Kelipatan persekutuan terkecil dari 3 dan 2. Pembagi persekutuan dan kelipatan

Nomor kedua: b=

Pemisah angka Tidak ada pemisah ruang " ´

Hasil:

gcd Pembagi Persekutuan Terbesar( A,B)=6

Kelipatan persekutuan terkecil dari LCM( A,B)=468

Bilangan asli terbesar dimana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar(gcd) dari angka-angka ini. Dilambangkan dengan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).

Kelipatan persekutuan terkecil(KPK) dari dua bilangan bulat a dan b adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi a dan b tanpa sisa. Dinotasikan KPK(a,b), atau lcm(a,b).

Bilangan bulat a dan b disebut coprime jika mereka tidak memiliki pembagi bersama selain +1 dan −1.

Pembagi Persekutuan Terbesar

Biarkan dua diberikan angka positif A 1 dan A 2 1). Diperlukan untuk menemukan pembagi yang sama dari angka-angka ini, mis. menemukan nomor tersebut λ , yang membagi angka A 1 dan A 2 pada waktu yang sama. Mari kita gambarkan algoritme.

1) Dalam artikel ini, kata angka berarti bilangan bulat.

Membiarkan A 1 ≥ A 2 dan biarkan

Di mana M 1 , A 3 adalah beberapa bilangan bulat, A 3 <A 2 (sisa dari divisi A 1 pada A 2 harus lebih sedikit A 2).

Mari kita berpura-pura seperti itu λ membagi A 1 dan A 2 , lalu λ membagi M 1 A 2 dan λ membagi A 1 −M 1 A 2 =A 3 (Pernyataan 2 dari artikel "Pembagian angka. Tanda pembagian"). Oleh karena itu, setiap pembagi bersama A 1 dan A 2 adalah pembagi bersama A 2 dan A 3 . Kebalikannya juga berlaku jika λ pembagi bersama A 2 dan A 3 , lalu M 1 A 2 dan A 1 =M 1 A 2 +A 3 juga dibagi menjadi λ . Oleh karena itu pembagi bersama A 2 dan A 3 juga merupakan pembagi bersama A 1 dan A 2. Karena A 3 <A 2 ≤A 1 , maka kita dapat mengatakan bahwa solusi untuk masalah menemukan pembagi bilangan yang sama A 1 dan A 2 direduksi menjadi masalah yang lebih sederhana untuk menemukan pembagi bilangan yang sama A 2 dan A 3 .

Jika A 3 ≠0, maka kita dapat membaginya A 2 pada A 3 . Kemudian

,

Di mana M 1 dan A 4 adalah beberapa bilangan bulat, ( A 4 sisa pembagian A 2 pada A 3 (A 4 <A 3)). Dengan alasan yang sama, kita sampai pada kesimpulan bahwa pembagi bilangan yang sama A 3 dan A 4 sama dengan pembagi umum dari angka A 2 dan A 3 , dan juga dengan pembagi umum A 1 dan A 2. Karena A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... angka yang terus menurun, dan karena ada jumlah bilangan bulat yang terbatas di antaranya A 2 dan 0, lalu pada beberapa langkah N, sisa divisi A dan aktif A n+1 akan sama dengan nol ( A n+2=0).

.

Setiap pembagi bersama λ angka A 1 dan A 2 juga merupakan pembagi angka A 2 dan A 3 , A 3 dan A 4 , .... A n dan A n+1 . Kebalikannya juga benar, pembagi bilangan yang sama A n dan A n+1 juga merupakan pembagi bilangan A n−1 dan A N , .... , A 2 dan A 3 , A 1 dan A 2. Tapi pembagi bersama A n dan A n+1 adalah angka A n+1 , karena A n dan A n+1 habis dibagi A n+1 (ingat bahwa A n+2=0). Karena itu A n+1 juga merupakan pembagi bilangan A 1 dan A 2 .

Perhatikan bahwa nomor A n+1 adalah pembagi bilangan terbesar A n dan A n+1 , sejak pembagi terbesar A n+1 adalah dirinya sendiri A n+1 . Jika A n + 1 dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan bulat, maka angka-angka ini juga merupakan pembagi angka yang sama A 1 dan A 2. Nomor A n+1 dipanggil pembagi persekutuan terbesar angka A 1 dan A 2 .

Angka A 1 dan A 2 dapat berupa bilangan positif dan negatif. Jika salah satu angka sama dengan nol, maka pembagi persekutuan terbesar dari angka-angka ini akan sama dengan nilai absolut dari angka lainnya. Pembagi persekutuan terbesar dari bilangan nol tidak ditentukan.

Algoritma di atas disebut algoritma Euclid untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat.

Contoh mencari pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan

Temukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan 630 dan 434.

• Langkah 1. Bagilah angka 630 dengan 434. Sisanya adalah 196.
• Langkah 2. Bagilah angka 434 dengan 196. Sisanya adalah 42.
• Langkah 3. Bagilah angka 196 dengan 42. Sisanya adalah 28.
• Langkah 4. Bagilah angka 42 dengan 28. Sisanya adalah 14.
• Langkah 5. Bagilah angka 28 dengan 14. Sisanya adalah 0.

Pada langkah 5, sisa pembagiannya adalah 0. Oleh karena itu, pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 630 dan 434 adalah 14. Perhatikan bahwa bilangan 2 dan 7 juga merupakan pembagi dari bilangan 630 dan 434.

bilangan koprime

Definisi 1. Biarkan pembagi umum terbesar dari angka A 1 dan A 2 sama dengan satu. Kemudian nomor-nomor ini dipanggil bilangan koprime yang tidak memiliki pembagi bersama.

Dalil 1. Jika A 1 dan A 2 bilangan relatif prima, dan λ beberapa angka, lalu pembagi angka yang sama λa 1 dan A 2 juga merupakan pembagi umum dari angka λ Dan A 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritme Euclid untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan A 1 dan A 2 (lihat di atas).

.

Ini mengikuti dari kondisi teorema bahwa pembagi persekutuan terbesar dari bilangan A 1 dan A 2 , dan oleh karena itu A n dan A n+1 adalah 1. Yaitu. A n+1=1.

Mari kalikan semua persamaan ini dengan λ , Kemudian

.

Biarkan pembagi umum A 1 λ Dan A 2 adalah δ . Kemudian δ masuk sebagai faktor A 1 λ , M 1 A 2 λ dan masuk A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (Lihat "Keterbagian bilangan", Pernyataan 2). Lebih jauh δ masuk sebagai faktor A 2 λ Dan M 2 A 3 λ , dan karenanya masuk sebagai faktor dalam A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Dengan penalaran seperti ini, kami yakin itu δ masuk sebagai faktor A n−1 λ Dan M n−1 A N λ , dan oleh karena itu di A n−1 λ −M n−1 A N λ =A n+1 λ . Karena A n+1 =1, lalu δ masuk sebagai faktor λ . Oleh karena itu nomor δ adalah pembagi bersama dari bilangan-bilangan λ Dan A 2 .

Pertimbangkan kasus khusus dari Teorema 1.

Konsekuensi 1. Membiarkan A Dan C bilangan prima relatif B. Kemudian produk mereka ac adalah bilangan prima terhadap B.

Benar-benar. Dari Teorema 1 ac Dan B memiliki pembagi umum yang sama dengan C Dan B. Tapi angkanya C Dan B koprim, yaitu memiliki satu pembagi bersama 1. Lalu ac Dan B juga memiliki satu pembagi bersama 1. Oleh karena itu ac Dan B saling sederhana.

Konsekuensi 2. Membiarkan A Dan B bilangan koprime dan biarkan B membagi ak. Kemudian B membagi dan k.

Benar-benar. Dari kondisi penegasan ak Dan B memiliki pembagi bersama B. Berdasarkan Teorema 1, B harus merupakan pembagi bersama B Dan k. Karena itu B membagi k.

Akibat wajar 1 dapat digeneralisasikan.

Konsekuensi 3. 1. Biarkan angkanya A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m adalah prima relatif terhadap angka B. Kemudian A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , produk dari angka-angka ini adalah bilangan prima terhadap angka tersebut B.

2. Misalkan kita memiliki dua baris angka

sehingga setiap bilangan pada baris pertama adalah prima terhadap setiap bilangan pada baris kedua. Kemudian produk

Diperlukan untuk menemukan angka-angka yang dapat dibagi oleh masing-masing angka ini.

Jika bilangan tersebut habis dibagi A 1 , maka terlihat seperti sa 1 , dimana S beberapa nomor. Jika Q adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan A 1 dan A 2 , lalu

Di mana S 1 adalah bilangan bulat. Kemudian

adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan A 1 dan A 2 .

A 1 dan A 2 koprime, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut A 1 dan A 2:

Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.

Ini mengikuti dari atas bahwa setiap kelipatan angka A 1 , A 2 , A 3 harus kelipatan angka ε Dan A 3 dan sebaliknya. Biarkan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka tersebut ε Dan A 3 adalah ε 1 . Selanjutnya, kelipatan angka A 1 , A 2 , A 3 , A 4 harus kelipatan angka ε 1 dan A 4 . Biarkan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka tersebut ε 1 dan A 4 adalah ε 2. Jadi, kami menemukan bahwa semua kelipatan angka A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m bertepatan dengan kelipatan dari beberapa nomor tertentu ε n , yang disebut kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan yang diberikan.

Dalam kasus tertentu ketika angka A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m koprime, maka kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka tersebut A 1 , A 2 seperti yang ditunjukkan di atas memiliki bentuk (3). Selanjutnya, sejak A 3 prima sehubungan dengan angka A 1 , A 2 , lalu A 3 adalah bilangan relatif prima A 1 · A 2 (Akibat wajar 1). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut A 1 ,A 2 ,A 3 adalah angka A 1 · A 2 · A 3 . Berdebat dengan cara yang sama, kita sampai pada pernyataan berikut.

Penyataan 1. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan koprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m sama dengan produk mereka A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .

Penyataan 2. Angka apa pun yang habis dibagi oleh masing-masing angka koprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m juga habis dibagi hasilkalinya A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .

Kelipatan suatu bilangan adalah bilangan yang habis dibagi oleh suatu bilangan tertentu tanpa sisa. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari sekelompok bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi habis oleh setiap bilangan dalam golongan tersebut. Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil, Anda perlu mencari faktor prima dari bilangan-bilangan yang diberikan. Selain itu, KPK dapat dihitung menggunakan sejumlah metode lain yang berlaku untuk kelompok dua angka atau lebih.

Langkah

Sejumlah kelipatan

Lihatlah angka-angka ini. Metode yang dijelaskan di sini paling baik digunakan jika diberikan dua bilangan yang keduanya kurang dari 10. Jika bilangan yang diberikan besar, gunakan metode yang berbeda.

• Misalnya, temukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka 5 dan 8. Ini adalah angka kecil, jadi cara ini bisa digunakan.

1. Kelipatan suatu bilangan adalah bilangan yang habis dibagi oleh suatu bilangan tertentu tanpa sisa. Banyak angka dapat ditemukan di tabel perkalian.

   • Misalnya bilangan kelipatan 5 adalah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Tuliskan deret angka yang merupakan kelipatan dari angka pertama. Lakukan ini di bawah kelipatan angka pertama untuk membandingkan dua baris angka.

   • Misalnya, bilangan kelipatan 8 adalah: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, dan 64.

3. Temukan angka terkecil yang muncul di kedua deret kelipatan. Anda mungkin harus menulis rangkaian kelipatan yang panjang untuk menemukan totalnya. Angka terkecil yang muncul di kedua deret kelipatan adalah kelipatan persekutuan terkecil.

   • Misalnya, bilangan terkecil yang muncul pada deret kelipatan 5 dan 8 adalah 40. Jadi, 40 adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 5 dan 8.

   faktorisasi prima

   1. Lihatlah angka-angka ini. Metode yang dijelaskan di sini paling baik digunakan ketika diberikan dua angka yang keduanya lebih besar dari 10. Jika diberikan angka yang lebih kecil, gunakan metode yang berbeda.

      • Misalnya, carilah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 20 dan 84. Setiap bilangan lebih besar dari 10, maka cara ini dapat digunakan.

   2. Faktorkan bilangan pertama. Artinya, Anda perlu menemukan bilangan prima seperti itu, ketika dikalikan, Anda mendapatkan bilangan tertentu. Setelah menemukan faktor prima, tuliskan sebagai persamaan.

      • Misalnya, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Dan 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Jadi, faktor prima dari bilangan 20 adalah bilangan 2, 2, dan 5. Tuliskan sebagai ungkapan: .

   3. Faktorkan bilangan kedua menjadi faktor prima. Lakukan ini dengan cara yang sama seperti Anda memfaktorkan bilangan pertama, yaitu, temukan bilangan prima yang, jika dikalikan, akan menghasilkan bilangan ini.

      • Misalnya, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Dan 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Jadi, faktor prima dari bilangan 84 adalah bilangan 2, 7, 3, dan 2. Tuliskan sebagai ungkapan: .

   4. Tuliskan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut. Tuliskan faktor-faktor tersebut sebagai operasi perkalian. Saat Anda menuliskan setiap faktor, coret di kedua ekspresi (ekspresi yang menggambarkan dekomposisi angka menjadi faktor prima).

      • Misalnya, faktor persekutuan kedua bilangan adalah 2, jadi tulislah 2 × (\displaystyle 2\times ) dan coret 2 di kedua ekspresi.
      • Faktor persekutuan kedua bilangan tersebut adalah faktor lain dari 2, jadi tulislah 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) dan coret 2 kedua di kedua ekspresi.

   5. Tambahkan faktor yang tersisa ke operasi perkalian. Ini adalah faktor yang tidak dicoret di kedua ekspresi, yaitu faktor yang tidak umum untuk kedua angka.

      • Misalnya dalam ungkapan 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\kali 2\kali 5) kedua dua (2) dicoret karena merupakan faktor persekutuan. Faktor 5 tidak dicoret, maka tuliskan operasi perkalian sebagai berikut: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Dalam ekspresi 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kali 7\kali 3\kali 2) kedua deuces (2) juga dicoret. Faktor 7 dan 3 tidak dicoret, jadi tuliskan operasi perkalian sebagai berikut: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\kali 2\kali 5\kali 7\kali 3).

   6. Hitung kelipatan persekutuan terkecil. Untuk melakukan ini, gandakan angka dalam operasi perkalian tertulis.

      • Misalnya, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 20 dan 84 adalah 420.

   Menemukan pembagi bersama

   1. Gambarlah kisi-kisi seperti yang Anda lakukan untuk permainan tic-tac-toe. Grid seperti itu terdiri dari dua garis paralel yang berpotongan (di sudut kanan) dengan dua garis paralel lainnya. Ini akan menghasilkan tiga baris dan tiga kolom (kisi sangat mirip dengan tanda #). Tuliskan angka pertama pada baris pertama dan kolom kedua. Tuliskan angka kedua pada baris pertama dan kolom ketiga.

      • Misalnya, temukan kelipatan persekutuan terkecil dari 18 dan 30. Tulis 18 pada baris pertama dan kolom kedua, dan tulis 30 pada baris pertama dan kolom ketiga.

   2. Temukan pembagi yang sama untuk kedua angka. Tuliskan pada baris pertama dan kolom pertama. Lebih baik mencari pembagi prima, tetapi ini bukan prasyarat.

      • Misalnya, 18 dan 30 adalah bilangan genap, jadi pembagi persekutuannya adalah 2. Jadi, tulislah 2 pada baris pertama dan kolom pertama.

   3. Bagilah setiap angka dengan pembagi pertama. Tulis setiap hasil bagi di bawah angka yang sesuai. Hasil bagi adalah hasil pembagian dua bilangan.

      • Misalnya, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), jadi tulis 9 di bawah 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), jadi tulis 15 di bawah 30.

   4. Temukan pembagi yang sama untuk kedua hasil bagi. Jika tidak ada pembagi seperti itu, lewati dua langkah berikutnya. Kalau tidak, tuliskan pembagi di baris kedua dan kolom pertama.

      • Misalnya, 9 dan 15 habis dibagi 3, maka tulislah 3 pada baris kedua dan kolom pertama.

   5. Bagilah setiap hasil bagi dengan pembagi kedua. Tuliskan setiap hasil pembagian di bawah hasil bagi yang sesuai.

      • Misalnya, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), jadi tulis 3 di bawah 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), jadi tulis 5 di bawah 15.

   6. Jika perlu, tambahkan kisi dengan sel tambahan. Ulangi langkah-langkah di atas sampai hasil bagi memiliki pembagi yang sama.

   7. Lingkari angka di kolom pertama dan baris terakhir kisi. Kemudian tulis angka yang disorot sebagai operasi perkalian.

      • Misalnya angka 2 dan 3 ada di kolom pertama, dan angka 3 dan 5 ada di baris terakhir, jadi tulis operasi perkaliannya seperti ini: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\kali 3\kali 3\kali 5).

   8. Carilah hasil perkalian bilangan. Ini akan menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua angka yang diberikan.

      • Misalnya, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\kali 3\kali 3\kali 5=90). Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari 18 dan 30 adalah 90.

   algoritma Euclid

   1. Ingat terminologi yang terkait dengan operasi pembagian. Dividen adalah angka yang dibagi. Pembagi adalah angka yang digunakan untuk membagi. Hasil bagi adalah hasil pembagian dua bilangan. Sisanya adalah angka yang tersisa ketika dua angka dibagi.

      • Misalnya dalam ungkapan 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) istirahat. 3:
        15 adalah habis dibagi
        6 adalah pembagi
        2 bersifat pribadi
        3 adalah sisanya.

Tetapi banyak bilangan asli habis dibagi oleh bilangan asli lainnya.

Misalnya:

Angka 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Angka 36 habis dibagi 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12, dengan 18, dengan 36.

Bilangan yang membagi bilangan tersebut (untuk 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi angka. Pembagi bilangan asli A adalah bilangan asli yang membagi bilangan yang diberikan A tanpa jejak. Bilangan asli yang memiliki faktor lebih dari dua disebut gabungan .

Perhatikan bahwa angka 12 dan 36 memiliki pembagi yang sama. Inilah angka-angkanya: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar dari angka-angka ini adalah 12. Pembagi persekutuan dari kedua angka ini A Dan B adalah bilangan yang kedua bilangan tersebut habis dibagi tanpa sisa A Dan B.

kelipatan umum beberapa bilangan disebut bilangan yang habis dibagi oleh masing-masing bilangan tersebut. Misalnya, bilangan 9, 18 dan 45 memiliki kelipatan persekutuan 180. Tetapi 90 dan 360 juga merupakan kelipatan persekutuannya. Di antara semua kelipatan jcommon, selalu ada yang terkecil, dalam hal ini 90. Angka ini disebut paling sedikitkelipatan persekutuan (KPK).

KPK selalu merupakan bilangan asli, yang harus lebih besar dari bilangan terbesar yang didefinisikannya.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK). Properti.

Komutatifitas:

Asosiatif:

Secara khusus, jika dan adalah bilangan prima , maka:

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat M Dan N adalah pembagi dari semua kelipatan umum lainnya M Dan N. Selain itu, himpunan kelipatan umum M N bertepatan dengan himpunan kelipatan LCM( M N).

Asimtotik untuk dapat dinyatakan dalam beberapa fungsi teori bilangan.

Jadi, fungsi Chebyshev. Dan:

Ini mengikuti dari definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Berikut dari hukum distribusi bilangan prima.

Mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

NOC( a, b) dapat dihitung dengan beberapa cara:

1. Jika pembagi persekutuan terbesar diketahui, Anda dapat menggunakan hubungannya dengan KPK:

2. Biarkan dekomposisi kanonik dari kedua bilangan menjadi faktor prima diketahui:

Di mana p 1 ,...,pk berbagai bilangan prima, dan d 1 ,...,d k Dan e 1 ,...,ek adalah bilangan bulat non-negatif (mereka bisa menjadi nol jika bilangan prima yang sesuai tidak dalam dekomposisi).

Kemudian KPK ( A,B) dihitung dengan rumus:

Dengan kata lain, pemuaian KPK berisi semua faktor prima yang termasuk dalam setidaknya satu pemuaian bilangan a, b, dan pangkat terbesar dari dua faktor ini diambil.

Contoh:

Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan dapat direduksi menjadi beberapa perhitungan KPK yang berurutan dari dua bilangan:

Aturan. Untuk mencari KPK dari deret angka, Anda memerlukan:

- menguraikan angka menjadi faktor prima;

- pindahkan pemuaian terbesar ke faktor hasil kali yang diinginkan (hasil perkalian faktor bilangan terbesar dari bilangan yang diberikan), lalu tambahkan faktor dari pemuaian bilangan lain yang tidak terjadi pada bilangan pertama atau berada di dalamnya beberapa kali lebih kecil;

- perkalian faktor prima yang dihasilkan adalah KPK dari bilangan-bilangan yang diberikan.

Setiap dua atau lebih bilangan asli memiliki KPK-nya sendiri. Jika angka-angka tersebut bukan kelipatan satu sama lain atau tidak memiliki faktor yang sama dalam pemuaian, maka KPK-nya sama dengan produk dari angka-angka ini.

Faktor prima bilangan 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (bilangan 21), hasil kali (84) adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 21 dan 28.

Faktor prima dari bilangan terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 dari bilangan 25, menghasilkan perkalian 150 lebih besar dari bilangan terbesar 30 dan dapat dibagi oleh semua bilangan yang diberikan tanpa sisa. Ini adalah perkalian terkecil yang mungkin (150, 250, 300...) yang semua angkanya adalah kelipatan.

Bilangan 2,3,11,37 adalah bilangan prima, jadi KPK-nya sama dengan hasil kali bilangan-bilangan tersebut.

aturan. Untuk menghitung KPK dari bilangan prima, Anda harus mengalikan semua angka ini.

Pilihan lain:

Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa bilangan, Anda perlu:

1) mewakili setiap angka sebagai produk dari faktor primanya, misalnya:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan pangkat semua faktor prima:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembagi prima (pengganda) dari masing-masing angka ini;

4) pilih derajat terbesar dari masing-masingnya, yang ditemukan di semua perluasan angka-angka ini;

5) gandakan kekuatan ini.

Contoh. Temukan KPK dari angka: 168, 180 dan 3024.

Larutan. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kami menuliskan pangkat terbesar dari semua pembagi prima dan mengalikannya:

KPK = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Topik "Bilangan Berganda" dipelajari di kelas 5 sekolah komprehensif. Tujuannya adalah untuk meningkatkan keterampilan tertulis dan lisan perhitungan matematis. Dalam pelajaran ini, konsep-konsep baru diperkenalkan - "bilangan ganda" dan "pembagi", teknik menemukan pembagi dan kelipatan bilangan asli, kemampuan untuk menemukan KPK dengan berbagai cara berhasil.

Topik ini sangat penting. Pengetahuan tentang itu dapat diterapkan saat menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk melakukannya, Anda perlu mencari penyebut yang sama dengan menghitung kelipatan persekutuan terkecil (KPK).

Kelipatan A adalah bilangan bulat yang habis dibagi A tanpa sisa.

Setiap bilangan asli memiliki jumlah kelipatannya yang tak terhingga. Itu dianggap paling kecil. Kelipatan tidak boleh kurang dari angka itu sendiri.

Perlu dibuktikan bahwa angka 125 adalah kelipatan dari angka 5. Untuk melakukan ini, Anda perlu membagi angka pertama dengan angka kedua. Jika 125 habis dibagi 5 tanpa sisa, maka jawabannya adalah ya.

Metode ini berlaku untuk jumlah kecil.

Saat menghitung LCM, ada kasus khusus.

1. Jika Anda perlu menemukan kelipatan persekutuan untuk 2 angka (misalnya, 80 dan 20), di mana salah satunya (80) dapat dibagi tanpa sisa oleh yang lain (20), maka angka ini (80) adalah yang terkecil kelipatan dari kedua bilangan tersebut.

KPK (80, 20) = 80.

2. Jika dua tidak memiliki pembagi yang sama, maka kita dapat mengatakan bahwa KPK mereka adalah perkalian dari dua angka ini.

KPK (6, 7) = 42.

Pertimbangkan contoh terakhir. 6 dan 7 dalam kaitannya dengan 42 adalah pembagi. Mereka membagi kelipatan tanpa sisa.

Dalam contoh ini, 6 dan 7 adalah pembagi pasangan. Produk mereka sama dengan angka yang paling banyak (42).

Suatu bilangan disebut prima jika hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri atau oleh 1 (3:1=3; 3:3=1). Sisanya disebut komposit.

Dalam contoh lain, Anda perlu menentukan apakah 9 adalah pembagi terhadap 42.

42:9=4 (sisa 6)

Jawaban: 9 bukan pembagi 42 karena jawabannya memiliki sisa.

Pembagi berbeda dari kelipatan karena pembagi adalah bilangan yang digunakan untuk membagi bilangan asli, dan kelipatan itu sendiri dapat dibagi oleh bilangan tersebut.

Pembagi Persekutuan Terbesar dari Bilangan A Dan B, dikalikan dengan kelipatan terkecilnya, akan menghasilkan produk dari angka-angka itu sendiri A Dan B.

Yaitu: FPB (a,b) x KPK (a,b) = a x b.

Kelipatan umum untuk bilangan yang lebih kompleks ditemukan dengan cara berikut.

Misalnya, cari KPK untuk 168, 180, 3024.

Kami menguraikan angka-angka ini menjadi faktor prima, menuliskannya sebagai produk kekuatan:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

KPK (168, 180, 3024) = 15120.

Untuk memahami cara menghitung KPK, pertama-tama Anda harus menentukan arti dari istilah "kelipatan".

Kelipatan A adalah bilangan asli yang habis dibagi A tanpa sisa, jadi 15, 20, 25, dan seterusnya dapat dianggap kelipatan 5.

Mungkin ada jumlah pembagi yang terbatas dari bilangan tertentu, tetapi ada kelipatan yang jumlahnya tak terhingga.

Kelipatan persekutuan dari bilangan asli adalah bilangan yang habis dibagi oleh mereka tanpa sisa.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari bilangan (dua, tiga atau lebih) adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh semua bilangan tersebut.

Untuk menemukan NOC, Anda dapat menggunakan beberapa metode.

Untuk angka kecil, akan lebih mudah untuk menuliskan semua kelipatan dari angka-angka ini dalam satu baris sampai yang umum ditemukan di antara mereka. Kelipatan dilambangkan dalam catatan dengan huruf kapital K.

Misalnya, kelipatan 4 dapat ditulis seperti ini:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Jadi, Anda dapat melihat bahwa kelipatan persekutuan terkecil dari angka 4 dan 6 adalah angka 24. Entri ini dilakukan sebagai berikut:

KPK(4, 6) = 24

Jika angkanya besar, temukan kelipatan persekutuan dari tiga angka atau lebih, maka lebih baik menggunakan cara lain untuk menghitung KPK.

Untuk menyelesaikan tugas, perlu menguraikan angka yang diusulkan menjadi faktor prima.

Pertama, Anda perlu menuliskan perluasan angka terbesar dalam satu baris, dan di bawahnya - sisanya.

Dalam perluasan setiap angka, mungkin ada sejumlah faktor yang berbeda.

Sebagai contoh, mari kita faktorkan angka 50 dan 20 menjadi faktor prima.

Dalam perluasan bilangan yang lebih kecil, seseorang harus menggarisbawahi faktor-faktor yang hilang dalam perluasan bilangan terbesar pertama, dan kemudian menjumlahkannya. Dalam contoh yang disajikan, deuce hilang.

Sekarang kita dapat menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari 20 dan 50.

KPK (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Jadi, hasil kali faktor prima dari bilangan yang lebih besar dan faktor dari bilangan kedua, yang tidak termasuk dalam penguraian bilangan yang lebih besar, akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil.

Untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, semuanya harus didekomposisi menjadi faktor prima, seperti pada kasus sebelumnya.

Sebagai contoh, Anda dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari angka 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Jadi, hanya dua deuces dari dekomposisi enam belas yang tidak termasuk dalam faktorisasi bilangan yang lebih besar (satu dekomposisi dua puluh empat).

Jadi, mereka perlu ditambahkan ke penguraian angka yang lebih besar.

KPK (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ada kasus khusus untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil. Jadi, jika salah satu angka dapat dibagi tanpa sisa oleh yang lain, maka angka yang lebih besar akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil.

Misalnya, NOC dari dua belas dan dua puluh empat akan menjadi dua puluh empat.

Jika perlu untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan koprime yang tidak memiliki pembagi yang sama, KPK-nya akan sama dengan perkaliannya.

Misalnya, KPK(10, 11) = 110.