Rappresentazione logaritmica di un numero. Logaritmo

Logaritmo di b (b > 0) in base a (a > 0, a ≠ 1)è l'esponente a cui devi elevare il numero a per ottenere b.

Il logaritmo in base 10 di b può essere scritto come ceppo(b), e il logaritmo in base e (logaritmo naturale) - ln(b).

Spesso usato per risolvere problemi con i logaritmi:

Proprietà dei logaritmi

Ci sono quattro principali proprietà dei logaritmi.

Siano a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0.

Proprietà 1. Logaritmo del prodotto

Logaritmo del prodottoè uguale alla somma dei logaritmi:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Proprietà 2. Logaritmo del quoziente

Logaritmo del quozienteè uguale alla differenza dei logaritmi:

log a (x / y) = log a x – log a y

Proprietà 3. Logaritmo del grado

Logaritmo dei gradiè uguale al prodotto del grado e del logaritmo:

Se la base del logaritmo è nell'esponente, si applica un'altra formula:

Proprietà 4. Logaritmo della radice

Questa proprietà può essere ricavata dalla proprietà del logaritmo del grado, poiché la radice dell'ennesimo grado è uguale alla potenza di 1/n:

La formula per passare da un logaritmo in una base a un logaritmo in un'altra base

Questa formula viene spesso utilizzata anche quando si risolvono vari compiti per i logaritmi:

Caso speciale:

Confronto di logaritmi (disuguaglianze)

Supponiamo di avere 2 funzioni f(x) e g(x) sotto logaritmi con le stesse basi e che vi sia un segno di disuguaglianza tra di esse:

Per confrontarli, devi prima guardare la base dei logaritmi a:

• Se a > 0, allora f(x) > g(x) > 0
• Se 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Come risolvere problemi con i logaritmi: esempi

Compiti con i logaritmi incluso nell'USO in matematica per il grado 11 nell'attività 5 e nell'attività 7, puoi trovare attività con soluzioni sul nostro sito Web nelle sezioni pertinenti. Inoltre, i compiti con i logaritmi si trovano nella banca dei compiti in matematica. Puoi trovare tutti gli esempi cercando nel sito.

Che cos'è un logaritmo

I logaritmi sono sempre stati considerati argomento difficile nella matematica scolastica. Esistono molte definizioni diverse del logaritmo, ma per qualche motivo la maggior parte dei libri di testo usa la più complessa e sfortunata di esse.

Definiremo il logaritmo in modo semplice e chiaro. Creiamo una tabella per questo:

Quindi, abbiamo le potenze di due.

Logaritmi: proprietà, formule, come risolvere

Se prendi il numero dall'ultima riga, puoi facilmente trovare la potenza a cui devi alzare un due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.

E ora - infatti, la definizione del logaritmo:

la base a dell'argomento x è la potenza alla quale il numero a deve essere elevato per ottenere il numero x.

Notazione: log a x \u003d b, dove a è la base, x è l'argomento, b è effettivamente ciò a cui è uguale il logaritmo.

Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Potrebbe anche registrare 2 64 = 6, perché 2 6 = 64.

Viene chiamata l'operazione per trovare il logaritmo di un numero in una data base. Quindi aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
logaritmo 2 2 = 1	logaritmo 2 4 = 2	logaritmo 2 8 = 3	logaritmo 2 16 = 4	logaritmo 2 32 = 5	logaritmo 2 64 = 6

Sfortunatamente, non tutti i logaritmi sono considerati così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5. Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica impone che il logaritmo si trovi da qualche parte sul segmento. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tali numeri sono chiamati irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti indefinitamente e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

È importante capire che il logaritmo è un'espressione con due variabili (base e argomento). All'inizio, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l'argomento. Per evitare fastidiosi fraintendimenti, basta dare un'occhiata alla foto:

Davanti a noi non c'è altro che la definizione del logaritmo. Ricordare: il logaritmo è la potenza, a cui è necessario elevare la base per ottenere l'argomento. È la base che viene elevata a potenza - nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in fondo! Dico questa meravigliosa regola ai miei studenti alla primissima lezione - e non c'è confusione.

Come contare i logaritmi

Abbiamo capito la definizione: resta da imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, notiamo che due fatti importanti seguono dalla definizione:

1. L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione del grado mediante un esponente razionale, a cui si riduce la definizione del logaritmo.
2. La base deve essere diversa dall'unità, poiché un'unità per qualsiasi potenza è ancora un'unità. Per questo motivo, la domanda "a quale potenza deve essere elevato uno per ottenere due" è priva di significato. Non esiste un tale grado!

Tali restrizioni sono chiamate intervallo valido(ODZ). Si scopre che l'ODZ del logaritmo è così: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Si noti che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo) non è imposto. Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0.5 = −1, perché 0.5 = 2−1 .

Tuttavia, ora stiamo considerando solo espressioni numeriche, dove non è necessario conoscere l'ODZ del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dai compilatori dei problemi. Ma quando entrano in gioco equazioni e disuguaglianze logaritmiche, i requisiti del DHS diventeranno obbligatori. In effetti, nella base e nell'argomentazione possono esserci costruzioni molto forti, che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.

Ora considera schema generale calcoli logaritmici. Si compone di tre passaggi:

1. Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base più piccola possibile maggiore di uno. Lungo la strada, è meglio sbarazzarsi delle frazioni decimali;
2. Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
3. Il numero risultante b sarà la risposta.

È tutto! Se il logaritmo risulta essere irrazionale, questo si vedrà già al primo passaggio. Il requisito che la base sia maggiore di uno è molto rilevante: questo riduce la probabilità di errore e semplifica notevolmente i calcoli. Allo stesso modo con le frazioni decimali: se le converti immediatamente in quelle ordinarie, ci saranno molte volte meno errori.

Vediamo come funziona questo schema con esempi specifici:

Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25

1. Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Facciamo e risolviamo l'equazione:
logaritmo 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Risposta ricevuta: 2.

Compito. Calcola il logaritmo:

Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64

1. Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Facciamo e risolviamo l'equazione:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Ricevuta una risposta: 3.

Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1

1. Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Facciamo e risolviamo l'equazione:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Ha ricevuto una risposta: 0.

Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14

1. Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non è rappresentato come una potenza di sette, perché 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Dal paragrafo precedente risulta che il logaritmo non viene considerato;
3. La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.

Una piccola nota a ultimo esempio. Come assicurarsi che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? Molto semplice: basta scomporlo in fattori primi. Se ci sono almeno due fattori distinti nell'espansione, il numero non è una potenza esatta.

Compito. Scopri se le esatte potenze del numero sono: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - il grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 non è una potenza esatta perché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grado esatto;
35 = 7 5 - ancora una volta non un grado esatto;
14 \u003d 7 2 - ancora una volta non un grado esatto;

Si noti inoltre che gli stessi numeri primi sono sempre esatte potenze di se stessi.

Logaritmo decimale

Alcuni logaritmi sono così comuni da avere un nome e una designazione speciali.

dell'argomento x è il logaritmo in base 10, cioè la potenza alla quale si deve elevare 10 per ottenere x. Designazione: lgx.

Ad esempio, log 10 = 1; logaritmo 100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.

D'ora in poi, quando nel libro di testo appare una frase come "Find lg 0.01", sappi che non si tratta di un errore di battitura. Questo è il logaritmo decimale. Tuttavia, se non sei abituato a tale designazione, puoi sempre riscriverla:
logaritmo x = logaritmo 10 x

Tutto ciò che è vero per i logaritmi ordinari è vero anche per i decimali.

logaritmo naturale

C'è un altro logaritmo che ha la sua notazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Riguarda sul logaritmo naturale.

dell'argomento x è il logaritmo in base e, cioè la potenza alla quale il numero e deve essere elevato per ottenere il numero x. Designazione: lnx.

Molti chiederanno: qual è il numero e? Questo è un numero irrazionale valore esatto impossibile da trovare e registrare. Ecco solo i primi numeri:
e = 2,718281828459…

Non approfondiremo cos'è questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base logaritmo naturale:
ln x = log e x

Quindi ln e = 1; ceppo e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di qualsiasi numero razionale è irrazionale. Tranne, ovviamente, l'unità: ln 1 = 0.

Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.

Guarda anche:

Logaritmo. Proprietà del logaritmo (potenza del logaritmo).

Come rappresentare un numero come logaritmo?

Usiamo la definizione di logaritmo.

Il logaritmo è un indicatore della potenza a cui deve essere elevata la base per ottenere il numero sotto il segno del logaritmo.

Quindi, per rappresentare un certo numero c come logaritmo in base a, bisogna mettere sotto il segno del logaritmo un grado con la stessa base della base del logaritmo, e scrivere questo numero c nell'esponente:

Sotto forma di logaritmo, puoi rappresentare assolutamente qualsiasi numero: positivo, negativo, intero, frazionario, razionale, irrazionale:

Per non confondere a e c in condizioni stressanti di un test o di un esame, puoi utilizzare la seguente regola da ricordare:

ciò che è in basso scende, ciò che è in alto sale.

Ad esempio, vuoi rappresentare il numero 2 come un logaritmo in base 3.

Abbiamo due numeri: 2 e 3. Questi numeri sono la base e l'esponente, che scriveremo sotto il segno del logaritmo. Resta da determinare quale di questi numeri dovrebbe essere scritto, nella base del grado, e quale - nell'esponente.

La base 3 nel record del logaritmo è in basso, il che significa che quando rappresentiamo il due come un logaritmo in base di 3, scriveremo anche 3 in base.

2 è maggiore di 3. E nella notazione del grado scriviamo il due sopra il tre, cioè nell'esponente:

Logaritmi. Primo livello.

Logaritmi

logaritmo numero positivo B per ragione UN, Dove a > 0, a ≠ 1, è l'esponente al quale deve essere elevato il numero. UN, Ottenere B.

Definizione di logaritmo può essere brevemente scritto così:

Questa uguaglianza vale per b > 0, a > 0, a ≠ 1. Di solito viene chiamato identità logaritmica.
Viene chiamata l'azione di trovare il logaritmo di un numero logaritmo.

Proprietà dei logaritmi:

Il logaritmo del prodotto:

Logaritmo del quoziente dalla divisione:

Sostituendo la base del logaritmo:

Logaritmo dei gradi:

logaritmo della radice:

Logaritmo con base di potenza:

Logaritmi decimali e naturali.

Logaritmo decimale i numeri chiamano il logaritmo in base 10 di quel numero e scrivono   lg B
logaritmo naturale i numeri chiamano il logaritmo di questo numero in base e, Dove eè un numero irrazionale, approssimativamente uguale a 2,7. Allo stesso tempo, scrivono ln B.

Altre note di algebra e geometria

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Proprietà fondamentali dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere sommati, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri del tutto ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà fondamentali.

Queste regole devono essere conosciute: nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizione e sottrazione di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: log a x e log a y. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Si prega di notare: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

logaritmo 6 4 + logaritmo 6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

Ancora una volta, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Sulla base di questo fatto, molti carte di prova. Sì, controllo: durante l'esame vengono offerte espressioni simili in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche).

Rimozione dell'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po 'il compito. Cosa succede se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere tolto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vederlo ultima regola segue i primi due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, ad es. puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio necessiti di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno tolto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarrà nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, i quattro possono essere trasferiti al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per l'addizione e la sottrazione dei logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Li formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo log a x. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "capovolta", cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Prendiamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Ora invertiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro per due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e liberiamoci degli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base.

In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

In effetti, cosa accadrà se il numero b viene elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si bloccano" su di esso.

Come le formule per trasferirsi in una nuova base, la principale identità logaritmica a volte è l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Nota che log 25 64 = log 5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo era un vero compito dell'Esame di Stato Unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità difficili da chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze della definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

1. log a a = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
2. log a 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Espressioni logaritmiche, soluzione di esempi. In questo articolo considereremo i problemi relativi alla risoluzione dei logaritmi. I compiti sollevano la questione di trovare il valore dell'espressione. Va notato che il concetto di logaritmo viene utilizzato in molti compiti ed è estremamente importante comprenderne il significato. Come per l'USE, il logaritmo viene utilizzato nella risoluzione di equazioni, nei problemi applicati e anche nei compiti relativi allo studio delle funzioni.

Ecco alcuni esempi per comprendere il significato stesso del logaritmo:

Identità logaritmica di base:

Proprietà dei logaritmi che devi sempre ricordare:

*Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

* * *

* Il logaritmo del quoziente (frazione) è uguale alla differenza dei logaritmi dei fattori.

* * *

* Il logaritmo del grado è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della sua base.

* * *

*Transizione alla nuova base

* * *

Altre proprietà:

* * *

Il calcolo dei logaritmi è strettamente correlato all'utilizzo delle proprietà degli esponenti.

Ne elenchiamo alcuni:

L'essenza di questa proprietà è che quando si trasferisce il numeratore al denominatore e viceversa, il segno dell'esponente cambia al contrario. Per esempio:

Conseguenza di questa proprietà:

* * *

Quando si eleva una potenza a potenza, la base rimane la stessa, ma gli esponenti si moltiplicano.

* * *

Come puoi vedere, il concetto stesso di logaritmo è semplice. La cosa principale è che è necessaria una buona pratica, che conferisce una certa abilità. Certamente la conoscenza delle formule è obbligatoria. Se non si forma l'abilità nel convertire i logaritmi elementari, quando si risolvono compiti semplici si può facilmente commettere un errore.

Esercitati, risolvi prima gli esempi più semplici del corso di matematica, poi passa a quelli più complessi. In futuro mostrerò sicuramente come si risolvono i "brutti" logaritmi, non ce ne saranno all'esame, ma sono interessanti, da non perdere!

È tutto! Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh

PS: ti sarei grato se parlassi del sito nei social network.

Continuiamo a studiare i logaritmi. In questo articolo parleremo di calcolo dei logaritmi, questo processo è chiamato logaritmo. In primo luogo, ci occuperemo del calcolo dei logaritmi per definizione. Successivamente, considera come vengono trovati i valori dei logaritmi usando le loro proprietà. Successivamente, ci soffermeremo sul calcolo dei logaritmi attraverso i valori inizialmente dati di altri logaritmi. Infine, impariamo come utilizzare le tabelle dei logaritmi. L'intera teoria è fornita di esempi con soluzioni dettagliate.

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Calcolo dei logaritmi per definizione

Nei casi più semplici, è possibile eseguire rapidamente e facilmente trovare il logaritmo per definizione. Diamo un'occhiata più da vicino a come avviene questo processo.

La sua essenza è rappresentare il numero b nella forma a c , da cui, per definizione del logaritmo, il numero c è il valore del logaritmo. Cioè, per definizione, trovare il logaritmo corrisponde alla seguente catena di uguaglianze: log a b=log a a c =c .

Quindi, il calcolo del logaritmo, per definizione, si riduce a trovare un numero c tale che a c \u003d b, e il numero c stesso è il valore desiderato del logaritmo.

Date le informazioni dei paragrafi precedenti, quando il numero sotto il segno del logaritmo è dato da un certo grado della base del logaritmo, allora puoi immediatamente indicare a cosa è uguale il logaritmo - è uguale all'esponente. Mostriamo esempi.

Esempio.

Trova log 2 2 −3 , e calcola anche il logaritmo naturale di e 5.3 .

Soluzione.

La definizione del logaritmo ci permette di dire subito che log 2 2 −3 = −3 . Infatti, il numero sotto il segno del logaritmo è uguale alla base 2 alla potenza di −3.

Allo stesso modo, troviamo il secondo logaritmo: lne 5.3 =5.3.

Risposta:

log 2 2 −3 = −3 e lne 5.3 =5.3 .

Se il numero b sotto il segno del logaritmo non è dato come potenza della base del logaritmo, è necessario considerare attentamente se è possibile trovare una rappresentazione del numero b nella forma a c . Spesso questa rappresentazione è abbastanza ovvia, soprattutto quando il numero sotto il segno del logaritmo è uguale alla base alla potenza di 1, o 2, o 3,...

Esempio.

Calcola i logaritmi log 5 25 , e .

Soluzione.

È facile vedere che 25=5 2 , questo permette di calcolare il primo logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Procediamo al calcolo del secondo logaritmo. Un numero può essere rappresentato come una potenza di 7: (vedi se necessario). Quindi, .

Riscriviamo il terzo logaritmo nella forma seguente. Ora puoi vederlo , da cui lo concludiamo . Pertanto, per definizione del logaritmo .

In breve, la soluzione potrebbe essere scritta come segue:

Risposta:

ceppo 5 25=2 , E .

Quando un numero naturale sufficientemente grande è sotto il segno del logaritmo, non fa male scomporlo in fattori primi. Spesso aiuta a rappresentare un numero come una potenza della base del logaritmo e, quindi, a calcolare questo logaritmo per definizione.

Esempio.

Trova il valore del logaritmo.

Soluzione.

Alcune proprietà dei logaritmi consentono di specificare immediatamente il valore dei logaritmi. Queste proprietà includono la proprietà del logaritmo di uno e la proprietà del logaritmo di un numero uguale alla base: log 1 1=log a a 0 =0 e log a a=log a a 1 =1 . Cioè, quando il numero 1 o il numero a è sotto il segno del logaritmo, uguale alla base del logaritmo, allora in questi casi i logaritmi sono rispettivamente 0 e 1.

Esempio.

Cosa sono i logaritmi e lg10?

Soluzione.

Poiché , segue dalla definizione del logaritmo .

Nel secondo esempio, il numero 10 sotto il segno del logaritmo coincide con la sua base, quindi il logaritmo decimale di dieci è uguale a uno, cioè lg10=lg10 1 =1 .

Risposta:

E lg10=1 .

Si noti che il calcolo dei logaritmi per definizione (di cui abbiamo discusso nel paragrafo precedente) implica l'uso dell'uguaglianza log a a p =p , che è una delle proprietà dei logaritmi.

In pratica, quando il numero sotto il segno del logaritmo e la base del logaritmo sono facilmente rappresentabili come potenza di un certo numero, è molto conveniente utilizzare la formula , che corrisponde a una delle proprietà dei logaritmi. Considera un esempio di ricerca del logaritmo, che illustra l'uso di questa formula.

Esempio.

Calcola il logaritmo di .

Soluzione.

Risposta:

.

Nel calcolo vengono utilizzate anche le proprietà dei logaritmi non menzionate sopra, ma di questo parleremo nei paragrafi seguenti.

Trovare logaritmi in termini di altri logaritmi noti

Le informazioni in questo paragrafo continuano l'argomento dell'utilizzo delle proprietà dei logaritmi nel loro calcolo. Ma qui la differenza principale è che le proprietà dei logaritmi sono usate per esprimere il logaritmo originale in termini di un altro logaritmo, il cui valore è noto. Facciamo un esempio per chiarire. Diciamo che sappiamo che log 2 3≈1.584963 , allora possiamo trovare, per esempio, log 2 6 facendo una piccola trasformazione usando le proprietà del logaritmo: logaritmo 2 6=logaritmo 2 (2 3)=logaritmo 2 2+logaritmo 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Nell'esempio sopra, ci è bastato usare la proprietà del logaritmo del prodotto. Tuttavia, molto più spesso devi utilizzare un arsenale più ampio di proprietà dei logaritmi per calcolare il logaritmo originale in termini di quelli dati.

Esempio.

Calcola il logaritmo di 27 in base 60 se è noto che log 60 2=a e log 60 5=b .

Soluzione.

Quindi dobbiamo trovare il log 60 27 . È facile vedere che 27=3 3 , e il logaritmo originario, per la proprietà del logaritmo del grado, può essere riscritto come 3·log 60 3 .

Vediamo ora come si può esprimere log 60 3 in termini di logaritmi noti. La proprietà del logaritmo di un numero uguale alla base permette di scrivere l'uguaglianza log 60 60=1 . D'altra parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Così, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Quindi, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Infine calcoliamo il logaritmo originale: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Risposta:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Separatamente, vale la pena menzionare il significato della formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo della forma . Permette di passare da logaritmi con qualsiasi base a logaritmi con una base specifica, i cui valori sono noti o è possibile trovarli. Di solito, dal logaritmo originale, secondo la formula di transizione, si passa ai logaritmi in una delle basi 2, e o 10, poiché per queste basi esistono tabelle di logaritmi che ne consentono il calcolo con un certo grado di precisione. Nella prossima sezione, mostreremo come questo è fatto.

Tabelle dei logaritmi, loro uso

Per un calcolo approssimativo dei valori dei logaritmi, si può usare tavole logaritmiche. Le più comunemente utilizzate sono la tabella dei logaritmi in base 2, la tabella dei logaritmi naturali e la tabella dei logaritmi decimali. Quando si lavora nel sistema numerico decimale, è conveniente utilizzare una tabella di logaritmi in base dieci. Con il suo aiuto impareremo a trovare i valori dei logaritmi.

La tabella presentata consente, con una precisione di un decimillesimo, di trovare i valori dei logaritmi decimali dei numeri da 1.000 a 9.999 (con tre cifre decimali). Verrà analizzato il principio di trovare il valore del logaritmo utilizzando la tabella dei logaritmi decimali esempio specifico- molto più chiaro. Troviamo lg1,256 .

Nella colonna di sinistra della tabella dei logaritmi decimali troviamo le prime due cifre del numero 1.256, cioè troviamo 1.2 (questo numero è cerchiato in blu per chiarezza). La terza cifra del numero 1.256 (numero 5) si trova nella prima o nell'ultima riga a sinistra della doppia riga (questo numero è cerchiato in rosso). La quarta cifra del numero originale 1.256 (numero 6) si trova nella prima o nell'ultima riga a destra della doppia riga (questo numero è cerchiato in verde). Ora troviamo i numeri nelle celle della tabella dei logaritmi all'intersezione della riga contrassegnata e delle colonne contrassegnate (questi numeri sono evidenziati arancia). La somma dei numeri contrassegnati fornisce il valore desiderato del logaritmo decimale fino alla quarta cifra decimale, ovvero log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

È possibile, utilizzando la tabella sopra, trovare i valori dei logaritmi decimali di numeri che hanno più di tre cifre dopo la virgola, e andare anche oltre i limiti da 1 a 9,999? Si, puoi. Mostriamo come questo è fatto con un esempio.

Calcoliamo lg102.76332 . Per prima cosa devi scrivere numero dentro modulo standard : 102.76332=1.0276332 10 2 . Dopodiché, la mantissa dovrebbe essere arrotondata alla terza cifra decimale, abbiamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mentre il logaritmo decimale originale è approssimativamente uguale al logaritmo del numero risultante, cioè prendiamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Ora applichiamo le proprietà del logaritmo: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Infine troviamo il valore del logaritmo lg1.028 secondo la tabella dei logaritmi decimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Di conseguenza, l'intero processo di calcolo del logaritmo si presenta così: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

In conclusione, vale la pena notare che utilizzando la tabella dei logaritmi decimali è possibile calcolare il valore approssimativo di qualsiasi logaritmo. Per fare ciò, è sufficiente utilizzare la formula di transizione per andare ai logaritmi decimali, trovare i loro valori nella tabella ed eseguire i restanti calcoli.

Ad esempio, calcoliamo log 2 3 . Secondo la formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo, abbiamo . Dalla tabella dei logaritmi decimali troviamo lg3≈0.4771 e lg2≈0.3010. Così, .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per i gradi 10-11 delle istituzioni educative generali.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche).

Oggi parleremo di formule logaritmiche e dare dimostrazione esempi di soluzioni.

Di per sé, implicano modelli di soluzione secondo le proprietà di base dei logaritmi. Prima di applicare le formule logaritmiche alla soluzione, ricordiamo per te, prima tutte le proprietà:

Ora, sulla base di queste formule (proprietà), mostriamo esempi di risoluzione di logaritmi.

Esempi di risoluzione di logaritmi basati su formule.

Logaritmo un numero positivo b in base a (denotato log a b) è l'esponente a cui deve essere elevato a per ottenere b, con b > 0, a > 0 e 1.

Secondo la definizione log a b = x, che equivale a a x = b, quindi log a a x = x.

Logaritmi, esempi:

log 2 8 = 3, perché 2 3 = 8

log 7 49 = 2 perché 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, perché 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimaleè un logaritmo ordinario, la cui base è 10. Indicato come lg.

log 10 100 = 2 perché 10 2 = 100

logaritmo naturale- anche il solito logaritmo logaritmo, ma con la base e (e \u003d 2,71828 ... - un numero irrazionale). Indicato come ln.

È desiderabile ricordare le formule o le proprietà dei logaritmi, poiché ne avremo bisogno in seguito per risolvere logaritmi, equazioni logaritmiche e disuguaglianze. Esaminiamo di nuovo ogni formula con esempi.

• Identità logaritmica di base
  un ceppo a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi
  log a (bc) = log a b + log a c

  logaritmo 3 8.1 + logaritmo 3 10 = logaritmo 3 (8.1*10) = logaritmo 3 81 = 4

• Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietà del grado di un numero logaritmo e base del logaritmo

  L'esponente di un numero logaritmo log a b m = mlog a b

  Esponente di base logaritmo logaritmico a n b =1/n*log a b

  logaritmo a n b m = m/n*logaritmo a b,

  se m = n, otteniamo log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Passaggio a una nuova fondazione
  log a b = log c b / log c a,

  se c = b, otteniamo log b b = 1

  quindi log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Come puoi vedere, le formule logaritmiche non sono così complicate come sembrano. Ora, dopo aver considerato esempi di risoluzione dei logaritmi, possiamo passare alle equazioni logaritmiche. Considereremo esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche in modo più dettagliato nell'articolo: "". Non perdere!

Se hai ancora domande sulla soluzione, scrivile nei commenti all'articolo.

Nota: ho deciso di ottenere un'istruzione di un'altra classe di studio all'estero come opzione.

Il focus di questo articolo è logaritmo. Qui daremo la definizione del logaritmo, mostreremo la notazione accettata, forniremo esempi di logaritmi e parleremo di logaritmi naturali e decimali. Successivamente, considera l'identità logaritmica di base.

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Definizione di logaritmo

Il concetto di logaritmo nasce quando si risolve un problema in in un certo senso inverso, quando è necessario trovare l'esponente da un valore noto del grado e una base nota.

Ma basta preambolo, è ora di rispondere alla domanda "cos'è un logaritmo"? Diamo una definizione appropriata.

Definizione.

Logaritmo di b in base a, dove a>0 , a≠1 e b>0 è l'esponente a cui è necessario aumentare il numero a per ottenere b come risultato.

A questo punto, notiamo che la parola pronunciata "logaritmo" dovrebbe immediatamente sollevare due domande successive: "quale numero" e "su quale base". In altre parole, semplicemente non c'è il logaritmo, ma c'è solo il logaritmo di un numero in qualche base.

Presenteremo immediatamente notazione logaritmica: il logaritmo del numero b in base a è solitamente indicato come log a b . Il logaritmo del numero b in base e e il logaritmo in base 10 hanno rispettivamente le loro designazioni speciali lnb e lgb, cioè non scrivono log e b , ma lnb e non log 10 b , ma lgb .

Ora puoi portare: .
E i record non ha senso, poiché nel primo c'è un numero negativo sotto il segno del logaritmo, nel secondo - un numero negativo nella base, e nel terzo - sia un numero negativo sotto il segno del logaritmo che un'unità nella base.

Ora parliamo di regole per la lettura dei logaritmi. La voce log a b viene letta come "logaritmo di b in base a". Ad esempio, log 2 3 è il logaritmo di tre in base 2 ed è il logaritmo di due virgola due terzi in base Radice quadrata su cinque. Si chiama il logaritmo in base e logaritmo naturale, e la notazione lnb viene letta come "il logaritmo naturale di b". Ad esempio, ln7 è il logaritmo naturale di sette e lo leggeremo come il logaritmo naturale di pi greco. Anche il logaritmo in base 10 ha un nome speciale: logaritmo decimale, e la notazione lgb viene letta come "logaritmo decimale b". Ad esempio, lg1 è il logaritmo decimale di uno e lg2.75 è il logaritmo decimale di due virgola settantacinque centesimi.

Vale la pena soffermarsi a parte sulle condizioni a>0, a≠1 eb>0, alle quali si dà la definizione di logaritmo. Spieghiamo da dove provengono queste restrizioni. Per fare questo, ci aiuterà un'uguaglianza della forma, chiamata , che segue direttamente dalla definizione del logaritmo data sopra.

Cominciamo con a≠1 . Poiché uno è uguale a uno a qualsiasi potenza, allora l'uguaglianza può essere vera solo per b=1, ma log 1 1 può essere qualsiasi numero reale. Per evitare questa ambiguità, si accetta a≠1.

Dimostriamo l'opportunità della condizione a>0 . Con a=0, per definizione di logaritmo, avremmo uguaglianza , possibile solo con b=0 . Ma allora log 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. Questa ambiguità può essere evitata dalla condizione a≠0 . E per un<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Infine, la condizione b>0 segue dalla disuguaglianza a>0 , poiché , e il valore del grado con base positiva a è sempre positivo.

In conclusione di questo paragrafo, diciamo che la definizione sonora del logaritmo consente di indicare immediatamente il valore del logaritmo quando il numero sotto il segno del logaritmo è un certo grado di base. Infatti, la definizione del logaritmo ci permette di affermare che se b=a p , allora il logaritmo del numero b in base a è uguale a p . Cioè, l'uguaglianza log a a p =p è vera. Ad esempio, sappiamo che 2 3 =8 , quindi log 2 8=3 . Ne parleremo di più nell'articolo.