Il processo di ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione su un segmento ricorda un affascinante volo attorno a un oggetto (un grafico di una funzione) su un elicottero con spari da un cannone a lungo raggio in determinati punti e scegliendo tra questi punti punti molto speciali per controllare i colpi. I punti vengono selezionati in un certo modo e secondo determinate regole. Con quali regole? Ne parleremo ulteriormente.
Se la funzione si = F(X)
continuo sul segmento [ UN, B] , quindi raggiunge questo segmento meno
E valori più alti
. Questo può accadere in punti estremi o alle estremità del segmento. Pertanto, per trovare meno
E i valori più grandi della funzione
, continuo sull'intervallo [ UN, B] , è necessario calcolare i suoi valori in tutto punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegli il più piccolo e il più grande di essi.
Lascia, ad esempio, è necessario determinare il valore massimo della funzione F(X) sul segmento [ UN, B] . Per fare questo, trova tutti i suoi punti critici che giacciono su [ UN, B]
.
punto critico
è chiamato il punto in cui funzione definita, e lei derivatoè zero o non esiste. Quindi dovresti calcolare i valori della funzione nei punti critici. E, infine, si dovrebbero confrontare i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento ( F(UN) E F(B)). Il più grande di questi numeri sarà il valore più grande della funzione sull'intervallo
[UN, B]
.
Il problema del ritrovamento i valori più piccoli della funzione
.
Stiamo cercando insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione
Esempio 1. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione 
sul segmento [-1, 2]
.
Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione. Uguagliare la derivata a zero () e ottenere due punti critici: e . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, è sufficiente calcolarne i valori agli estremi del segmento e nel punto, poiché il punto non appartiene al segmento [-1, 2] . Questi valori di funzione sono i seguenti: , , . Ne consegue che valore minimo della funzione(segnato in rosso nel grafico sottostante), pari a -7, si raggiunge all'estremità destra del segmento - nel punto , e più grande(anche rosso sul grafico), è pari a 9, - nel punto critico .
Se la funzione è continua in un certo intervallo e questo intervallo non è un segmento (ma è, per esempio, un intervallo; la differenza tra un intervallo e un segmento: i punti di confine dell'intervallo non sono inclusi nell'intervallo, ma il i punti di confine del segmento sono inclusi nel segmento), quindi tra i valori della funzione potrebbero non esserci il più piccolo e il più grande. Quindi, ad esempio, la funzione rappresentata nella figura seguente è continua su ]-∞, +∞[ e non ha il valore più grande.
Tuttavia, per qualsiasi intervallo (chiuso, aperto o infinito), vale la seguente proprietà delle funzioni continue.
Esempio 4. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 3]
.
Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivata del quoziente:
.
Uguagliamo la derivata a zero, che ci dà uno punto critico: . Appartiene all'intervallo [-1, 3] . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:
Confrontiamo questi valori. Conclusione: pari a -5/13, al punto e il maggior valore uguale a 1 nel punto .
Continuiamo a cercare insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione
Ci sono insegnanti che, in tema di trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione, non danno agli studenti esempi più complicati di quelli appena considerati, cioè quelli in cui la funzione è un polinomio o una frazione, il numeratore e denominatore dei quali sono polinomi. Ma non ci limiteremo a tali esempi, poiché tra gli insegnanti ci sono amanti del far riflettere gli studenti per intero (tabella delle derivate). Pertanto, verranno utilizzati il logaritmo e la funzione trigonometrica.
Esempio 6. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento
.
Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivato del prodotto :
Uguagliamo la derivata a zero, che dà un punto critico: . Appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:
Il risultato di tutte le azioni: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a 0, in un punto e in un punto e il maggior valore uguale a e² , al punto .
Esempio 7. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione 
sul segmento .
Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione:
Uguaglia la derivata a zero:
L'unico punto critico appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:
Conclusione: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a , nel punto e il maggior valore, uguale a , al punto .
Nei problemi estremi applicati, trovare i valori di funzione più piccoli (più grandi), di regola, si riduce a trovare il minimo (massimo). Ma non sono i minimi o i massimi stessi che sono di maggiore interesse pratico, ma i valori dell'argomento in cui vengono raggiunti. Quando si risolvono problemi applicati, sorge un'ulteriore difficoltà: la compilazione di funzioni che descrivono il fenomeno o il processo in esame.
Esempio 8 Deve essere stagnato un recipiente della capacità di 4 persone, avente la forma di un parallelepipedo a base quadrata e aperto nella parte superiore. Quali devono essere le dimensioni del serbatoio per ricoprirlo con la minor quantità di materiale?
Soluzione. Permettere X- lato base H- altezza del serbatoio, S- la sua superficie senza copertura, v- il suo volume. La superficie del serbatoio è espressa dalla formula , i.e. è una funzione di due variabili. Esprimere S come funzione di una variabile, usiamo il fatto che , donde . Sostituzione dell'espressione trovata H nella formula per S:
Esaminiamo questa funzione per un estremo. È definito e derivabile ovunque in ]0, +∞[ , and
.
Uguagliamo la derivata a zero () e troviamo il punto critico. Inoltre, in , la derivata non esiste, ma questo valore non è compreso nel dominio di definizione e quindi non può essere un punto di estremo. Quindi, - l'unico punto critico. Controlliamo la presenza di un estremo usando il secondo segno sufficiente. Troviamo la derivata seconda. Quando la derivata seconda è maggiore di zero (). Ciò significa che quando la funzione raggiunge un minimo 
. Perchè questo minimo - l'unico estremo di questa funzione, è il suo valore più piccolo. Quindi, il lato della base del serbatoio dovrebbe essere uguale a 2 me la sua altezza.
Esempio 9 Dal paragrafo UN, situato sulla linea ferroviaria, al punto CON, a distanza da esso l, le merci devono essere trasportate. Il costo del trasporto di un'unità di peso per unità di distanza su rotaia è pari a , e su autostrada è pari a . Fino a che punto M linee ferrovia dovrebbe essere costruita un'autostrada in modo che il trasporto di merci da UN v CON era il più economico AB si presume che la ferrovia sia diritta)?
Come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento?
Per questo seguiamo il noto algoritmo:
1
. Troviamo le funzioni ODZ.
2
. Trovare la derivata di una funzione
3
. Uguaglia la derivata a zero
4
. Troviamo gli intervalli in cui la derivata mantiene il suo segno e da essi determiniamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione:
Se sull'intervallo I la derivata della funzione 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta in questo intervallo.
Se sull'intervallo I la derivata della funzione , allora la funzione diminuisce in questo intervallo.
5
. Noi troviamo punti di massimo e minimo della funzione.
IN la funzione punto massimo, la derivata cambia segno da "+" a "-".
IN punto di minimo della funzionela derivata cambia segno da "-" a "+".
6
. Troviamo il valore della funzione alle estremità del segmento,
- quindi confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti massimi, e scegli il più grande di essi se devi trovare il valore più grande della funzione
- oppure confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti di minimo, e scegli il più piccolo se devi trovare il valore più piccolo della funzione
Tuttavia, a seconda di come si comporta la funzione sull'intervallo, questo algoritmo può essere notevolmente ridotto.
Considera la funzione 
. Il grafico di questa funzione si presenta così:
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di risoluzione dei problemi da banca aperta incarichi per
1 . Compito B15 (#26695)
Sul taglio.
1. La funzione è definita per tutti i valori reali di x
Ovviamente questa equazione non ha soluzioni e la derivata è positiva per tutti i valori di x. Pertanto, la funzione aumenta e assume il valore più grande all'estremità destra dell'intervallo, ovvero in x=0.
Risposta: 5.
2
. Attività B15 (n. 26702)
Trova il valore più grande di una funzione 
sul segmento.
Funzione 1.ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
La derivata è nulla in , tuttavia in questi punti non cambia segno:
Pertanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, a .
Per chiarire perché la derivata non cambia segno, trasformiamo l'espressione per la derivata come segue:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Risposta: 5.
3 . Compito B15 (#26708)
Trova il valore più piccolo della funzione sull'intervallo .
1. Funzioni ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Poniamo le radici di questa equazione su un cerchio trigonometrico.
L'intervallo contiene due numeri: e
Mettiamo i cartelli. Per fare ciò, determiniamo il segno della derivata nel punto x=0: 
. Passando per i punti e la derivata cambia segno.
Rappresentiamo il cambio di segno della derivata della funzione sulla linea delle coordinate:
Ovviamente il punto è un punto di minimo (dove la derivata cambia segno da "-" a "+"), e per trovare il valore più piccolo della funzione sull'intervallo, bisogna confrontare i valori della funzione nel punto di minimo e all'estremità sinistra del segmento, .
In questo articolo parlerò di algoritmo per trovare il valore più grande e più piccolo funzione, punti di minimo e massimo.
Dalla teoria, avremo sicuramente bisogno tavola derivata E regole di differenziazione. È tutto in questa bacheca:
Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli.
Trovo più facile da spiegare esempio specifico. Prendere in considerazione:
Esempio: Trova il valore più grande della funzione y=x^5+20x^3–65x sul segmento [–4;0].
Passo 1. Prendiamo la derivata.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Passo 2 Trovare i punti estremi.
punto estremo chiamiamo tali punti in cui la funzione raggiunge il suo valore massimo o minimo.
Per trovare i punti estremi, è necessario equiparare la derivata della funzione a zero (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Ora risolviamo questa equazione biquadratica e le radici trovate sono i nostri punti estremi.
Risolvo tali equazioni sostituendo t = x^2, quindi 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Riducendo l'equazione di 5, otteniamo: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Facciamo la sostituzione inversa x^2 = t:
X_(1 e 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 e 4) = ±sqrt(-13) (escludiamo, non possono esserci numeri negativi sotto la radice, a meno che ovviamente non si parli di numeri complessi)
Totale: x_(1) = 1 e x_(2) = -1 - questi sono i nostri punti estremi.
Passaggio 3 Determina il valore più grande e più piccolo.
Metodo di sostituzione.
Nella condizione, ci è stato assegnato il segmento [b][–4;0]. Il punto x=1 non è incluso in questo segmento. Quindi non lo consideriamo. Ma oltre al punto x=-1, dobbiamo anche considerare i bordi sinistro e destro del nostro segmento, cioè i punti -4 e 0. Per fare ciò, sostituiamo tutti e tre questi punti nella funzione originale. Si noti che quello originale è quello dato nella condizione (y=x^5+20x^3–65x), alcuni iniziano a sostituire nella derivata...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
Ciò significa che il valore massimo della funzione è [b]44 e viene raggiunto nei punti [b]-1, che si dice punto massimo della funzione sul segmento [-4; 0].
Abbiamo deciso e ottenuto una risposta, siamo fantastici, puoi rilassarti. Ma fermati! Non pensi che contare y(-4) sia in qualche modo troppo complicato? In condizioni di tempo limitato, è meglio usare un altro metodo, lo chiamo così:
Attraverso intervalli di costanza.
Questi gap si trovano per la derivata della funzione, cioè per la nostra equazione biquadratica.
Lo faccio nel modo seguente. Traccio una linea direzionale. Ho impostato i punti: -4, -1, 0, 1. Nonostante il fatto che 1 non sia incluso nel segmento dato, dovrebbe comunque essere annotato per determinare correttamente gli intervalli di costanza. Prendiamo un numero molte volte maggiore di 1, diciamo 100, sostituiamolo mentalmente nella nostra equazione biquadratica 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Anche senza contare nulla, diventa ovvio che al punto 100 la funzione ha il segno più. Ciò significa che per gli intervalli da 1 a 100 ha un segno più. Passando per 1 (andiamo da destra a sinistra), la funzione cambierà segno in meno. Quando passa per il punto 0, la funzione manterrà il suo segno, poiché questo è solo il confine del segmento e non la radice dell'equazione. Quando si passa attraverso -1, la funzione cambierà nuovamente segno in più.
Dalla teoria, sappiamo che dov'è la derivata della funzione (e l'abbiamo disegnata per essa) cambia segno da più a meno (punto -1 nel nostro caso) funzione raggiunge il suo massimo locale (y(-1)=44 come calcolato in precedenza) su questo segmento (questo è logicamente molto chiaro, la funzione ha smesso di aumentare, poiché ha raggiunto il suo massimo e ha iniziato a diminuire).
Di conseguenza, dove la derivata della funzione cambia segno da meno a più, raggiunto minimo locale di una funzione. Sì, sì, abbiamo anche trovato il punto di minimo locale, che è 1, e y(1) è il valore minimo della funzione sull'intervallo, diciamo da -1 a +∞. Si noti che questo è solo un MINIMO LOCALE, ovvero un minimo su un determinato segmento. Poiché la funzione minima effettiva (globale) raggiungerà da qualche parte lì, in -∞.
Secondo me, il primo metodo è teoricamente più semplice e il secondo è più semplice in termini di operazioni aritmetiche, ma molto più difficile in termini teorici. Dopotutto, a volte ci sono casi in cui la funzione non cambia segno quando passa attraverso la radice dell'equazione, e in effetti puoi confonderti con questi massimi e minimi locali e globali, anche se dovrai comunque padroneggiarli bene se pianifichi entrare in un'università tecnica (e per cos'altro dare esame di profilo e risolvere questo problema). Ma la pratica e solo la pratica ti insegneranno come risolvere tali problemi una volta per tutte. E puoi allenarti sul nostro sito web. Qui .
Se hai domande o qualcosa non è chiaro, assicurati di chiedere. Sarò felice di risponderti e apportare modifiche, aggiunte all'articolo. Ricorda che stiamo realizzando questo sito insieme!
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Superiore
sul segmento. 
