Il logaritmo naturale di 0 è uguale a. Logaritmo

Cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")

Cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, l'argomento dei logaritmi è considerato complesso, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto - equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente vero. Assolutamente! Non credi? Bene. Ora, per circa 10 - 20 minuti tu:

1. Capire cos'è un logaritmo.

2. Impara a risolvere un'intera classe di equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

Inoltre, per questo ti basterà conoscere la tavola pitagorica e come un numero viene elevato a potenza ...

Sento che dubiti ... Beh, tieni il tempo! Andare!

Innanzitutto, risolvi mentalmente la seguente equazione:

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un paio di siti più interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Il logaritmo del numero b in base a è l'esponente a cui devi elevare il numero a per ottenere il numero b.

Se poi .

Il logaritmo è estremamente grande quantità matematica, poiché il calcolo logaritmico consente non solo di risolvere equazioni esponenziali, ma anche operare con indicatori, differenziare funzioni esponenziali e logaritmiche, integrarle e portare a una forma più accettabile da calcolare.

In contatto con

Tutte le proprietà dei logaritmi sono direttamente correlate alle proprietà funzioni esponenziali. Ad esempio, il fatto che significa che:

Va notato che quando si risolvono problemi specifici, le proprietà dei logaritmi possono essere più importanti e utili delle regole per lavorare con i poteri.

Ecco alcune identità:

Ecco le principali espressioni algebriche:

;

.

Attenzione! può esistere solo per x>0, x≠1, y>0.

Proviamo a capire la domanda su cosa siano i logaritmi naturali. Interesse separato per la matematica rappresentano due tipi- il primo ha alla base il numero "10", e si chiama " logaritmo decimale". Il secondo è chiamato naturale. La base del logaritmo naturale è il numero e. È di lui che parleremo in dettaglio in questo articolo.

Designazioni:

• lg x - decimale;
• ln x - naturale.

Usando l'identità, possiamo vedere che ln e = 1, così come che lg 10=1.

grafico logaritmico naturale

Costruiamo un grafico del logaritmo naturale nel modo classico standard per punti. Se lo desideri, puoi verificare se stiamo costruendo correttamente una funzione esaminando la funzione. Tuttavia, ha senso imparare a costruirlo "manualmente" per sapere come calcolare correttamente il logaritmo.

Funzione: y = log x. Scriviamo una tabella di punti attraverso i quali passerà il grafico:

Spieghiamo perché abbiamo scelto tali valori dell'argomento x. Si tratta di identità: Per un logaritmo naturale, questa identità sarà simile a questa:

Per comodità, possiamo prendere cinque punti di riferimento:

;

;

.

;

.

Pertanto, contare i logaritmi naturali è un compito abbastanza semplice, inoltre, semplifica il calcolo delle operazioni con potenze, trasformandole in moltiplicazione normale.

Avendo costruito un grafico per punti, otteniamo un grafico approssimativo:

Il dominio del logaritmo naturale (ovvero tutti i valori validi dell'argomento X) è costituito da tutti i numeri maggiori di zero.

Attenzione! Il dominio di definizione del logaritmo naturale include solo numeri positivi! L'ambito non include x=0. Ciò è impossibile in base alle condizioni per l'esistenza del logaritmo.

L'intervallo di valori (ovvero tutti i valori validi della funzione y = ln x) è costituito da tutti i numeri nell'intervallo .

limite logaritmico naturale

Studiando il grafico, sorge la domanda: come si comporta la funzione quando y<0.

Ovviamente il grafico della funzione tende ad incrociare l'asse delle ordinate, ma non potrà farlo, poiché il logaritmo naturale di x<0 не существует.

Limite naturale tronco d'albero si può scrivere così:

Formula per cambiare la base di un logaritmo

Trattare con un logaritmo naturale è molto più facile che trattare con un logaritmo che ha una base arbitraria. Ecco perché cercheremo di imparare come ridurre qualsiasi logaritmo a uno naturale o esprimerlo in una base arbitraria attraverso logaritmi naturali.

Iniziamo con l'identità logaritmica:

Quindi qualsiasi numero o variabile y può essere rappresentato come:

dove x è un numero qualsiasi (positivo secondo le proprietà del logaritmo).

Questa espressione può essere logaritmica su entrambi i lati. Facciamolo con una base arbitraria z:

Usiamo la proprietà (solo invece di "con" abbiamo un'espressione):

Da qui otteniamo la formula universale:

.

In particolare, se z=e, allora:

.

Siamo riusciti a rappresentare il logaritmo in una base arbitraria attraverso il rapporto di due logaritmi naturali.

Risolviamo problemi

Per navigare meglio nei logaritmi naturali, considera esempi di diversi problemi.

Compito 1. È necessario risolvere l'equazione ln x = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

Compito 2. Risolvi l'equazione (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

.

Ancora una volta applichiamo la definizione di logaritmo:

.

Così:

.

Puoi calcolare approssimativamente la risposta o lasciarla in questo modulo.

Compito 3. Risolvi l'equazione.

Soluzione: Facciamo una sostituzione: t = ln x. Quindi l'equazione assumerà la seguente forma:

.

Abbiamo un'equazione quadratica. Troviamo il suo discriminante:

Prima radice dell'equazione:

.

Seconda radice dell'equazione:

.

Ricordando che abbiamo effettuato la sostituzione t = ln x, otteniamo:

In statistica e teoria della probabilità, le quantità logaritmiche sono molto comuni. Questo non è sorprendente, perché il numero e - spesso riflette il tasso di crescita dei valori esponenziali.

In informatica, programmazione e teoria dei computer, i logaritmi sono abbastanza comuni, ad esempio, per memorizzare N bit in memoria.

Nelle teorie dei frattali e delle dimensioni, i logaritmi vengono costantemente utilizzati, poiché le dimensioni dei frattali sono determinate solo con il loro aiuto.

In meccanica e fisica non c'è sezione in cui non sono stati usati i logaritmi. La distribuzione barometrica, tutti i principi della termodinamica statistica, l'equazione di Tsiolkovsky e così via sono processi che possono essere descritti matematicamente solo usando i logaritmi.

In chimica, il logaritmo è usato nelle equazioni di Nernst, descrizioni dei processi redox.

Sorprendentemente, anche nella musica, per scoprire il numero di parti di un'ottava, si usano i logaritmi.

Logaritmo naturale Funzione y=ln x sue proprietà

Dimostrazione della proprietà principale del logaritmo naturale

spesso prendono un numero e = 2,718281828 . I logaritmi in questa base sono chiamati naturale. Quando si eseguono calcoli con logaritmi naturali, è comune operare con il segno lN, ma no tronco d'albero; mentre il numero 2,718281828 , definendo la base, non indicare.

In altre parole, la formulazione sarà simile a: logaritmo naturale numeri Xè l'esponente a cui elevare il numero e, Ottenere X.

COSÌ, ln(7.389...)= 2 perché e 2 =7,389... . Il logaritmo naturale del numero stesso e= 1 perché e 1 =e, e il logaritmo naturale dell'unità è uguale a zero, poiché e 0 = 1.

Il numero stesso e definisce il limite di una sequenza limitata monotona

calcolato quello e = 2,7182818284... .

Molto spesso, per fissare un numero in memoria, le cifre del numero richiesto sono associate a una data in sospeso. La velocità di ricordare le prime nove cifre di un numero e dopo la virgola aumenterà se notate che il 1828 è l'anno di nascita di Leo Tolstoy!

Ad oggi, esistono tabelle abbastanza complete di logaritmi naturali.

grafico logaritmico naturale(funzioni e=lnx) è una conseguenza dell'andamento dell'esponente come immagine speculare rispetto alla retta y = x e sembra:

Il logaritmo naturale può essere trovato per ogni numero reale positivo UN come l'area sotto la curva si = 1/X da 1 Prima UN.

La natura elementare di questa formulazione, che si accorda con molte altre formule in cui è coinvolto il logaritmo naturale, è stata la ragione per la formazione del nome "naturale".

Se analizziamo logaritmo naturale, come funzione reale di una variabile reale, allora agisce funzione inversa ad una funzione esponenziale, che si riduce alle identità:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Per analogia con tutti i logaritmi, il logaritmo naturale converte la moltiplicazione in addizione, la divisione in sottrazione:

ln(xy) = ln(X) + ln(si)

ln(x/y)= lnx - lny

Il logaritmo può essere trovato per ogni base positiva che non è uguale a uno, non solo per e, ma i logaritmi per altre basi differiscono dal logaritmo naturale solo per un fattore costante e sono generalmente definiti in termini di logaritmo naturale.

Aver analizzato grafico logaritmico naturale, otteniamo che esiste per valori positivi della variabile X. Aumenta monotonicamente sul suo dominio di definizione.

A X → 0 il limite del logaritmo naturale è meno infinito ( -∞ ).A x → +∞ il limite del logaritmo naturale è più infinito ( + ∞ ). In generale X il logaritmo aumenta piuttosto lentamente. Qualsiasi funzione di potenza x un con esponente positivo UN aumenta più velocemente del logaritmo. Il logaritmo naturale è una funzione monotonicamente crescente, quindi non ha estremi.

Utilizzo logaritmi naturali molto razionale nel passaggio della matematica superiore. Pertanto, l'uso del logaritmo è conveniente per trovare la risposta alle equazioni in cui le incognite compaiono come esponente. L'uso dei logaritmi naturali nei calcoli consente di facilitare notevolmente un gran numero di formule matematiche. logaritmi di base e sono presenti nella risoluzione di un numero significativo di problemi fisici e sono naturalmente inclusi nella descrizione matematica dei singoli processi chimici, biologici e di altro tipo. Pertanto, i logaritmi vengono utilizzati per calcolare la costante di decadimento per un'emivita nota o per calcolare il tempo di decadimento nella risoluzione di problemi di radioattività. Svolgono un ruolo di primo piano in molte sezioni della matematica e delle scienze pratiche, vengono utilizzati nel campo della finanza per risolvere un gran numero di problemi, anche nel calcolo dell'interesse composto.

Lezione e presentazione sui temi: "Logaritmi naturali. Base di un logaritmo naturale. Logaritmo di un numero naturale"

Materiali aggiuntivi
Cari utenti, non dimenticate di lasciare i vostri commenti, feedback, suggerimenti! Tutti i materiali sono controllati da un programma antivirus.

Sussidi didattici e simulatori nel negozio online "Integral" per il grado 11
Manuale interattivo per le classi 9-11 "Trigonometria"
Manuale interattivo per le classi 10-11 "Logaritmi"

Cos'è il logaritmo naturale

Ragazzi, nell'ultima lezione abbiamo imparato un nuovo numero speciale - e.. Oggi continueremo a lavorare con questo numero.
Abbiamo studiato i logaritmi e sappiamo che la base del logaritmo può essere un insieme di numeri maggiori di 0. Oggi considereremo anche il logaritmo, che si basa sul numero e. Tale logaritmo è solitamente chiamato logaritmo naturale . Ha la sua notazione: $\ln(n)$ è il logaritmo naturale. Questa notazione equivale a: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Le funzioni esponenziale e logaritmica sono inverse, quindi il logaritmo naturale è l'inverso della funzione: $y=e^x$.
Le funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla retta $y=x$.
Tracciamo il logaritmo naturale tracciando la funzione esponenziale rispetto alla retta $y=x$.

Vale la pena notare che la pendenza della tangente al grafico della funzione $y=e^x$ nel punto (0;1) è di 45°. Allora anche la pendenza della tangente al grafico del logaritmo naturale nel punto (1; 0) sarà pari a 45°. Entrambe queste tangenti saranno parallele alla retta $y=x$. Disegnamo le tangenti:

Proprietà della funzione $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Non è né pari né dispari.
3. Aumenta sull'intero dominio di definizione.
4. Non limitato dall'alto, non limitato dal basso.
5. Non esiste un valore massimo, non esiste un valore minimo.
6. Continuo.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convesso verso l'alto.
9. Differenziabile ovunque.

Nel corso della matematica superiore è dimostrato che la derivata di una funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione data.
Non ha molto senso approfondire la dimostrazione, scriviamo solo la formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Esempio.
Calcola il valore della derivata della funzione: $y=\ln(2x-7)$ nel punto $x=4$.
Soluzione.
In generale la nostra funzione è rappresentata dalla funzione $y=f(kx+m)$, possiamo calcolare le derivate di tali funzioni.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Calcoliamo il valore della derivata nel punto richiesto: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Risposta: 2.

Esempio.
Disegna una tangente al grafico della funzione $y=ln(x)$ nel punto $x=e$.
Soluzione.
L'equazione della tangente al grafico della funzione, nel punto $x=a$, la ricordiamo bene.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Calcoliamo in sequenza i valori richiesti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
L'equazione della tangente nel punto $x=e$ è la funzione $y=\frac(x)(e)$.
Tracciamo il logaritmo naturale e la tangente.

Esempio.
Studia la funzione per la monotonia e gli estremi: $y=x^6-6*ln(x)$.
Soluzione.
Dominio della funzione $D(y)=(0;+∞)$.
Trova la derivata della funzione data:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
La derivata esiste per ogni x dal dominio di definizione, quindi non ci sono punti critici. Troviamo i punti stazionari:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Il punto $х=-1$ non appartiene al dominio della definizione. Allora abbiamo un punto stazionario $х=1$. Trova gli intervalli di aumento e diminuzione:

Il punto $x=1$ è il punto minimo, quindi $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Risposta: La funzione è decrescente sul segmento (0;1], la funzione è crescente sul raggio $)