예제가 포함된 기하학적 진행. 항상 기분이 좋다

산술수열과 함께 기하수열은 9학년 학교 대수학 과정에서 공부하는 중요한 수열입니다. 이 기사에서는 기하학적 수열의 분모와 그 값이 속성에 어떤 영향을 미치는지 살펴보겠습니다.

기하학적 진행의 정의

먼저, 이 숫자 계열의 정의를 알려드리겠습니다. 기하학적 수열은 첫 번째 요소에 분모라고 하는 상수를 순차적으로 곱하여 형성되는 일련의 유리수입니다.

예를 들어, 3, 6, 12, 24, ... 계열의 숫자는 기하수열입니다. 왜냐하면 3(첫 번째 요소)에 2를 곱하면 6이 되고, 6에 2를 곱하면 다음이 되기 때문입니다. 12 등.

고려 중인 시퀀스의 구성원은 일반적으로 기호 ai로 표시됩니다. 여기서 i는 시리즈의 요소 수를 나타내는 정수입니다.

위의 진행 정의는 다음과 같이 수학적 언어로 작성될 수 있습니다. an = bn-1 * a1, 여기서 b는 분모입니다. 이 공식을 확인하는 것은 쉽습니다. n = 1이면 b1-1 = 1이고 a1 = a1을 얻습니다. n = 2이면 an = b * a1이고 문제의 일련의 숫자에 대한 정의에 다시 도달합니다. 비슷한 추론이 계속될 수 있다 큰 값 N.

기하학적 진행의 분모

숫자 b는 전체 숫자 시리즈가 어떤 문자를 갖게 될지 완전히 결정합니다. 분모 b는 양수, 음수 또는 1보다 크거나 작을 수 있습니다. 위의 모든 옵션은 서로 다른 순서로 이어집니다.

• b > 1. 일련의 유리수가 증가하고 있습니다. 예를 들어, 1, 2, 4, 8, ... 요소 a1이 음수이면 전체 시퀀스는 절대값에서만 증가하지만 숫자의 부호에 따라 감소합니다.
• b = 1. 동일한 유리수의 일반적인 계열이 있기 때문에 이러한 경우를 수열이라고 부르지 않는 경우가 많습니다. 예를 들어 -4, -4, -4입니다.

금액 공식

고려 중인 진행 유형의 분모를 사용하여 특정 문제를 고려하기 전에 첫 번째 n 요소의 합에 대한 중요한 공식이 제공되어야 합니다. 공식은 다음과 같습니다: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

진행 조건의 재귀 순서를 고려하면 이 표현을 직접 얻을 수 있습니다. 또한 위 공식에서는 임의 개수의 항의 합을 구하려면 첫 번째 요소와 분모만 알면 충분합니다.

무한히 감소하는 수열

그것이 무엇인지에 대한 설명이 위에서 주어졌습니다. 이제 Sn의 공식을 알았으니 이를 이 숫자 계열에 적용해 보겠습니다. 모듈러스가 1을 초과하지 않는 숫자는 큰 거듭제곱으로 올리면 0이 되는 경향이 있으므로, 즉 -1인 경우 b => 0입니다.

차이 (1 - b)는 분모의 값에 관계없이 항상 양수이므로 무한히 감소하는 기하수열 S의 합의 부호는 첫 번째 요소 a1의 부호에 의해 고유하게 결정됩니다.

이제 획득한 지식을 특정 숫자에 적용하는 방법을 보여주는 몇 가지 문제를 살펴보겠습니다.

작업 번호 1. 알 수 없는 진행 및 합계 요소 계산

기하학적 수열이 주어지면 수열의 분모는 2이고 첫 번째 요소는 3입니다. 7번째와 10번째 항은 무엇이고, 7개의 초기 요소의 합은 얼마입니까?

문제의 조건은 매우 간단하며 위 공식을 직접 사용하는 것과 관련됩니다. 따라서 요소 번호 n을 계산하려면 an = bn-1 * a1이라는 표현을 사용합니다. 7번째 요소에 대해 a7 = b6 * a1이 있고 알려진 데이터를 대체하면 a7 = 26 * 3 = 192가 됩니다. 10번째 항에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다: a10 = 29 * 3 = 1536.

합계에 대해 잘 알려진 공식을 사용하고 계열의 처음 7개 요소에 대해 이 값을 결정해 보겠습니다. S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381입니다.

문제 2번. 수열의 임의 요소의 합 결정

-2를 기하수열 bn-1 * 4의 분모와 동일하게 설정합니다. 여기서 n은 정수입니다. 이 계열의 5번째 요소부터 10번째 요소까지의 합계를 결정해야 합니다.

제기된 문제는 알려진 공식을 사용하여 직접 해결할 수 없습니다. 2가지 다른 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다. 주제 표현의 완성도를 위해 두 가지를 모두 제시합니다.

방법 1. 아이디어는 간단합니다. 첫 번째 항의 해당 두 합을 계산한 다음 하나에서 다른 항을 빼면 됩니다. 더 작은 금액을 계산합니다: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. 이제 계산해보자 많은 양: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. 마지막 표현식에서는 문제 조건에 따라 계산해야 하는 양에 5번째 항목이 이미 포함되어 있으므로 4개 항목만 합산되었습니다. 마지막으로 차이를 취합니다: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

방법 2. 숫자를 대입하고 계산하기 전에 해당 계열의 m항과 n항 사이의 합에 대한 공식을 얻을 수 있습니다. 우리는 방법 1과 정확히 동일하게 수행합니다. 단지 먼저 금액의 상징적 표현으로 작업합니다. Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . 알려진 숫자를 결과 표현식에 대체하고 최종 결과를 계산할 수 있습니다: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

문제 3. 분모는 무엇입니까?

a1 = 2라고 가정하고 무한 합이 3인 경우 기하학적 진행의 분모를 찾으며 이것이 감소하는 일련의 숫자인 것으로 알려져 있습니다.

문제의 조건에 따라 어떤 공식을 사용하여 문제를 해결해야 하는지 추측하는 것은 어렵지 않습니다. 물론, 진행의 합은 무한히 감소합니다. 우리는 다음과 같은 결과를 얻습니다: S = a1 / (1 - b). 여기에서 분모를 표현합니다: b = 1 - a1 / S. 알려진 값을 대체하고 필요한 숫자를 얻는 것이 남아 있습니다: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 또는 -0.333(3). 이러한 유형의 시퀀스에 대해 모듈러스 b가 1을 초과해서는 안 된다는 점을 기억한다면 이 결과를 정성적으로 확인할 수 있습니다. 보시다시피, |-1 / 3|

작업 번호 4. 일련의 숫자 복원

숫자 계열의 2개 요소가 주어져 있다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어 5번째는 30이고 10번째는 60입니다. 기하 수열의 속성을 충족한다는 것을 알고 이러한 데이터로부터 전체 계열을 재구성해야 합니다.

문제를 해결하려면 먼저 알려진 각 용어에 해당하는 표현을 적어야 합니다. a5 = b4 * a1 및 a10 = b9 * a1이 있습니다. 이제 두 번째 표현식을 첫 번째 표현식으로 나누면 a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5가 됩니다. 여기서부터 문제 설명에서 알려진 항의 비율 b = 1.148698의 5제곱근을 취하여 분모를 결정합니다. 결과 숫자를 알려진 요소에 대한 표현식 중 하나로 대체하면 a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966이 됩니다.

따라서 우리는 수열 bn의 분모와 기하 수열 bn-1 * 17.2304966 = an을 찾았습니다. 여기서 b = 1.148698입니다.

기하학적 진행은 어디에 사용됩니까?

이 숫자 계열을 실제로 적용할 수 없다면 이에 대한 연구는 순전히 이론적인 관심으로만 축소될 것입니다. 그러나 그러한 응용 프로그램이 존재합니다.

다음은 가장 유명한 3가지 예입니다.

• 민첩한 아킬레스가 느린 거북이를 따라잡지 못하는 제노의 역설은 무한히 감소하는 수열의 개념을 이용하여 해결됩니다.
• 체스판의 각 사각형에 밀알을 배치하여 첫 번째 사각형에 1알, 두 번째 - 2, 세 번째 - 3 등으로 밀알을 놓는 경우 보드의 모든 사각형을 채우려면 필요한 것입니다. 18446744073709551615알!
• "하노이 타워" 게임에서 디스크를 한 막대에서 다른 막대로 이동하려면 2n - 1 작업을 수행해야 합니다. 즉, 사용된 디스크 수 n에 따라 디스크 수가 기하급수적으로 증가합니다.

기하학적 진행산술에서만큼 수학에서도 덜 중요하지 않습니다. 기하수열은 일련의 숫자 b1, b2,..., b[n]이며, 각 다음 항은 이전 항에 상수를 곱하여 얻습니다. 성장 속도 또는 진행 감소를 나타내는 이 숫자를 다음과 같이 부릅니다. 기하학적 수열의 분모그리고 표시하다

을 위한 작업 완료기하수열의 경우 분모 외에 첫 번째 항을 알거나 결정하는 것이 필요합니다. 분모의 양수 값의 경우 진행은 단조 수열이며, 이 수열이 단조 감소하는 경우와 단조 증가하는 경우입니다. 분모가 1과 같은 경우는 실제로 고려되지 않습니다. 왜냐하면 우리는 동일한 숫자의 시퀀스를 가지고 있고 그 합은 실질적인 관심이 없기 때문입니다.

기하학적 수열의 일반 용어공식으로 계산

기하수열의 처음 n항의 합공식에 의해 결정됨

고전적인 기하학적 수열 문제의 해결책을 고려해 보겠습니다. 가장 이해하기 쉬운 것부터 시작해 보겠습니다.

예 1. 기하수열의 첫 번째 항은 27이고 분모는 1/3입니다. 기하수열의 처음 6개 항을 구합니다.

해결책: 문제의 상태를 다음 형식으로 작성합니다.

계산을 위해 기하수열의 n번째 멤버에 대한 공식을 사용합니다.

이를 바탕으로 진행 중 알려지지 않은 구성원을 찾습니다.

보시다시피, 기하학적 진행의 항을 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 진행 자체는 다음과 같습니다

예 2. 기하학적 수열의 처음 세 항은 다음과 같습니다. 6; -12; 24. 분모와 그 일곱 번째 항을 구합니다.

해결책: 우리는 정의에 따라 기하학적 진행의 분모를 계산합니다.

우리는 분모가 -2인 교번 기하 수열을 얻었습니다. 일곱 번째 항은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

이것으로 문제가 해결됩니다.

예 3. 기하수열은 두 가지 항으로 표현됩니다. . 수열의 열 번째 항을 구합니다.

해결책:

주어진 값을 수식을 이용하여 써보자

규칙에 따르면 분모를 찾은 다음 원하는 값을 찾아야 하지만 10번째 항의 경우

입력 데이터를 간단히 조작하면 동일한 공식을 얻을 수 있습니다. 계열의 여섯 번째 항을 다른 항으로 나누면 결과적으로 다음을 얻습니다.

결과 값에 여섯 번째 항을 곱하면 열 번째 항을 얻습니다.

따라서 이러한 작업의 경우 간단한 변환을 사용하여 빠른 길올바른 솔루션을 찾을 수 있습니다.

예 4. 기하학적 수열은 반복 공식에 의해 제공됩니다.

기하수열의 분모와 처음 6개 항의 합을 구합니다.

해결책:

주어진 데이터를 방정식 시스템의 형태로 작성해 봅시다

두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누어 분모를 표현합니다.

첫 번째 방정식에서 수열의 첫 번째 항을 찾아봅시다.

기하학적 수열의 합을 구하기 위해 다음 5개 항을 계산해 보겠습니다.

모든 자연수에 대해 N 실수와 일치 앤 , 그런 다음 그들은 그것이 주어 졌다고 말합니다 번호 순서 :

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 앤 , . . . .

따라서 숫자 순서는 자연 인수의 함수입니다.

숫자 ㅏ 1 ~라고 불리는 수열의 첫 번째 항 , 숫자 ㅏ 2 — 수열의 두 번째 항 , 숫자 ㅏ 3 — 제삼 등등. 숫자 앤 ~라고 불리는 n번째 학기시퀀스 , 그리고 자연수 N — 그의 전화번호 .

인접한 두 멤버로부터 앤 그리고 앤 +1 시퀀스 멤버 앤 +1 ~라고 불리는 후속 (쪽으로 앤 ), ㅏ 앤 — 이전의 (쪽으로 앤 +1 ).

시퀀스를 정의하려면 임의의 숫자로 시퀀스의 멤버를 찾을 수 있는 방법을 지정해야 합니다.

종종 시퀀스는 다음을 사용하여 지정됩니다. n번째 항 공식 , 즉 번호로 시퀀스의 멤버를 결정할 수 있는 공식입니다.

예를 들어,

양의 홀수 시퀀스는 다음 공식으로 주어질 수 있습니다.

앤= 2N- 1,

그리고 교대하는 순서 1 그리고 -1 - 공식

비 N = (-1)N +1 . ◄

순서를 정할 수 있다 반복 공식, 즉, 일부부터 시작하여 이전(하나 이상의) 멤버까지 시퀀스의 모든 멤버를 표현하는 공식입니다.

예를 들어,

만약에 ㅏ 1 = 1 , ㅏ 앤 +1 = 앤 + 5

ㅏ 1 = 1,

ㅏ 2 = ㅏ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ㅏ 3 = ㅏ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ㅏ 4 = ㅏ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ㅏ 5 = ㅏ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

만약에 1= 1, 2 = 1, 앤 +2 = 앤 + 앤 +1 , 그러면 숫자 순서의 처음 7개 항은 다음과 같이 설정됩니다.

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ㅏ 6 = ㅏ 4 + ㅏ 5 = 3 + 5 = 8,

ㅏ 7 = ㅏ 5 + ㅏ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

시퀀스는 다음과 같습니다. 결정적인 그리고 끝없는 .

시퀀스가 호출됩니다. 궁극적인 , 회원 수가 한정된 경우. 시퀀스가 호출됩니다. 끝없는 , 멤버가 무한히 많은 경우.

예를 들어,

두 자리 자연수의 수열:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

결정적인.

소수의 수열:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

끝없는. ◄

시퀀스가 호출됩니다. 증가 , 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버보다 큰 경우.

시퀀스가 호출됩니다. 감소하는 , 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버보다 작은 경우.

예를 들어,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - 증가하는 순서;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - 감소하는 순서. ◄

숫자가 증가해도 요소가 감소하지 않거나 반대로 증가하지 않는 수열을 호출합니다. 단조로운 순서 .

특히 단조 수열은 증가 수열과 감소 수열입니다.

산술 진행

산술 진행 두 번째부터 시작하여 각 멤버가 이전 멤버와 동일하고 동일한 번호가 추가되는 시퀀스입니다.

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 앤, . . .

임의의 자연수에 대한 산술진열이다. N 조건이 충족됩니다:

앤 +1 = 앤 + 디,

어디 디 - 특정 숫자.

따라서 주어진 조건의 후속 조건과 이전 조건의 차이는 다음과 같습니다. 산술 진행항상 일정함:

2 - ㅏ 1 = 3 - ㅏ 2 = . . . = 앤 +1 - 앤 = 디.

숫자 디 ~라고 불리는 산술진행의 차이.

산술 수열을 정의하려면 첫 번째 항과 차이를 나타내는 것으로 충분합니다.

예를 들어,

만약에 ㅏ 1 = 3, 디 = 4 , 그러면 다음과 같이 수열의 처음 5개 항을 찾습니다.

1 =3,

2 = 1 + 디 = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + 디= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + 디= 11 + 4 = 15,

ㅏ 5 = ㅏ 4 + 디= 15 + 4 = 19. ◄

첫 번째 항을 사용한 산술 진행의 경우 ㅏ 1 그리고 차이점 디 그녀의 N

앤 = 1 + (N- 1)디.

예를 들어,

산술수열의 30번째 항을 구하다

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, 디 = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (N- 2)디,

앤= 1 + (N- 1)디,

앤 +1 = ㅏ 1 + nd,

그렇다면 분명히

두 번째부터 시작하는 산술 수열의 각 구성원은 이전 및 후속 구성원의 산술 평균과 같습니다.

숫자 a, b 및 c는 그 중 하나가 다른 두 개의 산술 평균과 동일한 경우에만 일부 산술 수열의 연속 항입니다.

예를 들어,

앤 = 2N- 7 는 산술진행이다.

위의 구문을 사용해 보겠습니다. 우리는:

앤 = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(아니오 1) - 7 = 2N- 5.

따라서,

◄

참고하세요 N 등차수열의 제번째 항은 다음을 통해서만 구할 수 있는 것이 아닙니다. ㅏ 1 , 뿐만 아니라 이전의 에이케이

앤 = 에이케이 + (N- 케이)디.

예를 들어,

을 위한 ㅏ 5 적어둘 수 있다

5 = 1 + 4디,

5 = 2 + 3디,

5 = 3 + 2디,

5 = 4 + 디. ◄

앤 = n-k + kd,

앤 = n+k - kd,

그렇다면 분명히

두 번째부터 시작하는 산술 수열의 모든 구성원은 이 산술 수열의 동일한 간격 구성원의 합의 절반과 같습니다.

또한 모든 산술 수열에 대해 다음과 같은 등식이 성립합니다.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

예를 들어,

산술 진행에서

1) ㅏ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ㅏ 9 + ㅏ 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7디= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, 왜냐하면

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= 1 + 2 + 3 + . . .+ 앤,

첫 번째 N 산술 수열의 항은 극단 항의 합의 절반과 항의 개수를 곱한 것과 같습니다.

특히 여기에서 용어를 합산해야 한다면 다음과 같습니다.

에이케이, 에이케이 +1 , . . . , 앤,

그러면 이전 공식의 구조가 유지됩니다.

예를 들어,

산술 진행에서 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

에스 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 에스 10 - 에스 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

산술 수열이 주어지면 양은 다음과 같습니다. ㅏ 1 , 앤, 디, N그리고에스 N 두 가지 공식으로 연결됩니다.

따라서 이들 수량 중 세 가지 값이 주어지면 나머지 두 수량의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 시스템으로 결합된 이 공식에서 결정됩니다.

산술수열은 단조수열이다. 여기서:

• 만약에 디 > 0 , 그러면 증가하고 있습니다.
• 만약에 디 < 0 , 그러면 감소하고 있습니다.
• 만약에 디 = 0 이면 시퀀스는 고정됩니다.

기하학적 진행

기하학적 진행 두 번째부터 시작하는 각 멤버가 이전 멤버와 동일한 숫자를 곱한 시퀀스입니다.

비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . , 비앤, . . .

임의의 자연수에 대한 기하수열이다 N 조건이 충족됩니다:

비앤 +1 = 비앤 · 큐,

어디 큐 ≠ 0 - 특정 숫자.

따라서 주어진 기하학적 수열의 후속 항과 이전 항의 비율은 상수입니다.

비 2 / 비 1 = 비 3 / 비 2 = . . . = 비앤 +1 / 비앤 = 큐.

숫자 큐 ~라고 불리는 기하학적 수열의 분모.

기하학적 수열을 정의하려면 첫 번째 항과 분모를 나타내는 것으로 충분합니다.

예를 들어,

만약에 비 1 = 1, 큐 = -3 , 그러면 다음과 같이 수열의 처음 5개 항을 찾습니다.

비 1 = 1,

비 2 = 비 1 · 큐 = 1 · (-3) = -3,

비 3 = 비 2 · 큐= -3 · (-3) = 9,

비 4 = 비 3 · 큐= 9 · (-3) = -27,

비 5 = 비 4 · 큐= -27 · (-3) = 81. ◄

비 1 분모 큐 그녀의 N 번째 항은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

비앤 = 비 1 · qn -1 .

예를 들어,

기하학적 수열의 일곱 번째 항을 찾아보세요 1, 2, 4, . . .

비 1 = 1, 큐 = 2,

비 7 = 비 1 · 큐 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = 비 1 · qn -2 ,

비앤 = 비 1 · qn -1 ,

비앤 +1 = 비 1 · qn,

그렇다면 분명히

비앤 2 = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,

두 번째부터 시작하는 기하 수열의 각 구성원은 이전 및 후속 구성원의 기하 평균(비례)과 같습니다.

그 반대도 참이므로 다음 진술이 유지됩니다.

숫자 a, b, c는 그 중 하나의 제곱이 다른 두 숫자의 곱과 같은 경우에만, 즉 숫자 중 하나가 다른 두 숫자의 기하 평균인 경우에만 일부 기하학적 수열의 연속 항입니다.

예를 들어,

공식에 의해 주어진 수열을 증명해보자 비앤= -3 2 N 는 기하학적 진행이다. 위의 구문을 사용해 보겠습니다. 우리는:

비앤= -3 2 N,

비앤 -1 = -3 2 N -1 ,

비앤 +1 = -3 2 N +1 .

따라서,

비앤 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,

이는 원하는 진술을 증명합니다. ◄

참고하세요 N 기하수열의 번째 항은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. 비 1 , 이전 회원도 마찬가지입니다. ㄴㅋ , 공식을 사용하면 충분합니다.

비앤 = ㄴㅋ · qn - 케이.

예를 들어,

을 위한 비 5 적어둘 수 있다

비 5 = 비 1 · 큐 4 ,

비 5 = 비 2 · q 3,

비 5 = 비 3 · q 2,

비 5 = 비 4 · 큐. ◄

비앤 = ㄴㅋ · qn - 케이,

비앤 = 비앤 - 케이 · qk,

그렇다면 분명히

비앤 2 = 비앤 - 케이· 비앤 + 케이

두 번째부터 시작하는 기하수열의 임의 항의 제곱은 그로부터 등거리에 있는 이 수열 항의 곱과 같습니다.

또한 모든 기하학적 수열의 경우 동등성이 적용됩니다.

비엠· 비앤= ㄴㅋ· b l,

중+ N= 케이+ 엘.

예를 들어,

기하학적 진행으로

1) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = 비 5 · 비 7 ;

2) 1024 = 비 11 = 비 6 · 큐 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = 비 4 · 비 8 ;

4) 비 2 · 비 7 = 비 4 · 비 5 , 왜냐하면

비 2 · 비 7 = 2 · 64 = 128,

비 4 · 비 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . + 비앤

첫 번째 N 분모가 있는 기하학적 수열의 구성원 큐 ≠ 0 다음 공식으로 계산됩니다.

그리고 언제 큐 = 1 - 공식에 따르면

Sn= 주의 1

조건을 합산해야 하는 경우 참고하세요.

ㄴㅋ, ㄴㅋ +1 , . . . , 비앤,

그런 다음 공식이 사용됩니다.

예를 들어,

기하학적 진행으로 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

에스 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = 에스 10 - 에스 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

기하수열이 주어지면 양은 비 1 , 비앤, 큐, N그리고 Sn 두 가지 공식으로 연결됩니다.

따라서 이들 수량 중 세 가지 값이 주어지면 나머지 두 수량의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식 시스템으로 결합된 이러한 공식을 통해 결정됩니다.

첫 번째 항이 있는 기하수열의 경우 비 1 분모 큐 다음과 같은 일이 일어난다 단조성의 성질 :

• 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 증가합니다.

비 1 > 0 그리고 큐> 1;

비 1 < 0 그리고 0 < 큐< 1;

• 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 감소합니다.

비 1 > 0 그리고 0 < 큐< 1;

비 1 < 0 그리고 큐> 1.

만약에 큐< 0 이면 기하 수열은 부호 교대입니다. 즉, 홀수 항은 첫 번째 항과 동일한 부호를 가지며 짝수 항은 반대 부호를 갖습니다. 교대 기하학적 수열은 단조롭지 않다는 것이 분명합니다.

첫 번째 제품 N 기하학적 진행의 항은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

Pn= 비 1 · 비 2 · 비 3 · . . . · 비앤 = (비 1 · 비앤) N / 2 .

예를 들어,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

무한히 감소하는 기하학적 진행

무한히 감소하는 기하학적 진행 분모 계수가 다음보다 작은 무한 기하 수열이라고 합니다. 1 , 그건

|큐| < 1 .

무한히 감소하는 기하학적 수열은 감소하는 수열이 아닐 수도 있습니다. 상황에 딱 맞아요

1 < 큐< 0 .

이러한 분모를 사용하면 시퀀스가 ​​번갈아 나타납니다. 예를 들어,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

무한히 감소하는 기하학적 수열의 합 첫 번째 것의 합이 제한 없이 접근하는 숫자의 이름을 지정하십시오. N 숫자가 무제한으로 증가하는 진행 멤버 N . 이 숫자는 항상 유한하며 다음 공식으로 표현됩니다.

예를 들어,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

산술수열과 기하수열의 관계

산술과 기하학적 진행서로 밀접한 관련이 있습니다. 두 가지 예만 살펴보겠습니다.

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . 디 , 저것

ㄴ 1 , ㄴ 2 , ㄴ 3 , . . . ㄴ디 .

예를 들어,

1, 3, 5, . . . - 차이가 있는 산술 진행 2 그리고

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 7 2 . ◄

비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 큐 , 저것

ab1을 기록하다, ab2를 기록하다, ab3를 기록하다, . . . - 차이가 있는 산술 진행 로그큐 .

예를 들어,

2, 12, 72, . . . - 분모를 사용한 기하학적 진행 6 그리고

LG 2, LG 12, LG 72, . . . - 차이가 있는 산술 진행 LG 6 . ◄

특정 시리즈를 고려해 봅시다.

7 28 112 448 1792...

해당 요소의 가치가 이전 요소보다 정확히 4배 더 크다는 것은 분명합니다. 이는 이 시리즈가 진보적이라는 것을 의미합니다.

기하학적 수열은 숫자의 무한한 수열입니다. 주요 특징이는 이전 숫자에 특정 숫자를 곱하여 다음 숫자를 얻는 것입니다. 이는 다음 수식으로 표현됩니다.

a z +1 =a z ·q, 여기서 z는 선택한 요소의 번호입니다.

따라서 z ∈ N입니다.

학교에서 기하학적 진행을 공부하는 기간은 9학년입니다. 예제는 개념을 이해하는 데 도움이 됩니다.

0.25 0.125 0.0625...

이 공식을 바탕으로 진행의 분모는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

q와 bz 모두 0이 될 수 없습니다. 또한 진행의 각 요소는 0이 되어서는 안 됩니다.

따라서 시리즈의 다음 숫자를 찾으려면 마지막 숫자에 q를 곱해야 합니다.

이 수열을 지정하려면 첫 번째 요소와 분모를 지정해야 합니다. 그 후에는 후속 용어와 그 합계를 찾을 수 있습니다.

품종

q와 a1에 따라 이 진행은 여러 유형으로 나뉩니다.

• a 1과 q가 모두 1보다 큰 경우 이러한 수열은 다음 요소마다 증가하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.

예: a 1 =3, q=2 - 두 매개변수 모두 1보다 큽니다.

그런 다음 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

3 6 12 24 48 ...

• 만약 |q| 1 미만, 즉 곱셈은 나눗셈과 동일하며 비슷한 조건의 수열은 감소하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.

예: a 1 =6, q=1/3 - a 1은 1보다 크고 q는 작습니다.

그러면 숫자 순서는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

6 2 2/3 ... - 모든 요소는 그 뒤에 오는 요소보다 3배 더 큽니다.

• 교대 표시. 만약 q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

예: a 1 = -3, q = -2 - 두 매개변수 모두 0보다 작습니다.

그런 다음 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

3, 6, -12, 24,...

방식

기하학적 진행을 편리하게 사용하기 위해 다음과 같은 많은 공식이 있습니다.

• Z-항 공식. 이전 숫자를 계산하지 않고 특정 숫자 아래의 요소를 계산할 수 있습니다.

예:큐 = 3, ㅏ 1 = 4. 진행의 네 번째 요소를 계산해야 합니다.

해결책:ㅏ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• 수량이 다음과 같은 첫 번째 요소의 합 지. 시퀀스의 모든 요소의 합을 계산할 수 있습니다.az포함한.

이후 (1-큐)가 분모에 있으면 (1 - q)≠ 0이므로 q는 1과 같지 않습니다.

참고: q=1이면 진행은 무한히 반복되는 일련의 숫자가 됩니다.

기하수열의 합, 예:ㅏ 1 = 2, 큐= -2. S5를 계산합니다.

해결책:에스 5 = 22 - 공식을 사용한 계산.

• 경우 금액 |큐| < 1 и если z стремится к бесконечности.

예:ㅏ 1 = 2 , 큐= 0.5. 금액을 찾아보세요.

해결책:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

일부 속성:

• 특징적인 속성. 다음과 같은 경우 누구에게나 작동지, 주어진 숫자 계열은 기하학적 수열입니다.

az 2 = az -1 · ㅏz+1

• 또한 기하 수열의 임의 수의 제곱은 주어진 계열에서 다른 두 수의 제곱을 더하여 구합니다(이 요소에서 등거리에 있는 경우).

az 2 = az - 티 2 + az + 티 2 , 어디티- 이 숫자들 사이의 거리.

• 강요q가 다르다한 번.
• 진행 요소의 로그도 진행을 형성하지만 이미 산술적입니다. 즉, 각 요소는 이전 요소보다 특정 숫자만큼 큽니다.

몇 가지 고전적인 문제의 예

기하학적 진행이 무엇인지 더 잘 이해하려면 클래스 9에 대한 솔루션이 포함된 예제가 도움이 될 수 있습니다.

• 정황:ㅏ 1 = 3, ㅏ 3 = 48. 찾기큐.

해결 방법: 각 후속 요소는 이전 요소보다 큽니다.큐 한 번.일부 요소를 다른 요소의 관점에서 분모를 사용하여 표현하는 것이 필요합니다.

따라서,ㅏ 3 = 큐 2 · ㅏ 1

대체할 때큐= 4

• 정황:ㅏ 2 = 6, ㅏ 3 = 12. S 6을 계산합니다.

해결책:이렇게 하려면 첫 번째 요소인 q를 찾아 공식에 대입하면 됩니다.

ㅏ 3 = 큐· ㅏ 2 , 따라서,큐= 2

2 = q · 1 ,그렇기 때문에 1 = 3

에스 6 = 189

• · ㅏ 1 = 10, 큐= -2. 진행의 네 번째 요소를 찾으세요.

해결책: 이렇게 하려면 첫 번째 요소와 분모를 통해 네 번째 요소를 표현하는 것으로 충분합니다.

4 = q 3· 1 = -80

적용 예:

• 은행 고객은 10,000 루블의 금액을 예금했으며, 이 조건에 따라 고객은 매년 그 중 6%를 원금에 추가하게 됩니다. 4년 후 계좌에 얼마의 돈이 남게 될까요?

해결책: 초기 금액은 10,000루블입니다. 이는 투자 후 1년이 지나면 계좌의 금액이 10,000 + 10,000이 된다는 것을 의미합니다. · 0.06 = 10000 1.06

따라서 다음 해 이후 계정의 금액은 다음과 같이 표시됩니다.

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

즉, 매년 금액이 1.06배씩 증가하는 셈이다. 이는 4년 후 계좌의 자금 금액을 찾으려면 첫 번째 요소가 10,000이고 분모가 1.06인 진행의 네 번째 요소를 찾는 것으로 충분하다는 것을 의미합니다.

에스 = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

합계 계산 문제의 예:

기하학적 수열은 다양한 문제에 사용됩니다. 합계를 구하는 예는 다음과 같습니다.

ㅏ 1 = 4, 큐= 2, 계산하다에스 5.

해결책: 계산에 필요한 모든 데이터가 알려져 있으므로 이를 공식에 대체하기만 하면 됩니다.

에스 5 = 124

• ㅏ 2 = 6, ㅏ 3 = 18. 처음 6개 요소의 합을 계산합니다.

해결책:

기하학에서. 진행, 다음 각 요소는 이전 요소보다 q배 더 큽니다. 즉, 요소를 알아야 하는 합계를 계산하려면ㅏ 1 분모큐.

ㅏ 2 · 큐 = ㅏ 3

큐 = 3

마찬가지로, 당신은 찾아야합니다ㅏ 1 , 알고ㅏ 2 그리고큐.

ㅏ 1 · 큐 = ㅏ 2

1 =2

에스 6 = 728.

기하급수는 첫 번째 항이 0이 아닌 수열이고, 각 후속 항은 이전 항에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱한 값과 같습니다.

기하학적 진행의 개념

기하수열은 b1,b2,b3, …, bn, …으로 표시됩니다.

이전 항에 대한 기하학적 오차 항의 비율은 동일한 수와 같습니다. 즉, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … 이는 산술 진행의 정의에서 직접 따릅니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다. 일반적으로 기하학적 수열의 분모는 문자 q로 표시됩니다.

|q|에 대한 무한 기하수열의 합<1

기하학적 수열을 지정하는 방법 중 하나는 첫 번째 항 b1과 기하학적 오류 q의 분모를 지정하는 것입니다. 예를 들어, b1=4, q=-2입니다. 이 두 가지 조건은 기하학적 수열 4, -8, 16, -32, …을 정의합니다.

q>0(q가 1이 아닌 경우)이면 수열은 단조 수열입니다. 예를 들어, 시퀀스 2, 4,8,16,32, ...는 단조 증가 시퀀스(b1=2, q=2)입니다.

기하학적 오류의 분모가 q=1이면 기하학적 수열의 모든 항은 서로 동일합니다. 이러한 경우 진행은 일정한 순서라고 합니다.

수열(bn)이 기하수열이 되려면 두 번째부터 시작하는 각 구성원이 이웃 구성원의 기하 평균이어야 합니다. 즉, 다음 방정식을 만족해야 한다.
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), n>0인 경우, 여기서 n은 자연수 집합 N에 속합니다.

이제 (Xn) - 기하수열을 넣어봅시다. 기하급수 q의 분모 및 |q|무한).
이제 무한 기하학적 진행의 합을 S로 표시하면 다음 공식이 적용됩니다.
S=x1/(1-q).

간단한 예를 살펴보겠습니다.

무한 기하수열 2, -2/3, 2/9, - 2/27, …의 합을 구합니다.

S를 찾기 위해 우리는 무한 산술 진행의 합 공식을 사용합니다. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.