L'equazione esponenziale è zero. equazioni esponenziali

Le equazioni sono dette esponenziali se l'incognita è contenuta nell'esponente. L'equazione esponenziale più semplice ha la forma: a x \u003d a b, dove a> 0 e 1, x è un'incognita.

Le principali proprietà dei gradi, con l'aiuto delle quali si trasformano le equazioni esponenziali: a>0, b>0.

Al momento di decidere equazioni esponenziali godono anche delle seguenti proprietà funzione esponenziale: y = ax , a > 0, a1:

Per rappresentare un numero come potenza, usa la base identità logaritmica: b = , a > 0, a1, b > 0.

Compiti e test sull'argomento "Equazioni esponenziali"

• equazioni esponenziali

  Lezioni: 4 Compiti: 21 Test: 1

• equazioni esponenziali - Argomenti importanti per ripetere l'esame di matematica

  Compiti: 14

• Sistemi di equazioni esponenziali e logaritmiche - Funzioni esponenziali e logaritmiche Grado 11

  Lezioni: 1 Compiti: 15 Test: 1

• §2.1. Soluzione di equazioni esponenziali

  Lezioni: 1 Compiti: 27

• §7 Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche - Sezione 5. Funzioni esponenziali e logaritmiche Grado 10

  Lezioni: 1 Compiti: 17

Per soluzione di successo equazioni esponenziali Devi conoscere le proprietà di base delle potenze, le proprietà della funzione esponenziale, l'identità logaritmica di base.

Quando si risolvono equazioni esponenziali, vengono utilizzati due metodi principali:

1. transizione dall'equazione a f(x) = a g(x) all'equazione f(x) = g(x);
2. introduzione di nuove linee.

Esempi.

1. Equazioni Riducendo al più semplice. Si risolvono portando entrambi i membri dell'equazione a una potenza con la stessa base.

3x \u003d 9x - 2.

Soluzione:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x-4;
x=4.

Risposta: 4.

2. Equazioni risolte mettendo tra parentesi il fattore comune.

Soluzione:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3x-2x8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Risposta: 3.

3. Equazioni Risolte per Cambio di Variabile.

Soluzione:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Indichiamo 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. L'equazione non ha soluzioni, perché 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 logaritmo 2 3 ; x = logaritmo 2 3.

Risposta: registro 2 3.

4. Equazioni contenenti potenze a due basi diverse (non riducibili tra loro).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2x - 2 × 23 = 5x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Risposta: 2.

5. Equazioni omogenee rispetto a a x e b x .

Forma generale: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Soluzione:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Indichiamo (3/2) x = y.
y 2 - 2,5 y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Risposta: ceppo 3/2 2; - ceppo 3/2 2.

Soluzione di equazioni esponenziali. Esempi.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")

Che è successo equazione esponenziale? Questa è un'equazione in cui sono presenti le incognite (x) e le espressioni con esse indicatori alcuni gradi. E solo lì! È importante.

Eccoti esempi di equazioni esponenziali:

3 x 2 x = 8 x + 3

Nota! Nelle basi dei gradi (sotto) - solo numeri. IN indicatori gradi (sopra) - un'ampia varietà di espressioni con x. Se, improvvisamente, nell'equazione appare una x in un punto diverso dall'indicatore, ad esempio:

questa sarà l'equazione tipo misto. Tali equazioni non hanno regole chiare per la risoluzione. Per ora non li prenderemo in considerazione. Qui ci occuperemo soluzione di equazioni esponenziali nella sua forma più pura.

Infatti, anche le equazioni esponenziali pure non sono sempre risolte in modo chiaro. Ma ci sono alcuni tipi di equazioni esponenziali che possono e devono essere risolte. Questi sono i tipi che vedremo.

Soluzione delle più semplici equazioni esponenziali.

Iniziamo con qualcosa di molto semplice. Per esempio:

Anche senza alcuna teoria, per semplice selezione è chiaro che x = 2. Niente di più, vero!? Nessun altro valore x rotola. E ora diamo un'occhiata alla soluzione di questa complicata equazione esponenziale:

Cosa abbiamo fatto? In effetti, abbiamo appena buttato via gli stessi fondi (tripli). Completamente buttato fuori. E, ciò che piace, ha colpito nel segno!

Infatti, se nell'equazione esponenziale a sinistra ea destra ci sono lo stesso numeri in qualsiasi grado, questi numeri possono essere rimossi e uguali esponenti. La matematica lo consente. Resta da risolvere un'equazione molto più semplice. va bene, vero?)

Tuttavia, ricordiamo ironicamente: puoi rimuovere le basi solo quando i numeri di base a sinistra ea destra sono in uno splendido isolamento! Senza vicini e coefficienti. Diciamo nelle equazioni:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , o

Non puoi rimuovere i doppi!

Bene, abbiamo imparato la cosa più importante. Come passare da espressioni esponenziali malvagie a equazioni più semplici.

"Ecco quei tempi!" - tu dici. "Chi darà un tale primitivo sul controllo e sugli esami!?"

Costretto ad accettare. Nessuno lo farà. Ma ora sai dove andare quando risolvi esempi confusi. È necessario ricordarlo quando lo stesso numero di base è a sinistra - a destra. Allora tutto sarà più facile. In realtà, questi sono i classici della matematica. Prendiamo l'esempio originale e lo trasformiamo nel desiderato noi mente. Secondo le regole della matematica, ovviamente.

Considera esempi che richiedono uno sforzo aggiuntivo per portarli al più semplice. Chiamiamoli semplici equazioni esponenziali.

Soluzione di semplici equazioni esponenziali. Esempi.

Quando si risolvono equazioni esponenziali, le regole principali sono azioni con poteri. Senza la conoscenza di queste azioni, nulla funzionerà.

Alle azioni con gradi, bisogna aggiungere l'osservazione personale e l'ingegno. Abbiamo bisogno degli stessi numeri di base? Quindi li stiamo cercando nell'esempio in forma esplicita o crittografata.

Vediamo come si fa in pratica?

Facciamo un esempio:

2 2x - 8 x+1 = 0

Primo sguardo a motivi. Loro... Loro sono diversi! Due e otto. Ma è troppo presto per scoraggiarsi. È ora di ricordarlo

Due e otto sono parenti di grado.) È del tutto possibile scrivere:

8x+1 = (2 3)x+1

Se ricordiamo la formula delle azioni con poteri:

(a n) m = a nm ,

generalmente funziona alla grande:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'esempio originale è simile a questo:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Trasferiamo 2 3 (x+1) a destra (nessuno ha cancellato le azioni elementari della matematica!), otteniamo:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Questo è praticamente tutto. Rimozione delle basi:

Risolviamo questo mostro e otteniamo

Questa è la risposta corretta.

In questo esempio, conoscere i poteri di due ci ha aiutato. Noi identificato nell'otto, il due cifrato. Questa tecnica (codificare basi comuni sotto numeri diversi) è un trucco molto popolare nelle equazioni esponenziali! Sì, anche nei logaritmi. Bisogna saper riconoscere nei numeri le potenze di altri numeri. Questo è estremamente importante per risolvere equazioni esponenziali.

Il fatto è che elevare qualsiasi numero a qualsiasi potenza non è un problema. Moltiplicati, anche su un pezzo di carta, e basta. Ad esempio, tutti possono elevare 3 alla quinta potenza. 243 risulterà se conosci la tavola pitagorica.) Ma nelle equazioni esponenziali, molto più spesso è necessario non elevare a potenza, ma viceversa ... che numero in che misura si nasconde dietro il numero 243, o, diciamo, 343... Nessun calcolatore ti aiuterà qui.

Devi conoscere a vista le potenze di alcuni numeri, sì... Facciamo pratica?

Determina quali potenze e quali numeri sono numeri:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Risposte (in disordine, ovviamente!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Se guardi da vicino, puoi vedere un fatto strano. Ci sono più risposte che domande! Beh, succede... Ad esempio, 2 6 , 4 3 , 8 2 è tutto 64.

Supponiamo che tu abbia preso nota delle informazioni sulla conoscenza dei numeri.) Lascia che ti ricordi che per risolvere equazioni esponenziali, applichiamo il tutto patrimonio di conoscenze matematiche. Anche dalle classi medio-basse. Non sei andato direttamente al liceo, vero?

Ad esempio, quando si risolvono equazioni esponenziali, molto spesso aiuta a mettere il fattore comune fuori parentesi (ciao al grado 7!). Vediamo un esempio:

3 2x+4 -11 9 x = 210

E ancora, il primo sguardo - sul terreno! Le basi dei gradi sono diverse ... Tre e nove. E vogliamo che siano uguali. Bene, in questo caso, il desiderio è abbastanza fattibile!) Perché:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Secondo le stesse regole per le azioni con gradi:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Ottimo, puoi scrivere:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Abbiamo fatto un esempio per gli stessi motivi. Allora, qual è il prossimo!? I tre non possono essere buttati fuori ... Vicolo cieco?

Affatto. Ricordando la regola decisionale più universale e potente Tutto compiti di matematica:

Se non sai cosa fare, fai quello che puoi!

Guarda, tutto è formato).

Cosa c'è in questa equazione esponenziale Potere Fare? Sì, il lato sinistro richiede direttamente le parentesi! Il fattore comune di 3 2x suggerisce chiaramente questo. Proviamo e poi vedremo:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L'esempio continua a migliorare!

Ricordiamo che per eliminare le basi occorre un grado puro, senza coefficienti. Il numero 70 ci dà fastidio. Quindi dividiamo entrambi i lati dell'equazione per 70, otteniamo:

Op-pa! Tutto è andato bene!

Questa è la risposta finale.

Accade, però, che si ottenga il rullaggio per gli stessi motivi, ma non la loro liquidazione. Questo accade nelle equazioni esponenziali di altro tipo. Prendiamo questo tipo.

Cambio di variabile nella risoluzione di equazioni esponenziali. Esempi.

Risolviamo l'equazione:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primo - come al solito. Passiamo alla base. Al diavolo.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otteniamo l'equazione:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

E qui ci impiccheremo. I trucchi precedenti non funzioneranno, non importa come lo giri. Dovremo ottenere dall'arsenale di un altro modo potente e versatile. È chiamato sostituzione variabile.

L'essenza del metodo è sorprendentemente semplice. Invece di un'icona complessa (nel nostro caso, 2 x), ne scriviamo un'altra più semplice (ad esempio, t). Una sostituzione così apparentemente insignificante porta a risultati sorprendenti!) Tutto diventa chiaro e comprensibile!

Quindi lascia

Quindi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo nella nostra equazione tutte le potenze con x con t:

Bene, sorge?) Non hai ancora dimenticato le equazioni quadratiche? Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:

Qui l'importante è non fermarsi, come succede ... Questa non è ancora la risposta, abbiamo bisogno di x, non di t. Torniamo a Xs, cioè effettuando una sostituzione. Prima per t 1:

Questo è,

È stata trovata una radice. Stiamo cercando il secondo, da t 2:

Ehm... Sinistra 2 x, Destra 1... Un intoppo? Sì, per niente! Basta ricordare (dalle azioni con gradi, sì...) che un'unità è Qualunque numero a zero. Qualunque. Qualunque cosa ti serva, noi la metteremo. Abbiamo bisogno di un due. Significa:

Ora è tutto. Hai 2 radici:

Questa è la risposta.

A risoluzione di equazioni esponenziali alla fine, a volte si ottiene qualche espressione imbarazzante. Tipo:

Dal sette, un due attraverso un grado semplice non funziona. Non sono parenti... Come posso essere qui? Qualcuno potrebbe essere confuso ... Ma la persona che ha letto su questo sito l'argomento "Cos'è un logaritmo?" , sorridi solo con parsimonia e scrivi con mano ferma la risposta assolutamente corretta:

Non può esserci una risposta del genere nelle attività "B" dell'esame. C'è un numero specifico richiesto. Ma nei compiti "C" - facilmente.

Questa lezione fornisce esempi di risoluzione delle equazioni esponenziali più comuni. Evidenziamo quello principale.

Consigli pratici:

1. Prima di tutto, guardiamo motivi gradi. Vediamo se non si possono fare lo stesso. Proviamo a farlo utilizzando attivamente azioni con poteri. Non dimenticare che anche i numeri senza x possono essere trasformati in potenze!

2. Cerchiamo di portare l'equazione esponenziale alla forma quando la sinistra e la destra sono lo stesso numeri a qualsiasi livello. Noi usiamo azioni con poteri E fattorizzazione. Cosa può essere contato in numeri: contiamo.

3. Se il secondo consiglio non ha funzionato, proviamo ad applicare la sostituzione delle variabili. Il risultato può essere un'equazione facilmente risolvibile. Molto spesso - quadrato. O frazionario, che si riduce anche a un quadrato.

4. Per risolvere con successo equazioni esponenziali, è necessario conoscere i gradi di alcuni numeri "a vista".

Come al solito, alla fine della lezione sei invitato a risolvere un po'.) Da solo. Dal semplice al complesso.

Risolvi equazioni esponenziali:

Più difficile:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Trova il prodotto delle radici:

2 3-x + 2 x = 9

Accaduto?

Bene allora l'esempio più difficile(deciso, però, nella mente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Cosa c'è di più interessante? Allora ecco un cattivo esempio per te. Abbastanza tirando su una maggiore difficoltà. Suggerirò che in questo esempio, l'ingegnosità e la regola più universale per risolvere tutti i compiti matematici salvano.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Un esempio è più semplice, per relax):

9 2 x - 4 3 x = 0

E per dessert. Trova la somma delle radici dell'equazione:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Si si! Questa è un'equazione di tipo misto! Che non abbiamo considerato in questa lezione. E cosa considerarli, devono essere risolti!) Questa lezione è abbastanza per risolvere l'equazione. Ebbene, ci vuole ingegno ... E sì, la seconda media ti aiuterà (questo è un suggerimento!).

Risposte (in disordine, separate da punto e virgola):

1; 2; 3; 4; non ci sono soluzioni; 2; -2; -5; 4; 0.

Tutto ha successo? Grande.

C'è un problema? Nessun problema! Nella Parte Speciale 555, tutte queste equazioni esponenziali sono risolte con spiegazioni dettagliate. Cosa, perché e perché. E, naturalmente, ci sono ulteriori preziose informazioni su come lavorare con tutti i tipi di equazioni esponenziali. Non solo con questi.)

Un'ultima domanda divertente da considerare. In questa lezione abbiamo lavorato con le equazioni esponenziali. Perché non ho detto una parola su ODZ qui? Nelle equazioni, questa è una cosa molto importante, tra l'altro ...

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un paio di siti più interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Lezione: "Metodi per la risoluzione di equazioni esponenziali".

1 . equazioni esponenziali.

Le equazioni contenenti incognite nell'esponente sono chiamate equazioni esponenziali. La più semplice di queste è l'equazione ax = b, dove a > 0 e a ≠ 1.

1) Per b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Per b > 0, usando la monotonia della funzione e il teorema della radice, l'equazione ha una sola radice. Per trovarlo, b deve essere rappresentato come b = añ, ax = bñ ó x = c o x = logab.

Le equazioni esponenziali, attraverso trasformazioni algebriche, portano a equazioni standard, che vengono risolte utilizzando i seguenti metodi:

1) metodo di riduzione a una base;

2) metodo di valutazione;

3) metodo grafico;

4) il metodo di introduzione di nuove variabili;

5) metodo di fattorizzazione;

6) esponenziale - equazioni di potenza;

7) esponenziale con un parametro.

2 . Metodo di riduzione a una base.

Il metodo si basa sulla seguente proprietà dei gradi: se due gradi sono uguali e le loro basi sono uguali, allora i loro esponenti sono uguali, cioè l'equazione dovrebbe essere ridotta alla forma

Esempi. Risolvi l'equazione:

1 . 3x=81;

Rappresentiamo il lato destro dell'equazione nella forma 81 = 34 e scriviamo l'equazione equivalente all'originale 3 x = 34; x = 4. Risposta: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> e vai all'equazione per gli esponenti 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Risposta: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Nota che i numeri 0.2, 0.04, √5 e 25 sono potenze di 5. Approfittiamo di questo e trasformiamo l'equazione originale come segue:

, da cui 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, da cui troviamo la soluzione x = -1. Risposta 1.

5. 3x = 5. Per definizione del logaritmo, x = log35. Risposta: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Riscriviamo l'equazione come 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, cioè.png" width="181" height="49 src="> Quindi x - 4 =0, x = 4. Risposta: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Usando le proprietà delle potenze, scriviamo l'equazione nella forma e.x+1 = 2, x =1. Risposta 1.

Banca dei compiti n. 1.

Risolvi l'equazione:

Prova numero 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
LA2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) nessuna radice
	1) 7;1 2) nessuna radice 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Prova #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) nessuna radice 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metodo di valutazione.

Il teorema della radice: se la funzione f (x) aumenta (diminuisce) sull'intervallo I, il numero a è qualsiasi valore preso da f su questo intervallo, allora l'equazione f (x) = a ha una sola radice sull'intervallo I.

Quando si risolvono equazioni con il metodo di stima, vengono utilizzati questo teorema e le proprietà di monotonicità della funzione.

Esempi. Risolvi equazioni: 1. 4x = 5 - x.

Soluzione. Riscriviamo l'equazione come 4x + x = 5.

1. se x \u003d 1, allora 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 è vero, allora 1 è la radice dell'equazione.

La funzione f(x) = 4x è crescente su R e g(x) = x è crescente su R => h(x)= f(x)+g(x) è crescente su R come somma di funzioni crescenti, quindi x = 1 è l'unica radice dell'equazione 4x = 5 – x. Risposta 1.

2.

Soluzione. Riscriviamo l'equazione nella forma .

1. se x = -1, allora , 3 = 3-vero, quindi x = -1 è la radice dell'equazione.

2. dimostrare che è unico.

3. La funzione f(x) = - diminuisce su R, e g(x) = - x - diminuisce su R => h(x) = f(x) + g(x) - diminuisce su R, poiché la somma delle funzioni decrescenti. Quindi, per il teorema della radice, x = -1 è l'unica radice dell'equazione. Risposta 1.

Banca dei compiti n. 2. risolvere l'equazione

a) 4x + 1 = 6 - x;

B)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metodo per l'introduzione di nuove variabili.

Il metodo è descritto nella sezione 2.1. L'introduzione di una nuova variabile (sostituzione) viene solitamente effettuata dopo trasformazioni (semplificazione) dei termini dell'equazione. Considera esempi.

Esempi. R mangiare equazione: 1. .

Riscriviamo l'equazione in modo diverso: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Soluzione. Riscriviamo l'equazione in modo diverso:

Indica https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - non adatto.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> è un'equazione irrazionale. Nota che

La soluzione dell'equazione è x = 2,5 ≤ 4, quindi 2,5 è la radice dell'equazione. Risposta: 2.5.

Soluzione. Riscriviamo l'equazione nella forma e dividiamo entrambi i membri per 56x+6 ≠ 0. Otteniamo l'equazione

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, quindi..png" width="118" height="56">

Radici equazione quadrata– t1 = 1 e t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Soluzione . Riscriviamo l'equazione nella forma

e si noti che è un'equazione omogenea di secondo grado.

Dividi l'equazione per 42x, otteniamo

Sostituisci https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Risposta: 0; 0,5.

Banca delle attività n. 3. risolvere l'equazione

B)

G)

Prova #3 con una scelta di risposte. Livello minimo.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) nessuna radice 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) nessuna radice 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Prova #4 con una scelta di risposte. Livello generale.

A1	1) 2;1 2)½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) senza radici

5. Metodo di fattorizzazione.

1. Risolvi l'equazione: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Soluzione..png" width="169" height="69"> , da dove

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Soluzione. Prendiamo 6x sul lato sinistro dell'equazione e 2x sul lato destro. Otteniamo l'equazione 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Poiché 2x >0 per ogni x, possiamo dividere entrambi i lati di questa equazione per 2x senza temere di perdere soluzioni. Otteniamo 3x = 1ó x = 0.

3.

Soluzione. Risolviamo l'equazione mediante fattorizzazione.

Selezioniamo il quadrato del binomio

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 è la radice dell'equazione.

Equazione x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Prova #6 Livello generale.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Esponenziale - equazioni di potenza.

Le equazioni esponenziali sono affiancate dalle cosiddette equazioni a potenza esponenziale, cioè equazioni della forma (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Se è noto che f(x)>0 e f(x) ≠ 1, allora l'equazione, come quella esponenziale, si risolve eguagliando gli esponenti g(x) = f(x).

Se la condizione non esclude la possibilità di f(x)=0 e f(x)=1, allora dobbiamo considerare questi casi quando risolviamo l'equazione della potenza esponenziale.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Soluzione. x2 +2x-8 - ha senso per qualsiasi x, perché un polinomio, quindi l'equazione è equivalente all'insieme

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

B)

7. Equazioni esponenziali con parametri.

1. Per quali valori del parametro p ha l'equazione 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) unica decisione?

Soluzione. Introduciamo la variazione 2x = t, t > 0, allora l'equazione (1) assumerà la forma t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Il discriminante dell'equazione (2) è D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

L'equazione (1) ha una soluzione unica se l'equazione (2) ha una radice positiva. Questo è possibile nei seguenti casi.

1. Se D = 0, cioè p = 1, allora l'equazione (2) assumerà la forma t2 – 2t + 1 = 0, quindi t = 1, quindi l'equazione (1) ha un'unica soluzione x = 0.

2. Se p1, allora 9(p – 1)2 > 0, allora l'equazione (2) ha due diverse radici t1 = p, t2 = 4p – 3. L'insieme dei sistemi soddisfa la condizione del problema

Sostituendo t1 e t2 nei sistemi, abbiamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Soluzione. Permettere allora l'equazione (3) assumerà la forma t2 – 6t – a = 0. (4)

Troviamo i valori del parametro a per cui almeno una radice dell'equazione (4) soddisfa la condizione t > 0.

Introduciamo la funzione f(t) = t2 – 6t – a. Sono possibili i seguenti casi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Caso 2. L'equazione (4) ha un'unica soluzione positiva se

D = 0, se a = – 9, allora l'equazione (4) assumerà la forma (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Caso 3. L'equazione (4) ha due radici, ma una di esse non soddisfa la disuguaglianza t > 0. Questo è possibile se

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Quindi, a 0 l'equazione (4) ha una sola radice positiva . Allora l'equazione (3) ha una soluzione unica

Per un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

se un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
se a = – 9, allora x = – 1;

se  0, allora

Confrontiamo i metodi per risolvere le equazioni (1) e (3). Si noti che quando si risolve l'equazione (1) è stata ridotta a un'equazione quadratica, il cui discriminante è un quadrato pieno; quindi, le radici dell'equazione (2) sono state immediatamente calcolate dalla formula delle radici dell'equazione quadratica, e quindi sono state tratte conclusioni riguardo a queste radici. L'equazione (3) è stata ridotta all'equazione quadratica (4), il cui discriminante non lo è quadrato pieno, pertanto, quando si risolve l'equazione (3), è consigliabile utilizzare teoremi sulla posizione delle radici di un trinomio quadrato e un modello grafico. Si noti che l'equazione (4) può essere risolta utilizzando il teorema di Vieta.

Risolviamo equazioni più complesse.

Compito 3. Risolvi l'equazione

Soluzione. ODZ: x1, x2.

Introduciamo un sostituto. Sia 2x = t, t > 0, allora per effetto delle trasformazioni l'equazione assumerà la forma t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Troviamo i valori di a per i quali almeno una radice di l'equazione (*) soddisfa la condizione t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

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Risposta: se a > - 13, a  11, a  5, allora se a - 13,

a = 11, a = 5, allora non ci sono radici.

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Innanzitutto, ricordiamo le formule di base dei gradi e le loro proprietà.

Prodotto di un numero UN accade su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Equazioni di potenza o esponenziali- si tratta di equazioni in cui le variabili sono in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi di equazioni esponenziali:

IN questo esempio il numero 6 è la base, è sempre in fondo, e la variabile X grado o misura.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2x*5=10
16x-4x-6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2 x = 2 3

Un tale esempio può essere risolto anche nella mente. Si può vedere che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Ora vediamo come dovrebbe essere presa questa decisione:

2 x = 2 3
x = 3

Per risolvere questa equazione, abbiamo rimosso stessi motivi(cioè due) e annota ciò che resta, questi sono gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che stavamo cercando.

Ora riassumiamo la nostra soluzione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. È necessario controllare lo stesso se le basi dell'equazione a destra ea sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi sono le stesse, equiparare grado e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora risolviamo alcuni esempi:

Iniziamo in modo semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base ed equiparare i loro gradi.

x+2=4 L'equazione più semplice è risultata.
x=4 - 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente, puoi vedere che le basi sono diverse, queste sono 3 e 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Per cominciare, trasferiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi creare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2 . Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otteniamo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ora è chiaro che le basi sui lati sinistro e destro sono uguali e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle ed equiparare i gradi.

3x=2x+16 ha ottenuto l'equazione più semplice
3x-2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Prima di tutto, guardiamo alle basi, le basi sono diverse due e quattro. E dobbiamo essere gli stessi. Trasformiamo il quadruplo secondo la formula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio per gli stessi motivi. Ma altri numeri 10 e 24 interferiscono con noi: cosa farne? Se guardi da vicino, puoi vedere che sul lato sinistro ripetiamo 2 2x, ecco la risposta - possiamo mettere 2 2x fuori dalle parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immagina 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 basi sono uguali, scartale ed equipara i gradi.
2x \u003d 2 si è rivelata l'equazione più semplice. Lo dividiamo per 2, otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x - 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Le nostre basi sono le stesse, pari a 3. In questo esempio, è chiaro che la prima tripla ha un grado doppio (2x) della seconda (solo x). In questo caso, puoi decidere metodo di sostituzione. Il numero con il grado più piccolo è sostituito da:

Quindi 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo tutti i gradi con x nell'equazione con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Otteniamo un'equazione quadratica. Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Torniamo a Variabile X.

Prendiamo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Questo è,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

È stata trovata una radice. Stiamo cercando il secondo, da t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Risposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sul sito puoi nella sezione AIUTA A DECIDERE di porre domande di interesse, ti risponderemo sicuramente.

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La soluzione della maggior parte dei problemi matematici è in qualche modo connessa con la trasformazione di espressioni numeriche, algebriche o funzionali. Questo vale soprattutto per la soluzione. Nelle varianti USE in matematica, questo tipo di compito include, in particolare, il compito C3. Imparare a risolvere i compiti C3 è importante non solo per lo scopo consegna andata a buon fine Unified State Examination, ma anche perché questa abilità è utile quando si studia un corso di matematica nell'istruzione superiore.

Eseguendo le attività C3, devi decidere diversi tipi equazioni e disuguaglianze. Tra questi ci sono moduli razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmici, trigonometrici, contenenti (valori assoluti) e combinati. Questo articolo discute i principali tipi di equazioni e disuguaglianze esponenziali, nonché vari metodi per risolverli. Leggi sulla risoluzione di altri tipi di equazioni e disuguaglianze sotto il titolo "" negli articoli dedicati ai metodi per risolvere i problemi C3 da USA le opzioni matematica.

Prima di procedere all'analisi di specifiche equazioni e disequazioni esponenziali, come insegnante di matematica, ti suggerisco di rispolverarne qualcuna materiale teorico di cui avremo bisogno.

Funzione esponenziale

Cos'è una funzione esponenziale?

Visualizza la funzione si = ascia, Dove UN> 0 e UN≠ 1, chiamato funzione esponenziale.

Principale proprietà della funzione esponenziale si = ascia:

Grafico di una funzione esponenziale

Il grafico della funzione esponenziale è espositore:

Grafici di funzioni esponenziali (esponenti)

Soluzione di equazioni esponenziali

indicativo chiamate equazioni in cui l'incognita si trova solo negli esponenti di qualsiasi potenza.

Per le soluzioni equazioni esponenzialiè necessario conoscere ed essere in grado di utilizzare il seguente semplice teorema:

Teorema 1. equazione esponenziale UN F(X) = UN G(X) (Dove UN > 0, UN≠ 1) è equivalente all'equazione F(X) = G(X).

Inoltre, è utile ricordare le formule e le azioni di base con gradi:

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Esempio 1 Risolvi l'equazione:

Soluzione: utilizzare le formule precedenti e la sostituzione:

L'equazione diventa quindi:

Il discriminante dell'equazione quadratica ottenuta è positivo:

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Ciò significa che questa equazione ha due radici. Li troviamo:

Tornando alla sostituzione, otteniamo:

La seconda equazione non ha radici, poiché la funzione esponenziale è strettamente positiva sull'intero dominio di definizione. Risolviamo la seconda:

Tenendo conto di quanto detto nel Teorema 1, si passa all'equazione equivalente: X= 3. Questa sarà la risposta al compito.

Risposta: X = 3.

Esempio 2 Risolvi l'equazione:

Soluzione: l'equazione non ha restrizioni sull'area dei valori ammissibili, poiché l'espressione radicale ha senso per qualsiasi valore X(funzione esponenziale si = 9 4 -X positivo e diverso da zero).

Risolviamo l'equazione mediante trasformazioni equivalenti usando le regole di moltiplicazione e divisione dei poteri:

L'ultima transizione è stata effettuata secondo il Teorema 1.

Risposta:X= 6.

Esempio 3 Risolvi l'equazione:

Soluzione: entrambi i lati dell'equazione originale possono essere divisi per 0,2 X. Questa transizione sarà equivalente, poiché questa espressione è maggiore di zero per qualsiasi valore X(la funzione esponenziale è strettamente positiva sul suo dominio). Allora l'equazione assume la forma:

Risposta: X = 0.

Esempio 4 Risolvi l'equazione:

Soluzione: semplifichiamo l'equazione a una elementare mediante trasformazioni equivalenti utilizzando le regole di divisione e moltiplicazione dei poteri fornite all'inizio dell'articolo:

Dividendo entrambi i lati dell'equazione per 4 X, come nell'esempio precedente, è una trasformazione equivalente, poiché questa espressione non è uguale a zero per nessun valore X.

Risposta: X = 0.

Esempio 5 Risolvi l'equazione:

Soluzione: funzione si = 3X, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, è crescente. Funzione si = —X-2/3, in piedi sul lato destro dell'equazione, sta diminuendo. Ciò significa che se i grafici di queste funzioni si intersecano, al massimo in un punto. IN questo casoè facile indovinare che i grafici si intersecano in un punto X= -1. Non ci saranno altre radici.

Risposta: X = -1.

Esempio 6 Risolvi l'equazione:

Soluzione: semplifichiamo l'equazione mediante trasformazioni equivalenti, tenendo sempre presente che la funzione esponenziale è strettamente maggiore di zero per qualsiasi valore X e utilizzando le regole per il calcolo del prodotto e delle potenze parziali date all'inizio dell'articolo:

Risposta: X = 2.

Risoluzione di disuguaglianze esponenziali

indicativo dette disuguaglianze in cui la variabile incognita è contenuta solo negli esponenti di alcune potenze.

Per le soluzioni disuguaglianze esponenzialiè richiesta la conoscenza del seguente teorema:

Teorema 2. Se UN> 1, quindi la disuguaglianza UN F(X) > UN G(X) è equivalente a una disuguaglianza dello stesso significato: F(X) > G(X). Se 0< UN < 1, то показательное неравенство UN F(X) > UN G(X) è equivalente a una disuguaglianza di significato opposto: F(X) < G(X).

Esempio 7 Risolvi la disuguaglianza:

Soluzione: rappresentare la disuguaglianza originaria nella forma:

Dividi entrambi i lati di questa disuguaglianza per 3 2 X, e (a causa della positività della funzione si= 3 2X) il segno di disuguaglianza non cambierà:

Usiamo una sostituzione:

Allora la disuguaglianza assume la forma:

Quindi, la soluzione alla disuguaglianza è l'intervallo:

passando alla sostituzione inversa, otteniamo:

La disuguaglianza di sinistra, dovuta alla positività della funzione esponenziale, è soddisfatta automaticamente. Utilizzando la ben nota proprietà del logaritmo, passiamo alla disuguaglianza equivalente:

Poiché la base del grado è un numero maggiore di uno, equivalente (per il Teorema 2) sarà il passaggio alla seguente disuguaglianza:

Quindi finalmente otteniamo risposta:

Esempio 8 Risolvi la disuguaglianza:

Soluzione: utilizzando le proprietà di moltiplicazione e divisione delle potenze, riscriviamo la disuguaglianza nella forma:

Introduciamo una nuova variabile:

Con questa sostituzione, la disuguaglianza assume la forma:

Moltiplicando il numeratore e il denominatore della frazione per 7, otteniamo la seguente disuguaglianza equivalente:

Quindi, la disuguaglianza è soddisfatta dai seguenti valori della variabile T:

Quindi, tornando alla sostituzione, otteniamo:

Poiché la base del grado qui è maggiore di uno, è equivalente (per il Teorema 2) passare alla disuguaglianza:

Finalmente otteniamo risposta:

Esempio 9 Risolvi la disuguaglianza:

Soluzione:

Dividiamo entrambi i lati della disuguaglianza per l'espressione:

È sempre maggiore di zero (poiché la funzione esponenziale è positiva), quindi non è necessario modificare il segno di disuguaglianza. Noi abbiamo:

t , che sono nell'intervallo:

Passando alla sostituzione inversa, troviamo che la disuguaglianza originaria si divide in due casi:

La prima disuguaglianza non ha soluzioni a causa della positività della funzione esponenziale. Risolviamo la seconda:

Esempio 10 Risolvi la disuguaglianza:

Soluzione:

Rami di parabola si = 2X+2-X 2 sono rivolte verso il basso, quindi è delimitata dall'alto dal valore che raggiunge al suo apice:

Rami di parabola si = X 2 -2X+2, che è nell'indicatore, sono diretti verso l'alto, il che significa che è limitato dal basso dal valore che raggiunge in alto:

Allo stesso tempo, la funzione risulta essere limitata dal basso si = 3 X 2 -2X+2 sul lato destro dell'equazione. La raggiunge il valore più piccolo nello stesso punto della parabola nell'esponente, e questo valore è 3 1 = 3. Quindi, la disuguaglianza originale può essere vera solo se la funzione a sinistra e la funzione a destra assumono il valore 3 in un punto (di attraversando gli intervalli di queste funzioni c'è solo questo numero). Questa condizione è soddisfatta in un solo punto X = 1.

Risposta: X= 1.

Per imparare a risolvere equazioni e disuguaglianze esponenziali, devi allenarti costantemente nella loro soluzione. In questa difficile questione, vari aiuti per l'insegnamento, libri di problemi di matematica elementare, raccolte di problemi competitivi, lezioni di matematica a scuola, nonché sessioni individuali con un tutor professionista. Ti auguro sinceramente successo nella tua preparazione e risultati brillanti nell'esame.

Sergei Valerievich

P.S. Cari ospiti! Per favore non scrivere richieste per risolvere le tue equazioni nei commenti. Sfortunatamente, non ho proprio tempo per questo. Tali messaggi verranno eliminati. Si prega di leggere l'articolo. Forse in esso troverai risposte a domande che non ti hanno permesso di risolvere il tuo compito da solo.