Il raggio del cerchio inscritto in una formula di triangolo rettangolo. Formule per i raggi di circonferenze inscritte e circoscritte di poligoni regolari

Molto spesso, quando si risolvono problemi geometrici, è necessario eseguire azioni con figure ausiliarie. Ad esempio, trova il raggio di un cerchio inscritto o circoscritto, ecc. Questo articolo ti mostrerà come trovare il raggio di un cerchio che circoscrive un triangolo. O, in altre parole, il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo.

Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo - la formula generale

La formula generale è la seguente: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), dove R è il raggio del cerchio circoscritto, p è il perimetro del triangolo diviso 2 (mezzo perimetro). a, b, c sono i lati del triangolo.

Trova il raggio del cerchio circoscritto del triangolo se a = 3, b = 6, c = 7.

Pertanto, in base alla formula precedente, calcoliamo il semiperimetro:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Sostituisci i valori nella formula e ottieni:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Risposta: R = 126/16√5

Come trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo equilatero

Per trovare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo equilatero, ci sono abbastanza formula semplice: R = a/√3, dove a è il valore del suo lato.

Esempio: il lato di un triangolo equilatero è 5. Trova il raggio del cerchio circoscritto.

Poiché tutti i lati di un triangolo equilatero sono uguali, per risolvere il problema è sufficiente inserire il suo valore nella formula. Otteniamo: R = 5/√3.

Risposta: R = 5/√3.

Come trovare il raggio di una circonferenza circoscritta a un triangolo rettangolo

La formula è la seguente: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, dove a e b sono le gambe e c è l'ipotenusa. Se aggiungiamo i quadrati delle gambe in un triangolo rettangolo, otteniamo il quadrato dell'ipotenusa. Come si può vedere dalla formula, questa espressione è sotto la radice. Calcolando la radice del quadrato dell'ipotenusa, otteniamo la lunghezza stessa. Moltiplicando l'espressione risultante per 1/2 alla fine si ottiene l'espressione 1/2 × c = c/2.

Esempio: calcola il raggio del cerchio circoscritto se le gambe del triangolo sono 3 e 4. Sostituisci i valori nella formula. Otteniamo: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

In questa espressione, 5 è la lunghezza dell'ipotenusa.

Risposta: R = 2,5.

Come trovare il raggio di una circonferenza circoscritta a un triangolo isoscele

La formula è la seguente: R = a² / √ (4a² - b²), dove a è la lunghezza della coscia del triangolo e b è la lunghezza della base.

Esempio: calcola il raggio di un cerchio se il suo fianco = 7 e la sua base = 8.

Soluzione: sostituiamo questi valori nella formula e otteniamo: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. La risposta può essere scritta direttamente in questo modo.

Risposta: R = 49/√132

Risorse online per il calcolo del raggio di un cerchio

È molto facile confondersi in tutte queste formule. Pertanto, se necessario, puoi utilizzare calcolatrici online, che ti aiuterà a risolvere i problemi sulla ricerca del raggio. Il principio di funzionamento di tali mini-programmi è molto semplice. Sostituisci il valore del lato nel campo appropriato e ottieni una risposta già pronta. Puoi scegliere diverse opzioni per arrotondare la risposta: a decimali, centesimi, millesimi, ecc.

Cerchio inscritto in un triangolo

Esistenza di un cerchio inscritto in un triangolo

Richiama la definizione bisettrice dell'angolo .

Definizione 1 .Bisettrice dell'angolo chiamato raggio che divide un angolo in due parti uguali.

Teorema 1 (proprietà di base della bisettrice dell'angolo) . Ogni punto della bisettrice dell'angolo è alla stessa distanza dai lati dell'angolo (Fig. 1).

Riso. 1

Prova D giacente sulla bisettrice dell'angoloBAC , E DE E DF ai lati dell'angolo (Fig. 1).triangoli rettangoli ADF E ADE pari perché hanno gli stessi angoli acutiDAF E DAE , e l'ipotenusa ANNO DOMINI - generale. Quindi,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Teorema 2 (teorema inverso al Teorema 1) . Se alcuni , allora si trova sulla bisettrice dell'angolo (Fig. 2).

Riso. 2

Prova . Considera un punto arbitrarioD sdraiato nell'angoloBAC e situato alla stessa distanza dai lati dell'angolo. Scendi dal puntoD perpendicolari DE E DF ai lati dell'angolo (Fig. 2).triangoli rettangoli ADF E ADE pari , poiché hanno gambe ugualiDF E DE , e l'ipotenusa ANNO DOMINI - generale. Quindi,

Q.E.D.

Definizione 2 . Il cerchio è chiamato cerchio inscritto in un angolo se sono i lati di questo angolo.

Teorema 3 . Se un cerchio è inscritto in un angolo, allora le distanze dal vertice dell'angolo ai punti di contatto del cerchio con i lati dell'angolo sono uguali.

Prova . Facciamo il punto D è il centro di una circonferenza inscritta in un angoloBAC , e i punti E E F - punti di contatto del cerchio con i lati dell'angolo (Fig. 3).

Fig.3

UN , B , C - lati di un triangolo
 S -piazza,

R – raggio del cerchio inscritto,
 P - semiperimetro

.

Visualizza l'output della formula

UN – lato laterale di un triangolo isoscele , 
 B - basamento, R – raggio del cerchio inscritto

UN R – raggio del cerchio inscritto

Visualizza l'output della formula

,

Dove

,

poi, nel caso di un triangolo isoscele, quando

noi abbiamo

che è quanto era richiesto.

Teorema 7 . Per l'uguaglianza

Dove UN - lato di un triangolo equilateroR – raggio del cerchio inscritto (Fig. 8).

Riso. 8

Prova .

,

poi, nel caso di un triangolo equilatero, quando

b=a,

noi abbiamo

che è quanto era richiesto.

Commento . Raccomando di derivare come esercizio la formula per il raggio di un cerchio inscritto direttamente in un triangolo equilatero, cioè senza usare formule generali per i raggi dei cerchi inscritti in un triangolo arbitrario o in un triangolo isoscele.

Teorema 8 . Per un triangolo rettangolo, l'uguaglianza

Dove UN , B - gambe di un triangolo rettangolo, C – ipotenusa , R – raggio del cerchio inscritto.

Prova . Considera la Figura 9.

Riso. 9

Dal quadrilateroCDF È , che ha i lati adiacentiFARE E DI sono uguali, allora questo rettangolo è . Quindi,

CB \u003d CF \u003d r,

In virtù del Teorema 3, le uguaglianze

Pertanto, tenendo conto anche di , otteniamo

che è quanto era richiesto.

Una selezione di compiti sull'argomento "Un cerchio inscritto in un triangolo".

1.

Un cerchio inscritto in un triangolo isoscele divide nel punto di contatto uno dei lati in due segmenti, le cui lunghezze sono uguali a 5 e 3, contando dal vertice opposto alla base. Trova il perimetro del triangolo.

2.

3

IN triangolo ABC AC=4, BC=3, l'angolo C è di 90º. Trova il raggio del cerchio inscritto.

4.

I cateti di un triangolo rettangolo isoscele sono 2+. Trova il raggio del cerchio inscritto in questo triangolo.

5.

Raggio di una circonferenza inscritta in un'isoscele triangolo rettangolo, è uguale a 2. Trova l'ipotenusa c di questo triangolo. Scrivi c(-1) nella tua risposta.

Ecco una serie di attività dell'esame con soluzioni.

Il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo isoscele è . Trova l'ipotenusa c di questo triangolo. Si prega di indicare nella risposta.

Il triangolo è rettangolo ed isoscele. Quindi le sue gambe sono le stesse. Lascia che ogni gamba sia uguale. Allora l'ipotenusa è.

Scriviamo l'area del triangolo ABC in due modi:

Equiparando queste espressioni, lo otteniamo. Perché il, lo capiamo. Poi.

In risposta, scrivi.

Risposta:.

Compito 2.

1. Su due lati qualsiasi 10 cm e 6 cm (AB e BC). Trova i raggi dei cerchi circoscritti e inscritti
Il problema è risolto in modo indipendente con i commenti.

Soluzione:

IN.

1) Trova:
2) Dimostrare:e trova CK
3) Trova: i raggi dei cerchi circoscritti e inscritti

Soluzione:

Compito 6.

R il raggio di un cerchio inscritto in un quadrato è. Trova il raggio del cerchio circoscritto a questo quadrato.Dato :

Trovare: OS=?
Soluzione: v questo caso il problema può essere risolto utilizzando il teorema di Pitagora o la formula per R. Il secondo caso è più semplice, poiché la formula per R è derivata dal teorema.

Compito 7.

Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo rettangolo isoscele è 2. Trova l'ipotenusaCon questo triangolo. Si prega di indicare nella risposta.

S è l'area del triangolo

Non conosciamo né i lati del triangolo né la sua area. Indichiamo le gambe come x, quindi l'ipotenusa sarà uguale a:

L'area del triangolo sarà 0,5x 2 .

Significa

Quindi l'ipotenusa sarà:

La risposta deve essere scritta:

Risposta: 4

Compito 8.

Nel triangolo ABC, AC = 4, BC = 3, angolo Cè pari a 90 0 . Trova il raggio del cerchio inscritto.

Usiamo la formula per il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo:

dove a, b, c sono i lati del triangolo

S è l'area del triangolo

Sono noti due lati (queste sono le gambe), possiamo calcolare il terzo (ipotenusa), possiamo anche calcolare l'area.

Secondo il teorema di Pitagora:

Troviamo l'area:

Così:

Risposta 1

Compito 9.

I lati di un triangolo isoscele sono 5, la base è 6. Trova il raggio del cerchio inscritto.

Usiamo la formula per il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo:

dove a, b, c sono i lati del triangolo

S è l'area del triangolo

Tutti i lati sono noti e l'area è calcolata. Possiamo trovarlo usando la formula di Erone:

Poi

La tua privacy è importante per noi. Per questo motivo, abbiamo sviluppato un'Informativa sulla privacy che descrive come utilizziamo e memorizziamo le tue informazioni. Si prega di leggere la nostra politica sulla privacy e di farci sapere se avete domande.

Raccolta e utilizzo delle informazioni personali

Le informazioni personali si riferiscono a dati che possono essere utilizzati per identificare o contattare una persona specifica.

Ti potrebbe essere chiesto di fornire le tue informazioni personali in qualsiasi momento quando ci contatti.

Di seguito sono riportati alcuni esempi dei tipi di informazioni personali che possiamo raccogliere e di come possiamo utilizzare tali informazioni.

Quali informazioni personali raccogliamo:

• Quando invii una domanda sul sito, potremmo raccogliere varie informazioni, incluso il tuo nome, numero di telefono, indirizzo E-mail eccetera.

Come utilizziamo le tue informazioni personali:

• Le informazioni personali che raccogliamo ci consentono di contattarti e informarti su offerte uniche, promozioni e altri eventi e eventi imminenti.
• Di tanto in tanto, potremmo utilizzare le tue informazioni personali per inviarti avvisi e comunicazioni importanti.
• Potremmo anche utilizzare le informazioni personali per scopi interni, come condurre audit, analisi dei dati e varie ricerche al fine di migliorare i servizi che forniamo e fornirti consigli sui nostri servizi.
• Se partecipi a un'estrazione a premi, un concorso o un incentivo simile, potremmo utilizzare le informazioni fornite per amministrare tali programmi.

Divulgazione a terzi

Non divulghiamo le informazioni ricevute da voi a terzi.

Eccezioni:

• Nel caso in cui sia necessario - in conformità con la legge, ordine giudiziario, in procedimenti legali e/o sulla base di richieste pubbliche o richieste da parte di organi statali nel territorio della Federazione Russa - divulgare le tue informazioni personali. Potremmo anche divulgare informazioni su di te se stabiliamo che tale divulgazione è necessaria o appropriata per motivi di sicurezza, applicazione della legge o altri scopi di interesse pubblico.
• In caso di riorganizzazione, fusione o vendita, potremmo trasferire le informazioni personali che raccogliamo al relativo successore terzo.

Protezione delle informazioni personali

Prendiamo precauzioni - comprese quelle amministrative, tecniche e fisiche - per proteggere le tue informazioni personali da perdita, furto e uso improprio, nonché da accesso non autorizzato, divulgazione, alterazione e distruzione.

Mantenere la tua privacy a livello aziendale

Per garantire che le tue informazioni personali siano al sicuro, comunichiamo le pratiche sulla privacy e sulla sicurezza ai nostri dipendenti e applichiamo rigorosamente le pratiche sulla privacy.

Un rombo è un parallelogramma con tutti i lati uguali. Pertanto, eredita tutte le proprietà di un parallelogramma. Vale a dire:

• Le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.
• Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli interni.

Un cerchio può essere inscritto in un quadrilatero se e solo se le somme dei lati opposti sono uguali.
Pertanto, un cerchio può essere inscritto in qualsiasi rombo. Il centro del cerchio inscritto coincide con il centro di intersezione delle diagonali del rombo.
Il raggio di un cerchio inscritto in un rombo può essere espresso in diversi modi

1 modo. Il raggio del cerchio inscritto in un rombo attraverso l'altezza

L'altezza di un rombo è uguale al diametro del cerchio inscritto. Ciò deriva dalla proprietà di un rettangolo, che è formato dal diametro del cerchio inscritto e dall'altezza del rombo: i lati opposti del rettangolo sono uguali.

Pertanto, la formula per il raggio del cerchio inscritto in un rombo attraverso l'altezza:

2 vie. Raggio di una circonferenza inscritta in un rombo passante per le diagonali

L'area di un rombo può essere espressa in termini di raggio del cerchio inscritto
, Dove Rè il perimetro del rombo. Sapendo che il perimetro è la somma di tutti i lati di un quadrilatero, abbiamo P= 4× ah. Poi
Ma l'area di un rombo è anche la metà del prodotto delle sue diagonali
Uguagliando le parti giuste delle formule dell'area, abbiamo la seguente uguaglianza
Come risultato, otteniamo una formula che ci permette di calcolare il raggio del cerchio inscritto in un rombo attraverso le diagonali

Un esempio di calcolo del raggio di un cerchio inscritto in un rombo se le diagonali sono note
Trova il raggio di un cerchio inscritto in un rombo se si sa che la lunghezza delle diagonali è di 30 cm e 40 cm
Permettere ABCD- rombo, allora AC E BD le sue diagonali. CA= 30 cm , BD=40cm
Facciamo il punto DIè il centro dell'inscritto nel rombo ABCD cerchio, allora sarà anche il punto di intersezione delle sue diagonali, dividendole a metà.


poiché le diagonali del rombo si intersecano ad angolo retto, allora il triangolo AOB rettangolare. Quindi dal teorema di Pitagora
, sostituiamo i valori precedentemente ottenuti nella formula

AB= 25cm
Applicando la formula precedentemente derivata per il raggio del cerchio circoscritto ad un rombo, otteniamo

3 vie. Il raggio del cerchio inscritto nel rombo passante per i segmenti m e n

Punto F- il punto di contatto del cerchio con il lato del rombo, che lo divide in segmenti AF E bf. Permettere AF=m, BF=n.
Punto O- il centro di intersezione delle diagonali del rombo e il centro del cerchio in esso inscritto.
Triangolo AOB- rettangolare, poiché le diagonali del rombo si intersecano ad angolo retto.
, Perché è il raggio disegnato al punto tangente del cerchio. Quindi DI- l'altezza del triangolo AOB all'ipotenusa. Poi AF E bf- proiezioni delle gambe sull'ipotenusa.
L'altezza in un triangolo rettangolo scesa all'ipotenusa è la media proporzionale tra le proiezioni delle gambe sull'ipotenusa.

La formula per il raggio di un cerchio inscritto in un rombo attraverso i segmenti è uguale alla radice quadrata del prodotto di questi segmenti in cui il lato del rombo è diviso per il punto tangente del cerchio

Come trovare il raggio di un cerchio? Questa domanda è sempre rilevante per gli scolari che studiano la planimetria. Di seguito vedremo alcuni esempi di come è possibile far fronte all'attività.

A seconda delle condizioni del problema, puoi trovare il raggio del cerchio in questo modo.

Formula 1: R \u003d L / 2π, dove L è e π è una costante pari a 3,141 ...

Formula 2: R = √(S / π), dove S è l'area del cerchio.

Formula 1: R = B/2, dove B è l'ipotenusa.

Formula 2: R \u003d M * B, dove B è l'ipotenusa e M è la mediana attratta da essa.

Come trovare il raggio di una circonferenza circoscritta a un poligono regolare

Formula: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), dove A è la lunghezza di uno dei lati della figura e n è il numero di lati in questa figura geometrica.

Come trovare il raggio di una circonferenza inscritta

Un cerchio inscritto viene chiamato quando tocca tutti i lati del poligono. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Formula 1: R \u003d S / (P / 2), dove - S e P sono rispettivamente l'area e il perimetro della figura.

Formula 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), dove P è il perimetro, A è la lunghezza di uno dei lati ed è l'angolo opposto a questo lato.

Come trovare il raggio di un cerchio se è inscritto in un triangolo rettangolo

Formula 1:

Raggio di una circonferenza inscritta in un rombo

Un cerchio può essere inscritto in qualsiasi rombo, sia equilatero che inequilatero.

Formula 1: R \u003d 2 * H, dove H è l'altezza della figura geometrica.

Formula 2: R \u003d S / (A * 2), dove S è e A è la lunghezza del suo lato.

Formula 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), dove S è l'area del rombo e sin A è il seno angolo acuto questa figura geometrica.

Formula 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), dove V e G sono le lunghezze delle diagonali di una figura geometrica.

Formula 5: R = B * sin (A / 2), dove B è la diagonale del rombo e A è l'angolo ai vertici che collega la diagonale.

Raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo

Nel caso in cui nella condizione del problema ti vengano fornite le lunghezze di tutti i lati della figura, calcola prima (P) e poi il semiperimetro (p):

P \u003d A + B + C, dove A, B, C sono le lunghezze dei lati della figura geometrica.

Formula 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

E se, conoscendo tutti gli stessi tre lati, ti vengono anche dati, allora puoi calcolare il raggio desiderato come segue.

Formula 2: R = S * 2(A + B + C)

Formula 3: R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), dove - p è il semiperimetro della figura geometrica.

Formula 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), dove n è il mezzo perimetro del triangolo, A è uno dei suoi lati e tg (A / 2) è la tangente della metà del angolo opposto a questo lato.

E la formula qui sotto ti aiuterà a trovare il raggio del cerchio in cui è inscritto

Formula 5: R \u003d A * √3/6.

Raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo

Se al problema vengono date le lunghezze delle gambe, così come l'ipotenusa, allora il raggio del cerchio inscritto si trova come segue.

Formula 1: R \u003d (A + B-C) ​​​​/ 2, dove A, B sono le gambe, C è l'ipotenusa.

Nel caso in cui ti vengano date solo due gambe, è tempo di ricordare il teorema di Pitagora per trovare l'ipotenusa e usare la formula sopra.

C \u003d √ (A² + B²).

Raggio di una circonferenza inscritta in un quadrato

Il cerchio, che è inscritto nel quadrato, divide esattamente a metà tutti i suoi 4 lati nei punti di contatto.

Formula 1: R \u003d A / 2, dove A è la lunghezza del lato del quadrato.

Formula 2: R \u003d S / (P / 2), dove S e P sono rispettivamente l'area e il perimetro del quadrato.