점근적으로 최적입니다. 특성화에 기반한 대칭 및 일치 기준의 점근적 특성 조건부 수학적 기대

연구 대상 및 주제의 관련성. 이산 시퀀스의 통계적 분석 이론에서는 복잡한 귀무 가설을 테스트하기 위한 적합도 테스트가 특별한 위치를 차지합니다. 즉, 다음과 같은 무작위 시퀀스에 대한 것입니다.

Xi e hi,i = 1, ,n, 여기서 hi = (0,1,.,M), 모든 i = 1,.,n에 대해, 그리고 모든 k에 대해 £ 1m 사건 확률

Xi = k)는 r에 의존하지 않습니다. 이는 어떤 의미에서는 시퀀스가 ​​고정되어 있음을 의미합니다.

여러 응용 문제에서 n - 1 > 0개의 k, k € 1m - 색상 공이 들어 있는 항아리에서 소진될 때까지 돌아오지 않고 선택할 때 시퀀스 (Xr-)™ = 1은 공의 색상 시퀀스로 간주됩니다. 우리는 그러한 선택의 집합을 O(n0 - 1, .,pm - 1)로 표시할 것입니다. 항아리 안에 총 n - 1개의 공이 있다고 가정합니다. m k=0

r(k) (fc) Jk) rw - Г로 표시하겠습니다! , . . . , 색상 A의 일련의 공; 샘플에서. k)의 순서를 고려하십시오.

KK-P-GPk1.

시퀀스 h^는 인접한 k 색상 공 위치 사이의 거리를 사용하여 다음과 같이 정의됩니다.

Pk Kf = 1>=1

모든 k ￡1m에 대한 시퀀스 h(fc) 집합은 서로 다른 k에 대한 시퀀스 hk를 고유하게 결정합니다. 특히 이들 중 하나는 다른 모든 항목에 의해 고유하게 결정됩니다. 1m 세트의 카디널리티가 2인 경우 공의 색상 순서는 동일한 고정 색상의 인접한 공 위치 사이의 거리 순서에 따라 고유하게 결정됩니다. 서로 다른 두 가지 색상의 공 n - 1개가 들어 있는 항아리에 N - 1개의 색상 0 공이 있다고 가정하면 집합 ffl(N- l,n - N)과 집합 9 사이에 일대일 대응을 설정할 수 있습니다. \n,N 벡터 h(n, N ) = (hi,., hjf)는 K = P(0.1)가 되는 양의 정수 구성요소를 갖습니다.

9РП)дг 집합은 양의 정수 n을 N개의 순서 항으로 나눈 모든 다른 분할 집합에 해당합니다.

벡터 집합 £Hn,dr에 대한 특정 확률 분포를 지정하면 집합 Wl(N - 1,n - N)에 대한 해당 확률 분포를 얻습니다. 집합은 (0.1)을 만족하는 음수가 아닌 정수 구성요소를 갖는 벡터 집합의 부분 집합입니다. 형태의 분포는 논문 작업의 벡터 집합에 대한 확률 분포로 간주됩니다.

P(%,N) = (n,.,rN)) = P(￡ = ru,v = l,.,N\jr^ = n), (0.2) 여기서. ,£dr - 음이 아닌 독립적인 정수 확률 변수입니다.

/24/에서 (0.2) 형태의 분포를 N개의 세포에 n개의 입자를 배치하기 위한 일반화된 방식이라고 합니다. 특히, 확률변수 £b인 경우. (0.2)의 ,£лг는 각각 매개변수 Ai,., Лдг를 사용하여 포아송의 법칙에 따라 분포되며, 벡터 h(n,N)은 결과 확률을 갖는 다항식 분포를 갖습니다.

리 = . , L" ,V = \,.,N.

엘\ + . . . + 안

(0-2)의 확률변수 £ь >&v가 기하학적 법칙에 따라 동일하게 분포되고 p는 구간 0에서 임의의 것입니다.< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.

/14/, /38/에서 언급한 바와 같이, N개의 세포에 n개의 입자를 배치하기 위한 일반화된 체계에서 주파수 벡터 h(n, N) = (hi,., /gdr)의 분포에 대한 가설을 테스트하는 데 특별한 장소가 사용됩니다. 1m(N -l,n-N) 형식의 통계를 기반으로 한 기준에 따라\ N

LN(h(n,N))=Zfv(hv)

Фн = Ф(-Т7, flQ Hi II-

0.4) 여기서 fu, v = 1,2,. 및 ψ - 일부 실수 함수, N

Mr = E = r), r = 0.1,. 1/=1

/27/의 양은 정확히 g개의 입자를 포함하는 세포의 수라고 불렸습니다.

/30/에 있는 (0.3) 형식의 통계를 분리 가능한(추가로 분리 가능한) 통계라고 합니다. (0.3)의 / 함수가 u에 의존하지 않는 경우 해당 통계는 /31/ 대칭 분리 가능 통계에서 호출되었습니다.

임의의 r에 대해 통계 /xr은 대칭 분리 가능 통계입니다. 평등에서

E DM = E DFg (0.5) hv의 대칭 분리 가능 통계 클래스는 fir의 선형 함수 클래스와 일치합니다. 또한 (0.4) 형식의 함수 클래스는 대칭 분리 가능 통계 클래스보다 더 넓습니다.

그러나 = (#o(n, N))은 벡터 h(n, N)의 분포가 (0.2)라는 간단한 귀무 가설의 시퀀스입니다. 여기서 확률 변수는 입니다. (0.2)에서 동일하게 분포되고 k) = pk,k = 0,1,2,., 매개변수 n, N은 중앙 영역에서 변경됩니다.

일부 P £(0,1)과 일반적으로 말하면 일련의 복잡한 대안을 고려하십시오.

H = (H(n, N)) 존재하는 것과 같은 - 임의의 단순 가설 H\ € H(n, N)에 대해 부등식이 성립하는 최대 수

РШ > an,N(P)) > Р

fm > asm((3))이면 가설 Hq(ti,N)을 기각합니다. 한계가 있는 경우

Шп ~1пР(0н > an,N(P))=u(p,Н), 여기서 각 N에 대한 확률은 가설 Нк(п, N)에 따라 계산되고 값 ^(/З, Н)은 다음과 같습니다. 지점 (j3, H)에서 기준 ψ의 /38/ 인덱스에 명명되었습니다. 일반적으로 마지막 한계는 존재하지 않을 수 있습니다. 따라서 논문작업에서는 기준지수 외에 그 값도 고려하게 된다.

Ish (~1pP(fm > al(/?)))

JV->oo N-ooo는 각각 N -> oo에 대한 시퀀스(odg)의 하한과 상한을 의미합니다.

기준 색인이 존재하는 경우 기준의 아래 첨자는 그것과 일치합니다. 기준의 하위 인덱스는 항상 존재합니다. 이러한 의미에서 기준 지수(기준의 첨자)의 값이 높을수록 통계적 기준이 더 좋습니다. /38/에서는 /MO Ml Mt MS iV" iV에서 가설 Ho(n,N)을 기각하는 기준 클래스에서 기준 지수의 가장 높은 값을 갖는 일반화된 레이아웃에 대한 적합도 기준을 구축하는 문제 """"" ~yv" "가 해결되었습니다. ^ "여기서 m > 0은 고정된 숫자이고, 상수 edg의 시퀀스는 대안 시퀀스에 대한 기준의 거듭제곱의 주어진 값을 기반으로 선택되며, ft는 실수입니다. m + 1개의 인수로 구성된 함수입니다.

기준 지수는 큰 편차의 확률에 따라 결정됩니다. /38/에 나타난 바와 같이, 무작위 변수 /(ξ)에 대해 Cramer 조건이 만족될 때 분리 가능한 통계의 큰 편차 확률의 대략적인(대수 등가성까지) 점근치는 해당 Kull-Bak-Leibler에 의해 결정됩니다. -Sanov 정보 거리(임의 변수 rj는 Cramer 조건을 충족하며, 일부 R > 0에 대해 모멘트 Metr의 생성 함수]는 \t\ 구간에서 유한합니다.< Н /28/).

Cramer 조건을 충족하지 않는 임의의 분리 가능한 통계뿐만 아니라 무제한의 전나무로부터 통계의 큰 편차가 발생할 확률에 대한 문제는 여전히 열려 있습니다. 이는 우리가 기준 클래스에서 접근하지 않는 대안을 사용하여 첫 번째 종류의 오류 확률이 0이 되는 경향이 가장 높은 일반화된 배치 계획에서 가설을 테스트하기 위한 기준을 구성하는 문제를 최종적으로 해결하는 것을 허용하지 않았습니다. (0.4) 형식의 통계입니다. 논문 연구의 관련성은 지정된 문제에 대한 솔루션을 완성해야 할 필요성에 따라 결정됩니다.

논문 작업의 목적은 가설 U(n)을 기각하는 기준 클래스에서 반환 없이 선택 체계에서 가설을 테스트하기 위한 기준 지수(기준의 첨자)의 가장 높은 값으로 적합도 기준을 구성하는 것입니다. , N) $.<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.

본 연구의 목적에 따라 다음과 같은 과제를 설정하였다.

셀 수 있는 수의 결과가 있는 이산 분포에 대한 엔트로피 및 정보 거리 Kull-Bak - Leibler - Sanov의 속성을 조사합니다.

(0.4) 형식의 통계에서 큰 편차가 발생할 확률을 조사합니다.

Cramer 조건을 충족하지 않는 대칭 분리 가능 통계(0.3)의 큰 편차 확률을 조사합니다.

일반화된 배치 계획에서 가설을 테스트하기 위해 구성된 적합도 기준이 양식 기준 클래스에서 가장 높은 지수 값(0.7)을 갖는 통계를 찾습니다.

과학적 참신함:

과학적이고 실용적인 가치. 이 작업은 일반화된 배치 계획에서 큰 편차가 발생할 확률의 동작에 대한 여러 가지 질문을 해결합니다. 얻은 결과는 수리 통계 및 정보 이론 전문 분야의 교육 과정, 이산 시퀀스 분석을 위한 통계 절차 연구에 사용될 수 있으며 /3/, /21/에서 사용되어 하나의 보안을 정당화했습니다. 정보 시스템 클래스. 방어 조항:

공 색상의 단일 순서를 기반으로 테스트 문제를 줄이면, 이 순서는 두 가지 색상의 공이 들어 있는 항아리에서 공이 다 떨어질 때까지 돌아오지 않은 선택의 결과로 얻어지며, 그러한 선택은 각각 다음을 갖는다는 가설입니다. 해당 일반화된 레이아웃에서 가설을 테스트하기 위한 적합도 기준의 구성과 동일한 확률;

엔트로피의 연속성과 Kullback-Leibler-Sanov 정보 거리 함수는 도입된 대수 일반화 메트릭을 사용하여 무한 차원 단순체에서 함수합니다.

반지수의 경우 일반화된 배치 방식에서 Cramer 조건을 충족하지 않는 대칭 분리 가능 통계의 큰 편차 확률에 대한 대략적인(로그 등가성까지) 점근법에 대한 정리.

대략적인 (대수 동등성까지) 형식의 통계에 대한 큰 편차 확률의 점근법 (0.4)에 대한 정리;

양식 기준 클래스(0.7)에서 가장 높은 지수 값을 사용하여 일반화된 레이아웃에서 가설을 테스트하기 위한 적합도 기준 구축.

작업 승인. 결과는 이름을 딴 수학연구소의 이산수학과 세미나에서 발표되었습니다. V. A. Steklov RAS, ITM&VT의 정보 보안 부서. S. A. Lebedev RAS 및 주소:

응용 및 산업 수학에 관한 제5차 전러시아 심포지엄. 봄 세션, Kislovodsk, 2004년 5월 2일 - 8일;

제6회 국제 페트로자보츠크 회의 "이산 수학의 확률론적 방법" 2004년 6월 10일 - 16일;

제2차 국제 회의 "정보 시스템 및 기술(IST" 2004)", 민스크, 2004년 11월 8-10일;

국제 회의 "확률 이론의 현대 문제와 새로운 추세", 체르니우치, 우크라이나, 2005년 6월 19일~26일.

작업의 주요 결과는 ITMiVT RAS가 수행한 연구 작업 "사과"에 사용되었습니다. S. A. Lebedev는 러시아 연방 기술 및 수출 통제를 위한 연방 서비스의 이익을 위해 연구 단계 구현에 관한 보고서에 포함되었습니다. /21/. 논문의 일부 결과는 2004년 러시아 연방 암호 아카데미의 연구 보고서 "암호의 수학적 문제 개발"에 포함되었습니다. /22/.

저자는 과학 지도교수인 물리 및 수리과학 박사 A. F. Ronzhin과 과학 컨설턴트인 물리 및 수리과학 박사, 선임 연구원 A. V. Knyazev에게 깊은 감사를 표합니다. 저자는 물리 및 수리과학 박사인 A. M. Zubkov 교수에게 감사를 표합니다. 및 물리 및 수학 과학 수학 과학 후보자 I. A. Kruglov 작업에 대한 관심과 많은 귀중한 의견에 감사드립니다.

작품의 구조와 내용.

첫 번째 장에서는 음이 아닌 정수 집합의 분포에 대한 엔트로피 및 정보 거리의 속성을 조사합니다.

첫 번째 장의 첫 번째 단락에서는 표기법이 소개되고 필요한 정의가 제공됩니다. 특히 다음 표기법이 사용됩니다. x = (xq,x\, . ) - 셀 수 있는 수의 구성 요소가 있는 무한 차원 벡터입니다.

H(x) - -Ex^oXvlnx,-, truncm(x) = (x0,x1,.,xm,0,0,.)] f2* = (x, xi > 0, zy = 0.1,., 오 "< 1}; Q = {х, х, >0,u = 0.1,.,o xv = 1); = (xGO, ££L0 = 7);

Ml = o Ue>1|5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.

y 6E P이면 e > 0인 경우 집합은 Oe(y)로 표시됩니다.

오에(y) - (x^< уие£ для всех v = 0,1,.}.

첫 번째 장의 두 번째 단락에서는 제한된 수학적 기대를 갖는 이산 분포의 엔트로피 경계에 관한 정리가 증명되었습니다.

정리 1. 제한된 수학적 기대치를 갖는 이산 분포의 엔트로피의 경계.

6 P7의 경우

높이(x)

x € fly가 수학적 정의 7을 갖는 기하학적 분포에 해당하는 경우, 즉 7 x = (1- р)р\ v = 0.1,., 여기서 р = --,

1 + 7이면 평등이 유지됩니다.

H(x) = F(<7).

정리의 진술은 무한한 수의 변수의 경우 조건부 곱셈의 라그랑주 방법을 공식적으로 적용한 결과로 볼 수 있습니다. 주어진 수학적 기대값과 최대 엔트로피를 갖는 집합(k, k + 1, k + 2,..)의 유일한 분포는 주어진 수학적 기대값을 갖는 기하학적 분포라는 정리는 /47/에 (증명 없이) 제공됩니다. 그러나 저자는 엄격한 증거를 제시했습니다.

첫 번째 장의 세 번째 문단에서는 일반화된 측정항목, 즉 무한한 값을 허용하는 측정항목에 대한 정의를 제공합니다.

x,y € Q의 경우 함수 p(x,y)는 yie~£ 속성을 갖는 최소 e > O로 정의됩니다.<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо.

함수 p(x,y)는 음이 아닌 정수 집합뿐만 아니라 전체 집합 Cl*에 대한 분포 계열에 대한 일반화된 메트릭임이 입증되었습니다. 메트릭 p(x,y) 정의에서 e 대신 1 이외의 다른 양수를 사용할 수 있습니다. 결과 메트릭은 곱셈 상수에 따라 달라집니다. 정보 거리를 J(x, y)로 나타내자

00 £ J(x,y) = E In-.

여기와 아래에서는 0 In 0 = 0.0 In jj = 0이라고 가정합니다. 정보 거리는 x, y에 대해 x = 0이고 y = 0인 것으로 정의됩니다. 이 조건이 충족되지 않으면 J(x,ij) = oo라고 가정합니다. L SP를 보자. 그러면 우리는

J(A Y) = |nf J(x,y).

첫 번째 장의 네 번째 문단에서는 집합 Q*에 정의된 함수의 간결성에 대한 정의를 제공합니다. 셀 수 있는 수의 인수가 있는 함수의 간결함은 유한한 수의 인수만 0이 아닌 지점에서 어느 정도 정확도로 함수 값을 이 함수의 값으로 근사화할 수 있음을 의미합니다. 엔트로피와 정보 거리 함수의 간결성이 입증되었습니다.

1. 임의의 0에 대해< 7 < оо функция Н(х) компактна на

2. 일부 0의 경우< 70 < оо

R은 임의의 0에 대해<7<оо,г>0 함수 x) = J(x,p)는 집합에서 간결합니다.

첫 번째 장의 다섯 번째 문단에서는 무한차원 공간에서 정의된 정보거리의 속성을 논의합니다. 유한차원의 경우에 비해 정보거리함수의 연속성을 갖는 상황은 질적으로 변화한다. 정보 거리 함수는 어떤 메트릭에서도 세트에 대해 연속적이지 않은 것으로 나타났습니다.

Pl&V) = E\Xi~Y»\, u=0

E (xv - Ui)2 v=Q

Рз(х,у) = 8Up\xu-yv\. V

엔트로피 함수 H(x)와 정보 거리 J(x,p)에 대해 다음 부등식의 타당성이 입증되었습니다.

1. 임의의 x, x" € fi에 대해

N(x) - N(x")\< - 1){Н{х) + Н{х")).

2. 어떤 x,p e P에 대해 x 6 0 £(p)인 e > 0이 존재한다면, 모든 x" £ Q J(x,p) - J(x",p)|< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)).

이러한 불평등으로부터 정리 1을 고려하면 엔트로피와 정보 거리 함수는 메트릭 p(x,y)t에서 Q의 해당 부분 집합에 대해 균일하게 연속됩니다. 즉,

1. 0이 되는 임의의 7에 대해< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у);

2. 약 70이면 0< 70 < оо

0에 대해 TO<7<оои£>0 기능

L p(x) = J(x,p)는 메트릭 p(x,y)의 집합 Π Oe(p)에서 균일하게 연속됩니다.

비극단 함수의 정의가 제공됩니다. 비극단 조건이란 함수에 국소 극값이 없거나, 함수가 국소 최소값(local maxima)에서 동일한 값을 취하는 것을 의미합니다. 비극값 조건은 국부적 극값이 없다는 요구 사항을 약화시킵니다. 예를 들어, 실수 집합의 함수 sin x는 국소 극값을 갖지만 비극단 조건을 충족합니다.

일부 7 > 0에 대해 영역 A는 다음 조건에 의해 제공됩니다.

A = (x € VLv4>(x) > a), (0.9) 여기서 Φ(x)는 실수 함수이고, a는 실수 상수, inf Φ(x)입니다.< а < inf ф(х).

문제는 중앙 영역 ^-에서 매개변수 n,N을 변경할 때 함수 ψ의 어떤 조건에서 연구되었습니다. 7, 충분히 큰 모든 값에 대해 k0 + ki + 와 같은 음이 아닌 정수 ko, k\,., kn이 있습니다. + kn = N, k\ + 2k2. + 제어판 - N 및

F(코 k\ kp

-£,0,0,.)>a.

이를 위해서는 함수 ψ가 메트릭 p(x,y)에서 비극단적이고 컴팩트하며 연속적이어야 하며 또한 적어도 하나의 점 x에 대해 (0.9)를 만족해야 한다는 것이 충분하다는 것이 증명되었습니다. > 0이면 임의의 v = 0.1에 대해 유한 모멘트 각도 1 + e 및 x > 0이 존재합니다.

두 번째 장에서는 D = (^0) ■ ) Ts "n, 0, .) - 주어진 채우기가 있는 셀 수에서 함수의 큰 편차 확률에 대한 대략적인(로그 등가까지) 점근법을 연구합니다. 매개변수 N, n 변화의 중심 영역에서 대략적인 큰 편차 확률의 점근법은 일치 기준의 지수를 연구하는 데 충분합니다.

(0.2)의 확률 변수 ^를 동일하게 분포시키고

P(z) - 확률 변수의 생성 함수 - 반경 1의 원으로 수렴합니다.< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что

Ml+£ = £ i1+ex< 00.

0.10) k] = Pk, k = 0.1,.

나타내자

방정식 m Z(z) = ъ에 대한 해가 있는 경우 이는 고유한 /38/입니다. 다음 내용 전체에서 pk > O,A; = 0.1,.

두 번째 장의 첫 번째 문단의 첫 번째 문단에는 다음 형식의 확률 로그 점근치가 포함되어 있습니다.

1пР(/x0 = ko,.,tsp = kp).

다음 정리가 증명되었습니다.

정리 2. 큰 편차 확률에 대한 대략적인 지역 정리. n, N -> oo로 설정하면 jj ->7.0이 됩니다.<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N)

1nP(D = k) = JftpK)) + O(^lniV).

정리의 설명은 결합 분포 fii에 대한 공식에서 직접 따릅니다. /26/의 fin 및 다음 추정: 음수가 아닌 정수 값 ​​인 경우 Нп는 조건을 충족합니다.

Hi + 2d2 + + PNn = n이면 그 중 0이 아닌 값의 개수는 0(l/n)입니다. 이는 대략적인 추정치이며 새로운 것이라고 주장하지 않습니다. 일반화된 레이아웃 방식에서 0이 아닌 CG의 수는 셀의 최대 채우기 값을 초과하지 않습니다. 이는 중앙 영역에서 확률이 1인 O(lnn) /25/, / 값을 초과하지 않습니다. 27/. 그럼에도 불구하고 결과 추정치 0(y/n)은 확률 1을 만족하며 대략적인 점근치를 얻기에 충분합니다.

두 번째 장의 첫 번째 문단의 두 번째 문단에서는 adg가 일부 a G R로 수렴하는 실수 시퀀스인 극한의 값을 구하고, ψ(x)는 실수 값 함수입니다. 다음 정리가 증명되었습니다.

정리 3. 큰 편차 확률에 대한 대략적인 적분 정리. 정리 2의 조건이 충족되면, 일부 r > 0, C > 0에 대해 실수 함수 ψ(x)는 집합의 메트릭 p에서 컴팩트하고 균일하게 연속됩니다.

A = 0r+<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что

Ф(ra) > a 및 j(( (x) >a,xe P7),p(2;7)) = 7(pa,p(*y)) mo 수열 a^가 a로 수렴하는 경우,