rumah › Mesin › Kalkulator turunan fungsi trigonometri terbalik. Aturan untuk menghitung turunan

Kalkulator turunan fungsi trigonometri terbalik. Aturan untuk menghitung turunan

Perhitungan turunan adalah salah satu operasi terpenting dalam kalkulus diferensial. Di bawah ini adalah tabel untuk menemukan turunan dari fungsi sederhana. Untuk aturan diferensiasi yang lebih kompleks, lihat pelajaran lain:

Tabel turunan fungsi eksponensial dan logaritmik

Gunakan rumus yang diberikan sebagai nilai referensi. Mereka akan membantu dalam memecahkan persamaan diferensial dan masalah. Pada gambar di tabel turunan fungsi sederhana terdapat "lembar contekan" kasus utama menemukan turunan dalam bentuk yang dapat dimengerti untuk digunakan, di sebelahnya terdapat penjelasan untuk setiap kasus.

Turunan dari fungsi sederhana

1. Turunan suatu bilangan adalah nol
s' = 0
Contoh:
5' = 0

Penjelasan:
Derivatif menunjukkan tingkat di mana nilai fungsi berubah ketika argumen berubah. Karena angka tidak berubah sama sekali dalam kondisi apa pun, laju perubahannya selalu nol.

2. Turunan dari variabel sama dengan satu
x' = 1

Penjelasan:
Dengan setiap kenaikan argumen (x) per satu, nilai fungsi (hasil perhitungan) bertambah dengan jumlah yang sama. Jadi, laju perubahan nilai fungsi y = x sama persis dengan laju perubahan nilai argumen.

3. Turunan dari variabel dan faktor sama dengan faktor ini
сx´ = с
Contoh:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Penjelasan:
Dalam hal ini, setiap kali argumen fungsi ( X) nilainya (y) bertambah Dengan sekali. Jadi, laju perubahan nilai fungsi sehubungan dengan laju perubahan argumen sama persis dengan nilainya Dengan.

Dari mana itu mengikuti itu
(cx + b)" = c
yaitu, diferensial dari fungsi linier y=kx+b sama dengan kemiringan garis lurus (k).

4. Turunan modulo dari variabel sama dengan hasil bagi variabel ini dengan modulusnya
|x|"= x / |x| asalkan x ≠ 0
Penjelasan:
Karena turunan dari variabel (lihat rumus 2) sama dengan satu, turunan dari modulus hanya berbeda dalam nilai laju perubahan fungsi yang berubah menjadi berlawanan ketika melintasi titik asal (cobalah menggambar grafik dari fungsi y = |x| dan lihat sendiri. Ini persis nilai dan mengembalikan ekspresi x / |x| Ketika x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - satu. Yaitu, dengan nilai negatif dari variabel x, dengan setiap peningkatan dalam perubahan argumen, nilai fungsi berkurang dengan nilai yang persis sama, dan dengan nilai positif, sebaliknya, meningkat, tetapi persis nilai yang sama.

5. Turunan pangkat dari variabel sama dengan perkalian bilangan pangkat ini dengan variabel pangkat, dikurangi satu
(xc)"= cxc-1, asalkan x c dan cx c-1 didefinisikan dan c ≠ 0
Contoh:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Untuk menghafal rumus:
Ambil eksponen dari variabel "turun" sebagai pengganda, lalu kurangi eksponen itu sendiri sebanyak satu. Misalnya, untuk x 2 - dua di depan x, lalu pengurangan daya (2-1 = 1) hanya memberi kita 2x. Hal yang sama terjadi untuk x 3 - kita menurunkan triple, menguranginya satu, dan bukannya kubus kita memiliki persegi, yaitu 3x 2 . Sedikit "tidak ilmiah", tetapi sangat mudah diingat.

6.Turunan pecahan 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Contoh:
Karena sebagian kecil dapat direpresentasikan sebagai peningkatan ke kekuatan negatif
(1/x)" = (x -1)" , maka Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5 tabel turunan
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Turunan pecahan dengan variabel tingkat arbitrer dalam penyebut
(1/xc)" = - c / xc+1
Contoh:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. turunan akar(turunan dari variabel di bawah akar kuadrat)
(√x)" = 1 / (2√x) atau 1/2 x -1/2
Contoh:
(√x)" = (x 1/2)" sehingga Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivatif dari variabel di bawah akar derajat sewenang-wenang
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Aplikasi

Solusi turunan ke situs untuk mengkonsolidasikan materi yang dicakup oleh siswa dan anak sekolah. Menghitung turunan suatu fungsi dalam beberapa detik tidaklah sulit jika Anda menggunakan layanan pemecahan masalah online kami. Setiap siswa ketiga akan dapat memberikan analisis terperinci untuk studi menyeluruh dalam pelajaran praktis. Seringkali kami didekati oleh departemen dari departemen terkait untuk promosi matematika di lembaga pendidikan negara. Bagaimana, dalam hal ini, belum lagi solusi turunan online untuk ruang tertutup dari barisan numerik. Banyak orang kaya diizinkan untuk mengungkapkan kebingungan mereka. Namun sementara itu, matematikawan tidak tinggal diam dan bekerja keras. Perubahan parameter input menurut karakteristik linier akan diterima oleh kalkulator derivatif terutama karena suprema dari posisi kubus yang menurun. Hasilnya tidak bisa dihindari sebagai permukaan. Sebagai data awal, turunan online menghilangkan kebutuhan untuk mengambil langkah yang tidak perlu. Kecuali untuk pekerjaan rumah fiktif. Selain fakta bahwa penyelesaian turunan secara online merupakan aspek yang perlu dan penting dalam pembelajaran matematika, siswa seringkali tidak mengingat masalah di masa lalu. Siswa, seperti makhluk malas, memahami hal ini. Tapi siswa adalah orang yang lucu! Entah melakukannya sesuai aturan, atau turunan dari fungsi pada bidang miring dapat memberikan percepatan ke titik material. Mari arahkan vektor sinar spasial yang turun ke suatu tempat. Dalam jawaban yang diinginkan, menemukan turunannya tampaknya merupakan arah teoretis yang abstrak karena ketidakstabilan sistem matematika. Pikirkan rasio angka sebagai urutan opsi yang tidak digunakan. Saluran komunikasi diisi ulang dengan garis kelima sepanjang vektor turun dari titik percabangan tertutup kubus. Di bidang ruang melengkung, memecahkan turunan online membawa kita pada kesimpulan yang membuat para pemikir terhebat di planet ini berpikir pada abad terakhir. Dalam perjalanan peristiwa dari bidang matematika, lima faktor fundamental penting yang berkontribusi pada peningkatan posisi pemilihan variabel dibawa ke diskusi publik. Jadi hukum untuk poin mengatakan bahwa turunan online tidak dihitung secara rinci dalam setiap kasus, hanya momen yang berkembang dengan setia yang dapat menjadi pengecualian. Prakiraan tersebut membawa kami ke babak baru pembangunan. Kami butuh hasil. Di garis kemiringan matematis yang dilalui di bawah permukaan, kalkulator turunan mode berada di area perpotongan produk pada himpunan lentur. Tetap menganalisis diferensiasi fungsi pada titik independennya di dekat lingkungan epsilon. Ini bisa dilihat oleh semua orang dalam praktiknya. Akibatnya, akan ada sesuatu yang harus diputuskan pada tahap pemrograman selanjutnya. Siswa membutuhkan turunan online seperti biasa, terlepas dari studi imajiner yang dipraktikkan. Ternyata solusi online fungsi turunan dikalikan dengan konstanta tidak mengubah arah umum gerak titik material, tetapi mencirikan peningkatan kecepatan dalam garis lurus. Dalam pengertian ini, akan berguna untuk menerapkan kalkulator turunan kami dan menghitung semua nilai fungsi pada seluruh rangkaian definisinya. Tidak perlu mempelajari gelombang gaya medan gravitasi. Solusi turunan online tidak akan menunjukkan kemiringan sinar keluar, tetapi hanya dalam kasus yang jarang terjadi, ketika benar-benar diperlukan, mahasiswa dapat membayangkan hal ini. Kami menyelidiki kepala sekolah. Nilai rotor terkecil dapat diprediksi. Terapkan ke hasil garis yang menghadap ke kanan, di mana bola dijelaskan, tetapi kalkulator turunan online adalah dasar untuk angka kekuatan khusus dan ketergantungan non-linear. Laporan proyek matematika sudah siap. Karakteristik pribadi perbedaan angka terkecil dan turunan dari fungsi sepanjang sumbu y akan membawa kecekungan fungsi yang sama ke ketinggian. Ada arah - ada kesimpulan. Lebih mudah menerapkan teori ke dalam praktik. Ada usulan dari mahasiswa tentang waktu dimulainya penelitian. Butuh jawaban guru. Sekali lagi, seperti pada posisi sebelumnya, sistem matematika tidak diatur berdasarkan tindakan yang akan membantu menemukan turunannya. Seperti versi semi-linear yang lebih rendah, turunan online akan menunjukkan secara rinci identifikasi solusi menurut hukum kondisional yang merosot. Kedepankan saja ide menghitung rumus. Diferensiasi linear dari suatu fungsi menolak kebenaran solusi dengan hanya meletakkan variasi positif yang tidak relevan. Pentingnya tanda-tanda perbandingan akan dianggap sebagai pemutusan fungsi yang terus-menerus sepanjang sumbu. Inilah pentingnya kesimpulan yang paling sadar, menurut siswa, di mana turunan online adalah sesuatu selain contoh setia analisis matematika. Jari-jari lingkaran melengkung di ruang Euclidean, sebaliknya, memberi kalkulator turunan representasi alami dari pertukaran masalah yang menentukan untuk stabilitas. Metode terbaik telah ditemukan. Lebih mudah untuk menaikkan level tugas. Biarkan penerapan proporsi perbedaan independen mengarah pada solusi turunan online. Solusinya berputar di sekitar sumbu x, menggambarkan bentuk lingkaran. Ada jalan keluarnya, dan itu didasarkan pada penelitian yang secara teoritis didukung oleh mahasiswa, yang dipelajari semua orang, dan bahkan pada saat-saat itu ada turunan dari fungsinya. Kami menemukan cara untuk maju dan para siswa mengonfirmasinya. Kita dapat menemukan turunannya tanpa melampaui pendekatan yang tidak wajar untuk mengubah sistem matematika. Tanda proporsional kiri tumbuh secara eksponensial sebagai representasi matematis dari kalkulator derivatif online karena keadaan faktor linier yang tidak diketahui pada sumbu y tak terhingga. Matematikawan di seluruh dunia telah membuktikan eksklusivitas proses produksi. Ada bujur sangkar terkecil di dalam lingkaran menurut uraian teori. Sekali lagi, turunan daring akan menguraikan tebakan kami tentang apa yang mungkin telah memengaruhi opini yang disempurnakan secara teoretis. Ada pendapat yang berbeda dari laporan yang kami analisis. Perhatian terpisah mungkin tidak terjadi pada siswa fakultas kita, tetapi hanya tidak pada ahli matematika yang cerdas dan mahir yang perbedaan fungsi hanyalah alasan. Arti mekanis dari turunannya sangat sederhana. Gaya angkat dihitung sebagai turunan online untuk ruang mantap yang miring ke bawah dalam waktu. Jelas, kalkulator turunan adalah proses yang ketat untuk menggambarkan masalah degenerasi transformasi buatan sebagai benda amorf. Turunan pertama berbicara tentang perubahan gerak suatu titik material. Ruang tiga dimensi jelas diamati dalam konteks teknologi yang dilatih khusus untuk menyelesaikan turunan secara online, sebenarnya ada di setiap kolokium tentang topik disiplin matematika. Turunan kedua mencirikan perubahan kecepatan suatu titik material dan menentukan percepatan. Pendekatan meridian berdasarkan penggunaan transformasi affine mengambil turunan dari suatu fungsi pada suatu titik dari domain definisi fungsi ini ke tingkat yang baru. Kalkulator turunan online tidak dapat tanpa angka dan notasi simbolik dalam beberapa kasus pada saat yang tepat untuk dieksekusi, kecuali untuk pengaturan tugas yang dapat diubah. Anehnya, ada percepatan kedua dari suatu titik material, ini mencirikan perubahan percepatan. Dalam waktu singkat, kami akan mulai mempelajari solusi turunan secara online, tetapi segera setelah pencapaian tertentu dalam pengetahuan, siswa kami akan menghentikan proses ini. Cara terbaik untuk berjejaring adalah mengobrol langsung tentang topik matematika. Ada prinsip yang tidak boleh dilanggar dalam keadaan apapun, sesulit apapun tugasnya. Berguna untuk menemukan turunannya secara online tepat waktu dan tanpa kesalahan. Ini akan mengarah pada posisi baru dari ekspresi matematika. Sistem ini stabil. Arti fisik turunannya tidak sepopuler yang mekanis. Tidak mungkin ada orang yang ingat bagaimana turunan daring menampilkan garis besar garis fungsi ke normal dari segitiga yang berdekatan dengan sumbu x secara detail di bidang. Manusia layak mendapat peran besar dalam penelitian abad terakhir. Mari kita lakukan dalam tiga tahap dasar diferensiasi fungsi pada titik-titik, baik dari domain definisi maupun tak terhingga. Akan ditulis hanya di bidang studi, tetapi dapat menggantikan vektor utama dalam matematika dan teori bilangan, segera setelah apa yang terjadi akan menghubungkan kalkulator turunan online ke soal. Akan ada alasan, tetapi akan ada alasan untuk membuat persamaan. Sangat penting untuk mengingat semua parameter input. Yang terbaik tidak selalu dilakukan secara langsung, di balik ini adalah jumlah kerja yang sangat besar dari para pemikir terbaik yang tahu bagaimana turunan online dihitung di luar angkasa. Sejak itu, kecembungan telah dianggap sebagai sifat dari fungsi kontinu. Tetap saja, lebih baik menetapkan tugas menyelesaikan turunan online terlebih dahulu dalam waktu sesingkat mungkin. Dengan demikian solusinya akan lengkap. Selain norma-norma yang tidak terpenuhi, ini dianggap tidak cukup. Awalnya, hampir setiap siswa mengusulkan untuk mengajukan metode sederhana tentang bagaimana turunan suatu fungsi menyebabkan algoritma pertumbuhan yang kontroversial. Ke arah sinar menaik. Ini masuk akal sebagai posisi umum. Sebelumnya, mereka menandai awal penyelesaian tindakan matematika tertentu, tetapi hari ini sebaliknya. Mungkin solusi turunan online akan mengangkat masalah ini lagi dan kami akan menerima pendapat umum tentang pelestariannya pada diskusi rapat guru. Kami mengharapkan pengertian dari semua pihak peserta rapat. Arti logis terkandung dalam uraian kalkulator turunan dalam resonansi angka tentang urutan penyajian pemikiran masalah, yang dijawab pada abad terakhir oleh para ilmuwan besar dunia. Ini akan membantu mengekstraksi variabel kompleks dari ekspresi yang dikonversi dan menemukan turunan online untuk melakukan tindakan masif dari jenis yang sama. Kebenaran jauh lebih baik daripada tebakan. Nilai terkecil dalam tren. Hasilnya tidak akan lama lagi ketika menggunakan layanan unik untuk lokasi paling akurat, yang memiliki turunan online secara mendetail. Secara tidak langsung, tetapi to the point, seperti yang dikatakan oleh seorang bijak, kalkulator derivatif online dibuat atas permintaan banyak siswa dari berbagai kota di serikat pekerja. Jika ada perbedaan, lalu mengapa memutuskan dua kali. Vektor yang diberikan terletak pada sisi yang sama dengan vektor normal. Di pertengahan abad yang lalu, diferensiasi suatu fungsi sama sekali tidak dirasakan seperti sekarang ini. Berkat perkembangan yang sedang berlangsung, matematika online telah muncul. Seiring waktu, siswa lupa memberi kredit pada disiplin matematika. Solusi turunan online akan menantang tesis kami, yang seharusnya didasarkan pada penerapan teori, didukung oleh pengetahuan praktis. Akan melampaui nilai faktor presentasi yang ada dan menulis rumus dalam bentuk eksplisit untuk fungsi tersebut. Kebetulan Anda perlu menemukan turunannya secara online sekarang tanpa menggunakan kalkulator apa pun, namun, Anda selalu dapat menggunakan trik siswa dan tetap menggunakan layanan seperti situs web. Dengan demikian, siswa akan menghemat banyak waktu untuk menyalin contoh dari draf buku catatan ke dalam bentuk final. Jika tidak ada kontradiksi, gunakan layanan solusi langkah demi langkah untuk contoh rumit tersebut.

Definisi. Biarkan fungsi $y = f(x) $ didefinisikan dalam interval yang berisi titik $x_0 $ di dalamnya. Mari tambahkan $\Delta x $ ke argumen agar tidak meninggalkan interval ini. Temukan kenaikan yang sesuai dari fungsi $\Delta y $ (ketika melewati dari titik $x_0 $ ke titik $x_0 + \Delta x $) dan buat relasi $\frac(\Delta y )(\Delta x) $. Jika ada limit relasi ini di $\Delta x \rightarrow 0 $, maka limit yang ditentukan disebut fungsi turunan$y=f(x) $ pada titik $x_0 $ dan dinotasikan $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menunjukkan turunan. Perhatikan bahwa y" = f(x) adalah fungsi baru, tetapi secara alami terkait dengan fungsi y = f(x), yang didefinisikan di semua titik x di mana batas di atas ada . Fungsi ini disebut seperti ini: turunan dari fungsi y \u003d f (x).

Arti geometris dari turunan terdiri dari berikut ini. Jika garis singgung yang tidak sejajar dengan sumbu y dapat ditarik ke grafik fungsi y \u003d f (x) pada titik dengan absis x \u003d a, maka f (a) menyatakan kemiringan garis singgung:
$k = f"(a)$

Karena $k = tg(a) $, persamaan $f"(a) = tg(a) $ adalah benar.

Dan sekarang kami menafsirkan definisi turunan dalam persamaan perkiraan. Biarkan fungsi $y = f(x) $ memiliki turunan di titik tertentu $x $:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini berarti bahwa di dekat titik x, perkiraan persamaan $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, yaitu $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. Arti yang bermakna dari persamaan perkiraan yang diperoleh adalah sebagai berikut: kenaikan fungsi "hampir sebanding" dengan kenaikan argumen, dan koefisien proporsionalitas adalah nilai turunan pada titik x tertentu. Misalnya, untuk fungsi $y = x^2 $ perkiraan persamaan $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $ benar. Jika kita menganalisis definisi turunan dengan hati-hati, kita akan menemukan bahwa itu berisi algoritme untuk menemukannya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana menemukan turunan dari fungsi y \u003d f (x) ?

1. Perbaiki nilai $x $, cari $f(x) $
2. Increment $x $ argument $\Delta x $, pindah ke titik baru $x+ \Delta x $, cari $f(x+ \Delta x) $
3. Temukan kenaikan fungsi: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Buat relasi $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Hitung $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Limit ini merupakan turunan dari fungsi di x.

Jika fungsi y = f(x) memiliki turunan di titik x, maka disebut terdiferensiasi di titik x. Prosedur untuk mencari turunan dari fungsi y \u003d f (x) disebut diferensiasi fungsi y = f(x).

Mari kita bahas pertanyaan berikut: bagaimana hubungan kekontinuan dan diferensiabilitas suatu fungsi pada suatu titik?

Biarkan fungsi y = f(x) terdiferensialkan di titik x. Kemudian garis singgung dapat ditarik ke grafik fungsi di titik M (x; f (x)) dan, ingat, kemiringan garis singgung sama dengan f "(x). Grafik seperti itu tidak dapat "putus" di titik M, yaitu fungsi harus kontinu di x.

Itu adalah alasan "di jari". Mari kita sajikan argumen yang lebih keras. Jika fungsi y = f(x) terdiferensialkan pada titik x, maka perkiraan persamaan $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $ berlaku. nol, lalu \(\Delta y \ ) juga akan cenderung nol, dan ini adalah syarat kesinambungan fungsi di suatu titik.

Jadi, jika suatu fungsi terdiferensialkan di titik x, maka fungsi tersebut juga kontinu di titik tersebut.

Kebalikannya tidak benar. Contoh: fungsi y = |x| kontinu di mana-mana, khususnya di titik x = 0, tetapi garis singgung grafik fungsi di "titik gabungan" (0; 0) tidak ada. Jika pada titik tertentu tidak mungkin menggambar garis singgung ke grafik fungsi, maka tidak ada turunan pada titik ini.

Satu contoh lagi. Fungsi $y=\sqrt(x) $ kontinu di seluruh garis bilangan, termasuk di titik x = 0. Dan garis singgung grafik fungsi tersebut ada di titik mana pun, termasuk di titik x = 0 Tetapi pada titik ini garis singgungnya bertepatan dengan sumbu y, yaitu tegak lurus dengan sumbu absis, persamaannya berbentuk x \u003d 0. Tidak ada kemiringan untuk garis lurus seperti itu, artinya \ ( f "(0) \) juga tidak ada

Jadi, kami berkenalan dengan properti baru dari suatu fungsi - diferensiabilitas. Bagaimana Anda bisa tahu jika suatu fungsi dapat dibedakan dari grafik suatu fungsi?

Jawabannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada titik tertentu garis singgung pada grafik fungsi yang tidak tegak lurus sumbu x dapat ditarik, maka pada titik ini fungsi tersebut dapat dibedakan. Jika pada titik tertentu garis singgung grafik fungsi tidak ada atau tegak lurus terhadap sumbu x, maka pada titik ini fungsi tersebut tidak dapat dibedakan.

Aturan diferensiasi

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi. Saat melakukan operasi ini, Anda sering kali harus bekerja dengan hasil bagi, penjumlahan, hasil kali fungsi, serta dengan "fungsi fungsi", yaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi turunan, kita dapat memperoleh aturan diferensiasi yang memfasilitasi pekerjaan ini. Jika C adalah bilangan konstan dan f=f(x), g=g(x) adalah beberapa fungsi yang dapat diturunkan, maka yang berikut ini benar aturan diferensiasi:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Turunan fungsi majemuk:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel turunan beberapa fungsi

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Tingkat pertama

Turunan fungsi. Panduan Komprehensif (2019)

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tapi tidak belok kanan atau kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal di sepanjang jalan, dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbu adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagaimana adanya.

Bergerak maju di sepanjang jalan seperti itu, kami juga bergerak naik atau turun. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (bergerak sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (bergerak sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita pikirkan bagaimana menentukan "kecuraman" jalan kita? Apa yang bisa menjadi nilai ini? Sangat sederhana: seberapa tinggi perubahan ketinggian saat bergerak maju pada jarak tertentu. Memang, di bagian jalan yang berbeda, bergerak maju (sepanjang absis) satu kilometer, kita akan naik atau turun dalam jumlah meter yang berbeda relatif terhadap permukaan laut (sepanjang ordinat).

Kami menunjukkan kemajuan ke depan (baca "delta x").

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan besarnya, - perubahan; lalu apa itu? Benar, perubahan ukuran.

Penting: ekspresi adalah entitas tunggal, satu variabel. Anda tidak boleh merobek "delta" dari "x" atau huruf lainnya! Yaitu, misalnya, .

Jadi, kami telah bergerak maju, secara horizontal, terus. Jika kita membandingkan garis jalan dengan grafik suatu fungsi, lalu bagaimana kita menunjukkan tanjakan? Tentu, . Artinya, saat bergerak maju kita naik lebih tinggi.

Mudah untuk menghitung nilainya: jika pada awalnya kita berada di ketinggian, dan setelah bergerak kita berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir ternyata lebih rendah dari titik awal, itu akan menjadi negatif - ini berarti kita tidak naik, tetapi turun.

Kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan seberapa banyak (curam) ketinggian bertambah saat bergerak maju per satuan jarak:

Misalkan di beberapa bagian jalan, ketika maju sejauh km, jalan itu naik sejauh km. Maka kecuraman di tempat ini sama. Dan jika jalan, saat maju sejauh m, tenggelam sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang perhatikan puncak sebuah bukit. Jika Anda mengambil awal bagian setengah kilometer ke atas, dan ujung - setengah kilometer setelahnya, Anda dapat melihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan disini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Banyak yang bisa berubah hanya beberapa mil jauhnya. Area yang lebih kecil perlu dipertimbangkan untuk perkiraan kecuraman yang lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Tetapi akurasi ini pun mungkin tidak cukup bagi kami - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kami dapat dengan mudah melewatinya. Berapa jarak yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

Dalam kehidupan nyata, mengukur jarak ke milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Tetapi ahli matematika selalu berusaha untuk kesempurnaan. Oleh karena itu, konsepnya adalah kecil sekali, yaitu nilai modulo lebih kecil dari angka apa pun yang dapat kita beri nama. Misalnya, Anda berkata: satu triliun! Berapa kurang? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan itu akan menjadi lebih sedikit. Dan seterusnya. Jika kita ingin menulis bahwa nilainya sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca “x cenderung nol”). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini tidak sama dengan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya dapat dibagi menjadi.

Konsep yang berlawanan dengan sangat kecil adalah sangat besar (). Anda mungkin pernah menemukannya saat mengerjakan pertidaksamaan: angka ini lebih besar modulusnya daripada angka apa pun yang dapat Anda pikirkan. Jika Anda mendapatkan angka terbesar yang mungkin, kalikan saja dengan dua dan Anda mendapatkan lebih banyak lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih dari apa yang terjadi. Nyatanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga berbanding terbalik satu sama lain, yaitu di, dan sebaliknya: di.

Sekarang kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk segmen jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan sangat kecil. Tetapi izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti sama dengan nol. Jika Anda membagi angka yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan angka yang benar-benar biasa, misalnya. Artinya, satu nilai kecil bisa persis dua kali lebih besar dari yang lain.

Mengapa semua ini? Jalannya, kecuramannya ... Kami tidak akan reli, tapi kami sedang belajar matematika. Dan dalam matematika semuanya persis sama, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen dengan pertambahan argumen yang sangat kecil.

Kenaikan dalam matematika disebut perubahan. Berapa banyak argumen () telah berubah saat bergerak di sepanjang sumbu disebut peningkatan argumen dan dilambangkan dengan Berapa banyak fungsi (tinggi) telah berubah ketika bergerak maju sepanjang sumbu disebut jarak peningkatan fungsi dan ditandai.

Jadi, turunan dari suatu fungsi adalah hubungan dengan waktu. Kami menunjukkan turunan dengan huruf yang sama dengan fungsinya, hanya dengan coretan dari kanan atas: atau sederhananya. Jadi, mari kita tuliskan rumus turunannya menggunakan notasi berikut:

Seperti dalam analogi dengan jalan, di sini ketika fungsinya meningkat, turunannya positif, dan ketika menurun, negatif.

Tetapi apakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya, jika kita berkendara di jalan datar mendatar, maka kecuramannya adalah nol. Memang ketinggiannya tidak berubah sama sekali. Jadi dengan turunannya: turunan dari fungsi konstan (konstanta) sama dengan nol:

karena peningkatan fungsi seperti itu adalah nol untuk apa pun.

Mari kita ambil contoh puncak bukit. Ternyata ujung segmen dapat diatur pada sisi berlawanan dari titik sedemikian rupa sehingga tinggi pada ujungnya ternyata sama, yaitu segmen tersebut sejajar dengan sumbu:

Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak akurat. Kami akan menaikkan segmen kami sejajar dengan dirinya sendiri, lalu panjangnya akan berkurang.

Pada akhirnya, ketika kita berada sangat dekat dengan puncak, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, ia tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian pada ujungnya sama dengan nol (tidak condong, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Hal ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di bagian paling atas, pergeseran kecil ke kiri atau ke kanan mengubah tinggi badan kita secara tidak berarti.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di kiri atas, fungsinya bertambah, dan di kanan berkurang. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, ketika fungsinya meningkat, turunannya positif, dan ketika menurun, negatif. Tapi berubah dengan mulus, tanpa lompatan (karena jalan tidak berubah kemiringannya secara tajam kemana-mana). Oleh karena itu, harus ada antara nilai negatif dan positif. Ini akan menjadi tempat fungsi tidak bertambah atau berkurang - di titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk lembah (area di mana fungsi berkurang di sebelah kiri dan meningkat di sebelah kanan):

Sedikit lagi tentang peningkatan.

Jadi kami mengubah argumen menjadi nilai. Kita berubah dari nilai apa? Apa jadinya dia (argumen) sekarang? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari darinya.

Pertimbangkan titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya sama. Kemudian kami melakukan peningkatan yang sama: tambah koordinatnya. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapakah nilai fungsi tersebut sekarang? Di mana argumennya, fungsinya ada di sana: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Tidak ada yang baru: ini masih jumlah perubahan fungsi:

Berlatih menemukan peningkatan:

Temukan kenaikan fungsi pada titik dengan kenaikan argumen sama dengan.
Hal yang sama untuk fungsi pada suatu titik.

Solusi:

Pada titik yang berbeda, dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Artinya, turunan di setiap titik memiliki sendiri (kita telah membahasnya di awal - kecuraman jalan di titik yang berbeda berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi pangkat disebut fungsi di mana argumennya sampai batas tertentu (logis, bukan?).

Dan - sampai batas tertentu: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita temukan turunannya pada suatu titik. Ingat definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari menjadi. Apa itu peningkatan fungsi?

Kenaikan adalah. Tetapi fungsi pada titik mana pun sama dengan argumennya. Itu sebabnya:

Turunannya adalah:

Turunan dari adalah:

b) Sekarang perhatikan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Ini berarti bahwa nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan karenanya tidak signifikan dengan latar belakang istilah lain:

Jadi, kami memiliki aturan lain:

c) Kami melanjutkan seri logis: .

Ungkapan ini dapat disederhanakan dengan berbagai cara: buka tanda kurung pertama menggunakan rumus perkalian singkat dari jumlah pangkat tiga, atau uraikan seluruh ungkapan menjadi faktor menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri dengan salah satu cara yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut ini:

Dan mari kita ingat itu lagi. Ini berarti bahwa kita dapat mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasikan untuk fungsi pangkat dengan eksponen sewenang-wenang, bahkan bukan bilangan bulat:

(2)

Anda dapat merumuskan aturan dengan kata-kata: "derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi".

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di bagian paling akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Temukan turunan dari fungsi:

(dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);

. Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kekuatan. Jika Anda memiliki pertanyaan seperti “Bagaimana? Dan di mana gelarnya? ”, Ingat topik“ ”!
Ya, ya, akarnya juga derajat, hanya pecahan :.
Jadi akar kuadrat kita hanyalah sebuah pangkat dengan eksponen:
.
Kami mencari turunan menggunakan rumus yang baru dipelajari:
Jika saat ini menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik "" !!! (tentang derajat dengan indikator negatif)
. Sekarang eksponen:
Dan sekarang melalui definisi (apakah Anda sudah lupa?):
;
.
Sekarang, seperti biasa, kami mengabaikan istilah yang mengandung:
.
. Kombinasi kasus sebelumnya: .

fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika yang lebih tinggi:

Saat berekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk mencapainya, Anda harus lulus ujian dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafis:

Kami melihat bahwa ketika fungsinya tidak ada - titik pada grafik tertusuk. Tetapi semakin dekat dengan nilainya, semakin dekat fungsinya dengan Ini adalah "berjuang".

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini dengan kalkulator. Ya, ya, jangan malu-malu, ambil kalkulator, kita belum ujian.

Jadi mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengganti kalkulator ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin kecil, semakin dekat nilai rasionya.

a) Pertimbangkan fungsi. Seperti biasa, kami menemukan kenaikannya:

Mari ubah selisih sinus menjadi produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik "") :.

Sekarang turunannya:

Mari kita membuat substitusi: . Kemudian, untuk sangat kecil, juga sangat kecil: . Ekspresi untuk mengambil bentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ekspresi. Dan juga, bagaimana jika nilai yang sangat kecil dapat diabaikan dalam penjumlahan (yaitu, di).

Jadi kita mendapatkan aturan berikut: turunan dari sinus sama dengan cosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Inilah mereka dalam satu daftar:

Nanti kami akan menambahkan beberapa lagi, tetapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

Temukan turunan dari suatu fungsi di suatu titik;
Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

Pertama, kita menemukan turunannya dalam bentuk umum, dan kemudian kita mengganti nilainya:
;
.
Di sini kita memiliki sesuatu yang mirip dengan fungsi daya. Mari kita coba membawanya ke
tampilan biasa:
.
Oke, sekarang kamu bisa menggunakan rumus:
.
.
. Eeeeeee….. Ada apa????

Oke, Anda benar, kami masih belum tahu cara menemukan turunan tersebut. Di sini kami memiliki kombinasi dari beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, Anda perlu mempelajari beberapa aturan lagi:

Eksponen dan logaritma natural.

Ada fungsi seperti itu dalam matematika, turunannya untuk apa pun sama dengan nilai fungsi itu sendiri untuk hal yang sama. Ini disebut "eksponen", dan merupakan fungsi eksponensial

Basis dari fungsi ini - konstanta - adalah pecahan desimal tak terhingga, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut "bilangan Euler", oleh karena itu dilambangkan dengan sebuah huruf.

Jadi aturannya adalah:

Sangat mudah diingat.

Baiklah, kita tidak akan jauh-jauh, kita akan langsung mempertimbangkan fungsi inversnya. Apa invers dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma semacam itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut logaritma "alami", dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: sebagai gantinya kami menulis.

Sama dengan apa? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

Temukan turunan dari fungsi tersebut.
Apa turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Eksponen dan logaritma natural adalah fungsi yang secara unik sederhana dalam turunannya. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lain akan memiliki turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita melalui aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Istilah baru lagi, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses mencari turunannya.

Hanya dan segalanya. Apa kata lain untuk proses ini? Tidak proizvodnovanie... Diferensial matematika disebut peningkatan fungsi di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differentia - perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kami akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kami juga membutuhkan rumus untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta dikeluarkan dari tanda turunan.

Jika - beberapa angka konstan (konstan), maka.

Jelas, aturan ini juga berfungsi untuk perbedaan: .

Mari kita buktikan. Biarkan, atau lebih mudah.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi:

pada intinya;
pada intinya;
pada intinya;
pada intinya.

Solusi:

(turunannya sama di semua titik, karena ini adalah fungsi linier, ingat?);

Turunan dari suatu produk

Semuanya serupa di sini: kami memperkenalkan fungsi baru dan menemukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

Temukan turunan dari fungsi dan;
Temukan turunan dari fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda cukup untuk mempelajari cara menemukan turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi di mana beberapa nomor.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari coba bawa fungsi kita ke basis baru:

Untuk melakukan ini, kami menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Yah, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan dari eksponen: sebagaimana adanya, tetap saja, hanya faktor yang muncul, yang hanya berupa angka, tetapi bukan variabel.

Contoh:
Temukan turunan dari fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah angka yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu tidak dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Oleh karena itu, dalam jawabannya dibiarkan dalam bentuk ini.

Turunan dari fungsi logaritmik

Ini dia mirip: Anda sudah tahu turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari arbitrer dari logaritma dengan basis yang berbeda, misalnya :

Kita perlu membawa logaritma ini ke pangkalan. Bagaimana Anda mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang alih-alih kami akan menulis:

Penyebutnya ternyata hanya konstanta (bilangan konstan, tanpa variabel). Turunannya sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritmik hampir tidak pernah ditemukan dalam ujian, tetapi tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa itu "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan garis singgung busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika logaritma tampak sulit bagi Anda, baca topik "Logaritma" dan semuanya akan berhasil), tetapi dalam istilah matematika, kata "kompleks" tidak berarti "sulit".

Bayangkan sebuah konveyor kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang coklat dengan bungkusnya, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Ternyata benda komposit seperti itu: sebatang coklat dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah-langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.

Mari kita buat alur matematika yang serupa: pertama kita akan menemukan kosinus sebuah angka, lalu kita akan mengkuadratkan angka yang dihasilkan. Jadi, mereka memberi kami nomor (cokelat), saya menemukan cosinus (pembungkusnya), lalu Anda kuadratkan apa yang saya dapat (ikat dengan pita). Apa yang telah terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk menemukan nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua lainnya dengan apa yang terjadi sebagai hasil dari yang pertama.

Kami mungkin melakukan tindakan yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda kuadratkan, lalu saya mencari cosinus dari angka yang dihasilkan :. Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsi berubah.

Dengan kata lain, Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya adalah fungsi lain: .

Untuk contoh pertama, .

Contoh kedua: (sama). .

Tindakan terakhir yang kita lakukan akan dipanggil fungsi "eksternal"., dan tindakan dilakukan terlebih dahulu - masing-masing fungsi "internal".(ini adalah nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa yang sederhana).

Coba tentukan sendiri fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal:

Jawaban: Pemisahan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan mengubah variabel: misalnya dalam fungsi

Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama kita menghitung sinus, dan baru kemudian kita menaikkannya menjadi kubus. Jadi ini fungsi internal, bukan fungsi eksternal.
Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
Dalam: ; eksternal: .
Penyelidikan: .
Dalam: ; eksternal: .
Penyelidikan: .
Dalam: ; eksternal: .
Penyelidikan: .
Dalam: ; eksternal: .
Penyelidikan: .

kami mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak coklat kita - cari turunannya. Prosedurnya selalu dibalik: pertama kita cari turunan dari fungsi luar, lalu kita kalikan hasilnya dengan turunan fungsi dalam. Untuk contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita rumuskan aturan resminya:

Algoritma untuk menemukan turunan dari fungsi kompleks:

Segalanya tampak sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalam: ;

Eksternal: ;

2) Dalam: ;

(jangan mencoba mengurangi sekarang! Tidak ada yang diambil dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalam: ;

Eksternal: ;

Segera jelas bahwa ada fungsi kompleks tiga tingkat di sini: lagipula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami masih mengekstrak root darinya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (meletakkan cokelat di bungkusnya dan dengan pita di tas kerja). Tetapi tidak ada alasan untuk takut: bagaimanapun, kami akan "membongkar" fungsi ini dalam urutan yang sama seperti biasanya: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita membedakan akarnya, lalu cosinus, dan baru kemudian ekspresi dalam tanda kurung. Dan kemudian kita gandakan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Nanti tindakan dilakukan, semakin "eksternal" fungsi yang sesuai. Urutan tindakan - seperti sebelumnya:

Di sini sarang umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. sinus. .

4. Persegi. .

5. Menyatukan semuanya: