Dove si intersecano le altezze di un triangolo? Tutto quello che devi sapere sul triangolo

Teorema dell'altitudine del triangolo rettangolo

Se l'altezza in un triangolo rettangolo ABC di lunghezza , tracciato dal vertice dell'angolo retto, divide l'ipotenusa di lunghezza e in segmenti corrispondenti ai cateti e , allora sono vere le seguenti uguaglianze:

·

·

Proprietà delle basi delle altezze di un triangolo

· Motivi le altezze formano un cosiddetto ortotriangolo, che ha le sue proprietà.

· Il cerchio circoscritto ad un ortotriangolo è il cerchio di Eulero. Questo cerchio contiene anche tre punti medi dei lati del triangolo e tre punti medi di tre segmenti che collegano l'ortocentro con i vertici del triangolo.

Un'altra formulazione dell'ultima proprietà:

· Teorema di Eulero per la circonferenza dei nove punti.

Motivi tre altezza triangolo arbitrario, i punti medi dei suoi tre lati ( le fondamenta del suo interno mediane) e i punti medi di tre segmenti che collegano i suoi vertici con l'ortocentro, giacciono tutti sulla stessa circonferenza (su cerchio di nove punti).

· Teorema. In ogni triangolo, il segmento che si connette motivi due altezza triangolo, taglia un triangolo simile a quello dato.

· Teorema. In un triangolo, il segmento che si connette motivi due altezza triangoli giacenti su due lati antiparallelo a un terzo con il quale non ha punti in comune. Un cerchio può sempre essere disegnato attraverso le sue due estremità, così come attraverso i due vertici del terzo lato citato.

Altre proprietà delle altezze dei triangoli

· Se il triangolo versatile (scaleno), allora interno la bisettrice tracciata da qualsiasi vertice si trova nel mezzo interno mediana e altezza ricavate dallo stesso vertice.

L'altezza di un triangolo è isogonalmente coniugata al diametro (raggio) circonferenza, disegnato dallo stesso vertice.

· In un triangolo acuto ce ne sono due altezza ritaglia triangoli simili da esso.

· In un triangolo rettangolo altezza tracciato dal vertice di un angolo retto, lo divide in due triangoli simili a quello originale.

Proprietà dell'altezza minima di un triangolo

L'altitudine minima di un triangolo ha molte proprietà estreme. Per esempio:

· La proiezione ortogonale minima di un triangolo su rette giacenti nel piano del triangolo ha lunghezza pari alla minore delle sue altezze.

· Il taglio rettilineo minimo nel piano attraverso il quale può essere tirata una piastra triangolare rigida deve avere una lunghezza pari alla più piccola delle altezze di tale piastra.

· Quando due punti si muovono continuamente lungo il perimetro di un triangolo l'uno verso l'altro, la distanza massima tra loro durante il movimento dal primo incontro al secondo non può essere inferiore alla lunghezza dell'altezza più piccola del triangolo.

· L'altezza minima in un triangolo si trova sempre all'interno del triangolo.

Relazioni di base

· dov'è l'area del triangolo, è la lunghezza del lato del triangolo di cui si abbassa l'altezza.

· dove è il prodotto dei lati, il raggio della circonferenza circoscritta

· ,

dove è il raggio del cerchio inscritto.

Dov'è l'area del triangolo.

dove è il lato del triangolo al quale scende l'altezza.

· Altezza di un triangolo isoscele ribassato alla base:

dov'è la base

· - altezza in un triangolo equilatero.

Mediane e altezze in un triangolo equilatero

Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto, che le divide ciascuna in un rapporto di 2:1, contando dal vertice. Questo punto si chiama centro di gravità triangolo. E nei triangoli equilateri mediane e altezze sono la stessa cosa.

Consideriamo un triangolo arbitrario ABC. Indichiamo con la lettera O il punto di intersezione delle sue mediane AA1 e BB1 ​​e tracciamo la linea mediana A1B1 di questo triangolo. Le mediane del triangolo si intersecano in un punto. Il segmento A1B1 è parallelo al lato AB, quindi angoli 1 e 2 , così come gli angoli 3 e 4 sono uguali come angoli trasversali all'intersezione delle linee parallele AB e A1B1 con le secanti AA1 e BB1. Pertanto i triangoli AOB e A1OB1 sono simili in due angoli, e quindi i loro lati sono proporzionali: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. Ma AB=2⋅A1B1, quindi AO=2⋅A1O e BO=2⋅B1O. Pertanto, il punto di intersezione O delle mediane AA1 e BB1 ​​divide ciascuna di esse in un rapporto di 2:1, contando dal vertice. Analogamente, si dimostra che il punto di intersezione delle mediane BB1 ​​e CC1 divide ciascuna di esse nel rapporto 2:1 a partire dal vertice, e quindi coincide con il punto O. Pertanto, tutte e tre le mediane del triangolo ABC si intersecano in il punto O e sono divisi da esso nel rapporto 2: 1, contando dall'alto.

Il teorema è stato dimostrato.

Immaginiamo che ai vertici dell'angolo m₁=1, quindi nei punti A₁,B₁,C₁, m₂=2, poiché sono i punti medi dei lati. E qui puoi notare che i segmenti AA₁,BB₁,CC₁, che si intersecano in un punto, sono simili a leve con fulcro O, dove AO-l₁, e OA₁-l₂ (spalle). E secondo la formula fisica F₁/F₂=l₁/l₂, dove F=m*g, dove g-cost, e viene ridotto di conseguenza, risulta m₁/m₂=l₁/l₂ cioè ½=1/2.

Il teorema è stato dimostrato.

Ortotriangolo

Proprietà:

· Tre altezze di un triangolo si intersecano in un punto, questo punto è chiamato ortocentro

· Due lati adiacenti di un ortotriangolo formano angoli uguali con il lato corrispondente del triangolo originale

Le altezze di un triangolo sono le bisettrici di un ortotriangolo

· Un ortotriangolo è il triangolo di perimetro minimo inscrivibile in un triangolo dato (problema di Fagnano)

· Il perimetro di un ortotriangolo è pari al doppio del prodotto dell'altezza del triangolo e del seno dell'angolo da cui si origina.

· Se i punti A 1 , B 1 e C 1 sui lati BC, AC e AB del triangolo acutangolo ABC, rispettivamente, sono tali che

allora è un ortotriangolo del triangolo ABC.

Orthotriangolo taglia triangoli simili a questo

Teorema sulla proprietà delle bisettrici di un ortotriangolo

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-bisettrice ∟B₁C₁A

AA₁-bisettrice ∟B₁A₁C₁

BB₁-bisettrice ∟A₁B₁C₁

Un triangolo è un poligono con tre lati, oppure una linea spezzata chiusa con tre anelli, oppure una figura formata da tre segmenti che collegano tre punti che non giacciono sulla stessa retta (vedi Fig. 1).

Elementi base del triangolo abc

Picchi – punti A, B e C;

Parti – segmenti a = BC, b = AC e c = AB che collegano i vertici;

Angoli – α, β, γ formati da tre coppie di lati. Gli angoli sono spesso designati allo stesso modo dei vertici, con le lettere A, B e C.

L'angolo formato dai lati di un triangolo e giacente nella sua area interna si chiama angolo interno, e quello adiacente ad esso è l'angolo adiacente del triangolo (2, p. 534).

Altezze, mediane, bisettrici e linee mediane di un triangolo

Oltre agli elementi principali di un triangolo, vengono considerati anche altri segmenti con proprietà interessanti: altezze, mediane, bisettrici e linee mediane.

Altezza

Altezze del triangolo- queste sono perpendicolari lasciate cadere dai vertici del triangolo ai lati opposti.

Per tracciare l'altezza, è necessario eseguire i seguenti passaggi:

1) tracciare una retta contenente uno dei lati del triangolo (se l'altezza è ricavata dal vertice di un angolo acuto in un triangolo ottuso);

2) dal vertice opposto alla linea tracciata, tracciare un segmento dal punto a questa linea, formando con essa un angolo di 90 gradi.

Si chiama il punto in cui l'altitudine interseca il lato del triangolo base in altezza (vedi Fig. 2).

Proprietà delle altezze dei triangoli

In un triangolo rettangolo, l'altezza tracciata dal vertice dell'angolo retto lo divide in due triangoli simili al triangolo originale.

In un triangolo acuto, le sue due altezze separano da esso triangoli simili.

Se il triangolo è acuto, allora tutte le basi delle altezze appartengono ai lati del triangolo, e in un triangolo ottuso due altezze cadono sulla continuazione dei lati.

Tre altezze in un triangolo acuto si intersecano in un punto e questo punto si chiama ortocentro triangolo.

Mediano

Mediane(dal latino mediana – “mezzo”) - questi sono segmenti che collegano i vertici del triangolo con i punti medi dei lati opposti (vedi Fig. 3).

Per costruire la mediana è necessario eseguire i seguenti passaggi:

1) trova il centro del lato;

2) collega con un segmento il punto che è il centro del lato del triangolo con il vertice opposto.

Proprietà delle mediane dei triangoli

La mediana divide un triangolo in due triangoli di uguale area.

Le mediane di un triangolo si intersecano in un punto, che le divide ciascuna in un rapporto di 2:1, contando dal vertice. Questo punto si chiama centro di gravità triangolo.

L'intero triangolo è diviso dalle sue mediane in sei triangoli uguali.

Bisettrice

Bisettrici(dal latino bis - due volte e seko - tagliare) sono i segmenti di linea retta racchiusi all'interno di un triangolo che ne divide in due gli angoli (vedi Fig. 4).

Per costruire una bisettrice, è necessario eseguire i seguenti passaggi:

1) costruire una semiretta che esca dal vertice dell'angolo e la divida in due parti uguali (la bisettrice dell'angolo);

2) trovare il punto di intersezione della bisettrice dell'angolo del triangolo con il lato opposto;

3) seleziona un segmento che collega il vertice del triangolo con il punto di intersezione sul lato opposto.

Proprietà delle bisettrici dei triangoli

La bisettrice di un angolo di un triangolo divide il lato opposto in un rapporto pari al rapporto tra i due lati adiacenti.

Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si intersecano in un punto. Questo punto si chiama centro della circonferenza inscritta.

Le bisettrici degli angoli interno ed esterno sono perpendicolari.

Se la bisettrice dell'angolo esterno di un triangolo interseca il prolungamento del lato opposto, allora ADBD=ACBC.

Le bisettrici di un angolo interno e di due angoli esterni di un triangolo si intersecano in un punto. Questo punto è il centro di uno dei tre cerchi di questo triangolo.

Le basi delle bisettrici di due angoli interni e di uno esterno di un triangolo giacciono sulla stessa retta se la bisettrice dell'angolo esterno non è parallela al lato opposto del triangolo.

Se le bisettrici degli angoli esterni di un triangolo non sono parallele ai lati opposti, allora le loro basi giacciono sulla stessa retta.

Quando si risolvono problemi di varia natura, sia di natura puramente matematica che applicata (soprattutto in edilizia), è spesso necessario determinare il valore dell'altezza di una determinata figura geometrica. Come calcolare questo valore (altezza) in un triangolo?

Se combiniamo 3 punti a coppie che non si trovano su un'unica linea, la figura risultante sarà un triangolo. L'altezza è la parte di una linea retta che parte da un vertice qualsiasi di una figura e che, intersecandosi con il lato opposto, forma un angolo di 90°.

Trova l'altezza di un triangolo scaleno

Determiniamo il valore dell'altezza di un triangolo nel caso in cui la figura abbia angoli e lati arbitrari.

La formula di Erone

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, dove

p – metà del perimetro della figura, h(a) – un segmento sul lato a, disegnato ad angolo retto rispetto ad esso,

p=(a+b+c)/2 – calcolo del semiperimetro.

Se nella figura è presente un'area, è possibile utilizzare la relazione h(a)=2S/a per determinarne l'altezza.

Funzioni trigonometriche

Per determinare la lunghezza di un segmento che forma un angolo retto intersecandosi con il lato a, si possono utilizzare le seguenti relazioni: se sono noti il ​​lato b e l'angolo γ oppure il lato c e l'angolo β, allora h(a)=b*sinγ oppure h(a)=c *sinβ.
Dove:
γ – angolo tra il lato b e a,
β è l'angolo tra il lato c e a.

Relazione con il raggio

Se il triangolo originale è inscritto in un cerchio, puoi utilizzare il raggio di tale cerchio per determinare l'altezza. Il suo centro si trova nel punto in cui si intersecano tutte e 3 le altezze (da ciascun vertice) - l'ortocentro, e la distanza da esso al vertice (qualsiasi) è il raggio.

Allora h(a)=bc/2R, dove:
b, c – 2 altri lati del triangolo,
R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

Trova l'altezza in un triangolo rettangolo

In questo tipo di figura geometrica, 2 lati, quando si intersecano, formano un angolo retto di 90°. Pertanto, se vuoi determinare il valore dell'altezza in esso, devi calcolare la dimensione di una delle gambe o la dimensione del segmento che forma 90° con l'ipotenusa. Quando si designa:
a, b – gambe,
c – ipotenusa,
h(c) – perpendicolare all'ipotenusa.
È possibile effettuare i calcoli necessari utilizzando le seguenti relazioni:

• Teorema di Pitagora:

a=√(c2 -b2),
b=√(c2 -a2),
h(c)=2S/c, perché S=ab/2, quindi h(c)=ab/c.

• Funzioni trigonometriche:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=ñ* sinβ* cosβ.

Trova l'altezza di un triangolo isoscele

Questa figura geometrica si distingue per la presenza di due lati di uguale dimensione e di un terzo – la base. Per determinare l'altezza portata al terzo lato distinto, viene in soccorso il teorema di Pitagora. Con notazione
a parte,
c – base,
h(c) è un segmento verso c con un angolo di 90°, allora h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

La lezione contiene una descrizione delle proprietà e delle formule per trovare l'altezza di un triangolo, nonché esempi di risoluzione dei problemi. Se non hai trovato una soluzione a un problema adatto: scrivetelo sul forum. Sicuramente il corso verrà integrato.

ALTEZZA DEL TRIANGOLO Altezza del triangolo- una perpendicolare lasciata dal vertice di un triangolo, portata sul lato opposto al vertice o sulla sua continuazione. Proprietà altezze del triangolo: Se due altezze in un triangolo sono uguali, allora il triangolo è isoscele In ogni triangolo, un segmento che collega le basi di due altezze del triangolo taglia un triangolo simile a quello dato In un triangolo, il segmento che collega le basi di due altezze del triangolo giacente su due lati è non parallelo al terzo lato, con il quale non ha punti in comune. Attraverso le sue due estremità, così come attraverso i due vertici di questo lato, puoi sempre disegnare un cerchio In un triangolo acuto, due delle sue altezze tagliano da esso triangoli simili L'altezza minima in un triangolo è sempre interna al triangolo Ortocentro del triangolo Tutte e tre le altezze del triangolo (disegnato dai tre vertici) si intersecano in un punto, che chiamato ortocentro. Per trovare il punto di intersezione delle altezze è sufficiente disegnare due altezze (due linee si intersecano solo in un punto). La posizione dell'ortocentro (punto O) è determinata dal tipo di triangolo. In un triangolo acutangolo il punto di intersezione delle altezze è nel piano del triangolo. (Fig. 1). In un triangolo rettangolo il punto di intersezione delle altezze coincide con il vertice dell'angolo retto (Fig. 2). Per un triangolo ottuso, il punto di intersezione delle altezze si trova dietro il piano del triangolo (Fig. 3). In un triangolo isoscele la mediana, la bisettrice e l'altitudine tracciata rispetto alla base del triangolo sono le stesse. In un triangolo equilatero tutte e tre le linee “notevoli” (altitudine, bisettrice e mediana) coincidono e i tre punti “notevoli” (i punti dell’ortocentro, del baricentro e del centro della circonferenza inscritta e circoscritta) si trovano ai stesso punto di intersezione delle linee “notevoli”, cioè anche corrispondere.

ALTA TRIKUTNIKA L'altezza della tricubitola è discendente dalla sommità della tricubitola perpendicolare, attingendo all'apice protidale o al suo prolungamento. Tutte e tre le altezze del tricubito (disegno da tre vertici) si intersecano in un punto, chiamato ortocentro. Per trovare il punto delle altezze della croce, è necessario disegnare due altezze (due linee rette si incrociano solo in un punto). La posizione dell'ortocentro (punto O) è determinata dal tipo di tricuputide. Nel gostrokutny trikutnik, il punto di attraversamento dell'altezza si trova nel piano del trikutnik. (Mal.1). Nel tritaglio dritto, il punto dell'altezza della croce incontra l'apice del taglio dritto (Mal. 2). In un tricutnik ad angolo ottuso, il punto della linea trasversale delle altezze si trova dietro la planarità del tricutnik (Mal.3). Nel tricullo isofemorale la mediana, la bisettrice e l'altezza portata alla base del tricucutineo sono uguali. In un tricubo equilatero tutte e tre le linee “segnate” (altezza, bisettrice e mediana) vengono evitate e i tre punti “segnati” (punti ortocentro, centro della linea e centro della chiglia inscritta e descritta) si trovano allo stesso punto del trasferimento il fango delle linee “sporche”, quindi si possono anche evitare.

Formule per trovare l'altezza di un triangolo

La figura è mostrata per facilitare la comprensione delle formule per trovare l'altezza di un triangolo. La regola generale è che la lunghezza di un lato si indica con una lettera minuscola opposta all'angolo corrispondente. Cioè il lato a è opposto all'angolo A.
L'altezza nelle formule è indicata con la lettera h, il cui pedice corrisponde al lato su cui è abbassata.

Altre designazioni:
a, b, c- lunghezze dei lati del triangolo
H UN- l'altezza del triangolo disegnato verso il lato a dall'angolo opposto
H B- altezza accostata al lato b
H C- altezza accostata al lato c
R- raggio del cerchio circoscritto
R- raggio del cerchio inscritto

Spiegazioni per le formule.
L'altezza di un triangolo è uguale al prodotto della lunghezza del lato adiacente all'angolo da cui viene omessa questa altezza e del seno dell'angolo tra questo lato e il lato a cui viene omessa questa altezza (Formula 1)
L'altezza di un triangolo è uguale al quoziente del doppio dell'area del triangolo divisa per la lunghezza del lato a cui si abbassa tale altezza (Formula 2)
L'altezza di un triangolo è uguale al quoziente della divisione del prodotto dei lati adiacenti all'angolo da cui si omette tale altezza per il doppio del raggio del cerchio descritto attorno ad esso (Formula 4).
Le altezze dei lati di un triangolo stanno tra loro nella stessa proporzione in cui stanno tra loro le proporzioni inverse delle lunghezze dei lati dello stesso triangolo, e anche i prodotti di coppie di lati di un triangolo che hanno un angolo comune sono correlati tra loro nella stessa proporzione (Formula 5).
La somma dei valori reciproci delle altezze di un triangolo è uguale al valore reciproco del raggio del cerchio inscritto in tale triangolo (Formula 6)
L'area di un triangolo può essere trovata attraverso le lunghezze delle altezze di questo triangolo (Formula 7)
La lunghezza del lato del triangolo di cui viene abbassata l'altezza può essere trovata applicando le formule 7 e 2.

Compito su .

In un triangolo rettangolo ABC (angolo C = 90 0) si traccia l'altitudine CD. Determina CD se AD = 9 cm, BD = 16 cm

Soluzione.

I triangoli ABC, ACD e CBD sono simili tra loro. Ciò deriva direttamente dal secondo criterio di somiglianza (l'uguaglianza degli angoli in questi triangoli è ovvia).

I triangoli rettangoli sono l'unico tipo di triangolo che può essere tagliato in due triangoli simili tra loro e al triangolo originale.

Le designazioni di questi tre triangoli in questo ordine di vertici: ABC, ACD, CBD. Pertanto, mostriamo simultaneamente la corrispondenza dei vertici. (Il vertice A del triangolo ABC corrisponde anche al vertice A del triangolo ACD e al vertice C del triangolo CBD, ecc.)

I triangoli ABC e CBD sono simili. Significa:

AD/DC = DC/BD, cioè

Problema sull'applicazione del teorema di Pitagora.

Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo. In questo caso C è un angolo retto. Da esso si ricava l'altezza CD = 6 cm. Differenza tra i segmenti BD-AD=5 cm.

Trova: Lati del triangolo ABC.

Soluzione.

1. Creiamo un sistema di equazioni secondo il teorema di Pitagora

CD2+BD2 =BC2

CD2 +AD2 =AC2

poiché CD=6

Poiché BD-AD=5, allora

BD = AD+5, allora il sistema di equazioni assume la forma

36+(AD+5) 2 =AC 2

Aggiungiamo la prima e la seconda equazione. Poiché il lato sinistro viene aggiunto a sinistra e il lato destro a destra, l'uguaglianza non verrà violata. Noi abbiamo:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +AC 2

72+(AD+5)2 +AD2 =AC2 +AC2

2. Ora, guardando il disegno originale del triangolo, secondo lo stesso teorema di Pitagora, l'uguaglianza deve essere soddisfatta:

AC2 +BC2 =AB2

Poiché AB=BD+AD, l'equazione diventa:

AC2 +BC2 =(AD+BD)2

Poiché BD-AD=5, allora BD = AD+5, quindi

AC2 +BC2 =(AD+AD+5) 2

3. Ora diamo un'occhiata ai risultati che abbiamo ottenuto risolvendo la prima e la seconda parte della soluzione. Vale a dire:

72+(AD+5)2 +AD2 =AC2 +AC2

AC2 +BC2 =(AD+AD+5) 2

Hanno una parte comune AC 2 +BC 2. Quindi, equiparateli tra loro.

72+(AD+5)2 +AD2 =(AD+AD+5) 2

72+d.C. 2 +10 d.C.+25+d.C. 2 =4 d.C. 2 +20 d.C.+25

2 d.C. 2 -10 d.C.+72=0

Nell'equazione quadratica risultante, il discriminante è uguale a D=676, rispettivamente, le radici dell'equazione sono uguali:

Poiché la lunghezza del segmento non può essere negativa, scartiamo la prima radice.

Rispettivamente

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

Usando il teorema di Pitagora troviamo i restanti lati del triangolo:

AC = radice di (52)

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