덧셈과 곱셈의 속성. 정수의 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈의 속성

이 조치에 내재된 여러 가지 결과를 확인할 수 있습니다. 이러한 결과를 자연수의 덧셈의 성질. 이 기사에서는 자연수 추가의 속성을 자세히 분석하고 문자를 사용하여 작성하고 설명 예를 제공합니다.

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자연수의 덧셈의 결합 성질.

이제 자연수를 더하는 결합 속성을 보여주는 예를 들어 보겠습니다.

상황을 상상해 봅시다. 첫 번째 사과나무에서 사과 1개가 떨어졌고, 두 번째 사과나무에서 사과 2개와 사과 4개가 더 떨어졌습니다. 이제 다음 상황을 생각해 보십시오. 첫 번째 사과나무에서는 사과 1개와 사과 2개가 더 떨어졌고, 두 번째 사과나무에서는 사과 4개가 떨어졌습니다. 첫 번째와 두 번째 경우 모두 땅에 동일한 수의 사과가 있을 것이 분명합니다(재계산을 통해 확인할 수 있음). 즉, 숫자 2와 숫자 4의 합에 숫자 1을 더한 결과는 숫자 1과 숫자 2의 합에 숫자 4를 더한 결과와 같습니다.

고려된 예를 통해 자연수를 더하는 결합 속성을 공식화할 수 있습니다. 두 숫자의 주어진 합을 주어진 숫자에 더하기 위해 주어진 합의 첫 번째 항을 이 숫자에 더하고 두 번째 항을 더할 수 있습니다. 결과 결과에 합계를 제공합니다. 이 속성은 다음과 같이 문자를 사용하여 작성할 수 있습니다. a+(b+c)=(a+b)+c, 여기서 a, b 및 c는 임의의 자연수입니다.

a+(b+c)=(a+b)+c 등식에는 괄호 "(" 및 ")"가 포함되어 있습니다. 괄호는 작업이 수행되는 순서를 나타내기 위해 표현식에 사용됩니다. 괄호 안의 작업이 먼저 수행됩니다(자세한 내용은 해당 섹션에 설명되어 있습니다). 즉, 값이 먼저 평가되는 표현식은 괄호로 묶입니다.

이 단락의 결론에서 우리는 덧셈의 결합 속성을 통해 3개, 4개 또는 그 이상의 자연수의 덧셈을 고유하게 결정할 수 있다는 점에 주목합니다.

0과 자연수를 더하는 성질, 0과 0을 더하는 성질.

우리는 0이 자연수가 아니라는 것을 알고 있습니다. 그렇다면 우리는 왜 이 글에서 0과 자연수를 더하는 성질을 살펴보기로 결정했을까요? 여기에는 세 가지 이유가 있습니다. 첫째: 이 속성은 열에 자연수를 추가할 때 사용됩니다. 둘째: 이 속성은 자연수를 뺄 때 사용됩니다. 셋째, 0이 무언가가 없다는 것을 의미한다고 가정하면 0과 자연수를 더하는 의미는 두 자연수를 더하는 의미와 일치합니다.

0과 자연수를 더하는 속성을 공식화하는 데 도움이 되는 몇 가지 추론을 수행해 보겠습니다. 상자 안에 물건이 없고(즉, 상자 안에 물건이 0개 있음) 그 안에 물건이 놓여 있다고 가정해 봅시다. 여기서 a는 임의의 자연수입니다. 즉, 0과 객체를 추가했습니다. 이 작업 후에는 상자에 물건이 있다는 것이 분명합니다. 따라서 0+a=a 등식은 참입니다.

마찬가지로, 상자에 항목이 포함되어 있고 상자에 항목이 0개 추가된 경우(즉, 항목이 추가되지 않은 경우) 이 작업 후에는 상자에 항목이 있게 됩니다. 따라서 a+0=a 입니다.

이제 우리는 0과 자연수를 더하는 속성의 공식화를 제공할 수 있습니다. 두 숫자 중 하나가 0인 숫자의 합은 두 번째 숫자와 같습니다.. 수학적으로 이 속성은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 0+아=아또는 a+0=a, 여기서 a는 임의의 자연수입니다.

이와 별도로, 자연수와 0을 더할 때 덧셈의 교환 속성은 그대로 유지된다는 사실, 즉 a+0=0+a에 주목합시다.

마지막으로, 0에 0을 더하는 속성을 공식화해 보겠습니다(매우 명확하며 추가 설명이 필요하지 않습니다). 각각 0인 두 숫자의 합은 0과 같습니다.. 그건, 0+0=0 .

이제 자연수를 더하는 방법을 알아낼 차례입니다.

서지.

• 수학. 일반교육기관 1, 2, 3, 4학년의 모든 교과서.
• 수학. 일반교육기관 5학년 교과서.

한 숫자를 다른 숫자에 추가하는 것은 매우 간단합니다. 4+3=7의 예를 살펴보겠습니다. 이 표현은 4개 단위에 3개 단위를 더해 7개 단위가 되었다는 뜻입니다.
우리가 추가한 숫자 3과 4를 자귀. 그리고 숫자 7을 더한 결과는 다음과 같습니다. 양.

합집합숫자의 추가입니다. 더하기 기호 "+".
리터럴 형식으로 이 예는 다음과 같습니다.

에이+비=씨

추가 구성 요소:
ㅏ- 용어, 비- 용어, 씨- 합계.
4개 단위를 3개 단위에 더하면 덧셈 결과는 7이 됩니다.

이 예에서 우리는 용어를 어떻게 바꾸더라도 대답은 동일하다는 결론을 내립니다.

이 용어의 속성을 다음과 같이 부릅니다. 덧셈의 ​​교환법칙.

덧셈의 ​​교환법칙.

용어의 위치를 ​​변경해도 합계는 변경되지 않습니다.

문자 그대로 표기하면 교환법칙은 다음과 같습니다.

에이+비=b+ㅏ

예를 들어 세 가지 항을 고려하면 숫자 1, 2, 4를 사용합니다. 그리고 이 순서대로 덧셈을 수행하고 먼저 1 + 2를 더한 다음 결과 합계 4에 더하면 다음과 같은 표현식을 얻습니다.

(1+2)+4=7

반대의 경우도 있습니다. 먼저 2+4를 더한 다음 결과 합계에 1을 더하면 다음과 같습니다.

1+(2+4)=7

대답은 동일하게 유지됩니다. 동일한 예에 대한 두 유형의 추가에는 동일한 답이 있습니다. 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다.

(1+2)+4=1+(2+4)

이 추가 속성을 덧셈의 ​​결합법칙.

덧셈의 ​​교환 및 결합 법칙은 음수가 아닌 모든 숫자에 적용됩니다.

덧셈의 ​​결합 법칙.

두 숫자의 합에 세 번째 숫자를 더하려면 두 번째 숫자와 세 번째 숫자의 합을 첫 번째 숫자에 더하면 됩니다.

(에이+b)+c=에이+(b+씨)

조합 법칙은 여러 용어에 적용됩니다. 우리는 편리한 순서로 숫자를 더해야 할 때 이 법칙을 사용합니다. 예를 들어 12, 6, 8, 4 세 개의 숫자를 더해 보겠습니다. 먼저 12와 8을 더한 다음 두 숫자 6과 4의 합을 결과 합계에 더하는 것이 더 편리합니다.
(12+8)+(6+4)=30

0이 있는 덧셈의 성질.

0이 있는 숫자를 더하면 결과 합계는 같은 숫자가 됩니다.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

리터럴 표현식에서 0을 추가하면 다음과 같습니다.

a+0=ㅏ
0+ 에이=ㅏ

자연수의 덧셈에 관한 질문:
덧셈표를 만들고 교환법칙의 성질이 어떻게 작용하는지 살펴볼까요?
1부터 10까지의 덧셈표는 다음과 같습니다:

덧셈표의 두 번째 버전.

덧셈표를 보면 교환법칙이 어떻게 작동하는지 알 수 있습니다.

a+b=c라는 표현에서 합은 어떻게 될까요?
답: 합계는 항을 더한 결과입니다. a+b 및 c.

a+b=c 항이라는 표현에서 무엇이 나올까요?
답: a와 b. 가수는 우리가 함께 더하는 숫자입니다.

숫자에 0을 더하면 어떻게 될까요?
답변: 아무것도 없습니다. 번호는 변경되지 않습니다. 0을 더하면 숫자는 동일하게 유지됩니다. 0은 1이 없기 때문입니다.

덧셈의 ​​결합 법칙이 적용될 수 있으려면 예시에 몇 개의 항이 있어야 합니까?
답변: 세 개 이상의 용어로 구성됩니다.

교환법칙을 문자 그대로 적어볼까요?
답: a+b=b+a

작업의 예.
예시 #1:
주어진 표현에 대한 답을 적어보세요: a) 15+7 b) 7+15
답 : a) 22 b) 22

예시 #2:
1+3+5+2+9 항에 조합법칙을 적용합니다.
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
답: 20.

예시 #3:
다음 표현식을 푼다:
가) 5921+0 나) 0+5921
해결책:
가) 5921+0 =5921
나) 0+5921=5921

우리는 정수의 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈을 정의했습니다. 이러한 작업(작업)에는 속성이라고 하는 여러 가지 특징적인 결과가 있습니다. 이 기사에서는 이러한 작업의 다른 모든 속성이 따르는 정수 덧셈과 곱셈의 기본 속성과 정수 뺄셈 및 나눗셈의 속성을 살펴보겠습니다.

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정수의 추가에는 몇 가지 다른 매우 중요한 속성이 있습니다.

그 중 하나는 0의 존재와 관련이 있습니다. 이 정수 덧셈의 속성은 다음과 같습니다. 정수에 0을 추가해도 해당 숫자는 변경되지 않습니다.. 문자를 사용하여 이 덧셈 속성을 작성해 보겠습니다. a+0=a 및 0+a=a(이 평등은 덧셈의 교환 속성으로 인해 참입니다), a는 임의의 정수입니다. 또한 정수 0을 중립 요소라고 들을 수도 있습니다. 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. 정수 -78과 0의 합은 -78입니다. 양의 정수 999를 0에 더하면 결과는 999입니다.

이제 우리는 정수에 대한 반대 숫자의 존재와 관련된 정수 덧셈의 또 다른 속성에 대한 공식화를 제공할 것입니다. 정수와 반대 숫자의 합은 0입니다. 이 속성을 문자 그대로 작성해 보겠습니다. a+(−a)=0, 여기서 a와 −a는 반대 정수입니다. 예를 들어, 합 901+(−901)은 0입니다. 마찬가지로, 반대 정수 -97과 97의 합은 0입니다.

정수 곱셈의 기본 속성

정수의 곱셈은 자연수의 곱셈의 모든 속성을 갖습니다. 이러한 속성의 주요 내용을 나열하겠습니다.

0이 덧셈에 있어서 중립 정수인 것처럼, 1도 정수 곱셈에 있어서 중립 정수입니다. 그건, 정수에 1을 곱해도 곱해지는 숫자는 변경되지 않습니다.. 따라서 1·a=a, 여기서 a는 임의의 정수입니다. 마지막 등식은 a·1=a로 다시 쓸 수 있으며, 이를 통해 곱셈의 교환 속성을 만들 수 있습니다. 두 가지 예를 들어 보겠습니다. 정수 556과 1의 곱은 556입니다. 1과 음의 정수 −78의 곱은 −78과 같습니다.

정수 곱셈의 다음 속성은 0을 곱하는 것과 관련이 있습니다. 임의의 정수 a에 0을 곱한 결과는 0입니다.즉, a ·0=0 입니다. 정수 곱셈의 교환 특성으로 인해 0·a=0 등식도 참입니다. a=0인 특별한 경우에는 0과 0의 곱은 0과 같습니다.

정수 곱셈의 경우 이전 속성의 반대 속성도 마찬가지입니다. 그것은 다음과 같이 주장한다 인수 중 하나 이상이 0인 경우 두 정수의 곱은 0과 같습니다.. 리터럴 형식에서 이 속성은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. a=0이거나 b=0이거나 a와 b가 동시에 0인 경우 a·b=0입니다.

덧셈에 대한 정수 곱셈의 분포 특성

정수의 결합 덧셈과 곱셈을 통해 표시된 두 동작을 연결하는 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성을 고려할 수 있습니다. 덧셈과 곱셈을 함께 사용하면 곱셈과 별도로 덧셈을 고려하면 놓칠 수 있는 추가 가능성이 열립니다.

따라서 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성은 정수 a와 두 정수 a와 b의 합이 a b와 a c의 곱의 합과 같다고 말합니다. 즉, a·(b+c)=a·b+a·c. 동일한 속성을 다른 형식으로 작성할 수 있습니다. (a+b)c=ac+bc .

덧셈에 대한 정수 곱셈의 분배 속성은 덧셈의 결합 속성과 함께 정수에 세 개 이상의 정수의 합을 곱한 다음 정수의 합에 합을 곱하는 것을 결정할 수 있게 해줍니다.

또한 정수의 덧셈과 곱셈의 다른 모든 속성은 우리가 지정한 속성에서 얻을 수 있습니다. 즉, 위에 표시된 속성의 결과입니다.

정수 빼기의 속성

결과 평등과 정수의 덧셈 및 곱셈 속성에서 다음과 같은 정수 뺄셈 속성이 따릅니다(a, b 및 c는 임의의 정수입니다).

• 일반적으로 정수의 뺄셈에는 교환 속성(a−b≠b−a)이 없습니다.
• 동일한 정수의 차이는 0입니다: a−a=0.
• 주어진 정수에서 두 정수의 합을 빼는 속성: a−(b+c)=(a−b)−c .
• 두 정수의 합에서 정수를 빼는 속성: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• 뺄셈에 대한 곱셈의 분포 속성: a·(b−c)=a·b−a·c 및 (a−b)·c=a·c−b·c.
• 그리고 정수 빼기의 다른 모든 속성.

정수 나눗셈의 속성

정수 나누기의 의미를 논의하면서 우리는 정수 나누기가 곱셈의 역작용이라는 것을 알게 되었습니다. 우리는 다음과 같은 정의를 내렸습니다. 정수를 나누는 것은 알려진 곱과 알려진 요소에서 알려지지 않은 요소를 찾는 것입니다. 즉, 곱 c·b가 a와 같을 때 정수 a를 정수 b로 나눈 몫을 정수 c라고 부릅니다.

이 정의와 위에서 논의된 정수에 대한 연산의 모든 속성을 통해 정수 나누기의 다음 속성에 대한 타당성을 확립할 수 있습니다.

• 어떤 정수도 0으로 나눌 수 없습니다.
• 0이 아닌 임의의 정수 a로 0을 나누는 성질: 0:a=0.
• 동일한 정수를 나누는 속성: a:a=1, 여기서 a는 0이 아닌 정수입니다.
• 임의의 정수 a를 1로 나누는 속성: a:1=a.
• 일반적으로 정수의 나눗셈에는 교환 속성( a:b≠b:a )이 없습니다.
• 두 정수의 합과 차이를 정수로 나누는 속성: (a+b):c=a:c+b:c 및 (a−b):c=a:c−b:c, 여기서 a, b , c는 a와 b가 모두 c로 나누어지고 c가 0이 아닌 정수입니다.
• 두 정수 a와 b의 곱을 0이 아닌 정수 c로 나누는 성질: (a·b):c=(a:c)·b, a가 c로 나누어지면; (a·b):c=a·(b:c) , b가 c로 나누어지면; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , a와 b가 모두 c로 나누어지는 경우.
• 정수 a를 두 정수 b와 c의 곱으로 나누는 특성(숫자 a , b 및 c는 a를 b c로 나누는 것이 가능함): a:(bc)=(a:b)c=(a :c)·b .
• 정수 나누기의 다른 속성입니다.