Piramide la cui base è l'altezza delle nervature laterali. Piramide

• apotema- l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, che è disegnata dalla sua sommità (inoltre, l'apotema è la lunghezza della perpendicolare, che è abbassata dal centro di un poligono regolare a 1 dei suoi lati);
• facce laterali (ASB, BSC, CSD, DSA) - triangoli che convergono in alto;
• costole laterali ( COME , Cavolo , CS , D.S. ) - lati comuni delle facce laterali;
• sommità della piramide (v. S) - un punto che collega i bordi laterali e che non giace nel piano della base;
• altezza ( COSÌ ) - un segmento della perpendicolare, che viene disegnato attraverso la sommità della piramide fino al piano della sua base (le estremità di tale segmento saranno la sommità della piramide e la base della perpendicolare);
• sezione diagonale di una piramide- sezione della piramide, che passa per la sommità e la diagonale della base;
• base (ABCD) è un poligono a cui non appartiene il vertice della piramide.

proprietà piramidali.

1. Quando tutti i bordi laterali hanno le stesse dimensioni, allora:

• vicino alla base della piramide è facile descrivere un cerchio, mentre la sommità della piramide sarà proiettata nel centro di questo cerchio;
• le nervature laterali formano angoli uguali con il piano di base;
• inoltre, è vero anche il viceversa, cioè quando i bordi laterali formano angoli uguali con il piano di base, o quando un cerchio può essere descritto vicino alla base della piramide e la parte superiore della piramide sarà proiettata nel centro di questo cerchio, allora tutti i bordi laterali della piramide hanno Le stesse dimensioni.

2. Quando le facce laterali hanno un angolo di inclinazione rispetto al piano della base dello stesso valore, allora:

• vicino alla base della piramide è facile descrivere un cerchio, mentre la sommità della piramide sarà proiettata nel centro di questo cerchio;
• le altezze delle facce laterali sono uguale lunghezza;
• l'area della superficie laterale è ½ del prodotto del perimetro della base e dell'altezza della faccia laterale.

3. Una sfera può essere descritta vicino alla piramide se la base della piramide è un poligono attorno al quale può essere descritto un cerchio (condizione necessaria e sufficiente). Il centro della sfera sarà il punto di intersezione dei piani che passano per i punti medi dei bordi della piramide ad essi perpendicolari. Da questo teorema concludiamo che, come su qualsiasi triangolare e su qualsiasi piramide corretta sfera può essere descritta.

4. Una sfera può essere inscritta in una piramide se le bisettrici dei diedri interni della piramide si intersecano nel 1° punto (condizione necessaria e sufficiente). Questo punto diventerà il centro della sfera.

La piramide più semplice.

In base al numero di angoli della base della piramide, sono divisi in triangolari, quadrangolari e così via.

La piramide lo farà triangolare, quadrangolare, e così via, quando la base della piramide è un triangolo, un quadrilatero, e così via. Una piramide triangolare è un tetraedro - un tetraedro. Quadrangolare - pentaedro e così via.

Qui sono raccolte le informazioni di base sulle piramidi e relative formule e concetti. Tutti sono studiati con un tutor in matematica in preparazione all'esame.

Considera un piano, un poligono giacente in esso e un punto S che non giace in esso. Connetti S a tutti i vertici del poligono. Il poliedro risultante è chiamato piramide. I segmenti sono chiamati bordi laterali. Il poligono si chiama base e il punto S si chiama sommità della piramide. A seconda del numero n, la piramide si chiama triangolare (n=3), quadrangolare (n=4), pentagonale (n=5) e così via. Nome alternativo per la piramide triangolare - tetraedro. L'altezza di una piramide è la perpendicolare tracciata dal suo apice al piano di base.

Una piramide si dice corretta se poligono regolare, e la base dell'altezza della piramide (la base della perpendicolare) è il suo centro.

Il commento del tutor:
Non confondere il concetto di "piramide regolare" e "tetraedro regolare". In una piramide regolare, i bordi laterali non sono necessariamente uguali ai bordi della base, ma in un tetraedro regolare, tutti e 6 i bordi dei bordi sono uguali. Questa è la sua definizione. È facile dimostrare che l'uguaglianza implica che il centro P del poligono con una base di altezza, quindi un tetraedro regolare è una piramide regolare.

Cos'è un apotema?
L'apotema di una piramide è l'altezza della sua faccia laterale. Se la piramide è regolare, allora tutti i suoi apotema sono uguali. Non è vero il contrario.

Tutor di matematica sulla sua terminologia: il lavoro con le piramidi è costruito all'80% attraverso due tipi di triangoli:
1) Contenente apotema SK e altezza SP
2) Contenente il bordo laterale SA e la sua sporgenza PA

Per semplificare i riferimenti a questi triangoli, è più conveniente per un tutor di matematica nominare il primo di essi apotemico, e secondo costale. Sfortunatamente, non troverai questa terminologia in nessuno dei libri di testo e l'insegnante deve introdurla unilateralmente.

Formula del volume piramidale:
1) , dove è l'area della base della piramide, ed è l'altezza della piramide
2) , dove è il raggio della sfera inscritta, ed è la superficie totale della piramide.
3) , dove MN è la distanza di due bordi che si incrociano, ed è l'area del parallelogramma formato dai punti medi dei quattro bordi rimanenti.

Proprietà della base dell'altezza della piramide:

Il punto P (vedi figura) coincide con il centro del cerchio inscritto alla base della piramide se si verifica una delle seguenti condizioni:
1) Tutti gli apotemi sono uguali
2) Tutte le facce laterali sono ugualmente inclinate verso la base
3) Tutti gli apotema sono ugualmente inclinati rispetto all'altezza della piramide
4) L'altezza della piramide è ugualmente inclinata rispetto a tutte le facce laterali

Commento del tutor di matematica: nota che tutti i punti sono uniti da una proprietà comune: in un modo o nell'altro, le facce laterali partecipano ovunque (gli apotemi sono i loro elementi). Pertanto, il tutor può offrire una formulazione meno precisa, ma più conveniente per la memorizzazione: il punto P coincide con il centro del cerchio inscritto, la base della piramide, se ci sono informazioni uguali sulle sue facce laterali. Per dimostrarlo basta dimostrare che tutti i triangoli apotemici sono uguali.

Il punto P coincide con il centro del cerchio circoscritto vicino alla base della piramide, se vale una delle tre condizioni:
1) Tutti i bordi laterali sono uguali
2) Tutte le nervature laterali sono ugualmente inclinate verso la base
3) Tutte le nervature laterali sono ugualmente inclinate rispetto all'altezza

Video lezione 2: Sfida piramidale. Volume piramidale

Video lezione 3: Sfida piramidale. Piramide corretta

Conferenza: Piramide, sua base, spigoli laterali, altezza, superficie laterale; piramide triangolare; piramide destra

Piramide- Questo è un corpo tridimensionale che ha un poligono alla base e tutte le sue facce sono costituite da triangoli.

Un caso particolare di piramide è un cono, alla base del quale si trova un cerchio.

Considera gli elementi principali della piramide:

Apotemaè un segmento che collega la parte superiore della piramide con la metà del bordo inferiore della faccia laterale. In altre parole, questa è l'altezza della faccia della piramide.

Nella figura puoi vedere i triangoli ADS, ABS, BCS, CDS. Se osservi attentamente i nomi, puoi vedere che ogni triangolo ha una lettera comune nel suo nome: S. Cioè, questo significa che tutte le facce laterali (triangoli) convergono in un punto, che è chiamato la parte superiore della piramide.

Il segmento OS, che collega il vertice con il punto di intersezione delle diagonali della base (nel caso di triangoli, nel punto di intersezione delle altezze), si chiama altezza della piramide.

Una sezione diagonale è un piano che passa attraverso la sommità della piramide, così come una delle diagonali della base.

Poiché la superficie laterale della piramide è costituita da triangoli, per trovare l'area totale della superficie laterale è necessario trovare le aree di ciascuna faccia e sommarle. Il numero e la forma delle facce dipende dalla forma e dalla dimensione dei lati del poligono che sta alla base.

Viene chiamato l'unico piano in una piramide che non ha un vertice base piramidi.

Nella figura vediamo che la base è un parallelogramma, tuttavia può esserci qualsiasi poligono arbitrario.

Proprietà:

Considera il primo caso di una piramide, in cui ha spigoli della stessa lunghezza:

• Un cerchio può essere descritto attorno alla base di una tale piramide. Se proietti la sommità di una tale piramide, la sua proiezione si troverà al centro del cerchio.
• Gli angoli alla base della piramide sono gli stessi per ogni faccia.
• Allo stesso tempo, condizione sufficiente perché si possa descrivere un cerchio attorno alla base della piramide, e anche che tutti i bordi abbiano lunghezze diverse, si possono considerare gli stessi angoli tra la base e ciascun bordo delle facce .

Se ti imbatti in una piramide in cui gli angoli tra le facce laterali e la base sono uguali, allora sono vere le seguenti proprietà:

• Sarai in grado di descrivere un cerchio attorno alla base della piramide, la cui sommità è proiettata esattamente al centro.
• Se disegni su ciascuna faccia laterale dell'altezza alla base, allora saranno di uguale lunghezza.
• Per trovare la superficie laterale di una tale piramide, è sufficiente trovare il perimetro della base e moltiplicarlo per metà della lunghezza dell'altezza.
• Sbp \u003d 0,5P oc H.
• Tipi di piramide.
• A seconda di quale poligono si trova alla base della piramide, possono essere triangolari, quadrangolari, ecc. Se un poligono regolare (con lati uguali) si trova alla base della piramide, tale piramide sarà chiamata regolare.

Piramide triangolare regolare

Concetto di piramide

Definizione 1

Figura geometrica, formato da un poligono e da un punto che non giace nel piano che contiene questo poligono, connesso a tutti i vertici del poligono, si chiama piramide (Fig. 1).

Il poligono da cui è composta la piramide si chiama base della piramide, i triangoli ottenuti collegandosi con la punta sono le facce laterali della piramide, i lati dei triangoli sono i lati della piramide, e il punto comune a tutti triangoli è il vertice della piramide.

Tipi di piramidi

A seconda del numero di angoli alla base della piramide, può essere chiamata triangolare, quadrangolare e così via (Fig. 2).

Figura 2.

Un altro tipo di piramide è una piramide regolare.

Introduciamo e dimostriamo la proprietà di una piramide regolare.

Teorema 1

Tutte le facce laterali di una piramide regolare sono triangoli isosceli uguali tra loro.

Prova.

Consideriamo una piramide regolare $n-$gonale con vertice $S$ di altezza $h=SO$. Descriviamo un cerchio attorno alla base (Fig. 4).

Figura 4

Considera il triangolo $SOA$. Per il teorema di Pitagora, otteniamo

Ovviamente, qualsiasi spigolo laterale sarà definito in questo modo. Pertanto, tutti i bordi laterali sono uguali tra loro, cioè tutte le facce laterali sono triangoli isosceli. Dimostriamo che sono uguali tra loro. Poiché la base è un poligono regolare, le basi di tutte le facce laterali sono uguali tra loro. Di conseguenza, tutte le facce laterali sono uguali secondo l'III segno di uguaglianza dei triangoli.

Il teorema è stato dimostrato.

Introduciamo ora la seguente definizione relativa al concetto di piramide regolare.

Definizione 3

L'apotema di una piramide regolare è l'altezza della sua faccia laterale.

Ovviamente, per il Teorema 1, tutti gli apotemi sono uguali.

Teorema 2

La superficie laterale di una piramide regolare è definita come il prodotto del semiperimetro della base e dell'apotema.

Prova.

Denotiamo il lato della base della piramide $n-$carbone come $a$, e l'apotema come $d$. Pertanto, l'area della faccia laterale è uguale a

Poiché, per il Teorema 1, tutti i lati sono uguali, allora

Il teorema è stato dimostrato.

Un altro tipo di piramide è la piramide tronca.

Definizione 4

Se un piano parallelo alla sua base viene disegnato attraverso una piramide ordinaria, la figura formata tra questo piano e il piano della base è chiamata piramide tronca (Fig. 5).

Figura 5. Piramide tronca

Le facce laterali della piramide tronca sono trapezi.

Teorema 3

L'area della superficie laterale di una piramide tronca regolare è definita come il prodotto della somma dei semiperimetri delle basi e dell'apotema.

Prova.

Indichiamo i lati delle basi della $n-$piramide di carbone rispettivamente con $a\ e\ b$ e l'apotema con $d$. Pertanto, l'area della faccia laterale è uguale a

Poiché tutti i lati sono uguali, allora

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio di attività

Esempio 1

Trova l'area della superficie laterale di una piramide triangolare tronca se è ottenuta da una piramide regolare con lato di base 4 e apotema 5 tagliando da un piano passante per la linea mediana delle facce laterali.

Soluzione.

Secondo il teorema della linea mediana, otteniamo che la base superiore della piramide tronca è uguale a $4\cdot \frac(1)(2)=2$, e l'apotema è uguale a $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.

Allora, per il Teorema 3, otteniamo