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역삼각함수 미분계산기. 미분 계산 규칙

미분계산미분학에서 가장 중요한 연산 중 하나입니다. 아래는 간단한 함수의 도함수를 찾는 표입니다. 더 복잡한 미분 규칙에 대해서는 다른 단원을 참조하십시오.

지수 및 로그 함수의 도함수 표

주어진 공식을 참고 값으로 사용하십시오. 그들은 미분 방정식과 문제를 해결하는 데 도움이 될 것입니다. 그림에서 단순 함수의 미분 표에는 사용하기 쉬운 형태로 미분을 찾는 주요 사례의 "치트 시트"가 있으며 그 옆에는 각 사례에 대한 설명이 있습니다.

단순 함수의 파생물

1. 숫자의 도함수는 0입니다.
с´ = 0
예:
5' = 0

설명:
도함수는 인수가 변경될 때 함수 값이 변경되는 비율을 보여줍니다. 숫자는 어떤 조건에서도 변경되지 않으므로 변경 비율은 항상 0입니다.

2. 변수의 미분 1과 같다
x' = 1

설명:
인수(x)가 1씩 증가할 때마다 함수 값(계산 결과)도 같은 양만큼 증가합니다. 따라서 함수 y = x 값의 변화율은 인수 값의 변화율과 정확히 같습니다.

3. 변수와 인수의 도함수는 이 인수와 같습니다.
сx' = с
예:
(3x)' = 3
(2x)´ = 2
설명:
이 경우 매번 함수 인수( 엑스) 그 값(y)은 와 함께한 번. 따라서 인수의 변화율에 대한 함수 값의 변화율은 정확히 값과 같습니다. 와 함께.

그것이 따르는 곳
(cx + b)" = c
즉, 선형 함수 y=kx+b의 미분은 직선의 기울기(k)와 같습니다.

4. 변수의 모듈로 미분계수에 대한 이 변수의 몫과 같습니다.
|엑스|"= 엑스 / |엑스| x ≠ 0인 경우
설명:
변수의 미분(공식 2 참조)이 1과 같기 때문에 모듈러스의 미분은 원점을 지날 때 함수의 변화율 값이 반대로 변한다는 점에서만 다릅니다(그래프를 그려 보십시오). y = |x| 함수의 y = |x| 직접 확인하십시오. 이것은 정확히 값이며 표현식 x / |x|를 반환합니다.< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - 하나. 즉, 변수 x의 음수 값을 사용하면 인수의 변화가 증가 할 때마다 함수 값이 정확히 동일한 값만큼 감소하고 양수 값을 사용하면 반대로 증가하지만 정확히 같은 값.

5. 변수의 거듭제곱 미분는 이 거듭제곱의 수와 거듭제곱의 변수의 곱과 같으며 1씩 줄입니다.
(x c)"= cx c-1, x c 및 cx c-1이 정의되고 c ≠ 0인 경우
예:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
공식을 외우려면:
변수 "down"의 지수를 승수로 취한 다음 지수 자체를 1씩 줄입니다. 예를 들어 x의 경우 2 - 2가 x보다 앞서고 감소된 전력(2-1 = 1)은 2x를 제공합니다. x 3에 대해서도 같은 일이 발생했습니다. 트리플을 낮추고 하나씩 줄이면 큐브 대신 정사각형, 즉 3x 2가 있습니다. 약간 "비과학적"이지만 기억하기 매우 쉽습니다.

6.분수 미분 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
예:
분수는 음의 거듭제곱으로 나타낼 수 있기 때문에
(1/x)" = (x -1)" 이면 파생 테이블의 규칙 5에서 공식을 적용할 수 있습니다.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. 분수 미분 임의의 정도의 변수로분모에서
(1/x c)" = - c / x c+1
예:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. 뿌리 파생물(제곱근 아래 변수의 도함수)
(√x)" = 1 / (2√x)또는 1/2 x -1/2
예:
(√x)" = (x 1/2)" 규칙 5의 공식을 적용할 수 있습니다.
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. 임의의 정도의 근 아래 변수의 도함수
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

애플리케이션

학생과 학생이 다루는 자료를 통합하기 위한 사이트 파생 솔루션. 온라인 문제 해결 서비스를 이용하면 몇 초 안에 함수의 도함수를 계산하는 것이 어렵지 않습니다. 모든 세 번째 학생은 실제 수업에서 철저한 학습을 위해 자세한 분석을 제공할 수 있습니다. 종종 우리는 해당 국가의 교육 기관에서 수학 진흥을 위해 관련 부서의 부서에서 접근합니다. 이 경우 숫자 시퀀스의 닫힌 공간에 대한 온라인 미분 솔루션은 말할 것도 없습니다. 많은 부유한 개인들이 당혹감을 표현하는 것이 허용됩니다. 그러나 그동안 수학자들은 가만히 앉아서 열심히 일하지 않습니다. 선형 특성에 따른 입력 매개변수의 변화는 주로 큐브의 하강 위치의 상한으로 인해 도함수 계산기에 의해 허용됩니다. 결과는 표면적으로 불가피합니다. 온라인 파생물은 초기 데이터로서 불필요한 조치를 취할 필요가 없습니다. 가상의 숙제를 제외하고. 미분을 온라인으로 푸는 것이 수학 학습의 필수적이고 중요한 측면이라는 사실 외에도 학생들은 종종 과거의 문제를 기억하지 못합니다. 게으른 생물처럼 학생은 이것을 이해합니다. 하지만 학생들은 재미있는 사람들입니다! 규칙에 따라 수행하거나 경사면에서 함수의 파생물이 재료 지점에 가속도를 제공할 수 있습니다. 하강하는 공간 빔의 벡터를 어딘가로 향하게 합시다. 원하는 답에서 도함수를 찾는 것은 수학적 체계의 불안정성으로 인해 추상적인 이론적 방향으로 보인다. 숫자의 비율을 사용하지 않는 옵션의 시퀀스로 생각하십시오. 통신 채널은 큐브의 닫힌 분기 지점에서 내림차순 벡터를 따라 다섯 번째 선으로 보충되었습니다. 곡선 공간의 평면에서 미분을 온라인으로 풀면 지난 세기에 지구상의 가장 위대한 마음을 생각하게 만든 결론에 이르게 됩니다. 수학 분야의 행사 과정에서 변수 선택의 위치를 개선하는 데 기여하는 다섯 가지 근본적으로 중요한 요소가 공개 토론에 제기되었습니다. 그래서 포인트의 법칙은 온라인 파생상품이 모든 경우에 세세하게 계산되는 것이 아니라 충성스럽게 진행되는 순간만이 예외일 수 있다고 말합니다. 예측은 우리를 새로운 개발 단계로 이끌었습니다. 결과가 필요합니다. 표면 아래를 통과하는 수학적 기울기 선에서 모드 파생물의 계산기는 굽힘 세트에서 제품의 교차점 영역에 있습니다. 엡실론 이웃 근처의 독립 지점에서 함수의 차별화를 분석하는 것이 남아 있습니다. 이것은 실제로 모든 사람이 볼 수 있습니다. 결과적으로 다음 프로그래밍 단계에서 결정해야 할 것이 있습니다. 학생은 실행 중인 가상 연구에 관계없이 항상 온라인 파생물이 필요합니다. 상수를 곱한 미분 함수의 온라인 솔루션은 재료 점의 일반적인 동작 방향을 변경하지 않지만 직선 속도의 증가를 특징으로 합니다. 이런 의미에서 미분 계산기를 적용하고 전체 정의 세트에서 함수의 모든 값을 계산하는 것이 유용할 것입니다. 중력장의 파동을 연구할 필요가 없습니다. 어떤 경우에도 온라인 파생 솔루션은 나가는 빔의 기울기를 보여주지 않지만 드문 경우에만 실제로 필요한 경우 대학생들이 이것을 상상할 수 있습니다. 우리는 교장을 조사합니다. 가장 작은 회전자의 값은 예측 가능합니다. 공이 설명되는 오른쪽을 향한 선을 결과에 적용하지만 파생 상품의 온라인 계산기는 특수 강도 및 비선형 종속 수치의 기초입니다. 수학 프로젝트 보고서가 준비되었습니다. 개인의 특성상 가장 작은 숫자의 차이와 y축을 따라 함수의 미분은 동일한 함수의 오목함을 높이게 됩니다. 방향이 있습니다 - 결론이 있습니다. 이론을 실제에 적용하는 것이 더 쉽습니다. 연구 시작시기에 대한 학생들의 제안이 있습니다. 선생님의 답변이 필요합니다. 다시 말하지만, 이전 입장에서와 같이 수학 시스템은 미분을 찾는 데 도움이 되는 동작을 기반으로 규제되지 않습니다.하위 반선형 버전과 마찬가지로 온라인 미분은 솔루션의 식별을 타락한 조건부 법칙. 수식 계산 아이디어를 제시하십시오. 함수의 선형 미분은 단순히 관련 없는 양수 변형을 배치하여 솔루션의 진실을 거부합니다. 비교 부호의 중요성은 축을 따라 기능이 연속적으로 중단되는 것으로 간주됩니다. 학생에 따르면 이것은 가장 의식적인 결론의 중요성이며 온라인 파생물은 수학적 분석의 충실한 예가 아닙니다. 반대로 유클리드 공간에서 곡선 원의 반지름은 미분 계산기에 안정성을 위한 결정적인 문제의 교환을 자연스럽게 표현했습니다. 가장 좋은 방법이 발견되었습니다. 작업 레벨을 올리는 것이 더 쉬웠습니다. 독립 차이 비율의 적용 가능성이 파생 상품의 온라인 솔루션으로 이어지도록 합니다. 솔루션은 x축을 중심으로 회전하여 원의 모양을 설명합니다. 탈출구가 있고 이론적으로 대학생들이 뒷받침하는 연구를 기반으로 모두가 배우고 그 순간에도 기능의 파생물이 있습니다. 우리는 진전을 위한 방법을 찾았고 학생들은 그것을 확인했습니다. 우리는 수학 시스템을 변환하는 부자연스러운 접근 방식을 넘어서지 않고도 도함수를 찾을 수 있습니다. 왼쪽 비례 부호는 무한 y축에 대한 선형 요인의 알 수 없는 상황으로 인해 온라인 미분 계산기의 수학적 표현으로 기하급수적으로 증가합니다. 전 세계의 수학자들은 생산 공정의 독점성을 증명했습니다. 이론의 설명에 따르면 원 안에 가장 작은 사각형이 있습니다. 다시 말하지만, 온라인 파생물은 처음에 이론적으로 정제된 의견에 영향을 미쳤을 수 있는 것에 대한 우리의 추측을 자세히 설명할 것입니다. 우리가 분석한 보고서와 다른 성격의 의견이 있었습니다. 우리 학부의 학생들에게는 별도의 관심이 일어나지 않을 수 있지만, 함수의 미분은 변명일 뿐인 똑똑하고 진보된 수학자에게는 그렇지 않습니다. 미분의 기계적 의미는 매우 간단합니다. 양력은 시간에 따라 아래쪽으로 기울어진 일정한 공간에 대한 온라인 미분으로 계산됩니다. 분명히 미분 계산기는 인공 변형의 축퇴 문제를 무정형 물체로 기술하는 엄격한 과정입니다. 1차 도함수는 물질 점의 운동 변화를 나타냅니다. 3차원 공간은 온라인에서 도함수를 풀기 위해 특별히 훈련된 기술의 맥락에서 명백하게 관찰되며, 사실 이것은 수학적 분야의 주제에 관한 모든 콜로키움에 있습니다. 2차 도함수는 재료 지점의 속도 변화를 특성화하고 가속도를 결정합니다. 아핀 변환의 사용을 기반으로 하는 자오선 접근법은 이 함수의 정의 영역에서 새로운 수준으로 한 지점에서 함수의 도함수를 취합니다. 파생 상품의 온라인 계산기는 작업 항목의 변형 가능한 배열을 제외하고 어떤 경우에는 올바른 실행 순간에 의해 숫자와 기호 표기법이 없을 수 없습니다. 놀랍게도 재료점의 두 번째 가속이 있으며 이것이 가속의 변화를 특징짓습니다. 짧은 시간에 우리는 온라인 파생 솔루션을 연구하기 시작할 것이지만 지식의 특정 이정표에 도달하자마자 우리 학생은 이 프로세스를 중지합니다. 네트워킹의 가장 좋은 방법은 수학적 주제에 대해 실시간으로 채팅하는 것입니다. 아무리 어려운 일이라도 어떤 상황에서도 어기지 않는 원칙이 있다. 제 시간에 오류 없이 파생 상품을 온라인에서 찾는 것이 유용합니다. 이것은 수학적 표현의 새로운 위치로 이어질 것입니다. 시스템이 안정적입니다. 미분의 물리적 의미는 기계적 의미만큼 대중적이지 않습니다. 온라인 파생물이 x축에 인접한 삼각형에서 법선에 대한 함수 라인의 윤곽을 평면에서 자세히 가져온 방법을 기억하는 사람은 없을 것입니다. 인간은 지난 세기의 연구에서 큰 역할을 할 자격이 있습니다. 정의 영역과 무한대 모두에서 점에서 기능의 미분을 세 가지 기본 단계에서 수행하겠습니다. 연구 분야에서만 글을 쓰게 될 것이지만 온라인 미분 계산기를 문제에 연결하는 즉시 수학과 정수론에서 주요 벡터를 대신할 수 있습니다. 이유가 있겠지만 방정식을 짤 이유가 있을 것이다. 모든 입력 매개변수를 염두에 두는 것이 매우 중요합니다. 최고가 항상 정면으로 맞서는 것은 아닙니다. 그 뒤에는 우주에서 온라인 파생 상품이 어떻게 계산되는지 알고 있는 최고의 마음의 엄청난 노동력이 있습니다. 그 이후로 볼록성은 연속 함수의 속성으로 간주되었습니다. 그래도 가장 짧은 시간에 온라인으로 파생 상품을 해결하는 작업을 먼저 설정하는 것이 좋습니다. 따라서 솔루션이 완료됩니다. 충족되지 않은 규범 외에도 충분하지 않은 것으로 간주됩니다. 처음에는 거의 모든 학생이 어떻게 함수의 도함수가 논쟁의 여지가 있는 성장 알고리즘을 유발하는지에 대한 간단한 방법을 제시할 것을 제안합니다. 오름차순 빔 방향으로. 이것은 일반적인 입장으로 이해됩니다. 이전에는 특정 수학적 작업 완료의 시작을 표시했지만 오늘은 그 반대가 될 것입니다. 아마도 온라인 파생상품의 해법은 다시 문제를 제기할 것이고 교사 회의 토론에서 그 보존에 대한 공통된 의견을 수용할 것입니다. 회의 참가자 여러분의 이해를 부탁드립니다. 논리적 의미는 지난 세기에 세계의 위대한 과학자들이 답한 문제의 생각을 제시하는 순서에 대한 숫자의 공명에서 미분 계산기의 설명에 포함되어 있습니다. 변환된 표현식에서 복잡한 변수를 추출하고 온라인에서 파생물을 찾아 동일한 유형의 대규모 작업을 수행하는 데 도움이 됩니다. 진실은 추측보다 훨씬 낫습니다. 추세에서 가장 작은 값입니다. 온라인 파생 상품이 자세하게 있는 가장 정확한 위치에 대한 고유한 서비스를 사용하면 결과가 오래 걸리지 않습니다. 간접적이지만 요컨대 한 현자가 말했듯이 노조의 여러 도시에서 온 많은 학생들의 요청에 따라 온라인 파생 계산기가 만들어졌습니다. 차이가 있다면 왜 두 번 결정합니까? 주어진 벡터는 법선과 같은 쪽에 있습니다. 지난 세기 중반에는 기능의 차별화가 오늘날처럼 인식되지 않았습니다. 진행중인 개발 덕분에 온라인 수학이 나타났습니다. 시간이 지남에 따라 학생들은 수학 분야를 인정하는 것을 잊습니다. 파생 온라인의 솔루션은 실제 지식에 의해 지원되는 이론의 적용을 기반으로 하는 우리의 논문에 도전할 것입니다. 프리젠테이션 팩터의 기존 값을 넘어 함수에 대한 명시적 형식으로 수식을 작성합니다. 계산기를 사용하지 않고 지금 바로 온라인에서 파생 상품을 찾아야 하지만 항상 학생의 트릭에 의지하여 웹 사이트와 같은 서비스를 계속 사용할 수 있습니다. 따라서 학생은 초안 노트북에서 최종 형식으로 예제를 복사하는 데 많은 시간을 절약할 수 있습니다. 모순이 없다면 이러한 복잡한 예에 대한 단계별 솔루션 서비스를 사용하십시오.

정의.내부에 점 $x_0 $을 포함하는 일부 구간에서 함수 $y = f(x) $를 정의합니다. 이 간격을 벗어나지 않도록 인수에 $\Delta x $를 증가시키자. 함수 $\Delta y $의 해당 증분을 찾고(점 $x_0 $에서 점 $x_0 + \Delta x $로 전달할 때) 관계 $\frac(\Delta y를 구성합니다. )(\델타 x) $. $\Delta x \rightarrow 0 $에 이 관계의 극한이 있으면 지정된 극한을 호출합니다. 미분 함수점 $x_0 $에서 $y=f(x) $이고 $f"(x_0) $를 나타냅니다.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

기호 y는 도함수를 나타내는 데 자주 사용됩니다. y" = f(x)는 새로운 함수이지만 위의 극한이 존재하는 모든 점 x에서 정의되는 함수 y = f(x)와 자연적으로 연관됩니다. 이 함수는 다음과 같이 호출됩니다. 함수 y \u003d f (x)의 미분.

미분의 기하학적 의미다음으로 구성됩니다. y 축에 평행하지 않은 접선을 가로 좌표 x \u003d a가 있는 점에서 함수 y \u003d f (x)의 그래프에 그릴 수 있는 경우 f(a)는 접선의 기울기를 나타냅니다.
$k = f"(a)$

$k = tg(a) $이므로 등식 $f"(a) = tg(a) $는 참입니다.

그리고 이제 우리는 대략적인 평등의 관점에서 미분의 정의를 해석합니다. 함수 $y = f(x) $가 특정 점 $x $에서 도함수를 가지도록 합니다.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
이는 점 x 근처에서 대략적인 등식 $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) $, 즉 $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax$. 구한 근사 동등의 의미는 다음과 같습니다. 함수의 증분은 인수의 증분에 "거의 비례"하고 비례 계수는 주어진 점 x에서 미분 값입니다. 예를 들어, 함수 $y = x^2 $의 경우 대략적인 등식 $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $가 참입니다. 미분의 정의를 주의 깊게 분석하면 미분을 찾는 알고리즘이 포함되어 있음을 알 수 있습니다.

그것을 공식화합시다.

함수 y \u003d f (x)의 미분을 찾는 방법은 무엇입니까?

1. 고정 값 $x $, 찾기 $f(x) $
2. 증가 $x $ 인수 $\Delta x $, 새 지점으로 이동 $x+ \Delta x $, 찾기 $f(x+ \Delta x) $
3. 함수 증분 찾기: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ 관계를 구성합니다.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$를 계산합니다.
이 극한은 x에서 함수의 도함수입니다.

함수 y = f(x)가 점 x에서 도함수를 갖는 경우 점 x에서 미분 가능이라고 합니다. 함수 y \u003d f (x)의 미분을 찾는 절차를 호출합니다. 분화함수 y = f(x).

다음 질문에 대해 논의해 봅시다. 한 지점에서 함수의 연속성과 미분 가능성은 어떻게 관련되어 있습니까?

함수 y = f(x)가 점 x에서 미분가능하다고 하자. 그런 다음 점 M (x; f (x))에서 함수 그래프에 접선을 그릴 수 있으며 접선의 기울기는 f "(x)와 같습니다. 이러한 그래프는 "파단"할 수 없습니다. 점 M, 즉 함수는 x에서 연속이어야 합니다.

"손가락으로"추리했습니다. 좀 더 엄밀한 논거를 제시해 보자. 함수 y = f(x)가 점 x에서 미분 가능하면 근사 동등 $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x $가 유지됩니다. 0이면 \(\Delta y \ )도 0이 되는 경향이 있으며 이것이 한 지점에서 함수의 연속성에 대한 조건입니다.

그래서, 함수가 점 x에서 미분 가능하면 해당 점에서도 연속입니다..

그 반대는 사실이 아닙니다. 예: 함수 y = |x| 는 어디에서나, 특히 점 x = 0에서 연속적이지만 "접합점"(0; 0)에서 함수 그래프의 접선은 존재하지 않습니다. 어떤 시점에서 함수 그래프에 접선을 그리는 것이 불가능하면 이 시점에서 도함수가 없습니다.

또 하나의 예입니다. 함수 $y=\sqrt(x) $는 점 x = 0을 포함하여 전체 수직선에서 연속적입니다. 그리고 함수의 그래프에 대한 접선은 점 x = 0을 포함하여 임의의 점에 존재합니다. . 그러나이 시점에서 접선은 y 축과 일치합니다. 즉, 가로축에 수직이며 방정식의 형식은 x \u003d 0입니다. 이러한 직선에는 기울기가 없으므로 \ ( f "(0) \)도 존재하지 않습니다.

그래서 우리는 함수의 새로운 속성인 미분 가능성에 대해 알게 되었습니다. 함수가 함수의 그래프와 미분 가능한지 어떻게 알 수 있습니까?

대답은 실제로 위에 나와 있습니다. 어떤 점에서 x축에 수직이 아닌 함수의 그래프에 접선을 그릴 수 있다면 이 점에서 함수는 미분 가능합니다. 어떤 지점에서 함수 그래프의 접선이 존재하지 않거나 x축에 수직이면 이 지점에서 함수는 미분 가능하지 않습니다.

차별화 규칙

도함수를 찾는 작업을 호출합니다. 분화. 이 작업을 수행할 때 종종 "함수의 함수", 즉 복잡한 함수뿐만 아니라 몫, 합계, 함수의 곱으로 작업해야 합니다. 도함수의 정의에 따라 이 작업을 용이하게 하는 미분 규칙을 도출할 수 있습니다. C가 상수이고 f=f(x), g=g(x)가 일부 미분 가능 함수인 경우 다음이 참입니다. 차별화 규칙:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ 복합 함수 도함수:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

일부 함수의 도함수 표

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

첫 번째 수준

함수 미분. 종합안내서(2019)

언덕이 많은 지역을 통과하는 직선 도로를 상상해 보십시오. 즉, 위아래로 움직이지만 오른쪽이나 왼쪽으로 돌지 않습니다. 축이 도로를 따라 수평으로 향하고 수직으로 향하면 도로 라인은 일부 연속 함수의 그래프와 매우 유사합니다.

축은 높이가 0인 일정 수준이며, 인생에서는 해수면을 그대로 사용합니다.

그런 길을 따라 앞으로 나아가면서 우리도 위아래로 움직이고 있습니다. 인수가 변경되면(가로축을 따라 이동) 함수의 값이 변경됩니다(세로축을 따라 이동). 이제 우리 도로의 "경사도"를 결정하는 방법에 대해 생각해 봅시다. 이 값은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 특정 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 변할까요? 실제로 도로의 다른 부분에서 (가로 좌표를 따라) 1km 앞으로 이동하면 (세로 좌표를 따라) 해수면에 따라 다른 수의 미터가 상승하거나 하강합니다.

진행 상황을 나타냅니다("델타 x" 읽기).

그리스 문자(델타)는 일반적으로 수학에서 "변화"를 의미하는 접두사로 사용됩니다. 즉, 이것은 규모의 변화입니다. - 변화입니다. 그럼 뭔데? 맞습니다, 크기의 변화입니다.

중요: 표현식은 단일 엔티티, 하나의 변수입니다. "x"나 다른 문자에서 "델타"를 떼어내면 안 됩니다! 즉, 예를 들어 .

그래서 우리는 앞으로, 수평으로, 계속 움직였습니다. 도로의 선을 함수 그래프와 비교하면 상승을 어떻게 표시합니까? 틀림없이, . 즉, 앞으로 나아갈 때 우리는 더 높이 올라갑니다.

값을 계산하는 것은 쉽습니다. 처음에 우리가 높이에 있었고 이동 후 우리가 높이에 있었다면. 끝점이 시작점보다 낮은 것으로 판명되면 음수입니다. 이는 우리가 오름차순이 아니라 내림차순임을 의미합니다.

다시 "가파름": 이것은 단위 거리당 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 (가파르게) 증가하는지를 나타내는 값입니다.

경로의 일부 구간에서 km 단위로 전진할 때 도로가 km 단위로 상승한다고 가정합니다. 그렇다면 이곳의 경사도는 같다. 그리고 도로가 m만큼 전진할 때 km만큼 가라앉는다면? 그러면 기울기가 같습니다.

이제 언덕 꼭대기를 고려하십시오. 섹션의 시작 부분에서 상단까지 0.5km, 끝 부분을 0.5km 후에 가져 가면 높이가 거의 같다는 것을 알 수 있습니다.

즉, 우리 논리에 따르면 여기의 기울기는 거의 0과 같으며 이는 분명히 사실이 아닙니다. 불과 몇 마일 떨어진 곳에서 많은 것이 바뀔 수 있습니다. 경사도를 보다 적절하고 정확하게 추정하려면 더 작은 영역을 고려해야 합니다. 예를 들어 1m를 움직일 때의 높이 변화를 측정하면 훨씬 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 그러나이 정확도조차도 우리에게 충분하지 않을 수 있습니다. 결국 도로 중앙에 기둥이 있으면 간단히 빠져 나갈 수 있습니다. 그러면 어떤 거리를 선택해야 할까요? 센티미터? 밀리미터? 적을수록 좋습니다!

실생활에서는 거리를 가장 가까운 밀리미터 단위로 측정하는 것으로 충분합니다. 그러나 수학자들은 항상 완벽을 추구합니다. 그래서 그 컨셉은 극소즉, 모듈로 값은 이름을 지정할 수 있는 숫자보다 작습니다. 예를 들어, 당신은 말합니다: 1조분의 1! 얼마나 적게? 그리고 이 숫자를 -로 나누면 더 작아집니다. 등등. 값이 무한히 작다고 쓰고 싶다면 다음과 같이 씁니다. 이해하는 것이 매우 중요합니다 이 숫자는 0이 아닙니다!그러나 그것에 매우 가깝습니다. 으로 나눌 수 있음을 의미합니다.

무한히 작은 것의 반대 개념은 무한히 큰 것()입니다. 부등식을 연구할 때 이미 접했을 것입니다. 이 숫자는 모듈러스에서 당신이 생각할 수 있는 어떤 숫자보다 큽니다. 가능한 가장 큰 숫자가 나오면 2를 곱하면 더 많은 숫자가 나옵니다. 그리고 무한은 일어나는 것 이상입니다. 사실 무한히 큰 것과 무한히 작은 것은 서로 반대입니다.

이제 우리 길로 돌아갑니다. 이상적으로 계산된 기울기는 경로의 무한히 작은 세그먼트에 대해 계산된 기울기입니다.

무한히 작은 변위로 인해 높이 변화도 무한히 작을 것입니다. 그러나 무한히 작다는 것이 0과 같지 않다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 예를 들어 무한소를 서로 나누면 완전히 평범한 숫자를 얻을 수 있습니다. 즉, 하나의 작은 값이 다른 값보다 정확히 두 배 클 수 있습니다.

왜이 모든? 길, 가파름 ... 우리는 집회를가는 것이 아니라 수학을 배우고 있습니다. 그리고 수학에서는 모든 것이 정확히 동일하며 다르게 호출됩니다.

파생상품의 개념

함수의 도함수는 인수의 극소 증분에서 함수 증분 대 인수 증분의 비율입니다.

증가수학에서는 변화를 변화라고 합니다. 축을 따라 이동할 때 인수 ()가 얼마나 변경되었는지 호출됩니다. 인수 증분거리만큼 축을 따라 앞으로 이동할 때 함수(높이)가 얼마나 변경되었는지로 표시됩니다. 기능 증분표시되어 있습니다.

따라서 함수의 도함수는 when과의 관계입니다. 함수와 동일한 문자로 도함수를 표시하고 오른쪽 상단의 획만 사용하거나 간단하게 표시합니다. 따라서 다음 표기법을 사용하여 미분 공식을 작성해 보겠습니다.

도로의 비유에서와 같이 여기서 함수가 증가하면 미분은 양수이고 감소하면 음수입니다.

그러나 미분은 0과 같습니까? 틀림없이. 예를 들어 평평한 수평 도로에서 운전하는 경우 경사도는 0입니다. 실제로 높이는 전혀 변하지 않습니다. 따라서 도함수: 상수 함수(상수)의 도함수는 0과 같습니다.

그러한 함수의 증분은 어떤 경우에도 0이기 때문입니다.

언덕 위의 예를 들어보겠습니다. 끝의 높이가 동일하게, 즉 세그먼트가 축에 평행하도록 정점의 반대쪽에 세그먼트의 끝을 배열하는 것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다.

그러나 큰 세그먼트는 부정확한 측정의 신호입니다. 세그먼트를 자체와 평행하게 올리면 길이가 줄어듭니다.

결국 우리가 꼭대기에 무한히 가까워지면 세그먼트의 길이는 무한히 작아질 것입니다. 그러나 동시에 축과 평행을 유지했습니다. 즉, 끝의 높이 차이는 0입니다 (경향이 없지만 같음). 따라서 미분

이것은 다음과 같이 이해할 수 있습니다. 우리가 맨 위에 서 있을 때 왼쪽 또는 오른쪽으로 약간 이동해도 키가 무시할 정도로 변경됩니다.

순전히 대수적인 설명도 있습니다. 상단 왼쪽으로 기능이 증가하고 오른쪽으로 감소합니다. 앞서 살펴본 바와 같이 함수가 증가하면 도함수는 양수이고 감소하면 음수입니다. 그러나 점프하지 않고 부드럽게 변경됩니다 (도로가 어디에서나 경사를 급격히 변경하지 않기 때문에). 따라서 음수 값과 양수 값 사이에 있어야 합니다. 정점에서 기능이 증가하지도 감소하지도 않는 곳이 될 것입니다.

밸리(함수가 왼쪽에서 감소하고 오른쪽에서 증가하는 영역)의 경우에도 마찬가지입니다.

증분에 대해 조금 더.

따라서 인수를 값으로 변경합니다. 우리는 어떤 가치에서 변화합니까? 그(논쟁)는 이제 무엇이 되었습니까? 우리는 어떤 지점을 선택할 수 있으며 이제 우리는 그 지점에서 춤을 출 것입니다.

좌표가 있는 점을 고려하십시오. 함수의 값은 같습니다. 그런 다음 동일한 증가를 수행합니다. 좌표를 증가시킵니다. 지금 논쟁은 무엇입니까? 아주 쉽게: . 지금 함수의 가치는 무엇입니까? 인수가 있는 곳에 함수가 있습니다: . 기능 증가는 어떻습니까? 새로운 사항 없음: 이것은 여전히 기능이 변경된 양입니다.

증분 찾기 연습:

인수의 증분이 같은 지점에서 함수의 증분을 찾으십시오.
한 지점의 함수도 마찬가지입니다.

솔루션:

다른 지점에서 동일한 인수 증가로 인해 함수의 증가가 달라집니다. 이것은 각 지점의 파생물이 고유하다는 것을 의미합니다 (우리는 처음에 이것을 논의했습니다-다른 지점에서 도로의 가파른 정도가 다릅니다). 따라서 미분을 작성할 때 다음과 같은 시점을 표시해야 합니다.

전원 기능.

거듭제곱 함수는 인수가 어느 정도(논리적, 맞죠?)인 함수라고 합니다.

그리고 - 어느 정도까지: .

가장 간단한 경우는 지수가 다음과 같은 경우입니다.

한 지점에서 미분을 찾아봅시다. 미분의 정의를 기억하십시오.

따라서 인수가 에서 로 변경됩니다. 기능 증분이란 무엇입니까?

증분입니다. 그러나 어느 시점에서든 함수는 인수와 동일합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

미분은 다음과 같습니다.

의 파생물은 다음과 같습니다.

b) 이제 이차 함수()를 고려하십시오: .

이제 그것을 기억합시다. 즉, 증분 값은 무시할 수 있습니다. 무한히 작아서 다른 용어의 배경에 대해 중요하지 않기 때문입니다.

따라서 다른 규칙이 있습니다.

c) 우리는 논리적 시리즈를 계속합니다: .

이 표현은 여러 가지 방법으로 단순화할 수 있습니다. 합계 큐브의 약식 곱셈 공식을 사용하여 첫 번째 괄호를 열거나 큐브 차이 공식을 사용하여 전체 표현식을 인수로 분해합니다. 제안된 방법 중 하나를 사용하여 직접 해보십시오.

그래서 다음을 얻었습니다.

그리고 다시 기억합시다. 이는 다음을 포함하는 모든 용어를 무시할 수 있음을 의미합니다.

우리는 다음을 얻습니다: .

d) 대권력에 대해 유사한 규칙을 얻을 수 있습니다.

e) 이 규칙은 정수가 아닌 임의의 지수를 갖는 거듭제곱 함수에 대해 일반화될 수 있음이 밝혀졌습니다.

(2)

다음과 같은 단어로 규칙을 공식화할 수 있습니다.

나중에 이 규칙을 증명할 것입니다(거의 맨 마지막에). 이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 함수의 파생물 찾기:

(두 가지 방법으로 : 공식과 미분의 정의 사용 - 함수의 증분을 계산하여);

. 믿거나 말거나 이것은 파워 함수입니다. “어때요? 그리고 학위는 어디에 있습니까?”, 주제“”를 기억하십시오!
예, 예, 루트도 정도이며 분수입니다.
따라서 우리의 제곱근은 지수가 있는 거듭제곱입니다.
.
우리는 최근에 배운 공식을 사용하여 도함수를 찾고 있습니다.
이 시점에서 다시 불분명 해지면 ""주제를 반복하십시오 !!! (마이너스 지표가 있는 정도)
. 이제 지수:
그리고 이제 정의를 통해(아직 잊으셨나요?):
;
.
이제 평소와 같이 다음을 포함하는 용어를 무시합니다.
.
. 이전 사례의 조합: .

삼각 함수.

여기서 우리는 고등 수학의 한 가지 사실을 사용할 것입니다.

때 표현.

연구소의 첫 해에 증명을 배우게 됩니다(그리고 거기에 도달하려면 시험을 잘 통과해야 합니다). 이제 그래픽으로 보여드리겠습니다.

함수가 존재하지 않을 때 그래프의 지점에 구멍이 뚫린 것을 볼 수 있습니다. 그러나 가치에 가까울수록 기능에 가까워지는 것이 바로 '노력'입니다.

또한 계산기로 이 규칙을 확인할 수 있습니다. 예, 예, 부끄러워하지 말고 계산기를 가져 가십시오. 아직 시험에 있지 않습니다.

그럼 시도해 봅시다: ;

계산기를 라디안 모드로 전환하는 것을 잊지 마세요!

등. 작을수록 비율 값이 에 가까워집니다.

a) 함수를 고려하십시오. 평소와 같이 증분을 찾습니다.

사인의 차이를 곱으로 바꾸자. 이를 위해 다음 공식을 사용합니다(주제 "" 기억).

이제 미분:

대체합시다: . 그렇다면 무한히 작기 때문에 그것은 또한 무한히 작습니다: . for 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

그리고 이제 우리는 표현으로 그것을 기억합니다. 그리고 또한 합(즉, at)에서 무한히 작은 값을 무시할 수 있다면 어떨까요?

따라서 다음 규칙을 얻습니다. 사인의 도함수는 코사인과 같습니다.:

이들은 기본("테이블") 파생 상품입니다. 다음은 하나의 목록에 있습니다.

나중에 우리는 그것들에 몇 가지를 더 추가할 것이지만, 이것들은 가장 자주 사용되기 때문에 가장 중요합니다.

관행:

한 지점에서 함수의 도함수를 찾으십시오.
함수의 미분을 찾으십시오.

솔루션:

먼저 일반적인 형태의 도함수를 찾은 다음 대신 값을 대체합니다.
;
.
여기에 거듭제곱 함수와 비슷한 것이 있습니다. 그녀를 데리러 가자
일반 보기:
.
이제 공식을 사용할 수 있습니다.
.
.
. 에에에에에에에에에에에에에에…

좋아요, 당신 말이 맞아요. 우리는 아직 그런 파생 상품을 찾는 방법을 모릅니다. 여기에는 여러 유형의 기능이 조합되어 있습니다. 그들과 함께 작업하려면 몇 가지 규칙을 더 배워야 합니다.

지수 및 자연 로그.

수학에는 그러한 함수가 있으며, 그 미분은 함수 자체의 값과 동일합니다. 지수함수라고 하며 지수함수이다.

이 함수의 밑수(상수)는 무한 소수, 즉 무리수(예:)입니다. 그것은 "Euler 수"라고 불리며 문자로 표시되는 이유입니다.

따라서 규칙은 다음과 같습니다.

기억하기가 매우 쉽습니다.

글쎄, 우리는 멀리 가지 않을 것이며 즉시 역함수를 고려할 것입니다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연" 로그라고 하며, 이를 위해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

무엇과 같습니까? 물론, .

자연 로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

함수의 미분을 찾으십시오.
함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수와 자연 로그는 도함수 측면에서 고유하게 단순한 함수입니다. 지수함수와 대수함수는 다른 밑수를 가지므로 미분법칙을 거친 후에 나중에 분석할 다른 도함수를 갖게 됩니다.

차별화 규칙

어떤 규칙? 또 새로운 용어, 또?!...

분화도함수를 찾는 과정입니다.

오직 모든 것. 이 과정을 다른 말로 하면? proizvodnovanie가 아니라... 수학의 미분을 함수의 증분이라고 합니다. 이 용어는 라틴어 Differentia - 차이에서 유래합니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 유도할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 함수를 사용합니다. 증분에 대한 공식도 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

If-일부 상수 (상수), 그러면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다. .

그것을 증명합시다. 시키거나 더 쉽게.

예.

함수의 도함수 찾기:

그 시점에;
그 시점에;
그 시점에;
그 시점에.

솔루션:

(미분은 선형 함수이기 때문에 모든 지점에서 동일합니다. 기억하십니까?)

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새 기능을 도입하고 증분을 찾습니다.

유도체:

예:

함수의 미분 찾기 및;
한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.

솔루션:

지수 함수의 도함수

이제 귀하의 지식은 지수뿐만 아니라 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다(아직 무엇인지 잊으셨습니까?).

그래서 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 가져와 보겠습니다.

이를 위해 다음과 같은 간단한 규칙을 사용합니다. 그 다음에:

글쎄요. 이제 도함수를 찾으려고 노력하고 이 함수가 복잡하다는 것을 잊지 마십시오.

일어난?

여기에서 자신을 확인하십시오.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 남아 있지만 숫자 일뿐 변수가 아닌 요인 만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수 찾기:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자, 즉 더 간단한 형식으로 쓸 수 없는 숫자일 뿐입니다. 따라서 답안에는 이 형태로 남겨둔다.

대수 함수의 도함수

여기서도 비슷합니다: 여러분은 이미 자연 로그의 도함수를 알고 있습니다:

따라서 밑이 다른 로그에서 임의의 것을 찾으려면, 예를 들면 다음과 같습니다.

이 로그를 밑으로 가져와야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 이 공식을 기억하시기 바랍니다.

대신 지금 만 작성합니다.

분모는 상수(변수가 없는 상수)로 밝혀졌습니다. 미분은 매우 간단합니다.

지수 함수와 대수 함수의 도함수는 시험에서 거의 찾을 수 없지만 알고 있는 것이 불필요하지는 않습니다.

복잡한 함수의 도함수.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 대수도 아니고 아크 탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어려워 보이더라도 "로그" 항목을 읽으면 모든 것이 해결될 것입니다).

작은 컨베이어를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고 두 번째는 리본으로 묶습니다. 리본으로 싸서 묶은 초콜릿 바입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 순서로 반대 단계를 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 그들은 우리에게 숫자(초콜릿)를 주고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 당신은 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수로 첫 번째 작업을 직접 수행한 다음 첫 번째 결과로 발생한 다른 두 번째 작업을 수행합니다.

우리는 동일한 작업을 역순으로 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 기능: 작업 순서가 변경되면 기능이 변경됩니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

첫 번째 예의 경우 .

두 번째 예: (동일). .

우리가 수행하는 마지막 작업은 "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 각각 "내부" 기능(비공식적인 이름이며 간단한 언어로 자료를 설명하기 위해서만 사용합니다).

어떤 기능이 외부이고 어떤 기능이 내부인지 스스로 결정하십시오.

답변:내부 함수와 외부 함수의 분리는 변수 변경과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

먼저 어떤 조치를 취할까요? 먼저 사인을 계산한 다음 큐브로 올립니다. 따라서 외부 기능이 아닌 내부 기능입니다.
그리고 원래 기능은 그들의 구성입니다: .
내부: ; 외부: .
검사: .
내부: ; 외부: .
검사: .
내부: ; 외부: .
검사: .
내부: ; 외부: .
검사: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿을 추출하겠습니다. 파생 상품을 찾으십시오. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예의 경우 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화하겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

모든 것이 간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금까지 줄이려고 하지 마세요! 코사인 아래에서 아무 것도 꺼내지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

여기에 3단계 복합 기능이 있다는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 이미 그 자체로 복합 기능이고 우리는 여전히 그로부터 루트를 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 래퍼에 넣습니다). 서류 가방에 리본 포함). 그러나 두려워할 이유는 없습니다. 어쨌든 이 기능을 평소와 같은 순서로 "언패킹"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별한 다음 괄호 안의 표현만 구별합니다. 그런 다음 모두 곱합니다.

이러한 경우 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 어떤 순서로 작업을 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다.

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능이 더 "외부적"이 됩니다. 작업 순서 - 이전과 동일:

여기서 중첩은 일반적으로 4단계입니다. 행동 방침을 결정합시다.

1. 급진적 표현. .

2. 뿌리. .

3. 부비동. .

4. 광장. .

5. 종합: