산술 진행의 차이에 대한 공식입니다. 산술 진행의 첫 번째 n항의 합
산술 진행숫자 시퀀스 이름 지정(진행 구성원)
각 후속 용어는 이전 용어와 스틸 용어라고도 하는 강철 용어로 다릅니다. 단계 또는 진행 차이.
따라서 진행 단계와 첫 번째 기간을 설정하면 공식을 사용하여 해당 요소를 찾을 수 있습니다.
산술 진행의 속성
1) 두 번째 숫자부터 시작하는 산술 수열의 각 구성원은 이전 및 다음 수열 구성원의 산술 평균입니다.
그 반대도 마찬가지입니다. 수열의 인접한 홀수(짝수) 멤버의 산술 평균이 그들 사이에 있는 멤버와 같으면 이 숫자 시퀀스는 산술 수열입니다. 이 어설션으로 모든 시퀀스를 확인하는 것은 매우 쉽습니다.
또한 산술 진행의 특성에 의해 위의 공식은 다음과 같이 일반화될 수 있습니다.
등호 오른쪽에 용어를 쓰면 쉽게 확인할 수 있습니다.
문제에서 계산을 단순화하기 위해 실제로 자주 사용됩니다.
2) 산술 수열의 처음 n 항의 합은 다음 공식으로 계산됩니다.
산술 진행의 합에 대한 공식을 잘 기억하십시오. 계산에 없어서는 안되며 단순한 생활 상황에서 매우 일반적입니다.
3) 전체 합계가 아니라 k 번째 멤버부터 시작하는 시퀀스의 일부를 찾아야 하는 경우 다음 합계 공식이 유용합니다.
4) k번째 숫자부터 시작하는 산술 수열의 n개 요소의 합을 찾는 것이 실용적입니다. 이렇게 하려면 공식을 사용하십시오.
이에 이론적 자료종료하고 일반적인 실제 문제 해결로 넘어갑니다.
예 1. 등차수열 4;7;...의 40번째 항 찾기
해결책:
조건에 따라, 우리는
진행 단계 정의
잘 알려진 공식에 따르면, 우리는 진행의 40번째 항을 찾습니다.
예2. 산술 진행세 번째와 일곱 번째 멤버가 제공합니다. 진행의 첫 항과 10의 합을 찾으십시오.
해결책:
공식에 따라 진행의 주어진 요소를 작성합니다.
두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼서 결과적으로 진행 단계를 찾습니다.
찾은 값은 산술 수열의 첫 번째 항을 찾기 위해 방정식에 대입됩니다.
진행의 처음 10항의 합계를 계산합니다.
복잡한 계산을 적용하지 않고 필요한 모든 값을 찾았습니다.
예제 3. 산술 진행은 분모와 그 구성원 중 하나에 의해 제공됩니다. 수열의 첫 항, 50부터 시작하여 50항의 합, 처음 100항의 합을 구합니다.
해결책:
진행의 100번째 요소에 대한 공식을 작성해 봅시다
그리고 첫 번째를 찾으십시오
첫 번째를 기반으로 진행의 50번째 항을 찾습니다.
진행 부분의 합 찾기
그리고 처음 100의 합
진행의 합은 250입니다.
예 4
다음과 같은 경우 산술 진행의 구성원 수를 찾습니다.
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
해결책:
우리는 첫 번째 용어와 진행 단계의 관점에서 방정식을 작성하고 정의합니다.
얻은 값을 합계 공식으로 대체하여 합계의 항 수를 결정합니다.
단순화하기
이차방정식을 풀고
발견된 두 값 중 8이라는 숫자만이 문제의 조건에 적합합니다. 따라서 진행의 처음 8항의 합은 111입니다.
실시예 5
방정식을 풀다
1+3+5+...+x=307.
솔루션: 이 방정식은 산술 진행의 합입니다. 우리는 첫 번째 용어를 작성하고 진행의 차이를 찾습니다.
산술 진행의 합입니다.
산술 진행의 합은 간단한 것입니다. 의미와 공식 모두에서. 그러나이 주제에는 모든 종류의 작업이 있습니다. 초급에서 상당히 견고합니다.
먼저 합계의 의미와 공식을 다루겠습니다. 그리고 우리는 결정할 것입니다. 자신의 즐거움을 위해.) 합계의 의미는 낮음만큼 간단합니다. 산술 진행의 합을 찾으려면 모든 구성원을 신중하게 추가하기만 하면 됩니다. 이러한 용어가 적으면 수식 없이 추가할 수 있습니다. 하지만 많거나 많으면 ... 추가가 귀찮습니다.) 이 경우 수식이 저장됩니다.
합계 공식은 간단합니다.
수식에 어떤 문자가 포함되어 있는지 알아 봅시다. 이것은 많은 것을 정리할 것입니다.
Sn 산술 진행의 합입니다. 추가 결과 모두회원들과 함께 첫 번째에 의해 마지막.그건 중요해. 정확히 합산 모두간격과 점프가 없는 연속 멤버. 그리고 정확히, 첫 번째. 3번째 항과 8번째 항의 합 또는 5번째에서 20번째 항의 합을 찾는 것과 같은 문제에서 공식을 직접 적용하는 것은 실망스러울 것입니다.)
1 - 첫 번째진행멤버. 여기 모든 것이 명확합니다. 간단합니다. 첫 번째행 번호.
엔- 마지막진행멤버. 마지막 번호열. 그리 낯익은 이름은 아니지만 금액에 적용해보면 아주 잘 어울리는 이름이다. 그러면 직접 보게 될 것입니다.
N 마지막 멤버의 번호입니다. 공식에서 이 숫자를 이해하는 것이 중요합니다. 추가된 용어의 수와 일치합니다.
개념을 정의하자 마지막회원 엔. 채우는 질문: 어떤 종류의 멤버가 될 것인가? 마지막,주어지면 끝없는산술 진행?
자신 있는 답변을 위해서는 산술 진행의 기본적인 의미를 이해하고 ... 과제를 주의 깊게 읽어야 합니다!)
산술 진행의 합을 찾는 작업에서 마지막 용어는 항상 나타납니다(직접 또는 간접적으로). 제한되어야합니다.그렇지 않으면 한정된 특정 금액 그냥 존재하지 않습니다.솔루션의 경우 유한 또는 무한 중 어떤 종류의 진행이 제공되는지는 중요하지 않습니다. 그것이 어떻게 주어졌는지는 중요하지 않습니다: 일련의 숫자로, 또는 n번째 멤버의 공식으로.
가장 중요한 것은 진행의 첫 번째 항에서 숫자가 있는 항까지 공식이 작동한다는 것을 이해하는 것입니다. N.실제로 수식의 전체 이름은 다음과 같습니다. 산술 진행의 처음 n 항의 합.이 첫 번째 구성원의 수, 즉 N, 전적으로 작업에 의해 결정됩니다. 작업에서이 모든 귀중한 정보는 종종 암호화됩니다. 예 ... 하지만 아무것도 없습니다. 아래 예에서는 이러한 비밀을 밝힐 것입니다.)
산술 진행의 합계에 대한 작업의 예입니다.
가장 먼저, 유용한 정보:
산술 진행의 합계에 대한 작업의 주요 어려움은 수식 요소를 올바르게 결정하는 것입니다.
과제 작성자는 무한한 상상력으로 바로 이러한 요소를 암호화합니다.) 여기서 가장 중요한 것은 두려워하지 않는 것입니다. 요소의 본질을 이해하면 해독하는 것만으로도 충분합니다. 몇 가지 예를 자세히 살펴보겠습니다. 실제 GIA를 기반으로 한 작업부터 시작하겠습니다.
1. 산술 수열은 a n = 2n-3.5 조건으로 제공됩니다. 처음 10항의 합을 구합니다.
잘했어요. 쉽습니다.) 공식에 따라 금액을 결정하려면 무엇을 알아야 합니까? 첫 번째 멤버 1, 마지막 기간 엔, 예 마지막 용어의 번호 N.
마지막 회원 번호를 얻을 수 있는 곳 N? 예, 같은 장소에서 상태로! 합계를 구한다고 합니다 선착순 10명.자, 어떤 숫자가 될까요? 마지막, 10번째 멤버?) 믿기지 않겠지만, 그의 숫자는 10번째!) 따라서 대신에 엔우리는 공식으로 대체 할 것입니다 10, 하지만 대신 N- 십. 다시 말하지만, 마지막 구성원의 수는 구성원의 수와 동일합니다.
결정해야 할 사항 1그리고 10. 이는 문제 설명에 나와 있는 n번째 항의 공식으로 쉽게 계산할 수 있습니다. 방법을 모르십니까? 이것 없이는 이전 수업을 방문하십시오.
1= 2 1 - 3.5 = -1.5
10\u003d 2·10-3.5 \u003d 16.5
Sn = 에스 10.
우리는 산술 진행의 합에 대한 공식의 모든 요소의 의미를 알아냈습니다. 그것들을 대체하고 세는 것이 남아 있습니다.
그게 전부입니다. 답: 75.
GIA를 기반으로 한 또 다른 작업. 조금 더 복잡합니다.
2. 산술 수열(an)이 주어지면 그 차이는 3.7입니다. 1 \u003d 2.3. 처음 15항의 합을 구합니다.
즉시 합계 공식을 작성합니다.
이 공식을 사용하면 번호로 모든 구성원의 가치를 찾을 수 있습니다. 우리는 간단한 대체물을 찾고 있습니다.
15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
수식의 모든 요소를 산술 진행의 합으로 대체하고 답을 계산해야 합니다.
답: 423.
그건 그렇고, 합계 공식에서 대신 엔 n번째 항의 공식을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
우리는 유사한 것을 제공하고 산술 진행의 구성원 합계에 대한 새로운 공식을 얻습니다.
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보다시피 그럴 필요가 없다. n번째 멤버 엔. 일부 작업에서는 이 공식이 많은 도움이 됩니다. 예... 이 공식을 기억할 수 있습니다. 여기에서와 같이 적시에 간단하게 인출할 수 있습니다. 결국 합에 대한 공식과 n번째 항에 대한 공식은 모든 면에서 기억해야 합니다.)
이제 짧은 암호화 형식의 작업):
3. 3의 배수인 모든 양수 두 자리 수의 합을 구하십시오.
어떻게! 1등도 없고, 꼴찌도 없고, 진급도 없고... 어떻게 살아!?
당신은 머리로 생각하고 산술 진행의 합의 모든 요소를 조건에서 꺼내야 할 것입니다. 두 자리 숫자는 무엇입니까-우리는 알고 있습니다. 두 개의 숫자로 구성됩니다.) 어떤 두 자리 숫자가 첫 번째? 10, 아마도.) 마지막 것두 자리 숫자? 물론 99! 세 자리 숫자가 그를 따라갈 것입니다 ...
3의 배수... 흠... 이것들은 3으로 균등하게 나누어 떨어지는 숫자들입니다, 여기! 10은 3으로 나누어지지 않고, 11은 나누어지지 않고... 12...는 나누어지지 않습니다! 그래서 뭔가 떠오르고 있습니다. 문제의 조건에 따라 시리즈를 이미 작성할 수 있습니다.
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
이 시리즈는 산술 진행입니까? 틀림없이! 각 용어는 이전 용어와 엄격하게 세 가지 다릅니다. 2 또는 4가 용어에 추가되면 결과, 즉 새 숫자는 더 이상 3으로 나누지 않습니다. 힙에 대한 산술 진행의 차이를 즉시 확인할 수 있습니다. 디 = 3.유용한!)
따라서 몇 가지 진행 매개변수를 안전하게 기록할 수 있습니다.
숫자는 어떻게 될까요? N마지막 멤버? 99라고 생각하는 사람은 치명적으로 착각합니다 ... 숫자-항상 연속으로 가고 우리 멤버는 상위 3 위를 뛰어 넘습니다. 일치하지 않습니다.
여기에는 두 가지 솔루션이 있습니다. 한 가지 방법은 열심히 일하는 사람들을 위한 것입니다. 진행, 전체 숫자 시리즈를 칠하고 손가락으로 용어 수를 셀 수 있습니다.) 두 번째 방법은 사려 깊은 사람을 위한 것입니다. n번째 항에 대한 공식을 기억해야 합니다. 이 공식을 문제에 적용하면 99가 진행의 30번째 멤버라는 것을 알 수 있습니다. 저것들. n = 30.
산술 진행의 합에 대한 공식을 살펴봅니다.
보고 기뻐합니다.) 문제의 조건에서 금액을 계산하는 데 필요한 모든 것을 꺼냈습니다.
1= 12.
30= 99.
Sn = 에스 30.
남은 것은 기본 산술입니다. 수식의 숫자를 대체하고 다음을 계산합니다.
답: 1665
인기 있는 퍼즐의 또 다른 유형:
4. 산술 진행이 주어집니다.
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
20번째부터 34번째까지의 항의 합을 구하십시오.
합계 공식을보고 ... 화가났습니다.) 공식은 합계를 계산합니다. 처음부터회원. 그리고 문제에서 합계를 계산해야 합니다. 스무살부터...공식이 작동하지 않습니다.
물론 전체 진행을 연속으로 칠하고 멤버를 20에서 34까지 넣을 수 있습니다. 하지만 ... 어쩐지 어리석고 오랫동안 밝혀 졌죠?)
더 우아한 해결책이 있습니다. 시리즈를 두 부분으로 나누겠습니다. 첫 번째 부분은 1학기부터 19학기까지.두 번째 부분 - 스물에서 서른넷.첫 번째 부분의 항의 합을 계산하면 에스 1-19, 두 번째 부분의 구성원 합계에 추가합시다 에스 20-34, 우리는 첫 번째 용어에서 34번째 용어까지 진행의 합계를 얻습니다. 에스 1-34. 이와 같이:
에스 1-19 + 에스 20-34 = 에스 1-34
이것은 합계를 찾는 것을 보여줍니다 에스 20-34간단한 뺄셈으로 할 수 있습니다
에스 20-34 = 에스 1-34 - 에스 1-19
오른쪽의 두 합계가 모두 고려됩니다. 처음부터회원, 즉 표준 합계 공식은 그들에게 상당히 적용 가능합니다. 이제 시작하는 건가요?
작업 조건에서 진행 매개변수를 추출합니다.
d = 1.5.
1= -21,5.
첫 19항과 처음 34항의 합을 계산하려면 19항과 34항이 필요합니다. 문제 2에서와 같이 n번째 항의 공식에 따라 계산합니다.
19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5
34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28
아무것도 남지 않았습니다. 34항의 합에서 19항의 합을 뺍니다.
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
답: 262.5
한 가지 중요한 참고 사항! 이 문제를 해결하는 데 매우 유용한 기능이 있습니다. 직접 계산 대신 당신에게 필요한 것(S20-34),우리는 세었다 필요하지 않은 것 같습니다-S 1-19.그리고 나서 그들은 결정했습니다. 에스 20-34, 전체 결과에서 불필요한 것을 버립니다. 그러한 "귀에 대한 속임수"는 종종 사악한 퍼즐을 저장합니다.)
이 수업에서는 산술 진행의 합의 의미를 이해하기에 충분한 문제를 살펴보았습니다. 몇 가지 공식을 알아야 합니다.)
산술 진행의 합에 대한 문제를 풀 때 이 항목에서 두 가지 주요 공식을 즉시 작성하는 것이 좋습니다.
n번째 항의 공식:
이 공식은 문제를 해결하기 위해 무엇을 찾아야 하는지, 어떤 방향으로 생각해야 하는지 즉시 알려줍니다. 도움이 됩니다.
이제 독립 솔루션을 위한 작업입니다.
5. 3으로 나누어지지 않는 모든 두 자리 수의 합을 구하십시오.
멋져요?) 힌트는 문제 4에 대한 메모에 숨겨져 있습니다. 음, 문제 3이 도움이 될 것입니다.
6. 산술 수열은 다음 조건으로 제공됩니다. a 1 =-5.5; n+1 = n +0.5. 처음 24항의 합을 구합니다.
특이한?) 이것은 반복되는 공식입니다. 이전 단원에서 이에 대해 읽을 수 있습니다. 링크를 무시하지 마십시오. 이러한 퍼즐은 종종 GIA에서 찾을 수 있습니다.
7. Vasya는 휴가를 위해 돈을 모았습니다. 무려 4550 루블! 그리고 나는 가장 사랑하는 사람 (나 자신)에게 며칠의 행복을 주기로 결정했습니다). 자신을 부정하지 않고 아름답게 살아라. 첫날에 500 루블을 쓰고 다음 날에는 이전보다 50 루블을 더 씁니다! 돈이 다 떨어질 때까지. Vasya는 며칠 동안 행복했습니까?
어렵나요?) 작업 2의 추가 공식이 도움이 될 것입니다.
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예제 해결을 연습하고 레벨을 확인할 수 있습니다. 즉각적인 확인을 통한 테스트. 학습 - 관심을 가지고!)
함수와 도함수에 대해 알 수 있습니다.
대수학을 공부할 때 일반 교육 학교(9등급) 중 하나 중요한 주제기하 및 산술 진행을 포함하는 수치 시퀀스에 대한 연구입니다. 이 기사에서는 산술 진행과 솔루션의 예를 고려할 것입니다.
산술 진행이란 무엇입니까?
이를 이해하려면 고려 중인 진행에 대한 정의를 제공하고 문제 해결에 추가로 사용할 기본 공식을 제공해야 합니다.
산술 또는 정렬된 유리수 집합으로, 각 구성원은 이전 구성원과 일부 상수 값이 다릅니다. 이 값을 차이라고 합니다. 즉, 순서가 지정된 일련의 숫자의 구성원과 차이를 알면 전체 산술 진행을 복원할 수 있습니다.
예를 들어 보겠습니다. 다음 숫자 시퀀스는 4, 8, 12, 16, ...의 산술 수열이 됩니다. 이 경우의 차이는 4(8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12)이기 때문입니다. 그러나 숫자 3, 5, 8, 12, 17의 집합은 그 차이가 상수 값(5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17)이 아니기 때문에 더 이상 고려되는 진행 유형에 기인할 수 없습니다. - 12).
중요한 공식
이제 산술 진행을 사용하여 문제를 해결하는 데 필요한 기본 공식을 제공합니다. n은 시퀀스의 n번째 구성원을 나타내며 여기서 n은 정수입니다. 차이점을 나타내자 라틴 문자디. 그러면 다음 표현이 참입니다.
- n 번째 항의 값을 결정하려면 다음 공식이 적합합니다. a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- 처음 n 항의 합을 결정하려면: S n = (an + a 1)*n/2.
9학년 솔루션을 사용한 산술 수열의 예를 이해하려면 이 두 공식을 기억하는 것으로 충분합니다. 또한 진행 차이는 다음 공식에 의해 결정된다는 점을 잊지 마십시오. d = an - an n-1 .
예 #1: 알 수 없는 구성원 찾기
산술 진행의 간단한 예와 해결에 사용해야 하는 공식을 제공합니다.
시퀀스 10, 8, 6, 4, ...가 주어지면 5개의 용어를 찾아야 합니다.
문제의 조건에서 처음 4항이 알려져 있다는 것은 이미 뒤따르고 있습니다. 다섯 번째는 두 가지 방식으로 정의할 수 있습니다.
- 먼저 차이를 계산해 봅시다. d = 8 - 10 = -2입니다. 마찬가지로, 서로 옆에 있는 두 개의 다른 항을 취할 수 있습니다. 예를 들어, d = 4 - 6 = -2입니다. d \u003d a n-a n-1, d \u003d a 5-a 4로 알려져 있으므로 a 5 \u003d a 4 + d를 얻습니다. 알려진 값을 a 5 = 4 + (-2) = 2로 대체합니다.
- 두 번째 방법도 해당 진행의 차이에 대한 지식이 필요하므로 위에 표시된 것처럼 먼저 이를 결정해야 합니다(d = -2). 첫 번째 항 a 1 = 10임을 알면 수열의 n 수에 대한 공식을 사용합니다. n \u003d (n-1) * d + a 1 \u003d (n-1) * (-2) + 10 \u003d 12-2 * n이 있습니다. n = 5를 마지막 식에 대입하면 a 5 = 12-2 * 5 = 2가 됩니다.
보시다시피 두 솔루션 모두 동일한 결과를 가져옵니다. 이 예에서 진행의 차이 d는 음수입니다. 이러한 수열은 각각의 연속 항이 이전 항보다 작기 때문에 감소라고 합니다.
예 #2: 진행 차이
이제 작업을 약간 복잡하게 만들고 산술 진행의 차이를 찾는 방법에 대한 예를 들어 보겠습니다.
일부 대수 진행에서 첫 번째 항은 6이고 7번째 항은 18인 것으로 알려져 있습니다. 차이를 찾고 이 수열을 7번째 항으로 복원하는 것이 필요합니다.
공식을 사용하여 알 수 없는 용어를 결정해 봅시다: a n = (n - 1) * d + a 1 . 조건의 알려진 데이터, 즉 숫자 a 1과 7을 대체합니다. 18 \u003d 6 + 6 * d가 있습니다. 이 식에서 차이를 쉽게 계산할 수 있습니다: d = (18 - 6) / 6 = 2. 따라서 문제의 첫 번째 부분이 답이 되었습니다.
시퀀스를 7번째 멤버로 복원하려면 a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d 등과 같은 대수 진행의 정의를 사용해야 합니다. 결과적으로 전체 시퀀스를 복원합니다. a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , 6 = 14 + 2 = 16 및 7 = 18.
예 #3: 진행하기
문제의 조건을 더욱 복잡하게 합시다. 이제 산술 진행을 찾는 방법에 대한 질문에 답해야 합니다. 다음 예를 들 수 있습니다. 예를 들어 4와 5와 같이 두 개의 숫자가 주어집니다. 이들 사이에 세 개의 용어가 더 들어가도록 대수적 진행을 만드는 것이 필요합니다.
이 문제를 해결하기 전에 주어진 숫자가 향후 진행에서 어떤 위치를 차지할지 이해하는 것이 필요합니다. 그들 사이에 세 개의 용어가 더 있기 때문에 1 \u003d -4 및 5 \u003d 5입니다. 이것을 설정하면 이전 작업과 유사한 작업을 진행합니다. 다시 n 번째 항에 대해 공식을 사용하면 a 5 \u003d a 1 + 4 * d를 얻습니다. 에서 : d \u003d (a 5-a 1) / 4 \u003d (5-(-4)) / 4 \u003d 2.25. 여기서 차이는 정수 값이 아니라 유리수이므로 대수 수열의 공식은 그대로 유지됩니다.
이제 찾은 차이를 1에 추가하고 진행 중 누락된 구성원을 복원해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다. 문제의 조건과 일치했습니다.
예 #4: 진행의 첫 번째 멤버
솔루션과 함께 산술 진행의 예를 계속 제공합니다. 이전의 모든 문제에서 대수 진행의 첫 번째 숫자가 알려져 있었습니다. 이제 다른 유형의 문제를 고려하십시오. 15 = 50 및 43 = 37인 두 개의 숫자가 주어집니다. 이 시퀀스가 시작되는 숫자를 찾아야 합니다.
지금까지 사용된 공식은 a 1과 d에 대한 지식을 가정합니다. 문제가 있는 상태에서 이러한 숫자에 대해 알려진 바가 없습니다. 그럼에도 불구하고 우리가 정보를 가지고 있는 각 용어에 대해 a 15 = a 1 + 14 * d 및 a 43 = a 1 + 42 * d라는 표현을 작성해 봅시다. 우리는 2개의 미지수(a 1 및 d)가 있는 두 개의 방정식을 얻었습니다. 이것은 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소됨을 의미합니다.
지정된 시스템은 각 방정식에 1을 표현한 다음 결과 표현식을 비교하면 가장 쉽게 풀 수 있습니다. 첫 번째 등식: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; 두 번째 방정식 : a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. 이 표현을 동일시하면 50-14 * d \u003d 37-42 * d를 얻습니다. 여기서 차이 d \u003d (37-50) / (42-14) \u003d-0.464 (소수점 3 자리 만 제공됨).
d를 알면 1에 대해 위의 두 표현식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 먼저 a 1 \u003d 50-14 * d \u003d 50-14 * (-0.464) \u003d 56.496입니다.
결과에 대해 의심이 가는 경우 예를 들어 조건에 지정된 진행의 43번째 멤버를 결정할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다. a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (-0.464) \u003d 37.008. 작은 오차는 계산에 1000분의 1로 반올림했기 때문입니다.
예 #5: 합계
이제 산술 진행의 합에 대한 솔루션이 있는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
1, 2, 3, 4, ...,와 같은 형식의 수열이 주어집니다. 이 숫자의 100의 합계를 계산하는 방법은 무엇입니까?
컴퓨터 기술의 발달 덕분에 이 문제를 해결할 수 있습니다. 즉, 사람이 Enter 키를 누르자마자 컴퓨터가 수행하는 모든 숫자를 순차적으로 더합니다. 그러나 제시된 일련의 숫자가 대수 진행이고 그 차이가 1이라는 점에 주의하면 문제를 정신적으로 해결할 수 있습니다. 합계에 대한 공식을 적용하면 S n = n * (a 1 + an n)을 얻습니다. / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
18 세기 초에 아직 10 살 밖에되지 않은 유명한 독일인이 몇 초 만에 마음 속에서 해결할 수 있었기 때문에이 문제를 "가우시안"이라고 부르는 것이 궁금합니다. 소년은 대수 진행의 합에 대한 공식을 몰랐지만 수열의 가장자리에 있는 숫자 쌍을 더하면 항상 같은 결과, 즉 1 + 100 = 2 + 99를 얻는다는 것을 알아차렸습니다. = 3 + 98 = ... 그리고 이 합계는 정확히 50(100 / 2)이므로 정답을 얻으려면 50에 101을 곱하면 충분합니다.
예 #6: n에서 m까지 항의 합
산술 진행의 합에 대한 또 다른 전형적인 예는 다음과 같습니다. 일련의 숫자가 주어지면 3, 7, 11, 15, ..., 8에서 14까지의 항의 합이 무엇인지 찾아야 합니다.
문제는 두 가지 방법으로 해결됩니다. 첫 번째는 8에서 14까지 알려지지 않은 용어를 찾은 다음 순차적으로 합산하는 것입니다. 용어가 적기 때문에 이 방법은 충분히 힘들지 않습니다. 그럼에도 불구하고 보다 보편적인 두 번째 방법으로 이 문제를 해결하는 것이 제안된다.
개념은 항 m과 n 사이의 대수적 진행의 합에 대한 공식을 얻는 것입니다. 여기서 n > m은 정수입니다. 두 경우 모두 합계에 대해 두 가지 식을 작성합니다.
- S m \u003d m * (am + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (an + a 1) / 2.
n > m이므로 2의 합이 첫 번째 합을 포함한다는 것은 명백합니다. 마지막 결론은 우리가 이 합들 사이의 차이를 취하고 그것에 항 a m을 더하면(차이를 취하는 경우에는 합 S n에서 뺍니다) 문제에 필요한 답을 얻는다는 것을 의미합니다. S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). n과 m에 대한 공식을 이 식으로 대체할 필요가 있습니다. S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
결과 공식은 다소 번거롭지만 합 S mn은 n, m, a 1 및 d에만 의존합니다. 우리의 경우 a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8입니다. 이 숫자를 대체하면 S mn = 301이 됩니다.
위의 솔루션에서 알 수 있듯이 모든 문제는 n번째 항에 대한 표현과 첫 번째 항 집합의 합에 대한 공식에 대한 지식을 기반으로 합니다. 이러한 문제를 해결하기 전에 조건을 주의 깊게 읽고 찾고자 하는 내용을 명확하게 이해한 다음 해결 방법을 진행하는 것이 좋습니다.
또 다른 팁은 단순성을 위해 노력하는 것입니다. 즉, 복잡한 수학적 계산을 사용하지 않고 질문에 답할 수 있다면 그렇게 해야 합니다. 이 경우 실수할 확률이 적기 때문입니다. 예를 들어, 솔루션 번호 6의 산술 수열의 예에서 S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2-m * (a 1 + a m) / 2 + a m 공식에서 멈출 수 있습니다. 그리고 분할 일반적인 작업별도의 하위 작업으로(에서 이 경우먼저 항 n과 a m을 찾으십시오).
얻은 결과에 대해 의심이 가는 경우 주어진 몇 가지 예에서와 같이 확인하는 것이 좋습니다. 산술 진행을 찾는 방법, 알아냈습니다. 알고 나면 그리 어렵지 않습니다.
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산술 진행
산술 진행은 특별한 종류의 수열입니다. 따라서 산술(그리고 기하) 수열을 정의하기 전에 간단히 논의할 필요가 있습니다. 중요한 개념번호 순서.
하위 시퀀스
일부 숫자가 차례로 표시되는 화면의 장치를 상상해보십시오. 2라고합시다. 7; 13; 1; 6; 0; 삼; : : : 이러한 숫자 집합은 시퀀스의 예일 뿐입니다.
정의. 숫자 시퀀스는 각 숫자에 고유한 숫자를 할당할 수 있는 일련의 숫자입니다(즉, 단일 자연수에 해당)1. 숫자 n이 있는 숫자를 호출합니다. n번째 멤버시퀀스.
따라서 위의 예에서 첫 번째 숫자는 시퀀스의 첫 번째 구성원인 숫자 2를 가지며 a1로 표시할 수 있습니다. 숫자 5는 수열의 다섯 번째 구성원인 숫자 6을 가지며 a5로 표시할 수 있습니다. 일반적으로 시퀀스의 n번째 구성원은 an(또는 bn , cn 등)으로 표시됩니다.
매우 편리한 상황은 시퀀스의 n번째 구성원이 어떤 수식으로 지정될 수 있는 경우입니다. 예를 들어 공식 an = 2n 3은 시퀀스를 지정합니다. 1; 1; 삼; 5; 7; : : : 공식 an = (1)n은 시퀀스를 정의합니다. 1; 1; 1; 1; : : :
모든 숫자 집합이 시퀀스는 아닙니다. 따라서 세그먼트는 시퀀스가 아닙니다. 다시 번호를 매길 ¾ 너무 많은 ¿ 숫자가 포함되어 있습니다. 모든 실수의 집합 R도 시퀀스가 아닙니다. 이러한 사실은 수학적 분석 과정에서 입증됩니다.
산술 진행: 기본 정의
이제 우리는 산술 진행을 정의할 준비가 되었습니다.
정의. 산술 수열은 각 항(두 번째부터 시작)이 이전 항과 일부 고정 숫자(산술 수열의 차이라고 함)의 합과 같은 수열입니다.
예를 들어, 시퀀스 2; 5; 8; 열하나; : : : 첫 번째 항이 2이고 차이가 3인 산술 수열입니다. 시퀀스 7; 2; 삼; 8; : : : 첫 번째 항이 7이고 차분이 5인 산술 수열입니다. 시퀀스 3; 삼; 삼; : : :는 차이가 0인 산술 수열입니다.
동등한 정의: 수열 an은 차이 an+1 an이 상수 값(n에 종속되지 않음)인 경우 산술 수열이라고 합니다.
산술 수열은 그 차이가 양수이면 증가하고, 차이가 음수이면 감소한다고 합니다.
1 그리고 여기에 더 간결한 정의가 있습니다. 수열은 자연수 집합에 정의된 함수입니다. 예를 들어, 일련의 실수는 함수 f:N! 아르 자형.
기본적으로 시퀀스는 무한한 수, 즉 무한한 수의 숫자를 포함하는 것으로 간주됩니다. 그러나 아무도 유한 시퀀스도 고려하지 않습니다. 사실 유한한 숫자 집합은 유한 시퀀스라고 할 수 있습니다. 예를 들어, 최종 시퀀스 1; 2; 삼; 4; 5는 5개의 숫자로 구성됩니다.
산술 진행의 n번째 멤버의 공식
산술 수열이 첫 번째 항과 차이라는 두 개의 숫자에 의해 완전히 결정된다는 것을 이해하기 쉽습니다. 따라서 문제가 발생합니다. 첫 번째 항과 차이를 알고 산술 진행의 임의 항을 찾는 방법은 무엇입니까?
산술 진행의 n번째 항에 대해 원하는 공식을 얻는 것은 어렵지 않습니다. 보자
차이가 있는 산술 진행 d. 우리는: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
특히 다음과 같이 작성합니다. | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
이제 an의 공식이 다음과 같다는 것이 분명해졌습니다. | |
an = a1 + (n 1)d: |
작업 1. 산술 진행 2에서; 5; 8; 열하나; : : : n번째 항의 공식을 찾아 100번째 항을 계산합니다.
해결책. 공식 (1)에 따르면 다음과 같습니다.
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 · 100 · 1 = 299:
산술 진행의 속성 및 부호
산술 진행의 속성. 산술 진행에서 모든
즉, 산술 수열의 각 구성원(두 번째부터 시작)은 이웃 구성원의 산술 평균입니다.
증거. 우리는: | ||||
n 1+ n+1 | (앤디) + (앤 + 디) | |||
그것이 필요한 것입니다.
보다 일반적으로, 산술 진행 an은 평등을 만족합니다.
n = n k+ n+k
임의의 n > 2 및 임의의 자연 k에 대해< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
식 (2)는 수열이 등차수열이 되기 위한 필요조건일 뿐만 아니라 충분조건임이 밝혀졌다.
산술 진행의 표시. 모든 n > 2에 대해 등식(2)이 유지되면 시퀀스 an은 산술 수열입니다.
증거. 공식 (2)를 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.
a n 1= n+1a n:
이것은 차이 an+1 an이 n에 의존하지 않는다는 것을 보여주며, 이것은 수열 an이 산술 수열임을 의미합니다.
산술 진행의 속성과 부호는 하나의 문장으로 공식화될 수 있습니다. 편의상 3개의 숫자에 대해 이 작업을 수행합니다(이는 문제에서 자주 발생하는 상황입니다).
산술 진행의 특성화. 세 개의 숫자 a, b, c는 2b = a + c인 경우에만 산술 수열을 형성합니다.
문제 2. (Moscow State University, Faculty of Economics, 2007) 세 개의 숫자 8x, 3 x2 및 4가 지정된 순서로 감소하는 산술 진행을 형성합니다. x를 찾아 이 수열의 차이를 쓰십시오.
해결책. 산술 진행의 속성에 의해 우리는 다음을 가집니다.
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
x = 1이면 6의 차이로 8, 2, 4의 감소 진행이 얻어집니다. x = 5이면 40, 22, 4의 증가 진행이 얻어집니다. 이 경우에는 작동하지 않습니다.
답: x = 1, 차이는 6입니다.
산술 진행의 처음 n 항의 합
전설에 따르면 선생님이 아이들에게 1에서 100까지의 숫자의 합을 구하라고 말하고 조용히 앉아서 신문을 읽었다고 합니다. 그러나 몇 분 안에 한 소년이 문제를 풀었다고 말했습니다. 나중에 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명이 된 9세의 칼 프리드리히 가우스였습니다.
리틀 가우스의 생각은 이러했습니다. 허락하다
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
이 합계를 역순으로 작성해 보겠습니다.
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
다음 두 수식을 추가합니다.
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
괄호 안의 각 항은 101이고 총 100개의 항이 있습니다.
2S = 101100 = 10100;
이 아이디어를 사용하여 합계 공식을 도출합니다.
S = a1 + a2 + : : : + an + an n n: (3)
공식 (3)의 유용한 수정은 n번째 항 an = a1 + (n 1)d에 대한 공식을 다음과 같이 대체하여 얻습니다.
2a1 + (n 1)d | |||||
작업 3. 13으로 나누어지는 모든 양수 세 자리 숫자의 합을 찾습니다.
해결책. 13의 배수인 세 자리 숫자는 첫 항 104와 차이 13으로 산술 수열을 형성합니다. 이 진행의 n번째 용어는 다음과 같습니다.
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
진행에 포함된 구성원이 몇 명인지 알아봅시다. 이를 위해 부등식을 해결합니다.
6999; 91 + 13n 6999;
n 690813 = 691113; n 6 69:
그래서 우리 진행에는 69명의 회원이 있습니다. 공식 (4)에 따르면 필요한 양을 찾습니다.
S = 2·104 + 68·13·69 = 37674: 2
