Il valore massimo e minimo di una funzione su un segmento. Come trovare il valore più piccolo di una funzione

Il valore più grande (più piccolo) della funzione è il valore più grande (più piccolo) accettato dell'ordinata nell'intervallo considerato.

Per trovare il più grande o valore più piccolo funzioni necessarie:

1. Controlla quali punti stazionari sono inclusi nel segmento dato.
2. Calcola il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti stazionari del passaggio 3
3. Scegli tra i risultati ottenuti il ​​valore più grande o più piccolo.

Per trovare i punti massimi o minimi, è necessario:

1. Trova la derivata della funzione $f"(x)$
2. Trova punti stazionari risolvendo l'equazione $f"(x)=0$
3. Fattorizzare la derivata di una funzione.
4. Disegna una linea di coordinate, posiziona punti stazionari su di essa e determina i segni della derivata negli intervalli ottenuti, usando la notazione della clausola 3.
5. Trova i punti massimo o minimo secondo la regola: se in un punto la derivata cambia segno da più a meno, allora questo sarà il punto massimo (se da meno a più, allora questo sarà il punto minimo). In pratica è conveniente utilizzare l'immagine delle frecce sugli intervalli: sull'intervallo in cui la derivata è positiva, la freccia è disegnata verso l'alto e viceversa.

Tabella delle derivate di alcune funzioni elementari:

Funzione	Derivato
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$peccato^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Regole fondamentali di differenziazione

1. La derivata della somma e della differenza è uguale alla derivata di ciascun termine

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Trova la derivata della funzione $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

La derivata della somma e della differenza è uguale alla derivata di ciascun termine

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivata di un prodotto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Trova la derivata $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Derivata del quoziente

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Trova la derivata $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna e della derivata della funzione interna

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Trova il punto di minimo della funzione $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Trova l'ODZ della funzione: $x+11>0; x>-11$

2. Trova la derivata della funzione $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Trova punti stazionari eguagliando la derivata a zero

$(2x+21)/(x+11)=0$

Una frazione è zero se il numeratore è zero e il denominatore non è zero

$2x+21=0; x≠-11$

4. Disegna una linea di coordinate, posiziona punti fissi su di essa e determina i segni della derivata negli intervalli ottenuti. Per fare ciò, sostituiamo nella derivata qualsiasi numero dall'estrema destra, ad esempio zero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Nel punto minimo, la derivata cambia segno da meno a più, quindi il punto $-10,5$ è il punto minimo.

Risposta: $-10,5$

Trovare valore più alto funzioni $y=6x^5-90x^3-5$ sull'intervallo $[-5;1]$

1. Trova la derivata della funzione $y′=30x^4-270x^2$

2. Uguaglia la derivata a zero e trova i punti stazionari

$30x^4-270x^2=0$

Prendiamo il fattore comune $30x^2$ tra parentesi

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Imposta ogni fattore uguale a zero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Scegli i punti stazionari che appartengono al dato segmento $[-5;1]$

I punti stazionari $x=0$ e $x=-3$ sono adatti a noi

4. Calcola il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti stazionari dal punto 3

Spesso in fisica e matematica è necessario trovare il valore più piccolo di una funzione. Come fare questo, lo diremo ora.

Come trovare il valore più piccolo di una funzione: istruzione

1. Per calcolare il valore più piccolo di una funzione continua su un dato intervallo, è necessario seguire questo algoritmo:
2. Trova la derivata di una funzione.
3. Trova su un dato segmento i punti in cui la derivata è uguale a zero, così come tutti i punti critici. Quindi scopri i valori della funzione in questi punti, ovvero risolvi l'equazione in cui x è uguale a zero. Scopri quale dei valori è il più piccolo.
4. Scopri quale valore ha la funzione agli endpoint. Determina il valore più piccolo della funzione in questi punti.
5. Confronta i dati ricevuti con il valore più piccolo. Il più piccolo dei numeri ricevuti sarà il valore più piccolo della funzione.

Si noti che nel caso in cui una funzione su un segmento non abbia i punti più piccoli, ciò significa che aumenta o diminuisce su questo segmento. Pertanto, il valore più piccolo dovrebbe essere calcolato sui segmenti finiti della funzione.

In tutti gli altri casi, il valore della funzione viene calcolato in base all'algoritmo specificato. Ad ogni passaggio dell'algoritmo, dovrai risolvere un semplice equazione lineare con una radice. Risolvi l'equazione usando il disegno per evitare errori.

Come trovare il valore più piccolo di una funzione su un segmento semiaperto? Su un mezzo aperto o periodo aperto funzione, il valore più piccolo dovrebbe essere trovato come segue. Agli estremi del valore della funzione, calcola il limite unilaterale della funzione. In altre parole, risolvere un'equazione in cui i punti di tendenza sono dati dal valore a+0 e b+0, dove a e b sono i nomi dei punti critici.

Ora sai come trovare il valore più piccolo di una funzione. L'importante è eseguire tutti i calcoli in modo corretto, accurato e senza errori.

Il processo di ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione su un segmento ricorda un affascinante volo attorno a un oggetto (un grafico di una funzione) su un elicottero con spari da un cannone a lungo raggio in determinati punti e scegliendo tra questi punti punti molto speciali per controllare i colpi. I punti vengono selezionati in un certo modo e secondo determinate regole. Con quali regole? Ne parleremo ulteriormente.

Se la funzione si = F(X) continuo sull'intervallo [ UN, B] , quindi raggiunge questo segmento meno E valori più alti . Questo può accadere in punti estremi o alle estremità del segmento. Pertanto, per trovare meno E i valori più grandi della funzione , continua sul segmento [ UN, B] , è necessario calcolare i suoi valori in tutto punti critici e alle estremità del segmento, quindi scegli il più piccolo e il più grande di essi.

Lascia, ad esempio, è necessario determinare il valore massimo della funzione F(X) sul segmento [ UN, B] . Per fare questo, trova tutti i suoi punti critici che giacciono su [ UN, B] .

punto critico è chiamato il punto in cui funzione definita, e lei derivatoè zero o non esiste. Quindi dovresti calcolare i valori della funzione nei punti critici. E, infine, si dovrebbe confrontare il valore della funzione in punti critici e alle estremità del segmento ( F(UN) E F(B)). Il più grande di questi numeri sarà il valore più grande della funzione sull'intervallo [UN, B] .

Il problema del ritrovamento i valori più piccoli della funzione .

Stiamo cercando insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Esempio 1. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 2] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione. Uguagliare la derivata a zero () e ottenere due punti critici: e . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, è sufficiente calcolarne i valori agli estremi del segmento e nel punto, poiché il punto non appartiene al segmento [-1, 2] . Questi valori di funzione sono i seguenti: , , . Ne consegue che valore minimo della funzione(segnato in rosso nel grafico sottostante), pari a -7, si raggiunge all'estremità destra del segmento - nel punto , e più grande(anche rosso sul grafico), è pari a 9, - nel punto critico .

Se la funzione è continua in un certo intervallo e questo intervallo non è un segmento (ma è, per esempio, un intervallo; la differenza tra un intervallo e un segmento: i punti di confine dell'intervallo non sono inclusi nell'intervallo, ma il i punti di confine del segmento sono inclusi nel segmento), quindi tra i valori della funzione potrebbero non esserci il più piccolo e il più grande. Quindi, ad esempio, la funzione rappresentata nella figura seguente è continua su ]-∞, +∞[ e non ha il valore più grande.

Tuttavia, per qualsiasi intervallo (chiuso, aperto o infinito), vale la seguente proprietà delle funzioni continue.

Esempio 4. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento [-1, 3] .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivata del quoziente:

.

Uguagliamo la derivata a zero, che ci dà un punto critico: . Appartiene all'intervallo [-1, 3] . Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Confrontiamo questi valori. Conclusione: pari a -5/13, al punto e il maggior valore uguale a 1 nel punto .

Continuiamo a cercare insieme i valori più piccoli e più grandi della funzione

Ci sono insegnanti che, in tema di trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione, non danno agli studenti esempi più complicati di quelli appena considerati, cioè quelli in cui la funzione è un polinomio o una frazione, il numeratore e denominatore dei quali sono polinomi. Ma non ci limiteremo a tali esempi, poiché tra gli insegnanti ci sono amanti del far riflettere gli studenti per intero (tabella delle derivate). Pertanto, verranno utilizzati il ​​logaritmo e la funzione trigonometrica.

Esempio 6. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione come derivato del prodotto :

Uguagliamo la derivata a zero, che dà un punto critico: . Appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Il risultato di tutte le azioni: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a 0, in un punto e in un punto e il maggior valore uguale a e² , al punto .

Esempio 7. Trova i valori più piccoli e più grandi di una funzione sul segmento .

Soluzione. Troviamo la derivata di questa funzione:

Uguaglia la derivata a zero:

L'unico punto critico appartiene al segmento. Per trovare i valori più piccoli e più grandi di una funzione su un dato segmento, troviamo i suoi valori alle estremità del segmento e nel punto critico trovato:

Conclusione: la funzione raggiunge il suo valore minimo, uguale a , nel punto e il maggior valore, uguale a , al punto .

Nei problemi estremi applicati, trovare i valori di funzione più piccoli (più grandi), di regola, si riduce a trovare il minimo (massimo). Ma non sono i minimi o i massimi stessi ad essere di maggiore interesse pratico, ma i valori dell'argomento in cui vengono raggiunti. Quando si risolvono problemi applicati, sorge un'ulteriore difficoltà: la compilazione di funzioni che descrivono il fenomeno o il processo in esame.

Esempio 8 Deve essere stagnato un recipiente della capacità di 4 persone, avente la forma di un parallelepipedo a base quadrata e aperto nella parte superiore. Quali devono essere le dimensioni del serbatoio per ricoprirlo con la minor quantità di materiale?

Soluzione. Permettere X- lato base H- altezza del serbatoio, S- la sua superficie senza copertura, v- il suo volume. La superficie del serbatoio è espressa dalla formula , i.e. è una funzione di due variabili. Esprimere S come funzione di una variabile, usiamo il fatto che , donde . Sostituzione dell'espressione trovata H nella formula per S:

Esaminiamo questa funzione per un estremo. È definito e derivabile ovunque in ]0, +∞[ , and

.

Uguagliamo la derivata a zero () e troviamo il punto critico. Inoltre, in , la derivata non esiste, ma questo valore non è compreso nel dominio di definizione e quindi non può essere un punto di estremo. Quindi, - l'unico punto critico. Controlliamo la presenza di un estremo usando il secondo segno sufficiente. Troviamo la derivata seconda. Quando la derivata seconda è maggiore di zero (). Ciò significa che quando la funzione raggiunge un minimo . Perchè questo minimo - l'unico estremo di questa funzione, è il suo valore più piccolo. Quindi, il lato della base del serbatoio dovrebbe essere uguale a 2 me la sua altezza.

Esempio 9 Dal paragrafo UN, situato sulla linea ferroviaria, al punto CON, a distanza da esso l, le merci devono essere trasportate. Il costo del trasporto di un'unità di peso per unità di distanza su rotaia è pari a , e su autostrada è pari a . Fino a che punto M linee ferrovia dovrebbe essere costruita un'autostrada in modo che il trasporto di merci da UN v CON era il più economico AB si presume che la ferrovia sia diritta)?

Lo studio di un tale oggetto di analisi matematica come funzione è di grande importanza. Senso e in altre aree della scienza. Ad esempio, dentro analisi economica costantemente bisogno di valutare il comportamento funzioni profitto, vale a dire per determinare il suo massimo Senso e sviluppare una strategia per raggiungerlo.

Istruzione

Lo studio di qualsiasi comportamento dovrebbe sempre iniziare con la ricerca di un dominio di definizione. Di solito, a seconda delle condizioni di un particolare problema, è necessario determinare il più grande Senso funzioni o sull'insieme di quest'area, o sul suo specifico intervallo con confini aperti o chiusi.

Basato su , il più grande è Senso funzioni y(x0), sotto la quale per ogni punto del dominio di definizione la disuguaglianza y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0) è soddisfatta. Graficamente, questo punto sarà il più alto se disponi i valori dell'argomento lungo l'asse delle ascisse e la funzione stessa lungo l'asse delle ordinate.

Per determinare il più grande Senso funzioni, seguire l'algoritmo in tre fasi. Nota che devi essere in grado di lavorare con and unilaterale, oltre a calcolare la derivata. Quindi, sia data una funzione y (x) ed è necessario trovare il suo più grande Senso su un intervallo con valori al contorno A e B.

Scopri se questo intervallo rientra nell'ambito funzioni. Per fare ciò, devi trovarlo, considerando tutte le possibili restrizioni: la presenza di una frazione nell'espressione, radice quadrata eccetera. Il dominio di definizione è l'insieme dei valori degli argomenti per i quali la funzione ha senso. Determina se l'intervallo dato è un suo sottoinsieme. In caso affermativo, procedere al passaggio successivo.

Trova la derivata funzioni e risolvi l'equazione risultante eguagliando la derivata a zero. Otterrai così i valori dei cosiddetti punti stazionari. Valutare se almeno uno di essi appartiene all'intervallo A, B.

Considera questi punti nella terza fase, sostituisci i loro valori nella funzione. Eseguire i seguenti passaggi aggiuntivi a seconda del tipo di intervallo. Se c'è un segmento della forma [A, B], i punti di confine sono inclusi nell'intervallo, questo è indicato da parentesi. Calcola valori funzioni per x = A e x = B. Se l'intervallo aperto è (A, B), i valori limite sono perforati, cioè non sono inclusi in esso. Risolvi i limiti unilaterali per x→A e x→B. Un intervallo combinato della forma [A, B) o (A, B), uno dei cui limiti gli appartiene, l'altro no. Trova il limite unilaterale quando x tende al valore punteggiato e sostituisci l'altro in la funzione Intervallo infinito bilatero (-∞, +∞) o infiniti unilaterali della forma: , (-∞, B) Per i limiti reali A e B si procede secondo i principi già descritti, e per i limiti infiniti , cercare i limiti rispettivamente per x→-∞ e x→+∞.

Il compito in questa fase

Il valore massimo e minimo della funzione

Il valore più grande di una funzione è chiamato il più grande, il valore più piccolo è il più piccolo di tutti i suoi valori.

Una funzione può avere un solo valore massimo e un solo valore minimo oppure può non averne affatto. Trovare i valori più grandi e più piccoli delle funzioni continue si basa sulle seguenti proprietà di queste funzioni:

1) Se in qualche intervallo (finito o infinito) la funzione y=f(x) è continua e ha un solo estremo, e se questo è il massimo (minimo), allora sarà il valore più grande (più piccolo) della funzione in questo intervallo.

2) Se la funzione f(x) è continua su un segmento , allora ha necessariamente i valori più grandi e più piccoli su questo segmento. Questi valori vengono raggiunti o nei punti estremi che si trovano all'interno del segmento o ai confini di questo segmento.

Per trovare i valori più grandi e più piccoli sul segmento, si consiglia di utilizzare il seguente schema:

1. Trova la derivata.

2. Trova i punti critici della funzione dove =0 o non esiste.

3. Trova i valori della funzione nei punti critici e alle estremità del segmento e scegli da essi il più grande f max e il più piccolo f min.

Quando si risolvono problemi applicati, in particolare problemi di ottimizzazione, sono importanti i problemi di trovare i valori più grandi e più piccoli (massimo globale e minimo globale) di una funzione sull'intervallo X. Per risolvere tali problemi, si dovrebbe, in base alla condizione , scegli una variabile indipendente ed esprimi il valore in esame attraverso questa variabile. Quindi trova il valore massimo o minimo desiderato della funzione risultante. In questo caso, anche l'intervallo di cambiamento della variabile indipendente, che può essere finito o infinito, è determinato dalla condizione del problema.

Esempio. La vasca, che ha la forma di un parallelepipedo rettangolare con fondo quadrato, aperta superiormente, deve essere stagnata all'interno con stagno. Quali dovrebbero essere le dimensioni del serbatoio con una capacità di 108 litri. acqua in modo che il costo della sua stagnatura sia minimo?

Soluzione. Il costo del rivestimento del serbatoio con stagno sarà il più basso se, per una data capacità, la sua superficie è minima. Indica con a dm - il lato della base, b dm - l'altezza del serbatoio. Quindi l'area S della sua superficie è uguale a

E

La relazione risultante stabilisce la relazione tra la superficie del serbatoio S (funzione) e il lato della base a (argomento). Studiamo la funzione S per un estremo. Trova la derivata prima, equiparala a zero e risolvi l'equazione risultante:

Quindi a = 6. (a) > 0 per a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Esempio. Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione nel mezzo.

Soluzione: La funzione specificata è continua sull'intero asse numerico. Derivata di funzioni

Derivato a e a . Calcoliamo i valori della funzione in questi punti:

.

I valori della funzione alle estremità dell'intervallo dato sono uguali a . Pertanto, il valore più grande della funzione è a , il valore più piccolo della funzione è a .

Domande per l'autoesame

1. Formulare la regola de L'Hopital per la rivelazione delle incertezze della forma. Elenca i diversi tipi di incertezza per i quali può essere utilizzata la regola di L'Hospital.

2. Formulare segni di funzione crescente e decrescente.

3. Definire il massimo e il minimo di una funzione.

4. Formulare la condizione necessaria per l'esistenza di un estremo.

5. Quali valori dell'argomento (quali punti) sono chiamati critici? Come trovare questi punti?

6. Quali sono segni sufficienti dell'esistenza di un estremo di una funzione? Delineare uno schema per lo studio di una funzione per un estremo utilizzando la derivata prima.

7. Delineare lo schema per lo studio della funzione per un estremo utilizzando la derivata seconda.

8. Definire la convessità, la concavità di una curva.

9. Qual è il punto di flesso di un grafico di funzione? Specificare come trovare questi punti.

10. Formulare i segni necessari e sufficienti di convessità e concavità della curva su un dato segmento.

11. Definire l'asintoto della curva. Come trovare gli asintoti verticale, orizzontale e obliquo di un grafico di funzione?

12. Stato schema generale studio della funzione e costruzione del suo grafico.

13. Formulare una regola per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un dato intervallo.