Il punto estremo della funzione f x. Cosa sono gli estremi di una funzione: punti critici di massimo e minimo

Passando queste disuguaglianze al limite come Δ X→ 0 e tenendo conto che la derivata F "(X 0) esiste, e quindi il limite a sinistra non dipende da come Δ X→ 0, otteniamo: per Δ X → 0 – 0 F" (X 0) ≥ 0 e a Δ X → 0 + 0 F" (X 0) ≤ 0. Poiché F" (X 0) definisce un numero, allora queste due disuguaglianze sono compatibili solo se F" (X 0) = 0.

Il teorema dimostrato afferma che i punti di massimo e minimo possono essere solo tra quei valori dell'argomento per i quali la derivata si annulla.

Abbiamo considerato il caso in cui una funzione ha una derivata in tutti i punti di un certo segmento. Cosa succede quando la derivata non esiste? Considera esempi.

si =|X |.

La funzione non ha una derivata in un punto X=0 (a questo punto il grafico della funzione non ha una tangente definita), ma a questo punto la funzione ha un minimo, poiché si(0)=0, e per tutti X ≠ 0si > 0.

Pertanto, dagli esempi forniti e dal teorema formulato è chiaro che la funzione può avere un estremo solo in due casi: 1) nei punti in cui esiste la derivata ed è uguale a zero; 2) nel punto in cui la derivata non esiste.

Tuttavia, se ad un certo punto X 0 lo sappiamo f"(x 0 ) =0, allora non si può concludere da ciò che al punto X 0 la funzione ha un estremo.

Per esempio.

Ma punto X=0 non è un punto estremo, poiché a sinistra di questo punto i valori della funzione si trovano sotto l'asse Bue, e in alto a destra.

Vengono chiamati i valori di un argomento dal dominio di una funzione, per i quali la derivata della funzione svanisce o non esiste punti critici .

Da quanto precede risulta che i punti estremi di una funzione sono tra i punti critici e, tuttavia, non tutti i punti critici sono punti estremi. Pertanto, per trovare l'estremo della funzione, è necessario trovare tutti i punti critici della funzione, quindi esaminare ciascuno di questi punti separatamente per il massimo e il minimo. Per questo vale il seguente teorema.

Teorema 2. (Una condizione sufficiente per l'esistenza di un estremo.) Sia la funzione continua su un intervallo contenente il punto critico X 0 , ed è differenziabile in tutti i punti di questo intervallo (tranne, forse, il punto stesso X 0). Se, passando da sinistra a destra attraverso questo punto, la derivata cambia segno da più a meno, allora nel punto X = X 0 la funzione ha un massimo. Se, durante il passaggio X 0 da sinistra a destra, la derivata cambia segno da meno a più, quindi la funzione ha un minimo a questo punto.

Quindi, se

f"(x)>0 a X <X 0 e f"(x)< 0 a x > x 0, quindi X 0 - punto massimo;

Prova. Supponiamo prima che durante il passaggio X 0, la derivata cambia segno da più a meno, cioè per tutti X vicino al punto X 0 f "(x)> 0 per X< x 0 , f"(x)< 0 per x > x 0 . Applichiamo alla differenza il teorema di Lagrange f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), dove C giace tra X E X 0 .

Permettere X< x 0 . Poi C< x 0 e f "(c)> 0. Ecco perché f "(c)(x-x 0)< 0 e, quindi,

f(x) - f(x 0 )< 0, cioè f(x)< f(x 0 ).

Permettere x > x 0 . Poi c>x 0 e f"(c)< 0. Significa f "(c)(x-x 0)< 0. Ecco perché f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Quindi, per tutti i valori X abbastanza vicino a X 0 f(x) < f(x 0 ) . E questo significa che al punto X 0 la funzione ha un massimo.

Analogamente si dimostra la seconda parte del teorema del minimo.

Illustriamo il significato di questo teorema nella figura. Permettere f"(x 1 ) =0 e per qualsiasi X, abbastanza vicino a X 1 , le disuguaglianze

f"(x)< 0 a X< x 1 , f "(x)> 0 a x > x 1 .

Quindi a sinistra del punto X 1 la funzione è crescente e decrescente a destra, quindi, quando X = X 1 funzione va da crescente a decrescente, cioè ha un massimo.

Allo stesso modo, si possono considerare i punti X 2 e X 3 .

Schematicamente, tutto quanto sopra può essere rappresentato nell'immagine:

La regola per studiare la funzione y=f(x) per un estremo

Trova l'ambito di una funzione f(x).

Trova la derivata prima di una funzione f"(x) .

Determina i punti critici, per questo:

trovare le radici reali dell'equazione f"(x) =0;

trova tutti i valori X sotto cui la derivata f"(x) non esiste.

Determinare il segno della derivata a sinistra ea destra del punto critico. Poiché il segno della derivata rimane costante tra due punti critici, è sufficiente determinare il segno della derivata in qualsiasi punto a sinistra e in un punto a destra del punto critico.

Calcolare il valore della funzione nei punti estremi.

Prima di imparare a trovare gli estremi di una funzione, è necessario capire cos'è un estremo. La definizione più generale di un estremo è che è il valore più piccolo o più grande di una funzione utilizzata in matematica su un certo insieme di una linea numerica o di un grafico. Dove c'è il minimo appare l'estremo del minimo, e dove c'è il massimo appare l'estremo del massimo. Anche in una disciplina come l'analisi matematica si distinguono gli estremi locali di una funzione. Ora diamo un'occhiata a come trovare gli estremi.

Gli estremi in matematica sono tra le caratteristiche più importanti di una funzione, mostrano il suo valore più grande e più piccolo. Gli estremi si trovano principalmente nei punti critici delle funzioni trovate. Vale la pena notare che è nel punto estremo che la funzione cambia radicalmente direzione. Se calcoliamo la derivata del punto estremo, allora, secondo la definizione, deve essere uguale a zero o sarà completamente assente. Pertanto, per imparare a trovare l'estremo di una funzione, è necessario eseguire due attività sequenziali:

• trova la derivata per la funzione che deve essere determinata dal compito;
• trova le radici dell'equazione

La sequenza di trovare l'estremo

1. Annotare la funzione f(x) data. Trova la sua derivata del primo ordine f "(x). Equipara l'espressione risultante a zero.
2. Ora devi risolvere l'equazione che si è rivelata. Le soluzioni risultanti saranno le radici dell'equazione, così come i punti critici della funzione che si sta definendo.
3. Ora determiniamo quali punti critici (massimo o minimo) sono le radici trovate. Il passo successivo, dopo aver appreso come trovare i punti estremi di una funzione, è trovare la seconda derivata della funzione desiderata f "(x). Sarà necessario sostituire i valori dei punti critici trovati in una specifica disuguaglianza e poi calcola cosa succede.Se questo accade, che la derivata seconda risulta essere maggiore di zero nel punto critico, allora sarà il punto minimo, altrimenti sarà il punto massimo.
4. Resta da calcolare il valore della funzione iniziale nei punti massimo e minimo richiesti della funzione. Per fare ciò, sostituiamo i valori ottenuti nella funzione e calcoliamo. Tuttavia, va notato che se il punto critico risulta essere un massimo, allora l'estremo sarà massimo, e se è minimo, allora sarà minimo per analogia.

Algoritmo per trovare un estremo

Per riassumere le conoscenze acquisite, creiamo un breve algoritmo su come trovare i punti estremi.

1. Troviamo il dominio della funzione data ei suoi intervalli, che determinano esattamente su quali intervalli la funzione è continua.
2. Troviamo la derivata della funzione f "(x).
3. Calcoliamo i punti critici dell'equazione y = f (x).
4. Analizziamo i cambiamenti nella direzione della funzione f (x), così come il segno della derivata f "(x) dove i punti critici separano il dominio di definizione di questa funzione.
5. Ora determiniamo se ogni punto sul grafico è un massimo o un minimo.
6. Troviamo i valori della funzione in quei punti che sono estremi.
7. Fissiamo il risultato di questo studio: estremi e intervalli di monotonicità. È tutto. Ora abbiamo considerato come trovare un estremo su qualsiasi intervallo. Se hai bisogno di trovare un estremo su un certo intervallo di una funzione, allora questo viene fatto in modo simile, solo i confini dello studio in corso vengono necessariamente presi in considerazione.

Quindi, abbiamo considerato come trovare i punti estremi di una funzione. Con l'aiuto di semplici calcoli, oltre alla conoscenza della ricerca di derivati, puoi trovare qualsiasi estremo e calcolarlo, oltre a designarlo graficamente. Trovare gli estremi è una delle sezioni più importanti della matematica, sia a scuola che in un istituto di istruzione superiore, quindi, se impari a determinarli correttamente, l'apprendimento diventerà molto più facile e interessante.

Da questo articolo, il lettore apprenderà cos'è un valore estremo di valore funzionale, nonché le caratteristiche del suo utilizzo nella pratica. Lo studio di un tale concetto è estremamente importante per comprendere i fondamenti della matematica superiore. Questo argomento è fondamentale per uno studio più approfondito del corso.

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Cos'è un estremo?

Nel corso scolastico vengono fornite molte definizioni del concetto di "estremo". Questo articolo ha lo scopo di fornire la più profonda e chiara comprensione del termine a coloro che ignorano la questione. Quindi, il termine è inteso in che misura l'intervallo funzionale acquisisce un valore minimo o massimo su un particolare insieme.

L'estremo è sia il valore minimo della funzione che il massimo allo stesso tempo. C'è un punto minimo e un punto massimo, cioè i valori estremi dell'argomento sul grafico. Le principali scienze in cui viene utilizzato questo concetto:

• statistiche;
• controllo della macchina;
• econometria.

I punti estremi giocano un ruolo importante nel determinare la sequenza di una data funzione. Il sistema di coordinate sul grafico al suo meglio mostra il cambiamento nella posizione estrema a seconda del cambiamento nella funzionalità.

Estremi della funzione derivata

Esiste anche una cosa come un "derivato". È necessario determinare il punto estremo. È importante non confondere i punti minimo o massimo con i valori più grandi e più piccoli. Questi sono concetti diversi, anche se possono sembrare simili.

Il valore della funzione è il fattore principale nel determinare come trovare il punto massimo. La derivata non è formata dai valori, ma esclusivamente dalla sua posizione estrema in un ordine o nell'altro.

La derivata stessa è determinata in base ai dati dei punti estremi e non al valore più grande o più piccolo. Nelle scuole russe, il confine tra questi due concetti non è chiaramente tracciato, il che influisce sulla comprensione di questo argomento in generale.

Consideriamo ora una cosa come un "estremo acuto". Ad oggi esiste un valore minimo acuto e un valore massimo acuto. La definizione è data in accordo con la classificazione russa dei punti critici di una funzione. Il concetto di punto estremo è la base per trovare punti critici su un grafico.

Per definire tale concetto, viene utilizzato il teorema di Fermat. È il più importante nello studio dei punti estremi e dà un'idea chiara della loro esistenza in una forma o nell'altra. Per garantire l'estremo, è importante creare determinate condizioni per diminuire o aumentare sul grafico.

Per rispondere con precisione alla domanda "come trovare il punto massimo", è necessario seguire queste disposizioni:

1. Trovare l'esatta area di definizione sul grafico.
2. Cerca la derivata di una funzione e un punto estremo.
3. Risolvi le disuguaglianze standard per il dominio dell'argomento.
4. Saper dimostrare in quali funzioni un punto su un grafo è definito e continuo.

Attenzione! La ricerca di un punto critico di una funzione è possibile solo se esiste una derivata almeno del secondo ordine, che è assicurata da un'elevata proporzione della presenza di un punto di estremo.

Condizione necessaria per l'estremo della funzione

Affinché esista un estremo, è importante che vi siano sia punti di minimo che punti di massimo. Se questa regola viene osservata solo parzialmente, viene violata la condizione per l'esistenza di un estremo.

Ogni funzione in qualsiasi posizione deve essere differenziata per identificare i suoi nuovi significati. È importante capire che il caso in cui un punto svanisce non è il principio fondamentale per trovare un punto differenziabile.

Un estremo acuto, così come un minimo di funzione, è un aspetto estremamente importante della risoluzione di un problema matematico utilizzando valori estremi. Per comprendere meglio questa componente è importante fare riferimento ai valori tabulari per l'assegnazione del funzionale.

Il punto estremo di una funzione è il punto nel dominio della funzione in cui il valore della funzione assume un valore minimo o massimo. I valori della funzione in questi punti sono chiamati estremi (minimo e massimo) della funzione.

Definizione. Punto X1 portata della funzione F(X) è chiamato punto massimo della funzione , se il valore della funzione in questo punto è maggiore dei valori della funzione in punti abbastanza vicini ad essa, situati a destra e a sinistra di essa (ovvero la disuguaglianza F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 massimo.

Definizione. Punto X2 portata della funzione F(X) è chiamato punto di minimo della funzione, se il valore della funzione in questo punto è inferiore ai valori della funzione in punti abbastanza vicini ad essa, situati a destra e a sinistra di essa (ovvero la disuguaglianza F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). In questo caso si dice che la funzione ha al punto X2 minimo.

Diciamo il punto X1 - punto massimo della funzione F(X). Poi nell'intervallo fino a X1 funzione aumenta, quindi la derivata della funzione è maggiore di zero ( F "(X) > 0 ), e nell'intervallo successivo X1 la funzione è decrescente, quindi funzione derivata minore di zero ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Supponiamo anche che il punto X2 - punto di minimo della funzione F(X). Poi nell'intervallo fino a X2 la funzione è decrescente e la derivata della funzione è minore di zero ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 la funzione è crescente e la derivata della funzione è maggiore di zero ( F "(X) > 0). In questo caso anche al punto X2 la derivata della funzione è zero o non esiste.

Il teorema di Fermat (un criterio necessario per l'esistenza di un estremo di una funzione). Se punto X0 - punto estremo della funzione F(X), allora a questo punto la derivata della funzione è uguale a zero ( F "(X) = 0 ) o non esiste.

Definizione. Vengono chiamati i punti in cui la derivata di una funzione è uguale a zero o non esiste punti critici .

Esempio 1 Consideriamo una funzione.

Al punto X= 0 la derivata della funzione è uguale a zero, quindi il punto X= 0 è il punto critico. Tuttavia, come si può vedere sul grafico della funzione, aumenta nell'intero dominio di definizione, quindi il punto X= 0 non è un punto estremo di questa funzione.

Pertanto, le condizioni che la derivata di una funzione in un punto sia uguale a zero o non esista sono condizioni necessarie per un estremo, ma non sufficienti, poiché si possono dare altri esempi di funzioni per le quali queste condizioni sono soddisfatte, ma la funzione non ha un estremo nel punto corrispondente. Ecco perché deve avere indicazioni sufficienti, che consentono di giudicare se esiste un estremo in un particolare punto critico e quale - un massimo o un minimo.

Teorema (il primo criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo di una funzione). Punto critico X0 F(X) , se la derivata della funzione cambia segno passando per questo punto, e se il segno cambia da "più" a "meno", allora il punto massimo, e se da "meno" a "più", allora il punto minimo .

Se vicino al punto X0 , a sinistra ea destra di essa, la derivata mantiene il suo segno, ciò significa che la funzione o diminuisce o aumenta solo in qualche intorno del punto X0 . In questo caso, al punto X0 non c'è l'estremo.

COSÌ, per determinare i punti estremi della funzione, devi fare quanto segue :

1. Trova la derivata di una funzione.
2. Uguagliare la derivata a zero e determinare i punti critici.
3. Mentalmente o su carta, segna i punti critici sull'asse numerico e determina i segni della derivata della funzione negli intervalli risultanti. Se il segno della derivata cambia da "più" a "meno", allora il punto critico è il punto massimo, e se da "meno" a "più", allora il punto critico è il punto minimo.
4. Calcolare il valore della funzione nei punti estremi.

Esempio 2 Trova gli estremi di una funzione .

Soluzione. Troviamo la derivata della funzione:

Uguagliare la derivata a zero per trovare i punti critici:

.

Poiché per qualsiasi valore di "x" il denominatore non è uguale a zero, equipariamo il numeratore a zero:

Ho un punto critico X= 3. Determiniamo il segno della derivata negli intervalli delimitati da questo punto:

nell'intervallo da meno infinito a 3 - segno meno, ovvero la funzione diminuisce,

nell'intervallo da 3 a più infinito - un segno più, cioè la funzione aumenta.

Cioè punto X= 3 è il punto minimo.

Trova il valore della funzione nel punto di minimo:

Quindi, si trova il punto estremo della funzione: (3; 0) , ed è il punto minimo.

Teorema (il secondo criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo di una funzione). Punto critico X0 è il punto estremo della funzione F(X), se la derivata seconda della funzione a questo punto non è uguale a zero ( F ""(X) ≠ 0 ), inoltre, se la derivata seconda è maggiore di zero ( F ""(X) > 0 ), allora il punto di massimo, e se la derivata seconda è minore di zero ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Osservazione 1. Se in un punto X0 svaniscono sia la derivata prima che la derivata seconda, quindi a questo punto è impossibile giudicare la presenza di un estremo in base al secondo segno sufficiente. In questo caso, è necessario utilizzare il primo criterio sufficiente per l'estremo della funzione.

Osservazione 2. Il secondo criterio sufficiente per l'estremo di una funzione è inapplicabile anche quando la derivata prima non esiste nel punto stazionario (quindi non esiste nemmeno la derivata seconda). Anche in questo caso è necessario utilizzare il primo criterio sufficiente per l'estremo della funzione.

Località degli estremi della funzione

Dalle definizioni di cui sopra segue che l'estremo di una funzione è di natura locale - questo è il valore più grande e più piccolo della funzione rispetto ai valori più vicini.

Supponiamo di considerare i tuoi guadagni in un arco di tempo di un anno. Se a maggio hai guadagnato 45.000 rubli, ad aprile 42.000 rubli ea giugno 39.000 rubli, i guadagni di maggio sono il massimo della funzione dei guadagni rispetto ai valori più vicini. Ma in ottobre hai guadagnato 71.000 rubli, in settembre 75.000 rubli e in novembre 74.000 rubli, quindi i guadagni di ottobre sono il minimo della funzione dei guadagni rispetto ai valori vicini. E si vede facilmente che il massimo tra i valori di aprile-maggio-giugno è inferiore al minimo di settembre-ottobre-novembre.

In generale, una funzione può avere diversi estremi su un intervallo e può risultare che qualsiasi minimo della funzione sia maggiore di qualsiasi massimo. Quindi, per la funzione mostrata nella figura sopra, .

Cioè, non si dovrebbe pensare che il massimo e il minimo della funzione siano, rispettivamente, i suoi valori massimo e minimo sull'intero segmento considerato. Nel punto di massimo, la funzione ha il valore massimo solo rispetto a quei valori che ha in tutti i punti sufficientemente vicini al punto massimo, e nel punto minimo, il valore più piccolo solo rispetto a quei valori che abbia in tutti i punti sufficientemente vicino al punto di minimo.

Pertanto, possiamo affinare il concetto di punti estremi di una funzione data sopra e chiamare i punti di minimo punti di minimo locale e i punti di massimo - punti di massimo locale.

Cerchiamo insieme gli estremi della funzione

Esempio 3

Soluzione La funzione è definita e continua su tutta la retta numerica. Il suo derivato esiste anche sull'intera linea dei numeri. Pertanto, dentro questo caso solo quelli in cui, cioè, , donde e . Punti critici e dividono l'intero dominio della funzione in tre intervalli di monotonicità: . Selezioniamo un punto di controllo in ciascuno di essi e troviamo il segno della derivata in questo punto.

Per l'intervallo, il punto di riferimento può essere: troviamo . Prendendo un punto nell'intervallo, otteniamo , e prendendo un punto nell'intervallo, abbiamo . Quindi, negli intervalli e , e nell'intervallo . Secondo il primo segno sufficiente di un estremo, non c'è estremo nel punto (poiché la derivata mantiene il segno nell'intervallo ), e la funzione ha un minimo nel punto (poiché la derivata cambia segno da meno a più quando passa attraverso questo punto). Trova i valori corrispondenti della funzione: , e . Nell'intervallo, la funzione diminuisce, poiché in questo intervallo , e nell'intervallo aumenta, poiché in questo intervallo.

Per chiarire la costruzione del grafico, troviamo i punti di intersezione di esso con gli assi delle coordinate. Quando otteniamo un'equazione le cui radici e , cioè due punti (0; 0) e (4; 0) del grafico della funzione si trovano. Utilizzando tutte le informazioni ricevute, costruiamo un grafico (vedi all'inizio dell'esempio).

Esempio 4 Trova gli estremi della funzione e costruisci il suo grafico.

Il dominio della funzione è l'intera linea numerica, ad eccezione del punto, cioè .

Per abbreviare lo studio, possiamo usare il fatto che questa funzione è pari, poiché . Pertanto, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse Ehi e lo studio può essere eseguito solo per l'intervallo .

Trovare la derivata e punti critici della funzione:

1) ;

2) ,

ma la funzione subisce un'interruzione a questo punto, quindi non può essere un punto estremo.

Pertanto, la funzione data ha due punti critici: e . Tenendo conto della parità della funzione, controlliamo solo il punto con il secondo segno sufficiente dell'estremo. Per fare questo, troviamo la derivata seconda e determinarne il segno in : otteniamo . Poiché e , allora è il punto di minimo della funzione, mentre .

Per avere un quadro più completo del grafico della funzione, scopriamo il suo comportamento ai limiti del dominio di definizione:

(qui il simbolo indica il desiderio X a zero a destra, e X rimane positivo; allo stesso modo significa aspirazione X a zero a sinistra, e X rimane negativo). Quindi, se , allora . Successivamente, troviamo

,

quelli. se poi .

Il grafico della funzione non ha punti di intersezione con gli assi. L'immagine è all'inizio dell'esempio.

Continuiamo a cercare insieme gli estremi della funzione

Esempio 8 Trova gli estremi della funzione .

Soluzione. Trova il dominio della funzione. Poiché la disuguaglianza deve valere, otteniamo da .

Troviamo la derivata prima della funzione:

Troviamo i punti critici della funzione.