Una piramide triangolare i cui bordi sono uguali. Le principali proprietà della piramide corretta

Qui sono raccolte le informazioni di base sulle piramidi e relative formule e concetti. Tutti sono studiati con un tutor in matematica in preparazione all'esame.

Considera un piano, un poligono giacente in esso e un punto S che non giace in esso. Connetti S a tutti i vertici del poligono. Il poliedro risultante è chiamato piramide. I segmenti sono chiamati bordi laterali. Il poligono si chiama base e il punto S si chiama vertice della piramide. A seconda del numero n, la piramide si chiama triangolare (n=3), quadrangolare (n=4), pentagonale (n=5) e così via. Nome alternativo per la piramide triangolare - tetraedro. L'altezza di una piramide è la perpendicolare tracciata dal suo apice al piano di base.

Una piramide si dice corretta se poligono regolare, e la base dell'altezza della piramide (la base della perpendicolare) è il suo centro.

Il commento del tutor:
Non confondere il concetto di "piramide regolare" e "tetraedro regolare". Alla piramide di destra costole laterali non sono necessariamente uguali ai bordi della base, ma in un tetraedro regolare tutti e 6 i bordi dei bordi sono uguali. Questa è la sua definizione. È facile dimostrare che l'uguaglianza implica che il centro P del poligono con una base di altezza, quindi un tetraedro regolare è una piramide regolare.

Cos'è un apotema?
L'apotema di una piramide è l'altezza della sua faccia laterale. Se la piramide è regolare, allora tutti i suoi apotema sono uguali. Non è vero il contrario.

Tutor di matematica sulla sua terminologia: il lavoro con le piramidi è costruito all'80% attraverso due tipi di triangoli:
1) Contenente apotema SK e altezza SP
2) Contenente il bordo laterale SA e la sua sporgenza PA

Per semplificare i riferimenti a questi triangoli, è più conveniente per un tutor di matematica nominare il primo di essi apotemico, e secondo costale. Sfortunatamente, non troverai questa terminologia in nessuno dei libri di testo e l'insegnante deve introdurla unilateralmente.

Formula del volume piramidale:
1) , dove è l'area della base della piramide, ed è l'altezza della piramide
2) , dove è il raggio della sfera inscritta, ed è la superficie totale della piramide.
3) , dove MN è la distanza di due bordi che si incrociano, ed è l'area del parallelogramma formato dai punti medi dei quattro bordi rimanenti.

Proprietà della base dell'altezza della piramide:

Il punto P (vedi figura) coincide con il centro del cerchio inscritto alla base della piramide se si verifica una delle seguenti condizioni:
1) Tutti gli apotemi sono uguali
2) Tutte le facce laterali sono ugualmente inclinate verso la base
3) Tutti gli apotema sono ugualmente inclinati rispetto all'altezza della piramide
4) L'altezza della piramide è ugualmente inclinata rispetto a tutte le facce laterali

Commento del tutor di matematica: nota che tutti i punti sono uniti da una proprietà comune: in un modo o nell'altro, le facce laterali partecipano ovunque (gli apotemi sono i loro elementi). Pertanto, il tutor può offrire una formulazione meno precisa, ma più conveniente per la memorizzazione: il punto P coincide con il centro del cerchio inscritto, la base della piramide, se ci sono informazioni uguali sulle sue facce laterali. Per dimostrarlo basta dimostrare che tutti i triangoli apotemici sono uguali.

Il punto P coincide con il centro del cerchio circoscritto vicino alla base della piramide, se vale una delle tre condizioni:
1) Tutti i bordi laterali sono uguali
2) Tutte le nervature laterali sono ugualmente inclinate verso la base
3) Tutte le nervature laterali sono ugualmente inclinate rispetto all'altezza

• apotema- l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, che è disegnata dalla sua sommità (inoltre, l'apotema è la lunghezza della perpendicolare, che è abbassata dal centro di un poligono regolare a 1 dei suoi lati);
• facce laterali (ASB, BSC, CSD, DSA) - triangoli che convergono in alto;
• costole laterali ( COME , Cavolo , CS , D.S. ) - lati comuni delle facce laterali;
• sommità della piramide (v. S) - un punto che collega i bordi laterali e che non giace nel piano della base;
• altezza ( COSÌ ) - un segmento della perpendicolare, che viene disegnato attraverso la sommità della piramide fino al piano della sua base (le estremità di tale segmento saranno la sommità della piramide e la base della perpendicolare);
• sezione diagonale di una piramide- sezione della piramide, che passa per la sommità e la diagonale della base;
• base (ABCD) è un poligono a cui non appartiene il vertice della piramide.

proprietà piramidali.

1. Quando tutti i bordi laterali hanno le stesse dimensioni, allora:

• vicino alla base della piramide è facile descrivere un cerchio, mentre la sommità della piramide sarà proiettata nel centro di questo cerchio;
• le nervature laterali formano angoli uguali con il piano di base;
• inoltre, è vero anche il viceversa, cioè quando i bordi laterali formano angoli uguali con il piano di base, o quando un cerchio può essere descritto vicino alla base della piramide e la parte superiore della piramide sarà proiettata nel centro di questo cerchio, allora tutti i bordi laterali della piramide hanno Le stesse dimensioni.

2. Quando le facce laterali hanno un angolo di inclinazione rispetto al piano della base dello stesso valore, allora:

• vicino alla base della piramide è facile descrivere un cerchio, mentre la sommità della piramide sarà proiettata nel centro di questo cerchio;
• le altezze delle facce laterali sono uguale lunghezza;
• l'area della superficie laterale è ½ del prodotto del perimetro della base e dell'altezza della faccia laterale.

3. Una sfera può essere descritta vicino alla piramide se la base della piramide è un poligono attorno al quale può essere descritto un cerchio (condizione necessaria e sufficiente). Il centro della sfera sarà il punto di intersezione dei piani che passano per i punti medi dei bordi della piramide ad essi perpendicolari. Da questo teorema concludiamo che una sfera può essere descritta sia attorno a qualsiasi triangolare che attorno a qualsiasi piramide regolare.

4. Una sfera può essere inscritta in una piramide se le bisettrici dei diedri interni della piramide si intersecano nel 1° punto (condizione necessaria e sufficiente). Questo punto diventerà il centro della sfera.

La piramide più semplice.

In base al numero di angoli della base della piramide, sono divisi in triangolari, quadrangolari e così via.

La piramide lo farà triangolare, quadrangolare, e così via, quando la base della piramide è un triangolo, un quadrilatero, e così via. Una piramide triangolare è un tetraedro - un tetraedro. Quadrangolare - pentaedro e così via.

Video lezione 2: Sfida piramidale. Volume piramidale

Video lezione 3: Sfida piramidale. Piramide corretta

Conferenza: Piramide, sua base, spigoli laterali, altezza, superficie laterale; piramide triangolare; piramide destra

Piramide- Questo è un corpo tridimensionale che ha un poligono alla base e tutte le sue facce sono costituite da triangoli.

Un caso particolare di piramide è un cono, alla base del quale si trova un cerchio.

Considera gli elementi principali della piramide:

Apotemaè un segmento che collega la parte superiore della piramide con la metà del bordo inferiore della faccia laterale. In altre parole, questa è l'altezza della faccia della piramide.

Nella figura puoi vedere i triangoli ADS, ABS, BCS, CDS. Se osservi attentamente i nomi, puoi vedere che ogni triangolo ha una lettera comune nel suo nome: S. Cioè, questo significa che tutte le facce laterali (triangoli) convergono in un punto, che è chiamato la parte superiore della piramide.

Il segmento OS, che collega il vertice con il punto di intersezione delle diagonali della base (nel caso di triangoli, nel punto di intersezione delle altezze), si chiama altezza della piramide.

Una sezione diagonale è un piano che passa attraverso la sommità della piramide, così come una delle diagonali della base.

Poiché la superficie laterale della piramide è costituita da triangoli, per trovare l'area totale della superficie laterale è necessario trovare le aree di ciascuna faccia e sommarle. Il numero e la forma delle facce dipende dalla forma e dalla dimensione dei lati del poligono che sta alla base.

Viene chiamato l'unico piano in una piramide che non ha un vertice base piramidi.

Nella figura vediamo che la base è un parallelogramma, tuttavia può esserci qualsiasi poligono arbitrario.

Proprietà:

Considera il primo caso di una piramide, in cui ha spigoli della stessa lunghezza:

• Un cerchio può essere descritto attorno alla base di una tale piramide. Se proietti la sommità di una tale piramide, la sua proiezione si troverà al centro del cerchio.
• Gli angoli alla base della piramide sono gli stessi per ogni faccia.
• Allo stesso tempo, condizione sufficiente perché si possa descrivere un cerchio attorno alla base della piramide, e anche che tutti i bordi abbiano lunghezze diverse, si possono considerare gli stessi angoli tra la base e ciascun bordo delle facce .

Se ti imbatti in una piramide in cui gli angoli tra le facce laterali e la base sono uguali, allora sono vere le seguenti proprietà:

• Sarai in grado di descrivere un cerchio attorno alla base della piramide, la cui sommità è proiettata esattamente al centro.
• Se disegni su ciascuna faccia laterale dell'altezza alla base, allora saranno di uguale lunghezza.
• Per trovare la superficie laterale di una tale piramide, è sufficiente trovare il perimetro della base e moltiplicarlo per metà della lunghezza dell'altezza.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Tipi di piramide.
• A seconda di quale poligono si trova alla base della piramide, possono essere triangolari, quadrangolari, ecc. Se un poligono regolare (con lati uguali) si trova alla base della piramide, tale piramide sarà chiamata regolare.

Piramide triangolare regolare

Conosciamo bene le grandi piramidi egiziane, ognuno può immaginare che aspetto abbiano. Questa rappresentazione ci aiuterà a comprenderne le caratteristiche figura geometrica come una piramide.

Una piramide è un poliedro costituito da un poligono piatto - la base della piramide, un punto che non giace nel piano della base - la parte superiore della piramide e tutti i segmenti che collegano la parte superiore con i punti della base. I segmenti che collegano la sommità della piramide con la sommità della base sono detti spigoli laterali. Sulla fig. 1 mostra la piramide SABCD. Il quadrilatero ABCD è la base della piramide, il punto S è la sommità della piramide, i segmenti SA, SB, SC e SD sono i bordi della piramide.

L'altezza della piramide è la perpendicolare caduta dalla sommità della piramide al piano della base. Sulla fig. 1 SO è l'altezza della piramide.

Una piramide si dice n-gonale se la sua base è n-gon. La figura 1 mostra una piramide quadrangolare. Una piramide triangolare è chiamata tetraedro.

Una piramide si dice regolare se la sua base è un poligono regolare e la base dell'altezza coincide con il centro di questo poligono. I bordi laterali di una piramide regolare sono uguali e, quindi, le facce laterali sono triangoli isosceli. In una piramide regolare, l'altezza della faccia laterale tracciata dalla sommità della piramide è chiamata apotema.

La piramide ha una serie di proprietà.

Tutte le diagonali di una piramide appartengono alle sue facce.

Se tutti i bordi laterali sono uguali, allora:

• vicino alla base della piramide si può descrivere un cerchio e la sommità della piramide è proiettata nel suo centro;
• i bordi laterali formano angoli uguali con il piano di base, e, viceversa, se i bordi laterali formano angoli uguali con il piano di base, o se un cerchio può essere descritto vicino alla base della piramide, e la sommità della piramide è proiettata in il suo centro, quindi tutti i bordi laterali della piramide sono uguali.

Se le facce laterali sono inclinate rispetto al piano di base di un angolo, allora:

• un cerchio può essere inscritto alla base della piramide e la sommità della piramide è proiettata nel suo centro;
• le altezze delle facce laterali sono uguali;
• l'area della superficie laterale è pari alla metà del prodotto del perimetro della base e dell'altezza della faccia laterale.

Considera le formule per trovare il volume, la superficie della piramide.

Il volume della piramide può essere calcolato utilizzando la seguente formula:

dove S è l'area della base e h è l'altezza.

Per trovare la superficie totale di una piramide, usa la formula:

S p \u003d S b + S o,

dove S p è l'area della superficie totale, S b è l'area della superficie laterale, S o è l'area di base.

Una piramide tronca è un poliedro racchiuso tra la base della piramide e un piano di taglio parallelo alla sua base. Le facce del tronco di piramide, giacenti su piani paralleli, sono chiamate basi del tronco di piramide, le restanti facce sono chiamate facce laterali. Le basi di una piramide tronca sono poligoni simili, le facce laterali sono trapezi. Una piramide tronca che si ottiene da una piramide regolare è detta piramide tronca regolare. Le facce laterali di un trapezio troncato regolare sono trapezi isosceli uguali, le loro altezze sono chiamate apotema.

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