기하 수열의 예. 무한감소하는 기하수열과 제논의 역설의 합

주제에 대한 강의 및 프레젠테이션: "숫자 시퀀스. 기하 진행"

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9학년을 위한 온라인 상점 "Integral"의 교구 및 시뮬레이터
거듭제곱 및 근 함수와 그래프

여러분, 오늘 우리는 다른 유형의 진행에 대해 알게 될 것입니다.
오늘 수업의 주제는 기하급수적 진행입니다.

기하학적 진행

정의. 두 번째부터 시작하여 각 항이 이전 항과 고정된 수의 곱과 같은 수열을 기하 수열이라고 합니다.
시퀀스를 재귀적으로 정의해 봅시다: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
여기서 b와 q는 특정 숫자입니다. 숫자 q를 수열의 분모라고 합니다.

예. 1,2,4,8,16... 첫 번째 요소가 1이고 $q=2$인 기하 수열.

예. 8,8,8,8… 첫 항이 8인 기하 수열,
및 $q=1$.

예. 3,-3,3,-3,3... 첫 항이 3인 기하 수열,
및 $q=-1$.

기하 수열은 단조로움의 특성을 가지고 있습니다.
$b_(1)>0$, $q>1$,
그런 다음 시퀀스가 ​​증가합니다.
$b_(1)>0$이면 $0 시퀀스는 일반적으로 $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$로 표시됩니다.

산술 진행과 마찬가지로 기하 진행요소의 수가 유한한 경우 수열을 유한 기하 수열이라고 합니다.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
수열이 기하 수열인 경우 제곱 항의 수열도 기하 수열입니다. 두 번째 시퀀스에는 첫 번째 용어 $b_(1)^2$와 분모 $q^2$가 있습니다.

기하 수열의 n번째 구성원 공식

기하 수열은 분석 형식으로 지정할 수도 있습니다. 어떻게 하는지 보자:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
$b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$ 패턴을 쉽게 볼 수 있습니다.
우리의 공식은 "기하학적 수열의 n번째 구성원의 공식"이라고 합니다.

우리의 예로 돌아가 봅시다.

예. 1,2,4,8,16… 첫 번째 항이 1인 기하 수열,
및 $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

예. 16,8,4,2,1,1/2… 첫 항이 16이고 $q=\frac(1)(2)$인 등하수열.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

예. 8,8,8,8… 첫 항이 8이고 $q=1$인 기하 수열.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

예. 3,-3,3,-3,3… 첫 항이 3이고 $q=-1$인 등하수열.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

예. 주어진 기하 수열 $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) $b_(1)=6, q=3$인 것으로 알려져 있습니다. $b_(5)$를 찾으세요.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$인 것으로 알려져 있습니다. n을 찾으십시오.
c) $q=-2, b_(6)=96$인 것으로 알려져 있습니다. $b_(1)$를 찾습니다.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$인 것으로 알려져 있습니다. q를 찾으십시오.

해결책.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ 이후 $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

예. 기하 수열의 7번째와 5번째 멤버의 차이는 192이고, 5번째와 6번째 멤버의 합은 192입니다. 이 수열의 10번째 멤버를 찾으세요.

해결책.
$b_(7)-b_(5)=192$ 및 $b_(5)+b_(6)=192$.
$b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
그 다음에:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
방정식 시스템이 있습니다.
$\begin(케이스)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(케이스)$.
Equating, 우리 방정식은 다음을 얻습니다.
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
$q_(1)=2, q_(2)=-1$의 두 가지 솔루션 q가 있습니다.
두 번째 방정식에 연속적으로 대입합니다.
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ 해가 없습니다.
우리는 $b_(1)=4, q=2$를 얻었습니다.
열 번째 항을 찾아봅시다: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

유한 기하 수열의 합

유한한 기하학적 수열이 있다고 가정합니다. 산술 진행과 마찬가지로 구성원의 합을 계산해 봅시다.

유한 기하 수열이 주어진다고 하자: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
$S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$ 항의 합계에 대한 표기법을 소개합니다.
$q=1$인 경우. 기하 수열의 모든 구성원이 첫 번째 구성원과 같으면 $S_(n)=n*b_(1)$임이 분명합니다.
이제 $q≠1$의 경우를 고려하십시오.
위의 금액에 q를 곱합니다.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
메모:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

우리는 유한 기하 수열의 합에 대한 공식을 얻었습니다.

예.
첫 항이 4이고 분모가 3인 기하 수열의 처음 일곱 항의 합을 구하십시오.

해결책.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

예.
다음과 같이 알려진 기하 수열의 다섯 번째 구성원을 찾습니다. $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

해결책.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

기하 수열의 특성

여러분, 기하학적 진행이 주어집니다. $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$의 세 가지 연속 멤버를 고려해 봅시다.
우리는 다음을 알고 있습니다.
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
그 다음에:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
진행이 유한한 경우 이 동등성은 첫 번째와 마지막을 제외한 모든 항에 적용됩니다.
시퀀스가 어떤 종류인지 미리 알지 못하지만 $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
그렇다면 우리는 이것이 기하학적 수열이라고 안전하게 말할 수 있습니다.

수열은 각 항의 제곱이 인접한 두 항의 곱과 같은 경우에만 기하학적 수열입니다. 유한 진행의 경우 이 조건이 첫 항과 마지막 항에 대해 충족되지 않는다는 것을 잊지 마십시오.

이 항등식을 살펴보겠습니다: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$는 a와 b의 기하 평균이라고 합니다.

기하 수열의 모든 구성원의 모듈러스는 인접한 두 구성원의 기하 평균과 같습니다.

예.
$x+2와 같은 x를 찾으십시오. 2x+2; 3x+3$는 기하학적 수열의 세 연속 멤버였습니다.

해결책.
특성 속성을 사용해 보겠습니다.
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ 및 $x_(2)=-1$.
원래 식을 순차적으로 대체하여 솔루션:
$x=2$에서 다음과 같은 시퀀스를 얻습니다. 4;6;9는 $q=1.5$의 기하학적 수열입니다.
$x=-1$를 사용하면 1;0;0의 시퀀스를 얻습니다.
답: $x=2.$

독립 솔루션을 위한 과제

1. 기하 수열 16, -8, 4, -2 ...의 여덟 번째 첫 번째 요소를 찾습니다.
2. 기하수열 11,22,44…
3. $b_(1)=5, q=3$인 것으로 알려져 있습니다. $b_(7)$를 찾으세요.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$인 것으로 알려져 있다. n을 찾으십시오.
5. 기하 수열 3;12;48…의 처음 11개 요소의 합을 구합니다.
6. $3x+4가 되는 x를 찾으십시오. 2x+4; x+5$는 기하학적 수열의 세 연속 구성원입니다.

수업의 목적: 학생들에게 새로운 종류의 수열, 즉 무한히 감소하는 기하학적 수열을 소개합니다.
작업:
한계의 초기 아이디어 공식화 번호 순서;
무한히 감소하는 기하 수열의 합에 대한 공식을 사용하여 무한 주기적 분수를 일반 분수로 변환하는 또 다른 방법을 알고 있습니다.
논리적 사고, 평가 행동 능력, 일반화와 같은 학생 성격의 지적 특성 개발;
활동 교육, 상호 지원, 집단주의, 주제에 대한 관심.

다운로드:

시사:

관련 수업 "무한히 감소하는 기하 수열"(대수학, 10학년)

수업의 목적: 학생들에게 새로운 종류의 수열, 즉 무한히 감소하는 기하학적 수열을 소개합니다.

작업:

수치 시퀀스의 한계에 대한 초기 아이디어 공식화; 무한히 감소하는 기하 수열의 합에 대한 공식을 사용하여 무한 주기적 분수를 일반 분수로 변환하는 또 다른 방법을 알고 있습니다.

논리적 사고, 평가 행동 능력, 일반화와 같은 학생 성격의 지적 특성 개발;

활동 교육, 상호 지원, 집단주의, 주제에 대한 관심.

장비: 컴퓨터 수업, 프로젝터, 스크린.

수업 유형: 수업 - 새로운 주제를 마스터합니다.

수업 중

I. 조직 순간. 공과의 주제와 목적에 관한 메시지.

II. 학생들의 지식 업데이트.

9학년 때 산술 및 기하 진행을 공부했습니다.

질문

1. 산술 진행의 정의.

(산술 수열은 각 멤버가,

두 번째부터 시작하여 이전 용어와 동일하며 같은 숫자가 추가됩니다.)

2. 공식 n -산술 진행의 th 멤버

3. 첫 번째 합계의 공식 N 산술 진행의 구성원.

( 또는 )

4. 기하 수열의 정의.

(기하 수열은 0이 아닌 숫자의 시퀀스입니다.

두 번째부터 시작하여 각 항은 이전 항과 같고 곱한 값입니다.

같은 번호).

5. 공식 n 기하 수열의 세 번째 항

6. 첫 번째 합계의 공식 N 기하학적 진행의 구성원.

7. 아직도 알고 있는 공식은 무엇입니까?

(, 어디 ; ;

; , )

작업

1. 산술 진행은 다음 공식으로 제공됩니다. n = 7 - 4n. 10을 찾으십시오. (-33)

2. 산술 진행 3 = 7 및 5 = 1 . 4를 찾으십시오. (4)

3. 산술 진행 3 = 7 및 5 = 1 . 17을 찾으십시오. (-35)

4. 산술 진행 3 = 7 및 5 = 1 . S17을 찾으십시오. (-187)

5. 기하학적 수열의 경우다섯 번째 항을 찾으십시오.

6. 기하학적 수열의 경우 n 번째 항을 찾으십시오.

7. 기하급수적으로 b 3 = 8 및 b 5 = 2 . b 4 를 찾으십시오. (4)

8. 기하급수적으로 b 3 = 8 및 b 5 = 2 . b 1 과 q 를 찾으십시오.

9. 기하급수적으로 b 3 = 8 및 b 5 = 2 . S5를 찾습니다. (62)

III. 새로운 주제 탐색(데모 프레젠테이션).

한 변이 1인 정사각형을 생각해 봅시다. 변이 첫 번째 정사각형의 절반인 다른 정사각형을 그린 다음 또 다른 정사각형을 그립니다. 새 사각형의 측면이 이전 사각형의 절반이 될 때마다.

결과적으로 우리는 정사각형의 변의 연속을 얻었습니다.분모로 기하 수열을 형성.

그리고 매우 중요한 것은 그러한 사각형을 더 많이 만들수록 사각형의 측면이 작아진다는 것입니다.예를 들어 ,

저것들. 숫자 n이 증가하면 진행 조건이 0에 가까워집니다.

이 그림의 도움으로 하나 이상의 시퀀스를 고려할 수 있습니다.

예를 들어 정사각형 영역의 순서는 다음과 같습니다.

그리고 다시, 만약 n 무한히 증가하면 영역이 임의로 0에 가까워집니다.

한 가지 예를 더 생각해 보겠습니다. 한 변이 1cm인 정삼각형. 삼각형 정중선 정리에 따라 첫 번째 삼각형의 변의 중간점에 정점이 있는 다음 삼각형을 만들어 봅시다. 두 번째 변은 첫 번째 변의 절반이고 세 번째 변은 변의 절반입니다. 2차 등 다시 우리는 삼각형 변의 길이를 얻습니다.

에 .

분모가 음수인 기하 수열을 고려한다면.

그리고 다시 숫자가 늘어나면서 N 진행 조건은 0에 접근합니다.

이 시퀀스의 분모에 주목합시다. 모든 곳에서 분모는 모듈로 1 미만이었습니다.

우리는 결론을 내릴 수 있습니다: 분모의 계수가 1보다 작으면 기하 수열은 무한히 감소할 것입니다.

전면 작업.

정의:

기하 수열은 분모의 계수가 1보다 작으면 무한히 감소한다고 합니다..

정의의 도움으로 기하학적 수열이 무한히 감소하는지 여부에 대한 질문을 해결할 수 있습니다.

일

수열이 다음 공식으로 주어지면 무한히 감소하는 기하 수열입니까?

해결책:

q를 찾아봅시다.

; ; ; .

이 기하학적 진행은 무한히 감소하고 있습니다.

비) 이 수열은 무한히 감소하는 기하학적 수열이 아닙니다.

한 변이 1인 정사각형을 생각해 보십시오. 정사각형을 반으로 나누고 반 중 하나를 다시 반으로 나누는 식입니다. 모든 결과 사각형의 영역은 무한히 감소하는 기하학적 진행을 형성합니다.

이 방법으로 얻은 모든 직사각형의 면적의 합은 첫 번째 정사각형의 면적과 같고 1과 같습니다.

그러나 이 등식의 왼쪽에는 무한한 항의 합이 있습니다.

처음 n 항의 합을 고려하십시오.

기하 수열의 첫 번째 n 항의 합에 대한 공식에 따르면 다음과 같습니다..

만약 n 무한히 증가하면

또는 . 따라서, 즉 .

무한히 감소하는 기하수열의 합시퀀스 제한이 있습니다 S 1 , S 2 , S 3 , …, Sn , …

예를 들어 진행을 위해,

우리는

왜냐하면

무한히 감소하는 기하수열의 합공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

III. 성찰과 통합(작업 완료).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. 요약.

오늘은 어떤 순서로 만났나요?

무한히 감소하는 기하 수열을 정의합니다.

기하수열이 무한히 감소한다는 것을 어떻게 증명할 수 있습니까?

무한히 감소하는 기하 수열의 합에 대한 공식을 제공하십시오.

V. 숙제.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

시사:

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슬라이드 캡션:

모든 사람은 일관되게 생각하고 결정적으로 판단하고 잘못된 결론을 반박할 수 있어야 합니다. 물리학자와 시인, 트랙터 운전사 및 화학자. E.Kolman 수학에서는 공식이 아니라 사고 과정을 기억해야 합니다. VP Ermakov 수학자를 속이는 것보다 원의 제곱을 찾는 것이 더 쉽습니다. 아우구스투스 드 모건 인류에게 수학보다 더 고귀하고, 더 훌륭하고, 더 유용한 과학이 어디 있겠습니까? 프랭클린

무한히 감소하는 기하수열 10급

나. 산술 및 기하 수열. 질문 1. 산술 진행의 정의. 산술 수열은 두 번째부터 시작하여 각 항이 같은 숫자에 이전 항을 더한 것과 같은 수열입니다. 2. 산술 진행의 n번째 구성원의 공식. 3. 산술 수열의 처음 n개 요소의 합에 대한 공식. 4. 기하 수열의 정의. 기하 수열은 0이 아닌 숫자의 시퀀스로, 각 요소는 두 번째부터 시작하여 이전 요소에 동일한 숫자 5를 곱한 것과 같습니다. 기하 수열의 n번째 요소 공식. 6. 기하 수열의 처음 n개 요소의 합에 대한 공식.

II. 산술 진행. 할당 산술 진행은 공식 a n = 7 – 4 n 찾기 10 으로 제공됩니다. (-33) 2. 산술 진행에서 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 4를 찾으십시오. (4) 3. 산술 진행에서 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . 17을 찾으십시오. (-35) 4. 산술 진행에서 a 3 = 7 및 a 5 = 1 . S17을 찾으십시오. (-187)

II. 기하학적 진행. 작업 5. 기하 수열의 경우 다섯 번째 항을 찾습니다. 6. 기하 수열의 경우 n 번째 항을 찾습니다. 7. 기하수열에서 b 3 = 8 및 b 5 = 2. b 4 를 찾으십시오. (4) 8. 기하수열에서 b 3 = 8 및 b 5 = 2 . b 1 과 q 를 찾으십시오. 9. 기하수열에서 b 3 = 8 및 b 5 = 2. S5를 찾습니다. (62)

정의: 분모의 계수가 1보다 작은 경우 기하학적 수열은 무한히 감소한다고 합니다.

문제 1번 수열이 무한히 감소하는 기하학적 수열입니까? b) 이 수열은 무한히 감소하는 기하학적 수열이 아닙니다.

무한히 감소하는 기하수열의 합은 수열 S 1 , S 2 , S 3 , …, Sn , … 예를 들어, 수열의 경우 무한히 감소하는 기하 수열의 합은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

작업 완료 첫 번째 항이 3이고 두 번째 항이 0.3인 무한히 감소하는 기하 수열의 합을 구합니다. 2. 13번; 14번; 교과서, 138쪽 3. 15(1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. 19번; 20번.

오늘은 어떤 순서로 만났나요? 무한히 감소하는 기하 수열을 정의합니다. 기하수열이 무한히 감소한다는 것을 어떻게 증명할 수 있습니까? 무한히 감소하는 기하 수열의 합에 대한 공식을 제공하십시오. 질문

유명한 폴란드 수학자 Hugo Steinghaus는 다음과 같이 공식화 된 법칙이 있다고 농담으로 주장합니다. 수학자가 더 잘할 것입니다. 즉, 두 사람 중 한 명은 수학자에게 모르는 작업을 맡기면 결과는 항상 다음과 같습니다. 수학자가 더 잘할 것입니다. 휴고 슈타인하우스 14.01.1887-25.02.1972

지침

10, 30, 90, 270...

기하 수열의 분모를 찾는 것이 필요합니다.
해결책:

1 옵션. 진행의 임의의 구성원(예: 90)을 가져와서 이전 구성원(30)으로 나눕니다: 90/30=3.

기하 수열의 여러 요소의 합 또는 감소하는 기하 수열의 모든 요소의 합을 알고 있는 경우 수열의 분모를 찾으려면 적절한 공식을 사용하십시오.
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), 여기서 Sn은 기하 수열의 처음 n 항의 합이고
S = b1/(1-q), 여기서 S는 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합입니다(분모가 1보다 작은 수열의 모든 구성원의 합).
예.

감소하는 기하 수열의 첫 항은 1이고 모든 항의 합은 2입니다.

이 진행의 분모를 결정하는 것이 필요합니다.
해결책:

작업의 데이터를 수식으로 대체합니다. 얻다:
2=1/(1-q), 여기서 – q=1/2.

진행은 일련의 숫자입니다. 기하 수열에서 각 후속 항은 이전 항에 수열의 분모라고 하는 특정 숫자 q를 곱하여 얻습니다.

지침

기하 b(n+1) 및 b(n)의 이웃하는 두 구성원을 알고 있는 경우 분모를 얻으려면 큰 수를 앞의 수로 나눌 필요가 있습니다: q=b(n +1)/b(엔). 이것은 수열의 정의와 그 분모에 따른 것입니다. 중요한 조건은 수열의 첫 항과 분모가 0이 아니라는 것입니다. 그렇지 않으면 무한정으로 간주됩니다.

따라서 수열의 구성원 간에 다음 관계가 설정됩니다. b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. 공식 b(n)=b1 q^(n-1)에 의해 분모 q와 멤버 b1이 알려진 기하학적 수열의 모든 멤버를 계산할 수 있습니다. 또한 각각의 진행 모듈로는 이웃 구성원의 평균과 같습니다: |b(n)|=√, 따라서 진행은 .

기하학적 진행의 아날로그가 가장 간단합니다. 지수 함수 y=a^x, 여기서 x는 지수이고 a는 숫자입니다. 이 경우 진행의 분모는 첫 항과 일치하고 숫자 a와 같습니다. 함수 y의 값은 다음과 같이 이해할 수 있습니다. n번째 멤버인수 x가 자연수 n(카운터)으로 간주되는 경우 진행.

기하 수열의 처음 n 구성원의 합에 대해 존재합니다: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). 이 공식은 q≠1에 대해 유효합니다. q=1이면 처음 n항의 합은 공식 S(n)=n b1로 계산됩니다. 그건 그렇고, 진행은 1보다 큰 q와 양의 b1에 대해 증가라고 불릴 것입니다. 진행의 분모인 모듈로가 1을 초과하지 않는 경우 진행을 ​​감소라고 합니다.

특별한 경우기하 수열 - 무한히 감소하는 기하 수열(b.u.g.p.). 사실 감소하는 기하 수열의 구성원은 계속해서 감소하지만 결코 0에 도달하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 그러한 진행의 모든 ​​항의 합을 찾는 것이 가능합니다. 공식 S=b1/(1-q)로 결정됩니다. 총 n개의 멤버는 무한합니다.

무한한 숫자를 더하고 무한대가 되지 않는 방법을 시각화하려면 케이크를 굽습니다. 그것의 절반을 잘라. 그런 다음 절반에서 1/2을 자르십시오. 당신이 얻게 될 조각은 분모가 1/2인 무한히 감소하는 기하학적 수열의 구성원에 지나지 않습니다. 이 조각들을 모두 합치면 오리지널 케이크가 됩니다.

기하학 문제는 특별한 품종공간적 사고가 필요한 연습. 기하학을 풀 수 없다면 일아래 규칙을 따르십시오.

지침

문제의 상태를 매우 주의 깊게 읽으십시오. 기억이 나지 않거나 이해가 되지 않으면 다시 읽으십시오.

예를 들어 어떤 종류의 기하학적 문제인지 확인하십시오. 계산, 어떤 값을 찾아야 할 때 논리적 추론 체인이 필요한 작업, 나침반과 통치자를 사용하여 구축하는 작업. 더 많은 작업 혼합형. 문제 유형을 파악했으면 논리적으로 생각하십시오.

이 문제에 필요한 정리를 적용하고 의심이 있거나 옵션이 전혀 없다면 관련 주제에 대해 공부한 이론을 기억해 보십시오.

문제의 초안도 작성하십시오. 신청해보기 알려진 방법솔루션의 정확성을 확인합니다.

얼룩과 취소 선없이 노트북에서 문제 해결을 깔끔하게 완료하십시오. 가장 중요한 것은 첫 번째 기하학적 문제를 해결하는 데 시간과 노력이 필요할 것입니다. 그러나 일단 이 과정에 익숙해지면 미친 듯한 작업을 클릭하고 재미있게 할 수 있습니다!

기하 수열은 b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n이 되는 b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n)의 시퀀스입니다 ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. 즉, 수열의 각 구성원은 수열 q의 0이 아닌 분모를 곱하여 이전 구성원에서 얻습니다.

지침

수열의 문제는 수열 b1의 첫 항과 수열 q의 분모와 관련하여 시스템을 컴파일하고 따라가면 대부분 해결됩니다. 방정식을 작성하려면 몇 가지 공식을 기억하는 것이 유용합니다.

진행의 첫 번째 구성원과 진행의 분모를 통해 진행의 n번째 구성원을 표현하는 방법: b(n)=b1*q^(n-1).

경우를 별도로 고려하십시오 |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

기하 수열은 첫 번째 항이 0이 아닌 숫자 시퀀스이며 각 다음 항은 이전 항에 0이 아닌 동일한 수를 곱한 것과 같습니다.

기하 진행의 개념

기하 수열은 b1,b2,b3, …, bn, …로 표시됩니다.

이전 항에 대한 기하 오류 항의 비율은 같은 수, 즉 b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/억 = .... 이것은 산술 진행의 정의에서 직접 따릅니다. 이 숫자를 기하 수열의 분모라고 합니다. 일반적으로 기하 수열의 분모는 문자 q로 표시됩니다.

|q|에 대한 무한 기하 수열의 합<1

기하 수열을 설정하는 한 가지 방법은 첫 항 b1과 기하 오차 q의 분모를 설정하는 것입니다. 예를 들어, b1=4, q=-2입니다. 이 두 조건은 4, -8, 16, -32, …의 기하학적 진행을 제공합니다.

q>0(q가 1이 아님)인 경우 진행은 단조 시퀀스입니다. 예를 들어, 시퀀스 2, 4,8,16,32, ...는 단조롭게 증가하는 시퀀스입니다(b1=2, q=2).

기하 오차의 분모 q=1이면 기하 수열의 모든 구성원은 서로 동일합니다. 이러한 경우 진행은 상수 시퀀스라고 합니다.

수열(bn)이 기하 수열이 되려면 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이웃 구성원의 기하 평균이어야 합니다. 즉, 다음 방정식을 충족해야 합니다.
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), 임의의 n>0에 대해, 여기서 n은 자연수 집합 N에 속합니다.

이제 (Xn)을 넣자 - 기하 수열. 기하 수열 q의 분모, |q|∞).
이제 무한 기하 수열의 합을 S로 표시하면 다음 공식이 유지됩니다.
S=x1/(1-q).

간단한 예를 고려하십시오.

무한 기하 수열 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... 의 합을 구합니다.

S를 찾기 위해 무한 산술 진행의 합에 대한 공식을 사용합니다. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

모든 자연수라면 N 실수를 맞추다 앤 , 그런 다음 그들은 주어진 번호 순서 :

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 앤 , . . . .

따라서 숫자 시퀀스는 자연 인수의 함수입니다.

숫자 ㅏ 1 ~라고 불리는 시퀀스의 첫 번째 멤버 , 숫자 ㅏ 2 — 시퀀스의 두 번째 멤버 , 숫자 ㅏ 3 — 제삼 등등. 숫자 앤 ~라고 불리는 n번째 멤버시퀀스 , 그리고 자연수 N — 그의 번호 .

옆에 있는 두 멤버로부터 앤 그리고 앤 +1 멤버 시퀀스 앤 +1 ~라고 불리는 후속 (쪽으로 앤 ), ㅏ 앤 — 이전의 (쪽으로 앤 +1 ).

시퀀스를 지정하려면 임의 번호의 시퀀스 멤버를 찾을 수 있는 메서드를 지정해야 합니다.

종종 시퀀스는 다음과 같이 제공됩니다. n번째 항 공식 즉, 번호로 시퀀스 구성원을 결정할 수 있는 공식입니다.

예를 들어,

양의 홀수 시퀀스는 다음 공식으로 제공될 수 있습니다.

앤= 2N- 1,

그리고 번갈아가는 순서 1 그리고 -1 - 공식

비 N = (-1)N +1 . ◄

순서를 정할 수 있다 반복 공식, 즉, 일부부터 시작하여 이전(하나 이상) 구성원까지 시퀀스의 모든 구성원을 표현하는 수식입니다.

예를 들어,

만약에 ㅏ 1 = 1 , ㅏ 앤 +1 = 앤 + 5

ㅏ 1 = 1,

ㅏ 2 = ㅏ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ㅏ 3 = ㅏ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ㅏ 4 = ㅏ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ㅏ 5 = ㅏ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

만약에 1= 1, 2 = 1, 앤 +2 = 앤 + 앤 +1 , 그런 다음 숫자 시퀀스의 처음 7개 구성원은 다음과 같이 설정됩니다.

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ㅏ 6 = ㅏ 4 + ㅏ 5 = 3 + 5 = 8,

ㅏ 7 = ㅏ 5 + ㅏ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

시퀀스는 다음과 같을 수 있습니다. 결정적인 그리고 끝없는 .

시퀀스라고 합니다 궁극적인 멤버 수가 한정된 경우. 시퀀스라고 합니다 끝없는 멤버가 무한히 많은 경우.

예를 들어,

두 자리 자연수의 시퀀스:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

결정적인.

소수열:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

끝없는. ◄

시퀀스라고 합니다 증가 , 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원보다 큰 경우.

시퀀스라고 합니다 쇠퇴 , 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원보다 작은 경우.

예를 들어,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . 오름차순입니다.

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . 내림차순이다. ◄

숫자가 증가해도 요소가 감소하지 않거나 반대로 증가하지 않는 시퀀스를 호출합니다. 단조로운 시퀀스 .

특히 단조 수열은 증가 수열과 감소 수열입니다.

산술 진행

산술 진행 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 동일한 번호가 추가되는 이전 구성원과 동일한 시퀀스가 ​​호출됩니다.

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . , 앤, . . .

임의의 자연수에 대해 산술 수열입니다. N 조건이 충족됨:

앤 +1 = 앤 + 디,

어디 디 - 어떤 숫자.

따라서 주어진 산술 진행의 다음 구성원과 이전 구성원 간의 차이는 항상 일정합니다.

2 - ㅏ 1 = 3 - ㅏ 2 = . . . = 앤 +1 - 앤 = 디.

숫자 디 ~라고 불리는 산술 진행의 차이.

산술 수열을 설정하려면 첫 항과 차를 지정하는 것으로 충분합니다.

예를 들어,

만약에 ㅏ 1 = 3, 디 = 4 , 시퀀스의 처음 다섯 항은 다음과 같이 발견됩니다.

1 =3,

2 = 1 + 디 = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + 디= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + 디= 11 + 4 = 15,

ㅏ 5 = ㅏ 4 + 디= 15 + 4 = 19. ◄

첫 번째 학기의 산술 진행 ㅏ 1 그리고 차이 디 그녀의 N

앤 = 1 + (N- 1)디.

예를 들어,

산술 진행의 30번째 항을 찾다

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, 디 = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (N- 2)디,

앤= 1 + (N- 1)디,

앤 +1 = ㅏ 1 + 차,

그렇다면 분명히

앤=	n-1 + n+1
	2

두 번째부터 시작하여 산술 진행의 각 구성원은 이전 및 후속 구성원의 산술 평균과 같습니다.

숫자 a, b 및 c는 그 중 하나가 다른 둘의 산술 평균과 같은 경우에만 일부 산술 수열의 연속적인 구성원입니다.

예를 들어,

앤 = 2N- 7 , 산술 진행입니다.

위의 문장을 사용합시다. 우리는:

앤 = 2N- 7,

n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

따라서,

n+1 + n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = 앤,
2		2

◄

참고 N - 산술 진행의 번째 구성원은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. ㅏ 1 , 뿐만 아니라 이전 케이

앤 = 케이 + (N- 케이)디.

예를 들어,

을 위한 ㅏ 5 쓸 수 있습니다

5 = 1 + 4디,

5 = 2 + 3디,

5 = 3 + 2디,

5 = 4 + 디. ◄

앤 = n-k + kd,

앤 = n+k - kd,

그렇다면 분명히

앤=	ㅏ n-k + 에이 n+k
	2

두 번째부터 시작하는 산술 진행의 모든 ​​구성원은 동일한 간격으로 이 산술 진행 구성원의 합의 절반과 같습니다.

또한 모든 산술 진행에 대해 등식은 참입니다.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

예를 들어,

산술 진행에서

1) ㅏ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ㅏ 9 + ㅏ 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7디= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, 왜냐하면

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= 1 + 2 + 3 + . . .+ 앤,

첫 번째 N 산술 수열의 구성원은 극단 항의 합의 절반과 항의 수의 곱과 같습니다.

이로부터 특히 용어를 합산하는 것이 필요한 경우 다음이 따릅니다.

케이, 케이 +1 , . . . , 앤,

이전 수식은 구조를 유지합니다.

예를 들어,

산술 진행에서 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

에스 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 에스 10 - 에스 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

주어지면 산술 진행, 다음 수량 ㅏ 1 , 앤, 디, N그리고에스 N 두 공식으로 연결:

따라서 이러한 수량 중 세 가지 값이 주어지면 다른 두 수량의 해당 값은 두 가지 미지수가 있는 두 방정식의 시스템으로 결합된 이러한 공식에서 결정됩니다.

산술 진행은 단조 수열입니다. 여기서:

• 만약에 디 > 0 , 그러면 증가하고 있습니다.
• 만약에 디 < 0 , 그러면 감소합니다.
• 만약에 디 = 0 , 시퀀스는 고정됩니다.

기하학적 진행

기하 진행 두 번째부터 시작하여 각 항이 이전 항과 같고 동일한 숫자를 곱한 시퀀스가 ​​호출됩니다.

비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . , 비앤, . . .

임의의 자연수에 대해 기하 수열입니다. N 조건이 충족됨:

비앤 +1 = 비앤 · 큐,

어디 큐 ≠ 0 - 어떤 숫자.

따라서 이 기하 수열의 다음 항과 이전 항의 비율은 상수입니다.

비 2 / 비 1 = 비 3 / 비 2 = . . . = 비앤 +1 / 비앤 = 큐.

숫자 큐 ~라고 불리는 기하 수열의 분모.

기하 수열을 설정하려면 첫 항과 분모를 지정하는 것으로 충분합니다.

예를 들어,

만약에 비 1 = 1, 큐 = -3 , 시퀀스의 처음 다섯 항은 다음과 같이 발견됩니다.

b1 = 1,

나 2 = b1 · 큐 = 1 · (-3) = -3,

나 3 = 나 2 · 큐= -3 · (-3) = 9,

나 4 = 나 3 · 큐= 9 · (-3) = -27,

비 5 = 비 4 · 큐= -27 · (-3) = 81. ◄

비 1 및 분모 큐 그녀의 N -번째 항은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

비앤 = 비 1 · q n -1 .

예를 들어,

기하 수열의 일곱 번째 항 찾기 1, 2, 4, . . .

비 1 = 1, 큐 = 2,

비 7 = 비 1 · 큐 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b1 · q n -2 ,

비앤 = b1 · q n -1 ,

비앤 +1 = 비 1 · q n,

그렇다면 분명히

비앤 2 = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,

두 번째부터 시작하여 기하 수열의 각 구성원은 이전 및 후속 구성원의 기하 평균(비례)과 같습니다.

그 반대도 참이므로 다음 주장이 성립합니다.

숫자 a, b 및 c는 그 중 하나의 제곱이 다른 두 개의 곱과 같은 경우, 즉 숫자 중 하나가 다른 두 개의 기하 평균인 경우에만 일부 기하학적 수열의 연속 구성원입니다.

예를 들어,

공식에 의해 주어진 수열임을 증명하자 비앤= -3 2 N , 기하 수열입니다. 위의 문장을 사용합시다. 우리는:

비앤= -3 2 N,

비앤 -1 = -3 2 N -1 ,

비앤 +1 = -3 2 N +1 .

따라서,

비앤 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,

필요한 주장을 증명합니다. ◄

참고 N 기하 수열의 세 번째 항은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. 비 1 , 뿐만 아니라 이전 용어 bk , 공식을 사용하면 충분합니다.

비앤 = bk · q n - 케이.

예를 들어,

을 위한 비 5 쓸 수 있습니다

나 5 = b1 · 큐 4 ,

나 5 = 나 2 · q 3,

나 5 = 나 3 · q2,

나 5 = 나 4 · 큐. ◄

비앤 = bk · q n - 케이,

비앤 = 비앤 - 케이 · q k,

그렇다면 분명히

비앤 2 = 비앤 - 케이· 비앤 + 케이

두 번째부터 시작하여 기하 수열의 모든 구성원의 제곱은 등거리에 있는 이 수열 구성원의 곱과 같습니다.

또한 모든 기하 수열에 대해 등식은 참입니다.

비엠· 비앤= bk· ㄴㄴ,

중+ N= 케이+ 엘.

예를 들어,

기하급수적으로

1) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = 비 5 · 비 7 ;

2) 1024 = 비 11 = 비 6 · 큐 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) 비 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = 비 4 · 비 8 ;

4) 비 2 · 비 7 = 비 4 · 비 5 , 왜냐하면

비 2 · 비 7 = 2 · 64 = 128,

비 4 · 비 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . + 비앤

첫 번째 N 분모가 있는 기하 수열의 구성원 큐 ≠ 0 공식으로 계산:

그리고 언제 큐 = 1 - 공식에 따라

Sn= n.b. 1

용어를 합산해야 하는 경우

bk, bk +1 , . . . , 비앤,

다음 공식이 사용됩니다.

Sn- sk -1 = bk + bk +1 + . . . + 비앤 = bk ·	1 - q n - 케이 +1	.
	1 - 큐

예를 들어,

기하급수적으로 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

에스 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = 에스 10 - 에스 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

기하 수열이 주어지면 양은 비 1 , 비앤, 큐, N그리고 Sn 두 공식으로 연결:

따라서 이러한 수량 중 세 가지 값이 주어지면 다른 두 수량의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 시스템으로 결합된 이러한 공식에서 결정됩니다.

첫 항이 있는 기하 수열의 경우 비 1 및 분모 큐 다음이 일어난다 단조 속성 :

• 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행률이 증가합니다.

비 1 > 0 그리고 큐> 1;

비 1 < 0 그리고 0 < 큐< 1;

• 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 감소합니다.

비 1 > 0 그리고 0 < 큐< 1;

비 1 < 0 그리고 큐> 1.

만약에 큐< 0 , 기하 수열은 부호가 번갈아 나타납니다. 홀수 항은 첫 번째 항과 동일한 부호를 가지며 짝수 항은 반대 부호를 가집니다. 교대하는 기하학적 진행이 단조롭지 않다는 것은 분명합니다.

퍼스트의 상품 N 기하 수열의 항은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

피엔= b1 · 나 2 · 나 3 · . . . · 비앤 = (b1 · 비앤) N / 2 .

예를 들어,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

무한히 감소하는 기하 진행

무한히 감소하는 기하 진행 분모 계수가 다음보다 작은 무한 기하 수열이라고 합니다. 1 , 그건

|큐| < 1 .

무한히 감소하는 기하 수열은 감소하는 수열이 아닐 수 있습니다. 이 경우에 적합합니다.

1 < 큐< 0 .

이러한 분모를 사용하면 시퀀스는 부호가 번갈아 나타납니다. 예를 들어,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

무한히 감소하는 기하수열의 합 첫 번째의 합계가 될 숫자의 이름을 지정하십시오. N 숫자가 무제한으로 증가하는 진행 조건 N . 이 숫자는 항상 유한하며 공식으로 표현됩니다.

에스= 비 1 + 비 2 + 비 3 + . . . =	비 1	.
	1 - 큐

예를 들어,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

산술 수열과 기하 수열의 관계

산술 및 기하 수열은 밀접한 관련이 있습니다. 두 가지 예만 살펴보겠습니다.

ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , . . . 디 , 저것

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . bd .

예를 들어,

1, 3, 5, . . . — 차이가 있는 산술 진행 2 그리고

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . 분모가 있는 기하 수열입니다. 7 2 . ◄

비 1 , 비 2 , 비 3 , . . . 분모가 있는 기하 수열입니다. 큐 , 저것

로그 a b 1, 로그 a b 2, 로그 a b 3, . . . — 차이가 있는 산술 진행 로그큐 .

예를 들어,

2, 12, 72, . . . 분모가 있는 기하 수열입니다. 6 그리고

엘지 2, 엘지 12, 엘지 72, . . . — 차이가 있는 산술 진행 엘지 6 . ◄