 = z 2 + y 2 untuk kejelasan.

Untuk kondisi I, himpunan tripelnya adalah sebagai berikut:

Secara total, 9 kolom tiga kali lipat dicat, masing-masing lima tiga kali lipat. Dan setiap kolom yang disajikan dapat ditulis hingga ∞.

Sebagai contoh, perhatikan tiga kali lipat dari kolom terakhir, di mana x - y \u003d 81.

Untuk nilai x kita tulis trapesium, -

Mari kita tulis rumusnya

Untuk nilainya kita tulis trapesium, -

Mari kita tulis rumusnya

Untuk nilai z kita tulis trapesium, -

Mari kita tulis rumusnya

Dimana n = 1 ÷ ∞.

Seperti yang dijanjikan, serangkaian triplet dengan x - y = 81 terbang ke ∞.

Ada upaya untuk kasus I dan II untuk membangun matriks untuk x, y, z.

Tuliskan lima kolom terakhir x dari baris atas dan buat trapesium.

Itu tidak berhasil, dan polanya harus kuadrat. Untuk membuat semuanya dalam kerawang, ternyata kolom I dan II harus digabungkan.

Dalam kasus II, besaran y, z dipertukarkan lagi.

Kami berhasil menggabungkan karena satu alasan - kartu cocok dengan tugas ini - kami beruntung.

Sekarang Anda dapat menulis matriks untuk x, y, z.

Mari kita ambil dari lima kolom terakhir nilai x dari baris atas dan buat trapesium.

Semuanya baik-baik saja, Anda dapat membuat matriks, dan mari kita mulai dengan matriks untuk z.

Aku lari ke lemari untuk peti.

Total: Selain satu, setiap angka ganjil dari sumbu numerik berpartisipasi dalam pembentukan tripel Pythagoras dengan jumlah pasangan faktor yang sama yang membentuk angka ini N, termasuk faktor 1 x N.

Bilangan N \u003d ℓ 2, dimana ℓ - JIKA, membentuk satu tripel Pythagoras, jika ℓ adalah MF, maka tidak ada tripel pada faktor ℓхℓ.

Mari buat matriks untuk x, y.

Mari kita mulai dengan matriks untuk x. Untuk melakukan ini, kami akan menarik kisi koordinat dari masalah mengidentifikasi IF dan MF.

Penomoran baris vertikal dinormalisasi dengan ekspresi

Mari kita hapus kolom pertama, karena

Matriks akan berbentuk -

Mari kita gambarkan baris vertikal, -

Mari kita gambarkan koefisien di "a", -

Mari kita uraikan anggota gratis, -

Mari kita buat rumus umum untuk "x", -

Jika kita melakukan pekerjaan serupa untuk "y", kita mendapatkan -

Anda dapat mendekati hasil ini dari sisi lain.

Mari kita ambil persamaannya,

dan 2 + N = dalam 2 .

Mari kita ubah sedikit -

N \u003d dalam 2 - a 2.

Mari kita kuadratkan -

N 2 \u003d dalam 4 - 2v 2 a 2 + a 4.

Ke ruas kiri dan kanan persamaan, tambahkan besarnya 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d dalam 4 + 2v 2 a 2 + a 4.

Dan akhirnya -

(dalam 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2.

Tripel Pythagoras disusun sebagai berikut:

Perhatikan contoh dengan angka N = 117.

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117.

Kolom vertikal Tabel 2 diberi nomor dengan nilai dalam - a, sedangkan kolom vertikal Tabel 3 diberi nomor dengan nilai x - y.

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2.

Mari kita membuat tiga persamaan.

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2.

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117.

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13).

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117.

Faktor 3 dan 39 bukan bilangan prima, jadi satu tripel diperoleh dengan faktor 9.

Mari kita gambarkan yang tertulis di atas dalam simbol umum, -

Dalam karya ini, semuanya, termasuk contoh untuk menghitung tiga kali lipat Pythagoras dengan angkanya

N = 117, diikat dengan faktor yang lebih kecil di - a. Diskriminasi eksplisit dalam kaitannya dengan faktor di + a. Perbaiki ketidakadilan ini - kami akan membuat tiga persamaan dengan faktor dalam + a.

Mari kembali ke pertanyaan tentang identifikasi IF dan MF.

Banyak hal telah dilakukan ke arah ini, dan hari ini pemikiran berikut telah datang dari tangan - tidak ada persamaan identifikasi, dan tidak ada yang menentukan faktor.

Misalkan kita telah menemukan relasi F = a, b (N).

Ada rumusnya

Anda dapat menghilangkan rumus F dari dalam dan Anda mendapatkan persamaan homogen tingkat ke-n sehubungan dengan a, yaitu. F = a(N).

Untuk sembarang derajat n dari persamaan ini, terdapat bilangan N dengan m pasangan faktor, untuk m > n.

Dan sebagai konsekuensinya, persamaan homogen derajat n harus memiliki m akar.

Ya, ini tidak mungkin.

Dalam tulisan ini, bilangan N dianggap untuk persamaan x 2 = y 2 + z 2 ketika berada dalam persamaan di tempat z. Ketika N menggantikan x, ini adalah tugas lain.

Hormat kami, Belotelov V.A.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan metode terkenal untuk menghasilkan tripel Pythagoras yang efektif. Murid-murid Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan cara sederhana untuk menghasilkan tiga kali lipat Pythagoras, dengan menggunakan rumus yang bagian-bagiannya mewakili tiga kali lipat Pythagoras:

M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ((M 2 + 1)/2) 2 ,

Di mana M- tidak berpasangan, M>2. Benar-benar,

4M 2 + M 4 − 2M 2 + 1
M 2 + ((M 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((M 2 + 1)/2) 2 .
4

Formula serupa diajukan oleh filsuf Yunani kuno Plato:

(2M) 2 + (M 2 − 1) 2 = (M 2 + 1) 2 ,

Di mana M- nomor apapun. Untuk M= 2,3,4,5 triplet berikut dihasilkan:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Seperti yang Anda lihat, rumus ini tidak dapat memberikan semua kemungkinan tiga kali lipat primitif.

Pertimbangkan polinomial berikut, yang didekomposisi menjadi jumlah polinomial:

(2M 2 + 2M + 1) 2 = 4M 4 + 8M 3 + 8M 2 + 4M + 1 =
=4M 4 + 8M 3 + 4M 2 + 4M 2 + 4M + 1 = (2M(M+1)) 2 + (2M +1) 2 .

Karenanya rumus berikut untuk mendapatkan tripel primitif:

A = 2M +1 , B = 2M(M+1) = 2M 2 + 2M , C = 2M 2 + 2M + 1.

Rumus ini menghasilkan tiga kali lipat di mana angka rata-rata berbeda dari yang terbesar dengan tepat satu, yaitu, tidak semua kemungkinan tiga kali lipat juga dihasilkan. Di sini tripel pertama adalah: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Untuk menentukan bagaimana menghasilkan semua tripel primitif, seseorang harus memeriksa propertinya. Pertama, jika ( a,b,c) adalah triple primitif, lalu A Dan B, B Dan C, A Dan C- harus koprime. Membiarkan A Dan B dibagi menjadi D. Kemudian A 2 + B 2 juga habis dibagi D. Masing-masing, C 2 dan C harus dibagi menjadi D. Artinya, ini bukan triple primitif.

Kedua, di antara angka-angka A, B satu harus berpasangan dan yang lainnya tidak berpasangan. Memang, jika A Dan B- berpasangan, lalu Dengan akan dipasangkan, dan jumlahnya dapat dibagi minimal 2. Jika keduanya tidak berpasangan, maka keduanya dapat direpresentasikan sebagai 2 k+1 dan 2 l+1, di mana k,l- beberapa angka. Kemudian A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, yaitu, Dengan 2 , serta A 2 + B 2 sisa 2 jika dibagi 4

Membiarkan Dengan- nomor apa pun, yaitu Dengan = 4k+Saya (Saya=0,…,3). Kemudian Dengan 2 = (4k+Saya) 2 memiliki sisa 0 atau 1 dan tidak dapat memiliki sisa 2. Jadi, A Dan B tidak dapat dilepas, yaitu A 2 + B 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 dan sisanya Dengan 2 dengan 4 harus 1, yang berarti bahwa Dengan harus tidak berpasangan.

Persyaratan seperti itu untuk unsur-unsur tripel Pythagoras dipenuhi oleh angka-angka berikut:

A = 2M N, B = M 2 − N 2 , C = M 2 + N 2 , M > N, (2)

Di mana M Dan N adalah koprime dengan pasangan yang berbeda. Untuk pertama kalinya, ketergantungan ini diketahui dari karya Euclid, yang hidup 2300 r. kembali.

Mari kita buktikan validitas dependensi (2). Membiarkan A- ganda, lalu B Dan C- tidak berpasangan. Kemudian C + B Saya C − B- pasangan. Mereka dapat direpresentasikan sebagai C + B = 2kamu Dan C − B = 2ay, Di mana kamu,ay adalah beberapa bilangan bulat. Itu sebabnya

A 2 = Dengan 2 − B 2 = (C + B)(C − B) = 2kamu 2 ay = 4UV

Dan maka dari itu ( A/2) 2 = UV.

Hal ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi itu kamu Dan ay adalah koprim. Membiarkan kamu Dan ay- dibagi menjadi D. Kemudian ( C + B) Dan ( C − B) dibagi menjadi D. Dan maka dari itu C Dan B harus dibagi menjadi D, dan ini bertentangan dengan kondisi tripel Pythagoras.

Karena UV = (A/2) 2 dan kamu Dan ay coprime, mudah untuk membuktikannya kamu Dan ay harus kuadrat dari beberapa angka.

Jadi ada bilangan bulat positif M Dan N, seperti yang kamu = M 2 dan ay = N 2. Kemudian

A 2 = 4UV = 4M 2 N 2 jadi
A = 2M N; B = kamu − ay = M 2 − N 2 ; C = kamu + ay = M 2 + N 2 .

Karena B> 0, lalu M > N.

Tetap menunjukkan itu M Dan N memiliki pasangan yang berbeda. Jika M Dan N- berpasangan, lalu kamu Dan ay harus dipasangkan, tetapi ini tidak mungkin, karena keduanya koprime. Jika M Dan N- tidak berpasangan, lalu B = M 2 − N 2 dan C = M 2 + N 2 akan dipasangkan, yang tidak mungkin karena C Dan B adalah koprim.

Jadi, setiap triple Pythagoras primitif harus memenuhi syarat (2). Pada saat yang sama, jumlahnya M Dan N ditelepon menghasilkan angka kembar tiga primitif. Sebagai contoh, mari kita buat triple Pythagoras primitif (120.119.169). Pada kasus ini

A= 120 = 2 12 5, B= 119 = 144 − 25, dan C = 144+25=169,

Di mana M = 12, N= 5 - menghasilkan angka, 12 > 5; 12 dan 5 adalah koprime dan pasangan yang berbeda.

Bisa dibuktikan jumlahnya M, N rumus (2) memberikan triple Pythagoras primitif (a,b,c). Benar-benar,

A 2 + B 2 = (2M N) 2 + (M 2 − N 2) 2 = 4M 2 N 2 + (M 4 − 2M 2 N 2 + N 4) =
= (M 4 + 2M 2 N 2 + N 4) = (M 2 + N 2) 2 = C 2 ,

Itu adalah ( A,B,C) adalah tripel Pythagoras. Mari kita buktikan sementara A,B,C adalah bilangan prima dengan kontradiksi. Biarkan angka-angka ini dibagi dengan P> 1. Sejak M Dan N memiliki pasangan yang berbeda, kemudian B Dan C- tidak berpasangan, yaitu P≠ 2. Sejak R membagi B Dan C, Itu R harus membagi 2 M 2 dan 2 N 2 , yang tidak mungkin karena P≠ 2. Oleh karena itu M, N adalah koprime dan A,B,C juga koprim.

Tabel 1 menunjukkan semua tripel Pythagoras primitif yang dihasilkan oleh rumus (2) untuk M≤10.

Tabel 1. Tripel Pythagoras primitif untuk M≤10

M	N	A	B	C	M	N	A	B	C
2	1	4	3	5	8	1	16	63	65
3	2	12	5	13	8	3	48	55	73
4	1	8	15	17	8	5	80	39	89
4	3	24	7	25	8	7	112	15	113
5	2	20	21	29	9	2	36	77	85
5	4	40	9	41	9	4	72	65	97
6	1	12	35	37	9	8	144	17	145
6	5	60	11	61	10	1	20	99	101
7	2	28	45	53	10	3	60	91	109
7	4	56	33	65	10	7	140	51	149
7	6	84	13	85	10	9	180	19	181

Analisis tabel ini menunjukkan adanya rangkaian pola berikut:

• atau A, atau B dibagi 3;
• salah satu nomor A,B,C habis dibagi 5;
• nomor A habis dibagi 4;
• bekerja A· B habis dibagi 12.

Pada tahun 1971, ahli matematika Amerika Teigan dan Hedwin mengusulkan parameter segitiga siku-siku yang kurang dikenal seperti tinggi (tinggi) untuk menghasilkan kembar tiga. H = C− b dan kelebihan (sukses) e = A + B − C. Pada Gambar.1. jumlah ini ditunjukkan pada segitiga siku-siku tertentu.

Gambar 1. Segitiga siku-siku dan pertumbuhan serta kelebihannya

Nama "kelebihan" berasal dari fakta bahwa ini adalah jarak tambahan yang harus dilalui sepanjang kaki segitiga dari satu titik ke titik yang berlawanan, jika Anda tidak mengikuti diagonalnya.

Melalui kelebihan dan pertumbuhan, sisi segitiga Pythagoras dapat dinyatakan sebagai:

e 2 e 2
A = H + e, B = e + ——, C = H + e + ——, (3)
2H 2H

Tidak semua kombinasi H Dan e mungkin sesuai dengan segitiga Pythagoras. Untuk diberikan H nilai-nilai yang mungkin e adalah produk dari beberapa nomor D. Nomor ini D disebut pertumbuhan dan mengacu pada H dengan cara berikut: D adalah bilangan bulat positif terkecil yang kuadratnya habis dibagi 2 H. Karena e banyak D, maka ditulis sebagai e = kd, Di mana k adalah bilangan bulat positif.

Dengan bantuan pasangan ( k,H) Anda dapat membuat semua segitiga Pythagoras, termasuk non-primitif dan umum, sebagai berikut:

(dk) 2 (dk) 2
A = H + dk, B = dk + ——, C = H + dk + ——, (4)
2H 2H

Selain itu, triple adalah if primitif k Dan H adalah koprime dan jika H =± Q 2 jam Q- tidak berpasangan.
Selain itu, itu akan menjadi triple Pythagoras jika k> √2 H/D Dan H > 0.

Mencari k Dan H dari ( A,B,C) lakukan hal berikut:

• H = C − B;
• tuliskan H Bagaimana H = pq 2 , dimana P> 0 dan yang bukan persegi;
• D = 2pq Jika P- tidak berpasangan dan D = pq, jika p dipasangkan;
• k = (A − H)/D.

Misalnya, untuk triple (8,15,17) yang kita miliki H= 17−15 = 2 1, jadi P= 2 dan Q = 1, D= 2, dan k= (8 − 2)/2 = 3. Jadi tripel ini diberikan sebagai ( k,H) = (3,2).

Untuk triple (459.1260.1341) yang kita miliki H= 1341 − 1260 = 81, jadi P = 1, Q= 9 dan D= 18, jadi k= (459 − 81)/18 = 21, jadi kode dari tripel ini adalah ( k,H) = (21, 81).

Menentukan tiga kali lipat dengan H Dan k memiliki sejumlah sifat menarik. Parameter k sama

k = 4S/(dP), (5)

Di mana S = ab/2 adalah luas segitiga, dan P = A + B + C adalah perimeternya. Ini mengikuti dari persamaan eP = 4S, yang berasal dari teorema Pythagoras.

Untuk segitiga siku-siku e sama dengan diameter lingkaran yang tertulis dalam segitiga. Ini berasal dari fakta bahwa sisi miring Dengan = (A − R)+(B − R) = A + B − 2R, Di mana R adalah jari-jari lingkaran. Dari sini H = C − B = A − 2R Dan e = A − H = 2R.

Untuk H> 0 dan k > 0, k adalah bilangan urut kembar tiga A-B-C dalam urutan segitiga Pythagoras dengan peningkatan H. Dari tabel 2, yang menunjukkan beberapa pilihan triplet yang dihasilkan secara berpasangan H, k, dapat dilihat bahwa dengan meningkatnya k sisi segitiga bertambah. Jadi, berbeda dengan penomoran klasik, penomoran berpasangan H, k memiliki urutan yang lebih tinggi dalam urutan triplet.

Tabel 2. Tripel Pythagoras dihasilkan oleh pasangan h, k.

H	k	A	B	C	H	k	A	B	C
2	1	4	3	5	3	1	9	12	15
2	2	6	8	10	3	2	15	36	39
2	3	8	15	17	3	3	21	72	75
2	4	10	24	26	3	4	27	120	123
2	5	12	35	37	3	5	33	180	183

Untuk H > 0, D memenuhi pertidaksamaan 2√ H ≤ D ≤ 2H, di mana batas bawah dicapai di P= 1, dan yang atas, di Q= 1. Oleh karena itu, nilainya D terhadap 2√ H adalah ukuran berapa banyak H jauh dari kuadrat beberapa angka.

Properti

Sejak persamaan X 2 + y 2 = z 2 homogen, bila dikalikan X , y Dan z untuk nomor yang sama Anda mendapatkan triple Pythagoras lainnya. Tripel Pythagoras disebut primitif, jika tidak dapat diperoleh dengan cara ini, yaitu - bilangan prima relatif.

Contoh

Beberapa Tripel Pythagoras (diurutkan dalam urutan menaik dari jumlah maksimum, yang primitif disorot):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Berdasarkan sifat-sifat bilangan Fibonacci, Anda dapat membuatnya, misalnya, tiga kali lipat Pythagoras:

.

Cerita

Tripel Pythagoras telah dikenal sejak lama. Dalam arsitektur batu nisan Mesopotamia kuno, ditemukan segitiga sama kaki yang terdiri dari dua persegi panjang dengan sisi 9, 12 dan 15 hasta. Piramida Firaun Snefru (abad XXVII SM) dibangun menggunakan segitiga dengan sisi 20, 21 dan 29, serta 18, 24 dan 30 puluhan hasta Mesir.

Lihat juga

Tautan

• E.A. Gorin Kekuatan bilangan prima dalam tiga kali lipat Pythagoras // pendidikan matematika. - 2008. - V.12. - S.105-125.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa "bilangan Pythagoras" di kamus lain:

Tiga kali lipat dari bilangan asli sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama) dengan bilangan ini adalah siku-siku, mis. rangkap tiga: 3, 4, 5… Kamus Ensiklopedia Besar

Lipat tiga bilangan asli sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama) dengan bilangan tersebut berbentuk persegi panjang, misalnya bilangan tiga kali lipat: 3, 4, 5. * * * ANGKA PYTHAGORAN ANGKA PYTHAGORAN, tiga kali lipat dari bilangan asli tersebut itu ... ... Kamus ensiklopedis

Tiga kali lipat dari bilangan asli sehingga segitiga yang panjang sisinya sebanding (atau sama) dengan bilangan-bilangan ini adalah segitiga siku-siku. Menurut teorema, kebalikan dari teorema Pythagoras (lihat teorema Pythagoras), untuk ini cukup mereka ... ...

Kembar tiga bilangan bulat positif x, y, z yang memenuhi persamaan x2+y 2=z2. Semua solusi dari persamaan ini, dan konsekuensinya, semua P. p., diekspresikan dengan rumus x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, di mana a, b adalah sembarang bilangan bulat positif (a>b). P. h ... Ensiklopedia Matematika

Tiga kali lipat bilangan asli sedemikian rupa sehingga sebuah segitiga, yang panjang sisi-sisinya sebanding (atau sama) dengan bilangan-bilangan ini, adalah persegi panjang, misalnya. rangkap tiga: 3, 4, 5… Ilmu pengetahuan Alam. Kamus ensiklopedis

Dalam matematika, bilangan Pythagoras (triple Pythagoras) adalah tupel dari tiga bilangan bulat yang memenuhi hubungan Pythagoras: x2 + y2 = z2. Isi 1 Properti 2 Contoh ... Wikipedia

Angka keriting adalah nama umum angka yang terkait dengan bentuk geometris tertentu. Konsep sejarah ini kembali ke Pythagoras. Agaknya, ungkapan "Persegi atau kubus" muncul dari angka keriting. Isi ... ... Wikipedia

Angka keriting adalah nama umum angka yang terkait dengan bentuk geometris tertentu. Konsep sejarah ini kembali ke Pythagoras. Ada beberapa jenis bilangan keriting berikut ini: Bilangan linier adalah bilangan yang tidak terurai menjadi faktor, yaitu ... ... Wikipedia

- "Paradoks pi" adalah lelucon tentang topik matematika, yang beredar di kalangan siswa hingga tahun 80-an (sebenarnya, sebelum distribusi massa kalkulator mikro) dan dikaitkan dengan akurasi terbatas dalam menghitung fungsi trigonometri dan ... ... Wikipedia

- (aritmetika Yunani, dari bilangan aritmia) ilmu bilangan, terutama bilangan asli (bilangan bulat positif) dan pecahan (rasional), dan operasinya. Memiliki konsep bilangan asli yang cukup berkembang dan kemampuan untuk ... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Buku

• Musim panas Archimedean, atau sejarah komunitas matematikawan muda. Sistem bilangan biner, Bobrov Sergey Pavlovich. Sistem bilangan biner, "Menara Hanoi", gerakan ksatria, kotak ajaib, segitiga aritmatika, angka keriting, kombinasi, konsep probabilitas, strip Möbius, dan botol Klein.…

» Profesor Matematika yang Terhormat di University of Warwick, pemopuler sains terkenal Ian Stewart, mendedikasikan dirinya untuk peran angka dalam sejarah umat manusia dan relevansi studi mereka di zaman kita.

sisi miring Pythagoras

Segitiga Pythagoras memiliki sudut siku-siku dan sisi bilangan bulat. Yang paling sederhana, sisi terpanjang memiliki panjang 5, sisanya 3 dan 4. Total ada 5 polihedra biasa. Persamaan derajat lima tidak dapat diselesaikan dengan akar derajat lima - atau akar lainnya. Kisi-kisi di bidang dan di ruang tiga dimensi tidak memiliki simetri rotasi lima lobus, oleh karena itu, simetri seperti itu juga tidak ada dalam kristal. Namun, mereka bisa berada dalam kisi-kisi dalam ruang empat dimensi dan dalam struktur menarik yang dikenal sebagai quasicrystals.

Sisi miring dari triple Pythagoras terkecil

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa sisi terpanjang dari segitiga siku-siku (sisi miring yang terkenal) berkorelasi dengan dua sisi lain dari segitiga ini dengan cara yang sangat sederhana dan indah: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi miring lainnya. dua sisi.

Secara tradisional, kami menyebut teorema ini setelah Pythagoras, tetapi sebenarnya sejarahnya agak kabur. Tablet tanah liat menunjukkan bahwa orang Babilonia kuno mengetahui teorema Pythagoras jauh sebelum Pythagoras sendiri; kemuliaan penemu dibawa kepadanya oleh kultus matematika Pythagoras, yang pendukungnya percaya bahwa alam semesta didasarkan pada pola numerik. Penulis kuno menghubungkan Pythagoras - dan karenanya ke Pythagoras - berbagai teorema matematika, tetapi pada kenyataannya kita tidak tahu jenis matematika apa yang dilakukan Pythagoras sendiri. Kami bahkan tidak tahu apakah Pythagoras dapat membuktikan Teorema Pythagoras, atau apakah mereka hanya percaya itu benar. Atau, lebih mungkin, mereka memiliki data yang meyakinkan tentang kebenarannya, yang bagaimanapun tidak akan cukup untuk apa yang kita anggap sebagai bukti hari ini.

Bukti Pythagoras

Bukti pertama yang diketahui dari teorema Pythagoras ditemukan di Euclid's Elements. Ini adalah bukti yang agak rumit dengan menggunakan gambar yang akan segera dikenali oleh anak sekolah Victoria sebagai "celana Pythagoras"; gambarnya benar-benar menyerupai celana dalam yang dijemur di atas tali. Secara harfiah ratusan bukti lain diketahui, yang sebagian besar membuat pernyataan tersebut lebih jelas.

// Beras. 33. Celana Pythagoras

Salah satu bukti paling sederhana adalah sejenis teka-teki matematika. Ambil segitiga siku-siku, buat empat salinannya dan kumpulkan di dalam kotak. Dengan satu peletakan, kita melihat sebuah persegi di sisi miring; dengan yang lain - kotak di dua sisi segitiga lainnya. Jelas bahwa luas dalam kedua kasus adalah sama.

// Beras. 34. Kiri: persegi di sisi miring (ditambah empat segitiga). Kanan: jumlah kuadrat pada dua sisi lainnya (ditambah empat segitiga yang sama). Sekarang hilangkan segitiga

Pembedahan Perigal adalah bukti teka-teki lainnya.

// Beras. 35. Pembedahan Perigal

Ada juga pembuktian teorema menggunakan kotak susun di pesawat. Mungkin begitulah cara orang Pythagoras atau pendahulu mereka yang tidak dikenal menemukan teorema ini. Jika Anda melihat bagaimana bujur sangkar miring tumpang tindih dengan dua bujur sangkar lainnya, Anda dapat melihat cara memotong bujur sangkar besar menjadi beberapa bagian dan kemudian menyatukannya menjadi dua bujur sangkar yang lebih kecil. Anda juga dapat melihat segitiga siku-siku, yang sisi-sisinya memberikan dimensi dari tiga bujur sangkar yang terlibat.

// Beras. 36. Pembuktian dengan paving

Ada bukti menarik menggunakan segitiga serupa dalam trigonometri. Setidaknya lima puluh bukti berbeda diketahui.

kembar tiga Pythagoras

Dalam teori bilangan, teorema Pythagoras menjadi sumber ide yang bermanfaat: menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan aljabar. Tripel Pythagoras adalah himpunan bilangan bulat a, b, dan c sehingga

Secara geometris, triple seperti itu mendefinisikan segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat.

Sisi miring terkecil dari triple Pythagoras adalah 5.

Dua sisi lain dari segitiga ini adalah 3 dan 4. Di sini

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Sisi miring terbesar berikutnya adalah 10 karena

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Namun, ini pada dasarnya adalah segitiga yang sama dengan sisi ganda. Sisi miring terbesar dan benar-benar berbeda berikutnya adalah 13, yang mana

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclid tahu bahwa ada banyak sekali variasi yang berbeda dari Tripel Pythagoras, dan dia memberikan apa yang bisa disebut formula untuk menemukan semuanya. Belakangan, Diophantus dari Alexandria menawarkan resep sederhana, yang pada dasarnya sama dengan Euclidean.

Ambil dua bilangan asli dan hitung:

produk ganda mereka;

selisih kuadratnya;

jumlah kuadrat mereka.

Tiga angka yang dihasilkan akan menjadi sisi segitiga Pythagoras.

Ambil contoh angka 2 dan 1. Hitung:

perkalian ganda: 2 × 2 × 1 = 4;

selisih kuadrat: 22 - 12 = 3;

jumlah kuadrat: 22 + 12 = 5,

dan kami mendapatkan segitiga 3-4-5 yang terkenal. Jika kita mengambil angka 3 dan 2 sebagai gantinya, kita mendapatkan:

perkalian ganda: 2 × 3 × 2 = 12;

selisih kuadrat: 32 - 22 = 5;

jumlah kuadrat: 32 + 22 = 13,

dan kita mendapatkan segitiga terkenal berikutnya 5 - 12 - 13. Ayo coba ambil angka 42 dan 23 dan dapatkan:

perkalian ganda: 2 × 42 × 23 = 1932;

selisih kuadrat: 422 - 232 = 1235;

jumlah kuadrat: 422 + 232 = 2293,

tidak ada yang pernah mendengar tentang segitiga 1235–1932–2293.

Tetapi angka-angka ini juga berfungsi:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Ada fitur lain dalam aturan Diophantine yang telah diisyaratkan: setelah menerima tiga angka, kita dapat mengambil angka arbitrer lain dan mengalikan semuanya dengan itu. Jadi, segitiga 3-4-5 dapat diubah menjadi segitiga 6-8-10 dengan mengalikan semua sisinya dengan 2, atau menjadi segitiga 15-20-25 dengan mengalikan semuanya dengan 5.

Jika kita beralih ke bahasa aljabar, aturannya mengambil bentuk berikut: misalkan u, v, dan k adalah bilangan asli. Kemudian segitiga siku-siku dengan sisi

2kuv dan k (u2 - v2) memiliki sisi miring

Ada cara lain untuk menyajikan ide utama, tetapi semuanya bermuara pada yang dijelaskan di atas. Metode ini memungkinkan Anda untuk mendapatkan semua tiga kali lipat Pythagoras.

Polihedra biasa

Tepatnya ada lima polihedra beraturan. Polihedron biasa (atau polihedron) adalah sosok tiga dimensi dengan jumlah permukaan datar yang terbatas. Sisi bertemu satu sama lain pada garis yang disebut tepi; tepi bertemu di titik yang disebut simpul.

Puncak dari "Prinsip" Euclidean adalah bukti bahwa hanya ada lima polihedra beraturan, yaitu polihedra di mana setiap sisinya adalah poligon beraturan (sisi yang sama, sudut yang sama), semua sisinya identik, dan semua simpul dikelilingi dengan jumlah yang sama dari permukaan yang berjarak sama. Berikut adalah lima polihedra biasa:

tetrahedron dengan empat wajah segitiga, empat simpul dan enam sisi;

kubus, atau segi enam, dengan 6 sisi persegi, 8 simpul dan 12 sisi;

segi delapan dengan 8 wajah segitiga, 6 simpul dan 12 tepi;

dodecahedron dengan 12 sisi pentagonal, 20 simpul dan 30 sisi;

icosahedron dengan 20 wajah segitiga, 12 simpul dan 30 tepi.

// Beras. 37. Lima polihedra biasa

Polyhedra biasa juga dapat ditemukan di alam. Pada tahun 1904, Ernst Haeckel menerbitkan gambar organisme kecil yang dikenal sebagai radiolaria; banyak dari mereka berbentuk seperti lima polihedra biasa yang sama. Mungkin, bagaimanapun, dia sedikit mengoreksi alam, dan gambarnya tidak sepenuhnya mencerminkan bentuk makhluk hidup tertentu. Tiga struktur pertama juga diamati dalam kristal. Anda tidak akan menemukan dodecahedron dan ikosahedron dalam kristal, meskipun dodecahedron dan ikosahedron tidak beraturan terkadang ditemukan di sana. Dodecahedron sejati dapat muncul sebagai quasicrystals, yang seperti kristal dalam segala hal, kecuali atomnya tidak membentuk kisi periodik.

// Beras. 38. Gambar oleh Haeckel: radiolaria dalam bentuk polyhedra beraturan

// Beras. 39. Perkembangan Polyhedra Reguler

Sangat menarik untuk membuat model polihedra biasa dari kertas dengan terlebih dahulu memotong satu set permukaan yang saling berhubungan - ini disebut sapuan polihedron; pindaian dilipat di sepanjang tepi dan tepi yang sesuai direkatkan. Berguna untuk menambahkan area tambahan untuk lem ke salah satu tepi dari setiap pasangan tersebut, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 39. Jika tidak ada platform seperti itu, Anda dapat menggunakan selotip.

Persamaan derajat kelima

Tidak ada rumus aljabar untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-5.

Secara umum, persamaan derajat kelima terlihat seperti ini:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Masalahnya adalah menemukan rumus untuk menyelesaikan persamaan seperti itu (dapat memiliki hingga lima solusi). Pengalaman dengan persamaan kuadrat dan kubik, serta persamaan derajat keempat, menunjukkan bahwa rumus seperti itu juga harus ada untuk persamaan derajat kelima, dan, secara teori, akar derajat kelima, ketiga dan kedua akan muncul di dia. Sekali lagi, orang dapat dengan aman berasumsi bahwa rumus seperti itu, jika ada, akan menjadi sangat, sangat rumit.

Anggapan ini pada akhirnya ternyata salah. Memang, tidak ada rumus seperti itu; setidaknya tidak ada rumus yang terdiri dari koefisien a, b, c, d, e dan f, yang disusun dengan menggunakan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, serta mengambil akar. Jadi, ada sesuatu yang sangat istimewa tentang angka 5. Alasan perilaku kelima yang tidak biasa ini sangat dalam, dan butuh banyak waktu untuk mengetahuinya.

Tanda pertama dari suatu masalah adalah tidak peduli seberapa keras matematikawan berusaha menemukan rumus seperti itu, tidak peduli seberapa pintar mereka, mereka selalu gagal. Untuk beberapa waktu, semua orang percaya bahwa alasannya terletak pada kerumitan formula yang luar biasa. Diyakini bahwa tidak ada yang bisa memahami aljabar ini dengan benar. Namun, seiring berjalannya waktu, beberapa ahli matematika mulai meragukan bahwa rumus semacam itu ada, dan pada tahun 1823 Niels Hendrik Abel mampu membuktikan sebaliknya. Tidak ada rumus seperti itu. Tak lama kemudian, Évariste Galois menemukan cara untuk menentukan apakah persamaan satu derajat atau lainnya - 5, 6, 7, umumnya apa saja - dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus semacam ini.

Kesimpulan dari semua ini sederhana: angka 5 itu spesial. Anda dapat memecahkan persamaan aljabar (menggunakan akar ke-n untuk nilai n yang berbeda) untuk pangkat 1, 2, 3, dan 4, tetapi tidak untuk pangkat 5. Di sinilah pola yang jelas berakhir.

Tidak ada yang terkejut bahwa persamaan pangkat lebih besar dari 5 berperilaku lebih buruk; khususnya, kesulitan yang sama terkait dengan mereka: tidak ada rumus umum untuk solusinya. Ini tidak berarti bahwa persamaan tersebut tidak memiliki solusi; itu tidak berarti juga bahwa tidak mungkin menemukan nilai numerik yang sangat tepat dari solusi ini. Ini semua tentang keterbatasan alat aljabar tradisional. Ini mengingatkan pada ketidakmungkinan membagi tiga sudut dengan penggaris dan kompas. Ada jawabannya, tetapi metode yang tercantum tidak cukup dan tidak memungkinkan Anda untuk menentukan apa itu.

Keterbatasan kristalografi

Kristal dalam dua dan tiga dimensi tidak memiliki simetri putar 5 balok.

Atom-atom dalam kristal membentuk kisi, yaitu struktur yang berulang secara berkala dalam beberapa arah yang independen. Misalnya, pola pada wallpaper diulangi sepanjang gulungan; selain itu, biasanya diulang dalam arah horizontal, kadang-kadang dengan perpindahan dari satu bagian wallpaper ke bagian berikutnya. Intinya, wallpaper adalah kristal dua dimensi.

Ada 17 jenis pola wallpaper di pesawat (lihat bab 17). Mereka berbeda dalam jenis simetri, yaitu dalam cara menggeser pola secara kaku sehingga terletak persis pada posisi aslinya. Jenis-jenis simetri meliputi, khususnya, berbagai varian simetri rotasi, di mana polanya harus diputar melalui sudut tertentu di sekitar titik tertentu - pusat simetri.

Urutan simetri rotasi adalah berapa kali Anda dapat memutar tubuh hingga satu lingkaran penuh sehingga semua detail gambar kembali ke posisi semula. Misalnya, rotasi 90° adalah simetri rotasi urutan ke-4*. Daftar kemungkinan jenis simetri rotasi dalam kisi kristal sekali lagi menunjukkan keanehan angka 5: tidak ada. Ada varian dengan simetri putar orde 2, 3, 4 dan 6, tetapi tidak ada pola wallpaper yang memiliki simetri putar orde 5. Juga tidak ada simetri rotasi dengan urutan lebih besar dari 6 dalam kristal, tetapi pelanggaran urutan pertama masih terjadi pada angka 5.

Hal yang sama terjadi dengan sistem kristalografi dalam ruang tiga dimensi. Di sini kisi berulang dalam tiga arah independen. Ada 219 jenis simetri yang berbeda, atau 230 jika kita menganggap pantulan cermin dari pola sebagai versi terpisah darinya - terlebih lagi, dalam hal ini tidak ada simetri cermin. Sekali lagi, simetri rotasi orde 2, 3, 4, dan 6 diamati, tetapi tidak 5. Fakta ini disebut kendala kristalografi.

Dalam ruang empat dimensi, terdapat kisi-kisi dengan simetri orde 5; secara umum, untuk kisi-kisi dengan dimensi yang cukup tinggi, urutan simetri rotasi yang telah ditentukan sebelumnya dimungkinkan.

// Beras. 40. Kisi kristal dari garam meja. Bola gelap melambangkan atom natrium, bola terang melambangkan atom klorin.

Quasicrystals

Sementara simetri rotasi urutan ke-5 tidak dimungkinkan dalam kisi 2D dan 3D, ia dapat ada dalam struktur yang sedikit kurang teratur yang dikenal sebagai quasicrystals. Dengan menggunakan sketsa Kepler, Roger Penrose menemukan sistem datar dengan jenis simetri lipat lima yang lebih umum. Mereka disebut quasicrystals.

Quasicrystals ada di alam. Pada tahun 1984, Daniel Shechtman menemukan bahwa paduan aluminium dan mangan dapat membentuk kuasi-kristal; Awalnya, ahli kristalografi menyambut pesannya dengan skeptis, tetapi kemudian penemuan itu dikonfirmasi, dan pada 2011 Shechtman dianugerahi Hadiah Nobel Kimia. Pada tahun 2009, tim ilmuwan yang dipimpin oleh Luca Bindi menemukan kuasi-kristal dalam mineral dari Dataran Tinggi Koryak Rusia - senyawa aluminium, tembaga, dan besi. Hari ini mineral ini disebut icosahedrite. Dengan mengukur kandungan berbagai isotop oksigen dalam mineral tersebut dengan spektrometer massa, para ilmuwan menunjukkan bahwa mineral tersebut tidak berasal dari Bumi. Itu terbentuk sekitar 4,5 miliar tahun yang lalu, pada saat tata surya baru saja muncul, dan menghabiskan sebagian besar waktunya di sabuk asteroid, mengorbit matahari, sampai beberapa jenis gangguan mengubah orbitnya dan akhirnya membawanya ke Bumi.

// Beras. 41. Kiri: salah satu dari dua kisi kuasi-kristal dengan simetri lipat lima yang tepat. Kanan: Model atom dari quasicrystal aluminium-paladium-mangan ikosahedral